Характеризация спектральных данных гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом с конечной энергией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Челкак, Дмитрий Сергеевич

• Челкак, Дмитрий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Челкак, Дмитрий Сергеевич

1 Введение

1.1 Исторический очерк и постановка задачи.

1.2 Основные результаты диссертации

1.3 Структура диссертации и ключевые результаты.

1.4 Открытые вопросы

2 Построение фундаментальных решений

2.1 Неравенство Р.01уег'а для невозмущенных решений ф± {х, А).

2.2 Свойства невозмущенного вронскиана ю°(Л).

2.3 Построение и оценка итерационного ядра «7°(х, А).

2.4 Построение фундаментальных решений ф±(х, А) и оценка вронскиана ги(А, д)

2.5 Построение фундаментальных решений 1?112(о:, А).

2.6 Асимптотическое поведение решений при х—>±оо

3 Теорема единственности

3.1 Самосопряженность оператора Тд.

3.2 Класс В.

3.3 Асимптотика корней вронскиана ги(», q).

3.4 Определение нормирующих постоянных и грубые асимптотики спектральных данных

3.5 Доказательство теоремы единственности.

4 Аналитичность и градиенты спектральных данных

4.1 Аналитичность фундаментальных решений и вронскиана.

4.2 Градиенты собственных значений.

4.3 Градиенты нормирующих постоянных.

4.4 Аналитическое продолжение спектральных данных на комплексные потенциалы.

4.5 Свойства функций ^п и ФпХп

5 Формальная производная Фреше Фд и определение пространства спектральных данных

5.1 Тождества для квадратов полиномов Эрмита.

5.2 Разложения функций ФпХп по вспомогательному базису.

5.3 Определение пространства потенциалов Н и представление оператора Фд во вспомогательном базисе.

5.4 Определение и простейшие свойства пространств Л, Но, И.0.

6 Асимптотики спектральных данных

6.1 Предварительные вычисления.

6.2 Обоснование метода вычисления асимптотики собственных значений.

6.3 Первые слагаемые в асимптотиках спектральных данных.

6.4 Второе слагаемое в асимптотике собственных значений.

6.5 Второе слагаемое в асимптотике нормирующих постоянных.

7 Доказательство теоремы 1.

7.1 Ф - локальный вещественно-аналитический изоморфизм.

7.2 Преобразование Дарбу (предварительные результаты).

7.3 Преобразование Дарбу (изменение спектральных данных).

7.4 Сюръективность отображения Ф.

8 Свойства пространства спектральных данных

8.1 Пространства Соболева и их связь с преобразованием

Меллина (необходимые сведения).

8.2 Изоморфизм пространств Н° и Tío

8.3 Доказательство теоремы 1.2.

8.4 Аппроксимация конечными последовательностями в Tío, свойства операторов Тп.

8.5 Свойства операторов Vn.

9 Доказательство теорем 6.7 и 6.

9.1 Предварительные оценки.

9.2 Доказательство неравенств (6.24), (6.34) в теоремах 6.7, 6.10.

9.3 Доказательство неравенств (6.25), (6.35) в теоремах 6.7, 6.10.

9.4 Доказательство неравенств (6.26), (6.36) в теоремах 6.7, 6.10.

9.5 Оценка интегралов 7^0,0)(1,д) и

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеризация спектральных данных гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом с конечной энергией»

1.1 Исторический очерк и постановка задачи

История обратных спектральных задач восходит к середине XX века к работам таких авторов, как G.Borg, N.Levinson, И.М.Гельфанд и Б.М.Левитан, В.А.Марченко, М.Г.Крейн, Л.Д.Фаддеев и др. Первой из этого класса задач, в связи с квантовой теорией рассеяния, была исследована обратная задача рассеяния на полупрямой:

Решение уравнения Ьф = —ф"(х, к)+д(х)ф(х, к) = к2ф(х, к), ф(0, к) = 0, при условии, что потенциал q(x) достаточно быстро убывает при х—>+оо, имеет асимптотику ф(х, к) ?aC(k)sm(kx—i](k)). Спрашивается, насколько знание функции т)(к) определяет функцию q(x) и как связаны их свойства.

Эта задача в 1955г. была решена М.Г. Крейном [1] и В.А.Марченко [2], которые показали, что ряд условий удобно формулировать в терминах преобразования Фурье функции e~2w,(fc) — 1. Так, В.А.Марченко установил, что потенциал q(x) обладает такими же свойствами при х —> 0 и х —► +оо, как производная от этого преобразования Фурье. Кроме того, необходимо упомянуть процедуру явного построения потенциала по спектральной функции, полученную И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном [3], которые свели задачу к линейному интегральному уравнению. Достаточно полный обзор теории обратной задачи рассеяния на полупрямой был дан Л.Д.Фадцеевым [4]. После работ, упомянутых выше, появилась большая литература, посвященная переносу этих результатов на различные уравнения (с особенностью типа 1(1+1)х~2 и т.п.). В частности, обратная задача рассеяния на всей прямой была (с некоторыми неточностями) в 1964г. решена Л.Д.Фадцеевым [5]. Позднее, в 1979 г., P.Deift и E.Trubowitz [6] показали, что теорема Фаддеева справедлива лишь при некоторых дополнительных условиях и дали ее новое доказательство (отметим также последующую работу T.Kappeler'a и E.Trubowitz'a [7], посвященную свойствам аналитичности спектрального отображения).

Параллельно с обратными задачами рассеяния изучались и такие задачи, в которых естественный набор спектральных данных является не одной или несколькими функциями, как в рассмотренном выше примере, но некоторым счетным множеством параметров. Рассмотрим, например, уравнение Шредингера на всей прямой с периодическим потенциалом (оператор Хилла):

Пусть q е Ь2[0,1], q(x) = q{x + 1). Тогда спектр оператора Шредингера -cß/dx2-\-q(x) состоит из бесконечной последовательности зон однократного непрерывного спектра. Спрашивается, можно ли описать все такие последовательности, отвечающие рассматриваемому классу потенциалов.

В 1984г. J.Garnet и E.Trubowitz [8] (см. также [9]), опираясь на работу В.А.Марченко и И.В.Островского [10], доказали, что отображение, сопоставляющее каждому четному потенциалу с нулевым средним1 последовательность длин лакун спектра со знаками,

1гГо есть такому потенциалу, что g(x)=q(l— х) и /Jq(t)dt=0. выбранными неким специальным образом, является вещественно-аналитическим изоморфизмом2 пространства потенциалов Lo et;en[0,1] и гильбертова пространства последовательностей £2. Позднее П.П.Каргаев и Е.Л.Коротяев [11] существенно упростили доказательство этой теоремы. Также упомянутыми авторами были получены аналогичные результаты, не ограничивающиеся рассмотрением только подпространства четных потенциалов (в общей ситуации необходимо ввести дополнительный счетный набор спектральных параметров, на природе которых мы не будем здесь останавливаться, см. также работу E.Trubowitz'a [12]). Отметим, что сюръективность спектрального отображения в рассматриваемой задаче вытекает из весьма общих соображений теории аналитических отображений банаховых пространств. Это позволяет избежать технически трудного обоснования сходимости процедуры восстановления потенциала по спектральным данным. К обратной задаче для оператора Хилла примыкает обратная задача для периодических матриц Якоби, рассмотренная в работе Л.В.Перколаб [13]. Отметим также недавнюю (2002г.) работу А.В.Баданина, M.Klein'a и Е.Л.Коротяева [14], в которой установлены аналогичные результаты для уравнения Камасса-Холма.

Третий класс обратных спектральных задач представляют задачи с чисто дискретным спектром. Простейшей из них является следующая:

Рассмотрим оператор Ty=—y"+q(x)y на отрезке [0,1] с граничными условиями Дирихле 7/(0)=2/(1)=0. Как описать множество всех возможных спектров, отвечающих таким операторам для некоторого класса потенциалов ql

Эта задача привлекала внимание исследователей начиная с работ G.Borg'a [15] и N.Le-vinson'a [16], в которых были получены теоремы единственности, то есть доказательства того, что тот или иной набор данных достаточен для однозначного определения потенциала. В 1987 году J.Pöschel и E.Trubowitz опубликовали монографию [17] (к сожалению, не переведенную на русский язык), посвященную обратной спектральной теории для задачи Дирихле на конечном интервале. В частности (мы не приводим здесь общий результат в целях экономии места), в этой книге доказано, что, если ограничиться рассмотрением четных потенциалов из класса L2[0,1] с нулевым средним, то множеством всех возможных спектров является S — |Ai < Аг < . : {Ап — пп2}^=1 е j . При этом получаемое соответствие между пространством потенциалов LliCven[0,1] и множеством допустимых спектров S есть вещественно-аналитический изоморфизм, если отождествить S с множеством S = |{А„ — 1т2}^=1 : {Ая}^ е «sj С I2. После выхода в свет монографии [17] появилось несколько работ, относящихся к другим задачам с чисто дискретным спектром. В частности, в 1988г. J.G.Guillot и J.V.Ralston [18] построили аналогичную теорию для операторов с особенностью 2х~2 на левом конце отрезка.

23десь и далее мы говорим, что отображение банаховых пространств / : Е —* F является вещественно-аналитическим, если для каждой точки у QE оно может быть продолжено в некоторую окрестность Uy С Ее до аналитического отображения fy : Uy —* Fe • Мы также говорим, что отображение есть вещественно-аналитический изоморфизм, если оно является биекцией и вещественно-аналитично вместе со своим обратным.

Представленная работа посвящена изучению другого семейства операторов с чисто дискретным спектром - гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом. Отметим, что такие операторы часто возникают в физических задачах. Рассмотрим квантово-механический гармонический осциллятор Т°у——у"+х2у, действующий в пространстве Ь2(Ш). Хорошо известно, что спектр оператора Т° чисто дискретен и состоит из простых собственных значений Л° = 2п+1, п^О. Положим

Т1у= -у" + х2у + д(х)у.

При весьма слабых ограничениях на потенциал д спектр оператора Тя также чисто дискретен и состоит из простых собственных значений Мя) < Ыя) < ■ ■ •

Обозначим через 1рп(х,д) соответствующие собственные функции. Следуя работе [19] (и по аналогии с |17]), мы вводим так называемые нормирующие постоянные

Vn(q) = lim log

Фп(х, q) lim log foo

0.

Отметим, что все нормирующие постоянные обращаются в нуль, если (и, как показано ниже, только если) д(х) является четной функцией. Рассмотрим отображение, сопоставляющее каждому потенциалу набор спектральных данных:

Ф :?и Ф(9) = (А(д); Щд)) = ({An(9)}~ ; K(g)}g°). (1.1)

Мы традиционно разделяем обратную спектральную задачу на следующие части: i) Единственность. Доказать, что данные Ф(д) однозначно определяют потенциал q. ii) Характеризация. Полностью описать множество спектральных данных, отвечающих заданному классу потенциалов, и свойства гладкости отображения Ф. iii) Восстановление. Найти алгоритм построения потенциала q по данным Ф(д).

Не так много работ посвящено обратной задаче для возмущенного гармонического осциллятора. Н.Р.МсКеап и E.Trubowitz [19] рассматривали задачу восстановления. Они дали алгоритм построения потенциала g по спектральным данным J\f(g) для таких возмущений из класса Шварца быстроубывающих, дифференцируемых бесконечное количество раз функций, что Хп(д) = А° для всех п и {fn(<7)}o° - быстроубывающая последовательность. Б.М.Левитан в работе [20] усилил некоторые результаты [19], не уточняя строго класс потенциалов. D.Gurarie [21] рассматривал специальные классы возмущений. F.Gesztesy и B.Simon [22] доказали несколько теорем единственности в терминах так называемой спектральной функции при весьма слабых предположениях на возмущение. В работе [22] доказана также единственность четного потенциала на всей прямой, соответствующего фиксированному дискретному спектру. В данной работе мы: i) доказываем теорему единственности для широкого класса потенциалов; ii) даем полную характеризацию спектральных данных для потенциалов, обладающих конечной энергией (т.е. g : (Т°д, д) <+оо), и доказываем аналитичность отображения Ф; iii) приводим результаты, касающиеся сходимости явной процедуры восстановления потенциала по спектральным данным в рассматриваемом классе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Челкак, Дмитрий Сергеевич, 2003 год

1. Марченко В.А., Островский И.В.: Характеристика спектра оператора Хилла, Мат. сборник 197 (1975), вып. 4, 540-606.

2. Karagev P., Korotyaev Е.: The inverse problem for the Hill operator, a direct approach, Invent. Math., 129, no. 3, 567-593 (1997), Errartum, Invent. Math. , 138, 227 (1999).

3. Trubowitz E.: The inverse problem for periodic potentials, Comm. Pure. Appl. Math., 30 (1977), 321-337.

4. Перколаб Л.В.: Обратная задача для периодических матриц Якоби, Функц. Анализ и Прилож., 42 (1984), 107-121

5. Badanin A., Klein М., Korotyaev Е.: The Marchenko-Ostrovski mapping and the trace formula for the Camassa-Holm equation, Preprint SFB 288, No 559, Berlin 2002.To be published in J. Funct. Anal.

6. Borg, G.: On the completeness of some sets of functions, Acta math. 81 (1949) 265-283.

7. Levinson, N.: On the uniqueness of the potential in a Schroedinger equation for a given asymptotic phase, Danske Videnskab. Seiskab Math.-fys. Medd. 25, №9 (1949), p.29.

8. Poschel J., Trubowitz E.: Inverse Spectral Theory. Academic Press, Boston, 1987.

9. Guillot J.G., Ralston J.V.: Inverse spectral theory for a singular Sturm-Liouville operator on 0,1], J. Diff. Eq., 76 (1988), 353-373.

10. McKean H. P., Trubowitz E.: The spectral class of the quantum-mechanical harmonic oscillator, Comm. Math. Phys. 82 (1981/82), no. 4, 471-495.

11. Левитан Б.М.: Об операторах Штурма-Лиувилля на всей прямой с одинаковым дискретным спектром, Мат. сборник 132(174) (1987), вып. 1, 73-149.

12. Gurarie D.: Asymptotic inverse spectral problem for anharmonic oscillators, Comm. Math. Phys. 112 (1987), no. 3, 491-502.

13. Gesztesy F., Simon В.: Uniqueness theorems in inverse spectral theory for one-dimensional Schrodinger operators, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), no. 1, 349-373.

14. Olver F.: Two inequalities for parabolic cylinder functions, Proc. Cambridge Philos. Soc. 57 (1961), 811-822.

15. Chelkak D., Kargaev P., Korotyaev E.: An Inverse Problem for an Harmonic Oscillator Perturbed by Potential: Uniqueness, Lett. Math. Phys. 64 (1), 7-21, April 2003.

16. Челкак Д.С.: Асимптотика спектральных данных гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом с конечной энергией, Препринт ПОМИ РАН, №14, Санкт-Петербург, 2003.

17. Челкак Д.С.: Аппроксимация в пространстве спектральных данных возмущенного гармонического осциллятора, Пробл. Мат. Анал. 26 (2003), 287-300.

18. Бейтмен Г., Эрдейи А.: Высшие транцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортоналъные многочлены. Москва, "Наука", 1974.

19. Рид М., Саймон Б.: Методы современной математической физики, т.2: Гармонический анализ. Самосопряженность. Москва, "Мир", 1978.

20. Маркушевич А.И.: Теория аналитических функций, т.1. Москва, "Наука", 1967.

21. Рид М., Саймон Б.: Методы современной математической физики, т.4-' Анализ операторов. Москва, "Мир", 1982.

22. Хилле Э., Филлипс Р.: Функциональный анализ и полугруппы. Изд. иностр. лит-ры, Москва, 1962.

23. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И.: Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, "Наука и техника", 1987.

24. Зигмунд А.: Тригонометрические ряды, т. 1. Москва, "Мир", 1965.

25. Гарнетт Дж.: Ограниченные аналитические функции. Москва, "Мир", 1984.

26. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полна Г.: Неравенства. Москва, "Иностранная литература", 1948.

27. Федорюк М.В.: Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, "Наука", 1983.