Кинетика фазовых переходов второго рода с образованием бозе-конденсата тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сапцов, Роман Борисович

• Сапцов, Роман Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сапцов, Роман Борисович

Введение

Глава 1. Образование бозе-конденсата в бозе-газе при охлаждении

1.1. Слабонеидеальный бозе-газ при внешнем охлаждении.

1.2. Одномерная иллюстрация.

1.3. Флуктуации поля температур

1.4. Двумерный бозе-газ при внешнем охлаждении.

Глава 2. Слабые флуктуации плотности в бозе-газе: численная модель.

2.1. Слабые флуктуации плотности.

2.2. Вероятность оптимальной флуктуации

2.3. Двумерная модель.

Глава 3. Неустойчивость однородного состояния слабонеидеального бозе-газа при внешнем охлаждении

3.1. Трехмерный слабонеидеальный бозе-газ с источниками и стоками энергии и массы.

3.2. Двумерный слабонеидеальный бозе-газ с источниками и стоками энергии.

3.3. Влияние сверхтекучести

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетика фазовых переходов второго рода с образованием бозе-конденсата»

Представления о кинетике фазовых переходов развиты достаточно подробно для фазовых переходов первого рода и связаны с существованием как самой ме-тастабильной фазы, так и равновесного критического зародыша. Соответствующая теория была развита в работах [1], [2] и подробно изложена в обзоре [3]. В то же самое время, теоретические представления о кинетике фазовых переходов второго рода, где оба эти факта не имеют места, развиты мало. В работе И.М. Лифшица [4] предложена некоторая специальная модель возникновения упорядоченной фазы после быстрой стадии фазового перехода в "ближнем" порядке при наличии только двух типов упорядочения.

В последнее время возник интерес к проблеме фазового перехода при быстром изменении внешних параметров в связи с задачей о "Большом Взрыве", когда быстро расширяющаяся Вселенная должна охлаждаться и может пройти через серию фазовых превращений с изменением симметрии физических полей [5], а также в связи с попытками смоделировать космологические процессы в конденсированных средах [6].

В работах Зурека, подробно изложенных в обзоре [7], была развита теория фазового перехода второго рода при быстром изменении температуры в жидком 4Не. Основным в предложенном механизме является предположение о "критическом замедлении" всех процессов в окрестности температуры перехода, и "быстром" возникновении очагов новой фазы при достаточном последующем охлаждении.

Экспериментально, однако, никаких задержек в образовании новой фазы неизвестно, а критическое замедление связано с длительностью процесса установления равновесия на макроскопических расстояниях, что является несущественным при неоднородном процессе образования новой фазы.

Интерес к проблеме фазовых переходов второго рода обусловлен также проводимыми в последнее время экспериментами по конденсации бозе газа атомов щелочных металлов в магнитных ловушках [8-10] и конденсации газа экситонов в твердых телах [11, 12]. Поэтому изучение фазовых переходов на системах, в которых происходит образование бозе конденсата, интересно как для описания таких экспериментов, так и в качестве иллюстрации основных особенностей, свойственных переходам второго рода.

На практике почти всегда конденсация происходит при неравновесных начальных условиях, и поэтому интересно изучить влияние неравновесности на динамику фазового перехода. Образование бозе конденсата в слабонеидеальном бозе газе при неравновесных условиях рассматривалось Ю. Каганом с соавторами в работах [13-15]. В этих работах изучалась ситуация, когда газ находился в сильно неравновесном начальном состоянии, в котором отсутствовал конденсат, однако полная энергия газа была ниже равновесной энергии этого газа при критической температуре, так что конденсация наступала в процессе установления термодинамического равновесия. Рассмотрение проводилось в рамках анализа кинетического уравнения для бозе-газа, где в качестве начальной функции распределения бралась упомянутая выше неравновесная функция и изучалась ее релаксация к равновесному состоянию с той же энергией, в котором должен существовать бозе-конденсат. В этих работах изучалась также и квантово-полевая эволюция бозе-газа, как эволюция его матрицы плотности, выраженной через бозевские когерентные состояния. Однако, в работах [13-15] рассматривалась только замкнутая неравновесная система, не взаимодействующая с термостатом, а равновесие в ней наступало в результате внутреннего уравновешения ее подсистем друг с другом. Кроме того, в этих работах не изучалось влияние тепловых флуктуаций и пространственных неоднородностей на динамику образования конденсата.

Важной задачей, поэтому, является изучение влияния постоянного внешнего воздействия на бозе-систему, в которой происходит образование бозе-конденсата, как например, внешнее охлаждение газа до температур ниже критической. Изучению такого влияния на примере бозе-газа экситонов, находящихся в полупроводнике и охлаждающихся путем излучения фононов в решетку посвящены первые две главы диссертации. Как оказывается, при таком внешнем воздействии существенную роль начинают играть термодинамические флуктуации в бозе-системе, что приводит к образованию неоднородных зародышей сверхтекучей фазы еще до момента, когда средняя температура системы опустится ниже критической. В известной мере ситуация напоминает механизм фазового перехода первого рода, когда новая фаза может образовываться в метастабильных зародышах, которые затем могут за счет термодинамической флуктуации вырасти до критического объема, после чего новая фаза начинает развиваться, будучи энергетически более выгодной. В нашем случае, однако, возможность образования разрастающегося зародыша новой фазы связана непосредственно с наличием внешнего охлаждения - в результате флуктуации происходит локальное увеличение плотности бозе-частиц, сопровождающееся усилением фо-нонной эмиссии в этой области. Никакого энергетического барьера между до-критической и закритической областями в нашем случае не имеется, а разделение докритической и закритической областей напрямую зависит от неравновесного внешнего воздействия. Предложенный механизм позволяет глубже понять спектр явлений, происходящих в процессе формирования бозе-конден-сата в системах, находящихся под внешним воздействием, как обычно и бывает в экспериментах. Так, охлаждение бозе-атомов в ловушках часто производится под воздействием тормозящего тепловое движение частиц лазерного поля, а охлаждение экситонов, возбужденных лазером в сильно охлажденном полупроводнике может происходить непосредственно согласно предлагаемому нами сценарию. Трехмерные экситоны, однако, достаточно нестабильны и быстро ре-комбинируют, поэтому получить экспериментально бозе-конденсацию для трехмерных экситонов пока не удалось, а основные эксперименты проводились в двумерном случае. В диссертации показывается, как результаты, полученные для трехмерного случая, можно обобщить на двумерные системы.

При изучении кинетики неравновесного состояния под влиянием тепловых флуктуаций не учитывалась конечность времени жизни бозе-частиц (так, например, экситоны в твердом теле со временем распадаются в следствие аннигиляции составляющих их электронов и дырок) и в системе отсутствовали источники частиц и энергии. Конечность времени жизни бозе-частиц не играет ключевой роли в процессе формирования критических зародышей новой фазы, описанных в первых двух главах, если это время (как и предполагалось при выводе) достаточно велико. Его учет только несколько перенормирует входящие в ответ параметры и потому, чтобы не загромождать вычисления и сделать физическую картину явления более прозрачной время жизни бозе-честиц полагалось в этих главах бесконечным. В то же время, при наличии источников и стоков энергии и массы, неустойчивость, связанная повышением сжимаемости бозе-газа при приближении к критической температуре может проявляться при образовании неравновесного стационарного состояния в слабонеидеальном бозе-газе. Исследованию такого влияния посвящена третья глава диссертации. Актуальность производимого в ней исследования проявляется еще и в связи с тем, что в последнее время также вообще возрос интерес к бозе-системам в которых имеются как стоки, так и источники энергии и массы. Причиной этому полужили работы Тимофеева, Гобунова и Ларионова [16-19], в которых докладывались результаты экспериментов по бозе-конденсации бозе-газа непрямых экситонов в двумерных гетероструктурах. В этих экспериментах двумерный образец GaAs/AlGaAs подвергался облучению лазерным полем, которое возбуждало непрямые экситоны, являющиеся бозе-частицами. Частицы имели конечное время жизни, и температуру в несколько раз превышающую температуру самой гетероструктуры. В результате устанавливался баланс между потоками энергии (нагрев экситонного газа лазерным полем и теплоотдача в решетку гетероструктуры) и массы (возбуждение лазерным полем и естественная аннигиляция экситонов) и возникало стационарное, но неравновесное состояние бозе-газа. Экспериментально наблюдалось не непосредственно распределение температуры и плотности бозе-газа, а люминисцентное излучение, возникающее в результате аннигиляции экситонов. Неожиданным результатом работ [16-19] явилось то, что пространственное рапределение интенсивности люминисцент-ного излучения оказалось сильно неоднородным, представляя собой периодические максимумы и минимумы интенсивности. В настоящее время пока нет общепризнанного теоретического объяснения данного явления. Так, в работе [20] указывалось, что пространственно неоднородный характер люменисценции в подобных системах может быть связан с образованием вихревой структуры в сверхтекучем бозе-газе. Такого же взгляда, по-видимому, придерживаются и сами авторы экспериментов [16-19], однако остается не выясненным вопрос о причинах возникновения вихрей в системе. Другого мнения придерживаются авторы работ [21, 22], которые считают, что наблюдаемые структуры возникают в результате обменного притяжения между экситонами, возникающего в результате взаимодействия электрона одного из экситонов с дыркой другого и наоборот, а максимумы и минимумы люменисценции соответствуют максимумам и минимумам плотности экситонного газа. С этим взаимодействием конкурирует диполь-дипольное отталкивание экситонов - и механизм подобного рода может иметь место только для достаточно тонких гетероструктур и при достаточно больших плотностях экситонного газа. При этом механизм, предложенный в [21, 22] никак не учитывает бозе-природу экситонного газа и связан исключительно с видом взаимодействия частиц. В третьей главе диссертации рассматривается механизм неустойчивости однородного состояния слабонеиде-ального бозе-газа и возможности формирования в нем структур неоднородной плотности, в котором бозе-природа газа и его близость к критической температуре, напротив, играют ключевую роль. При этом показывается, что в бозесистемах, которые могут быть описаны в рамках модели слабонеидеального газа, в условиях, сходных с описанными в [16-19], состояние с пространственно однородной плотностью и температурой неустойчиво в некоторой области Фурье-пространства. Важную роль при этом играет увеличение сжимаемости слабонеидеального бозе-газа вблизи сверху и ниже критической температуры. При этом при температурах ниже критической неустойчивость развивается в модах, соответствующих второму звуку.

Структура диссертации такова: в первой главе изучается влияние внешнего охлаждения на кинетику перехода бозе-газа в сверхтекучее состояние. В первой части главы предлагается для изучения модель слабовзаимодействующих бозе-частиц, с температурой несколько выше критической, помещенных в матрицу твердого тела, охлажденного до более низких температур. Для описания флук-туаций температуры вводится уравнение теплопроводности бозе-газа, снабженное дополнительным членом, учитывающим усиление охлаждения в области, где происходит сильное увеличение плотности (которое, как показывается -связано с изменением температуры). Кроме того, в это уравнение добавлены члены, описывающие случайные тепловые потоки, что приводит к описанию флуктуации в рамках гидродинамической теории флуктуаций. Выписывается уравнение Фоккера-Планка для вероятности реализации критической конфигурации поля температуры в такой системе.

Во второй части главы рассматривается для иллюстрации модельный случай, когда система описывается единственной скалярной величиной, а не полем (как в случае поля температур), для иллюстрации основных особенностей систем с внешним охлаждением. Показано, как полученные результаты обобщаются на случай векторной и полевой переменных.

В третьей части главы строится решение уравнения Фоккера-Планка в вариационных производных из первой части главы с точностью до безразмерной константы. Обсуждаются численные методы вычисления этой константы.

В четвертой части главы показывается, как предыдущие результаты, полученные для случая трех пространственных переменных, обобщаются на двумерный случай.

Во второй главе приводится более упрощенная модель, в которой одна из предложенный численных схем вычисления безразмерной константы становится просто реализуемой. Производятся вычисления констант в трехмерном и двумерном случаях. Подробности вычислений вынесены в Приложение А.

В третьей главе изучается устойчивость слабонеидеального бозе газа при внешней подкачке массы и энергии и конечном времени жизни составляющих его частиц, показывается, что неустойчивость имеет место в широкой области Фурье-пространства для изменений плотности и температуры.

В первом разделе главы описывается поведение бозе-газа в рамках гидродинамических уравнений в трехмерном случае, в непосредственной близости от критической температуры. Показывается, что неустойчивость однородного решения имеет место в полосе векторов Фурье-пребразования при выполнении ряда естественных для системы критериев.

Во втором разделе главы рассматривается аналогичная модель для слабонеидеального бозе-газа в двух измерениях. Основные эксперименты, в которых наблюдались неоднородные структуры производились над двумерным бозе-газом непрямых экситонов, что связано с их большей стабильностью. Для двумерного бозе-газа используется модель, аналогичная предложенной в четвертом разделе первой главы. При этом показано, что неустойчивость будет иметь место при \к\ < |&о| как и в первом разделе главы, но при этом ко определяется не отношением длины рассеяния частиц к среднему межатомному расстоянию, которое являлось малым параметром в первом разделе этой главы, а двойным логарифмом обратной величины этого отношения, который, как и в четвертом разделе первой главы, предполагается малым параметром для двумерной системы.

В третьем разделе третьей главы производится учет сверхтекучести, считая, что параметры нагрева подобраны так, что однородная стационарная температура То находится достаточно ниже критической Тс (оставаясь все еще близкой к критической). В этом случае показано, что описываемая неустойчивоть проявляется в спектре второго звука. При этом неустойчивость имеет место при \к\ < \ко\, где к0 - имеет тот же вид (с учетом выбранного предела для вязкости и времени жизни частиц), что и без учета сверхтекучести. Различие состоит лишь в том, что теперь Л не является чисто действительной вблизи ко, а содержит соответствующую второму звуку колебательную часть. Таким образом, наличие сверхтекучести не меняет ни главного вывода о наличии неустойчивости вблизи однородного состояния для к меньших некоторого ко, ни само выражение для ко.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сапцов, Роман Борисович

Заключение

В работе были получены следующие результаты:

1. Предложен новый сценарий перехода бозе газа при внешнем охлаждении в сверхтекучее состояние посредством гидродинамических флуктуаций температуры и плотности в трехмерном случае. Получено выражение для вероятности таких флуктуаций и вычислено число таких флуктуаций, образующихся в единицу времени в единице объема.

2. Получены уравнения, описывающие развитие критической флуктуации во времени и в предельном случае слабых флуктуаций предложена численная схема для их анализа.

3. Предложенный сценарий для трехмерного бозе газа обобщен на случай двумерного, в котором нет истинного бозе конденсата, но существует БКТ переход в сверхтекучее состояние. Численная схема модифицирована для двумерного случая.

4. Показана неустойчивость однородного состояния слабонеидеального бозе-газа вблизи критической температуры с источниками массы и энергии и наличии внешнего охлаждения по отношению к формированию структур с неоднородной в пространстве плотностью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сапцов, Роман Борисович, 2007 год

1. Becker R., Doering W. // Annalen der Physik- 1935.- no. 24,- P. 719.

2. Зельдович Я. /J ЖЭТФ. 1942. - T. 112. - C. 525.

3. Langer J. // Ann. of Physics. 1962. - Vol. 54. - P. 258.

4. Лифшиц И. // ЖЭТФ,- 1962,- T. 42,- C. 1354.

5. Зельдович Я., Кобзарев И., Окунь Л. // ЖЭТФ. 1974. - Т. 67. - С. 3.

6. Kibble Т. // J.Phys. А. 1976. - Vol. 9. - Р. 1387.

7. Zurek W. // Phys. Rep. 1996. - Vol. 276. - P. 177.

8. Anderson M., et. al // Science. 1995. - Vol. 269.- P. 198.

9. Bradley C., et. al // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75.-P. 1687.

10. Davis K., et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75. - P. 3969.

11. Larionov L., et. al. // JETP Letters. 2002. - Vol. 75. - P. 570.

12. Butov L., Filin A. 11 Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 58,- P. 1980.

13. Kagan Y., Svistunov В., Shlyapnikov G. // Sov. Phys. JETP.- 1992.-Vol. 75. P. 387.

14. Kagan Y., Svistunov B. // Sov. Phys. JETP. 1998. - Vol. 78. - P. 187.

15. Kagan Y. Bose Einstein Condensation. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998.- (ed. by A. Grifin, D.W. Snoke, and S. Stringari).

16. Gorbunov A., Timofeev V. // JETP Lett. 2006. - Vol. 83. - P. 146.

17. Gorbunov A., Timofeev V. // JETP Lett. 2006. - Vol. 84. - P. 329.72

18. Gorbunov A., Timofeev V. // J. Appl. Phys. 2007. - Vol. 101. - P. 081708.

19. Горбунов А., Ларионов А., Тимофеев В. // Письма в ЖЭТФ.— 2006.— Т. 86. С. 48-53.

20. Keeling J., Levitov L., Littlewood P. // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 92. -P. 176402.

21. Сугаков В., Чернюк A. // Письма в ЖЭТФ. 2007. - Т. 85. - С. 699-704.

22. Chernyuk A., Sugakov V. J J Phys. Rev. В. 2006. - Vol. 74. - P. 085303.

23. Henry H., Levine H. // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 68. - P. 031914.

24. Marder M. // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 3442.

25. Chernykh A., Stepanov M. // Phys. Rev. E. — 2001.— Vol. 64.- P. 026306.

26. Ландау ЛЛифшиц E. Статистическая физика. — Москва: Физматлит, 1995.-Т. 5.

27. Лифшиц Е., Питаевский Л. Статистическая физика. — Москва: Физматлит, 2002. Т. 9.

28. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика. — Москва: Физматлит, 2001.

29. Martin РSiggia Е., Rose Н. // Phys. Rev. А1973. Vol. 8. - P. 423.

30. Kamenev A. // cond-mat/. 2005. - Vol. 0412296. - Pp. 1-71.

31. Freire J., Arovas D., Levine H. // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79. - P. 5054.

32. Лифшиц E., Питаевский Л. Статистическая физика,— Москва: Наука, 1979. Т. 10.

33. Iordanskiy S., Kashuba A. // JETP Letters. 2001. - Vol. 73. - P. 542.

34. Ketterle W., van Druten N. // Phys. Rev. A. — 1996. — Vol. 54.- P. 656.

35. Sonin E. // Sov. Phys. JETP. 1969. - Vol. 29. - P. 520.

36. Popov V. Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics. — Dordrecht: Reidel, 1983.

37. Berezinskii V. // Sov. Phys. JETP. 1971. - Vol. 32,- P. 493.

38. Berezinskii V. // Sov. Phys. JETP. 1972. - Vol. 34. - P. 610.

39. Kosterlitz J., Thouless D. // J. Phys. C. 1973. - Vol. 6. - P. 1181.

40. Kosterlitz J. 11 J. Phys. C. 1974. - Vol. 7. - P. 1046.

41. Fisher L., Hohenberg P. // Phys. Rev. B. 1988. - Vol. 37.- P. 4936.

42. Ландау JI., Лифшиц E. Гидродинамика. — Москва: Наука, 1986. — Т. 6.

43. Халатников И. Введение в теорию сверхтекучести. — Москва: Физматлит, 1965.

44. О7Нага К., Wolfe J. // Phys. Rev. В. 2000. - Vol. 62. - P. 12909.