Классические решения в теории струн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Михайлов, Виктор Николаевич

• Михайлов, Виктор Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михайлов, Виктор Николаевич

1 Введение

1.1 Классические струны и аномальные размерности операторов.

1.2 Классические решения в калибровочных теориях.

2 Асимптотический анзатц Бете и регуляризация

2.1 Алгебраическая кривая для сложенной струны.

2.2 Выбор регуляризации.

3 Фермионные частоты циркулярных струн

3.1 Спиновые расслоения и угловые координаты

3.2 Циркулярные струны в х й"5.

3.2.1 Случай ви(2) циркулярной струны

3.2.2 Случай в1(2) циркулярной струны.

3.3 Циркулярные струны в пространстве АйБ4 х СР3.

3.3.1 Случай ви{2) циркулярной струны

3.3.2 Случай 2) циркулярной струны.

3.4 Бозонная СР3 частота.

4 Неабелевы струны

4.1 Несуперсимметричная модель.

4.2 Суперсимметричная модель.

4.3 Теория на мировой поверхности струны

5 Обобщенные уравнения Богомольного и системы типа Тоды

5.1 Редукция уравнений Богомольного.

5.2 Граничные операторы 'т Хоофта

5.3 Уравнения открытой цепочки Тоды из уравнений Богомольного

5.4 Решение уравнений Тоды.

5.5 Доказательство гипотезы для алгебр Ап.

5.6 Решения с линейной сингулярностью.

5.7 Частные случаи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классические решения в теории струн»

Исследование квантовой динамики системы невозможно без хорошего понимания ее классической динамики. В режиме слабой связи квазиклассическое вычисление является хорошим приближением. В случае сильной связи наивное квазиклассическое приближение обычно дает ответы, весьма далекие от реальности, однако из этого правила есть исключения. Например, существуют величины, защищенные от перенормировки симметрией. Например, в суперсимметричных теориях массы так называемых БПС состояний связаны с центральными зарядами алгебры суперсимметрии. Исследование суперсимметричных уравнений и их солитонных решений является одной из тем данной диссертации. Другое применение квазиклассических методов в режиме сильной связи возникает в случае дуальностей типа сильная-слабая связь. Классическим примером такой дуальности является Б-дуальность калибровочных теорий, связывающая электрические и магнитные возбуждения. В 1997 году была открыта [1, 2, 3] более удивительная дуальность, связывающая калибровочную теорию и теорию гравитации, точнее, теорию струн, в большем числе измерений. Первоначально гипотеза была сформулирована для максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса в четырехмерии и замкнутой суперструны типа II В в пространстве Айвь х Б5. Некоторые аспекты применения этой дуальности к вычислению аномальных размерностей в калибровочной теории будут рассмотрены в нашей диссертации.

Структура работы

Диссертация состоит из вводной главы и четырех глав, в которых представлены оригинальные результаты, выносимые на защиту. Во введении дан краткий обзор применения АйБ/СРТ соответствия к вычислению аномальных размерностей операторов в калибровочной теории, а также некоторых аспектов БПС уравнений в суперсимметричных калибровочных теориях, в том числе топологических. Во второй главе с помощью метода алгебраической кривой получены значения частот возбуждений для так называемой сложенной струны в пространстве А¿Б^ х СР3. Предложен метод регуляризации суммы по частотам, естественный с точки зрения интегрируемой системы. В третьей главе рассмотрены частоты фермионных возбуждений для различных классических решений для струны в пространствах АйБ^ х 55 и АйБ^ х СР3. Показано, что для получения правильного результата для фермионных частот методом разложения над классическим решением необходимо выбирать правильные условия периодичности для фермионов. Эти условия периодичности связаны со спин-структурой таргет-пространства. В главе 4 мы переходим к рассмотрению ВПС уравнений в суперсимметричных теориях. Обсуждаются струнные решения этих уравнений в теориях с ненулевым химпотенциалом. В главе 5 рассмотрены решения обобщенных уравнений Богомольного, задающие граничные операторы 'т Хоофта в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса на полупространстве.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Михайлов, Виктор Николаевич

6 Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Получены частоты флуктуаций для сложенной струны в пространстве Ае£54 х СР3.

2. Предложен новый метод регуляризации бесконечных сумм частот, естественный с точки зрения метода алгебраической кривой.

3. Показано, что при вычислении частот фермионных флуктуаций необходимо учитывать спин-структуру таргет пространства. Для различных классических циркулярных струн проанализировано вычисление фермионных частот методом разложения действия Грина-Шварца и показано, что результаты согласуются с методом алгебраической кривой при учете спин-структуры.

4. Изучены классические решения для солитонных неабелевых струн в суперсимметричной и несуперсимметричной хромодинамике в присутствии химпотенциала. Построена теория на мировой поверхности струны.

5. Исследованы решения обобщенных уравнений Богомольного, задающие оператор 'т Хоофта и поверхностный оператор в N = 4 суперсимметричной калибровочной теории. Показано, что уравнения сводятся к открытой цепочке Тоды для оператора 'т Хоофта и некоторой обобщенной системе Тоды для поверхностного оператора. С помощью методов теории интегрируемых систем построены явные решения уравнений, в первом случае — для произвольной простой алгебры Ли, во втором — для алгебр su(N).

Благодарности

В завершение работы я хотел бы выразить благодарность моему научному руководителю А.С. Горскому за помощь в изучении квантовой теории поля, терпение и поддержку. Я хотел бы поблагодарить моего соавтора Н. Громова, а также Э. Вит-тена и А. Цейтлина за постановку задач и многочисленные полезные обсуждения. Я благодарен И. Денисенко, А. Жибоедову, К. Зарембо, А. Крикуну, П. Копнину, М. Трусову, М. Шифману за полезные обсуждения и помощь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михайлов, Виктор Николаевич, 2012 год

1. J. М. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231-252.

2. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from noncritical string theory," Phys. Lett. В 428, 105 (1998).

3. E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998).

4. L. N. Lipatov, "High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models," hep-th/9311037.

5. L. D. Faddeev and G. P. Korchemsky, "High-energy QCD as a completely integrable model," Phys. Lett. B342 (1995) 311-322.

6. J. A. Minahan and K. Zarembo, "The Bethe-ansatz for N = 4 super Yang-Mills," JHEP 03 (2003) 013.

7. I. Bena, J. Polchinski, and R. Roiban, "Hidden symmetries of the AdS(5) x S**5 superstring," Phys. Rev. D69 (2004) 046002.

8. M. Staudacher, "The factorized S-matrix of CFT/AdS," JHEP 05 (2005) 054.

9. N. Beisert and M. Staudacher, "Long-range psu(2,2|4) Bethe ansaetze for gauge theory and strings," Nucl. Phys. B727 (2005) 1-62.

10. N. Beisert, B. Eden, and M. Staudacher, "Transcendentality and crossing," J. Stat. Mech. 0701 (2007) P021.

11. O. Aharony, O. Bergman, D. L. Jafferis and J. Maldacena, "N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals," JHEP 0810, 091 (2008).

12. M. Benna, I. Klebanov, T. Klose and M. Smedback, "Superconformal Chern-Simons Theories and AdS(4)/CFT(3) Correspondence," JHEP 0809, 072 (2008).

13. J. A. Minahan and K. Zarembo, "The Bethe ansatz for superconformal Chern-Simons," JHEP 0809, 040 (2008).

14. D. Gaiotto, S. Giombi and X. Yin, "Spin Chains in N=6 Superconformal Chern-Simons-Matter Theory," JHEP 0904, 066 (2009).

15. D. Bak and S. -J. Rey, "Integrable Spin Chain in Superconformal Chern-Simons Theory," JHEP 0810, 053 (2008).

16. G. Arutyunov and S. Frolov, "Superstrings on AdS(4) x CP**3 as a Coset Sigma-model," JHEP 0809, 129 (2008).

17. B. Stefanski, jr, "Green-Schwarz action for Type IIA strings on AdS(4) x CP**3," Nucl. Phys. B 808, 80 (2009).

18. N. Gromov and P. Vieira, "The all loop AdS4/CFT3 Bethe ansatz," JHEP 0901, 016 (2009).

19. D. Astolfi, V. G. M. Puletti, G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "Finite-size corrections in the SU(2) x SU(2) sector of type IIA string theory on AdS(4) x CP**3," Nucl. Phys. B 810, 150 (2009).

20. C. Ahn and R. I. Nepomechie, "N=6 super Chern-Simons theory S-matrix and allloop Bethe ansatz equations," JHEP 0809, 010 (2008).

21. V. A. Kazakov, A. Marshakov, J. A. Minahan, and K. Zarembo, "Classical / quantum integrability in AdS/CFT," JHEP 05 (2004) 024.

22. N. Beisert, V. A. Kazakov, K. Sakai, and K. Zarembo, "The algebraic curve of classical superstrings on AdS(5) x S(5)," Commun. Math. Phys. 263 (2006) 659-710.

23. N. Gromov and P. Vieira, "The AdS(4) / CFT(3) algebraic curve," JHEP 0902, 040 (2009)

24. N. Gromov and P. Vieira, "The AdS(5) x S**5 superstring quantum spectrum from the algebraic curve," Nucl. Phys. B 789, 175 (2008).

25. T. McLoughlin and R. Roiban, "Spinning strings at one-loop in AdS(4) x P**3," JHEP 0812, 101 (2008).

26. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, and A. M. Polyakov, "A semi-classical limit of the gauge/string correspondence," Nucl. Phys. B636 (2002) 99-114.

27. A. V. Belitsky, A. S. Gorsky, and G. P. Korchemsky, "Logarithmic scaling in gauge / string correspondence," Nucl. Phys. B748 (2006) 24-59.

28. A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, "On the highest transcendentality in N = 4 SUSY," Nucl. Phys. B769 (2007) 217-255.

29. L. F. Alday, G. Arutyunov, M. K. Benna, B. Eden, and I. R. Klebanov, "On the strong coupling scaling dimension of high spin operators," JHEP 04 (2007) 082.

30. I. Kostov, D. Serban, and D. Volin, "Strong coupling limit of Bethe ansatz equations," Nucl. Phys. B789 (2008) 413-451.

31. M. Beccaria, G. F. De Angelis, and V. Forini, "The scaling function at strong coupling from the quantum string Bethe equations," JHEP 04 (2007) 066.

32. I. Kostov, D. Serban and D. Volin, "Functional BES equation," JHEP 0808, 101 (2008).

33. P. Y. Casteill and C. Kristjansen, "The Strong Coupling Limit of the Scaling Function from the Quantum String Bethe Ansatz," Nucl. Phys. B785 (2007) 1-18.

34. A. V. Belitsky, "Strong coupling expansion of Baxter equation in N=4 SYM," Phys. Lett. B659 (2008) 732-740.

35. R. Roiban, A. Tirziu, and A. A. Tseytlin, "Two-loop world-sheet corrections in AdS5 x S5 superstring," JHEP 07 (2007) 056.

36. L. F. Alday and J. M. Maldacena, "Comments on operators with large spin," JHEP 11 (2007) 019.

37. B. Basso, G. P. Korchemsky, and J. Kotanski, "Cusp anomalous dimension in maximally supersymmetric Yang- Mills theory at strong coupling," Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 091601.

38. R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Strong-coupling expansion of cusp anomaly from quantum superstring," JHEP 11 (2007) 016.

39. R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Spinning superstrings at two loops: strong-coupling corrections to dimensions of large-twist SYM operators," Phys. Rev. D77 (2008) 066006.

40. D. Fioravanti, P. Grinza and M. Rossi, "Strong coupling for planar N=4 SYM theory: An All-order result," Nucl. Phys. B 810, 563 (2009).

41. L. Freyhult, A. Rej and M. Staudacher, J. Stat. Mech. 0807, P07015 (2008).

42. B. Basso and G. P. Korchemsky, "Embedding nonlinear 0(6) sigma model into N=4 super-Yang-Mills theory," Nucl. Phys. B 807, 397 (2009).

43. D. Fioravanti, P. Grinza and M. Rossi, "The Generalised scaling function: A Note," Nucl. Phys. B 827, 359 (2010).

44. F. Buccheri and D. Fioravanti, "The Integrable 0(6) model and the correspondence: Checks and predictions," arXiv:0805.4410 hep-th],

45. N. Gromov, "Generalized Scaling Function at Strong Coupling," JHEP 0811, 085 (2008).

46. M. Beccaria, "The Generalized scaling function of AdS/CFT and semiclassical string theory," JHEP 0807, 082 (2008).

47. G. Arutyunov, S. Frolov, and M. Staudacher, "Bethe ansatz for quantum strings," JHEP 10 (2004) 016.

48. T. Nishioka and T. Takayanagi, "On Type IIA Penrose Limit and N=6 Chern-Simons Theories," JHEP 0808, 001 (2008).

49. G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "The SU(2) x SU(2) sector in the string dual of N=6 superconformal Chern-Simons theory," Nucl. Phys. B 810, 115 (2009).

50. I. Shenderovich, "Giant magnons in AdS(4) / CFT(3): Dispersion, quantization and finite-size corrections," arXiv:0807.2861 hep-th].

51. S. Frolov, A. Tirziu, and A. A. Tseytlin, "Logarithmic corrections to higher twist scaling at strong coupling from AdS/CFT," Nucl. Phys. B766 (2007) 232-245.

52. L. F. Alday, G. Arutyunov and D. Bykov, "Semiclassical Quantization of Spinning Strings in AdS(4) x CP**3," JHEP 0811, 089 (2008).

53. N. Gromov, S. Schafer-Nameki and P. Vieira, "Efficient precision quantization in AdS/CFT," JHEP 0812, 013 (2008).

54. V. Mikhaylov, J. Phys. AA 43, 335401 (2010)

55. S. Frolov and A. A. Tseytlin, "Quantizing three-spin string solution in AdS(5) x S**5," JHEP 0307, 016 (2003).

56. I. Y. Park, A. Tirziu and A. A. Tseytlin, "Spinning strings in AdS(5) x S**5: One-loop correction to energy in SL(2) JHEP 0503, 013 (2005).

57. C. Krishnan, "AdS4/CFT3 at One Loop," JHEP 0809, 092 (2008).

58. T. McLoughlin, R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Quantum spinning strings in AdS4 x CP3: testing the Bethe Ansatz JHEP 0811, 069 (2008).

59. M. A. Bandres and A. E. Lipstein, "One-Loop Corrections to Type IIA String Theory in AdS(4) x CP3," JHEP 1004, 059 (2010).

60. N. Gromov and V. Mikhaylov, "Comment on the Scaling Function in AdS4 x CP3," JHEP 0904, 083 (2009).

61. N. Gromov and P. Vieira, "Constructing the AdS/CFT dressing factor," Nucl. Phys. B 790, 72 (2008).

62. N. Gromov and P. Vieira, "Complete 1-loop test of AdS/CFT," JHEP 0804, 046 (2008).

63. S. Schafer-Nameki, M. Zamaklar and K. Zarembo, "Quantum corrections to spinning strings in AdS(5) x S**5 and Bethe ansatz: A comparative study," JHEP 0509, 051 (2005),

64. N. Beisert and A. A. Tseytlin, "On quantum corrections to spinning strings and Bethe equations," Phys. Lett. B 629, 102 (2005).

65. R. Hernandez and E. Lopez, "Quantum corrections to the string Bethe ansatz," JHEP 0607, 004 (2006).

66. G. Arutyunov, J. Russo and A. A. Tseytlin, "Spinning strings in AdS(5) x S**5: New integrable system relations," Phys. Rev. D 69, 086009 (2004),

67. A. A. Tseytlin, "Spinning strings and AdS/CFT duality," hep-th/0311139.

68. N. Beisert, A. A. Tseytlin and K. Zarembo, "Matching quantum strings to quantum spins: One-loop vs. finite-size corrections," Nucl. Phys. B 715, 190 (2005).

69. S. A. Frolov, I. Y. Park and A. A. Tseytlin, "On one-loop correction to energy of spinning strings in S(5)," Phys. Rev. D 71, 026006 (2005)"

70. S. Schafer-Nameki, "Exact expressions for quantum corrections to spinning strings," Phys. Lett. В 639, 571 (2006).

71. H. Громов, неопубликовано.

72. Y. Choquet-Bruhat, C. DeWitt-Morette, "Analysis, Manifolds and Physics. Part I", North Holland, 2004.

73. A. Gorsky and V. Mikhailov, "Nonabelian strings in a dense matter," Phys. Rev. D 76, 105008 (2007).

74. M. G. Alford, K. Rajagopal and F. Wilczek, "Color-flavor locking and chiral symmetry breaking in high density QCD," Nucl. Phys. В 537, 443 (1999).

75. К. Rajagopal and F. Wilczek, "The Condensed matter physics of QCD," In *Shifman, M. (ed.): At the frontier of particle physics, vol. 3* 2061-2151.

76. D. T. Son, M. A. Stephanov and A. R. Zhitnitsky, "Domain walls of high-density QCD," Phys. Rev. Lett. 86, 3955 (2001).

77. M. M. Forbes and A. R. Zhitnitsky, "Global strings in high density QCD," Phys. Rev. D 65, 085009 (2002).

78. D. B. Kaplan and S. Reddy, "Vortices and vortons in dense quark matter," Phys. Rev. Lett. 88, 132302 (2002).

79. S. Kobayashi, D. Mateos, S. Matsuura, R. C. Myers and R. M. Thomson, JHEP 0702, 016 (2007).

80. K. Y. Kim, S. J. Sin and I. Zahed, "Dense hadronic matter in holographic QCD," arXiv:hep-th/0608046.

81. N. Horigome and Y. Tanii, "Holographic chiral phase transition with chemical potential," JHEP 0701, 072 (2007).

82. D. Yamada, JHEP 0810, 020 (2008).

83. R. Harnik, D. T. Larson and H. Murayama, "Supersymmetric color superconductivity," JHEP 0403, 049 (2004).

84. M. Arai and N. Okada, "Color superconductivity in N = 2 supersymmetric gauge theories," Phys. Rev. D 74, 045004 (2006).

85. A. Hanany and D. Tong, "Vortices, instantons and branes," JHEP 0307, 037 (2003).

86. R. Auzzi, S. Bolognesi, J. Evslin, K. Konishi and A. Yung, "Nonabelian superconductors: Vortices and confinement in N = 2 SQCD," Nucl. Phys. B 673, 187 (2003).

87. A. Gorsky, M. Shifman and A. Yung, "Non-Abelian Meissner effect in Yang-Mills theories at weak coupling," Phys. Rev. D 71, 045010 (2005).

88. D. Tong, "Monopoles in the Higgs phase," Phys. Rev. D 69, 065003 (2004).

89. M. Shifman and A. Yung, "Non-Abelian string junctions as confined monopoles," Phys. Rev. D 70, 045004 (2004).

90. D. Tong, "TASI lectures on solitons," arXiv:hep-th/0509216. M. Shifman and A. Yung, Rev. Mod. Phys. 79, 1139 (2007).

91. M. Eto, Y. Isozumi, M. Nitta, K. Ohashi and N. Sakai, "Solitons in the Higgs phase: The moduli matrix approach," J. Phys. A 39, R315 (2006).

92. A. Gorsky and V. Zakharov, Phys. Rev. D 77, 045017 (2008).

93. J. I. Kapusta, "Bose-Einstein Condensation, Spontaneous Symmetry Breaking, And Gauge Theories," Phys. Rev. D 24 (1981) 426.

94. A. Gorsky and M. A. Shifman, "More on the tensorial central charges in N = 1 supersymmetric gauge theories (BPS wall junctions and strings)," Phys. Rev. D 61, 085001 (2000).

95. E. Witten, "Instantons, The Quark Model, And The 1/N Expansion," Nucl. Phys. B 149, 285 (1979).

96. Е. V. Gorbar, М. Hashimoto and V. A. Miransky, "Gluonic phase in neutral two-flavor dense QCD," Phys. Lett. В 632, 305 (2006).

97. E. V. Gorbar, J. Jia and V. A. Miransky, "Vortices in gauge models at finite density with vector condensates," Phys. Rev. D 73, 045001 (2006). A. Buchel, J. Jia and V. A. Miransky, Nucl. Phys. В 772, 323 (2007).

98. V. Mikhaylov, "On the Solutions of Generalized Bogomolny Equations," JHEP 1205, 112 (2012).

99. A. Kapustin and E. Witten, "Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program," arXiv:hep-th/0604151.

100. E. Witten, "Analytic Continuation Of Chern-Simons Theory," arXiv:1001.2933 hep-th],

101. E. Witten, "Fivebranes and knots," arXiv:1101.3216 hep-th],

102. D. Gaiotto and E. Witten, "Knot Invariants from Four-Dimensional Gauge Theory," arXiv:1106.4789 hep-th],

103. M. Henningson, "'t Hooft Operators in the Boundary," Phys. Rev. D 84, 105032 (2011).

104. D. Gaiotto and E. Witten, "Supersymmetric boundary conditions in N=4 super Yang-Mills theory," J. Stat. Phys. 135 (2009) 789-855.

105. R.N. Cahn, "Semisimple Lie algebras and their representations," Benjamin-Cummings, 1984.

106. A.M. Переломов, "Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли," (Наука, 1990),

107. А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский, "Интегрируемые системы," (ИКИ, 2003).

108. В. Kostant, "The solution to a generalized Toda lattice and representation theory," Adv. in Math. 34, 3 (1979).

109. P. Mansfield, "Solution Of Toda systems," Nucl. Phys. В 208, 277 (1982).

110. В.A. Dubrovin, "Theta-functions and nonlinear equations," Russian Math. Surveys 36, no.2, 11-92 (1982). With Appendix "Periodic non-abelian Toda chain and its two-dimensional generalization", by I.M. Krichever.

111. B.A. Dubrovin, I.M. Krichever, S.P. Novikov, "Integrable systems. I", Dynamical systems, IV, 177-332, Encyclopaedia Math. Sci. 4, Springer, Berlin, 2001.

112. И.М. Кричевер, "Нелинейные уравнения и эллиптические кривые", Совр. Напр. Математики, 23, 79-136, ВИНИТИ, Москва, 1983.