Качественные и численные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Пронькин, Валентин Семенович

• Пронькин, Валентин Семенович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пронькин, Валентин Семенович

ВВЕДЕНИЕ.7.

ГЛАВА

КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ И ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ.

§1.1 Задачи физического и технического характера, приводящие к моделям

Риккати.

§ 1.2 Общая характеристика диссертации.

ГЛАВА

СУЩЕСТВОВАНИЕ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МАТРИЧ-НО- ВЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ РИККАТИ С НЕЧЁТНЫМИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§2.1 Обобщение метода Блинова- Канторовича.

1. Свойства линейных операторов в банаховых пространствах.

2. Основная теорема.

§ 2.2 Вспомогательные утверждения.

1. Основные понятия.

2. Оценки норм линейных операторов.

§ 2.3 Разрешимость одной операторной модели.

1. Разрешимость операторной модели вида 12(и)х=Р(д(0).

2. Норма одного линейного оператора.

3. Разрешимость операторной модели типа2.

§ 2.4. Приводимость по Ляпунову модели типа 3.

1. Применение обобщенного метода Канторовича-Блинова к доказательству существования квазипериодического решения модели типа 1.

2. Приводимость модели типа 3 по Ляпунову.

ГЛАВА

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНО

ВЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ РИККАТИ.

§ 3.1 Модификации метода Канторовича-Блинова.

1. Основные понятия.

2. Сходимость метода Канторовича-Блинова.

§3.2. Существование квазипериодических решений нелинейной дифферен циальной модели.

1. Некоторые утверждения.

2. Свойства некоторых линейных операторов и оценки их норм.

3. Квазипериодические решения одной нелинейной модели.

4. Квазипериодическое решение модели Риккати.

§3.3. Существование квазипериодических решений одной матрично - век торной модели Риккати.

1. Разрешимость модели типа 6.

2. Квазипериодические решения матрично-векторной модели Риккати

§3.4 Приводимость по Ляпунову модели типа 7.

ГЛАВА

ПОЧТИ - ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ В ПРОБЛЕМЕ ПРИВОДИМОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ.

§ 4.1 Приводимость по Ляпунову модели типа 11.

1. Об одном классе почти- периодических функций.

2. Оценки норм некоторых линейных операторов.

3. Почти - периодические решения модели типа 12.

4. Разрешимость модели типа 10.

5. Почти - периодические решения матричной модели типа 9.

6. Приводимость по Ляпунову модели типа 8.

§ 4.2. Приводимость по Ляпунову моделей типа 11.

1. Некоторые свойства линейных операторов и оценки их норм.

2. Почти периодические решения модели типа 12.

3. Разрешимость одного модели типа 14.

4. Почти периодические решения модели типа 13.

5. Приводимость по Ляпунову модели типа 11.

ГЛАВА

ПРИВОДИМОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПО ЛЯПУНОВУ

НА ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ.

§5.1. Интегрируемый случай.

1. Вспомогательные утверждения.

2. Приводимость по Ляпунову модели с треугольной матрицей.

§ 5.2. Неинтегрируемый случай.!.

1. Фундаментальная матрица решений одной линейной дифференциальной модели.

2. Квазипериодическое решение скалярной модели Риккати.

3. Приводимость по Ляпунову на исключительных лучах.

ГЛАВА

ПРИБЛИЖЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ МОДЕЛЕЙ РИККАТИ.

§6.1. Приближенно-аналитические методы решения моделей Риккати.

1. Метод Ньютона-Канторовича.

2. Решение модели Риккати методом квазилинеаризации.

§ 6.2. Модификации и усовершенствования некоторых методов решения моделей Риккати.

1. Приближенное интегрирование одной матричной модели Риккати.

2. Определение установившегося решения матричной модели Риккати с постоянными параметрами.

3. Численно-аналитическое решение матричной модели Риккати.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные и численные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами»

Диссертация посвящена исследованию и конструктивному нахождению непрерывных, в том числе почти периодических, решений математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с непрерывными и почти периодическими коэффициентами и их некоторым приложениям. Исследование математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами представляет собой весьма сложную проблему. Но использование почти периодических коэффициентов, в описании модели, не является самоцелью. Известно, что важне-ейшим требованием к математической модели является требование адекватности (правильного соответствия) изучаемому реальному объекту относительно выбранной системы его свойств. Для достижения этого требования и вводятся почти периодические и квазипериодические функции, позволяющие осуществить правильное количественное описание свойств объекта с разумной степенью точности. Исследование математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами представляет собой далеко не завершенную проблему, поэтому и приобретают большую важность применяемые к указанным моделям методы их исследования. Общие принципы моделирования динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами пока не разработаны. Одним из важнейших методов исследования линейных дифференциальных моделей с почти периодическими коэффициентами является исследование приводимости по Ляпунову. Приводимость по Ляпунову позволяет выявить структуру фундаментальной матрицы решений исследуемой модели. Кроме того, в зависимости от выбора метода исследования, позволяет не только установить качественные характеристики выбранной модели, но и провести исследования других математических моделей с почти периодическими коэффициентами, в том числе и нелинейные многомерные математические модели.

Определение почти периодических функций и их общая теория изложены, например в [61,62].

Каждой почти периодической функции можно отнести ряд Фурье оо п-1 где Ап - коэффициенты Фурье, а Л„- показатели Фурье. т

Если где 0)1,.0)п рационально независимы, то

-1 (х) называется квазипериодической или условно- периодической, а совокупность чисел о)=(й).,й) я) - называется частотным базисом или спектром частот квазипериодической функции.

Таким образом, квазипериодические функции можно рассматривать как частный случай почти периодических функций, спектр частот которых конечен

Рассмотрим модель, описываемую системой линейных дифференциальных уравнений вида х=Р(ОХ , * (1) где Д0-{р,7(0} переменная матрица порядка п. Модель (1) называют приводимой по Ляпунову, если существует неособенное преобразование

Х = С(ОГ , (2) приводящее (1) в линейную модель вида

У = ВУ где В- постоянная матрица.

Проблема приводимости по Ляпунову моделей вида (1) с почти периодическими коэффициентами впервые была поставлена в [42] Н.П. Еругиным.

Там же были высказаны необходимые и достаточные условия приводимости.

При этом следует отметить, что задача приводимости почти периодических моделей оказалась совсем нетривиальной. Более того, здесь, почти всегда гарантирован отрицательный ответ, если не наложить специальных требований на коэффициенты модели (1). Это связано, в основном, с незамкнутостью класса почти периодических функций с нулевым средним значением относительно операции интегрирования и появления так называемых «малых знаменателей».

При исследовании приводимости по Ляпунову линейных моделей вида (1) в [42.2)] была выявлена связь с приводимостью по Ляпунову и существованием ограниченного решения г модели Риккати вида

Т = Г( р22 о)-Рп (0) - г2 рп (0+ Рп (0 .

Исследование решений скалярных, а тем более матричных моделей Риккати носит и самостоятельный интерес. В задачах математической и теоретической физики, теории управления, естественным образом возникают вопросы исследования решений нелинейных математических моделей, среди которых важное место занимает модель Риккати.

При этом весьма актуальной является проблема интегрирования нелинейных дифференциальных математических моделей.

Нелинейные модели с почти периодическими коэффициентами изучались многими учеными. Среди них следует выделить: а) исследования, в которых проблема малых знаменателей не возникала ( см. работы [22,35,42,46,56,61,62] и их библиографии) б) нелинейные модели с малыми знаменателями.

Работы как первой, так и второй группы в литературе представлены достаточно полно.

Впервые проблема малых знаменателей возникла при исследовании решений в моделях, описываемых системами дифференциальных уравнений в знаменитых мемуарах Анри Пуанкаре по небесной механике.

Основные идеи, которые позволили в последующем получить положительные результаты, были выдвинуты К, Л. Зигелем и А. Н. Колмогоровым

45,55]. Они состояли во- первых в том, что малые знаменатели для большинства (по мере Лебега) частот удовлетворяют некоторым оценкам, во-вторых, в отказе от обычных рядов по степеням малого параметра при построении решений, применение нового итерационного процесса, основанного на последовательной замене переменных и обладающего ускоренной сходимостью.

Исследования моделей с малыми знаменателями в духе идей, высказанных выше, получили развитие и в нашей стране, и за рубежом. В первую очередь это вызвано двумя аспектами проблемы малых знаменателей.

Первый аспект, сугубо практический, состоит в непосредственном исследовании реальных планетных и спутниковых систем, в которых наблюдаются резонансные соотношения. Цель этих исследований заключается в построении таких приближенных решений уравнений движения, которые удовлетворяют астрономов- практиков. Для этого пришлось разрабатывать специальные методы, берущие своё начало в исследованиях Пуанкаре [83].

Поскольку « резонансные явления » встречаются не только в задачах небесной механики, но и строительной механике, в радиотехнике, физике, нелинейной механике, то вопрос о методах исследования малых знаменателей представляет большой интерес и далеко выходит за пределы какой- либо одной из выше названных наук.

К теоретическому аспекту проблемы малых знаменателей следует отнести: а) качественный анализ решений в математических моделях, описываемых дифференциальными уравнениями, при интегрировании которых появляются малые знаменатели. б) построение рядов, которые сходятся на неограниченном интервале времени.

К большому сожалению, оба аспекта проблемы далеки до завершения.

Остановимся на некоторых результатах, сыгравших важную роль в дальнейшем продвижении исследований.

Прежде всего отметим работы В.И. Арнольда [3]. Им были разработаны новые разновидности метода А.Н. Колмогорова и получены интересные результаты по теории гамильтоновых систем, относящиеся к так называемым вырожденным случаям.

Ю. Мозер [72] распространил методы и идеи А.Н. Колмогорова на случай моделей с дифференцируемыми конечное число раз ( а не с аналитическими правыми частями). Ему удалось получить ряд результатов весьма общего характера при нахождении квазипериодических решений неканонических моделей.

Большой вклад в исследования малых знаменателей внесли работы H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, А. Н. Самойленко [12-14] , в которых рассматривались методы ускоренной сходимости в нелинейных моделях механики. К указанным исследованиям относится и работа [9]. В последнее время появился ряд учебников, монографий и обзоров, посвященный дальнейшему изучению данной проблемы [19,30-34,36,53,78,89-90,97,126,130133].

Кратко остановимся на исследовании почти периодических решений модели Риккати.

Гельман в [27] вводит аппарат соответственно мажорантных рядов, который позволяет оценить коэффициенты ряда Фурье для квазипериодического решения скалярной модели Риккати i=a{j) + br +c(t)r2 , (3) где а (t), с (t) - квазипериодические функции, удовлетворяющие некоторым ограничениям, Ъ- постоянная, Re Ъ ф 0 .

Адрианова [1] распространила этот аппарат на матрично-векторные модели Риккати с квазипериодическими коэффициентами, на которые наложены аналогичные [ 27 ] ограничения.

Если в модели (3) взять в качестве коэффициентов только нечётные функции, рассмотренные в [3.1)] Арнольдом, то метод уже соответственно мажорантных рядов уже не позволяет находить квазипериодические решения модели Риккати, так как сходимость соответствующих рядов доказать не удаётся.

В [11.1)] рассматривается математическая модель, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением вида x + F(x,t) + f(q(t)) = 0 , (4) где F(x,t) = Yjfk > / >fk~ нечётные квазипериодические функции из класса функций, рассмотренных в [3.1)], |/| - достаточно мала.

Существование бесконечного числа квазипериодических решений модели (4) удаётся получить с помощью обобщённого метода Ньютона- Канторови-ча[11.1)]. Обобщение заключалось в применении идеи Колмогорова вложенных пространств.

Как известно, при интегрировании квазипериодических функций появляются малые знаменатели. В работах [1], [27] проблема малых знаменателей возникает на последнем шаге. В случае же работы [11.1)] на каждом из последовательных шагов возникает проблема неограниченности операторов.

Эту ситуацию, в отличие от ситуации в работах [ 1],[27] уместно назвать проблемой существенно малых знаменателей.

Для преодоления возникающих трудностей применяется метод последовательно вложенных метрических пространств с метрикой, зависящей от номера шага как параметра.

Применяя метод последовательно вложенных друг в друга пространств, удаётся сделать оператор ограниченном на каждом шаге и с растущей нормой в зависимости от номера шага.

Рассмотрим матрично-векторную модель Риккати вида:

P(X,q(0) =Х + Xg{q{t))X + f{q {t))X + / (q (t)) = 0 , (5) где gr(q(t)),f(q(t)),l(q(t))~ матрицы, элементы которых нечётные квазипериодические функции, рассмотренные в [3.1)], Х - т- мерный неизвестный вектор.

Применение метода Ньютона, в том виде как он применяется в [11.1)], не позволяет решить задачу отыскания квазипериодических решений модели (5), так как в этом случае предельное пространство перестаёт наследовать свойства итерируемых пространств.

В [2*] была предложена схема, обобщающая итерационный процесс Ньютона [11.1)], применение которой позволили получить квазипериодическое решение модели (5) при достаточно малой || /)) ||

Особенностью итерационного процесса [2*] является сбегание индексов итерируемых пространств (малые знаменатели). Однако предельное пространство всё ещё содержит аналитические в полосе квазипериодические функции.

Кратко рассмотрим метод приближённого интегрирования матрично-векторной модели Риккати, предложенный в [2*]. Для этого записываем итерационный процесс Ньютона, состоящий из последовательности решений линейных операторных моделей порядка т:

4 ^ X, + Р'{Х,х )Х = Р(ХМ) , /=1,2 .

Каждую операторную модель при помощи соответствующей подстановки сведём к модели , состоящей из линейного операторной модели порядка т-1 и линейной модели, коэффициенты которой зависят от квазипериодического решения матричной модели Риккати.

К полученной линейной операторной модели порядка т-1 вновь применяем соответствующую подстановку и т. д. Повторяя подстановку т раз, мы приходим к линейной треугольной модели, коэффициенты которой зависят от квазипериодических решений матричных моделей Риккати, размерность которых равна 1,2,т-1. Эту линейную модель можно проинтегрировать и тем самым констатировать существование [ Ь'1 т ]. При этом, на каждом итерационном шаге мы сталкиваемся с проблемой существенно малых знаменателей. Однако, применяя метод последовательно-вложенных пространств, удаётся доказать сходимость итерационного процесса к квазипериодическому решению матричной модели Риккати и существование предельного про

Щ («) странства т аналитических в полосе векторов.

Используя полученные квазипериодические решения, можно доказать приводимость по Ляпунову модели с нечетными квазипериодическими коэффициентами

X=ÄP(q(t))X , (6) где Л- достаточно малый параметр, Р ( q (t) )- матрица порядка ту элементы которой - нечётные функции, введённые в [3. 1)].

Рассмотрим модель, описываемую уравнением вида:

Х=(Р0+ ЛРЦ))Х, (7) где Р (t)- квадратная матрица порядка т, элементы которой - квазипериодические функции; Х- вектор, размерности ш, Л- малый параметр.

Задача приводимости линейной дифференциальной модели (7) при различных предположениях рассматривалась в работах В.И. Арнольда [ 3],

A.Е. Гельмана [27], Л.Я. Адриановой [1] И.Н. Блинова [11.1)], А.Д.Брюно [20], H.H. Боголюбова Ю.А.Митропольского, А.И.Самойленко [14,71],

B.М.Миллионщикова [70] и других авторов.

В [3.1)] была сформулирована четвёртая проблема Арнольда. Рассмотрим модель, описываемую системой т линейных дифференциальных уравнений вида

X=P(q(t))X , где q=( qi, q2q n)- вектор P(q + 2л) = P{q), P{q) - аналитическая матрица- функцияq:q = со = (ü)l,.,0) n) и все О) . - линейно- независимые с рациональными коэффициентами) алгебраические числа. Всегда ли данная система приводима? В [3.2)] и [11.1)] сформулированы другие постановки четвёртой проблемы Арнольда.

А.Е. Гельман [27] для модели (1), где

ДО = 1^(0 к=\ сходится равномерно при - оо < / < оо,

00 р/>\ Y1 Т)(к) ¡l(ffl|®,+.+m,fflJ ч\ч- ¿и» . m1 ,.,/»„ =1 где 5^- постоянные матрицы, убывающие достаточно быстро вместе с к, нашёл достаточные условия приводимости.

Он также показал, условия на частоты должны быть достаточно жёсткими: приводимость может нарушиться при сколь угодно малом изменении одной из частот G)j.

Л.Я. Адрианова[1] обобщила этот случай на модели порядка m >2. И. Н. Блинов [11.1)] доказал приводимость модели (6), коэффициенты которой нечётные квазипериодические функции, введённые в [3].

Методом ускоренной сходимости в [ 30,71.2) ] была доказана приводимость моделей вида (7), где собственные числа матрицы Р о имеют различные вещественные части, Р (t)- квазипериодическая матрица- функция.

Все, только что рассмотренные результаты,додержатся как частный случай работы [5*], где доказывается приводимость по Ляпунову, возможно исключая конечной число лучей, при достаточно малых значениях Л модели

7).

Основной результат [5*] - существование квазипериодического решения, исключая, возможно, конечное число лучей матричной модели Риккати

X + (4 + A{q{t)))X + Xf{q(t))X + M{q{t)) = 0 , где А о - постоянная диагональная матрица, элементы которой попарно различные мнимые числа, коэффициенты A,f,l- матрицы, элементы которых функции, рассмотренные в [3.1)], Я- комплексный параметр. Этот результат содержит в себе, как частный случай, результаты, полученные в работах [1, 27]. При его доказательстве используется итерационный процесс, предложенный в [2*]. Однако задача усложняется появлением, в оценке нормы,

Л Г оператора интегрирования- множителя с / Я , где г - целое, с- постоянная.

Это связано с тем, что после второго шага итерационного процесса, могут возникнуть средние вида: a-i ß + ar Лг + о {Л2')

Однако, несмотря на эти трудности, удаётся доказать сходимость итерационного процесса к квазипериодическому решению.

С данным исследованием органически связана работа [4*], в которой доказывается существование квазипериодических решений нелинейной дифференциальной модели x + ißx + Y f ; (q(t))xk + Äf0(q(0) = 0 , к=2 \ при всех достаточно малых Я, исключая возможно конечное число лучей.

Интерес к изучению моделей Риккати особенно усилился с возникновением теории управления, появлением в связи с этим принципиально новых математических задач, непосредственно связанных с дифференциальными моделями (задачи оптимального управления, задачи оценки параметров системы и ее состояния и т.д.). Их решения зачастую приводят к моделям Риккати и их многомерным аналогам. Поэтому весьма актуальной является задача нахождения приближенно-аналитических и численных решений моделей Риккати. Рассмотрим некоторые методы приближенно-аналитического и численного решения уравнения Риккати, которые имеют исключительно важное значение для задачи синтеза регулятора, а также для задачи оценки состояния.

Рассмотрим матричную модель Риккати -P{t)=Rx{t) -P{t) S(t) P(t) +AT(t) P(t) +P(t)A{t) , P(T)= H (8) где S(t), Дг)-квадратныематрицы порядка« , P(t) -искомая матрица.

Прямой метод решения основан на представлении уравнения в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка и применения численного метода интегрирования уравнений в обратном времени, начиная с момента t{. Наиболее простым методом численного интегрирования является метод Эйлера, по которому вычисляется матрица P{t) в моменты t-t, -Aí, t, -2А/,. . Если решение сходится к постоянной величине, то как это обычно бывает в случае системы с постоянными параметрами, то необходимо ввести условие остановки. Недостатком этого метода является то, что для обеспечения достаточной точности обычно требуется весьма малая величина Лг, приводящая к большому числу шагов. Кроме того, из-за ошибок вычислений нарушается симметрия матрицы, что можно устранить путем симметрирования после каждого шага, т.е. путем заменыP(t) на

P(t)+ Р1 (t) ] . Симметрию матрицы/>(/) можно использовать, заменяя модель Риккати нелинейной дифференциальной моделью получая в результате существенную экономию машинного времени. Более детальный анализ метода прямого интегрирования можно найти в [23,105, 117-119] .

Метод прямого интегрирования применим к системам с переменными и постоянными параметрами. Если требуется найти лишь установившееся решение для задач с переменными параметрами, то более эффективными оказываются методы, рассмотренные в [106,120] .

Интегрирование матричной модели Риккати в реальном масштабе времени с начальным условием P(t 0) обычно приводит к неудовлетворительным результатам в силу неустойчивости решения, что вызывает возрастающие со временем ошибки вычислений.

Если необходимо получить полное решение уравнения Риккати с постоянными параметрами, то используется метод Калмана- Энглара [119]

Рассмотрим метод установившегося решения уравнения Риккати с постоянными параметрами, который существенно отличается от предыдущих методов. Метод основан на многократном решении линейного матричного уравнения вида

0=Я^ + Ат Р+РА = 0, Которое рассматривалось в

Установившееся решение Р уравнения Риккати должно удовлетворять алгебраическому уравнению Риккати

0=Я1-Р8Р+АТ Р+РА-0,

Рассмотрим матричную функцию р(Р )=Я,-РБР+ Ат Р+РА = О, Задача заключается в определении неотрицательно определенной матрицы Р , удовлетворяющей условию

Р{Р)=0. ,

Если начальная оценка выбрана некорректно, то может наблюдаться сходимость к произвольному решению алгебраической модели Риккати или вообще она может не достигаться. В работах[23,106,120] освещается опыт успешного использования метода Ньютона-Рафсона для решения уравнений Риккати в задачах с размерностью до 15.

Несмотря на обилие работ по нахождений численно-аналитических решений моделей Риккати (см. библиографию [23,41,43,104-106,117-120],) практическое нахождение решений наталкивается на массу трудноразрешимых проблем и разработка новых методов приближенного интегрирования и числннного решения матричных моделей Риккати становиться весьма актуальной задачей.

В [11.1)] была поставлена проблема: пусть имеется модель (6), где Р($-нечётная почти периодическая матрица существенно отличающаяся от квазипериодической. Всегда ли такая модель приводима при достаточно малых

Я?

Там же предпринимается попытка решения проблемы методом сколь угодно быстрой сходимости, накладывая на малые знаменатели при этом дополнительные условия. При этом высказано предположение, что решение этой задачи недоступно методу последовательных замен Арнольда- Колмогорова из- за относительно медленной сходимости последнего. Это высказывание было опровергнуто в [93.2)], где был применён метод последовательных замен, но от дополнительных условий на малые знаменатели отказаться не удалось.

Приводимость моделей с бесконечным спектром частот, т.е. систем с почти периодическими коэффициентами, рассматривалась в [11.1), 11.6), 82,93]. Но во всех этих исследованиях на малые знаменатели, кроме рациональной несоизмеримости частот, накладывались дополнительные условия. И только при наличии дополнительных условий на малые знаменатели удалось получить положительные результаты.

В [6*,7*] удалось решить проблему приводимости по Ляпунову моделей с бесконечным спектром частот, поставленную в [11.1)], впервые не накладывая дополнительные условия на малые знаменатели. При этом удалось доказать существование почти периодических решений дифференциальной матричной-векторной модели Риккати (5), коэффициенты которой существенно почти периодические функции.

Обойтись без дополнительных условий на «малые знаменатели стало возможным благодаря новой оценке нормы оператора интегрирования. Это позволило вновь применить обобщенный итерационный процесс Канторовича-Блинова , предложенный в [2*].

Таким образом, можно констатировать, что модель, описываемая системой дифференциальных уравнений

Х = еР^,Л)Х приводима по Ляпунову при достаточно малых значениях е .

Как уже отмечалось в [3] была сформулирована четвёртая проблема Арнольда.

В [11.1)] построен пример неприводимой по Ляпунову модели с треугольной матрицей коэффициентов. Все последующие результаты ограничивались только треугольной матрицей коэффициентов.

В [4*] доказана приводимость по Ляпунову при всех достаточно малых X, возможно, исключая конечное число лучей, линейной модели

Х = (Р„ + ЛР(1))Х , (9) где Р (^)- матрица, элементы которой принадлежат к классу функций, описанных в четвёртой проблеме Арнольда, Р ц = diag (р ¡, р - постоянная диагональная матрица, элементы которой удовлетворяют условию :

Мр-р2]=0 М[рх-р 2] = Р > где р - алгебраическое число, несоизмеримое с базисом частот Р (I), Х- малый комплексный параметр.

В [11.6)] была сформулирована проблема Р.Э Винограда. Всегда ли на таких лучах сохраняется неприводимость?

В [3*] было показано, что на лучах модели с треугольной матрицей происходит чередование приводимости и неприводимости. Оказалось, что это явление имеет место и для моделей вида ( 9 ) [8*] . Тем самым можно дать ответ на вопрос, поставленный в [3]. ,

Исследования приводимости по Ляпунову моделей с квазипериодическими коэффициентами кроме самостоятельного практического (решение инженерных задач) и теоретического интереса, находят важные приложения в смежных областях математики и физики. Так можно констатировать, что с середины 70-х годов наблюдается процесс интенсивного использования результатов по приводимости моделей (7) в задачах теоретической и математической физики. Интерес к этой проблеме особенно усилился в связи с изучением уравнения Кортевега де Фриза в работах С.П. Новикова, Б.А. Дубровина, В.Б, Матвеева [38,44] и других. Как было показано в исследованиях С.П. Новикова [79], важную роль в изучении периодической задачи Кортвега де Фриза играют свойства зон неустойчивости одномерного уравнения Шрёдингера с периодическим и квазипериодическим потенциалами. Их изучение удаётся провести, используя теорему приводимости Ляпунова. Для квазипериодической задачи КдФ приходится исследовать зоны неустойчивости моу дели (9) с квазипериодическим потенциалом и е с (т). Это удаётся сделать, опираясь на результаты по приводимости моделей (7) в области больших значений Е. Здесь интересны результаты, полученные в [38]. Возможность получения важных приложений побуждает продолжить изучение приводимости моделей (1.7).

Ю.А. Митропольский и A.M. Самойленко в [71] ставят задачу всестороннего исследования приводимости почти периодических моделей (7), т.е. систем с бесконечным спектром частот. К настоящему времени в этом направлении имеются отдельные результаты [11.1),11.16),82, 93,6*- 8*].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Пронькин, Валентин Семенович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Граф взаимосвязи математических моделей типов 1-16 позволяет основные результаты диссертации упорядочить на четыре группы результатов .

Первая группа результатов. Обобщение метода Канторовича—Блинова исследования нелинейных матричных моделей типов 1,4,9,13,15,16. Модификация метода Канторовича-Блинова исследования нелинейных матричных моделей типов 4,5,12,13. Модификация и совершенствование стандартных численных методов интегрирования путем представления матричной модели Риккати в виде «систем нелинейных дифференциальных матричных уравнений первого порядка с использованием модификации метода Рунге—Кутта. Разработка приближенного метода решения модели типа 15 методом Ньютона-Канторовича. Модификация метода Калмана—Энглара и уточнение численного метода решения модели типа 15 методом Рунге—Кутта. Уточнение метода Ньютона-Канторовича определения установившегося решения модели типа 16.

Вторая группа результатов. Конструктивное доказательство существования кваз и периодических и почти периодических движений в моделях типов 1,4,5,9,12,13. Разработка конструктивных методов приближенного интегрирования моделей типов 1,4,5,9,12.13.

Третья группа результатов. Доказательство существования квазипериодических и почти периодических движений в математических моделях типов 2,6,10,14. Разработка приближенно-аналитических методов исследования моделей типов 2,6,10,14.

Четвертая группа результатов. Разработка нового подхода исследования приводимости по Ляпунову моделей типов 8, 11. Исследование приводимости по Ляпунову моделей типов 3, 7 к математическим моделям, описываемым линейными системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Разработка нового метода исследования приводимости по Ляпунову моделей типа 7 на исключительных лучах.

В заключении сформулируем некоторые перспективные направления исследований, выявленные как самостоятельные, при решении проблем связанных с темой диссертации. Решения этих проблем будут продолжением диссертационных исследований, выполненных автором, имеющим важное значение для решения физико - технических проблем, указанных в первой главе,

В диссертации доказывается приводимость по Ляпунову математических моделей вида

X = MP(t)X , (1*) где P(t) ~матрица, элементы которой нечетные квазипериодические функции из класса функций изученных в [3] и почти- периодические функции из класса функций рассмотренных в [11.3)] и математической модели

X=(PQ+MP(t))X, (2') где P(t)~ почти периодические и квазипериодические матрицы , элементы которых , функции упомянутых классов ,Р0- постоянная диагональная матрица , элементы которой попарно различные мнимые числа несоизмеримые с базисами частот Ф (рт) , Н (рт) .Пространства Ф(рт) ,Н (рт) определены выше.

При доказательстве приводимости использовалась идея Еругина Н.П. о связи приводимости с наличием ограниченных решений соответствующих моделей Риккати [35].

В силу вышеуказанного , были получены матричные модели Риккати (2.26), ( 3.24), ( 4.20),(4.51) с почти периодическими и квазипериодическими коэффициентами.

В известной автору литературе, только в [1] рассматривалось матричная модель Риккати с квазипериодическими коэффициентами , при этом наличие квазипериодического решения уравнения Риккати удалось доказать методом соответственно - мажорантных рядов. Особенность этого метода заключается в том , что только один раз применяется операция интегрирования квазипериодических функций. Естественно трудности, возникающие при этом в связи с появлением малых знаменателей - «кажущиеся».

Применять метод соответственно- мажорантных рядов к полученным матричным моделям Риккати (2.26), (3.24), (4.20),(4.51) оказалось невозможным, так как не удается доказать сходимость соответствующих рядов.Для преодоления возникших , при этом ,трудностей используется обобщения метода Канторовича-Блинова [11] , которые рассмотрены в главах 2 и 3. Результаты этих обобщений отражены в работах [2*-5*]. Применяя, предложенный автором диссертации , метод приближенного интегрирования мат-рично-векторной модели Риккати , удается доказать существование почти-периодических решений изучаемых моделей. Полученные результаты позволяют доказать приводимость по Ляпунову линейных моделей (1 ) и (2 ).При этом, доказывая приводимость систем с бесконечным спектром частот, впервые ,удается избежать наличия дополнительных условий на малые знаменатели, которые накладывались в работах [11,82,93] и решить полностью проблемы , сформулированные в [11].

Таким образом , предложенные автором диссертации , подходы к решению задачи приводимости , позволяют справиться с возникающими трудностями, преодоление которых , пока недоступно другим известным мето-дам.Автор диссертации надеется ,что предложенные методы ,можно использовать и при решении других задач с малыми знаменателями.

Приведем формулировки некоторых задач, нерешённых до настоящего времени, и решение которых представляло бы значительный научный интерес.

Проблема № 1. В главе 1 рассматривалась приводимость модели

Х = ЛР(д(0)Х, где Р (я (О) е Ф {р] , Л - малый параметр. Если бы удалось доказать приводимость модели (1), в которой отсутствует малый параметр.

До сих пор нет ни одного положительного результата по приводимости системы общего вида ( 1 ) ( матрица Р (д (0)~ не треугольная ) без малого параметра.

Проблема № 2. В главе 3 доказана приводимость модели типа 6

X = (Р0 + ЛР{д{1)))Х при достаточно малых Л, возможно исключая конечное число лучей. Здесь Р о имеет попарно различные характеристические числа х < > такие что КеС/, - х г) = 0 , 1т(хх-%2) = Р ч . Р и -несоизмеримо с базисом частот

Но в случае кратных характеристических чисел, вопрос о приводимости модели (2 ) остаётся открытым, даже при наличии малого параметра. Проблема № 3. Распространить результат главы 4 на случай произвольной матрицы.

Проблема № 4. Обобщить на почти периодический случай результаты работы [3].

Проблема № 5. Имеются исследования о почти периодических решениях моделей с частными производными [48]. Но в этих исследованиях не возникает проблема « малых знаменателей ». Было бы интересно получить результат о существовании почти периодических решений динамических систем, описываемых, модельными дифференциальныим уравнениями с частными производными, в которых бы преодолевались трудности, вызванные появлением « малых знаменателей ».

Проблема № 6. Численное исследование моделей с малыми знаменателями вызывают серьезные затруднения . В этом направлении имеются единичные и разрозненные результаты [31,90,126].Было бы очень интересно и в такой же мере полезно провести компьютерное исследование моделей типов 1,4,9,13.

255

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пронькин, Валентин Семенович, 2006 год

1. Адрианова Л. Я. Приводимость системы линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Вестник ЛГУ , сер. мат. - мех., 1962, Т. 17, № 7. С. 14- 24.

2. Аносов Д.В. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений быстроколеблящимися решениями. Изв. АН СССР, сер. ма-тем.,1960.Т.24, №5. С. 721-742.

3. Арнольд В. И. 1) Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике// УМН, 1963,Т. 18, вып. 6. С. 91-192.2) Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : « Наука » , 1978.

4. Атанс М., ФалбП. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

5. Афанасьев В.Н.,Колмановский В.Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. Школа, 1998.

6. Барабанов А. Т. Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования. ДАН СССР, 1988, Т.ЗО, №5, С.1061-1065.

7. Беллман Р. Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.

8. Березин Ю. А, Моделирование нелинейных волновых процессов. Изд-во Наука. Сибирское отделение. Новосибирск. 1982.

9. Бибиков Ю. Н. О существовании квазипериодических движений квазилинейных систем. ПММ //1995, Т. 59, вып. 1. С. 21- 29.

10. Биркгоф Д. Динамические системы. М.-Л., ГТТИ, 1941.

11. Боголюбов Я. Я. О квазипериодических решениях в задачах нелинейной механики // Труды первой летней математической школы. Киев : «Наукова думка», 1964, т. 1.С. И-101.

12. Боголюбов Я. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М : Наука, 1974.

13. Боголюбов Я. Я, Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: « Наукова думка », 1969. С. 113-165.

14. Блистанова Л.Д. Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием // Дисс. докт. физ. мат. наук : М.: 2005.

15. Боль П. Г. Избранные труды. Изд-во Латв. АН, Рига, 1961.

16. Брайсон, Хо Ю-Ши . Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

17. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР, 1957.

18. БрурХ. В., Дюмортье Ф., ван Стрин С. , Такенс Ф. Структуры в динамике. Москва-Ижевск. ИКИ, 2002.

19. Брюно А. ДА) Аналитическая форма дифференциальных уравнений. Труды ММО, 1971, т. 25. С. 119- 262. 2) Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

20. Бусленко Я. Я. Моделирование сложных систем. М.; Наука. 1978.

21. Былое Б. Ф. О структуре решений системы линейных дифференциальных уравнений с почти- периодическими коэффициентами// Мат. сборник, 1965, т. 66, №2. С. 215- 229.

22. Валеев КГ. Финин Г. С.Построение функций Ляпунова. Киев: Науковадумка, 1981. Численное решение матричного уравнения Риккати//Доклады АН УССР. Сер А, 1978,№8. С. 730-733.

23. Волков С В. Методы и проблемно-ориентированные программы моделирования динамических систем по фазовым портретам// Дисс. докт. физ.-мат. наук.- Тверь: Тверской гос. ун-т, 2004.

24. Волкова В. И., Денисов A.A. Основы теории систем и системного анализа. СПб: Изд-во СПб ГТУ, 1977.

25. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем; теория, методы и приложения. М.: Научный мир , 2001.

26. Гельфанд КМ. и Локоцуевский О.В. Метод прогонки для решения разностных уравнений // ГодуновС.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1962.

27. Голечков Ю.И. Приближенно аналитические методы исследования математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в конечномерном и бесконечномерном пространствах.М.: РУДН, 2006.

28. Гребеников Е.А. 1) Введение в теорию резонансных систем. М.: Изд-во МГУ, 1987. 2) Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986.

29. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. 1)Новые качественные методы в небесной механике. М. : Наука, 1971. 2) Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М. : Наука, 1978.

30. Гребеников Е. А., Митропольский Ю. А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем. М. : Наука, 1992.

31. Гукенхеймер Д., Холмс Ф. Нелинейные колебания ,динамические системы и бифуркации векторных полей .Москва- Ижевск. ИКИ, 2002.

32. Де ла Яве Р. Введение в KAM — теорию. Москва—Ижевск: ИКИ, 2003.

33. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

34. Джакалья Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979.

35. Джонсон Б.Л., Вэндлинг Д. Е. Передаточные функции и входные импе-дансы систем трубопроводов, находящихся под давлением// Теор. Основы инж. расчетов. 1967.Т.2.С.231-236.

36. Динабург Е. И., Синай Я. Г. Об одномерном уравнении Шрёденгера с квазипериодическим потенциалом// Функциональный анализ и его приложения, 1975, т. 9, №4. С. 8- 24.

37. АО. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Корвега- де Фриза// УМН, 1976, XXXI, вып.1. С. 55- 136.

38. Егоров А.И. Уравнения Риккати. М.: Физматлит, 2001.

39. Еругин Н. П. 1)Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск. Издательство АН БССР, 1963. 2) Приводимые системы. Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 13, 1946.

40. Захаров В. Е., Манаков С.В., Новиков СЛ., Питаевский Л.П. Теория со-литонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

41. Зигель К. Л., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. Москва- Ижевск. РХД, 2001.

42. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

43. Зубов H. В. Математические методы и модели исследования динамических систем. Дисс .докт. физ. мат. наук.Тверь: Тверской гос. ун- т. 1999.

44. Иосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркации. М.: Мир, 1983.

45. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математи-ка//УМН. 1948.Т.З. №6. С. 89-185.

46. Канторович Л. В., АкиловГ. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1973

47. Катулев А. Н., Северцев H.A. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

48. Квакернаак X. , Сиван Р. Линейные оптимальные системы управле-ния.М.: Мир, 1977.

49. Козлов В. В Л) Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск : изд- во Удмурдского ГУ, 1995. 2)Методы качественного анализа в динамике твёрдого тела. М;: издательство МГУ, 1980.

50. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.

51. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти -периодические колебания. М. : Наука, 1970.

52. Красносельский М. А. и др. Приближенное решение операторных уравнений . М.: Наука, 1969.

53. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принцип построения моделей. М.: Фазис, 2000.

54. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев. Изд- во АН УССР, 1937.

55. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.М.: ГИТТЛ,1957.

56. Левитан Б. М. Почти- периодические функции. М.: ГТТИ, 1953.

57. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти- периодические функции и дифференциальные уравнения. М. : изд- во МГУ, 1978.

58. Лузин H.H. О методе приближенного интегрирования академика Чаплы-ги- на // Собрание сочинений. Т. 3. М.: Гостехиздат, 1959.

59. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М. JI.: ГТТИ, 1950.

60. Матынюк А. А., КатоД., Шестаков А. А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.

61. МарчукГ. И. Методы вычислительной математики.-М: Наука, 1977.

62. Матросов В.М. Метод векторных функций динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

63. Меренков Ю. Я.Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем// Дисс. докт. физ. мат. наук. -Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003.

64. Месаривич М., Такара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978.

65. Миллионщиков В. М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти- периодическими коэффициентами// Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, № 12. С. 2127- 2137.

66. Мозер Ю 1)0 разложении условно периодических движений в сходящиеся числовые ряды // УМН, 1969, т. 24, № 2 . С. 165- 211. 2) KAM теория и проблемы устойчивости. Москва-Ижевск. РХД, 2001.

67. Мороз А.И. Курс теории систем. М.: Высшая школа, 1987.

68. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: УРСС,2004.

69. Нелинейные проблемы теории поверхностных волн. Под редакцией Овсянникова Л.В. и Монахова В.Н. Новосибирск. Изд.-во Наука, Сибирское отделение, 1985.

70. Немыцкий В. В., СтепановВ. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.

71. Николенко Н. В. Метод нормальных форм Пуанкаре в задачах интегрируе мости уравнений эволюционного типа // УМН, 1986, т. 41, вып. 5. С. 109- 152.

72. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

73. Новиков С. П. Периодическая задача для уравнений Кортвега- де Фриза 1// Функциональный анализ и его приложения, 1974, т.8, вып. 3. С. 54- 66.

74. Парасюк И. О. О некоторых классах приводимых систем с почти периодическими коэффициентами // Укр. мат. журнал, 1977, т. 29, № 6. С. 833- 868.

75. Пронькин В.С. Применение метода Ньютона к одной задаче с существенно малыми знаменателями. Дисс.канд. физ.- мат. наук. Л.: ЛГУ , 1979.

76. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л.: ГИТТЛ, 1947.2) Новые методы небесной механики. Избранные труды. М.: Наука, 1971,1972.

77. Пустыльников Л.Д. Бесконечномерные нелинейные ОДУ и теория КАМ// УМН, 1997, № 3.

78. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими и электромеханическими системами// Сб. трудов . Институт проблем управления, М.: 1987. С 4-15.

79. Румянцев В.В. Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1985.

80. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997.

81. Соболь И. М, Граничное решение уравнения Риккати и его применение к исследованию решения линейных дифференциальных уравнений// Ученые записки МГУ. Т.5, вып. 155, 1952.

82. Самошенко A.M. ,Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев Вища школа, 1976.

83. Самошенко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука, 1990.

84. Симо К. Современные проблемы Хаоса и нелинейности. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

85. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953.

86. Тарасевич Ю. Ю. Математические модели и компюторное моделирование. М.: УРСС, 2003.

87. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.

88. Флеминг X. РашелД. Оптимальное.управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

89. ХайрерЭ., Нёрсетт С., Ваннер /".Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир,1990.

90. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985

91. Харасахал В. X. Почти -периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Алма-Ата. Изд-во АН Каз. ССР, 1975.

92. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л. : ГТТИ, 1950.

93. ЧеломейВ. Н. Избранные труды. М. : Машиностроение, 1989.

94. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физ-матлит, 2003.

95. Шильников Л.П., Шшьников A.JI., ТураевД.В., ЧуаЛ. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва- Ижевск. ИКИ, 2004.

96. Bittanti S., Laub A.J.,Willems J.С. The Riccati Equation. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokio, 1991.

97. Bucy R.S., Joseph P.D., Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance, Interscience, New York, 1968.

98. Blackburn T.R., Solution of the algebraic Riccati equation via Newton-Raphson iteration, Preprints, 1968 Joint Automatic Control Conference, pp. 940945, University of Michigan, Ann Arbor, Mich., June 26-28, 1968.

99. Chierchia L. and Falcolini C. A note on quasi-periodic solutions of some elliptic systems. Z. Angew. Math. Phys., 47(2): 210-220, 1996.

100. Craig W. and Wayne C.E. Newton's method and periodic of nonlinear wave equations. Comm. Pure Appl. Math., 46(11): 1409-1498,1993.

101. W. Craig and Wayne C.E. Periodic solutions of nonlinear Schrodinger equations and the Nash-Moser method. In. Hamiltonian Mechanics (Torun, 1993), pages 103-122. Plenum, New York, 1994.

102. Eliasson L.H. Reducibility and point spectrum for linear quasi-periodic skew-products. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians,Vol. II pages 779-787 (electronic),Berlin, 1998.

103. Eliasson L.H. Perturbations of stable invariant tori for Hamiltonian sys-tems.Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4), 15(1): 115-147 (1989), 1988.

104. Elisson. L.H. Discrete one-dimensional quasi-periodic Schrodinger operators with pure point spectrum. Acta Math., 179(2): 153-196,1997.

105. Gallavotti G. Quasi-integrable mechanical systems. In Phenomenes critiques, systemes aleatoires de jauge, Part I, II (les Houches, 1984), pages 539624. North-Holland, Amsterdam, 1986.

106. Haydn N. T.A. On invariant curves under renormalization. Nonlinearity, 3(3): 887-912, 1990.

107. Jorba A. and Simo C. On the reducibility of linear differential equationswith quasiperiodic coefficients. J. Differential Equations, 98(1): 111-124, 1992.

108. Jorba A. and Villanueva J. On the persistence of lower-dimensional invariant tori under quasi-periodic perturbations. J. Nonlinear Sei., 7(5): 427-473, 1997.

109. Kaiman R.E., Toward a theory of difficulty of computation in optimal control, Proc. Fourth IBM Scientific Computing Symposium, 1966, pp/ 25-43.

110. Kaiman R.E., Вису R.S., New results in linear and prediction theory, J. Basic Eng., Trans. ASME, Ser. D, 83, 1961) pp.95-108

111. McClamroch N.H., Duality and bounds for the matrix Riccati equation, J. Math. Anal. Appl., 25, pp. 622-627 (1969).

112. Man F.T., Smith H. W., Design of linear regulators optimal for time-multiplied performance indices, IEEE Trans. Autom. Control, 14, 5, pp. 527-529 (1969).

113. Niederman L. Nonlinear stability around an elliptic equilibrium point in a Hamiltonian system. Nonlinearity, 11(6): 1465-1479, 1998.

114. Reid W.T. Riccati differential equations.- Academpress: New York London, 1972.

115. Russmann H. Kleine Nenner. II. Bemerkungen zur Newtonschen Methode. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. II, 1-10. 1972.

116. Simo C. Effective computations in celestial mechanics and astrodynamics. In Modern Methods of Analytical Mechanics and Their Applications (Udine, 1997), pages 55-102. Springer, Vienna, 1998.

117. Wayne С. E. Periodic and quasi- periodic solutions of nonlinear wave equations via KAM theory// Comm. Math. Phys. V. 127. P. 479- 528. 1990.

118. Wonham W.M., Cashman W.F., A computational approach to optimal control of stochastic stationary systems, Preprints, Ninth Joint Automatic Control Conference, pp. 13-33, University of Michigan, Ann Arbor, Mich., June 26-28, 1968.