Качественные свойства решений системы Навье-Стокса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Арнольд, Максим Дмитриевич

• Арнольд, Максим Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Арнольд, Максим Дмитриевич

§1 Введение.

§1.1 Основные результаты.

§2 Исторический очерк.

§2.1 Общие сведения и предварительные замечания.

§2.2 Система Навье-Стокса для векторного поля скоростей.

§2.3 Система Навье-Стокса для завихренности.

1 Пространства Ф(а,ы). Случай с! > 3.

§1 Локальная теорема существования и единственности в пространствах Ф(а,ш).

§1.1 Формулировки теорем.

§1.2 Доказательства теорем 1.3 и 1.4.

§2 Критические пространства Ф(с1 — 1, с! — 1).

2 Пространства Ф„. Двумерный случай.

§1 Локальная теорема существования для уравнения с бесконечной энергией и энстрофией.

§1.1 Формулировки теорем.

§1.2 Доказательства.

§2 Разложение решения в ряд по степеням параметра Л.

Диаграммы.

§2.1 Разложение по степеням Л.

§2.2 Диаграммы. Оценки коэффициентов.

3 Аналитичность решения двумерного уравнения Навье-Стокса.

§1 Основные результаты.

§2 Доказательства.

4 Численный счет.

§1 Описание алгоритма.

§2 Результаты работы программы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные свойства решений системы Навье-Стокса»

Уравнения Навье-Стокса вот уже иа протяжении полувека занимают ключевую, и должно быть наиболее заметную позицию в уравнениях гидродинамики. Проблема описания движения идеальной вязкой несжимаемой жидкости представляется тем более интересной и значимой, поскольку многие природные процессы как то разного рода атмосферные явления, волнения на море, сейсмические явления могут быть описаны с точки зрения уравнений гидродинамики. Наиболее интересным и важным является вопрос о существовании решения задачи Коши для системы Навье-Стокса, поскольку именно прекращение существования решения, как раз и отвечает таким стихийным бедствиям, как ураганы, цунами, извержения вулканов, землетрясения и т.п.

Многие исследователи по всему миру обращались к проблеме существования и единственности решения этой системы. Сравнительная доступность экспериментов, простота уравнений в модели, широкий спектр применения результатов и вместе со всем этим чрезвычайная трудность математической задачи — вот те факторы, которые делают теорию уравнений Навье-Стокса столь интересной для ученых различных отраслей физики и математики.

§1.1 Основные результаты.

В главе 1 вводятся пространства функций Ф(а, и>), где а и и> постоянные параметры, зависящие только о размерности (I. В этих пространствах для случая <1 > 3 доказываются локальные теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений (4)-(5) в отсутствие внешней силы.

Теорема. Для любого к 6 М+ найдется такое Т = Т(а, и>, с/, К) > 0, что для всякого начального данного г0(к) € Ф(а,о;): ||г'о(А;)||а1Ш ^ к на интервале [О, Т] существует решение задачи Коши для системы Навье-Стокса. Такое решение единственно в классе функций Ф(а,ы).

Теорема. Для всякого Т € М+ найдется такая константа /г = Н(Т, си, со, с1), что при начальных данных г'о(к): ЦгоЦа,^ ^ Ь на отрезке [0,Т] существует единственное в классе Ф(а, ш) решение у(к, ¿) задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальными данными го(к).

Кроме того, при критических значениях параметров а и ы, а именно при а = и = (1—1 имеет место глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши, если только норма || • начального данного достаточно мала.

Теорема. Найдется такая константа е — е(сI), что для любого Т > 0 существует единственное непрерывное отображение у(к, ¿) : х [О, Т\ —> С'1 : у(к, ¿) 6 Ф(с/ — 1, — 1)У£ 6 [О, Г], являющееся решением задачи Коши для системы Навье-Стокса при начальных данных г'о (к), принадлежащих пространству Ф (о? — 1, (1 — 1) таких, что г.

В главе 2 рассматривается двумерная система Навье-Стокса, написанная для вихря. Доказывается локальная теорема существования решения задачи Коши для такой системы с начальными данными, принадлежащими пространству Ф(а,а) с бесконечной энергией и энстрофией. Доказательство проводится при помощи техники, развитой в главе 1. сл(к £)

Для однопараметрического семейства начальных данных Мл(к, £) = ■' '—, 1/2 <

Ща а < 1 рассматривается классическая итерационная схема — последовательность ЙИ)(М)}, где = Ае~М\(к), 8ир с(к) = 1 ей2 и выполняется рекуррентное соотношение о а2

Утверждение. Последовательность {с^\к, £)} лежит в пространстве равномерно ограниченных функций при всех к Е Е2 и при всех £ € [0, £0] для некоторого £0 = £о{а, А).

Утверждение. Последовательность £)} является последовательностью Коши в пространстве равномерно ограниченных функций при всех к 6 М2 и при всех £ € [0, £0] для некоторого £0 = £о(а, Л).

В ходе доказательства этих утверждений, вводится новый управляющий параметр системы

Л = Л£?

При выполнении соотношения А < В, где В — это некоторая мировая константа, решение с нормой начального данного, равной А, существует на отрезке времени [0, £о].

Представлено разложение решения задачи Коши в ряд по степеням параметра Л.

Имеет место следующая теорема

Теорема. Функции др(х, £) удовлетворяют следующим оценкам:

1. при р = 1 где

2. при р = 2 где

3. при р ^ 3 где г ( \ ~) при 0 < а: < 1

П{х) - < ^ х > 1

Мх) = Л 2-2« ж, при 0 < х < 1 х2~2а, при X ^ 1 х, при 0 < х < 1 р(я) = < . . п

1, при X ^ 1

Константы Ср удовлетворяют следующему соотношению

1+Р2=р-1 для некоторой константы В.

В главе 3 рассматривается двумерное уравнение Навье-Стокса для завихренности. В случае с ненулевой внешней силой, здесь доказывается аналитичность решения задачи Коши для системы (2)-(9) в любой момент времени.

Здесь изложена совместная работа автора с Ю.Ю. Бахтиным и Е.И. Динабургом. Работа посвящена исследованию аналитичности решения двумерной системы уравнений Навье-Стокса с ненулевой внешней силой, записанной для вихря. Первые результаты, касающиеся существования и единственности решения задачи Коши для такой системы были получены, по всей видимости, МакГрафом. В его работе [McG67] была сформулирована следующая теорема

Теорема. Пусть loo € Ьг(К2) П L°°(R2), и все вторые производные cü0 равномерно гёльдеровы в!2 с некоторым показателем Л > 0. Пусть также Т > 0 таково, что / € L\QT) П L°°(Qt), где Qt = R2 х [0, Т] и f локально гёльдерова с тем же показателем А по пространственным переменным при любом t е [0, Т]. Тогда существует ограниченное классическое решение и задачи Коши (7) на [0, Т]. Все производные решения, входящие в постановку задачи Коши, ограничены и непрерывны на Qt- Это решение единственно в классе функций, рост которых па бесконечности ограничен некоторой экспонентой (более точно — в тихоновском классе единственности). Кроме того, sup [IK-.OlUooíR2) + ||w(-,í)IUi(R3)] < te[o,T] IMk~(R2) + IMUhr2) + tII/IU°°(QT) + II/IU4qt)>

Результаты, касающиеся существования и единственности решения этой задачи с нулевой внешней силой, были получены и при менее ограничительных условиях на начальные данные (см. например [GM088]).

Аналитичность полученного решения доказывается в терминах преобразования Фурье. А именно, мы доказываем следующее утверждение.

Введём для произвольной функции / : R2 —> R обозначения:

La = SUp —--ГГ7, с*^0,7>0,

Ul7, fc (1 Л |A;|-T)e"Qlfcl •

I/I7 = 1/17,0, 7 > 0. '

Теорема. Пусть начальное условие и'о и вихрь силы / удовлетворяют условиям теоремы МакГрафа. Пусть кроме того при некотором 7 > 0 выполнено ро|7 < оо и при некоторых о > 0, С/ > 0 гг всех t > 0 выполнено |/(-, OI7,« ^ С/. Тогда существуют неубывающие положительные при t > 0 функции (5{t) и D(t) такие, что решение и задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальным условием о,'о удовлетворяет неравенству

При этом существует время Т > 0 такое, что функция /3(t) постоянна при t ^ Т, а функцию D(t) можно выбрать линейной при t ^ Т. В отсутствие внешней силы функцию D(t) можно выбрать постоянной при t ^ Т.

В главе 4, на основе разложения решения трехмерной задачи в ряд, полученного в статье [SinOoc] представлен алгоритм численного .моделирования решения задачи Коши для уравнений (5) и представлены результаты счета. Отличительной особенностью данного алгоритма является его скорость сходимости, поскольку используемая итерационная схема, в силу работы [SinOoc], стремится к решению экспоненциально.

Автор бесконечно признателен Я.Г. Синаю за неослабевающий интерес к работе, постоянную помощь и поддержку в идеях и методах.