Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Волков, Юрий Владимирович

• Волков, Юрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Волков, Юрий Владимирович

Содержание.

Введение.

Глава 1. Бимодульные резольвенты самоинъективных алгебр древесного типа

1.1. Резольвенты простых модулей.

1.2. Построение бимодульных резольвент с помощью леммы Хаппеля

1.3. Описание бимодульных резольвент.

1.4. Доказательство теоремы о строении бимодульных резольвент

Глава 2. Вычисление аддитивной структуры алгебры когомо-логий Хохшильда для самоинъективных алгебр древесного типа Оп.

2.1. Базисы пространств Н).

2.2. Базисы пространств Кег5в.

2.3. Размерности НН3(К)

Глава 3. Описание алгебры когомологий Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Оп в терминах образующих с соотношениями.

3.1. Вычисление трансляций

3.2. Описание 1т 58.

3.3. Образующие и соотношения.

3.4. Описание алгебры НН*(Я).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn»

Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящее время теория (обычных) когомологий групп - уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов (см., например, [37]). Если Я - базисная А'-алгебра, с радикалом Джекобсона </д, то Ех^алгебра 8(Я/ называется алгеброй Йонеды алгебры Я (определение Ех^алгебры модуля см., например, в [35]). Алгебра Йонеды является естественным аналогом кольца когомологий групп.

В работах А. И. Генералова (см. [1, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 26, 30, 32, 50]) были вычислены алгебры Йонеды для некоторых серий алгебр ди-эдрального или полудиэдральиого типа из классификации К. Эрдмапи [45]. В некоторых из этих работ (см. [2, 3, 15, 30, 50]) используется диа.грамный метод Бенсона-Карлсона [42] вместе с его техническими усовершенствованиями, развитыми в [2, 3]. В этом случае существенно используется возможность описания сизигий простых модулей с помощью так называемых диаграмм. Такая возможность имеется не всегда, и в связи с этим в [16] был предложен иной подход. Его существо составляет то, что на основе некоторых эмпирических наблюдений выдвигается гипотеза о строении минимальных проективных резольвент простых модулей, и после их обоснования "когомологическая информация" считывается с найденных резольвент, что приводит к описанию алгебр Йонеды рассматриваемых алгебр.

Теперь определим когомологии Хохшильда. Для Х-алгебры Я рассмотрим обёртывающую алгебру А = Я Яор. Тогда п-ая группа когомологий Хохшильда алгебры Я с коэффициентами в Д-бимодуле М определяется следующим образом: ННП(Д, М) = Ех^(Д, М). Если М = Я, то мы используем обозначение ННП(Д) = ННП(.Я, Я). На линейном пространстве

НН*(Д) = 0ННп(Я) = Я) п^0 п^О можно ввести и-произведение, относительно которого оно становится ассоциативной /Г-алгеброй (см. [33, Гл. XI], [44, §5], [51]). Эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшилъда. Известно, что и-произведение на НН*(/2) совпадает с произведением Ионеды на Ех^алгебре фп^0Ех!;д (В,, К) А-модуля Я (см., например, [52]). Кроме того, как доказано в [51], НН*(Д) -градуированно коммутативная алгебра.

Хотя алгебра когомологий Хохшильда теоретически вычислима для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны.

В [19] А. И. Генералов дал описание алгебры НН*(Д) для алгебр диэд-рального типа из серии 1)(3/С) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, при этом была использована техника, аналогичная использованной для вычисления алгебр Йонеды. Далее эта техника была с успехом применена в работах [21, 24, 25, 27, 28] для описания алгебры когомологий Хохшильда нескольких серий алгебр диэдрального, полудиэдрального и ква-тернионного типов. С помощью подобной техники алгебра когомологий Хохшильда для некоторых серий алгебр была вычислена в работах [31, 48, 49, 59].

Если Я - самоинъективная базисная алгебра над алгебраически замкнутым полем, имеющая конечный тип представления, то её стабильный АЯ-колчан можно описать с помощью некоторого ассоциированного дерева, которое должно совпадать с одной из схем Дынкина Ап, £)п, Ее, Е-[ или Е% (см. [57]). Так как алгебра когомологий Хохшильда - инвариант производной эквивалентности ([56]), то для её вычисления достаточно взять по одной алгебре для каждого класса производной эквивалентности. Так как для самоинъек-тивных алгебр конечного типа, представления производная эквивалентность совпадает со стабильной (см. [55] и [39]), то достаточно взять по одному представителю в каждом классе стабильной эквивалентности. Если для алгебры Я ассоциированное дерево имеет тип Ап, то ввиду результатов [58] алгебра Я стабильно эквивалентна либо некоторой полуцепной самоинъективной алгебре, либо так называемой "алгебре Мёбиуса". В работе [46] была вычислена алгебра когомологий Хохшильда НН*(Л) для полуцепных самоинъективных алгебр, а для алгебры Мёбиуса в [47] была вычислена подалгебра НН*Г(.Й) алгебры НН*(Д), порождённая однородными элементами, степень которых делится на г, где г - некоторый параметр, связанный с определяющими соотношениями алгебры Я. В этих двух работах существенно использовался тот факт, что сизигия подходящего порядка Д-бимодуля Я описывается как скрученный бимодуль. В работах [29] и [34] с помощью техники, применённой А. И. Генераловым для вычисления алгебры когомологий Хохшильда для алгебр из классификации К. Эрдманн, была построена бимодульна.я резольвента и вычислены размерности групп ННдля алгебры Мёбиуса. Далее, в [36] с помощью бимодульной резольвенты было получено описание алгебры когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса в терминах образующих с соотношениями.

В работах [39], [40] (см. также [4]) самоинъективные алгебры конечного типа представления были классифицированы по модулю стабильной эквивалентности, в каждом классе был выбран представитель и описан в терминах колчана с соотношениями. В работе [38] для каждого из этих представителей была вычислена группа НН2(Я). В работе [43] было доказано, что все самоинъективные алгебры конечного типа представления имеют периодическую минимальную бимодульную резольвенту, что вместе с результатами работы [53] даёт изоморфизм алгебр НН*(.Й)/Л/* — К[х], где Л/" - идеал НН*(7?), порождённый однородными нильпотентными элементами.

Целью данной работы является полное описание алгебры НН*(7?) для всех алгебр Я с ассоциированным деревом Dтг. В упомянутой выше классификации по модулю стабильной эквивалентности было выделено 5 классов таких алгебр. Мы будем использовать их описание с помощью колчана с соотношениями, данное в работе [4] (с небольшой сменой обозначений). Далее, если число г фиксировано, то для числа г 6 ^ мы будем обозначать через г, соответствующие ему элемент в через г - соответствующий ему элемент в г, а через г - соответствующий ему элемент в

Первый класс алгебр (п, г) параметризуется двумя целыми числами г ^ 1 и п ) 4. Введём колчан с соотношениями (2,/). Множество вершин Qo = х ^ Е N \ 1 ^ j ^ п}. Множество стрелок 0,1 колчана (2 состоит из следующих элементов:

7г,?г-1 : (г, п - 2) -> (г, п - 1), тг>п : (г, п - 2) -»• (г, п),

Д)П1 : (г, п - 1) (г + 1,1), : (г, п) (г + 1,1), аг,з ■ {г,з) 3 + 1) (1 ^ г ^ г, 1 ^ .7 ^ п - 3).

Кроме того, в этом случае при работе с алгеброй Я мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения:

Тг = Д,п7г,П) шг,32,Л = аг,32 • ■ • аг,3п А^Л ~ ^МД' ^г,^ = ,31

Через ф : {1,., п} —> {1,., п} обозначим отображение, такое, что ф{]) = ] ДЛЯ 1 ^ ] ^ п — 2, ф(п — 1) = 71, ф(п) =71—1.

Замечание 1. Здесь и в дальнейшем мы, для единообразия обозначений, дополнительно предполагаем, что пустое произведение стрелок колчана отождествляется с подходящим идемпотентом алгебры; например, для алгебры (п.г) выполнено: /лг)0 = егд, шг,3-1<3 = ем, 1Уг,п-2 = ег,п-г

Идеал / порождён элементами

1г,ф(д)^г,1Рг—\,q^ Рг.п— 17г,п— 1 ^г.з^г^г,] (1 ^ г ^ г, 1 ^ ^ п — 3, (/ 6 {п — 1,п}). г, п — 1 1, п — 1 г,п-3 Ч ^^ / «2,1 г,11-2 1,1 -• ■ • ->- 1,11-2 2.1

01,1 °1,п-3 .

X /01,„

Г,П 1, П

Тогда Д1(п,г) = К0./1.

Второй класс алгебр 0 параметризуется двумя целыми числами г ^ 1 и п ^ 4. Введём колчан с соотношениями (0,,1). Множество вершин <2о = {^г х О £ ^ | 1 ^ 3 ^ п — 2}) □ Ж2Г- Множество стрелок 0,\ колчана О, состоит из следующих элементов:

7?:(г,п- 2)- г,/3?: ?►(* +1,1) (1 < г ^ 2г), (г,з) -> (г,з + 1) (1 < г < г, 1 ^ з <: п - 3). В этом случае при работе с алгеброй Я мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения:

ГТ = ШЬ32,31 = аг,32 ■ ■ • аг,311 ~ =

Уг,3 = 1М+и-1Т ■

Идеал / порождён элементами

Т? - т^ ^¿т^ г ^ 2г, 1 ^ з ^ п - 3).

Тогда П,2(п,г)=Ка/1.

Третий класс алгебр Яз(п, г) параметризуется двумя целыми числами г ) 1, г/3 и п ) 2. Введём колчан с соотношениями (2,/). Множество вершин 2о = Ъг х {] Е N | 1 ^ ] ^ п}. Множество стрелок 0,\ колчана О, состоит из следующих элементов: {г, з) {1,3 + 1), Ъ ■ (г,п) -> (г + 2,1), # : (г, п) (г + 1, п)

В этом случае при работе с алгеброй Я мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения: тг = Ъ+\Рг, иг,32,3\ = аг,32 • ' ' аг,3\; №1,3 = ^Л'Д) ^>.7 =

Идеал / порождён элементами

7гаг,п-Ъ А+1А - ^г+2,17г, ^зПЩ,з (1 ^ г ^ Г, 1 ^ .7 ^ П - 1).

Тогда Яз(п, г) = К(2/1.

Четвёртый класс алгебр параметризуется одним целым числом г ^ 1. Введём колчан с соотношениями ((3,/). Множество вершин <2о = Ъг и Жзг. Множество стрелок 0,\ колчана О, состоит из следующих элементов: -» % + 1 (1 < г < Зг).

Идеал / порождён элементами " и 7 - гчТг С1 < ^ г)>

1 < г < Зг). г + 2 г

Тогда Я4(>) = KQ/I.

Пятый класс алгебр R${n) параметризуется одним целым числом п ^ 2. При работе с алгебрами этого класса будем всегда полагать, что характеристика поля равна 2, так как только в этом случае он требует отдельного рассмотрения (в противном случае алгебра путей колчана с соотношениями, описанная далее, входит в третий класс). В этом случае этот класс состоит из нестандартных алгебр (алгебры, для которых категория неразложимых модулей не изоморфна mesh-категории ЛЯ-колчана). Введём колчан с соотношениями (Q, /). Множество вершин Qo = — 1}.

Множество стрелок 0,\ колчана О. состоит из следующих элементов:

3 : 0 -» 0, ск» : г г + 1(0 ^ г ^ п - 2), ап1 : п - 1 -> 0.

В этом случае при работе с алгеброй Я мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения:

Идеал / порождён элементами а0ап-1 + а0^О!„1, /?2 - щ, (1 ^ г ^ шаж(п - 2,1)).

Тогда Я5(п) = KQ/I.

Из результатов работы [4] следует, что алгебры Я\{п, г) и ^(ft,г) имеют древесный тип Dn, алгебры Я^(п,г) и Яь(п) - а алгебра Яа{г) - D4.

Основными результатами работы являются теорема 1.1, в которой описываются бимодульные резольвенты для алгебр Я\(п,г) и Я^(п), теоремы 2.1 и 2.2, в которых описываются аддитивные структуры алгебр когомологий Хохшильда для вышеуказанных алгебр, а также теоремы 3.1 и 3.2, в которых алгебры когомологий Хохшильда для тех же алгебр описываются в терминах образующих с соотношениями. Кроме того, для алгебр Я2(п,г), R3(п,г) и Я^{г) те же результаты (строение бимодульной резольвенты и описание аддитивной и мультипликативной структуры алгебры когомологий Хохшильда) представлены без доказательства в приложении. Эти результаты позволяют найти точные значения для периодов минимальных бимодульных резольвент самоинъективных алгебр древесного типа Dn. Некоторые из этих значений п-2 2 были найдены в работе [43], но для некоторых были представлены несколько возможных значений без указания, при каких условиях какое значение имеет место. Кроме того, вычисленные в диссертации значения для размерностей групп позволяют найти неточность в результатах работы [38] (в случае алгебры Дз(п,г)).

Результаты, выносимые на защиту:

1. Для всех алгебр из серий г) и Я^п) построены минимальные бимодульные резольвенты.

2. Для алгебр Я\(п, г) и Яь{п) вычислены размерности групп ННв(Д) для й ^ 0.

3. Для алгебр Я\(п,г) и Я^п) дано описание алгебр когомологий Хох-шильда в терминах образующих с соотношениями.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [8, 10, 11] ив тезисах международных конференций [6, 12]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем и вычисления, а соавтору - постановка задач и выбор методов решения. Большая часть результатов, содержащихся в приложении, опубликована в статьях [5, 9, 13, 14] и в тезисах международной конференции [7]. Кроме того, в работе [14] опубликовано предложение 1.1, которое используется в настоящей работе для доказательства теоремы 1.1.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы и приложения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Волков, Юрий Владимирович, 2011 год

1. Антипов М. А., Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдрального типа. 1.. - Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2002. - Т. 289. - С. 9-36.

2. Балашов О. И., Генералов А. И. Алгебра Йонеды для одного класса диэд-ральных алгебр. — Вестник С.-Петерб. ун-та., — 1999. — Сер. 1, Вып. 3, №15. С. 3-10.

3. Балашов О. И., Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдралъного типа. II. Алгебра и Анализ. - 2001. - Т. 13, №1. - С. 3-25.

4. Волков Ю. В. Классы стабильной эквивалентности самоинъективных алгебр древесного типа Dn. — Вестник С.-Пб. ун-та, Сер. 1, Мат., мех., астр. 2008. - Вып. 1. - С. 15-21.

5. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. II. — Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2009. — Т. 365. — С. 63-121.

6. Волков Ю. В. The Hochschild cohomology algebra for one family of self-injective algebras of tree class Dn. — Тезисы докладов международной алгебраической конференции, посвящённой 70-летию А. В. Яковлева. — СПб, 2010. С. 162-163.

7. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда нестандартных самоинъектив-ных алгебр древесного типа Dn. — Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. — Т. 388. С. 48-99.

8. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. IV. — Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. — Т. 388. — С. 100-118.

9. Волков Ю. В., Генералов А. И. Hochschild, cohomology for a family of self-mjectwe algebras of tree class Dn. — Тезисы докладов международной алгебраической конференции, посвящённой 100-летию со дня рождени Д. К. Фаддеева. СПб, 2007. - С. 171-172.

10. Волков Ю. В., Генералов А. И. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. III. — Зап. научи, семин. ПОМИ. — 2011.- Т. 386. С. 100-128.

11. Волков Ю. В., Генералов А. И., Иванов С. О. О построении бимодульных резольвент с помощью леммы Хаппеля. — Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2010. Т. 375. - С. 61-70.

12. Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдрального типа. I. — Зал. науч. семин. ПОМИ. 1999. - Т. 265. - С. 139-162.

13. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдрального типа. I. — Алгебра и Анализ. 2001. - Т. 13, №4. - С. 54-85.

14. Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдралъного типа. IV: серия D{2B). Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2002. - Т. 289. - С. 76-89.

15. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. III: серия SD(3JC). Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2003. - Т. 305. - С. 84-100.

16. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдралъного типа. I: серия D(31C) в характеристике 2. — Алгебра и Анализ. — 2004. — Т. 16, №6. С. 53-122.

17. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. IV. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2004. - Т. 319. - С. 81-116.

18. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. I: Обобщённые группы кватернионов. — Алгебра и Анализ. — 2006. — Т. 18, т. С. 55-107.

19. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. V. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2006. - Т. 330. - С. 131-154.

20. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. VI. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2007. - Т. 343. - С. 183-198.

21. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. III. Алгебры с малым параметром. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2008. Т. 356. - С. 46-84.

22. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдралъного типа. I. Групповые алгебры полудиэдралъных групп. — Алгебра и Анализ. — 2009. Т. 21, №2. - С. 1-51.

23. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. VII. Локальные алгебры. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2009. — Т. 365. — С. 130-142.

24. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа. II. Локальные алгебры. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2010. — Т. 375. — С. 92-129.

25. Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. II. Серия Q(2B)i в характеристике 2. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2007. - Т. 349. - С. 53-134.

26. Генералов А. И., Качалова М. А. Бимодульная резольвента алгебры Мёбиуса. Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2005. - Т. 321. - С. 36-66.

27. Генералов А. И., Косматов Н. В. Проективные резольвенты и алгебры Йонеды для алгебр диэдрального типа: серия D(3Q). — Фундамент, и прикл. матем. 2004. - Т. 10, Вып. 4. - С. 65-89.

28. Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда алгебр Лю-Шульца. Алгебра и Анализ. - 2006. - Т. 18, №4. — С. 39-82.

29. Генералов А. И., Осиюк Е. А. Когомологии алгебр диэдрального типа. III: серия D(2Ä). Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2002. - Т. 289. - С. 113-133.

30. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960. — 510 с.

31. Качалова М. А. Когомологии Хохшильда алгебры Мёбиуса. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2006. - Т. 330. - С. 173-200.

32. Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966. — 543 с.

33. Пустовых М. А. Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2011. - Т. 388. - С. 210-246.

34. Adem A., Milgram R. J. Cohomology of finite groups. — Grundlehren der Math. Wiss. — 1st edition 1994, 2nd edition 2004. — Vol. 309.

35. Al-Kadi D. Self-infective algebras and the second Hochschild cohomology group. J. Algebra. - 2009. - Vol. 321. - P. 1049-1078.

36. Asashiba H. The derived equivalence classification of representation-finite selfinjective algebras. — J. Algebra. — 1999. — Vol. 214. — P. 182-221.

37. Asashiba H. On a lift of an individual stable equivalence to a standard derived equivalence for representation-finite self-mjective algebras. — Algebras and Repr. Theory. 2003. - Vol. 6. - P. 427-447.

38. Bardzell M. J. The alternating syzygy behavior of monomial algebras. — J. Algebra. 1997. - Vol. 188. - P. 69-89.

39. Benson D. J. Carlson J. F. Diagrammatic method for modular representation and cohomology. — Comm. in Algebra. — 1987. — Vol. 15, №1/2. — P. 53-121.

40. Dugas A. S. Periodic resolutions and self-mjective algebras of finite type. — J. Pure and Applied Algebra. 2010. - Vol. 214. №6. - P. 990-1000.

41. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups. I. — Ann. Math. 1947. - Vol 48. - P. 51-78.

42. Eidmann K. Blocks of time representation type and related algebras. — Lect. Notes Math. Vol. 1428. Berlin et al., Springer Verlag, 1990.

43. Erdmann K., Holm T. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-mjective algebras of class An. — Forum Math. — 1999. — Vol. 11. — P. 177-201.

44. Eidmann K., Holm T , Snashall N. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-mjective algebras of class An, II. — Algebras and Repr. Theory. 2002. - Vol. 5. - P. 457-482.

45. Erdmann K., Snashall N. On Hochschild cohomology of preprojective algebras. I. J. Algebra. - 1998. - Vol. 205. - P. 391-412.

46. Erdmann К., Snashall N. On Hochschild cohomology of preprojectwe algebras. II. J. Algebra. - 1998. - Vol. 205. - P. 413-434.

47. Generalov A. I. Kosmatov N. V. Computation of the Yoneda algebras of dihedral type. Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2003. - Т. 305. - С. 101-120.

48. Gerstenhaber М. The cohomology structure of an associative ring. — Ann. Math. 1963. - Vol. 78. - P. 267-288.

49. Green E. L., Snashall N., Solberg 0. The Hochschild cohomology ring of a selfinjectwe algebra of finite representation type. — Proc. Amer. Math. Soc- 2003. Vol. 131 №11. - P. 3387-3393.

50. Happel D. Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras. — Lect. Notes Math. 1989. - Vol. 1404. - P. 108-126.

51. Rickard J. Derived categories and stable equivalence. — J. Pure and Appl. Alg. 1989. - Vol. 61. - P. 303-317.

52. Rickard J. Derived equivalences as derived functors. —• J. London Math. Soc.- 1991. Vol. 43. - P. 37-48.

53. Riedtmann C. Algebren, Darstellungsköcher, Uberlagerungen und zurück. — Comment. Math. Helv. 1980. - Vol. 55. - P. 199-224.

54. Riedtmann C. Representation-finite self-mjectwe algebras of class An. — Lect Notes Math. 1980 - Vol 832. - P. 449-520.

55. Snashall N., Taillefer R. The Hochschild cohomology ring of a class of special biserial algebras. — J. Algebra Appl. — 2010. — Vol 9. — P. 73-122.