Кинетические модели столкновительной плазмы для установок УТС и космических двигателей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Батищев, Олег Викторович

• Батищев, Олег Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Батищев, Олег Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ГИБРИДНЫЙ МЕТОД ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКАХ ДЛЯ

МОДЕЛИРОВАНИЯ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ.

1.1 Прямое моделирование Кулоновских соударений.

1.2 Уравнение Ланжевена для модельных уравнений типа Фоккера-Планка.

1.3 Уравнение Ланжевена для Кулоновских столкновений.

1.4 Физическая модель пристеночного слоя Токамака.

1.5 Гибридный метод PIC для плазмы и нейтрального газа.

1.6 Моделирование бифуркации в SOL плазме Токамака.

ГЛАВА 2. КИНЕТИЧЕКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ОБЪЁМОВ ДЛЯ ПЛАЗМЫ С КУЛОНОВСКИМИ СТОЛКНОВЕНИЯМИ.

2.1 Метод расщепления для электрон-ионной плазмы с Кулоновскими столкновениями.

2.2 Конечно-разностная аппроксимация операторов.

2.3 Моделирование нелокального переноса в плазме.

2.4 Кинетическое моделирование стационарных течений пристеночной плазмы в экспериментальных Токамаках.

Алькатор.

TdeV.

Дублет.

2.5 Численное исследование переходных течений в пристеночной плазме Токамака.

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ ДЛЯ ГАЗА И ПЛАЗМЫ

С УПРУГИМИ И НЕУПРУГИМИ СТОЛКНОВЕНИЯМИ.

ЗЛ Консервативные конечно-разностные модели некоторых операторов упругого и неупругого рассеяния газа и плазмы.

3.2 Моделирование рециклинга нейтралов в пристеночной плазме Токамака.

3.3 Кинетическое моделирование термоэлектрического эффекта в пристеночной плазме Токамака.

3.4 Кинетическое моделирование серии вспышек пристеночных мод в SOL плазме Токамака.

3.5 Кинетическое моделирование линейной плазменной установки.

ГЛАВА 4. КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛАЗМЕННЫХ

КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЕЙ.

4.1 Прямое кинетическое (PIC) моделирование миниатюрного плазменного двигателя с анодным слоем.

4.2 Фоккер-Планковская модель плазменного двигателя с высоким удельным импульсом.

4.3 Численное исследование работы геликонного источника плазмы.

ГЛАВА 5. КОНСЕРВАТИВНЫЕ, АДАПТИВНЫЕ И ГИБРИДНЫЕ МЕТОДЫ КИНЕТИЧЕСКОГО И ЖИДКОСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГАЗА И ПЛАЗМЫ.

5.1 Полностью консервативный кинетический метод для столкновительных газа и плазмы.

5.2 Применение консервативного кинетического метода для моделирования течений газа и плазмы.

5.3 Универсальный адаптивный метод рекурсивного дробления и укрупнения сетки (РДУ).

5.4 Численный анализ бифуркации решений нелинейного уравнения теплопроводности со стоком.

5.5 Гибридный метод частиц и конечных разностей для моделирования газа и плазмы со столкновениями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетические модели столкновительной плазмы для установок УТС и космических двигателей»

Овладение управляемой термоядерной реакцией [1] и создание ракетных двигателей с высоким удельным импульсом [146] являются одними из ключевых вопросов, которые человечество должно решить в ближайшем будущем. Инженерное конструирование и оптимизация работы установок управляемого термоядерного синтеза (УУТС) [92] и плазменных ракетных двигателей (ГТРД) [147, 156] базируется на понимании сложных физических процессов, протекающих в них. В силу относительно высоких температур от единиц электронвольтов до десятков килоэлектронвольтов топливо в УУТС и ПРД находится в форме плазмы -газа с различной степенью ионизации: от 1% в плазменном источнике [42] до 100% в ядре Токамака [2]. В сильных магнитных полях, используемых для удержания заряженных частиц, течение плазмы подобно течению (замагниченной) жидкости [38].

Многообразные физические процессы в плазме могут быть описаны с помощью систем нелинейных уравнений в частных производных [4]. Наиболее полное описание динамики плазмы в УУТС и ПРД даётся кинетическими уравнениями [3-5, 20-21] для функций распределения её компонентов: электронов, ионов и нейтралов. Эти уравнения содержат в себе всё многообразие сложных процессов, протекающих одновременно в плазме: пространственный перенос частиц и излучения [17, 49, 174], самосогласованные и внешние электрическое и магнитное поля [2, 38], а также упругие и неупругие элементарные плазмохимические процессы [42, 44-47, 187], происходящие в объёме и на обращенных к плазме материальных поверхностях [43] рассматриваемых установок. В частности, возможно образование разрывов решения [172, 182] и локализованных структур [26, 183, 188], развитие неустойчивостей [44, 175, 178, 184-185, 243]. Решение систем кинетических уравнений даёт как качественное понимание нелинейного взаимовлияния различных плазменных процессов, так и их количественные характеристики, необходимые для оптимального инженерного проектирования.

Явления в плазме могут в ограниченном числе идеализированных случаев быть исследованы аналитически [38-39]. Следует отметить мощное направление автомодельных решений для жидкостных моделей газа и плазмы [176, 179, 40, 213] и для кинетических [84, 105, 212, 218, 309], позволяющих получать семейства точных аналитических функций. Полное же теоретико-аналитическое исследование систем кинетических уравнений невозможно из-за большой размерности, сложных граничных условий и геометрии, временной и пространственной разномасштабности протекающих процессов, сильной нелинейности [26]. Чисто экспериментальный подход ограничен: не даёт полной физической картины и далеко не все важные характеристики поддаются опытному измерению. К тому же стоимость современных лабораторных установок чрезвычайно высока.

Последнее обстоятельство требует объединения усилий многих стран. Яркими примерами международной научной кооперации являются проект Токамака-реактора Интернациональный Термоядерный Экспериментальный Реактор (ИТЭР) [92] и орбитальный проект Международной Космической Станции (МКС).

Неизбежная ограниченность чисто теоретических и чисто экспериментальных методов исследования и прогноза с одной стороны и потребности инженерного проектирования с другой естественно приводят к широкому использованию численных методов анализа [12, 14, 22, 25, 27]. Вычислительные модели и компьютерный эксперимент [8] широко используются в задачах механики жидкости, газа и плазмы с 50-х годов. В 60-е и 70-е годы прогресс был особенно бурным, когда параллельно с ростом производительности ЭВМ развились мощные численные методы: сеточно-разностные методы [22], методы конечных элементов [27], гибридные методы крупных частиц [7]. Моделирование течений жидкости, газа и плазмы на основе систем уравнений для нескольких первых (плотности, проекций средней скорости, температуры и давления) моментов [4, 19-21] функци распределения частиц стало повседневным инструментом как фундаментального, так и практического исследования.

Для кинетического моделирования разреженного газа были разработаны методы Монте-Карло [9-11], а для плазмы - методы частиц в ячейках [13,34]. Эти методы позволяют эффективно понизить размерность задачи, разделив пространственные и скоростные переменные, что в свою очередь позволило моделировать сложные системы на ЭВМ с ограниченной памятью. Метод частиц эффективен для моделирования бесстолкновительных систем на электронных плазменных временах и масштабах разделения заряда. Так, например, в работе [293] впервые моделировалась 2БЗУ самофокусировка ленточного РЭП с решением полной системы уравнений Максвелла [178], а в работе [277] - 2Т)2\ релаксация размытого электронного пучка, инжектируемого в плазму. При этом впервые на отечественной ЭВМ БЭСМ-6 был прёодолён рубеж в 1млн. частиц [230]. Низкая диффузия метода вихрей-в-ячейках использована для исследовании солитонов в замагниченной плазме и атмосфере [274, 276]. Однако методы частиц обладают высоким уровнем статистических флуктуаций, и строго говоря, численные решения, полученные с их использованием, не являются сошедшимися.

Поэтому, по мере развития ЭВМ, стали появляться конечно-разностные [37, 233-239] и характеристические методы [19] решения кинетических уравнений. Обычно для плазмы ограничивались простыми бесстолкновительными моделями [35-36], хотя для разреженного газа были разработаны методы с модельными [31,55] и даже с Больцмановскими интегралами столкновений [29-30]. Данные методы позволяют аккуратно разрешать функции распределения (ФР) во всём динамическом интервале -от теплового ядра до надтепловых хвостов. Последнее обстоятельство особенно важно для плазмы, где тепловой поток переносится частицами с энергиями 5-8Т, где Т - температура. Однако в силу большой ресурсоёмкости (ограниченность памяти для хранения сеточных величин) разностных методов, их применение ограничивалось 1V - одномерными по скорости и Ш1V - моделями.

По мере превращения ЭВМ в массовый бытовой прибор в 80е и 90е годы, с появлением персонального компьютера (ПК) и многопроцессорных ЭВМ [83] стало практически возможным переступить прежний двумерный рубеж и перейти к моделированию Ш2У систем со столкновениями [306] и даже двигаться дальше - к 2Б2У-203У [320].

Особенность кинетического моделирования плазмы состоит в том, что в ней сосуществуют лёгкие частицы (электроны, позитроны) и тяжёлые (ионы, нейтралы) с отношением масс М/т>1800. Электрический ток, тепловой поток, электрическое поле в основном определяются движением быстрых электронов [5]. Тяжёлые ионы и нейтральные частицы определяют тот медленно эволюционирующий фон, с которым взаимодействуют электроны. Это взаимодействие многогранное: через электрическое поле, упругие и неупругие столкновения частиц в объёме и со стенкой [43].

Первой целью данной работы являлась разработка новых численных методов для совместного кинетического моделирования электронов, ионов и нейтралов с учетом многообразных взаимодействий, включая нелинейные Кулоновские столкновения и разнообразные плазмохимические реакции в водородной (дейтериевой) плазме [310]. При этом линейный масштаб изучаемых систем на много порядков превосходит Дебаевский радиус экранирования, который не был прёодолён ни в методе частиц-в-ячейках, ни в разностных методах.

Вторая цель - это проведение кинетического исследования стационарных и нестационарных режимов течения плазмы в пристеночном слое экспериментальных и проектируемых токамаков и в линейных машинах. Оказывается, что число Кнудсена Кулоновских столкновений высокое, равно как и градиенты плазменных параметров вдоль магнитного поля. В результате перенос плазмы становится нелокальным, что приводит к многочисленным кинетическим эффектам [318]. Ряд экспериментальных фактов объясняется посредством наших кинетических расчётов.

Третья цель - это расчёты динамики плазмы и газа в плазменных космических двигателях двух типов. Первый тип основан на эффекте Холла [156,159]. Двигатель миниатюрный, диагностика затруднена. Второй тип двигателя, наоборот, большой мощности [147-149]. Числа Кнудсена для столкновений газа и плазмы варьируются в интервале 0.1-10. Поэтому необходимы кинетические либо гибридные модели. Последние разрабатываются, и результаты расчётов сравниваются с экспериментом. Также даётся прогноз будущих характеристик двигателя при увеличении размеров и его эффективность в космосе.

Последняя цель - это создание новых адаптивных, консервативных и гибридных численных методов [373, 385], позволяющих расчитывать слабо- и сильностолкновительные газово-плазменные системы с особенностями: резкие градиенты в конфигурационном и скоростном пространствах, бифуркация решений, высокая анизотропия, сложная геометрия и т.д.

Для решения кинетических уравнений, описывающих динамику заряженных или нейтральных частиц, используются различные численные методы. Для плазмы широко используется методы частиц в ячейках [34, 36, 41,186]. Они зародились в 50-ые годы (модель заряженных листов) и весьма часто использовались на компьютерах с малой памятью. Сильным недостатком, сдерживающим применение PIC метода для задач моделирования плазмы, является тот факт, что метод «шумящий». Чтобы понизить уровень флуктуации до, необходимо иметь 104 частиц в ячейке, что дорого с вычислительной стороны. Другим труднопреодолимым обстоятельством является необходимость разрешения хвостов функции распределения (до энергий =5-8Г).

Для того чтобы разрешить хвосты функции распределения на 3 о тепловых скоростях с точностью 10%, необходимо иметь 10 частиц в ячейке, что совершенно нереально сейчас и не будет возможно в обозримом будущем. Ещё одним узким местом метода частиц является то, что расчёты ведутся на временах порядка плазменного времени и на масштабах порядка Дебаевского радиуса экранирования. Попытки использовать неявные схемы [74] большого эффекта не дают.

Для моделирования столкновительной плазмы был развит гибрид PIC и Монте-Карло [41]. Однако в нём отсутствуют нелинейные Кулоновские соударения и электрическое поле определяется из уравнения Пуассона, что позволяет моделировать системы размером до 10002£), [6669] и совершенно недостаточно.

Альтернативными являются сеточные методы, которые оказались эффективными для бесстолкновительных систем с масштабами порядка разделения заряда в плазме [35, 73, 192-198, 232-242].

Дадим небольшой экскурс кинетическому моделированию плазмы УУТС и ПРД. PIC и Монте-Карло (МК) моделирование предшествовало конечно-разностному. В работах [78-79] линейный МК код использовался для оценок flux-limit фактора. Посредством бесстолкновительного PIC моделировался магнитный пристеночный слой [66-68] и немагнитные слой и предел ой [69]. Возможность полномасштабного PIC моделирования показана в [190], а в работе [216] моделировался переход к детачменту, где использовалась распараллеленная версия кода W1.

Конечно-разностное (KP) моделирование одних ионов в 1D2V приведено в работе [119]. Очень популярны линейные коды с разложением по полиномам [118, 126]. Успешно использовался метод переменных направлений [127-128] для расчетов неоклассической плазмы и коэффициентов теплопередачи на стенку. Есть группа специализированных 1D1V KP методов [123] с упрощенным столкновительным членом типа БГК [55]. Следует особо упомянуть интереснейший класс полностью консервативных методов для уравнения Ландау [4] , впервые рассмотренных в цикле работ [202-204], и развитых далее в публикациях [205, 207-210]. Консервативные (не полностью) схемы для кулоновских столкновений даны в [28, 37, 192-194, 196]. Первая попытка сравнения с экспериментом с помощью адаптивного кода ALLA (Фортран 77) [309] была выполнена в линейном приближении в работах [330]. Код применялся для моделирования переходных [311] и нелинейных [328] режимов в SOL плазме.

Методы типа PIC-Монте-Карло продолжают развиваться применительно к моделированию столкновительной плазмы газового разряда [257-258] и установок УТС [189,200,220,256-266]. Отметим бурное развитие неявных [221,227,229], гиро-кинетических [191,199] методов и численных методов, основанных на öf -приближении [219, 222-226].

Помимо магнитного удержания плазмы, следует отметить инерциальное удержание, где кинетические модели важны в ещё большей степени [190-195, 209, 213-217, 291-292] в силу меньших масштабов.

Новейшие теоретические [99, 172, 267, 269], численные [253-256] и экспериментальные данные [211] указывают на наличие тонких структур в слабо- и в сильно-столкновительных газово-плазменных системах. Это требует развития новых адаптивных методов расчёта [200, 373, 385].

Плазменные двигатели [145-152, 154-160, 243-248] моделируются исключительно методами частиц, при этом рассматривается только динамика ионов, а электрическое поле определяется из Больцмановского распределения электронов при постоянной температуре [151, 154-155, 261]. Первое совместное моделирование динамики электронов, ионов и газа с использованием гибрида PIC-MC выполнено в работе [377] (см. также [272]), а конечно-разностными методами - в [380]. Отметим интересные работы [131, 133, 231] базирующиеся на PIC в дрейфовом приближении [180].

О кинетических моделях для разреженного газа. Отечественным авторам принадлежит первенство в кинетическом моделировании разреженного газа [11, 19, 29-31, 57]. В последнее время возрастает интерес к прямому (парному) методу Монте-Карло [252, 273] и к конечно-разностному моделированию [270] столкновительных газовых систем, особенно в связи с развитием микромашин [251, 271]. Следует упомянуть бурное развитие т.н. lattice-методов (см., например, сборник [268]). Очень интересными представляются направление кинетически-согласованных разностных схем [173].

Отметим, что совместного моделирования газа и плазмы с учетом перезарядки, ионизации и возбуждения электронным ударом, Кулоновских столкновений, рекомбинации, столкновений со стенкой, пристеночным потенциалом и расчётом амбиполярного электрического поля в системах с линейными размерами порядка десятков метров не предпринималось до публикации [367].

Основное содержание работы

Представленная работа состоит из пяти глав, Заключения, списка цитированной литературы и пяти приложений.

В первой главе разработанный нами для многомерных бесстолкновительных открытых пучково-плазменных систем [274-293] метод частиц в ячейках расширяется на столкновительные плазменные системы. При этом учитываются как неупругие, так и упругие соударения частиц плазмы. Метод вычисления поля расширяется на амбиполярные плазменные системы [18], размер которых соответствует размерам установок УТС, и на много порядков превышает масштаб разделения заряда в плазме. Данный метод применяется для изучения бифуркации в пристеночной плазме Токамака [316]. Результаты сравниваются с экспериментальными данными, с теоретическими моделями и с результатами жидкостных расчётов по транспортной модели [28, 80, 121].

Наибольшую сложность для расчёта представляет Кулоновский столкновительный член [4]. Поэтому в первых параграфах главы много места уделено именно этому вопросу.

В п. 1.1 рассматривается прямое приложение техники метода частиц [34] к оператору кулоновских соударений. Оказывается, что в отличие от бесстолкновительного метода PIC, у каждой частицы появляется в явном виде облако соседей, с которыми она сталкивается, а это вызывает определенные вычислительные трудности: а) требуется пространственное упорядочивание частиц, что может быть сделано достаточно эффективно, например, методами молекулярной динамики [206]; б) для уменьшения статистического шума число частиц в ячейке N должно быть большим, и поскольку каждая частица взаимодействует со всеми из своей и из соседних ячеек (3, 9, 27 в одно-, дву-, и трехмерном случаях), то 2 число операций на частицу огромно, пропорционально N . Применение методов типа Бёрда [9-11] затруднительно, т.к. плазменные транспортные коэффициенты, в отличие от газовых, определяются энергичной частью функции распределения [4-5, 20-21, 56-60]; в) появляется особенность вида 1/V в сносовом члене.

В результате метод оказывается сильно шумящим [288-290].

Для уменьшения шума в п. 1.2 предлагается заменить парные соударения столкновениями отдельных частиц с интегральными потенциальными функциями распределения.

Используя известную [168-169] связь между стохастическим уравнением Ланжевена:

L = Ai + Bik Ы а = 1,2,3 (0.1) ot здесь ^ - случайная величина) и уравнением Фоккера-Планка для функции распределения величины х : /(х) dN - fdx общего вида: f - + V ¿ [Fz- / - V (Dik /)] = 0 (0.2) ot предлагаются и исследуются модельные линейные и нелинейные кинетические уравнения, дающие в качестве точного стационарного решения Максвелловскую функцию. Исследуется устойчивый метод интегрирования уравнения Ланжевена [32, 167]. Доказывается несколько точных результатов.

В следующем п. 1.3 на примере оператора Кулоновских столкновений в сферически-симметричном случае показываются два возможных способа построения его стохастического аналога. Оказывается, что один из них позволяет на порядок лучше разрешать надтепловые хвосты ФР. Последнее обстоятельство особенно ценно для моделирования динамики тепла в плазме.

В п. 1.4 рассматривается физическая модель пристеночного scrape-off layer (SOL) слоя токамака. Оценивается ширина пристеночного слоя по пролетному времени частиц вдоль поля и аномальной диффузии. Ширина слоя, как и в эксперименте, порядка 1см. Это означает, что пристеночный слой - квази-одномерное образование (длина силовой линии - от 10 метров и более), и определяющим в нем является транспорт, параллельный магнитному полю. Поэтому имеет смысл использовать одномерную по пространству модель. диверторных) Токамаков Alcator C-Mod [90] (Алькатор), TdeV [81] (Вареннский), Doublet-III-D [91] (Дублет), JET [166], ASDEX-U и линейных диверторных симуляторов типа PISCES [71]. Оказывается, число Кнудсена для кулоновских столкновений тепловых частиц лежит в интервале 1/40-1/10. Для ИТЭРа ожидается 1/7 [92]. Поскольку длина свободного пробега пропорциональна квадрату энергии частицы, то для надтепловых частиц эффективное число Кнудсена будет меньше единицы. Поэтому для плазмы необходимо использовать кинетическую модель.

В п. 1.5 разрабатывается гибридная модель для SOL плазмы Токамака. В ней динамика, как электронов, так и ионов описывается нелинейными кинетическими уравнениями для нестационарных ФР fa=e ¡(t, s, v||, vl) вдоль магнитной поверхности S: где в правой части стоят операторы Кулоновских соударений, член, описывающий приток тепла в SOL плазму, и оператор неупругих соударений частиц плазмы с нейтралами, соответственно. Амбиполярное электрическое поле и пристеночный потенциал находятся самосогласованно из условий квазинейтральности плазмы.

Динамика Кнудсеновских нейтралов описывается двумя различными моделями для узкого и широкого дивертора, учитывающими рециклинг нейтралов на стенке и их ионизацию электронным ударом [44]. Также учитывается резонансная перезарядка атома и нейтрала и возбуждение атома электронным ударом.

Далее в этом параграфе рассматривается численная схема решения системы уравнений. Подробно обсуждаются способы поддержания

Анализируются параметры большинства современных

ЭУ|| а сса+с* + (0.3) нейтральности плазмы, вычисления пристеночного потенциала и пути уменьшения статистического шума. Метод реализован в виде кода для рабочих станций НР-735 и Sun-10, а также распараллелен на многопроцессорной ЭВМ CRAY T3D [83].

Исследованию интересного явления, обнаруженного на диверторных токамаках относительно недавно,- бифуркации параметров SOL плазмы при изменении её средней плотности - посвящен последний параграф п. 1.6 первой главы.

В качестве входных параметров берутся типичные параметры Алькатора (C-Mod). Проведена серия расчётов, найдены зависимости основных параметров плазмы от управляющего бифуркационного параметра. Проведено сравнение с теоретической моделью [82]. Согласие при высоких температурах плазмы в диверторе хорошее. При понижении температуры до ~ЗэВ согласие теряется. Причиной является резко растущие кинетические эффекты, которые, как показывает расчёт, возрастают при переходе к режиму с отошедшей плазмой. ФР электронов и ионов сильно отличаются от равновесных в важной надтепловой части. Это приводит к модификации ряда важных характеристик течения: продольной проводимости и скорости ионизации газа. Показано, что плазменные зонды завышают температуру в 2.5 раза. Скорость течения у пластины дозвуковая с М=0.2-0.4 как результат трения о нейтралы.

В конце параграфа приводится сравнение с жидкостными расчётами. Оно показывает, что простая кинетическая коррекция потока тепла на экваториальной плоскости (флакс-лимит), используемая в жидкостных кодах, недостаточна, и следует полнее использовать результаты настоящих расчётов.

Расчёты с использованием столкновительного метода частиц в ячейках показывают, что аккуратное моделирование нелинейного кулоновского взаимодействия требует миллионов макрочастиц на ячейку, что делает расчёты очень долгими. При этом расчёт переходных режимов невозможен в принципе. Поэтому во второй главе разрабатывается консервативный конечно-разностный метод конечных объёмов для плазмы с кулоновскими столкновениями и самосогласованным амбиполярным электрическим полем.

В п.2.1 рассматривается выбор системы координат. Лучшей оказывается сферическая с аксиальной симметрией. Для неё предлагается единая для электронов и ионов неравномерная сетка. Она обеспечивает равномерную относительную точность на всём динамическом интервале. Также в этом параграфе рассматриваются граничные условия на потенциальные функции. Оператор ускорения в поле преобразуется к дивергентному виду в выбранной системе скоростных координат. В конце параграфа выписывается и обсуждается схема дробных шагов для численного решения системы связанных кинетических уравнений для ФР плазмы.

Следующий п.2.2 посвящен подробному описанию консервативной разностной аппроксимации всех входящих в разностную схему операторов: пространственного переноса, ускорения в поле, Кулоновских соударений. Отдельно и также подробно излагается оригинальная численная схема вычисления амбиполярного потенциала и способ поддержания квазинейтральности в системе.

В п.2.3 метод тестируется на точных результатах из теории сильностолкновительной плазмы. В частности, в пределе малого числа Кнудсена получаются результаты Брагинского для параллельной магнитному полю проводимости плазмы и для выражения термосилы [5]. Однако, при больших длинах пробега эти классические результаты неверны. Также результаты сравнивались с аналитическим выражением для потока тепла [85], где согласие было хорошим при высокой столкновительности. Последний тест - это совместная четырёхтемпературная релаксация неравновесных ФР электронов и ионов. Характерные времена совпадают с теоретическими с точностью 2-3 знака. Оттестированный код применялся для исследования совместного нелокального транспорта электронов и ионов. На моделируемом интервале задавался градиент температуры и плотности. Расчёты показывают, что кинетические поправки для ионов превышают электронные примерно в два раза.

В начале объёмного п.2.4 строится математическая модель для расчёта кинетических эффектов в SOL плазме экспериментальных установок на примере ИТЭРа. Модель рассматривает эволюцию ФР электронов на ионном фоне, который берётся из эксперимента.

Первым исследуется нелокальный перенос в SOL ИТЭРа. Поскольку эксперимент только планируется, то профили плазмы брались из лучших результатов транспортной модели [124]. Показано сильное отклонение ФР от равновесной, что ведет к многократному росту теплопроводности плазмы и скоростей ионизации во внутреннем и внешнем диверторных объёмах, а также росту пристеночного потенциала по сравнению с равновесными значениями, что следует учитывать при проектировании. Дальше последовательно моделируется SOL плазма в крупных эспериментальных Токамаках Алькатор (C-Mod, Кембридж, США), Вареннский (TdeV, Варенна, Канада) и Дублет (DIII-D, JIa-Хойя, США). Все эти установки оперируют с диверторами в режимах с отошедшей и с присоединённой плазмой. Оба режима были достигнуты во второй половине 90-х годов. Если проанализировать данные эксперимента, то эффективное Кулоновское число Кнудсена в них варьируется в диапазоне 0.02 - 0.2, что говорит о кинетическом режиме течения.

Профили плотности и температуры плазмы берутся из баз данных экспериментов и соответствуют хорошо диагностированным разрядам. Анализируются методы экспериментального определения температуры и плотности плазмы при помощи плазменных зондов и лазерной диагностики на эффекте Доплера. Показывается, как уменьшенная или увеличенная заселённость хвостов ФР может влиять на показания измерений. В частности для Токамака Дублет было предсказано [228], что зонды дают завышенное в ~6 раз показание температуры в диверторе. Установленная через два года лазерная диагностика подтвердила это. Показывается, что лазерная диагностика даёт заниженную температуру на экваториальной плоскости. В Алькаторе и TdeV диверторные зонды переоценивают электронную температуру в 2 раза. В районе подвижных зондов функция распределения асимметричная. Она имеет обогащённый хвост ветви с электронами, движущимися к дивертору, и, наоборот, обеднённый с электронами, движущимися вдоль поля от него. В результате температура, измеряемая зондами, разная в одной и той же точке, в зависимости от его ориентации.

Экспериментальные данные с TdeV и Алькатора показывают любопытную зависимость асимметрии температуры, измеренной зондами, ориентированными вверх-вниз по силовой линии: оно возрастает с возрастанием плотности. Этот, на первый взгляд, шокирующий результат легко объясним с позиций нашего кинетического моделирования. Одновременно с ростом плотности плазмы происходит бифуркационный переход (Гл.1) от режима с присоединённой плазмой к детачменту. При этом рост градиентов превышает рост столкновительности плазмы. В результате растёт нелокальный перенос, что приводит к росту асимметрии температуры плазмы вперед-назад, измеряемой зондом. Данные кинетических расчетов хорошо ложатся на экспериментальные кривые с обоих Токамаков.

В предыдущем разделе были рассмотрены кинетические эффекты в SOL плазме различных экспериментальных установок типа Токамак. Плазма предполагалась стационарной. Кинетические эффекты определялись нелокальным переносом в присутствии градиентов плотности и температуры плазмы. Подобные квази-стационарные течения свойственны SOL плазме при умеренном уровне нагрева ядра Токамака. При увеличении потока тепла до критического уровня оно становится во времени пульсирующим. Эксперимент показывает, что подобные явления, именуемые эльмы (от английского ELM - Edge Localized Mode -пристеночная мода), универсальны [76]. Они наблюдаются на всех экспериментальных Токамаках. Главное, что они типичны для режимов с отошедшей плазмой в SOL. Скейлинги параметров показывают, что эльмы будут характерны для пристеночной плазмы проектируемого Токамака-реактора ИТЭР. При быстрых пульсациях энергии следует ожидать резкого повышения плотности потока энергии на диверторных пластинах ИТЭРа. Для инженерного проектирования последних требуются количественные оценки.

Для численного исследования в п.2.5 используется кинетическая модель для SOL плазмы токамаков, в которую добавлена частота и амплитуда всплесков параллельного потока энергии. Для оценки кинетических эффектов брались параметры самого столкновительного Токамака Алькатор. Моделировался быстрый ELM типа III. Расчеты показывают, что длительность теплового импульса на пластине в несколько раз превышает длительность самого ELMa. Импульс тепла как бы размазывается по времени.

Наблюдается гистерезис параметров: кривая нагрева много резче кривой охлаждения. Также кинетический расчёт показывает, что неравновесность ФР возрастает при вспышках и долго не восстанавливается после их прекращения. После прорыва ELMa тепловой поток довольно долгое время остаётся ниже спитцеровского во всей SOL плазме.

Важно отметить, что амплитуда пристеночного потенциала растет в 10 раз при активности пристеночной моды. Дополнительное ускорение ионов в пристеночном слое в период активности ЕЬМа приводит к дополнительной эрозии энергосъемных пластин. Проектируемые Токамаки-реакторы диверторного типа (например, ИТЭР) будут оперировать в режимах с пристеночными модами. Обнаруженный нами в данных кинетических расчетах источник дополнительной эрозии диверторных пластин во время часто повторяющихся вспышек эльмов следует учитывать при инженерном проектировании дивертора Токамака ИТЭР.

Режимы с присоединённой плазмой характеризуются высокой температурой в диверторной области, которая порядка температуры ионизации водорода (дейтерия). Эти режимы характеризуются также низкой плотностью нейтралов у пластин. При переходе к многообещающим для проблематики УТС в общем, и для проекта ИТЭР в частности, режимам с отошедшей плазмой ситуация меняется кардинально. Поскольку температура у дивертора падает, то плотность плазмы также сильно падает, пик плотности отодвигается на значительное расстояние (метры вдоль магнитного поля) от диверторных пластин (т.н. детачмент). Степень ионизации плазмы падает до -10%.

Нейтральные атомы возвращаются в диверторный объём в результате рециклинга водородной плазмы (поверхностная рекомбинация протона (дейтрона) с электроном имеет очень высокую эффективность -99%). Они приходят назад в плазму с температурой стенки, которой отдают кинетическую и рекомбинационную энергии. В силу высокой плотности нейтралов число Кнудсена для упругих соударений нейтралов относительно низкое в диверторе. По мере удаления от пластины оно быстро спадает, и течение нейтралов может стать Кнудсеновским, требующим кинетического описания.

При удалении от пластин плотность и температура плазмы возрастают. Нейтральные атомы ионизуются и возвращаются на стенку. Часть атомов испытывает возбуждение электронным ударом. Помимо этого важнейшим процессом является перезарядка иона и нейтрального атома. Было установлено, что резонансное сечение процесса превышает газокинетическое на два порядка.

Т.о., стоит остро вопрос о совместном кинетическом моделировании заряженных и нейтральных частиц в SOL плазме Токамака, в линейных установках, в плазмохимических реакторах, в источниках плазмы, в космосе - везде, где плазма холодная, но числа Кнудсена относительно велики. Поэтому в третьей главе разрабатывается консервативный кинетический метод конечных объёмов для моделирования как плазмы, так и нейтральных частиц.

В п.3.1 детально описываются консервативные разностные аппроксимации операторов перезарядки, ионизации и возбуждения нейтрального атома электронным ударом, упругих соударений атомов с атомами и с электронами и трёхчастичной рекомбинации. Каждый оператор тестируется и добавляется в схему расщепления. Рассмотрение ведется в сферической аксиальносимметричной системе координат. Аппроксимации операторов строятся на основе частных аналитических решений с учетом специфики парных соударений. При этом функция распределения остаётся положительной для любого шага по времени и выполняются все законы сохранения.

Т.о. полная кинетическая модель [367] описывается системой 3-х уравнений для функций распределения электронов, ионов и нейтралов: v|| dt oí) е dft дх m 9v|| ^ce ^EJC£ с ei

Ie+He-Re fvM

Vi

Qfi C дх M dv|| dt

0.4)

IN+Rm+S n n где в правой части добавлены новые столкновительные члены.

В п.3.2 кинетическая модель плазмы и нейтрального газа применяется к режиму с сильным рециклингом нейтралов в пристеночной плазме Токамака. Рециклинг - это повторная ионизация нейтрального атома после рекомбинации иона на поверхности диверторной пластины.

Кинетические расчёты показывают, что перезарядка является главным источником энергетических потерь. Следующий по важности канал - это лаймановское излучение плазмы. Оно больше ионизационных потерь на порядок в силу низкой температуры электронов. Тепловые потери электронов на кулоновском взаимодействии растут с понижением температуры, но недостаточны для её выравнивания. Интересно также отметить, что трехчастичная рекомбинация является не стоком, а наоборот источником энергии в диверторе, хотя и незначительным по мощности.

Макроскопическое следствие чисто кинетических эффектов - это отношение фактического потока тепла к спитцеровскому. Интересно отметить, что вариация этого отношения для ионов 0.3-6.3 по длине области превышает вариацию отношения для электронов 0.5-2.4. Данные зависимости немонотонные - сказывается мощный эффект столкновений ионов с атомами в диверторе. Коэффициент флакс-лимита у электронов и ионов различается в два раза на большей части области моделирования. Это различие, равно как и другие кинетические поправки, должны учитываться в жидкостных кодах при моделировании динамики газа и плазмы в SOL токамаков.

Скорость течения плазмы характеризуется числом Маха - её отношением к звуковой плазменной. Течение везде сильно дозвуковое. На большей части силовой линии М « 0.04. На пластине М « 0.8, что близко к Бомовскому критерию устойчивости [43, 66, 87 ]. Дозвуковое граничное условие должно включаться в жидкостные модели пристеночной плазмы.

Интересно отметить, что разгон потока начинается примерно с ионизационного фронта. Т.е. в так называемом пределов, что находится в согласии с теоретическими предсказаниями [82].

Также интересно отметить, что ФР атомов имеет асимметричный хвост. Он как бы дублируется с ионной ФР через процесс перезарядки. Последний, как показывают наши кинетические расчеты, оказывается доминирующим у стенки в режиме с сильным рециклингом нейтралов.

В экспериментах на диверторных Токамаках часто наблюдается асимметрия профиля плазмы на внутреннем и внешнем диверторах [108]. Асимметрия проявляется в температуре плазмы, излучаемой мощности и тепловом потоке на диверторные пластины. Существует несколько возможных кандидатов на объяснение данного явления. В то же время есть и простейшее объяснение: если температуры плазмы у пластин разные, то может возникнуть термоэлектрический ток [106] между ними. Параллельный ток может существенно модифицировать тепловой поток, достигающий пластины через узкий пристеночный слой.

Однако, кинетические расчёты, представленные в п.3.3 с модифицированным граничным условием (две пластины) показывают, что из-за многочисленных кинетических поправок (рост плавающего потенциала, модифицированный коэффициент теплопередачи через слой, и т.д.) жидкостные оценки для величины термоэлектрического эффекта в пристеночной плазме токамака уменьшаются на порядок.

Полная кинетическая модель используется в п.3.4 для моделирования серии из 4-х последовательных вспышек ELMob на основе экспериментальных данных с токамака TdeV. Частота мод была очень низкой по сравнению с п.2.5, при этом рециклинг и динамика нейтралов учтены самосогласованно.

Обнаружена интересная эволюция плотности нейтралов и плазмы на диверторе и на экваторе. На диверторе плотность нейтралов падает, а плотность плазмы растет при прорыве эльма. Плотность плазмы падает на экваторе -30% при прорыве эльма. Это означает, что плазма смещается к дивертору. Её плотность растет в 3-4 раза, а плотность нейтралов уменьшается на порядок.

Эти изменения можно трактовать как смену детачмента плазмы на её аттачмент. Иными словами, в расчёте наблюдается бифуркация режима течения плазмы в пристеночном слое: режим с отошедшей плазмой на примерно удвоенное время активности эльма сменяется режимом с присоединённой плазмой. При этом наблюдается гистерезис плазменных параметров: переход к аттачменту происходит быстрее, чем возврат в детачмент. Интересно, что при прорыве эльма скорость перезарядки растёт, а кулоновского обмена падает. В результате разница электронной и ионной температур возрастает.

Параграф 3.5 посвящён кинетическому моделированию течения плазмы в линейной плазменной установке, используемой для исследования взаимодействия плазмы с различными материалами, - Pisces (Калифорнийский университет) [71].

В данном типе установок существует дополнительный источник неравновесности. В силу особенностей дугового разряда функция распределения (ФР) электронов в источнике в первом приближении состоит из Максвелловского ядра и 1-3% пучка энергичных электронов, ускоренных в пристеночном слое катода до энергий ЮОэВ.

Расчёты показывают следующие макроскопические следствия наличия высокоэнергетичного пучка низкой плотности в плазме установки

PISCES: большая часть теплового потока переносится хвостом ФР и драматически растёт пристеночный потенциал. Данные обстоятельства надо учитывать при проектировании и интерпретации данных линейных установок.

Актуальным для космонавтики является вопрос создания двигателя с высоким удельным импульсом. Большинство подобных двигателей использует плазму в качестве рабочего тела. Исследованию работы двух плазменных двигателей посвящена 4-я глава.

Много усилий в настоящее время уделяется созданию миниатюрных плазменных двигателей. В п.4.1 будет рассмотрена одна из разновидностей двигателя на эффекте Холла - с анодным слоем [156]. Поперечные размеры двигателя порядка 5мм, что затрудняет экспериментальную диагностику. Параметры плазмы таковы, что, возможно, его исследование на масштабе разделения пространственного заряда. В этом случае можно пытаться применить гибридный метод столкновительного PIC и МС, развитый в первой главе. Метод расширен на 2D3V и использует неравномерную сетку.

Расчёты показывают, что действительно у анода образуется тонкий слой, в котором сосредоточены падение потенциала и ионизационный источник. Основные характеристики в расчёте отличаются от экспериментальных данных не более чем на 30%. При этом обнаружено, что тяга двигателя осциллирует с некоторой характерной частотой, что может быть причиной низкого к.п.д. двигателя.

Для того чтобы достичь высокого удельного импульса, необходимого для быстрого перелёта к планетам, необходимо использовать протоны (Н), нагретые до 100-1000 эВ. Это невозможно сделать в традиционных конфигурациях типа Холловского или ионного двигателей. Поэтому в п.4.2 исследуется кинетически система: источник плазмы - радиочастотный нагрев - магнитное сопло [147]. Данная конфигурация представляется гибкой, позволяет варьировать удельный импульс в широком диапазоне, и не имеет внутренних электродов. Однако она новая и требует кинетического анализа.

Магнитная система состоит из последовательного набора магнитных сопел. Поэтому в кинетическую модель была добавлена продольная сила, учитывающая градиент поля, а также источник плазмы и нагревные члены, описывающие передачу энергии электронам в источнике и ионам в зоне высокочастотного (ВЧ) нагрева.

Кинетические расчёты течения плазмы в системе трёх магнитных зеркал показывают, что электронная и ионная ФР неравновесны. Температура электронов в системе практически постоянна, а ионов - очень немонотонна. При этом продольная и поперечная температуры ионов значительно различаются. Наблюдается сильный эффект магнитной ловушки - плотность плазмы в ней вдвое выше средней. Плазма разгоняется в магнитном сопле до сверхзвуковой скорости. При умеренном нагреве, как показывает расчёт, возможно, получить удельный импульс в 3 раза превосходящий другие плазменные движки.

Для производства плазмы в ряде плазмодвигателей используется геликоновый источник, работающий в кинетическом режиме. Поэтому в п.4.3 развита плазмохимическая модель разряда, которая прямо сравнивается с экспериментом [152]. Сначала строится физическая модель, которая учитывает процессы ионизации и диссоциации молекул водорода, диссоциации молекулярных ионов, ионизации и возбуждения атомов, их конверсию на стенке, нагрев электронов и истечение смеси из сопла. После этого выводятся 13 уравнений для концентраций плазменных компонентов и их температур. При этом плазма предполагается квазинейтральной, а геометрия источника учитывается в коэффициентах.

Метод численного решения системы жёстких обыкновенных дифференциальных уравнений тестируется на специально сконструированной системе двух уравнений с аналитическим решением. Оттестированная программа использовалась для моделирования эксперимента. Показано, что в зависимости от соотношения подводимой мощности и объёма газа, разряд может быть устойчивым или гаснуть. Получены зависимости ключевых параметров разряда от плотности нейтрального газа в нём. Расчёты показывают, что максимальный сток энергии - это излучение в линии. Следующим идёт поток Франк-Кондоновских нейтралов на стенку, хотя их относительная плотность 23%. Степень ионизации газа порядка 1%. Температура электронов очень близка к экспериментально измеренной. При этом плотность плазмы в три раза меньше. Поэтому дополнительно анализируется течение газа по системе питания и по источнику, что может быть сделано независимо в силу низкой степени ионизации газа.

Предложена простая модель, учитывающая переход течения от вязкого к свободномолекулярному. Она даёт результат для перепада давления в системе очень близкий к экспериментальному. Также она показывает, что течение газа в системе сильно дозвуковое.

Используя эти данные, плазмохимическая модель применяется для моделирования дейтериевых разрядов. При определённом соотношении процента поглощаемой энергии и средней скорости течения плазмы профили экспериментальной и расчётной зависимостей плотности плазмы от мощности нагрева при постоянном массовом расходе (и наоборот) оказываются очень близкими.

В то же время в расчёте при повышении мощности разряд гас, чего не наблюдалось в эксперименте. Проведённый численный анализ показал, что причиной является остаточное давление в вакуумной камере, которое очевидно будет отсутствовать в космосе и должно быть учтено. На основе численных расчётов объясняется наблюдаемый в эксперименте скачок давления газа в системе питания при включении разряда.

В конце главы приведены результаты расчётов для источника плазмы проектируемого космического двигателя большей мощности. Предсказываются его рабочие характеристики. Также исследуется влияние размера диафрагм для удержания газа на разряд и рассматриваются эффекты, связанные с предварительным нагревом газа.

В первой части последней пятой главы предлагается полностью консервативный метод для исследования столкновительных газовых систем произвольной размерности и плазменных систем в одномерном приближении. В п.5.1 доказывается сохранение массы, импульса и энергии при сохранении положительной определённости ФР и учёте соударений для газа. Показывается способ достижения консервативности для плазмы. Метод оказывается вычислительно гибким, легко обобщаемым на большую размерность.

В п.5.2 эффективность метода демонстрируется на 2х классических задачах: а) течение разреженного газа в системе каналов и б)нелинейная стадия пучково-плазменной неустойчивости с ограниченным числом волн.

Сначала моделируется двумерное по пространству и двумерное по скорости течение газа, описываемое кинетическим уравнением: д/ дг дх у ду г(/)

0.5)

Рассматривается переменно-столкновительное (на грани вязкого и Кнудсеновского) течение нейтрального газа в кварцевой трубке геликонного источника и его свободное вытекание в вакуумную камеру в конфигурации с параметрами типичными для эксперимента [259-260].

Течение вязкое и ламинарное. Профиль плотности газа в узком канале квази-одномерный, но не линейный, как ожидалось, а вогнутый. Профиль скорости здесь имеет параболическую форму (прилипание), в то время как в широком канале становится плоским (плавный переход в Кнудсеновский режим). Газ дважды разгоняется до околозвуковой скорости в концах узкого и широкого каналов. Результаты расчётов показывают, что плотность газа снаружи кварцевой трубки (здесь

1 •з расположена геликонная антена) порядка тУ «1 - 3 х 10 ст . Если не откачивать этот газ, то разряд зажжётся не только внутри канала, но и снаружи, что приведёт к потерям ВЧ-мощности и может повредить внутренние элементы, в первую очередь-криогенные магниты.

Кинетические расчёты показывают принципиальное отличие ФР газа от ФР плазмы. У плазмы ядро ФР Максвелловское, у газа - хвост. Причина состоит в том, что время свободного пролета для газа , а для

3/2 плазмы г ос Е , где Е - энергия.

Во второй части раздела 5.2 исследуется простейшая пучковая неустойчивость. Подтверждены полученные ранее методом частиц результаты. Показано, что при улучшении фазового разрешения, появляются новые тонкие эффекты на нелинейной стадии развития неустойчивости. К примеру, частота осцилляций утраивается против частоты захваченных частиц из-за формирования дырки на фазовой плоскости. Энергия волны выходит на новый уровень насыщения, который не зависит от начальной плотности пучка. Структура ФР на фазовой плоскости становится сложной, и для дальнейшего продвижения необходимо развитие специальных адаптивных методов.

Поэтому, во второй части 5-й главы в п.5.3 разрабатывается новый метод рекурсивного дробления и укрупнения (РДУ) сетки. Идея метода не нова, но он базируется на оригинальном формате хранения данных. Предложенный подход позволяет превратить любую существующую сетку в адаптивную. Метод обладает массой преимуществ: не надо хранить координаты узлов адаптивной сетки и список соединения узлов в ячейки; структура хранения готова для методов на вложенных сетках; накладные расходы минимальные; можно произвольно смешивать четырёхугольные и треугольные элементы; практически может использоваться любая топология сетки; дробление всегда локально; метод консервативен; всегда одна сторона параллельна магнитному полю, что очень важно для моделирования сильно замагниченной плазмы с большой анизотропией транспортных коэффициентов вдоль и поперёк магнитного поля. Подробно описываются структура хранения и шаги по измельчению и укрупнению элементов, пересчёту значений.

В предпоследнем параграфе 5.4 метод РДУ демонстрируется на исследовании бифуркации решений нелинейного двумерного уравнения теплопроводности с источником, соответствующим радиационным потерям (неупругие столкновения) на излучающей примеси в Токамаке: а дх ск су су

0.6)

Сначала исследуется одномерное уравнение, в котором бифуркация вызывается излучением и самосогласованным граничным условием. Точно определяется интервал сосуществования двух различных решений уравнения. Численно находятся зависимости основных характеристик решения от бифуркационного параметра. Рассчитываются предельные решения в граничных точках интервала бифуркации [373].

Полученные высокоточные одномерные численные решения используются для тестирования двумерного метода. Протестированный код, реализующий РДУ, применяется для исследования двумерной бифуркации. Как и в одномерном случае численно находится кривая гистерезиса решения. Приводятся примеры двух одновременно сосуществующих решения, а также, предельные решения. Отметим, что найденные решения характеризуются исключительно узким радиационным фронтом, их практически невозможно получить численно без автоматической адаптации сетки.

В самом конце приводится пример использования метода РДУ для решения нелинейного уравнения теплопроводности с источником в реальной геометрии диверторного токамака с несвязанными границами. Показано, что положение узкого излучающего фронта чрезвычайно чувствительно к разрешению пространственной сетки.

В последнем разделе 5.5 пятой главы описывается и иллюстрируется на модельной задаче оригинальный гибридный метод, сочетающий в себе одновременно метод частиц и конечно-разностный метод решения кинетического уравнения для плазмы (или газа) со столкновениями. Метод характеризуется низкой численной диффузией, низким уровнем шума и хорошим разрешением фазового пространства.

В Заключении приведены новые результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

В Приложении А приведены преобразования основных операторов из декартовой в аксиальносимметричную сферическую систему координат. В Приложении Б описываются детали построения уравнения Ланжевена. Приложение В содержит описание итерационного метода построения дискретного распределения с заданными моментами. В Приложении Г содержатся сечения основных элементарных плазмохимических реакций водорода. В Приложении Д предложен метод построения точного решения с заданными свойствами любого неоднородного нелинейного уравнения в частных производных, в том числе с двумя сосуществующими решениями.

Основные результаты диссертации изложены в работах [274-396].

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на Всесоюзных Конференциях, Семинарах и Школах (Харьков-88, Сухуми-89, Сочи-91, Звенигород-93), международных конференциях по УТС [274, 284], по динамике разреженного газа [280, 286] по численному моделированию [343-345, 385-388] и теории [300-302, 324-327, 346-358] плазмы, конференциях Европейского [329-330, 354, 358, 383-384] и Американского [294-296, 305-308, 318-323, 334-337, 357-361, 363-366, 379382,391-395] физических обществ, на конференциях МАГАТЭ [317, 355], на международных совещаниях по теории пристеночной плазмы [290, 338342, 349-350, 368-372, 374-376], аэрокосмических конференциях [377, 389390,396], на научных семинарах в ряде ведущих научных центрах мира: МФТИ, ХФТИ, СФТИ, ЛГУ, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, ФИАН, ВЦ РАН, ИКИ РАН, Курчатовский РНЦ (СССР/Россия), Лос-Аламоская, Ливерморская, Принстонская Лаборатории, HACA (Хьюстон), МТИ (США), Каламская Лаборатория (Англия), Юлихский Центр (ФРГ), Сиберсдорфский Научный Центр (Австрия), Университет г.Мехико (Мексика), Канадский Центр Плазменного Синтеза.

Автор с теплотой и благодарностью вспоминает своего учителя и научного руководителя профессора МФТИ Ю.С.Сигова и также рано ушедшего д.ф.м.н. В.И.Петвиашвили.

Автор выражает глубокую признательность д.ф.-м.н. С.И.Крашенинникову за помощь в построении физических моделей диверторного Токамака, а также благодарит А.С.Кукушкина, Т.К.Соболеву (РНЦ "Курчатовский Институт"), А.С.Холодова (МФТИ), А.С.Бакая, В.И.Карася, Я.Б.Файнберга (ХФТИ), В.П.Сидорова (СФТИ), Г.И.Змиевскую, В.Б.Красовицкого, В.Д.Левченко, И.И.Силаева (ИПМ им. М.В.Келдыша РАН), Д.Сигмара, А.А.Батищеву, П.Катто, К.Молвига, Б.Лабомбарда, М.Мартинеса-Санчеса, Д.Сзабо (МТИ), Ф.Чанг-Диаса, Д.Скваера (HACA), М.Шукри (TdeV), Л.Шмитца (PISCES), Дж.Воткинса (Дублет) и всех других соавторов.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Батищев, Олег Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим новые результаты, полученные в данной работе.

1)Разработан гибридный метод численного моделирования SOL плазмы Токамака на основе столкновительного метода макрочастиц, который позволяет одновременно рассматривать динамику электронов и ионов. Метод учитывает кулоновские соударения, а также процессы ионизации и возбуждения атомов [изотопов водорода] электронным ударом, резонансной перезарядки и рекомбинации на стенке. Впервые найден метод расчёта амбиполярного электрического поля для метода частиц в ячейках. Динамика нейтралов описывается в кнудсеновском приближении и учитывает их рециклинг.

2)Впервые кинетическая модель применена для исследования бифуркационного перехода аттачмент-детачмент SOL плазмы для двух предельных геометрий дивертора - узкого и широкого. Обнаружено, что переход наблюдается при тех же значениях бифуркационного параметра, что и в экспериментальных, и в теоретических работах. При этом впервые обнаружена существенная неравновесность функций распределения (ФР) плазменных компонентов, которая приводит к росту пристеночного потенциала и к погрешностям при зондовом измерении температуры в диверторе. Найдено, что средняя скорость течения плазмы в предслое -дозвуковая. Сравнение кинетических расчётов с широко используемыми жидкостными моделями, говорит о недостаточности простых коррекций типа флаке-лимита для учёта кинетических поправок.

3)Разработан оригинальный консервативный метод конечно-разностного моделирования электрон-ионной плазмы с кулоновским обменом. Предложена схема расчёта продольного амбиполярного электрического поля в системе газ-электроны-ионы, расчёта плавающего потенциала и поддержания строгой квазинейтральности системы.

Впервые в численных расчётах воспроизведены результаты Брагинского для продольной электронной и ионной теплопроводности и для коэффициента термосилы (-0.71) в пределе малых чисел Кнудсена, и рассчитано значение этих величин для конечных длин пробега.

4)Впервые для диверторных Токамаков Алькатор, Дублет и TdeV (и ИТЭРа) проведено кинетическое моделирование стационарного течения электронов в SOL слое на плазменном фоне, который брался из эксперимента. Рассматривались разряды с присоединённой и с отошедшей плазмой. Получены стационарные функции распределения. По ним оценены погрешности зондовых измерений. Показано, что диверторные пробники завышают температуру в 2-6 раз. Объяснён эффект возрастания разницы показаний двухсторонними плазменными зондами при увеличении средней плотности в SOL плазме. Хотя столкновительность плазмы растёт при этом на порядок, одновременно происходит переход к детачменту, который характеризуется ростом пространственных градиентов, что, в свою очередь, вызывает рост асимметрии ФР электронов.

5)Кинетически моделировались нестационарные режимы распространения тепла в пристеночном слое Токамаков. Моделировались одна и несколько локализованных мод - ELMob (Edge Localized Modes). Последние типичны для режимов с детачментом, который считается основным для ИТЭРа. Показано, что прорыв ELMa вызывает возрастание неравновесности ФР, росту транспортных коэффициентов и скачку пристеночного потенциала в несколько раз, что приводит к усилению эрозии пластин и должно учитываться при их проектировании.

6)Течение плазмы в линейной установке впервые исследовалось при помощи кинетического конечно-разностного метода. Показано, что 2%-ая плотность пучка горячих электронов, образующихся на катоде дугового разряда источника плазмы, объясняет аномально высокую амплитуду экспериментально измеренного пристеночного потенциала и асимметрию температуры в точке, при её измерении двухсторонним зондом.

7)Создана консервативная кинетическая модель частично ионизованной плазмы на основе метода конечных объёмов, позволяющая одновременно рассчитывать ФР электронов, ионов и нейтралов. Она учитывает следующие процессы: ионизацию и возбуждение атомов электронным ударом, перезарядку иона и атома, нелинейные Кулоновские столкновения, трёхчастичную и поверхностную рекомбинацию, упругие соударения атомов с электронами и с нейтралами. В основе лежит известный метод дробных шагов, однако, аппроксимации операторов столкновений оригинальны: обеспечивается полная консервативность и сохраняется неотрицательность всех ФР.

8)Впервые метод прямого моделирования частиц газа и плазмы применён к кинетическому моделированию работы миниатюрного плазменного двигателя на эффекте Холла. Модель учитывает ионизацию и возбуждение атомов ксенона, их рекомбинацию на электродах. Плавающий потенциал и электрическое поле рассчитываются самосогласованно, равно как и течение плазмы в скрещенных полях. Показано, что течение плазмы пульсирующее. Удельный импульс и тяга в модели и в эксперименте взаимно близки.

9)Численно исследована кинетика плазмы в плазменном двигателе с высокочастотным нагревом ионов типа несимметричный пробкотрон. Расчёты показывают возможность получения плотной плазмы и достижения удельного импульса, превышающего современный уровень втрое. Показано, что распределения электронов и ионов взаимно не термализованы, а скорость истечения плазмы из сопла сверхзвуковая.

10)Построена модель химической кинетики столкновиткльной плазмы в геликонном разряде. Модель учитывает диссоциации молекул и молекулярных ионов водорода электронным ударом, ионизации и возбуждения нейтральных частиц, конверсию теплового потока на стенке. В ней рассчитываются по гибридной модели главные параметры течения слабоионизованного газа. Рассчитывается состав плазмы и температура компонентов. Показывается важность лаймановского излучения и Франк-Кондоновских нейтралов. Обсуждается, при каких предположениях экспериментальные зависимости могут воспроизводиться с хорошей точностью. Показывается важность эффекта остаточного давления в вакуумной камере. Предсказываются характеристики источника при изменении геометрических и физических параметров разряда.

11)Разработан простой конечно-разностный метод моделирования столкновительного газа и плазмы, сохраняющий массу, импульс и энергию. Метод иллюстрируется на решении задачи о течении разреженного газа в системе питания плазменного двигателя. Он также применён к решению классической пучково-плазменной задачи. Показано, что в расчётах методом частиц были пропущены интересные тонкие эффекты. Предложен оригинальный гибридный метод, сочетающий низкий шум конечно-разностного метода с малой численной диффузией метода частиц для столкновительного кинетического уравнения.

12)Разработан адаптивный сеточный метод рекурсивного дробления и укрупнения (РДУ) сетки для моделирования замагниченной высокостолкновительной плазмы (предел малых длин пробега) с сильной анизотропией транспортных коэффициентов вдоль и поперёк магнитного поля. Идея не нова, но структура хранения оригинальна, а метод обладает рядом уникальных свойств. Последние демонстрируются на исследовании бифуркации решений нелинейного уравнения теплопроводности с сильно нелинейным источником. Численно найдены области сосуществования решений, приводятся примеры таких решений, в том числе с резкими фронтами. Показано, что метод необходим для аккуратного моделирования течений замагниченной плазмы Токамаков.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Батищев, Олег Викторович, 2001 год

1. Арцимович J1.A., Управляемые термоядерные реакции, -М.: ГИФМЛ, 1961.

2. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков.-М.: Атомиздат, 1979.

3. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956.

4. Ландау Е.М. Лифшиц Л.Д. Физическая кинетика. т. 10 -М.: Наука, 1976.

5. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме,-В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып 1. -М.: Атомиздат, с.183-272, 1963.

6. Трубников Б. А. Столкновения частиц в полностью ионизированной плазме,-В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып.1. -М.: Атомиздат, с.98-182,1963.

7. Белоцерковский О.М. Метод крупных частиц для задач динамики, Численные методы механики сплошной среды, 1, N 3, 1970.

8. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред, -М.: Наука, 1984.

9. Берд Г. Молекулярная газовая динамика, М.: Мир, 1981.

10. Яницкий В.Е., Теоретико-вероятностный анализ прямого статистического моделирования столкновительных процессов в разреженном газе, Дополнение 1 в кн. Берд Г., Молекулярная газовая динамика, М.: Мир, 1981.

11. Белоцерковский О.М., Коган М.Н., Метод Монте-Карло в динамике разреженных газов, Дополнение 2 в кн. Берд Г., Молекулярная газовая динамика, М.: Мир, 1981.

12. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики,-Новосибирск: Наука, 1967.

13. Власов A.A. Теория многих частиц. -М: Гостехиздат, 1950.

14. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1980.

15. Марчук Г. И. Методы расщепления. -М: Наука, 1988.

16. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. -М: Наука, 1988.

17. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. -М.: Наука, 1985.

18. Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа, -М.: Наука, 1972.

19. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа, -М.: Наука, 1974.

20. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы, -М.: Наука, 1975.

21. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика, т.2, -М.: Мир, 1974.

22. Самарский A.A. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1977.

23. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. -М., Наука, 1977.

24. Попов Ю.П., Самарский A.A., Полностью консервативные разностные схемы для уравнений магнитной гидродинамики, ЖВМ и МФ, 10 , N 4, 1970.

25. Попов Ю.П., Самарский A.A., Разностные схемы газовой динамики, -М: Наука, 1980.

26. Курдюмов С.П., Нелинейные процессы в плотной плазме, препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, N18, 1975.

27. Годунов С.К., Рябенький B.C., Разностные схемы, Наука, 1977.

28. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы -М.: Наука, 1982.

29. Хлопков Ю.И. Решение линеаризованного уравнения Больцмана, ЖВМ и МФ, 5, 1973.

30. Черемисин Ф.Г. Метод прямого численного интегрирования уравнения Больцмана, В сб.: Численные методы в теории разреженных газов, М.: ВЦ АН СССР, 1969.

31. Численные методы в динамике разреженных газов, выпуск 4, ВЦ АН СССР, -М., 1979.

32. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений, ДАН СССР, т.288, N 4, с. 777-780, 1987.

33. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах, -М.: Наука, 1980.

34. Сигов Ю.С. В сб.: Численное моделирование коллективных процессов в плазме (под ред.М.В. Масленникова) -М.: Издательство ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980.

35. Сборник серии 'Вычислительные методы в физике' (под редакцией Дж. Киллина) Управляемый термоядерный синтез, -М.: Мир, 1980.

36. Hockney R. and Eastwood J. Computer simulation Using Particles., McGraw-Hill, NY, 1981.

37. J. Killeen, G.D. Kerbel, M.G. McCoy, A.A. Mirin Computational Methods for Kinetic Models of Magnetically Confined Plasmas, Springer-Verlag, 1986.

38. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме, -М.: Наука, 1976.

39. Михайловский А.Б., Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках, -М.: Атомиздат, 1978.

40. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения уравнений газовой динамики с учётом нелинейной теплопроводности, курс лекций, Издательство Тбилисского университета, 1977.

41. Бердсел Ч., Ленгдон А., Физика плазмы и численное моделирование, -М.: Энергоатомиздат, 1989.

42. Недоспасов А.В., Хаит В.Д., Колебания и неустойчивости низкотемпературной плазмы, -М.: Наука, 1979.

43. Недоспасов А.В., Токарь М.З. Пристеночная плазма в токамаках, в Сб. научных статей 'Вопросы теории плазмы 1 (под редакцией Б.Б. Кадомцева) Выпуск 18. -М.: Энергоатомиздат, 1987.

44. Русанов В.Д., Фридман А.А., Физика химически активной плазмы, -М, Наука, 1984.

45. Иванов А.А., Соболева Т.К., Неравновесная плазмохимия, -М.: Атомиздат, 1978.

46. Liberman М.А., Lichtenberg A.J., Principles of Plasma Discharges and Materials Processing, John Wiley & Sons Inc., 1994.

47. Penning F.M., Electrical Discharges in Gases, New York, The Macmillan Company, 1957.

48. Janev R.K., Langer W.D., Evans K., Post D.E. "Elementary Processes in Hydrogen-Helium Plasmas", Springer-Verlag, Berlin, 1987.

49. Буреева Л.А., Лисица B.C., Возмущённый атом, -M., ИздАТ, 1997.

50. Jones Е.М. Atomic collision Processes in Plasma Physics Experiments II, UKAEA Report No. CLM-R175, 1977.

51. Mitchel J.A., Forand J.L., Ng C.T., Levac D.P., Mitchel R.E., Mul P.M., Phys. Rev. Lett., 51, 885,1983.

52. Takayanagi K., Suzuki H., Cross Section for Atomic Processes, vol. 1, Inst. Of Plasma Physics, Nagoya, Japan, 1978.

53. J.B.A. Mitchel, Electron-Molecular Ion Collision, in book (edited by R.K. Janev) Atomic and Molecular Processes in Fusion, Plenum Press, NY and London, 1995.

54. Bthatnagar P.L., Gross E.P., Krook M., a)Phys. Rev. 94,511, 1954; h)Phys.Rev., 102, 593, 1956.

55. Spitzer L., Harm R, Phys.Rev., 89, 977, 1953.

56. Коган M.H., Динамика разреженного газа, -М., Наука, 1967.

57. Loeb L., The kinetic theory of gases, New York: Dover Publications, Inc., 1961.

58. Patterson G.N., Introduction to the Kinetic Theory of Gas Flow, University of Toronto press, 1971.

59. Cercignani C., Mathematical Methods in Kinetic Theory, New York, Plenum Press, 1990.

60. M. Mitchener, Partially Ionized Gases, John Wiley& Sons, 1973.

61. Холл Д., Уатт Д., Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, -М.: Мир, 1979.

62. Post D.E., A review of recent developments in atomic processes for divertors edge plasmas, J. Nucl. Mat., 220-222, 1995.

63. Fried B.D., Liu C.S., Means R., Sagdeev R.Z., Report UCLA, PPG-93, 1971.

64. Liu C.S., "Instability of a large-amplitude plasma wave due to inverted trapped particle population", J. Plasma Phys, v. 8(2), p. 169-174, 1972.

65. R.Chodura, Contrib. Plasma Phys. 8, p. 169-174, 1972.

66. R.Chodura, Contrib. Plasma Phys. 32, p. 219, 1992.

67. R.Chodura, Contrib. Plasma Phys. 36, p. 61, 1996.

68. R.J.Procassini, C.K.Birdsall, and B.I.Cohen, Nucl. Fusion 30, p. 2329, 1990.

69. N. Ohno et al., Contrib. Plasma Phys. 32, p. 249, 1992.

70. L. Schmitz et al., Physics of Plasmas, 2, p. 3081, 1996.

71. Mason R.J. Implicit moment Particle Simulation of Plasmas, J. Сотр. Phys. 41, p. 233-244, 1981.

72. S.I.Krasheninnikov, Contrib. Plasma Phys. 34, p. 151, 1994.

73. H.Zohm, F.Wagner, M.Endler, J.Germhardt,E.Holzhauser, W Kerner, and V.Mertens, Nucl. Fusion, 32, p. 489, 1992.

74. J.A. Albritton, E.A. Williams, I.B. Bernstein, and K.P. Swartz, Physics Rev. Letters 57,1887, 1986.

75. S.A.Khan and T.D.Rognlien, Phys. Fluids 24, 1442, 1981.

76. R.H.Cohen and T.D.Rognlien, Contrib. Plasma Phys. 34, 198, 1994.

77. F. Wising , D.A.Knoll, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien, D.J.Sigmar, Contrib. Plasma Phys. 36(2/3), 136, 1996.

78. S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, P.Helander, D.J.Sigmar and T.K.Soboleva Physics of Plasmas 2, p.2717, 1995.

79. Cray MPP Reference Manual, SR-2504 6.2, Cray Research, Inc.

80. Крашенинников С.И., ЖЭТФ, т.67, с. 2483, 1988.

81. S.I.Krasheninnikov, Phys. Fluids, В 5, p.74, 1993.

82. P.S. Stangeby, Nucl. Fusion, 33, 1695, 1993.

83. P.S. Stangeby, Phys. Fluids, 27, p.682, 1984.

84. Hill D. N., J. Nucl Mat., 241-243,182,1997.

85. Epperlein E. M., Phys. Rev. Letters, 69, 1765, 1992.

86. H.Hutchinson et al., Physics of Plasmas 1, 1511 , 1994.

87. T.W. Petrie et al., J. Nucl Mat., 196-198, 848, 1992.

88. ITER Conseptual Design Activity, Final Report, No. 16, IAEA, Vienna, 1991.

89. D.A.Knoll, G.Lapenta, J.U.Brackbill 1998 In: Proceedings of the 16th International Conference on Numerical Simulation of Plasmas , Santa Barbara, CA, 10-12 February, p. 134, 1998.

90. R.Marchand, F.Meo, M.Simard, B.Stansfield, E.Haddad, G.Abel, J.L.Lachambre, D.Pinsonneaut, N.Richard 1998 In: Proceedings of the 13th International Plasma Surface Interaction Conference, San Diego, CA, 18-22 May, p. 3P-27, 1998.

91. Zanino R., Contrib. Plasma Phys. 36, p. 407, 1996.

92. Zanino R., Subba F., Contrib. Plasma Phys. 38, p. 355, 1998.

93. Baliga B.R., Patankar S.V., Numer. Heat Transfer 6, p.245, 1983.

94. Krasheninnikov S.I., "Two dimentional Effects in Plasma Radiation Fronts and Radiation Front Jumps in Tokamak Divertor Plasmas", Report Plasma Science and Fusion Center MIT, PSFC/JA-97-3, 1997.

95. Krasheninnikov S.I., "Two dimentional Effects in Plasma Radiation Fronts ", Phys. Plasmas 4 (11) 3741, 1997.

96. Krasheninnikov S.I., Batishcheva A.A., Simakov A.N., " Radiation Fronts in Tokamak Divertor Plasmas", Phys.Plasmas., 5, p.2297,1998.

97. G.D.Porter et al., Phys. Plasmas 3, 1967 (1996),

98. D.E.Post et al., Power Balance in thr ITER Plasma and Divertor, Contrib. Plasma Phys. 36, 240, 1996.

99. Pacher G., et al, Proc. 13th PSI Conf., San Diego, 1998.

100. B.Lipschultz et al., J.Nucl. Materials 145-147, p.15 , 1987.105.P.Helander et al.,a)/. Nucl Mat., 241-243, p.279, 1997;b)Phys. Plasmas 1, 3174, 1994.

101. A.V. Chankin et al., J.Nucl Materials 196-198, p.739 , 1992

102. K. Itami et al., J.Nucl. Materials 196-198, p.757, 1992.

103. B. LaBombard et al., J.Nucl Materials 241-243, p.149, 1997.

104. M.J. Shaffer, B.J. Leikind, Nucl. Fusion, 31, p. 1740, 1991433

105. G.M. Stabler, Nucl. Fusion, 38, p. 1437. 1996.

106. P.J. Harbour, Contrib. Plasma Phys 28, p.417, 1988.

107. P.J. Harbour et al., J.Nucl. Materials 162-164, p.236, 1988.

108. M.G Haines, Contrib. Plasma Phys 38, p.343, 1998.

109. B. LaBombard et al., Bull Am. Phys. Soc. 41, 1481, 1996.

110. D.G.Whyte, R. Bastasz et al. Divertor erosion in DIII-D, J.Nucl. Materials 266-269, p.67-74, 1999.

111. R. Parker et al. Plasma-wall interactions in ITER, J.Nucl. Materials 241243, p. 1-26, 1997.

112. A.W. Leonard et al. The impact of ELMs on the ITER divertor, J.Nucl. Materials 266-269, p. 109-117, 1999.

113. J.P.Matte and J.Virmont, Phys. Rev. Lett. 49, 281, 1982.

114. L.M.Montierth et al., Phys. Fluids 1,1911, 1989.

115. Yu.L.Igitkhanov and A.M.Runov, Contrib. Plasma Phys 34, p.221, 1994.

116. T.D. Rognlien et al., Contrib. Plasma Phys 36, p. 105, 1996.

117. A.S. Kukushkin et al., Contrib. Plasma Phys., 38, 20, 1998.

118. A.S. Kukushkin and A.M. Runov, Contrib. Plasma Phys., 34, 204, 1994.

119. A.S. Kukushkin et al., 16th International Conf. of Atomic Energy Agency, Fusion Energy Conference, Extended Synopses, IAEA-CN-64, FP-27, Montreal, Canada, 7-11 October 1996.

120. C.F. Karney and N.J.Fisch, Phys. Fluids 22 (9) 1817, 1979.

121. Z.Abou-Assaleh et al., R Marchand, J.P. Matte, T.W. Johnston,K.J. Parbhakar, Contrib. Plasma Phys., 30, p.37-43, 1990.1270.Sauter et al., R.W. Harvey, and F.L. Hinton, Contrib. Plasma Phys., 34, 169, 1994.

122. K. Kupfer et al., R.W. Harvey, O. Sauter,M.J. Schaffer, and G.M. Staebler, Phys. Plasmas, 3 (10), p.3644, 1996.

123. Reiser D., Reiter D., Tokar M.Z., Nucl. Fusion, v.38, N2, p. 165-177, 1998.

124. Lee W.W., Phys. Fluids, 26(2), p. 556-562, 1983.

125. Lampe M., Joyce G., Manheimer M., Slinker S., IEEE Transactions on Plasma science, y 26, N 6, p. 1592-1609, 1998.

126. Manheimer M., Lampe M., Joyce G., J. of Comp. Physics, 138, p. 563-584 1997.

127. Joyce G., Lampe M., Slinker S., Manheimer M., J. of Comp. Physics, 138, p. 540-562, 1997.

128. Dnestrovskij Y.N., Lysenko I.V., Kislyakov A.I., Nucl. Fusion, v. 19, N 3, p. 293-299, 1979.

129. Y.Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems,Manchester Univ. Press, 1992.

130. NAG Fortran Library Manual, NAG Central Office, Oxford, 1985.

131. D. A.H.Jacobs, ed., The State of the Art in Numerical Analysis, Academic Press, London, 1977.

132. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа, -М.: Наука, 1978.

133. Schlichting Н., Boundary-Layer Theory, 7th Edition, McGraw-Hill, Inc., 1987.

134. Rohsenow W., Hartnett J., Ganic E., Handbook of Heat Transfer Fundamentals, McGraw-Hill, Inc., 1985.

135. S. Chapman, T.G. Cowling The Mathematical theory of Non-uniform Gases, Cambridge Univ. Press, 1970.

136. E. Stuhlinger, Ion Propultion for Space Flight, McGraw-Hill, 1964.

137. M. Martinez-Sanchez, J.E. Pollard, Space Electric Propulsion-An Overview, J. of Propulsion and Power, v. 14, 5, 1998.

138. Chang Diaz F.R., "Research Status of The Variable Specific Impulse Magnetoplasma Rocket", Proc. 39th Annual Meeting of the Division of Plasma Physics (Pittsburgh, PA, 1997), Bulletin of APS, 42, 2057, 1997.

139. Chang Diaz, F. R., Squire, J. P., Ilin, A. V et al., "Recent Progress on the VASIMR", Proc. 41th Annual Meeting of the Division of Plasma Physics (Seattle, WA, 1999), Bulletin of APS, Bull. APS, 44, 99, 1999.

140. Chang Diaz, F. R., Squire, J. P., Ilin, A. V., et al. "The Development of the VASIMR Engine", Proceedings of International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA99), Sept. 13-17, 1999, Torino, Italy, p. 99-102, 1999.

141. Chang Diaz, F. R., Squire, J. P. et al. "The Physics and Engineering of the VASIMR Engine", 36th AIAA Joint Propulsion Conf., AIAA 2000-3756, Huntsville,17-19 July 2000.

142. Ilin, A. V., et al. "Particle Simulations of Plasma Heating in VASIMR", 36th AIAA Joint Propulsion Conf., AIAA 2000-3753, Huntsville, 17-19 July 2000.

143. Squire, J. P. et al. Helicon Plasma Injector and Ion Cyclotron Acceleration Development in the VASIMIR Experiment", 36th AIAA Joint Propulsion Conf., AIAA 2000-3753, 17-19 July 2000.

144. Chen F.F."Plasma Ionization by Helicon Waves", Plasma Physics and Control Fusion, 33, p. 339-364, 1991.

145. J.M. Fife, M. Martinez-Sanchez, J.J. Szabo, A Numerical Study of Low• rd

146. Frequency Discharge Oscillations in Hall Thrusters, 33,u AIAA Joint Propulsion Conference, Seattle, 1997.

147. Hirakawa, M. and Y. Arakawa. Numerical Stimulation of Plasma Phenomena in Hall Thrusters. IEPC-95-164, 24th International Electric Propulsion Conference, Moscow, Russia, September 1995.

148. Khayms, V. and M. Martinez-Sanchez. Preliminary Experimental Evaluation of a Miniaturized Hall Thruster. IEPC-97-007, 25th International Electric Propulsion Conference, 1997.

149. A.S. Bober et al., State of the Works on Electrical Thrusters in USSR, Proceedings of the 22nd Int. Electric Propulsion Conf., Viareggio, Italy, 91003, 1991.

150. Arkhipov B.A. et al., Development and Application of electric Thrusters at EDB Fakel, Int. Electric Propulsion Conf., IEPC 97-04, Cleveland, OH, 1997.

151. Морозов А.И. и др., Экспериментальное исследование плазменного ускорителя с замкнутым дрейфом и расширенной зоной, Ж Технической физики, т. XLII, N1, с. 54-63, 1972.

152. Морозов А.И. и др., Ж. Технической физики, т. XLII, N5, с. 972-982, 1973.

153. J. Boris, Proc. 4th Conf. OnNumer. Simulation of Plasmas, Arlington, VA, p.3-67, 1970.

154. Крылов В.И., Бобков B.B., Монастырский П.И., Вычислительные методы, -М.: Наука, 1977.

155. Курдюмов С.П., Локализация тепла в нелинейных средах, препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, N39, 1976.

156. Дьяченко В.Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными, ЖВМ и МФ, 5 , N 4, 1965.

157. Заславский Г.М., Стохастичность динамических систем, -М.: Наука, 1984.

158. Janeshitz G., et al. Proc.l9th Europ. CCFPP, vol. 16C, part.II, p.727,1992.

159. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии,1. М.: Ил, 1947.

160. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике.- М.: Советское радио, 1961.

161. К.В. Гардинер. Стохастические методы в естественных науках, -М.: Мир, 1986.

162. K.-U. Riemann, Plasma-sheath transition and Bohm criterion, Contrib. Plasma Phys. 32 3/4, p. 231-236, 1992.

163. E. L. Void, F. Najmabadi, and R.W. Conn, Fluid model equations for the tokamak plasma edge, Phys. Fluids В 3 (11), November 1991.

164. D.D.Ryutov, Kinetic theory of sheaths and shocks, Contr. Plasma Phys 36 (2/3) 207, 1996.

165. Б.Н.Четверушкин, Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике, изд. Моск. Университета, 1999.

166. А.Ф.Никифоров, В.Г.Новиков, В.Б.Уваров, Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы, Наука, 2000.

167. В.Б.Красовицкий, Нелинейные регулярные колебания в неравновесных плазменных и газовых средах, т. 1-2 Фолио, 2000.176. Г.И.Баренблатт,а)Подобие, Автомодельность, Промежуточная асимптотика, Гидрометиоиздат, 1978;б)Прикл. Мат. и Мех. 16 (1) 67,1952.

168. M.N.Rosenbluth, W.M.MacDonald, D.L.Judd, Phys. Rev. 107, 1, 1957.

169. Силин В.П., Рухадзе А.А., Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, Москва, Госатомиздат, 1961.

170. Брушлинский К.В., КажданЯ.М, Мат. Вест. 18 (2) 1, 1963.

171. Д.В.Сивухин, "Дрейфовая теория движения ."-В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып 1. -М.: Атомиздат, 1963, с.7-97.

172. Масленников М.В., Сигов Ю.С., ДАН СССР 159, 1013, 1964.

173. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П., Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, Москва, Наука, 1966.

174. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Локализация термоядерного горения в плазме с электронной теплопроводностью, письма в ЖЭТФ, 26 (9) 620, 1977.

175. Pastukhov К.Р., Nucl. Fusion 14, 3, 1974.

176. J.Kesner et al., "Introduction to tandem mirror physics", MIT PFC report RR-83-35, Cambridge, 1983.

177. Сигов Ю.С. Численные методы кинетической теории плазмы, МФТИ, 1984.

178. Райзер Ю.П., Физика газового разряда, Москва, Наука, 1987.

179. А.С.Бакай, Ю.С.Сигов, Многоликая турбулентность, Серия Новое в жизни, науке и технике, Математика/Кибернетика, Знание 1989.

180. T.Takizuka and H.Abe, J. Сотр. Phys. 25, 205, 1977.

181. A.B.Langdon, Phys. Rev. Lett.44, 575, 1980.

182. J.M.Dawson, Rev. Modern Phys. 55, 403, 1983.

183. E.M.Epperlein, Kinetic theory of laser filamentation in plasmas, Phys. Rev. Lett. 65, 2145, 1990.

184. А.А.Андреев и др., ЖЭТФ 101, 1808, 1992.

185. В.Н.Новиков, ЖВМиМФ 6, 920, 1990.

186. J.P.Matte et al., Plasma Phys.Contr.Fus. 30 (12) 1665, 1988.

187. Yu.N.Dnestrovskii, D.P.Kostomarov et al, Nucl. Fus. 28, 267, 1988.

188. M.Shoucri, I.Shkarofsky, A fst Fokker-Planck solver with synertgetic effects, Сотр. Phys. Comm. 82, 287, 1994.

189. P.Bertrand et al. "A non-periodic Euler-Vlasov code.",Phys. Fluids В 2 (5) 1990.

190. S.Ma, R.Sydora, J.M.Dawson, Сотр. Phys. Commun. 77,190,1993.

191. W.Arter, J.A.Eastwood "Particle-mesh scheme." JCP 117, 194, 1995.

192. J.S.Chang, G.Cooper, JCP 6, 1, 1970.

193. Бобылев A.B., Чуянов В.А., ЖВМиМФ 16, 407, 1976.

194. А.В.Бобылев, И.Ф.Потапенко, В.А.Чуянова)"Полностью консервативные разностные схемы для нелинейных кинетических уравнений типа Ландау (Фоккера-Планка)", преп. ИПМ №76, 1980;б) ДАН СССР 255, 1348, 1980.

195. И.Ф.Потапенко в сб. Дискретное моделирование плазмы (под ред. Ю.С.Сигова), ИПМ, Москва, с. 197, 1990.

196. Пеккер М.С. "Полностью консервативная разностная схема для двумерного уравнения Фоккера-Планка", препринт ИЯФ СО АН №8033, 1980.

197. Батищев О.В., Сигов Ю.С., "Численное моделирование деформации двумерного кристалла методом молекулярной динамики", препринт Инст. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, N 3, -28с., 1984.

198. Пеккер М.С., В.Н. Худик, ЖВМиМФ 24, 974, 1984.

199. Yu.A.Berezin,V.N.Khudick, M.S.Pekker, J.Comp.Phys. 69,163, 1987.209. E.M.Epperleina)Phys. Plasmas 1, 109, 1994;b)J. Сотр. Phys. 112, 291, 1994;c)Laser and Part. Beams, 12 (2) 257, 1994.

200. L.Chacon et al. J. Сотр. Phys. 157, part I. p.618, part.II. p.654, 2000.

201. S.Shiu, S.A.Cohen, Phys. Rev. Lett. 76 (8) 1248, 1996.

202. О.Г.Бакунин, С.И.Крашенинников, Физика Плазмы 21 (6) 532, 1995.

203. Н.Е.Андреев и др., Физика Плазмы 21 (8) 715, 1995.

204. А.В.Братнов, В.Ю.Быченков, В.Т.Тихончук, ЖЭТФ 110, 1301, 1996.

205. V.Yu.Bychenkov, W.Rozmus, V.T.Tikhonchuk, Nonlocal electron transport in a plasma, Phys. Rev. Lett. 75 (24) 4405, 1995.

206. В.Ю.Быченков, В.Н.Новиков, В.Т.Тихончук, ЖЭТФ 114, 1691, 1998.

207. E.Fourcal et al., Phys. Plasmas 8 (2) 550, 2001.

208. P.J.Catto, K.-E.Yeoh, Long mean free path modification of electron heat conduction, Contrib.Plsma Phys. 36, /2, 207,1998.

209. S.Brunner, E.Valeo, J.A.Krommers, "Collisional 5f scheme ." Phys. Plasmas 6 (12) 4504, 1999.

210. X.Q.Xu, M.N.Rosenbluth, Phys. Fluids В 3, 627, 1991.

211. M.E.Jones, D.S.Lemons, R.J.Mason et al, JCP 123, 169, 1996.

212. M.Kotschenreuter, Bull. APS 34, 2107, 1988.

213. W.W.Lee, W.M.Tang, Phys. Fluids 31, 612, 1988.438

214. S.E.Parker, W.W.Lee, Phys. Fluids В 5, 77,1993.

215. A.M.Dimits, B.I.Cohen, Phys. Rev. E 49, 709, 1994.

216. J.A.Krommers, Phys. Plasmas 6, 1477, 1999.

217. D.Hewett, B.Langdon, J.Comp.Phys. 72, 121, 1987.228. M.Tanaka,a) J.Comp. Phys. 72, 209, 1988;b) Сотр. Phys. Comm. 87, 117, 1995.

218. I.B.Cohen, R.P.Freis, V.Thomas, J.Comp. Phys. 45, 345, 1982.

219. Батищев O.B., "Дискретное моделирование многомерных структур в открытых плазмоподобных средах", диссертация на соискание учёной степени к.ф.-м.н., 192 с., 1986.

220. F.Mottez, J.C.Adam, A.Heron, A new guiding center PIC scheme ., Сотр. Phys. Comm. 113, 109, 1998.

221. E.Pohn, M.Shoucri, G.Kamelander, Study of formation . Part I. .Part.II. Comparison between three different interpolation methods for the solution of the kinetic Vlasov equation, Сотр. Phys. Comm. 2001 (in print).

222. G.Joyce, G.Knorr, H.K.Meier JCP 8, 53, 1971.

223. G.Knorr, JCP 13, 165, 1973.235. G.Knorr, M.Shoucria) JCP 14, 1, 1974;b) JCP 14, 84, 1974.

224. C.Z.Cheng, G.Knorr, Integration of the Vlasov equation in the configuration space, J. Сотр. Phys. 22, 330, 1976.

225. T.Nakamura, T,Yabe, Сотр. Phys. Comm. 120, 122, 1999.

226. E.Fijalkov, Сотр. Phys. Comm. 116, 329, 1998.

227. M.Shoucri, E.Pohn, G.Knorr et al.,a) Phys. Plasmas 6, 1401, 1999;b) Phys. Plasmas 7, 2517, 2000.

228. L.Nocera, A.Mangeney, Evidence of second-order oscillations., Phys. Plasmas 6 (12) 4559, 1999.

229. E.Fijalkov, Behaviour of phase-space holes in 2D simulations, J. Plasma Phys. 61 (1) 65, 1999.

230. M.L.Begue, A.Ghizzo, P.Bertrand at al., J.Plasma Phys. 62 (4) 367, 1999.243.Есипчук Я.Б. и др.,а)ЖТФ 42 (7) 928, 1974;б)ЖТФ 44(1)718, 1976.244. V.Kim,a)J. Propul. Power 14, 736, 1998;b)et al. AIAA technical paper 97-2789, 1997.

231. N.J.Fisch et al., AIAA paper 99-2712, Los Angeles, 1999.

232. C.Othmer et al., Phys. Plasmas 7 (12) 5242, 2000.

233. Y.Raitses et al., Plume reduction., J. Appl. Phys. 88 (3) 1263, 2000.439

234. A.A.Litvak, N.J.Fisch, Resistive instabilities in Hall current plasma discharge, Phys. Plasmas 8 (2) 648, 2001.

235. C.Kraft, A.Volokitin, M.Fle "Non-linear dynamics of electron bunches." J. Plasma Phys. 61 (2) 275, 1999.

236. J.E.Polk et al., Performance of the NSTAR ion propulsion system on the Deep Space One mission, AIAA 2001-0965 paper, 39th ASME, Reno, 2001.

237. A.Alexeenko et al., Numerical simulation of high-temperature gas flow in a millimiter-scale thruster, AIAA 2001-1011 paper, 39th ASME, Reno, 2001

238. I.D.Boyd, W.L.Wang, Monte Carlo Computations., AIAA 2001-1029 paper, 39th ASME, Reno, 2001.

239. A.Pentek et al., Phys. Rev. E 51 (5) 4076, 1995.

240. Z.Lin,T.S.Hahm, W.W.Lee et al., Science 281, 1835, 1998.

241. E.Cafaro et al., Phys. Rev. Lett. 80, 4430, 1998.256. D.Grasso et al.a) Plasma Phys. Contr. Fus. 41,1497, 1999;b) Phys. Rev. Lett. May 2001 (in print)

242. V.S.Egorov et al., Phys. Rev. E 60 (5) 5971, 1999.

243. A.Ilin et al.Bull. APS 45 (7) 129, 2000.

244. B.Breizman, Bull. APS 45 (7) 130, 2000.

245. B.N.Breizman, A.V.Arefiev, Single-pass ion cyclotron absorption, Phys. Plasmas 8 (3) 907, 2001.

246. M.Shoucri, Helicon waves in a cylindrical plasmas, Can. J. ofPhys.77, 385, 1999.

247. M.G.Cadjan, M.F.Ivanov, Langevin approach to plasma kinetics with Coulomb collisions, J. Plasma Phys. 61 (1) 89, 1999.

248. A.M.Runov, D.Reiter, A.Kasilov et al., Monte Carlo study of heat conductivity in stochastic boundaries, Plasma Phys. 8 (3) 916, 2001.

249. Yu.L.Klimontovich, Two Alternative approaches in the kinetic theory of folly ionized plasma, J.Plasma Phys 59 (4) 647, 1998.

250. Proc. CPP-99, Comp. Phys. Comm. 127 (1) 2000.

251. G.M.Zaslavsky, Non-universality of anomalous transport, J. Plasma Physics 59 (4) 671, 1998.

252. D.Chea, C.Kim, O.Rho «.gas-kinetic BGK scheme.» JCP 158, 1, 2000.440

253. Y.S.Lian, K.Xu, "A Gas Kinetic Scheme." J.Comp.Ph. 163, 349, 2000.

254. J.J.Szabo, Fully kinetic modeling of a plasma thruster, MIT SERC#5-01, 375p, Cambridge, January 2001.

255. J.Fan, C.Shen "Statistical simulation rarif. gas flows" JCP 167, 393, 2001.2740.V.Batishchev, I.I.Silaev, Y.S.Sigov, V.I.Petviashvilli, "Convection in

256. Plasma Due to Drift Vortices (Computer Simulation)", Proceedings XII European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Budapest, 1985, 9F-2, p.350.

257. Батищев O.B., "Ускоренный алгоритм метода частиц", препринт Ин. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1985, N 15, -19 с.

258. Батищев О.В., Сигов Ю.С., "Численное моделирование релаксации двумерного размытого электронного пучка, инжектируемого в плазму", Доклады АН СССР, 1988, 301 (5), с.1091-1094.

259. Батищев О.В., Сигов Ю.С., "Численное моделирование бесстолкновительной плазмы в открытых системах со сложной геометрией", препринт Ин. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1988, N8.

260. A.S.Bakai, O.V.Batishchev, Y.S.Sigov, "Numerical Simulation of the Beam-Plasma Interactions in Open Systems", in Book "Nonlinear Phenomena in Vlasov Plasmas" (F.Doveil Ed.), Editions de Physique , Orsay, France, p. 163-191, 1989.

261. Батищев O.B., Сигов Ю.С., Силаев И.И., "Метод частиц в открытых плазменных системах", в сб. научных трудов под ред. д. ф.-м. н. Сигова Ю. С., Ин. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990, с. 22-41.

262. S.I.Krasheninnikov, T.K.Soboleva, O.V.Batishchev, G.I.Zmievskaya, V.D.Levchenko, P.A.Ovchenkov, Y.S.Sigov, I.I.Silaev, "Kinetic Effects and Reversal Flows in Tokamak Edge Plasma ", Journal of Nuclear Materials 196-198 (1992), p.889-903.

263. Батищев О.В., Красовицкий В.Б., Нагучев О.Н., Сигов Ю.С., "Самофокусировка модулированного ленточного РЭП в плотной плазме ", Физика плазмы, 1993, 19 (6), р.738-747.

264. S.I.Krasheninnikov, D.Sigmar, T.K.Soboleva, A.B. Kukushkin, Y.S.Sigov, O.V.Batishchev, "Recombining Plasma in the ITER Divertor", Bulletin of American Physical Society Vol. 38 (10), 7Q17, 2051, November 1993.

265. O.V.Batishchev, Y.S.Sigov, T.K.Soboleva, S.I.Krasheninnikov, D.Sigmar, "Kinetic Modeling of ITER Divertor with the W1 Code", Bulletin of American Physical Society Vol. 38 (10), 7Q18, 2051, November 1993.

266. O.V.Batishchev, Y.S.Sigov, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, T.K.Soboleva, "Influence of Kinetic Effects on Particle and Energy Flows in the ITER Divertor", Contributions Plasma Physics, 34 (2/3) 436, 1994.

267. S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, A.B. Kukushkin, O.V.Batishchev, Y.S.Sigov, T.K.Soboleva, "Regimes with Recombining Plasma in the ITER Divertor", Contributions Plasma Physics, 34, 442, 1994.

268. Батищев O.B., Сигов Ю.С., Левченко В. Д., Карась В.И., "Кинетическое моделирование открытых пучково-плазменных систем", Физика плазмы, 1994, 20 (7), р.654-62 .

269. Батищев О.В., Сигов Ю.С., Карась В.И., Файнберг Я.Б., "2.5-мерное моделирование релятивистских сгустков", Физика плазмы, 1994, 20 (7), р.650-653.

270. O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien "Kinetic Effects on Particle and Heat Fluxes in Detached SOL plasmas" 1995 International Fusion Theory Conference, April 3-5, Incline Village, Nevada, lc47, 1995.

271. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, M.M.Shoucri, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, I.P.Shkarofsky, D.J.Sigmar, "Fokker-Planck code ALLA", Report Plasma Fusion Center MIT, PFC/JA-95-23, August 1995.

272. O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien, D.J.Sigmar "Kinetic Effects on Particle and Heat Fluxes in Detached Plasmas", Report Plasma Fusion Center MIT, PFC/JA-95-24, -37 p., August 1995.

273. A.Batishcheva, O.Batishchev, S.Krasheninnikov, B.LaBombard, B.Lipschultz, D.Sigmar, "Kinetic Simulation of Electron Transport in C443

274. Mod SOL Plasmas with Fokker-Planck ALLA Code", Bulletin of American Physical Society, 40 (11) 3P33, 1702, 1995.

275. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, P.J.Catto, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, "1D+2V Fokker-Planck Code ALLA", Bulletin of American Physical Society, 40 (11) 9R12, 1880, 1995.

276. O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, T.D.Rognlien, "Kinetic Study of Divertor Plasma Detachment: Influence of Impurity Radiation", Bulletin of American Physical Society, 40 (11) 9R13, 1880, 1995.

277. D.J.Sigmar, S.I.Krasheninnikov, O.V.Batishchev, "Kinetic Modeling of ELM Propagation in the SOL Plasmas", Bulletin of American Physical Society, 40 (11) 9R15, 1880, 1995.

278. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, M.M.Shoucri, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, I.P.Shkarofsky, D.J.Sigmar, "A Kinetic Model of Transient Effects in Tokamak Edge Plasmas" Physics of Plasmas 3 (5), p. 1634, May 1996.

279. O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien, D.J.Sigmar, "Kinetic Modelling of Detached and ELMy SOL Plasmas", Contributions Plasma Physics, 36 (2/3) 225, 1996.

280. D.J.Sigmar, A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto "Kinetic Models of ELMs burst", Contributions Plasma Physics, 36 (2/3)230, 1996.

281. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, M.M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, "Fokker-Planck Simulation of Electron Transport in SOL Plasmas with ALLA Code", Contributions Plasma Physics, 36 (2/3) 235, 1996.

282. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, A.E.Koniges, G.G.Craddock, V.Djorjevic, "Massively Parallel Fokker-Planck Code ALLA", Contributions Plasma Physics, 36 (2/3) 414, 1996.

283. O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien, D.J.Sigmar, "Kinetic Effects on Particle and Heat Fluxes in Detached Plasmas" Physics of Plasmas 3 (9), p.3386, September 1996.

284. O.V.Batishchev, "Kinetic Effects in Tokamak Scrape-off Layer Plasmas" Bulletin of American Physical Society 41 (7) 1IA1, 1351, 1996.

285. O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, L.Schmitz, "Fokker-Planck Modelling of Pisces Linear Divertor Simulator", Bulletin of American Physical Society 41 (7) 5P3, 1483, 1996.

286. J.A.Byers, X.Q.Xu, T.D.Rognlien, O.V.Batishchev, "ID and 2D Kinetic Simulations of Tokamak Scrape off Layers" Influence of Impurity Radiation", Bulletin of American Physical Society 41 (7) 5P5, 1484, 1996.

287. M.M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, B.L.Stansfield, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, S.LKrasheninnikov, D.J.Sigmar, "Kinetic Modelling of Parallel Electron Transport in TdeV", Bulletin of American Physical Society 41 (7) 7R33, 1553, 1996.

288. M.L.Adams, S.I.Krasheninnikov, O.V.Batishchev, D.J.Sigmar, "Feasibility study of finite difference approach to kinetic neutral modeling in edge plasmas" 1997 International Sherwood Fusion Theory Conference, April 2830, Madison, Wisconsin, 1C01, 1997.

289. O.V.Batishchev, P.J.Catto, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, "Kinetic study of parallel transport in SOL plasa", 1997 International Sherwood Fusion Theory Conference, April 28-30, Madison, Wisconsin, 1D17, 1997.

290. L.Schmitz, O.V.Batishchev, "Kinetic modeling of detached plasmas in the PISCES-A linear machine", 1997 International Sherwood Fusion Theory Conference, April 28-30, Madison, Wisconsin, 1C24, 1997.

291. O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, A.A.Batishcheva, D.J.Sigmar, X.Q.Xu, J.A.Byers, T.D.Rognlien, R.H.Cohen, M.M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, "Kinetic Effects in Tokamak Scrape-off Layer Plasmas" Physics of Plasmas 4 (5), 1672, May 1997.

292. O.V.Batishchev, A.S.Kukushkin, D.J.Sigmar, "Kinetic Simulation of Parallel Electron Transport in ITER", 24th Europ. Phys. Soc. Conf. on Contr. Fus. and Plasm. Phys., Berchtesgaden, Germany, 9-13 June 1997.

293. A.Batishcheva, M.Shoucri, I.Shkarofsky, H.Pacher, O.Batishchev, S.Krasheninnikov, D.Sigmar "Simulation of Plasma SOL Kinetic Effects with a 2D Fokker-Planck Code" Bull. APS Vol.42, No.10, 1981, 1997

294. O.Batishchev "Coupled plasma-neutrals kinetic modeling of SOL plasmas" Bull APS Vol.42, No. 10, 2014, 1997.

295. A.S.Kukushkin, O.V.Batishchev "Fokker-Planck Modelling of Kinetic Effects in Parallel Heat Transport in Divertor" Bull. APS Vol.42, No. 10, 2015, 1997.

296. A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, O.V.Batishchev "Application of a grid-free characteristic method to the SOL plasma simulation" Bull. APS Vol.42, No. 10, 2072, 1997.

297. O.Batishchev, B.Braams, D.Knoll, T.Rognlien, M.Rensink, S.Krasheninnikov, A.A.Batishcheva "Assessment of Adaptive Mesh446

298. L.Schmitz and O.Batishchev "Asymmetry of the Electron Distribution Function in the PISCES-A Linear Divertor Simulator",a) PET-6 workshop abstracts, 1.08, 18, 1997;b) Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 236, 1998

299. M.Adams, S.Krasheninnikov, O.V.Batishchev "Feasibility Study of an Iterative Finite Difference Approach to Kinetic Modeling of Neutral Particles in Edge Plasmas",a) PET-6 workshop abstracts, 1.09, 19, 1997,b) Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 373, 1998

300. A.Batishcheva, O.Batishchev, "Multispecies Kinetic Model of Detached Plasmas", 1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 1D07, 1998.

301. O.Batishchev, A.Batishcheva, D.J.Sigmar, "Adaptive Unstructured Grid Approach to SOL Modeling", 1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 1D19, 1998.447

302. M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, G.Pacher, R.Decoste, O.Batishchev, A.Batishcheva, "Fokker-Planck Modeling of Transient Effects in the EDGE Plasma of TdeV", 1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 2C08, 1998.

303. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, D.J.Sigmar, "Kinetic Effects During Elm Bursts in Tokamaks", 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 1P9, 1998.

304. A.S.Kholodov, A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev "Grid-Free and Adaptive Methods for SOL Plasma Simulations", 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 2P30, 1998.

305. R.W.Harvey, A.P.Smirnov, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, W.A.Coles, "Nonthermal Electron and Ion Distributions in the Solar Transition Region Calculated with 3D Fokker-Planck Codes", AGU spring meeting, May 2629, CC210, Boston, MA, 1998.

306. O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, "Unstructured adaptive meshes and grid-free methods for edge plasma fluid simulations", Report MIT, PSFC/JA-98-21, June 1998.

307. O.V.Batishchev, "Adaptive Grid Method for Edge Plasmas", EPTSW workshop, p. 19., Innsbruck, 6-8 July, 1998.

308. O.V.Batishchev, "Fokker-Planck and PIC modeling of SOL plasmas", EPTSW workshop, p.54., Innsbruck, 6-8 July, 1998.

309. F.Subba, O.V.Batishchev, R.Zanino "A comparison between two adaptive numerical methods for edge plasma fluid modeling", Report MIT, PSFC/JA-98-35, October 1998.

310. O.Batishchev "Adaptive RRC Algorithm for SOL Plasma Simulation" Bull APS Vol.43, No.8, 1754, 1998.

311. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev "Kinetic Simulation of Recombining Divertor Plasmas", Bull APS Vol.43, No.8, 1755, 1998.

312. F.Subba, O.V.Batishchev, R.Zanino "A comparison between different adaptive mesh generation strategies for edge plasma fluid modeling", Bull. APS Vol.43, No.8, 1756, 1998.

313. R.W.Harvey, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, L.C.Steinhauer, J.Squire, F.A. Chang Diaz, "Axisymmetric Two-Spatial and Two-Velocity Dimension Fokker-Planck Code for Magnetically Confined Plasmas", Bull APS Vol.43, No.8, 1886, 1998.

314. J.G.Watkins, O.V.Batishchev, C.J.Lasnier, A.W.Leonard, T.H.Osborne, "ELM Effects in the DIII-D Divertor", Bull APS Vol.43, No.8, 1889, 1998.448

315. M.Shoucri, O.Batishchev, B. Stansfield, A.Batishcheva, I.Shkarofsky, "Kinetic Simulation of Coupled Plasmas and Neutral Particles in the Scrape-off Layer (SOL) of TdeV and in Linear Plasmas Experiments", Bull. APS Vol.44, No.l, Part.I, 360, 1999.

316. F.Subba, O.Batishchev, R.Zanino, "Comparison between different adaptive methods for plasma fluid modeling", Bull. APS Vol.44, No.l, Part.II, 1116,1999.

317. O.Batishchev, "RRC adaptive grid method application to SOL plasmas", Bull. APSVolAA, No.l, Part.II, 1267, 1999.

318. A.Kainz, G.Weimann, G.Kamelander, O.Batishchev, "Interactive mesh generator for magnetic fusion devices", Bull. APS Vol.44, No.l, Part.II, 1268, 1999.

319. O.V.Batishchev, M.M.Shoucri, A.A.Batishcheva, I.P.Shkarofsky "Fully kinetic simulation of coupled plasma and neutral particles in scrape-off layer plasmas of fusion devices", J. Plasma Phys., 61, part II, 347, 1999.

320. O.Batishchev and B.LaBombard, "Kinetic Study of Thermoelectric Current in the SOL Plasma",a) 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 1P8, 1998;b) J. Nucl. Mat. 266-269, 452, 1999.

321. J.G.Watkins, O.Batishchev, J.A.Boedo, D.N.Hill, C.J.Lasnier, R.Lehmer, A.W.Leonard, R.A.Moyer, "Kinetic Effects in the DIII-D Divertor",a) 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 2P61, 1999;b) J. Nucl. Mat. 266-269, 980, 1999.

322. S.C.Luckhardt, R.W.Harvey, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, J.W.Cuthbertson, R.Doehner, A.A.Grossman, R.Lehmer, L.Blush, D.G.Whyte, "Broadening of the Parallel and Perpendicular Ion Energy

323. R.Zanino, O.V.Batishchev, F.Subba, "Comparison of Finite Element and Finite Volume Methods for Magnetized Fluid", 7th PET abstracts 37, Tajimi, Japan 1999.

324. F.Subba, O.V.Batishchev, R.Zanino "Application of Adaptive Grid RRC Method to the Fluid Modeling of Edge Plasmas", 7th PET abstracts 38, Tajimi, Japan 1999.

325. J.J.Szabo, M.Martinez-Sanchez, O.Batishchev, "Particle-in-Cell Modeling of Thruster with an Anode Layer", Paper IEPC-99-100, 26th International Electric Propulsion Conference, Kitakyiushu, Japan, Oct. 1999.

326. O.V.Batishchev "Adaptive Grid Methods for Magnetized Plasmas", Vth Congress on Fluid Dynamics, Villahermosa, Mexico, Oct. 1999.

327. O.Batishchev, "Kinetic Study of a Sheath Formation in the Ignitor", Bull APS Vol.44, No.7, 211, 1999.

328. O.Batishchev, "Kinetic Model for the Variable Isp Thruster", Bull. APS Vol.44, No.7, 99, 1999.

329. J.J.Szabo, M.Martinez-Sanchez, O.Batishchev, "Particle-in-Cell/Monte Carlo Modeling of a 50-Watt Hall Thruster", Bull. APS Vol.44, No.7, 62, 1999.

330. J.G.Watkins, C.L.Lasnier, M.E.Fenstermacher, O.Batishchev, J.A.Boedo, R.A.Moyer, T.W.Petrie, A.W.Leonard "SOL and Divertor Langmuir Probe Measurements in Balanced and Unbalanced Double Null Plasmas", Bull. APS Vol.44, No.7, 170, 1999

331. A.Kainz, G.H.Weimann, G.Kamelander, O.V.Batishchev, "ITER-like Fusion Devices Plasma Behavior Simulation: Enhancment utilizing Adaptive Mesh Application", -4p, EPS-2000, June 12-16, Budapest, 2000.

332. T.K. Soboleva, O.V. Batishchev, J.J. Martinell, "Electron and Ion Heat Fluxes in the SOL Plasmas", -4p, EPS-2000, June 12-16, Budapest, 2000.

333. Proceedings of the 17th Int. conference on the Numerical Simulation of Plasmas, p.25-28, Banff, Canada, May 22-24, 2000,.

334. A.A. Batishcheva, O.V. Batishchev, "RRC Adaptive Grid Method For Magnetized Plasma", Proceedings of the 17th Int. Conf. on the Numerical Simulation of Plasmas, p.29-32, Banff, Canada, May 22-24, 2000.

335. K. Molvig, O.V. Batishchev, "A Kinetic Model for High Specific Impulse Plasma Rocket", Proceedings of the 17 th Int. conference on the Numerical Simulation of Plasmas, p. 180-183, Banff, Alberta, Canada, May 22-24,2000.

336. O.V.Batishchev, I.V.Karas, O.N.Shulika, R.Z.Sagdeev, C.S.Lui, "New Vlasov method for wave-plasma and beam-plasma systems", DPP/ICPP 2000 Meeting, Quebec City, Canada, Bull. APS, 45(7)72, 2000.

337. O.Batishchev, K.Molvig, «Study of Operational Regimes of the VASIMR Helicon Plasma Source», DPP/ICPP 2000 Meeting, Quebec City, Canada, Bull. APS, 45 (7) 130, 2000.

338. J.Szabo, M.Martinez-Sanchez, O.Batishchev, "Full PIC/Monte-Carlo Simulation of a TAL Thruster: Thesis Summary", DPP/ICPP 2000 Meeting, Quebec City, Canada, Bull. APS, 45 (7) 166, 2000.

339. T.K.Soboleva, J.J.Martinell, O.V.Batishchev, "Coupled Electron and Heat Fluxes in the Magnetized Plasmas", DPP/ICPP 2000 Meeting, Quebec City, Canada, Bull. APS, 45 (7) 340, 2000.