Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Уткина, Елена Анатольевна

• Уткина, Елена Анатольевна
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Уткина, Елена Анатольевна

Введение.

Глава I. Задача Гурса.

§1. Случай уравнения с дифференцированием лишь по одной переменной.

§2. Уравнение с дифференцированием по двум переменным.

§3. Случай трех переменных.

§4. Общий случай.

§5.Теорема существования и единственности.

5.1. Вспомогательная формула: интегральный аналог формулы Лейбница

5.2. Применение принципа сжимающих отображений.

Глава II. Повышение порядка нормальных производных в граничных условиях.

§ 1. Задача с повышением порядка на единицу (Г!).

1.1. Изучение случая, связанного с одной характеристикой.

1.1.1. Редукция к задаче Гурса.

1.1.2. Случаи решения в явном виде.

1.2. Результаты для остающихся характеристик.

1.3. Варианты с парами характеристик.

1.4. Одновременное участие трех характеристик.

1.5. Разъяснения для п- 4.

1.6. Общий случай задачи.

§2. Увеличение порядка производных до произвольного натурального N.

Глава III. Задача Дирихле и нелокальные задачи.

§ 1. Задача Дирихле.

1.1. Плоский случай.

1.2. Пространственная задача.

§ 2. Задачи со смещениями в граничных условиях.

2.1. Для двух независимых переменных.

2.1.1. Задача для уравнения третьего порядка.

2.1.2. Случай четвертого порядка.

2.2. Случай пространства размерности п > 2.

Глава IV. Уравнения с сингулярными коэффициентами.

§ 1. Случай двух измерений.

1.1. Уравнение типа Аллера. Общая методика построения каскада.

1.2. Аналоги уравнения Эйлера-Пуассона - Дарбу.

1.3. Задача Гурса.

1.4. Повышение порядка производных в граничных условиях.

§ 2. Трехмерное пространство.

2.1. Случай некратного дифференцирования.

2.2. Случай наиболее общего уравнения в трехмерном пространстве.

§3. Случай общего уравнения в «-мерном пространстве.

§4. Задачи 1\.

4.1. Задачи для уравнения четвертого порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными»

Отличительный признак рассматриваемых в настоящей диссертации уравнений - наличие старшей частной производной: все остальные производные, входящие в уравнение, получаются отбрасыванием от нее по крайней мере одного дифференцирования. Поэтому они называются [40] уравнениями со старшими частными производными. С точки зрения указанного признака можно считать класс изучаемых уравнений наиболее близким к обыкновенным дифференциальным уравнениям, поскольку для последних упомянутый признак всегда имеет место.

Здесь речь идет о линейных уравнениях, разрешенных относительно старшей частной производной, то есть об уравнениях (1) где х = (х[,х2,.,х„) - декартовы координаты, т = (т1,т2.,тп), а ащ Мп = 1.

Исследуются задачи об отыскании решений уравнений (1) в областях, ограниченных характеристическими плоскостями хк = const по краевым условиям, задаваемым на этих плоскостях (характеристические задачи« [6,с.174]).

Систематическое изучение уравнения (1) было начато еще в конце 19 века с наиболее простого его варианта, когда дифференцирование по всем переменным является некратным: mi = 1, i = 1,п. Первые работы были выполнены Л.Бианки и О.Никколетти [159], [191], предложившими в 1895г. вариант распространения на это уравнение метода решения задачи Коши, разработанного в свое время Б.Риманом для уравнения и^ + а(х, у)их + b(x, у)иу + с(х, у)и = f(x, у). (2)

В 20 веке исследования были продолжены в исследованиях Г.Бейтмена [160], Е.Лаэ [182], М.К.Фаге [94] - [96], В.Ф.Волкодавова с учениками [12]-[15], О.М.Джохадзе [22], [23] и др. В частности, в статье [160] это уравнение было названо именем Бианки. Выяснилось, что уравнения, содержащие операторы вида д" /дх{.дхп и их итерации, играют существенную роль в теории аппроксимации, теории отображений, в задачах математической физики, связанных с явлениями вибрации [7, с.109]. В [95] указывается, что к уравнению Бианки специальными подстановками приводится уравнение грМ.ГГМ. 2 = о) д<а" дх" 1+к<п дсо'дх в смешанных переменных: комплексной по ¿у и действительной по л:. В свою очередь, к задаче Коши для частных форм (3) сводится задача интегрального представления преобразования одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие [96], [97, с.5 - 13].

Об уравнении (1) с кратными производными по независимым переменным следует сказать, что теория здесь развивалась значительно медленнее, хотя были обнаружены различные приложения подобных уравнений. В книге И.Н.Векуа [10, с.258] основное дифференциальное уравнение изгиба тонкой сферической оболочки с точностью до замены переменных записано в виде

Г а2 ШЯ2Л + 2-+

Кдг2д£2 ' дгд£ ' В и а в теории волн [17] встречается уравнение дА р 2 р 2 д3р 2 2 -т~с0-7 = тсот-мспт д? дх2 дх2д1 дх2д1 где р - плотность, с0 - скорость звука, т - время релаксации.

Частными случаями (1) являются также уравнения Аллера и Буссине-ска — Лява и1=(аих+Ьиза)х, иахх-иа+ихх= 0.

Первое из них описывает процесс переноса почвенной влаги в зоне аэрации [74, с.261-262], [104], [105], а второе встречается при изучении продольных волн в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции [90, формула (20)] и еще описывает волновой процесс в периодических слоистых средах [87]. К виду (1) относятся и поливибрационные уравнения Д.Манжерона [184] - [189], [192], [193].

Различные вопросы, связанные с уравнением (1), изучали также С. Еас-варан [167], [168], Г.Горнич [175], [176], В.В. Карачик, Г.У.Саидкаримова [58], Д.Колтон [164], А.Кордунеану [165], В.Радочова [196], У.Ранделл и М.Стечер [197]- [200], А.П.Солдатов и М.Х.Шхануков [90], [103]- [105], О.М.Джохадзе и Б.Мидорашвили [21] - [23], [190].

Все вышеупомянутые авторы шли по пути, начатому Л.Бианки и О.Никколетти: они развивали классический вариант метода Римана, включающего в себя два основных момента: 1) так называемую «функцию Римана», определяемую как решение сопряженного уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, число которых очень быстро увеличивается с ростом п; 2) некоторое исходное дифференциальное тождество, связывающее искомое решение и функцию Римана. Последовательное интегрирование указанного-тождества приводит к формуле решения рассматриваемой задачи, записываемой через функцию Римана.

Иной вариант развития метода Римана для уравнения Бианки был предложен В.И.Жегаловым [28], [33] и разработан им совместно с В.А.Севастьяновым [29], [32]. Сохранилась лишь общая схема метода, а обе указанные выше составляющие были изменены: функция Римана определялась в предложенном варианте как решение некоторого интегрального уравнения, а исходное тождество было взято в другой форме. Все это позволило получить существенно более лаконичную и прозрачную схему решения задач Гурса и Коши для уравнения Бианки, чем в работах предшественников. Кроме того, предложенный вариант оказался конструктивным в том смысле, что удалось выделить ряд новых случаев, когда решение может быть записано в явном виде. Полученные результаты были применены к более сложным задачам с нормальными производными в граничных условиях. Идея исследования подобных задач для (2) была реализована В.И.Жегаловым в [202], развита совместно с А.Н.Мироновым в [37] и продолжена вторым из авторов в

70], [71] для уравнения Бианки (см. также монографию [40]). В этих работах показан многовариантный характер разрешимости таких задач.

После этого естественной представлялась идея дальнейшей разработки нового варианта метода Римана с целью его применения к решению задачи Гурса для общего уравнения (1). Разработка указанной идеи как раз и положила начало данной диссертации. Ее реализации посвящена первая глава. Первоначальная цель диссертации состояла в доведении общей теории уравнений с кратным дифференцированием до уровня, достигнутого в случае уравнения Бианки. Наиболее трудоемким моментом при этом оказалось получение исходного тождества для задачи Гурса. Проблема состояла в том, что закономерность построения упомянутого тождества, обнаруженная В.И.Жегаловым и В.А.Севастьяновым в процессе их работы с уравнением Бианки, здесь не действовала. Для установления нужной закономерности рассматривались сначала частные случаи при малых значениях тк> 1. Наиболее изученным предшественниками было обобщение уравнения Аллера и^ + аи¡а + Ьиху + сих + с1иу + ей = 0, (4) для которого функция Римана У(х,у,%,г/) определялась в [104] как решение задачи Гурса

У»у - №)„ - +(сУ)х+(аг)у -«1 = 0, у \ с=£ = ехр

I , V у=Т] =со{х,т]).

При этом со(х,т]) должно быть решением задачи Коши:

СОхх - п)а)х + ¿/(х, Г})(0 = 0, (5) а){%,г/) = 0, а>х(€,77) = 1. Было доказано существование единственной функции V. О явном построении V речь не шла. В [90] авторы распространили данную методику на общий случай уравнения (1) при п = 2.

Наша работа тоже началась с уравнения (4). Функция Римана при этом вводилась как решение интегрального уравнения

V(x, у) - ) a(x, т)У(х, r)dr - J [b{t, y)-{x- t)d(t, y)]v(t, y)dt + (6) Г} 4

X у J J [c{t,r)-{x-t)e(t,r)}v{t,T) = \, а искомое тождество было получено в форме

ML - RL(»)+- bR\+- «лIL

- - (aR)x - (bR)y + - - (M)x + dR)\ + (7)

Отметим еще, что решение Vуравнения (6) не совпадает с V = R(x,y;^,rj) из [197], [90], [103], [104]. Например, из (6) следует, что R{x,y,x,y) = 1, а из предпоследней формулы (5) - R(x, у, х, у) = 0.

Задача Гурса, рассматриваемая в области D = {х0 < х < х15 д>0 < У < .уЛ, заключается здесь в отыскании функции и{х,у), являющейся решением уравнения (4) и удовлетворяющей условиям u{xQ,y) = (p(y), ux{x0iy) = (pl{y), уе[у0>У\] и(х,уо) = у/(х), xefco.jrJ. Путем интегрирования тождества (7) решение записывается в виде u{x,y) = (р{у)+ J h{a,y)da, *0 h(x, у) = R(x, у0, х, у}//'{х) + R(x0 , у, х, уУр^ (;;) - М(х, у0, х, у У (х) -- М(х0, у, х, уУр{у) + М(х0 ,у0,х, у)//(х0 ) - R(x0 ,у0,х, у)//'{х 0) + у х J [p(x0,ß,x,y)(p{ß)-N(xQ,ß,x,y)(px{ß)\iß+ J Q(a,у0,x,yfy{a)da,

Уо xo где M = Rx-bR,N = Ry-aR, P = Rxy-{aR)x-{bR)y+cR,

Q = Rxx-(bR)x+dR.

Затем рассматривались более сложные, чем (4), уравнения со старшими частными производными и^, и^, uxxyyz, uxxyyzz и т.д.(это можно проследить по публикациям [108], [110], [113], [116], [125], [127]). При этом была выделена некая «главная» часть (которая строилась по тому же принципу, что и в случае уравнения Бианки, и присутствовала при каждом построении) и «остаток», который вычислялся каждый раз путем вычитания левой и «главной» части тождества. Долгое время не удавалось спрогнозировать общий вид этого «остатка». Излагать подробно всю историю вопроса в данной диссертации представлялось нецелесообразным, поэтому необходимо было найти способ изложения, который был бы более прост для восприятия. В связи с этим возникла мысль, что сначала следует изложить вопрос, когда в уравнение входит производная лишь по одной из переменных, а потом уже производить усложнения, которые более или менее естественным образом приводили бы к общему случаю.

Задача Гурса (общая постановка): найти в Б = { х20 < х2 < х21,.,хп0 < хп < хп1 } решение уравнения (1) из класса и € СН (р) п С(И1-,)+0+-+0 (йи^П £-0+(/я2-1)+0+.+0 (о и

С0+'"+0+^т"~^{ри(|/я| = т1 +. + тп, Хк - грани И при хк -хк0), удовлетворяющее условиям т-(х10,х2,.,хп) = (Р\1Хх2->—>хп)' (г1 — 0,т, —1), ох{ и{хх,х2й,.,хп) = (р212(хх,хъ.,хп), (/2 = 0,т2 -1), (8) и дх и{хх,х2,.,хп0) = <р„,п(х1,.,хп1), {¿п = 0,тп -1), я-1 ™а (-\ £ та (-\ Е та (-\ рх& С"=2 (Х1), (р2¡2 е с-1-2 (Х2),., <р„¡п е с- (Х„), причем граничные значения из (8) на ребрах £) согласуются: д'2и / \дЧи ( \ дх£ дх[1 д'3и / \dhu / ч

ТФ\и \Х2'ХЪ0>Х4---'Хп)~ /, Фъ'и \Х10>Х2>Х4-~>Хп)>

JU"q ' дхГ 3 д'"и / ( V

1 Эх,1

Ф^г ' Х30' Х4 V» хп ) — Фзн \Х1' Х20' х4 >"ч Хи У • • дх33 йх22 д'"и , ч / ч

Т~1~Фц2 Vх!' Х3 > Х4 Хи0 J — ТГ7Г Фт„ VX1' Х20' Х3 Хп-\)> dx¿ 2 дх% д'"и / чЭ'"-1« / ч .' , \Х2 ' Х3' Х4'•••» Хп0 ) ~ п / , Фт. VX1' Х2' Х3'—' Хл-10 я 1 ах^ " я сами согласованные значения непрерывно дифференцируемы.

Здесь с'а' - класс непрерывных в d вместе с их производными Iдх^дх%.dxr¿(гх =0,.,ах, г2 =0,.,а2,.гп =0,.,ап), функций.

В §1 главы 1 рассматривается общее уравнение (1) с дифференцированием лишь по первой переменной. Задача Гурса в данном случае переходит в задачу Коши и имеет вид

Задача Гурса. Найти решение уравнения дти ^ , ,д'и Л дх ¡=0 дх при выполнении условий д'и i <?>;(X2>X3>->XJ {0<i<m-í)

Ф, е с{р), р = {х20 < х2 < х21,.,х„0 < хи < X„J.

Получить аналог тождества (7) даже для этого случая оказалось непросто. Решение задачи Гурса строится путем интегрирования указанного тождества, но для этого одно из слагаемых в нем требует преобразования в другую форму, причем установление этой формы представляло главную трудность. При малых m удалось прийти к ней аналитическим путем и спрогнозировать ее вид в общем случае: § (!(-1Г-Э-Ы ] дхт н эх'1 7 -1

Е 2 (Е

0 6=0 а=ь ох ох

Мл = 1, если Ъ = / и Мл = 0 в остальных случаях; С* - биномиальные коэффициенты. Затем к доказательству указанной гипотетической формулы был применен компьютерный метод. Таким образом, получен некоторый синтез компьютерного метода с аналитическим. К сожалению, компьютерная составляющая ведет к накоплению погрешности при вычислениях, поэтому окончательную формулу решения задачи Гурса т-1 х\ (у/V-' т . , т

М=Я,М+Е «СО / (-!)'">,-,М-Е (-1)"

1=1

-1) 1 а=1 (х-1)т:2 д^аЛ^УЛ а-1 ж

10 {т- 2)! 5хс можно считать доказанной с точностью до £ = 10"5 при т=40.

§2 и 3 посвящены изучению уравнения (1) при т3=. = тп— 0, т4 =. = тп =0 соответственно. В §3 тождество имеет вид

ГП\ «2 Щ

Е Е Е (-1У'+'г+'н

0 ¡2=0 /3=0 0</[ +¡2 +/'з <т1+т2 +Щ /У1 £>'2 /У3 х2 *3 т2 /Щ , \

Е £ Е (- 1)а1+а2+аз Оахр (а^я) а\='\ а2='2 а3 =,3 от, т2 тг /, /2 /3 Е Е Е Е Е Е

1=0 /2=0 /3=0 ¿>1=0 62=° ¿3=0

Е ИГ* с* I НУ!~"гСа2 а, =6, а2=г>2

3=^3 х, х2 х3 \ ¡¡Ыз Р м,

ЪфгЪъ = если - 1\ Ь2 = и'=/3' = 0 в остальных случаях. Решение задачи Гурса при этом имеет вид

X, .ъх,) = + о^о^ч,^ [я]+ ^, где Т7, зависит от граничных условий, Н - граничных условий и коэффициентов уравнения (1), Т*7- правая часть (1).

В §4 упомянутая схема рассуждений реализована уже для общего случая рассматриваемого уравнения (1). Для компактности записи применяются мультииндексы.

Вывод указанной формулы может быть истолкован как доказательство существования решения. Но мы приводим и независимое доказательство существования и единственности решения. В процессе этого доказательства выведена вспомогательная формула, которую можно считать интегральным аналогом формулы Лейбница, связанной^ с- дифференцированием произведения. Таково содержание первой главы.

Полученная формула решения задачи Гурса служит основой для следующих двух глав, где она применяется, в качестве общего представления решений уравнения (1). Такой подход к этой формуле при п = 2, т, = т2 = 1 хорошо известен [10,гл.1], [4, гл.1]. Например, в [4] говорится, что она выражает «структурные свойства решений» (с.62) и «является общим представлением регулярных решений» (с.66). На с.67 из [4] также указывается: «из процесса построения формул следует, что решение задачи Гурса.определяется однозначно». Наш метод получения обсуждаемой формулы есть обобщение рассуждений из [4], поэтому данное указание сохраняет силу и для полученной в представляемой диссертации формулы.

Если в задаче Гурса заменить хотя бы одно из граничных значений д3и/дх1

Хк=Хко к = \,п, 5 = 0, тк -1 на д'и / дх'к Хк=Хко для некоторого / > тк, то получится новая задача. Такие задачи с повышением порядка нормальных производных являются предметом изучения во второй главе.

В случае, когда наивысший порядок нормальной производной на границе увеличивается на единицу (подобно тому, как для уравнения Бианки в уже процитированных работах [37], [70], [71], [40]) такие задачи для уравнения (1) мы обозначаем как Ц.

В §1 второй главы рассматриваются задачи типа Г^ для уравнения (1) (при п - 3, п = 4 и общий случай). При этом первоначально рассматриваются задачи в трехмерном пространстве, когда заменяется одно условие только на одной характеристике. Выяснено, что тогда соответствующие значения Гурса определяются единственным образом. Приведем одну из постановок указанных задач.

Задача 2.1.1. Найти функцию и&Cщ+m2+щ(p)c^Cщ+0+0(DvJY^c^ и12)п со+о+(«3-1)|риЛ^ являющуюся в £>решением уравнения (1) (при п = 3), удовлетворяющую условиям

У МХ10 ' Х2» Х3 )) = <Ртх (Х2' Х3 )'

МХ10 >Х2>Хз)) = <РЧ (Х2> Х31 (° < Ч ^ т\ - !)' П11 (и(Х1,х20, х3)) = у/12 (хх,х3),(о < /2 < т2 -1), (и{х1, х2, х30 )) = вн (х,, х2 ), (0 < /3 <т3-1).

Для определения ^>0(х2'хз) было выведено интегральное уравнение Вольтерра. Выяснено, что характер его разрешимости зависит от групп условий:

1) а0т2ГПъ{хХ0,х2,Хъ)ф 0. Функция #?0(х2,х3) записывается через резольвенту уравнения. Запись ^>0(х2,х3) в явном виде обеспечивается любым из наборов условий:

V А/2/3(Х10>Х2>Хз)*° и

А/2/3+1(Х1()'Х2'ХЗ)-ХЗАЬ/3+2(Х10'Х2>ХЗ))' Аг2/3+2 (Х10 > Х2 >Х3 ) = ^ (*3 ,.,ТПЪ ~ 2), (г2 = 0,.,га2);

V ^Оьг'з (Х10'Х2'Хз)- Л)ь/3+1 (Х10' Х2 > Х3 ) + А/2/3-1-2 (Х10' Х2 > Х3 ) ^ ^

3 =0,.,тъ - 2), (г2 =0,.,т2);

V ^Оь/'з (Х10 > Х2' Х3 ) ^ ^ и

Аь+1 ¡з (Х10' х2' Х3 ) Х О ¡2+2 ¡з (ХЮ>х2' Х3 ))' ^Оь+2 ¡3 (Х10 > Х2' Х3 ) — ^ (г2 =0,.,т2 —2), (/"з = 0,.,т3);

4) А/2/3 (Х10'Х2>Хз) = Ль+1/3 (х10'х2>хз) + А)»2+21з (Х10'Х2'Хз)^ ^ (г2 =09.,т2 — 2), (/3 =0,.,т3), причем остальные коэффициенты в каждом случае считаем нулевыми. Здесь

2 '3

Л1Ы3 (Х1>Х2'Хз) = X X ^2-02-'21)^,/"3-('3-'31) '

21=° '31=°

• Д^1 ^ т2(/2;-21)тз-(/3-/31) (Х1 = Х2'Х3 ))( О21 31 •

Подобные задачи (2.1.1, 2.1.4, 2.1.5) рассматриваются в п.п.1.1,1.2.

В п. 1.3 рассматриваются задачи, когда условия Гурса заменены на парах характеристик. Здесь приходится исследовать на разрешимость уже два интегральных уравнения, а сама картина разрешимости приобретает более разветвленный характер. Например, если аооо(хю>х2о>хз) = то функции ^2>0(х2,х3), Уо(х1»хз) зависят от одной произвольной функции у/0(х10, х3) = ср0(х20, х3). Если же коэффициент а000(х10,х20,х3)^ 0, то #>0(х2,х3) и у/0(х15х3) определяются однозначно. В каждой из задач 2.1.6 и 2.1.7 выделено по 25 вариантов. Поэтому для компактной записи результата в рассмотрение были введены специальные матрицы-строки, элементами которых являются блоки из условий на коэффициенты, обеспечивающие тот или иной характер разрешимости соответствующих задач.

В п. 1.4 рассмотрена одна из задач, когда заменены данные Гурса уже на всех трех характеристиках.

В п. 1.5 рассуждения распространены на (1) в четырехмерном пространстве.

В п. 1.6 рассматриваются задачи Г, для общего уравнения (1).

Дальнейшим этапом развития задач Гурса после Ц являются задачи Гдг, когда граничные условия заменяются на нормальные производные, порядок которых повышается уже на N по сравнению с максимальным порядком производной в задаче Гурса на заданной характеристике (он равен порядку уравнения по соответствующей переменной, уменьшенному на единицу).

Во втором параграфе с помощью обсуждаемого подхода рассматриваются задачи Гя. Считаем порядок производной N выше наивысшего порядка граничного условия из задачи Гурса на данной характеристике больше чем на единицу. Рассуждения ведутся сразу для общего уравнения (1). Доказан следующий результат о достаточных условиях редукции к задаче Гурса.

Теорема 2.2.1. Если коэффициенты уравнения (1) принадлежат классу и е СН(£>)п Сщ+0+-+0(о иХ)гл С°Нт>"1)+0+-+0(п иХ~2)п КрОМв т0г0} коэффициент при 9?10(х2,.,х„) в левой части Л

2 П(-1 ГХ М1-т1 + ^ ы о,. р=\ " р

J р аа т2.т„

V 1=1 ПХ1 Р 1 (а0т2.т„ Мо = ^Л/, (Х2)' отличен от нуля, то задача 2.2.1 редуцируется к задаче Гурса.

Здесь ар может принимать значения -1. Если к = 0, то 5 = 0,

Мл/,= X ^ - /и, А; (а0 т2. (Х1 о 5 ' •" •' ) М{-т{-1х(Х2т~'Хп\ ¡1 <М] -2 От]

8\мх -2т, +1,а1т2.Мл Мш,-^-/^! = X ^Л/, - тх Ас, (а 1 т2 ■ (Х10' Х2'' • • 5 -^и ) V) Л/, - от, - /, +1 (Х2 > • • • > )' г[<Л/[-2т?11+1 h mn (*10' X2 Xn )VlMx -1 (х2 Xn i'l <Л/] -/»[ -1

Только что изложенные результаты вывели теорию общего уравнения (1) примерно на тот же уровень, на котором находилась теория уравнения Бианки. С другой стороны, и для уравнения Бианки, и, тем более, для общего уравнения (1) оставались неисследованными многие вопросы. Например задачи типа Дирихле, задачи со смещением, в граничных условиях и др. Указанным вопросам посвящены последующие главы данной диссертации. Их, вместе с результатами главы II, можно рассматривать как области приложения результатов главы I.

В третьей главе мы обращаемся к задаче Дирихле, изучавшейся ранее, в основном, для уравнений эллиптического типа. Изложение результатов приводится, например, в книгах В.С.Владимирова [11], О.А.Ладыженской [69]. Понятно, что для уравнений гиперболического типа ситуация существенно меняется: например, для уравнения (2) из однозначной разрешимости задачи Гурса следует переопределенность задачи Дирихле. Тем не менее, здесь имеются различные тонкие моменты. Например, Ж.Адамар [172] рассматривает эллипс х-а cos t, у— b cos(7 - К). Выясняется, что класс допустимых граничных значений сужается при ускорении рациональной аппроксимации числа h / к (в случае соизмеримости чисел h и к задача Дирихле имеет бесконечное число линейно независимых решений, а если h и тг несоизмеримы, то теорема единственности имеет место). Эти результаты развивались в работе А. Губера [177], а также самим Ж.Адамаром в 1936 [173] и в 1941г.[174]. Впоследствии эти результаты развивали Ю.М.Березанский [3],

С.Л.Соболев [89], Н.Н.Вахания [8], [9], М.В.Фокин [99], А.Абдул-Латиф [157], [158], В.В.Фиголь [98], Д.Буржен, Р.Даффин [161], Д.Фокс, Ж.Пуччи [170], Ф.Джон [179].

В данной диссертации исследование задачи Дирихле ведется в другом направлении: рассматриваются уравнение со старшей производной иххуу и его трехмерный аналог. Задание искомой функции на всей границе означает, что число граничных условий равно порядку уравнения. Подобные постановки для уравнения более частного вида, чем у нас, встречаются в работах Т.И.Кигурадзе [180], [181], где они изучаются другими методами.

Подобно Т.И.Кигурадзе, будем называть задачу с условиями на всей границе задачей Дирихле. О ней пойдет речь в первом параграфе третьей главы. В первом и втором пунктах параграфа рассматриваются соответственно уравнения

L{u) = t t av (x, yHD^x, у) = /(*, у) (9)

1=0 j=о и t Z aijkfoу,z)DxDJyDkzu(x,У,z) = f(x,У,4

0 j=0 к=0

В обоих случаях применяется одинаковый подход, поэтому поясним подробнее идею метода на примере уравнения (9). Задача Дирихле (задача 3.1), рассматриваемая в области £) = {0<х<х1,0<-у<^1}, p = \Q,y^\, ^[OjxJ, состоит в отыскании функции и{х, у) е С2'2 (d) п С1,0 (D u р) п С0'1 (D u q) n C°'° (d), являющейся в D решением уравнения (9) и удовлетворяющей условиям и(Ъ,у) = щ(у), и{х,0) = щ(х), и(хх,у) = (рх(у), и(х,ух) = угх(х), pQ,(py&C2{p), fc^eC2^).

Для нахождения решения были получены уравнения Фредгольма, с помощью которых определяются недостающие данные Гурса ux(Q ,у) = <р2{у), иу(х,0)-у/2(х). После этого методом априорных оценок выведены условия, накладываемые на коэффициенты (9), которые обеспечивают однозначную разрешимость этих уравнений. Результат проведенных рассуждений сформулирован как

Теорема. Если коэффициенты уравнения (9) удовлетворяют неравенствам

5£ї21 хху Щ2хуу Іа20хх , Ш02уу Ш\\ху ^Оціу Woo ^ 0 »

-sa20>0^~saQ2>0, 2 а2\у Л (ia]2x } ^ S(al2у + а21х ~ап)

21у

J^-Mzo V 1

2х 2

02 то задача Дирихле имеет

V ^ У ^ единственное решение. Здесь ia = inf а(х,у), sa- sup а(х,у).

Указанная теорема является основным результатом первого пункта этого параграфа.

Другим направлением исследований этой главы являются задачи об отыскании решений частных случаев уравнений (1) по соотношениям, связывающим значения искомой функции в различных переменных точках, лежащих на границе и внутри рассматриваемой области. Впервые подобные задачи при исследовании проблем теплопроводности встречались еще у В.А.Стеклова [92] (второе издание книги, первое было в 1922г.). Несмотря на большую известность работ В.А.Стеклова, никто из математиков более 30 лет не обратил на эту задачу свое внимание. Поэтому началом систематического изучения таких задач естественно считать работы Ф.И.Франкля [100] (1956г.) и В.И.Жегалова [24](1962г.). Первая из этих работ, как и в случае В.А.Стеклова, появилась из приложений (газовая динамика), а вторая возникла в качестве теоретического обобщения: там были объединены в одной формулировке два известных варианта задачи Трикоми из теории дифференциальных уравнений смешанного типа. Именно в [24] обнаружилась качественная новизна не только в постановке задачи, но и в результатах: наряду с однозначной и безусловной разрешимостью появились другие варианты -решение могло стать неединственным, могли появиться дополнительные условия разрешимости. Важную роль в привлечении внимания к данной тематике сыграли статьи А.М.Нахушева [75] и А.В.Бицадзе, А.А.Самарского [5] от 1969г. Вскоре образовался широкий фронт исследований в обсуждаемом направлении. В литературе эти задачи получили название «со смещением» и «нелокальные». Некоторые первые итоги были подведены А.А.Самарским в обзоре [86], где была подчеркнута качественная новизна указанных задач и их возникновение при решении современных проблем физики. Впоследствии В.И.Жегалов включил в формулировку различные варианты задачи Геллер-стедта [26], а также исследовал ряд других задач [27] для уравнений смешанного типа и уравнения вида (2). Анализ многочисленных публикаций позволяет рассматривать краевые задачи со смещениями как эффективный инструмент теоретических обобщений. В последнее время активная разработка рассматриваемого направления ведется в Москве (В.А.Ильин [56], Е.И.Моисеев [72], А.Л.Скубачевский [88]), Новосибирске (А.И.Кожанов [61] - [65]), Нальчике (А.М.Нахушев и его ученики [75] - [78]), Самаре (О.А.Репин с учениками [85]), Белгороде (А.П.Солдатов [90] и др.).

В теории нелокальных задач сформировалась еще одна ветвь интенсивных исследований — задачи с граничными условиями интегрального типа, возникновение которых связано с прикладными аспектами: диффузия частиц в турбулентной плазме [86], теплопроводность [162,57 (.Г.Ы.Саппоп, Н.И.Ионкин)], физика сверхпроводников [163], радиационный перенос [171], распространение загрязнений в воде биосферы (с. 179 и далее [68]). Подобными же задачами занимаются Л.С.Пулькина и ее ученики ([19], [195], [81] -[84], [16], [20]). В частности, Л.С.Пулькиной было доказано существование и единственность как обобщенного [81], так и классического [19] решений задачи для гиперболического уравнения

Мху + (А(х, у)и)х + (в(х, у)и)у + с(х, у)и = F(x, у) с интегральными условиями.

Итоги многих исследований подведены в монографии А.М.Нахушева [77]. Однако до последнего времени изучались лишь задачи на плоскости и то лишь в случае некратных характеристик. Что же касается пространственных задач, то были лишь две постановки [28], [30], носившие довольно частный характер. В данной, диссертации предпринята попытка продвинуться в нелокальных задачах дальше, рассмотрев случаи как с кратными характеристиками для уравнений (1) (при п> 2) так и с некратными (при п = 3,4).

Второй параграф третьей главы посвящен изучению задач со смещением для уравнений с некратным и кратным дифференцированием. А именно, первоначально рассматриваются задачи для двух плоских уравнений - (2) и обобщения Буссинеска - Лява (9). Затем — задачи для уравнения Бианки в пространствах п - 3,4. Результат исследования каждой задачи сформулирован в виде теоремы. Приведем одну из упомянутых задач, сделав предварительно пояснения.

Обозначим точки, лежащие на границе и внутри области D = {(*0/е(ОД))} b2=(0,х), b3=(x,x), b4=(l-x,0), Ь5=(0,1-х),

Ь6=(1- х,1 - х). Точки, получаемые из bk заменой х на у обозначим соответственно через ск.

Задача 3.3. Требуется найти функцию и{х,у)&С2,1{р)глС0,0{р), являющуюся в D решением уравнения (4) и удовлетворяющую следующим трем условиям а\о ) + «01 (x)u(b2 )+ а,, {х)ы{Ь2) + а}0 (l - x)u(b4 ) + а^ (l - x)u(b5) + а\{ (l - x)u(b6) = щ(x),x e [0,1]

A o ) + A>i (y)u(c2 ) + Ai(yMc3) + До (l" УМС4 ) + Pm (1" уМс5 )+ /3}1(1-у)и{с6) = ч,2(х),уе[0,\]

Y\ o )+Го1 (*M¿2 )+ Y\ i {x)u{b3) + r!o (l - x)u(b4 )+ (l - x)u(b5)+ y]n (l - x)u{b6) = щ (x), x e [0,1}

При этом на отрезках своего определения а-, а)., Д.-, Д1.-, у ,у) е С.

Теорема 3.3. Задача 3.3 при выполнении условий

А(х) В(1-х)"

Д(х,1 - х) ~ «М

О, ср{0) = у(6)

В(х) однозначно разрешима.

Дальнейшим предметом нашего изучения является метод непосредственного нахождения решения (каскадного интегрирования Лапласа), известный для уравнения (2) [93], [55]. Каскадный метод был предложен Лапласом в 1773г. [183] для уравнения (2) и получил впоследствии большую известность: он излагался в учебниках для студентов-математиков, авторами которых были, например, Г.Дарбу, Э.Гурса, Ф.Трикоми, Н.Х.Ибрагимов. Эти учебники издавались и переиздавались за рубежом, а также переводились на русский язык для издания в нашей стране. В настоящее время наиболее доступными русскоязычными являются издания [93, с.177-186], [55, с.210-212]. Обзор различных обобщений обсуждаемого метода за 18-19 века имеется в [194]. Например, в [166] метод распространен на эллиптические уравнения. В последнее время наблюдается определенное возрождение интереса к данной теме: в [178] разработано распространение метода на параболические уравнения, в [51]-[54] - на нелинейные уравнения и системы (линейные и нелинейные), в [31], [42], [47], [50]- на трех- и четырехмерные уравнения типа Би-анки.

В основном, указанные авторы рассматривали уравнения с достаточно гладкими коэффициентами. Но известны также результаты применения метода Лапласа к уравнениям с сингулярными коэффициентами, например, к хорошо известному в математической1 физике, уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу (далее обозначаемое ЭПД). Этот аспект и развивается в четвертой главе настоящей диссертации.

Здесь при ряде значений п изучены уравнения (1) при различных п, для которых удается провести рассуждения упомянутого метода, построены некоторые аналоги уравнения ЭПД, для которых рассмотрены характеристические задачи Гурса и Г}. Поставленные задачи несколько отличаются от изложенных в главе I. А именно, меняются как область (она выбирается так, чтобы внутри нее коэффициенты оставались гладкими), так и интегральное уравнение функции Римана, сопряженное уравнение и основное тождество. В п. 1.1 упомянутый метод был применен сначала к уравнению (4), для которого были получены пары групп условий на коэффициенты (4), позволяющие понизить порядок уравнения на единицу. Одной из указанных групп является набор г10 : 2ах + аЬ — с = 0, /г01 = Ъх—с1 = 0, кт = ахх+ (аЬ)х -е = 0.

В п. 1.2 были построены аналоги уравнений ЭПД. Одним из таких уравнений можно считать

---—£—и =0. (10) х-у х-у ' (х-^)2 (х-уУ При этом было показано, что построение каскада удалось осуществить при некоторых дополнительных ограничениях на коэффициенты. Для этих уравнений в п.1.3 были рассмотрены характеристические задачи Гурса и Г,.

Задача Гурса. Пусть О- треугольная область, ограниченная характеристиками х = 0, у = а и прямой х = у. Найдем решение(Ю) меС2+1(о), удовлетворяющее условиям

0,у)=(р(у), их{0,у) = (р1{у), и(х,а) = у/(х)9 (11) р, (ру еС1(р), у/ е С2 (р), р = [0,о]. Доказана

Теорема .Задача Гурса (10), (11) однозначно разрешима. В п. 1.4 подобные рассуждения были проведены для уравнения (9), а затем - для общего уравнения на плоскости.

Второй параграф посвящен распространению результатов на случай трехмерного пространства.

При этом в п.2.1 рассматривается уравнение Бианки, а затем (в п.2.2)-уравнение (1) в трехмерном пространстве.

Третий параграф посвящен общему уравнению ЭПД в «-мерном пространстве, которое имеет вид:

4»)-П —4— а=1 у V V а=2

Х1 Ха а=2

Р2 г\Щ тлт7-\ ТТ , Ръ

-£)'"1/)'и2-1ГТ £>««М +--. £)Щ £)т2 ГТ £)»«„ +

Л X] А X П -*2 -*

- Е а=3 * - £ *« а=2 а=2

-А л-1 /И] тя? тп п

-ОГ'П Е 2-Е у1 х а=1 ¿1=0 ¿2=0 Ь„= 0 а=1 а=2 где т2-\-Ь2 + ± {та-Ъа))\р2 атф2.ъп = ^т2-Л\ С^С-Г'^"1-;-, ь2 =0,т2-1 у у - -V ^ (та-Ьа) Л2 " лп)а=2 3

Ъ1 = 0,тг(/ = 3,«),

К-1-^ + 1 {та-ЪаШ п = С1*1 ГТ сЬа (—п'"'-^-1

2-4, 4-111 Ч^ 4 л „ ' а=3 Vх! Х2 — -*>г7 0, ТПХ 1,

0,тп (/' =3,«),

3 „ „ \тх-Ь^+т2+^ (та-Ьа) л2 /7 / а=3 Л Ц-^+т2-1 + т3+. + т^С-!)"'-^-1

777] — 1 1 1 п ' а=3 х у1\-Ъ\+тг+Т. (™а-Ьа) а= 3

Ьх = 0,т, -1,6г = 0,т{,г = Ъ,п,Ьх +Ь3+. + Ьп >0

-Г'-Ч^-Ь1+т2-\-Ь2 + £ (та-Ьа))1Д 2 а=3, т\-\Ъ\ аЬф2.Ъ„ - ^т^т,-] П / ч| а=3 — Х2 — . — Хп ^

-6, -1 + т2-Ь2 + £ (тв -6в))!Д ^.-1^2-1 11 (г - Г - -Г М-Н

2=3 V 1 2 *** п/ тх-Ьх+т2-Ъ2-1+2 (ша-6в) [(-Г'-^'ДА а=3 У

1. - .11 I . " —тг п <4

Х1 Х2 ••• ' ' ' '

Ьу = О, тх -1 ,Ь2 = 1 ,т2 -1, Ь1 = О, т-1,1 - 3,п.

§4 посвящен граничным задачам типа Гь которые в п.4.1 рассматриваются для уравнения четвертого порядка.

Таково вкратце содержание диссертации.

По мнению автора, основными в ней являются следующие результаты:

-Осуществлено дальнейшее развитие метода Римана, позволившее построить формулу решения задачи Гурса для общего уравнения (1).

-Сформулированы новые характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях и исследованы вопросы их разрешимости.

-Для уравнений четвертого и шестого порядка в двумерном и трехмерном пространствах выведены достаточные условия существования и единственности решения задачи Дирихле.

-Предложены новые многомерные задачи со смещениями в граничных условиях и исследованы вопросы их разрешимости.

-На основе дальнейшей разработки метода каскадного интегрирования построены многомерные аналоги уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и предложен специальный вариант метода Римана, позволяющий для этих аналогов строить решения задач типа Гурса.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах [34] — [36], [38], [39], [41], [43], [48], [49], [107] - [156], [203] - [206]. Из них [36], [41], [43], [116], [124], [127], [128], [131], [134], [135], [137], [139], [140], [143], [144], [151], [152], [154], [155], [156], [203]-[206] входят в Перечень ВАК. Некоторые представленные результаты были опубликованы в соавторстве с В.И.Жегаловым, который являлся моим научным руководителем при работе над кандидатской диссертацией и в большинстве совместных с ним, работ ему принадлежали постановки задач и общие рекомендации о возможных путях их исследования.

Почти весь представленный материал, по мере его получения, обсуждался на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета и на итоговых научных конференциях КГУ (ежегодно с 1997 по 2010).

Часть результатов диссертации была доложены в МГУ на семинаре акад. Е.И.Моисеева, 2002г.;

Обзорные доклады по диссертации были сделаны на семинарах: в Институте математики им.С.Л.Соболева РАН в Новосибирске на семинарах по неклассическим уравнениям математической физики (руководитель проф. А.И.Кожанов) и по качественной теории дифференциальных уравнений (руководитель проф.В.С.Белоносов), 2004г.; кафедры математического анализа Белгородского государственного университета (руководитель проф.А.П.Солдатов), 2005г.; в МГУ на семинаре акад. Е.И.Моисеева, 2011г.; в РУДН на семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (руководитель проф.А.Л.Скубачевский), 2011г.

Были сделаны доклады на различных научных конференциях, в том числе, международных. Например:

Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Ырпт -98), посвященном памяти С.Л. Соболева (Новосибирск, 1998);

Международной научной конференции, посвященной 70-летию акад. В.А. Ильина (Стерлитамак,1998)

Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2000);

Международной конференции АМАБЕ (Минск, Беларусь, 2003); III международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики»(Нальчик, 2006);

Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию акад. В.А.Садовничего (Москва, 2009).

Названия других конференций указаны в списке литературы [34], [38], [39], [107], [109], [114], [117]-[120], [122], [123], [125], [129], [130], [133], [136], [138], [141], [145], [146], [148]-[150].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Уткина, Елена Анатольевна, 2011 год

1.Александрии, P.A. О задаче Дирихле для уравнения струны и о полноте одной системы функций в круге/ Р.А.Александрян// ДАН СССР, 1950, т.73, №5 — С.869 - 872.

2. Александрии, P.A. Построение полной совокупности решений однородной задачи Дирихле для уравнения колебаний струны/Р.А. Александрян // ДАН СССР, 1965, т. 162, №2.- С.247 250.

3. Березанский, Ю.М. О задаче типа Дирихле для уравнения колебания струны/ Ю.М.Березанский // УМЖ.-1960.- Т.12.- №4,- С.363 372.

4. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных/ А.В.Бицадзе.-М.: Наука 1981.^48 с.

5. Бицадзе, A.B.О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач/ А.В.Бицадзе, А.А.Самарский // ДАН СССР 1969 — Т. 185,№3.-С.739-740.

6. Бицадзе, A.B. Уравнения математической физики/ А.В.Бицадзе М.: Наука, 1982.-336 с.

7. Бондаренко, Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных/ Б.А.Бондаренко-Ташкент: Фан, 1987.-146 с.

8. Вахания, H.H. Об одной краевой задаче с заданием на всей границе для гиперболической системы, эквивалентной уравнению колебаний струны/ Н.Н.Вахания// ДАН СССР, 1957, т.116, №6, с.906 909.

9. Волкодавов, В.Ф. Основные краевые задачи для одного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида/ В.Ф.Волкодавов, И.Н.Родионова // Дифференц.уравнения.— 1993.-Т.29, №8.-С.1459 1461.

10. Волкодавов, В.Ф. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка/ В.Ф.Волкодавов, А.В.Дорофеев// Изв.вузов. Математика 1993-№11.-С.6 -8.

11. Волкодавов, В.Ф. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в п- мерном евклидовом пространстве и их применения/ В.Ф.Волкодавов, Н.Я:Николаев, О.К.Быстрова, В.Н.Захаров. Самара: «Самарский университет», 1995 - 76 с.

12. Волкодавов, В.Ф. Функция Римана. для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном евклидовом пространстве и ее применения/B.Ф.Волкодавов, В.Н.Захаров. Самара, 1996 - 52 с.

13. Гантмахер, Ф.Р.Теория матриц/ Ф.Р. Гантмахер. М. : Наука, 1967576с.

14. Голубева,Н.Д. Об одной нелокальной задаче с интегральными усло-виями/Н.Д.Голубева, Л.С.Пулькина//Матем. заметки.-1996.-Т.59- Вып.ЗC.456^58.

15. Данилкина, О.Ю. Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типа/О.Ю.Данилкина—Дисс.канд.физ.-мат.наук.-Казанск.ун-т, 2007.-113 с.

16. Джохадзе, О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых линейных дифференциальных уравнений в частных производных/ О.М.Джохадзе// Дифференц.уравнения-2003-Т. 10.-№1.-С.58-68.

17. Джохадзе, О.М. Задача Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами/О.М. Джохадзе// Дифференц.уравнения-1996.- Т.32 №3.-С.523-535.

18. Джохадзе, О.М.Пространственные гиперболичесісие уравнения высокого порядка с доминированными младшими членами/ О.М.Джохадзе, Б.Мидорашвили // Изв.вузов.Матем-2006 №6.-С.25-33.

19. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих, характеристиках и с разрывами на переходной линии/ В.И.Жегалов//Уч.зап.Казанск.ун-та. 1962.-Т.122 - №3.-С,3-16.

20. Жегалов, В.И. Об одной системе уравнений смешанного типа высшего порядка/ В.И.Жегалов// Изв. вузов. Математика.- 1975 №6.- С. 25-35.

21. Жегалов, В.И. Одновременное обобщение задач Трикоми и Геллер-стедта/ В.И.Жегалов//Корректные краевые задачи для неклассических уравнений метематической физики. Новосибирск:ИМ СО АН СССР, 1981. С.58-61.

22. Жегалов, В.И. Исследование краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа/ В.И.Жегалов// Дисс.д-ра физ.-мат.н- Казань, 1987.- 297с.

23. Жегалов, В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса/ В.И.Жегалов// Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа Новосибирск: ИМ СО АН СССР.-1990.-С.94—98.

24. Жегалов, В.И.Задача Гурса в четырехмерном пространстве/B.И.Жегалов, В.А.Севастьянов// Дифференц.уравнения.-1996.-Т.32.- №10 —C.1429-1430.

25. Жегалов, В.И. Вариант трехмерной краевой задачи со смещениями/ В.И.Жегалов// Тезисы докладов международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы матем.биологии, информатики и физики». -Нальчик, 1996. С.37.

26. Жегалов, В.И. Трехмерный вариант каскадного метода/ В.И.Жегалов// Материалы VI международной научной конф.им.акад.М.Кравчука.-Киев, 1991.-С. 165.

27. Жегалов, В.И. Задача Гурса в п-мерном пространстве/ В.И.Жегалов,B.А.Севастьянов/ Редакция Сиб.матем.журн- Новосибирск, 1997-Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, №2290-В97.-4с.

28. Жегалов, В.И. О трехмерной функции Римана/ В.И.Жегалов// Сиб. матем.журн — 1997.-Т.38,№5.-С. 1074-1079.

29. Жегалов, В.И.Вариант метода Римана для одного уравнения третьего порядка/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина.- Труды седьмой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч.Ш.- Самара, 1997 С.32-33.

30. Жегалов, В.И.Случаи явного решения задачи Гурса для одного псевдопараболического уравнения третьего порядка/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина-Труды третьей международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения»-Саранск.-1998.-С.27.

31. Жегалов, В.И. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика- 1999 №10 —C.73-76.

32. Жегалов, В.И. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях/ В.И.Жегалов, А.Н.Миронов// Дифференц. уравнения 2000.-Т.36,№6.-С.833 - 836.

33. Жегалов,В.И. Один пространственный вариант задачи Гурса/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина.- Труды X межвуз. конф «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3 Самара - 2000.-С. 65-67.

34. Жегалов, В.И.Задача Гурса для одного уравнения в трехмерном пространстве/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина.- Материалы международной научной конф. «Актуальные проблемы математики и механики», 1-3 октября 2000 г. -Казань.-С.270-271.

35. Жегалов, В.И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными/ В.И.Жегалов, А.Н.Миронов — Казань: Казанск.матем.о-во, 2001.-226 с.

36. Жегалов, В.И.Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей частной производной/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика.- 2001 .-№11 -С.77-81.

37. Жегалов, В.И.Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Дифференц. уравнения.- 2002 Т.38- №1.-С.93-97.

38. Жегалов, В.И. Понижение порядка двух псевдопараболических уравнений/ В.И.Жегалов- Труды международной научной конференции «Диф.уравнения и их приложения».— Самара. -2002 С. 126-128.

39. Жегалов, В.И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах/ В.И.Жегалов// Изв.вузов.Математика.- 2003- №7.- С.47-52.

40. Жегалов, В.И. Об одном направлении развития метода Римана/B.И.Жегалов// Вестник Сам.ГТУ.Серия «Математическая».- №31.-2003 —C.9- 18.

41. Жегалов, В.И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах/ В.И.Жегалов// Изв.вузов.Математика 2004- №7.-С.47 - 52.7

42. Жегалов, В.И. Краевая задача со смещениями в Я / В.И.Жегалов, Е.А.Уткина.— Материалы докладов III международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы матем.биологии, информатики и физики». Нальчик,2006.-С.118-120.

43. Жегалов, В.И.Трехмерная нелокальная задача с нормальными производными в граничных условиях/ В.И.Жегалов, Е.А.Уткина// Известия РАEH. Дифференц. уравнения.-Рязань: Рязанский государственный университет, 2006.- №11.- С. 86-87.

44. Жегалов, В.И.Метод каскадного интегрирования в трехмерном пространстве/ В.И.Жегалов, О.А.Тихонова// Труды матем.центра им.Н.И.Лобачевского Казань, 2008.-Т.37.-С.50-52.

45. Жибер, A.B. Инварианты Лапласа и интегрируемые уравнения лиу-виллевского^типа/ А.В.Жибер// Вестн. УГАТУ, 2001.- №2.-С.38-44.

46. Жибер, A.B. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений/ А.В.Жибер, СЛ.Старцев// Матем.заметки 2003.-Т.74,вып.6.-С.848-857.

47. Жибер, A.B. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа/ А.В.Жибер, Ю.Г.Михайлова// Тр.ин-та математики и механики. Екатеринбург, 2007 Т.13, вып.4 - С.74 - 83.

48. Жибер, A.B. Алгоритм« построения общего решения п компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи/ А.В.Жибер, Ю.Г.Михайлова// Уфимский матем.журнал — 2009.-Т.1, №3- С.28 - 45.

49. Ибрагимов, Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования/ Н.Х.Ибрагимов.- Нижний Новгород: Изд-во Нижегор. гос. университета. 2007 421 с.

50. Ильин, В.А.Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках/ В.А.Ильин, Е.И.Моисеев//Матем.моделирование-1990-Т.2, №8.-С.139 156.

51. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием/ Н.И.Ионкин // Диффе-ренц.уравнения.- 1977.-Т.13,№2.-С.294 303.

52. Карачик, В.В.О разрешимости задачи Гурса для линейного уравнения Манжерона с постоянными коэффициентами/ В.В.Карачик, Г.У.Саидкаримова// Докл. АН УзССР.-1990.-№9.-С.7 9.

53. Кигурадзе, Т.И. О корректности начально — краевых задач для линейных гиперболических уравнений высших порядков с двумя независимыми переменными/ Т.И.Кигурадзе, Т.Кусано// Дифференц. уравнения, 2003-Т.39, №3 С.516 - 526.

54. Кириллов, A.A. Теоремы и задачи функционального анализа/ А.А.Кириллов, А.Д.Гвиршиани. М. Наука, 1979.- 384 с.

55. Кожанов, А.И.Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений/ А.И.Кожанов, Л.С.Пулькина// ДАН.- 2005.- Т.403.-№5.-С. 584 592.

56. Кожанов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений/ А.И.Кожанов //Вестник СамГТУ. Сер. физ.-мат. науки 2003 - Т.30 - С.63-69.

57. Кожанов, А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Адлера/ А.И.Кожанов// Дифференц. уравнения 2003.-№6.-С.763-773.

58. Котухов, М.П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных/ М.П.Котухов // Изв.вузов. Математика.- 1996.-№5.-С.59-62.

59. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. М.:Наука, 1976. — 544 с.

60. Крапивин, В.Ф.Математическое моделирование глобальных биосферных процессов/ В.Ф.Крапивин, Ю.М.Свирежев, А.М.Тарко- М.: Наука, 1982.-272 с.

61. Ладыженская, O.A. Краевые задачи математической физики/ О.А.Ладыженская-М.: 1973.-408 с.

62. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи/ Е.И.Моисеев// Дифференц.уравнения-1999—Т.35—№8 — С.1094—1100.73Мюнтц, Г.Интегральные уравнения/Г.Мюнтц.-TJ -М.Д ТГИ.-1933. 330 с.

63. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии/ А.М.Нахушев.-М.: Высшая школа, 1995.-301 с.

64. Нахушев, A.M. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа/ А.М.Нахушев// Дифференц. уравнения.- 1969 Т.5.-№1.-С 44-59.

65. Нахушев, A.M. О нелокальных задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями/ А.М.Нахушев// Дифференц.уравнения 1985 — Т.21.-№1.-С.92 - 101.

66. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных/ А.М.Нахушев М.: Наука, 2006 - 287 с.

67. Нахушев, A.M. Некоторые факты из теории краевых задач со смещением/ А.М.Нахушев// Вестник Сам.ГТУ.Серия «Математическая».-2006-№45.- С.9-31.

68. Невоструев, JI.M. Задача Неймана для общего уравнения Лаврентье-ва-Бицадзе/ Л.М.Невоструев// Дифференц. уравнения-1973 Т.9.- №2-С.320-323.

69. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Л.С.Понтрягин.-М., Наука 1970.-332с.

70. Пулькина, Л.С. О разрешимости в нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ Л.С.Пулькина// Дифференц. уравнения 2000. -Т.36.- № 2.- С.279-280.

71. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения/ Л.С.Пулькина// Матем. замет-ки.-2001-.Т.70.-Вып.1.- С.88-95.

72. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения/Л.С.Пулькина// Дифференц. уравнения 2003— Т.40.- №7.- С.887-892

73. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности. Неклассические уравнения математической физики/ Л.С.Пулькина// ИМ СО АН. Новосибирск. 2005. -С.231-239.

74. Репин, O.A. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения/ О. А.Репин, Т. В.Шувалова//Дифференц. уравнения.- 2008. Т.44.- № 6.- С. 848-851.

75. Самарский, A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений/ A.A.Самарский// Дифференц. уравнения- 1980— Т. 16-№11 -С 1925-1935.

76. Сердюкова, С.И. Экзотическая асимптотика для линейного гиперболического уравнения/С.И.Сердюкова// Докл. РАН. -2003.-Т.389- №3-С.305-309.

77. Скубачевский, А.Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач/А.Л.Скубачевский// Матем.сб — 1982 Т.117(159).-№3-С.548 -558.

78. Соболев, С.Л. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебаний струны с данными на всей границе/ С.Л.Соболев// ДАН СССР — 1956.- Т. 109.- №3.- С.707 709.

79. Солдатов, А.П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А.Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка/A.П.Солдатов, М.Х.Шхануков// ДАН СССР.- 1987.- Т.297.- №3.- С.547-552.

80. Старцев, С.Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем/ С.Я.Старцев// Мат.заметки- 2008 — Т.83,вып.1 — С.107 — 118.

81. Стеклов, В.А. Основные задачи математической физики/B.А.Стеклов.-М.:Наука, 1983.-432 с.

82. Трикоми,Ф. Лекции по уравнениям в частных производных/ Ф.Трикоми- М.: ИЛ, 1957.-443 е.; переиздано (стереотипно) в 2007г (М.:Комкнига)

83. Фаге, М.К. Дифференциальные уравнения с чистосмешанными производными и главным членом/ М.К.Фаге// ДАН СССР 1956 - Т. 108, №5C.780-785.

84. Фаге, М.К. Задача Коши для уравнения Бианки/М.К.Фаге// Матем. сб.- 1958.-Т.451(87), №3.- С.281 322.

85. Фаге, М.К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной/ М.К.Фаге// Труды Моск. матем. о-ва 1958 - Т.7.- С.227-268.

86. Фаге, М.К. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов/ М.К.Фаге, Н.И.Нагнибида- Новосибирск: Наука, 1987.-290 с.

87. Фиголь, В.В. Краевые задачи с данными на всей границе для дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического и составного типов/ В.В.Фиголь. -Автореферат дисс.кандидата физ.-мат.наук-Донецк, ИПММ АН УССР-1985.-16 с.

88. Шхануков, М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при фильтрации жидкости в пористых средах/ М.Х.Шхануков// Дифференц. уравнения.-1982.- Т.18.- №3.-С.689-699.

89. Уткина, Е.А. Некоторые видоизменения граничных условии одной задачи Гурса/ Е.А.Уткина.- Материалы конференции «Алгебра и анализ», посвященной 100-летию Б.М. Гагаева.-Казань.-1997-С.221-222.

90. Уткина, Е.А.Об одном псевдопараболическом уравнении четвертого порядка/ Е.А.Уткина.- Тезисы докладов Третьего сибирского конгресса поприкладной и индустриальной математике, посвященного памяти C.JI. Соболева- Новосибирск-1998 С.42.

91. Уткина, Е.А. О явной редукции характеристических задач с нормальными производными высокого порядка к задаче Гурса/ Е.А.Уткина/ Казанский ун-т.- Казань, 1999.- 27с. Деп. в ВИНИТИ 17.03.99, №818-899.

92. З.Уткина, Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка/ Е.А.Уткина/ Ред. ж. "Дифференц. уравнения".- Минск, 1999-13с. Деп. В ВИНИТИ 28.06.99, №2059-В99.

93. Уткина, Е.А. Граничные свойства решений задачи Гурса для одного уравнения четвертого порядка/ Е.А.Уткина.—Труды IX межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи».Часть 3— Самара, 1999.-С. 134-139.

94. Уткина, Е.А. О некоторых трехмерных характеристических задачах/ Е.А.Уткина.- Материалы международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения».-Самара,2002-С.353-355.

95. Уткина, Е.А.Об одной плоской характеристической задаче/ Е.А.Уткина- Труды международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы», Стерлитамак, 2003.-Т.1.-С.239-240.

96. Уткина, Е.А. Об одной трехмерной характеристической задаче/ Е.А.Уткина.- Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. Сб. тезисов международной конференции AMADE. Минск. Ин-т ма-тем.НАН Беларуси, 2003.- С. 175.

97. Уткина, Е.А. К задачам с условиями на характеристиках для общего псевдопараболического уравнения/ Е.А.Уткина// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Математическая».—2003-№2.— С.217-223.

98. Уткина, Е.А. К краевым задачам для одного трехмерного уравнения высокого порядка/ Е.А.Уткина.- Материалы XL всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва: Издательство РУДН, 2004.- С.28-31.

99. Уткина, Е.А. О повышении порядка нормальных производных в граничных условиях одной пространственной задачи Гурса/Е.А.Уткина// Известия РАЕН. Дифференц. уравнения Рязань: Рязанский государственный университет, 2004.-№ 8.- С. 92-97.

100. Уткина, Е.А. Вариант метода Римана в четырехмерном евклидовом пространстве/Е.А.Уткина// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Математическая».—2004.-№3- С.63-80.

101. Уткина, Е.А. Задача Гурса для одного n-мерного уравнения/ Е.А.Уткина/УВестник Самарского государственного университета. Спец. вы-пуск.-2004.-С.64-67.

102. Уткина,Е.А. Обходном пространственном уравнении в частных производных шестого порядка/ Е.А.Уткина.- Труды Всероссийской конференции «Современные проблемы физики и математики», г. Стерлитамак— Уфа: Изд-во Гилем, 2004. Т.1. - С. 108-112.

103. Уткина, Е.А. О задачах Гурса с дополнительными нормальными производными в краевых условиях/ Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика— 2004.-№3.-С. 61-65.

104. Уткина, Е.А. Об одной неклассической задаче для псевдопараболического уравнения/Е.А.Уткина// Вестник Казанского государственного педагогического университета.-2004.-№2- С.25-31.

105. Уткина, Е.А. Об одном уравнении в частных производных высокого порядка с сингулярными коэффициентами/ Е.А.Уткина.- Труды второй всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3.- Самара. -2005 С.236-239.

106. Уткина, Е.А. Об одном дифференциальном уравнении со старшей частной производной в трехмерном пространстве/ Е.А.Уткина // Дифференц. уравнения.- Т.41- №5.-2005.-С.697-701.

107. Уткина, Е.А. К общему случаю задачи Гурса/ Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика-2005.— №8 — С. 57-62.

108. Уткина, Е.А. К развитию метода Лапласа для одного общего трехмерного уравнения/ Е.А.Уткина.— Труды международной научной конференции «Современные методы физико-математических наук».- Орел, 2006 С. 126-129.

109. Уткина, Е.А. Об одном обобщении интегральных уравнений Воль-терра/ Е.А.Уткина//Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагоги-ческогоуниверситета.-2006.-№—7-С. 90-93.

110. Уткина, Е.А. Краевая задача со смещениями в Я3/ Е.А.Уткина-Материалы III международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики».-Нальчик, 2006. -С. 118-120.

111. Уткина, Е.А. О задачах со смещениями в граничных условиях для двух уравнений с частными производными/ Е.А.Уткина// Уч.записки Казанского университета. Серия физ.-мат.науки 2006.-Т.148,книга 3 - С.76-82.

112. Уткина, Е.А. Об одном уравнении в частных производных с сингулярными коэффициентами/ Е.А.Уткина // Изв. вузов. Математика — 2006.-№9.- С. 67-70.

113. Уткина, Е.А. Нелокальная краевая задача для уравнения Бианки в В3/ Е.А.Уткина.- Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения».- Самара, 2007.-С.45-48.

114. Уткина, Е.А. Повышение порядка нормальных производных в граничных условиях задачи Гурса/ Е.А.Уткина// Изв. вузов. Математика — 2007— №3.- С. 79-83.

115. Уткина, Е.А.Об одной трехмерной нелокальной задаче для уравнения четвертого порядка/ Е.А.Уткина// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Математическая».-2007.-№6- С. 110— 115.

116. Уткина, Е.А. Задача со смещениями для уравнения пятого порядка в В3/ Е.А.Уткина.- Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики»-Эльбрус,2008.- С.164—166.

117. Уткина, Е.А. Краевая задача со смещениями для четырехмерного уравнения Бианки/ Е.А.Уткина.- Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова.-Ростов-на Дону, 2008.—секция 3.-С.249-251.

118. Уткина, Е.А. Об одном обобщении задачи Гурса/ Е.А.Уткина.-Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», Стерлитамак. Уфа: Изд-во Гилем, 2008. — Т.1. -С.209-215.

119. Уткина, Е.А. К задачам со смещениями для четырехмерного уравнения Бианки/Е.А.Уткина// Вестник Самарского государственного университета. Естественнонауч.серия- 2008.-№8/2.- С.212 — 221.

120. Уткина, Е.А. Об одной краевой задаче со смещениями в четырехмерном пространстве/ Е.А.Уткина1// Изв. вузов. Математика-2009 №3- С. 50-55.

121. Уткина,' Е.А. Задача со смещениями для трехмерного уравнения Бианки/ Е.А.Уткина// Дифференц. уравнения 2010 - Т. 46 - № 4 - С. 535539.

122. Уткина, Е.А. Задача Дирихле для одного трехмерного уравнения/ Е.А.Уткина/Е.А.Уткина // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонауч.серия 2010.-№2(76) - С.84 - 95.

123. Уткина, Е.А. О единственности решения полуинтегральной задачи для одного уравнения четвертого порядка/ Е.А.Уткина // Вестник Самарского государственного университета.Естественнонауч.серия -2010.-№4(78).—C.98- 102.

124. Abdul-Latif, A.I. Dirichlet, Neumann and mixed Dirichlet- Neumann value problems for u^ = 0 in rectangles/ A.I.Abdul Latif // Proc.Roy.Sos.Edinburgh.-l 978 -Ser. A, № 82.- P. 107 -110.

125. Abdul Latif, A.I. Neumann1 and mixed boundary problems for the wave equation uxx-uyy = 0 for a rectangle/ Abdul - Latif A.I., Diaz J.B.// Applicable Analysis. Vol.1,(1971).-P.1-12.

126. Bianchi, L.Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lin-eari alle derivate parziali d'ordine superiore/ L.Bianchi// Atti R.Accad. Lincei.Rend.Cl.Sc.fis., mat.e nature- 1985.- Vol.IV, 1 sem P.89 - 99, 133 -142.

127. Bateman, H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation/ H.Bateman// Proc.USA Acad.-l 933 .-V. 19.-P.852-853.

128. Bourgin, D.G. The Dirichlet problem for a vibrating string equation/D.G.Bourgin, R.Duffm// Bull.Amer.Math.Soc.45 (1939). P. 851-858.

129. Cannon, J.R. The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy/ J.R.Cannon// Quart. Appl.Math.- 1963.-V.21.-P.155-160.

130. Caffarelli, L.A. A free boundary problem describing transition in a superconductor/ L.A.Caffarelli, A.Friedman, A.Visitin// SIAM J.Math.Anal 1981-V.12,№5.-P.679 - 690.

131. Colton,D. Pseudoparabolic equations in one space variable/ D.Colton// J.Different.equations.- 1972.-V.12, №3.- P.559 565.

132. Corduneanu, A. About the equation u^ + cu = gf A.Corduneanu//Bui.Inst. politehn.Jasi.Sectia 1.- 1973.- V.20, №1.- P.103 -109.