Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Кошька Мариан

• Кошька Мариан
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кошька Мариан

Введение (общая характеристика работы).

§ 1. Принцип максимума Пд.

§ 2. Методы интегрирования жестких систем.

§ 3. Методы оценки решений в задачах линейного программирования

§ 4. Задача оптимальной политики банка.

§ 5. Задачи оптимального управления основными металлопотоками комплекса.

§ 6. Оптимальное движение самолетов в горизонтальной плоскости

Глава 1. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ОБЩЕГО ВИДА.

Введение.

§1. Постановка основной задачи.

§ 2. Вспомогательная задача. Локальный принцип максимума в ней

§ 3. Лемма об отсутствии сингулярностей.

§ 4. Семейство присоединенных задач.

§ 5. Конечнозначный принцип максимума.

§6. Глобальный принцип максимума.

Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ В ЖЕСТКИХ СИСТЕМАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

§ 2. Устойчивость решения задачи Коши.

§3. Разностные схемы.

§ 4. Жесткие системы.

§ 5. Метод введения управляющих параметров в скалярном уравнении

§ 6. Введение управляющих параметров в системах уравнений

§ 7. Выбор оптимальных весов в методах Рунге-Кутта.

§ 8. Сингулярно-возмущенные уравнения

§ 9. Методы вспомогательного уравнения.

110. Задачи химической кинетики.

11. Модельные примеры.

Глава 3. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ В НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО И КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Введение.

§ 1. Различные формы задач линейного программирования.

§ 2. Двойственность в задачах ЛП.

§3. Устойчивость задач ЛП.

§4. Регуляризация неустойчивых задач.

§ 5. Обобщенная задача ЛП.

§6. Метод оценки решения задачи ЛП.

§ 7. Вычисление нормального решения.

§8. Непрерывный аналог метода сопряженных градиентов.

§9. Задача квадратичного программирования.

Глава 4. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ

ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БАНКА.

§ 1. Существующие методы моделирования банковской деятельности

§2. Основные понятия и определения.

§3. Банковские операции и структура финансового рынка.

§ 4. Модель функционирования банка.

§ 5. Методы поиска допустимых решений в задачах оптимального управления.

5.1. Модель типичного банка.

5.2. Задачи оптимального управления.

5.3. Задачи Понтрягина.

5.3.1. Продолжение решений по параметру в задачах Ац, = 173.

5.3.2. Продолжение решений в задачах с фиксированным правым концом.

5.3.3. Существование особых режимов.

5.4. Метод изоклин в задачах управления.124А

5.5. Фазовое ограничение.

5.5.1. Кусочно-постоянная аппроксимация.

5.5.2. Кусочно-линейная аппроксимация.

5.6. Смешанное ограничение.

5.7. Случай двух ограничений.

Глава 5. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ основными МЕТАЛЛОПОТОКАМИ КОМПЛЕКСА

Введение.

§ 1. Математическое описание модели.

§2. Задача АЦ.

§ 3. Ограничение по агрегатам.

§ 4. Ограничение по емкости склада.

§ 5. Существование нерегулярных траекторий в случае совместных ограничений по емкости склада и по агрегатам.

Глава 6. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

Введение.

§ 1. Уравнения движения. Постановка задачи.

§ 2. Принцип максимума (регулярный случай).

§ 3. Регуляризация множителя Лагранжа.

§ 4. Нерегулярный принцип максимума.

§ 5. Задача о минимуме максимальной перегрузки.

§ 6. Вырожденный принцип максимума.

§ 7. Продолжение решений по параметру.

§ 8. Метод раскрытия неопределенности.

Глава 7. ОПТИМАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТОВ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ.

§ 1. Оптимальный вираж самолета в горизонтальной плоскости

§ 2. Принцип максимума.

§ 3. Задача Дд.

§ 4. Определение геометрии оптимальной траектории.

§ 5. Нерегулярный принцип максимума.

§ 6. Особые режимы.

§ 7. Задача Л72.

§ 8. Задача Л73.

§9. Задача Л74.

10. Вираж с постоянной скоростью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями»

Актуальность темы. Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменньгх; метод штрафных функций; принцип максимума. В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения ряда принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств. В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; решение в каждой расчетной точке ? задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения типа неравенств. Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или другими словами множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает, появ.ление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Как известно, принцип максимума (ПМ) для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован Л.С. Понтрягиным и доказан В.Г. Болтянским уже более 40 лет назад. С тех пор появилось огромное количество работ, посвященное ПМ в различных задачах оптимального управления. Наиболее глубокие и серьезные исследования были проведены в работах А.А Милютина и А.Я. Дубовицкого. В этих работах теория ПМ была продвинута на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу, проблема получения необходимых условий первого порядка для указанных задач в этих работах полностью решена.

Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) привел к вьщелению так называемых жестких уравнений, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным слоем. Вьщеление жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производная становится существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы, однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов. Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хай-рэр Э., Федоренко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системы ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. и др.). [1]-[5

Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории очень часто используют дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (ПН) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП). Задачам ЛП посвящено огромное количество исследований [6]-[10] Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Хачияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новый алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан A.C. Немировским, Н.З. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г.Хачиян доказал полиномиальную сложность ЛП. Однако этот метод оказался неконкурентоспособным с симплекс-методом. В 1984 году Н.К. Кармаркар предложи л полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкзфентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Маккормика (метод внутренней точки). Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи НП. Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Сле-цует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛИ следует из работ Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадана как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискретизации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (A.B. Бакушинский, А.В.Гончарский, Ф.П. Васильев) и др.). В работах Мангаса-рьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП. Поиску нормальных решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко Ю.Г. А.Е. Умнов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы. (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения уАказанных задач связаны с их плохой обусловленностью. [б]-[ 10

Отметим, что при решении ряда задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается, т.е. становится тривиальным. Последнее означает, что для исследования задачи необходимо применять высшие порядки. Многие авторы рассматривали этот вопрос в плане расширения границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах (Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В. А., Третьяков А.А., Измайлов А.Р., Арутюнов A.B. и др.). Их результаты в основном связаны с теоремами существования принципа максимума для вырожденного случая. Следует указать работы Дикусара В.В., который применил мето-цы регуляризации структуры ограничений, что позволило распространить принцип максимума HQ на невырожденные задачи [11, 12 .

Целью работы являются: разработка и исследование эффективных мето-цов численного интегрирования ОДУ для широкого класса задач оптимального управления; получение оценок решения некорректных задач ЛП; разра-Зотка методов оценки геометрии оптимальных траекторий и исследование и разработка методов для распространения принципа максимума HQ на вырожденные задачи оптимального управления.

Методы исследования. Настоящая работа опирается на: расшифровку схемы Дубовицкого-Милютина до уровня решения конкретных задач; современные методы вычислительной математики; методы оптимизации.

Научная новизна работы связана с расширением границ применимо-[Аш явных схем для численного интегрирования жестких систем ОДУ. Для этой цели привлекаются вспомогательные уравнения, которые интегрируются аналитически. Важное место в работе отводится получению оценок в некорректных задачах ЛП, что связано с предварительной оценкой геометрии оптимальной траектории. Предложены методы регуляризации струк-гуры ограничений в вырожденном принципе максимума. Во всех случаях выполнялось исследование и тестирование предложенньгх алгоритмов на базе модельных примеров и практических задач.

Практическая ценность результатов работы определяется тем, что пред-ноженные алгоритмы являются достаточно универсальными и могут применяться при решении некорректных задач. Кроме того самостоятельную цен-яость представляют следующие четыре задачи: задача управления основны-металлопотоками комплекса; оптимальный маневр самолета в горизон-гальной плоскости; спуск аппарата в атмосфере (плоский случай); задача эптимальной кредитно-депозитной политики банка.

Апробация работ. Результаты диссертации докладывались и обсужда-гЕись в математическом институте имени В. А. Стеклова РАН, ВЦ РАН, институте математического моделирования РАН, институте прикладной мате-\iaTHKH имени М.В. Келдыша РАН, ЦАРИ имени проф. Н.Е. Жуковского, МАТИ, МАИ, МФТИ, ИСА РАН, ИПУ РАН, а также на международной юнференции по моделированию и управлению, Польша, Закопане, 2001 год.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах штора [1]-[17], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержитстраниц текста, включая рисунки. Текст разделен на введение, 7 глав, заключение, при-южение и списка литературы изнаименований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кошька Мариан, 2001 год

1. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация, М.: УРСС, 1999.

2. Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем, М.: Наука, 1979.

3. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика, М.: Физматлит, 2000.

4. Ваннер Г., Хайрэр Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи, М.: Мир, 1999.

5. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику, М.: МФТИ, 1994.

6. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование, М.: Факториал, 1998.

7. Евтушенко Ю.Г., Жадан В. Г. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские численные методы оптимизации, Сообщения по вычислительной математике, М.: ВЦ РАН, 1992.

8. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линейного программирования, Ж В М и МФ, 2000, т.40, №12, с. 1766-1786.

9. Хачиян Л.Г. Сложность задач линейного программирования, Новое в жизни, науке, технике. Серия математика, кибернетика, 10. М.: Знания, 1987.

10. Умное А.Е. Проблемы математического моделирования в условиях неполной информации, Автореферат докторской диссертации, ИДУ РАН, 1994.

11. Арутюнов A.B., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задачах с фазовыми ограничениями, // Известия АН СССР, тех. киб., 1984, №4, с. 60-68.

12. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Принцип максимума в регулярных задачах оптимального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на границе фазового ограничения, // AT, 1987, №12, с.25-33.

13. Дмит,рук A.B. К обоснованию метода скользящих режимов для задач оптимального управления со смешанными ограничениями, // Функц. Анализ и его приложения, 1976, т.Ю, т, с.29-44.

14. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Теория принципа максимума // Сб. Методы теории экстремальных задач в экономике, М.: Наука, 1981, с. 138-177.

15. Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления, Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 2001.

16. А. А Гончар, Рахманов Е.А. Равновесное распределение и степень рациональной аппроксимации аналитических функций, Мат. Сборник т. 134 (176), 1987, выпуск 3, C.305--347.

17. Ашманов CA. Линейное программирование, М.: Наука, 1981.

18. Калиткин H.H. Численные методы, М.: Наука, 1978.

19. Кузнецова СБ. Моделирование дискретно-непрерывных производственных объектов. Известия ВУЗов. Черная металлургия 7 (1980), с.51-62.

20. Шкадов Л.М., Буханова P.C., Илларионов В.Ф., Плохих В.П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере, М.: Машиностроение, 1972.

21. Понтрягин Л. С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961, 1969.

22. Болтлнский В.Г. Принцип максимума в теории оптимальных процессов // ДАН СССР, 1958, т. 119, №6, с. 1070-1073.

23. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

24. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах // Известия АН СССР, сер. мат., 1960, т. 24, №3, с. 315-356.

25. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные скользящие режимы // ДАН СССР 1962 т. 143 №6, с. 1243 4245.

26. Гамкрелидзе Р.В. Скользящие режимы в теории оптимального управления // Труды МИАН, 1985, т. 169.

27. Га.мкрелидзе Р.В., Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах // Известия АН СССР, сер мат., 1969, т. 33, №4, с.781-839.

28. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных процессов. I. И, Ш // AT, 1959, №, И, 12.

29. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ДАН СССР, 1963, т. 149, №4, с. 759-762, ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, №3, с. 395-453.

30. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенства. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, №4, с. 725-779.

31. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Трансляция уравнении Эйлера. // ЖВМ и МФ, 1969, т. 9, №6, с. 1263-1284.

32. Дубовицкий А.Я. Милютин А.А. Принцип максимума для задач оптимального управления со смешанными ограничениями типа равенства и неравенства в классе вариаций, малых по абсолютной величине // ДАН СССР, 1969, т. 189, №6, с. 1567-1571.

33. Егоров Ю.В., Милютин А.А. О достаточных условиях сильного экстремума в классе кривых с ограниченной производной // ДАН СССР. 1964, т. 159, №5, с. 971-974.

34. Halkin Н. Nonlinear nonconvex programming in an infinite dimensional space // Mathematical theory of control, New York, Acad. Press, 1967, p. 10-25.

35. Neustadt L. W. An abstract variational theory with application to a broad class of optimal problems. II Applications // SIAM J. on Control, 1967, v. 5, №1, p. 90-137.

36. Neustadt L. W., Makowsky K. Maximum principle for problems with mixed constraints // SIAM J. on Control and Optimization, 1974, v. 12, №2, p. 184-228.

37. Милютин A.A. Общие схемы получения необходимых условии экстремума и задачи оптимального управления // УМН, 1970, т. 25, №5, с. 110-116.

38. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

39. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления, I, II, III, IV // СМЖ, 1977, т. 18, №3, 1978, т. 19, №2, 1979, т. 20, №4. 1979, т. 20, №5.

40. Матвеев А. С. О необходимых условиях экстремума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями // Дифф. уравнения, 1987, т. 23, №4, с. 629-640.

41. Yosida K., Hewitt E. Finitely additive measures II Transactions of Amer. Math, Soc, 1952, V. 72, p. 4б-бб.

42. Дмитрук A.В. К обоснованию метода скользящих режимов для задач оптимального управления со смешанными ограничениями. II Функц. анализ и его приложения, 197б, т. 10, №3, с. 39-44.

43. Милютин A.A. Принцип максимума для регулярных систем II В кн.: Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990, глава 5 (с. 132-157).

44. Чуканов СВ. Принцип максимума для задач оптимального управления интеграль ными уравнениями II там же, глава б (с. 158-201).

45. Aрутюнов A.B., Тынянский Н. Т. О принципе максимума в задачах с фазовыми ограничениями II Известия АН СССР, тех. киб., 1984, №4, с. б0-б8.

46. Ledzewicz-Kowalewska U. The extremal principle for problems with mixed constraints II Acta Ul. Folia Math., 1987, v. 2, p. 37-б0.

47. Дику cap B.B. Методы теории управления при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений II Дифференциальные уравнения, Минск, 1994, т.ЗО, N 12, с.211 б 2121.

48. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.

49. Воропаева И.В., Соболев ВЛ. Декомпозиция многотемповых систем, Самара, РАЕН, 2000.

50. Aфанасьев A.n., Дикусар В.В., Милютин A.A., Чуканов СВ. Необходимое условие в оптимальном управлении, М.: Наука, 1990.

51. Aмосов A.A., Дубинский ЮЛ., Копченова И.В. Вычислительные методы для инженеров, М.; Высш. шк., 1994.

52. Декер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1988.

53. Гребеников E.A., Митропольский ЮЛ., Рябов ЮЛ. Введение в резонансную аналитическую динамику, М.: Янус-К, 1999.

54. Тихонов A.H., Aрсенин В.Я. Методы решения некорректных задач, М.: Наука, 198б.

55. Хайрер Э., Нерсет С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1990.

56. Kjell С. Control of Error and Convergence in ODE Solvers, Lund, 1992.

57. Сухарев AT., Тимохов A.B., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М., Наука, 198б.

58. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М., Наука, 1983.

59. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М., Наука, 1983.

60. Хачиян Л.Г. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании. ДАН СССР, 1979, 244, N.5, с. 1093-1096.

61. Юдин Д.В., Немировский А. С. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач. Экономика и мат. методы, ХП, N.2, 1976.

62. Шор Н.З. Метод отсечения с радтяжением пространства для решения задач выпуклого программирования. Кибернетика, 1977, N.1.

63. Karmarkar N.K. А new Polynomial Time Algorithm for Linear Programming, Combinator-ica 4. pp. 373-395, 1984.

64. Fiacco A. V. and McCormick. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques, John Wiley and Sons, New York, 1968.

65. Jansen В., Roos C, Terlaky Т., Vial J.-Ph. Interior Poin Methodology for Linear Programming: DuaUty, Sensivity Analysis and Computational Aspects. Report 93-28. Delft University of Technology. Delft 1993.

66. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские численные методы оптимизации (случай нелинейного программирования). Сообщения по вычислительной математике. М., ВЦ РАН, 1991.

67. Бакушинский A.Б., Гончарский A.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М., Наука, 1989.Харман Г. Современный факторный анализ. М., Статистика, 1972.

68. Напке М. Conjugate Gradient Type Methods for Ill-Posed Problems. Pitman Research Notes in Math. 327. Longman, Harlow, 1996.

69. Дикусар В.В. Обобщенная задача линейного программирования. Доклады РАН, том 348, N.6, 1996, с. 1-3.

70. Шикин Е.В. Линейные пространства и отображения. М., МГУ, 1987.

71. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач. Сборник научных трудов, Численный анализ; теория, приложения, программы. М., МГУ, 1999.

72. Baltensperger, Ernst Alternative Approaches to the Theory of the Banking Firni. Journal of Monetary Economics, January, 1980.

73. Bernanke B.S. On the Predictive Power of Interest Rates and Interest Rate Spreads. New England Economic Review, Nov/Dec, 1990.

74. Bernanke B.S., Blinder A.S. Credit, Money, and Aggregate Demand. American Economic Review, Papers and Proceedings, 1988.

75. Веденов Д.В., Гуриев СМ., Поспелов И.Г. О некоторых свойствах логарифмической функции полезности. М., журнал «Экономика и Математические методы», том 32, № 2, 1996.

76. Голиченко О. Г. О моделировании воздействия роста денежной массы на инфляцию и динамику уровня производства. М., журнал «Экономика и Математические методы», том 32, КЯ 3, 1996.

77. Гуриев СМ. Модель формирования сбережений и спроса на деньги: часть I и часть П.- М., журнал «Математическое моделирование», т. 6, № 7, стр. 25-54, 1994.

78. Гуриев СМ. Математическая модель стимулирования экономического роста посредством восстановления сбережений. М., журнал «Математическое моделирование», т. 8, №4, стр. 21-46, 1996.

79. Гуриев СМ., Поспелов И.Г. Модель общего равновесия экономики переходного периода.- М., журнал «Математическое моделирование», т. 6, № 2, стр. 3-21, 1994.

80. Dale Spencer, Haldane G. Andrew. A Simple Model of Money, Credit and Aggregate Demand. Bank of England, Working paper series # 7, April, 1993.

81. Edgeworth Francic V. The Mathematical Theory of Banking. -.Journal of the Poval Statistical Society, № 11 (March), 1988.

82. Егоров С. В нормальной деятельности банковской системы заинтересована вся экономика России. М., Финансовые известия, №37 (271), 1996.

83. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Модели и методы анализа финансовых инструментов кредитной политики банка и динамики его развития в условиях переходного периода, препринт # WP/97/0 1 9. М., ЦЭМИ РАН, 1997.

84. Екушов А. Денежные потоки в коммерческом банке. М., журнал «Банковские технологии», № 6, 1996.

85. Ивлев К., Чеботарев S. Моделирование кредитно-депозитных операций коммерческого банка. М., журнал «Банковские технологии», Ш 1, 1997.

86. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. М., Статистика, 1978.

87. Коган И.В. Моделирование процессов управления рыночными структурами в условиях переходного периода (на примере коммерческих банков). Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук. М., ЦЭМИ РАН, 1994.

88. Кокорев В., Ремизов А. Модернизация кредитной системы России в условиях кризиса ликвидности: можно ли удешевить деньги без роста инфляции. М., журнал «Вопросы экономики», № 8, 1996.

89. Котова Т.В., Молчанова СВ., Зарипов P.M. Комплексный экономический анализ сферы банковской деятельности. Астрахань, Астр. гос. техн. университет, 1997.

90. Кудинова Т.А. Оценка финансовых рисков. С.-Петербург, Вестник С.-П. Университета, серия 5, №е 2, 1996.

91. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука, 1972.

92. Бочкарев А.Ф., Андревский В.В., Белоконов В.М., Климов В.И., Туранин. Аэромеханика самолета. М.: Машиностроение, 1985.

93. Харман Г. Факторный анализ. М.: Статистика, 1972.