Качественные свойства решений анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Никитина Анна Александровна

• Никитина Анна Александровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Никитина Анна Александровна

3.2. Существование решения

3.2.1. Подготовительные сведения

3.2.2. Доказательство теоремы существования

3.2.3. Примеры

3.3. Оценки поведения решения при |х| ^ то

3.3.1. Экспоненциальная оценка

3.3.2. Степенная оценка

3.3.3. Примеры

3.4. Единственность и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения

3.4.1. Доказательство теоремы

3.4.2. Примеры

Заключение

Список условных обозначений и сокращений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные свойства решений анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Исследование, представленное в диссертационной работе, принадлежит одному из актуальных направлений в современной теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Это направление включает в себя изучение анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными (и в том числе степенными) нелинейностями в неограниченных областях. В качестве модельного примера можно рассмотреть уравнение

п

- (иХа ))Ха+(и) = / (х)

а=1

с непрерывно дифференцируемыми Ж-функциями Б0(х),Б1(х), ...,Бп(х). В частности, если Ба(г) = |г|Ра/ра, ра > 1, а = 0,1,..., п, то уравнение принимает вид

п

- £(К 1Ра~2иха)ха + |и|Р0-2М = /(х). а=1

В диссертации для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами

пп

ЕК^ и ^^х« - ао(хх u, Уи) = Е(/«(х))ха - /о(х) (0.1)

а=1 а=1

исследуется корректность задачи Дирихле и изучается поведение ее решений при |х| ^ то в неограниченных областях О С Мп, п > 2. Ограничения на рост каратеодориевых функций аа(х, в0, в) по 8 = (й0, в) € Мп+1, а = 0,..., п, формулируются в терминах специального класса выпуклых функций.

Краевые задачи в ограниченных областях для квазилинейных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями изучались в работах мно-

гих математиков (см., например, [14, 27, 45, 50, 61]). Начиная с 70-х гг. прошлого столетия (см. [15, 19, 25, 28, 29, 30]) и по настоящее время ведутся интенсивные исследования качественных свойств решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями как второго, так и высокого порядков. Решения краевых задач для уравнений вида (0.1) с функциями а0(х, б), а^х, б), ..., ап(х, в), имеющими не обязательно полиноминальный рост по переменным й0, ..., вп, рассматривались, в основном, в ограниченных областях [1, 4]. Ограничения на функции аа(х, б), а = 0,1,..., п, в этих работах выражаются классическими Ж-функциями.

В работе [16] исследовалась задача Дирихле в ограниченной области ^ для нелинейного эллиптического включения с вектор-функцией а(х, в) = (а1(х, в), ..., ап(х, в)), удовлетворяющей нестандартным условиям роста, описанных в терминах Ж-функций, зависящих от х. Доказано существование ренорма-лизованного решения, а при условии строгой монотонности установлена его единственность. Приведены достаточные условия, которые гарантируют, что ренормализованное решение является слабым решением рассматриваемой задачи.

Специфика краевых задач в неограниченных областях состоит в том, что если данные задачи суммируемы, то обобщенное решение будет принадлежать соответствующему пространству суммируемых функций, что естественно накладывает существенное ограничение на поведение решения на бесконечности. Такое понимание решения будем называть решением в "узком смысле".

При исследовании краевых задач вариационного типа для квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных в дивергентной форме со степенными нелинейностями в работах [9, 10, 49] использованы идей теории монотонных операторов из банахова пространства V в его сопряженное пространство V', а также их обобщения — концепции псевдомонотонных операторов [12, 11]. В диссертационной работе на каратеодори-

евы функции, входящие в уравнение (0.1), наряду с условием монотонности наложены требования, которые позволяют установить существование единственного обобщённого решения задачи Дирихле в произвольной неограниченной области Q С Rn.

После нового доказательства теоремы Э. де Джорджи [21] при помощи итерационной техники, данного Ю. Мозером в работе [54], вопросы ограниченности и непрерывности по Гёльдеру обобщённых решений различных классов линейных и квазилинейных эллиптических уравнений с изотропными степенными нелинейностями исследовались в работах С.Н. Кружкова [43], Дж. Серрина [60], Е.М. Ландиса [46] и других авторов.

И.М. Колодий [37] установил ограниченность решений некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями в ограниченных областях. При этом требование ограниченности области является существенным условием в его доказательстве. Для неограниченных областей этот результат был получен Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи в работе [70]. Попытка А.Г. Королёва [40] дальнейшего распространения техники Мозера на эллиптические дифференциальные уравнения с анизотропными нестепеными нелинейностями содержит досадную ошибку.

Развивая метод априорных оценок для срезок [45, гл. II, § 5, лемма 5.1] В.С. Климов в работе [29] для некоторого вида изотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями доказал глобальную ограниченность решений в ограниченных областях. А.Г. Королёв [39] получил интегральный вариант теоремы вложения для функций из пространства Соболева-Орлича, на его основе он доказал ограниченность решений для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейно-стями в ограниченных областях. В диссертации найдены условия на структуру уравнения (0.1), достаточные для ограниченности решений в неограниченных областях.

Изучению скорости убывания на бесконечности решений краевых задач

с финитными данными в неограниченных областях для линейных эллиптических уравнений посвящены работы Л. М. Кожевниковой [33], Ф.Х. Мук-минова, В.Ф. Гилимшиной [17] и других авторов. В работе [35] Л.М. Кожевниковой, Р.Х. Каримовым для решений задачи Дирихле с финитными данными для квазилинейных эллиптических уравнений со степенными нели-нейностями второго порядка установлены оценки сверху и доказана их точность. Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи [66] этот результат обобщён на некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений со степенными нели-нейностями. Для уравнений с нестепенными нелинейностями исследование скорости убывания решений на бесконечности в неограниченных областях впервые проведено Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи [78].

Краевая задача в неограниченных областях с несуммируемыми данными является значительно болеее сложной, чем задача с суммируемыми данными, поскольку ее решение, как правило, принадлежит соответствующему пространству локально сумммируемых функций. Такое решение будем называть решением "в широком смысле". При этом сразу возникает вопрос о том, как понимать для таких функций граничное условия Дирихле u]^ = u0 с u0 Е L2(dQ). Впервые ответ на этот вопрос был дан в работе В.П. Михайлова [53], в ней установлены условия корректности задачи Дирихле из локального пространства W21loc(^) для линейного эллиптического уравнения в ограниченной области Q c правой частью f Е L2,ioc(Q). Этому направлению исследований посвящен цикл работ В.П. Михайлова, А.К.Гущина (см., например [20] и имеющиеся там ссылки). В диссертационной работе рассматриваются локальные пространства Орлича и Соболева-Орлича с функциями суммируемыми вплоть до границы области Q, и проблем с трактовкой однородного граничного условия не возникает.

Для линейных эллиптических уравнений в неограниченных областях естественно наложить условие на рост решения на бесконечности при выполнении которого решение будет единственным. А для существования решения из

выделенного класса единственности обычно требуются ограничения на рост входных данных.

О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян в работах [56, 57, 58] получили априорные оценки обобщенного решения краевой задачи с граничными условиями первого, второго и третьего типов для линейного эллиптического уравнения второго порядка, аналогичные оценкам, выражающим принцип Сен-Венана в теории упругости. На основе этих оценок установлены теоремы существования и широкие классы единственности решений в случае неограниченных областей.

Классы разрешимости задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка в области, геометрия которой описывается с помощью функции частоты, установлены О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяном [59]. В работе [47] Е.М. Ландиса для линейных эллиптических уравнений высокого порядка с правой частью экспоненциального роста на бесконечности установлены теоремы типа Фрагмена - Линделёфа, рассмотрены вопросы о классах единственности и существования решений задачи Дирихле в неограниченных областях, описываемых в терминах размера внутреннего диаметра.

Л.М. Кожевниковой выделены классы единственности решений задачи Дирихле для квазиэллиптических [32] и псевдодифференциальных эллиптических [34] уравнений в областях с некомпактными границами. Доказано существование решений, принадлежащих установленным классам единственности. Для уравнения Лапласа построен пример неединственности решения задачи Дирихле, показывающий, что найденный класс единственности нельзя существенно расширить.

В случае квазилинейных эллиптических уравнений ситуация значительно усложняется, поскольку существенный вклад в поведение решений на бесконечности вносят младшие члены уравнений. Некоторое представление о классах единственности можно получить, рассмотрев решение /1y|($p0-1)-1/pd0 =

(\ 1/p

p4 \x\ уравнения \y'\p-2y" = \y\p0-2y. Если p > p0, то это решение имеет

степенной рост и нарушает единственность нулевого решения. Если p < p0, то решение уходит в бесконечность на конечном интервале, и следует ожидать единственность без ограничений на рост решения. Если же p = p0, то y = ex является частным решением и класс единственности будет содержать экспоненциально растущие функции, как в случае линейного уравнения. Приведем теперь работы, результаты которых соответствуют изложенным соображениям.

А.Л. Гладковым в [18] рассматривалась задача Дирихле в неограниченной области с компактной границей для уравнения

n

- £ (КаТ-2Пха)Ха + ao(x)u = f (x), x Е Q, p > 2,

a=1

a0(x) Е LTO,ioc(Q), a0(x) > 0, f (x) Е L2,ioc(Q). В частности, в этой работе доказано, что для уравнения с функцией a0(x) такой, что c1(c2 + |x|2)e < a0(x) < c3(c4 + |x|2)7 для п.в. x Е Q и 0 < ß < y решение задачи Дирихле единственно в классе функций, удовлетворяющих для п.в. x Е Q при достаточно малой постоянной c0 неравенству

|u(x)| < С0(С5 + |x|2)(2e+p)/(2(p-2)).

Здесь и ниже c — положительные постоянные. В этом же классе функций доказано существование решения.

В работах [62, 88, 89, 90] А.Ф. Тедеевым, А.Е. Шишковым установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях с некомпактными границами. На основе этих оценок доказываются альтернативные теоремы типа Фрагмена-Линделефа о поведении решений на бесконечности. Кроме того, в работе [91] А.Е. Шишковым доказано существование решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в классе экспоненциально растущих функций для областей с некомпактными границами, относящихся

к классу "узких" в окрестности бесконечности, при экспоненциальном росте правой части.

В 1984 году Х. Брезис [13] на примере полулинейного уравнения

-Au + \u\po-2u = f (x), x e Rn, Po > 2,

показал, что имеются эллиптические уравнения, для которых существуют единственные решения краевых задач без предположений на их поведение и рост входных данных на бесконечности. А именно, Х. Брезис установил существование и единственность обобщенного решения u e Lpo-1,ioc(Rn) при f e Li ,loc (Rn).

М.М. Бокало [6] распространил этот результат на случай задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений и доказал непрерывную зависимость обобщенного решения от правой части уравнения.

Обобщение результатов Х. Брезиса на уравнения высокого порядка было проведено Ф. Бернисом [5]. В частности, он доказал существование единственного обобщенного решения полулинейного эллиптического уравнения 2m -порядка, заданного во всем пространстве

(—A)mu + \u\p0-2u = f(x), x e Rn,

где m e N, p0 > 2, если 1 < n < 2m; и p0 e ^2, nm+m , если n > 2m, c функцией f e Lpo/(po-i),loc(Rn).

В работе [22] О.А. Олейник и Ж.И. Диаз, пользуясь методом интеграла энергии и устанавливая априорные оценки решения, доказали существование и единственность решения краевой задачи с однородными граничными условиями первого и второго типа (в частности задач Дирихле и Неймана) для полулинейных уравнений с переменными коэффициентами

(аав(х)пХ/3)Ха + «о(х)|м|Ро-2м = /(х), х е П, ро > 2, (0.2)

аар(х) е Ьто,1ОС(^), а0(х) е Ьх,1оса0(х) > а0 > 0, без условий на бесконечности. Кроме того, в [22] авторы исследовали асимптотическое поведе-

ние решения уравнения (0.2) на бесконечности. При условии, что ](х) = 0, х Е и \ и(г0), и(г0) = {х Е и | |х| < го}, го > 0, для решения уравнения (0.2) получена оценка:

|и(х)| < Сб|х|-2/(р0-2), х Е и \ й(го). (0.3)

А при дополнительном требовании на геометрию неограниченной области и установлено неравенство:

|и(х)| < сте-С8|х|, х Е и \ П(го). (0.4)

Л. Боккардо, Т. Галуа и Ж. Вазкез в [8] доказали существование решения уравнения

п

- £ О^ГЧа)Ха + |и|Р0-2и = /(х), х Е Кп,

а=1

без условий на бесконечности при ](х) Е £1;1ос(Кп), р > 2 — 1/п, р0 > р. Кроме того, авторы показали, что условие р0 > р необходимо для существования решения, если на рост функции / на бесконечности не накладывается дополнительных ограничений.

В работе [48] Г.Г. Лаптевым изучались условия существования решений уравнений

п

— £(а«(х,и, Ум))ха + й0(х,м) = f (х), х Е Кп, п > 2. (0.5)

а=1

Функции аа (х, й0, в), а = 1,...,п, а0(х, й0), / (х) могут расти произвольно при |х| ^ то. Эти функции удовлетворяют обобщенным условиям теории монотонных операторов по аргументам й0 Е К, в Е Кп. Функции аа(х, й0, в), а = 1,... , п, по переменным й0 Е К, в Е Кп имеют стенной рост с показателями р — 1, р0(р — 1)/р, соответственно. При условии, что п < р < р0 доказана теорема существования решения и Е Жр11ос(Кп).

Исследование обобщений уравнения (0.5) на случай, когда показатели нелинейности различные для различных производных, проведено в работах [52],

[3]. В частности, М.Бендаман и К.Карлсен [3] доказали существование решения для нелинейного анизотропного эллиптического уравнения с младшими членами

п п

£ (аа(х)К|Ра-2иЖа)Ха - £>а(и))ха + МР0-2и = /(х), X е Кп,

а=1 а=1

-1

гдеро-1 > Ра > 1, Ра > п^1), Р* = п (^=1 , Р* < п, 0 < аа(х) < аа, функции да(й0), й0 е К, а = 1,...,п, имеют поведение типа |й0|9-1, д е (1,Р0 — 1), /(х) е Ь1;1ос(Кп). Установлено, что, если /(х) е Ь1(Кп) и р* > п, то и е Ьто,1ос(Кп).

В работах [7], [24] М.М. Бокало, Е.В. Доманская исследовали краевые задачи в неограниченных областях для класса эллиптических анизотропных уравнений с переменными показателями нелинейности, модельным примером которых является уравнение

п

£ (к|Ых)-2иха)ж + |и|Р0(х)-2и = /(х), х е П.

Х

а=1

Корректность постановки краевых задач доказана без ограничений на рост решений и данных задач на бесконечности.

Таким образом, имеется широкий круг работ, в которых установлены существование или единственность решений краевых задач для эллиптических уравнений в неограниченных областях без ограничений на рост решений и данных задач на бесконечности. Результаты по существованию и единственности решений "в широком смысле" уравнений вида (0.1) с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях автору диссертации не известны. В диссертационной работе удалось выделить некоторый класс эллиптических уравнений, имеющих не обязательно степенные нелинейности, и получить результаты близкие к процитированным выше.

Цели и задачи работы:

• изучение вопросов существования, единственности и непрерывной зависимости от данных решений задачи Дирихле в неограниченных областях

для анизотропных эллиптических уравнений со степенными и нестепенными нелинейностями;

• исследование поведения на бесконечности решений задачи Дирихле в неограниченных областях для анизотропных эллиптических уравнений.

Научная новизна работы. Результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы исследований представляют научный интерес и могут быть использованы в качественной теории краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений.

Методология и методы диссертационного исследования. В диссертационной работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, специального класса выпуклых функций и пространств Соболева-Орлича.

Оценка скорости убывания решений задачи Дирихле с финитными данными для анизотропных эллиптических уравнений со степенными нелиней-ностями получена модифицированным итеративным методом Ю. Мозера. Абстрактная теорема Ж.-Л. Лионса для монотонных операторов лежит в основе доказательства теоремы существования решений задачи Дирихле для анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями. Единственность решения задачи Дирихле доказана методом априорных оценок с помощью срезающей функции введенной Х. Брезисом. Для получения экспоненциальной оценки, характеризующей поведение решений на бесконечности эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями, установлен аналог неравенства Фридрихса на сферическом сегменте в терминах К-функций.

Положения выносимые на защиту.

1. Для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с нестепенными (и в том числе степен-

ными) нелинейностями установлены существование, единственность и ограниченность обобщенных решений задачи Дирихле с суммируемыми данными в неограниченных областях. В неограниченных областях, расположенных вдоль выделенной оси, для решений задачи Дирихле с финитными данными получены оценки скорости убывания на бесконечности.

2. Доказано существование обобщенного решения задачи Дирихле в локальных пространствах Соболева-Орлича с локально суммируемыми данными для анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями без дополнительных ограничений на рост данных на бесконечности в неограниченных областях. Установлена единственность без дополнительных ограничений на поведение решения на бесконечности и непрерывная зависимость решения рассматриваемой задачи от правой части уравнения. Построены примеры уравнений, демонстрирующие, что класс рассматриваемых уравнений шире, чем уравнения со степенными нелинейно-стями.

3. Для анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями получены оценки, характеризующие поведение решений задачи Дирихле на бесконечности в неограниченных областях. Оценка степенного характера установлена для решений анизотропных уравнений в произвольных неограниченных областях. А для неограниченных областей, имеющих ограниченный диаметр сечения со сферой, на основе аналога неравенства Фридрихса на сферическом сегменте получена экспоненциальная оценка решений изотропных уравнений.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты докладывались автором и обсуждались семинаре по дифференциальным уравнениям Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета (Стерлитамак, руководитель семинара - д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов), кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, руководитель семинара -

д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов). Результаты диссертации были представлены в ходе выступлений на следующих конференциях: "Математическая физика и её приложения" (Самара, 2012, 2014), "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2013), "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013), "Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ"(Уфа, 2015), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Белгород, 2013), "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2013, 2015), "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014" (Казань, 2014), "Спектральная теория и дифференциальные уравнения" (Москва, 2014), "Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам" (Симферополь, 2015), "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование" (Улан-Удэ, 2015), "Лобачевские чтения - 2015" (Казань, 2015).

Публикации и личный вклад автора. Материалы диссертации опубликованы в работах [66] - [87], из них 7 статей в российских изданиях перечня ВАК [66] - [86], в том числе статьи [70, 81] входят в международные библиографические и реферативные базы данных Web of Science, Scopus. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы [71, 85] выполнены самостоятельно, работы [66, 70, 78, 81, 86] опубликованы в соавторстве с научным руководителем, Л.М. Кожевниковой, где ей принадлежат постановка задач и общее руководство, а диссертанту — доказательство основных результатов.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Кожевниковой Ларисе Михайловне за постановку задачи и помощь в написании диссертации, а также внимание, уделенное при подготовке к сдаче экзаменов кандидатского минимума и многочисленным выступлениям.

Глава I.

Формулировка результатов

1.1. N-функции и пространства Орлича

В этом параграфе приведены основные сведения из теории N - функций и пространств Соболева-Орлича [41], а также их обобщения на произвольные неограниченные области.

1.1.1. Определение и свойства N-функций

Неотрицательная непрерывная выпуклая вниз функция M(z), z £ R, называется N -функцией, если она чётна и

lim MM = 0, lim MM =

z^ö z z^TO z

Отметим, что M(ez) < eM(z), z £ R, при 0 < £ < 1. Для N-функции M(z) имеет место интегральное представление

Г |z|

M (z) = ш(в)^в, ö

где т(в) — положительная при в > 0, не убывающая и непрерывна справа функция при в > 0 такая, что

m(0) = 0, lim т(в) = то.

Очевидно, справедливо неравенство

M(z) < |z|m(|z|), z £ R. (1.1)

N-функция

M(z) = sup(y|z|- M(y)), z G R,

y>0

называется дополнительной к N-функции M(z). Известны следующие неравенства:

|zy|< M(z) + M(y), z,y G R (1.2)

(неравенство Юнга) [41, гл. I, §2, неравенство (2.6)],

z < M-1(z)M-1(z) < 2z, z > 0 (1.3)

(верхний индекс -1 означает обратную функцию) [41, гл. I, §2, неравенство (2.10)]. Кроме того, имеет место равенство

|z|m(|z|) = M(m(|z|)) + M(z), z G R. (1.4)

Для N-функций P(z), M(z) записывают P(z) -< M(z), если существуют числа l > 0, z0 > 0 такие, что

P(z) < M(Iz), z > zo. (1.5)

N-функции P(z), M(z) называются сравнимыми, если имеет место одно из соотношений: P(z) -< M(z) или M(z) -< P(z). N-функции P(z) и M(z) называются эквивалентными, если P(z) -< M(z) и M(z) -< P(z).

N - функция M(z) растет существенно быстрее N - функции M(z) (P(z) ^^ M(z)), если для любого числа l > 0

lim = 0. (1.6)

M(Iz) v 7

N-функция M(z) удовлетворяет Д2-условию при больших значениях z, если существуют такие числа c > 0, z0 > 0, что M(2z) < cM(z) для любых z > z0. Д2-условие эквивалентно выполнению при z > z0 неравенства

M(lz) < c(l)M(z), (1.7)

где l — любое число больше единицы, c(l) > 0.

Ж-функция М(г) удовлетворяет Д2 - условию тогда и только тогда, когда существуют положительные числа с > 1, г0 > 0 такие, что при г > г0 справедливо неравенство

) < сМ(г), (1.8)

[41, гл. I, §4, теорема 4.1]. В каждом классе эквивалентных Ж-функций, подчиняющихся условию Д2, имеются Ж-функции удовлетворяющие неравенствам (1.7), (1.8) при всех г. В дальнейшем в работе предполагается, что Д2-условие для рассматриваемых Ж-функций выполняется при всех значениях г > 0 (т.е. г0 = 0).

Дополнительная N - функция М(г) удовлетворяет Д2 - условию для любого г е К тогда и только тогда, когда для любого / > 1 существуют положительное число с0(/) такое, что любых с > с0(/), г е К справедливо неравенство

с/М(г) < М(сг) (1.9)

[41, I, §4, теорема 4.2].

Для Ж-функции М(г), ввиду выпуклости и неравенства (1.7), существует с > 0 такое, что справедливо неравенство

М (у + г) < сМ (г) + сМ (у), г,у е К. (1.10)

1.1.2. Пространства Орлича

Пусть Q произвольная область пространства Кп. Классом Орлича (ф), соответствующем Ж-функции М(г), называется множество измеримых в ф функций V таких, что:

J М^(х))^х < то.

Я

Пространством Орлича (ф) называется линейная оболочка (ф). Будем рассматривать пространство Орлича (ф) с нормой Люксембурга

- <1

М|м,я = к > 0

я

Справедливо неравенство (см. [41, гл. II, §9, неравенство (9.21)])

^х < 1, (1.11)

3 чМкя/

я

в котором имеет место знак равенства, если Ж-функция М(г) удовлетворяет условию Д2.

Норму в пространствах р Е [1, то] будем обозначать || • ||Р;д.

Класс Орлича (ф) совпадает с пространством Орлича (ф) тогда и только тогда, когда функция М(г) удовлетворяет условию Д2 [41, гл. II, §8, теорема 8.2]. Если N-функция М(г) удовлетворяет условию Д2, то сходимость в среднем эквивалентна сходимости по норме пространства Ьм(ф) [41, гл. II, §9, теорема 9.4].

Для функции V Е (ф) справедлива оценка

1М|м,я < У М^х+1 (1.12)

я

[41, гл. II, §9, неравенство (9.12)]. Кроме того, если Ж-функция М(г) удовлетворяет Д2-условию, то для V Е Ьм(ф) выполнены неравенства

[ МИ^х = / М Г|М|мяц ^(ХМ ^х < (1.13)

.) .) \ У^М.я/

Я я

< с(|М|м,я)/М^^) ^х = с(|М|м, Я).

3 ч^Ум.я/

я

Для функций и Е (ф), V Е Ьм(ф) имеет место неравенство Гельдера [41, гл. II, §9, неравенства (9.24), (9.27)]:

/ и(х^(х)^х

я

< 2||и||м, я^Умя (Ы4)

Известно, что если N - функции P(z) -< M(z) и mes Q < то, то справедливо вложение LM(Q) С LP(Q) [41, гл. II, §13, теорема 13.1] и выполнено неравенство [41, гл. II, §13, теорема 13.3]

||v||p,q < Ai(mes Q)||v||m,q, v G Lm(Q). (1.15)

Очевидно, для любой N - функции M(z), если mes Q < то, то Lto(Q) С LM(Q) и справедливо неравенство [41, гл. II, §9, п. 1]

||v||m,q < A2(mes q)||v||TO,q, v G Lç»(Q). (1.16)

Для любой N - функции M (z), если mes Q < то, то LM (Q) С L1(Q) и выполнено неравенство

||v||i,Q < A3 (mes Q)||v||m,q, v G Lm (Q). (1.17)

Лемма 1.1. Если N-функция M (z) удовлетворяет Д2-условию, v(x), v'(x) G Lm (Q), i = 1, 2,..., v' (x) ^ v(x) в Lm (Q), то

J |M(v') - M(v)|dx ^ 0, i ^ то. (1.18)

Q

Доказательство. Ввиду справедливости Д2-условия, сходимость по норме равносильна сходимости в среднем, следовательно для любого £ > 0 существует номер io такой, что

УM (v' - v)dx <£, i > io. (1.19)

Q

Сходимость v '(x) ^ v(x) в Lm (Q) влечёт ограниченность множества |vî|m,q, i = 1, 2,.... В свою очередь, из неравенства (1.13) следует существование числа C1 > 0 такого, что

УM (v')dx < Ci, i = 1, 2,.... (1.20)

Q

Далее, пользуясь формулой Лагранжа, неравенствами (1.2), (1.7), для любого £ Е (0,1] и фиксированного 0 Е [0,1] выводим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никитина Анна Александровна, 2016 год

Список литературы

[1] Aharouch, L. Existence of renormalized solution of some elliptic problems in Orlicz spaces / L. Aharouch, J. Bennouna, A. Touzani // Rev. Mat. Complut.

- 2009. - V. 22. - № 1. - P. 91 - 110.

[2] Андриянова, Э.Р. Существование решения параболического уравнения с нестепенными нелинейностями / Э.Р. Андриянова, Ф.Х. Мукминов// Уфимский математический журнал. - 2014. - Т. 6. - № 4. - C. 32 - 49.

[3] Bendahmane, M. Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic equations in Rn with advection and lower order terms and locally integrable data / M. Bendahmane, K. Karlsen // Potential Analysis. - 2005. - V. 22. - № 3. -P. 207 - 227.

[4] Benkirane, A. Existence of entropy solutions for some elliptic problems involving derivatives of nonlinear terms in Orlicz spaces / A. Benkirane, J. Bennouna // Abstr. Appl. Anal. - 2002. - V. 7. - № 2. - P. 85 - 102.

[5] Bernis, F. Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infnity / F. Bernis // Arch. Rational Mech. Anal. - 1989. - V. 106. - № 3. -P. 217-241.

[6] Бокало, М.М. Коректшсть першо!" крайово! задачi для деяких квазшшш-них элштичних рiвнянь в необмежених областях без умов на несюнчено-ст / М.М. Бокало // Вюник Львiв. ун-ту. Серiя мех.-мат. - 1997. - № 47.

- С. 40 - 47.

[7] Bokalo, M. On well-posedness of boundary problems for elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces / M. Bokalo, O. Domanska // Mathematychni Studii. - 2007. - V. 28. - № 1. - P. 77 - 91.

[8] Boccardo, L. Nonlinear elliptic equations in Rn without growth restrictions on the data / L. Boccardo, T. Gallouet, J.L. Vazquez // Differential Equations. - 1993. - V. 105. - № 2. - P. 334 - 363.

[9] Browder, F. E. Nonlinear elliptic boundary value problems, I / F. E. Browder // Bull. Am. Math. Soc. - 1963. - V. 69. - P.862-874.

[10] Browder, F. E. Nonlinear elliptic boundary value problems, II / F. E. Browder // Trans. Am. Math. Soc. - 1965. - V. 117. - P. 530-550.

[11] Browder, F. E. Pseudo-monotone operators and nonlinear elliptic boundary value problems on unbounded domains / F. E. Browder // Proc. Nati. Acad. Sci. - 1977. - V. 74. - №. 7. P. 2659-2661.

[12] Brezis, H. Equations et inequations non lineaires dans les espaces vectoriels en dualite / H. Brezis // Ann. Inst. Fourier. - 1968. - V.18. P. - 115-175.

[13] Brezis, H. Semilinear equations in without condition at infnity / H. Brezis // Appl. Math. Optim. - 1984. - V. 12. - № 3. - P. 271 - 282.

[14] Вишик, М.И. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму / М.И. Вишик // Труды ММО. - 1963. - Т. 12. - С. 125 - 184.

[15] Вишик, М.И. О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с быстрорастущими коэффициентами в классах Орлича / М.И. Вишик // ДАН СССР. - 1963. - Т. 151. - № 1. - С. 758 - 761.

[16] Gwiazda, P. Renormalized solutions of nonlinear elliptic problems in generalized Orlicz spaces / P. Gwiazda, P. Wittbold, A. Wroblewska,

A. Zimmermann // Preprints of PhD Programme: Mathematical Methods in Natural Sciences. - 2011. - no. 2011 - 013. - P. 1 - 32.

[17] Гилимшина, В.Ф. Об убывании решения неравномерно эллиптического уравнения / В.Ф. Гилимшина, Ф.Х. Мукминов // Известия РАН. Серия: Математика. - 2011. - Т. 75. - № 1. - С. 53 - 70.

[18] Гладков, А.Л. Задача Дирихле для некоторых вырожденных эллиптических уравнений в неограниченных областях / А.Л. Гладков // Дифференциальные уравнения. - 1993. - Т. 29. - № 2. - С. 267 - 273.

[19] Gossez, J.P. Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (or slowly) increasing coefficients / J.P. Gossez // Trans. Amer. Math. Soc. - 1974. - V. 190. - P. 163 - 206.

[20] Гущин, А.К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из Lp / А.К. Гущин // Математический сборник. - 2012. - Т. 203. - № 1. - С. 3 - 30.

[21] De Giorgi, E. Sulla differenziabilita e l'analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari / E. De Giorgi // Mem. Acad. Sci. Torino. - 1957. - V. 3. -P. 25 - 43.

[22] Diaz, J.I. Nonlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the asymptotic behaviour of its solution / J.I. Diaz, O.A. Oleinik // C. R. Acad. Sci. Ser. I Math. - 1992. - V. 315. - № 7. - P. 787 - 792.

[23] DiBenedetto, E. Degenerate Parabolic Equations / E. DiBenedetto. - New York: Springer-Verlag, - 1993. - 387 p.

[24] Domanska, O.V. Bondary problems for elliptic system with anisotropic nonlinearity / O.V. Domanska // Potential Analysis. - 2009. - № 660. -P. 5 - 13.

[25] Donaldson, T. Nonlinear elliptic boundari value problems in Orlicz-Sobolev spaces У T. Donaldson ^ J. Differential Equation. - 1971. - V. 10. - № 3. -P. 507 - 528.

[26] Дубинский, Ю.А. Некоторые интегральные неравенства и разрешимость вырождающихся квазилинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений У Ю.А. Дубицкий ^ Математический сборник. - 19б4. -№ 3. - C. 458 - 480.

[27] Дубинский, Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях У Ю.А. Дубинский ^ Математический сборник. - 19б5. - Т. б7(109). - № 4. - С. б09 - б42.

[28] Fougeres, A. Operateurs elliptiques du calcul des variations coefficients tres fortement non lineaires У A. Fougeres ^ Paris: C. R. Acad. Sei. Ser.: A-B. -1972. - V. 274. - P. 7б3 - 7бб.

[29] Климов, В.С. Теоремы вложения для пространств Орлича и их приложения к краевым задачам У В.С. Климов ^ Сибирский математический журнал. - 1972. - Т. 13. - № 2. - С. 334 - 348.

[30] Климов, В.С. Краевые задачи в пространствах Орлича-Соболева У В.С. Климов УУ Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Ярославский государственный университет. - 197б. - С. 75 - 93.

[31] Климов, В.С. К теоремам вложения анизотропных классов функций У В.С. Климов УУ Математический сборник. - 1985. - Т. 127(1б9). - № 2(б). - C. 198 - 208.

[32] Кожевникова, Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений У Л.М. Кожевникова УУ Известия РАН. Серия: Математика. - 200б. - Т. 70. - № б. - С. 93 -128.

[33] Кожевникова, Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова // Математический сборник. - 2008. - Т. 199. - № 8.

- С. 61 - 94.

[34] Кожевникова, Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами / Л.М. Кожевникова // Уфимский математический журнал. - 2009. - Т. 1. - № 1. - С. 38 — 68.

[35] Кожевникова, Л.М. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, Р.Х. Каримов // Уфимский математический журнал. - 2010. - Т. 2. - № 2. - С. 53 - 66.

[36] Кожевникова, Л.М. Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью / Л.М. Кожевникова, А.А. Леонтьев // Уфимский математический журнал. - 2011. - T. 3. - № 4. - C. 64

- 85.

[37] Колодий, И.М. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений / И.М. Колодий // Вестник МГУ. - 1970.

- № 5. - C. 45 - 52.

[38] Королев, А.Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича / А.Г. Королев // Вестник МГУ. - 1983. - Т. 180. - № 1. - С. 32

- 37.

[39] Королев, А.Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями / А.Г. Королев // Математические заметки. - 1987. - Т. 42. - № 2. - С. 244 - 255.

[40] Королев, А.Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений с нестепенными нелинейностями /

А.Г. Королев // Математический сборник. - 1989. - Т. 180. - № 1 - С. 78 - 100.

[41] Красносельский, М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий. - М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. - 272 с.

[42] Кружков, С.Н. О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений / С.Н. Кружков // ДАН СССР. - 1963. - № 3. - С. 470 - 473.

[43] Кружков, С.Н. Априорные оценки и некоторые свойства решений эллиптических и параболических уравнений / С.Н. Кружков // Математический сборник. - 1964. - Т. 65(107). - № 4 - С. 522 - 570.

[44] Кружков, С.Н. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка / С.Н. Кружков // Математический сборник. - 1968. - № 77. - С. 229 - 334.

[45] Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973. -576 с.

[46] Ландис, Е.М. Новое доказательство теоремы Е. Де Джорджи / Е.М. Лан-дис // Труды ММО. - 1967. - Т. 16. - С. 319 - 328.

[47] Ландис, Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях / Е.М. Ландис // Труды ММО. -1974. - Т. 3. - С. 35 - 58.

[48] Лаптев, Г.Г. Существование решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений в Яп без условий на бесконечности / Г.Г. Лаптев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - V. 12. - № 4. - С. 133 - 147.

[49] Leray, J. Quelques résultats de Visik sur les problèmes elliptiques non-lineaires par les methodes de Minty-Browder / J. Leray, J. L. Lions // Bull. Soc. Math. Fr. - 1965. - V. 93. P. - 97-107.

[50] Лионе, Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых / Ж.Л. Лионе. - М.: Мир, 1972. - 596 с.

[51] Лу Вень-туан. К теоремам вложения для пространств функций с частными прозводными, суммируемыми с различными степенями / Лу Вень-туан // Вестник ЛГУ. - 1961. - № 7. - C. 23 - 27.

[52] Медвгть, I.M. Задачi для нелшшних елштичних i параболiчних рiвнянь в ашзотропних просторах / I.M. Медвггь // Вюник Львiв. ун-ту. Серiя мех.-мат. - 2005. - № 64. - С. 149 - 166.

[53] Михайлов, В.П. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка / В.П. Михайлов // Дифференциальные уравнения. - 1976. - Т. 12. - № 10. - С. 1877 - 1891.

[54] Giorgi Moser, J. A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations / J. Moser // Communs Pure and Appl. Math. - 1960. - № 3. - P. 457 - 468.

[55] Nirenberg, L. On elliptic partial differential equations / L. Nirenberg // Ann. Scuola norm. super. Pisa. - 1959. - № 13. - C. 115 - 162.

[56] Олейник, О.А. Аналог принципа Сен-Венана для эллиптического уравнения второго порядка и единственность решений краевых задач в неограниченных областях / О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян // УМН. - 1976. -Т. 31. - № 4(190). - С. 261 - 262.

[57] Олейник, О.А. Энергетические оценки обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка и их приложения /

О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян // Доклады АН СССР. - 1977. - Т. 232. -№ 6. - С. 1257 - 1260.

[58] Олейник, О.А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей / О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян // Математический сборник. - 1980. -Т. 112(154). - № 4(8). - С. 588 - 610.

[59] Oleinik, O.A. Boundary value problems for second order elliptic equations in unbounded domains and Saint-Venant's principle / O.A. Oleinik, G.A. Josifian // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. - 1977. - V. 4. - № 2. - С. 269-290.

[60] Serrin, J. Local behavior of solutions of quasilinear equatons / J. Serrin // Acta math. - 1964. - J. Diff. Eq. - Р. 247 - 302.

[61] Скрыпник, И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задача / И.В. Скрыпник. - М.: Наука, 1990. - 448 с.

[62] Тедеев, А.Ф. О качественных свойствах решений и субрешений квазилинейных эллиптических уравнений / А.Ф. Тедеев, А.Е. Шишков // Изв. вузов. Математика. - 1984. - Т. 1(260). - С. 62 - 68.

[63] Хаджи, А.А. Решения анизотропных эллипических уравнений в неограниченных областях / Л^. Кожевникова, A.A. Хаджи // Материалы Третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения". - Самара: СамГТУ. - 2012. - C. 166 - 167.

[64] Хаджи, А.А. Ограниченность решений анизотропных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях / Л^. Кожевникова, A.A. Хаджи // Труды международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2013. - C. 331 - 338.

[65] Хаджи, А.А. Ограниченность решений анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, A.A. Хаджи // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". - Казань: Казанский университет. - 2013. - C. 249 - 251.

[66] Хаджи, А.А. Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, A.A. Хаджи // Вестник Самарского государствнного технического университета. Серия: Физ.-мат. науки. - 2013. - № 1(30). - C. 90 - 96.

[67] Хаджи, А.А. Убывание решений анизотропных эллиптических уравнений с младшими членами в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Сборник материалов международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ". - 2013. - С. 118 - 119.

[68] Хаджи, А.А. Убывание решений анизотропных эллиптических уравнений с младшими членами в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Тезисы докладов международной научной конференции "Нелинейный анализ и спектральные задачи". - Уфа: Изд-во БашГУ. - 2013. - С. 74 - 75.

[69] Хаджи, А.А. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Материалы Четвертой международной конференции "Математическая физика и ее приложения". - Самара: СамГТУ. - 2014. -С. 199 - 200.

[70] Хаджи, А.А. Ограниченность решений анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, A.A. Хаджи

// Уфимский математический журнал. - 2014. - Т. 6 - № 2. - С. 67 - 77.

[71] Хаджи, А.А. Убывание решений анизотропных эллипти-ческих уравнений с младшими членами в неограниченных областях / А.А. Хаджи // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика, Физика. - 2014. - Т. 34. - № 5(176) - С. 78 - 87.

[72] Хаджи, А.А. Поведение решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы Международной научной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014". -Казань: изд-во Казанского ун-та. - 2014. - Т. 49. - С. 39-41.

[73] Хаджи, А.А. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. - М.: МИАН. -2014. - С. 87-88.

[74] Хаджи, А.А. Качественные свойства решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Тезисы докладов международной конференции "Спектральная теория и дифференциальные уравнения", посвященная 100-летию Б.М. Левитана. - М.: МГУ и ООО "ИТУИТ.РУ". - 2014. - С. 77-80.

[75] Хаджи, А.А. Единственность решений анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях / А.А. Хаджи // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы Четырнадцатой всероссийской молодежной научной школы-конференции "Лобачевские

чтения - 2015". - Казань: Изд-во Казанского математического общества.

- 2015. - Т. 52. - С. 160 - 161.

[76] Хаджи, А.А. О единственности решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, A.A. Хаджи // Сборник тезисов международной научной конференции "Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ". - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2015. - C. 84 - 86.

[77] Хаджи, А.А. О решениях квазилинейных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / A.A. Хаджи // Информационные технологии естественных и математических наук. -2015. - № 2. - C. 9 - 13.

[78] Хаджи, А.А. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, A.A. Хаджи // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физ.-мат. науки. - 2015. - № 19. - C. 44 - 62.

[79] Хаджи, А.А. О существовании решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Тезисы докладов VIII международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике". -Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

- 2015. - С. 38 - 39.

[80] Khadzhi, A.A. Uniqueness of solutions of anisotropic elliptic equations in unbounded domains / L.M. Kozhevnikova, A.A. Khadzhi// San Francisco, California, USA: Scientific enquiry in the contemporary world: Theoretical basics and innovative approach. Research articles. Natural sciences: Technical Sciences. - 2015. - № 3. - P. 4 - 15.

[81] Хаджи, А.А. Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Математический сборник. - 2015. -Т. 206. - № 8. - С. 99 - 126.

[82] Хаджи, А.А. Существование решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы XII международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". -Казань: Изд-во Казанского математического общества. - 2015. - Т. 51. -С. 238 - 240.

[83] Хаджи, А.А. Существование решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях /Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование". - Улан-Удэ: Изд-во ВСГУТУ. - 2015. - С. 149-150.

[84] Хаджи, А.А. Качественные свойства решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Сборник тезисов международной конференции "XXVI Крымская Осенняя Математическая Школа симпозиум по спектральным и эволюционным задачам". - Симферополь: ООО ФОРМА. - 2015. С. 51-52.

[85] Хаджи, А.А. О неравенстве типа Фридрихса / А.А. Хаджи // Научно-технический вестник Поволжья. - 2015. - № 6. - С. 30 - 33.

[86] Хаджи, А.А. Убывание решений анизотропных эллиптических уравнений с младшими членами в неограниченных областях /Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Научные ведомости Белгородского государственного

университета. Серия: Математика, Физика. - 2015. - Т. 40. - № 17(214). -С. 79-81.

[87] Хаджи, А.А. О единственности решений анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях / Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи // Материалы международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2016". - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга". - 2016. - С. 194-196.

[88] Шишков, А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях / А.Е. Шишков // Сибирский математический журнал. - 1987. - Т. 28. - № 6. - С. 134 - 146.

[89] Шишков, А.Е. Квазилинейные дивергентные эллиптические уравнения в неограниченных областях / А.Е. Шишков // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24. - № 8. - С. 1410 - 1423.

[90] Шишков, А.Е. Принцип Фрагмена-Линделера для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка / А.Е. Шишков // Успехи математических наук. - 1988. - Т. 43. - № 4. - С. 231 - 232.

[91] Шишков, А.Е. Разрешимость граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях в классах функций, растущих на бесконечности / А.Е. Шишков // Украинский математический журнал. - 1995. - Т. 47. - № 2. - С. 277 - 289.