Колебания предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Брендэ, Владимир Владиславович

• Брендэ, Владимир Владиславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Брендэ, Владимир Владиславович

Параграф 7. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и жестко заделанный край

Параграф 8. Смешанная задача: жестко заделанный и свободный край.

Параграф 9. Смешанная задача: упругий и свободный край

Параграф 10. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и свободный

край

Параграф 11. Смешанная задача: упругий и жесткий край

Параграф 12. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и упруго

(вертикально) закрепленный край

Параграф 13. Выводы к главе. стр

Глава 3. Собственные колебания предварительно напряженных

однородных ортотропных пластин, используя точное решение

Параграф 1. Нахождение общего вида решения в задачах о поперечных колебаниях предварительно напряжённых однородных ортотропных

пластинах

Параграф 2. Пластина жестко закреплена

Параграф 3. Пластина со свободными краями

Параграф 4. Пластина с вертикально упруго (вертикально) заделанными краями стр

Параграф 5. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и жестко

заделанный край

Параграф 6. Смешанная задача: жестко заделанный и свободный край.

Параграф 7. Смешанная задача: упругий и свободный край

Параграф 8. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и свободный

край

Параграф 9. Пластина с вертикально упруго (горизонтально) заделанными краями стр 78 Параграф 10. Смешанная задача: упруго и шарнирно закрепленный край

Параграф 11. Смешанная задача: упруго и жестко закрепленный

край

Глава 4. Сравнение и анализ полученных решений

Параграф 1. Сравнение результатов

Параграф 2. Шарнирное закрепление. Сравнение с известными

уравнениями

Параграф 3. Свободное закрепление. Сравнение, в зависимости от записи граничных условий

Глава 5. Вынужденные колебания для предварительно напряжённых

однородных ортотропных пластин

Параграф 1. Нормальный удар по ортотропной пластине

Параграф 2. Задача о бегущей нагрузке по поверхности ортотропной

пластины

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы»

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что большинство строительных конструкций состоит из плоских элементов. Это объясняется тем, что плоским элементам свойственны технологичность, простота формы, прочность, пластины также достаточно удобны в использовании.

С появлением сложных новых строительных конструкций возникает ряд новых задач во многих областях механики деформируемого твердого тела и других областях технических наук. Данные задачи могут относиться как к получению принципиально новых научных моделей, так и уточнению уже существующих. Таким образом, исследование упругих, изотропных и анизотропных пластин при различных динамических и статистических нагрузках, видится важной и актуальной проблемой.

Одним из наиважнейших вопросов, является расчет частоты колебаний ограниченных в плане плоских элементов. Таким образом, задачи по развитию и уточнению теории колебания пластин, формулировки новых уточненных граничных условий и краевых задач динамики в целом, использование новых аналитических и численных методов решения являются одним из наиболее важных и приоритетных направлений в технических науках, в том числе прикладной теории упругости и вязкоупругости.

Многие известные теории поперечных и продольных колебаний пластин основываются на различных физических и геометрических допущениях. Поэтому анализ приведенных в диссертационной работе решений краевых задач о колебаниях однородных ортотропных пластин-полос при различных (в самых разных постановках) граничных условиях и сравнительный анализ полученных результатов с решениями известных классических уравнений колебаний и численными решениями является весьма актуальной темой

научного исследования, имеющей значительный научный и практический интерес.

Основной проблемой в теории колебаний пластин, является имеющая строгое математическое обоснование постановка краевой задачи: аналитический вывод общих и основанных на них приближенных уравнений колебаний конечного порядка, ясная, с точки зрения механики, формулировка граничных условий на крае пластины и математическое обоснование необходимого числа начальных условий.

Развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости в основном связано со следующими учеными:

Ж.Д. Ахенбах [143], В.В. Болотин [11-15], Б.Ф. Власов [11-15], В.З. Власов, Э.И. Григолюк [28,29,30], A.A. Ильюшин [61], В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев [66-71], Е.Б. Коренева [72], Г. Кольский, Р. Кристенсен [73], В.Д. Кубенко, H.H. Леонтьев, А. Ляв [81], Н.П. Огибалов [92,93], О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень [97-100], Г.И. Пшеничнов [103,104], Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей [153], А.Р. Ржаницын [106-109], И.Т.Селезов [113,114], А.И. Смирнов [116],И.Г. Филиппов [133-136] и другие.

Важное место в науке занимают работы, связанные с широким анализом физических свойств материала, таких как анизотропия (в частности ортотропия), вязкость, вязко-упругость и неоднородность. Данные вопросы исследовались в трудах: С.А. Амбарцумяна [1], В.И. Андреева, Е.Ф. Бурмистрова, Г.С. Варданяна [16], O.A. Егорычева [35-44,56], О.О. Егорычева [45-58], Г.Б. Колчина, С.В. Кузнецова, С.Г. Лехницкого [78], В.И. Митчел, С.Г. Михлина, П. Теодореску, Д.Я. Шерман и др.

Кроме того, данные задачи решались при помощи численных методов решения, что отражено в работах таких авторов как: В.А. Андреева, И.А. Бригера, ЯМ. Григоренко, В.А. Ломакина, Н.Д. Покровской, A.M. Проценко, В.И. Соломина, Р .А. Хечумова, H.H. Шапошникова и др.

Наиболее известные работы в в области динамики пластин связаны с такими именами, как: Л.Я. Айнола, А .Я. Александров, A.A. Амосов, В.В. Болотин, Н.М. Бородачев, JIM. Бриховский, Г.С. Варданян, В.З. Власов [1822], М.А. Дашевский, O.A. Егорычев, О.О. Егорычев, Г. Каудерер, Б.Г. Коренев, Г.Б. Муравский [85], JI.B. Никитин, Ю.Н. Новичков, В.В. Найвельт [86,87], У.К. Нигул [89,90], H.A. Николаенко [91], И.Н. Преображенский,

B.Д. Райзер [155], А.Е. Саргсян, Д.Н. Соболев, С.П. Тимошенко [121-124], Я.С. Уфлянд [127-128], Г.Л. Хесин [138], А.И. Цейтлин, Г.Э. Шаблинский, Т.Ш. Ширенкулов [142] и др.

В механике деформируемого твердого тела аналитическое (математически точное) решение задач из-за физических, механических и геометрических свойств исследуемой системы, является сложной, далекой от своего завершения проблемой.

Проблемам вывода уравнений поперечных и продольных колебаний пластин и оболочек, а также методам их решения, как численного, так и аналитического посвящено большое число работ авторов всего мира. Среди зарубежных авторов наибольший вклад в развитие теории колебания пластин внесли ученые университетов США, Франции, Нидерландов и др [17,31,82,137,144-145,147,150-152]. Наиболее известным автором в области колебания является, получивший самое известное уравнение колебаний, Г. Кирхгоф [148,149], а также А. Ляв. Также, необходимо отметить, работавшего во многих странах, С.П. Тимошенко. Из современных иностранных ученых хочется выделить работы Gupta A.K. [146] из Чехии и

C. Rajamohan [154] из Индии.

Среди отечественных специалистов [5,6,9,10,23,24,26,32,59,60,63-65,76,77,80,83,84,88,94,101-105,110,111,119,120,129-132,141] в области изучения поведения анизотропных тел в самых разных постановках, необходимо отметить труды С.Г. Лехницкого.

В последнее время наиболее известны работы Г. И. Петрашеня, в которых автор дал математическое обоснование метода степенных рядов. Автор строго показал применимость этого метода для тех задач, в которых

функции принадлежат к классу: 0 ^ ' (')

Где разомкнутый контур на комплексной контур, прилегающий справа к участку мнимой оси

В дальнейшем, наибольшее развитие теория уравнений поперечных колебаний получила продолжение в работах в работах Филиппова И.Г. При выводе общих уравнений колебаний, в бесконечных сходящихся рядов, Филиппов И.Г. практически не использовал гипотезы геометрического и физического характера. Данный метод позволяет получить уравнение любого конечного порядка в зависимости от производных пространственных координат и времени, а также однозначно сформулировать начальные и граничные условия.

Болотин В.В. разработал, широко применяемый на практики, асимптотический метод расчета колебаний пластин.

В настоящей работе используется аналитический метод, при котором из системы уравнений находится трансцендентное уравнение, из которого после анализа получается алгебраическое частотное уравнение. Данный метод, разработанный Филипповым И.Г., позволяет свести двумерную задачу к одномерной. Начальные и граничные условия, при данном методе, сформулированы математически строго.

В диссертации используются новые граничные условия упругого закрепления (пластины считаются соразмерными). Кроме того, если вертикальная пластина упруго соединена с горизонтальной и является абсолютно жестким телом, то из заданных условий, получается условие жесткой заделки, в случае же если вертикальная пластина отсутствует то

получим граничное условие свободного края. Отметим, в рамках данного метода, получить условия шарнирной заделки невозможно. В граничных условиях свободного закрепления учитывается условие Даламбера о свободном перемещении края.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

Во Введении обосновывается актуальность проводимых исследований и приводится краткий обзор имеющихся в литературе результатов по построению теорий поперечных колебаний пластин.

В первой главе представлен вывод Филиппова И.Г. уравнений предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы.

В первом параграфе описывается общая постановка задачи о колебании предварительно напряжённой однородной ортотропной пластины.

Во втором параграфе получено уравнение колебания предварительно напряжённой однородной ортотропной пластины.

В третьем параграфе выводится общее уравнение продольных колебаний предварительно напряжённой однородной ортотропной пластины, из которых получены приближенные уравнения продольного колебания.

В четвёртом параграфе выведено общее уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённых однородных ортотропных пластин, из которых получены приближенные уравнения поперечного колебания.

В пятом параграфе исследуются пределы применимости приближённых уравнений поперечного колебания предварительно напряжённой однородной ортотропной пластины.

Во второй главе решаются конкретные задачи о предварительно напряжённых однородных ортотропных прямоугольных пластинах. Приближенное решение.

В первом параграфе получен общий вид предполагаемых решений и делаются замечания на счет вида входящих в уравнения колебаний и граничные условия констант и переменных.

Во втором параграфе рассматривается аналитическое решение задачи о колебании предварительно напряжённой пластины, шарнирно закрепленной на противоположных сторонах. Рассматриваются два решения различными методами.

Во третьем параграфе получено уравнение собственных колебаний однородной предварительно напряжённой ортотропной пластины, жёстко закрепленной на противоположных сторонах.

В четвертом параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, со свободными краями на противоположных сторонах.

В пятом параграфе получено частотное собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, упруго (вертикально) закрепленной на противоположных краях.

В шестом параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, упруго (горизонтально) закрепленной на противоположных краях.

В седьмом параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно оперт, а другой жестко закреплен.

В восьмом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой жестко закреплен, а другой свободен от закрепления.

В девятом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой свободен от закрепления, а другой упруго (вертикально) закреплен.

В десятом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно оперт, а другой свободен от закрепления.

В одиннадцатом параграфе выведено частотное уравнение однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой упруго (вертикально) закреплен, а другой жестко закреплен.

В двенадцатом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно закреплен, а другой упруго (вертикально) закреплен.

В тринадцатом параграфе приведены выводы по главе.

В третьй главе решаются конкретные задачи о предварительно напряжённых однородных ортотропных прямоугольных пластинах. Точное решение.

В первом параграфе получен общий вид предполагаемых решений и делаются замечания на счет вида входящих в уравнения колебаний и граничные условия констант и переменных.

Во втором параграфе получено уравнение собственных колебаний однородной предварительно напряжённой ортотропной пластины, жёстко закрепленной на противоположных сторонах.

В третьем параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, со свободными краями на противоположных сторонах.

В четвертом параграфе получено частотное собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, упруго (вертикально) закрепленной на противоположных краях.

В пятом параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно оперт, а другой жестко закреплен.

В шестом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой жестко закреплен, а другой свободен от закрепления.

В седьмом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой свободен от закрепления, а другой упруго (вертикально) закреплен.

В восьмом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно оперт, а другой свободен от закрепления.

В девятом параграфе получено частотное собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, упруго (горизонтально) закрепленной на противоположных краях.

В десятом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно оперт, а другой упруго (вертикально) закреплен.

В одиннадцатом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой жестко заделан, а другой упруго (вертикально) закреплен.

Четвертая глава приводятся сравнению и анализу полученных решений.

Первый параграф посвящен выводам о полученных решениях.

Второй параграф посвящен сравнению выведенного решения с известными уранениями.

Третий параграф посвящен сравнению частотных уравнений в случае новых и классических граничных условий свободного края.

Пятая глава посвящена задачам о вынужденных колебаниях для предварительно напряжённых однородных ортотропных пластин.

В первом параграфе решается задача нормального удара по поверхности однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты.

Во втором параграфе решается задача о бегущей нагрузке по поверхности однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты.

В заключении дается анализ полученных результатов и общие выводы.

Практическое значение работы.

В данной работе даны выводы частотных уравнений ряда задач для предварительно напряжённых однородных ортотропных пластин с различными закреплениями в зависимости от материала и его геометрии.

Полученные теоретические результаты для решения динамических задач поперечного колебания пластин постоянной толщины позволяют более точно рассчитывать напряжённо-деформированное состояние пластин при нестационарных внешних нагрузках. Выведенные формулы для определения значений частот свободных поперечных колебаний предварительно напряжённой однородной ортотропной прямоугольной пластины постоянной толщины для различных видов закреплений, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.

На защиту выносится:

Аналитические решения прикладных задач о собственных и вынужденных колебаниях пластины-полосы, с учетом анизотропии

материала и предварительного напряжения. Представленные точные и приближенные аналитические решения конкретных задач. Определенные частотные уравнения, построенные графики зависимости частоты от геометрии и материала пластин.

Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освещены в десяти статьях:

1. Егорычев O.A., Брендэ В.В.. Собственные колебания однородной ортотропной пластины/ ПГС- Москва. 2010. № 6.

2. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы упруго закрепленной по одному краю и свободной по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4. с. 252-258.

3. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Подцаева О.И., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы жестко закрепленной по одному краю и свободной по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4. с. 267-271.

4. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Поддаева О.И, Брендэ В.В.. Нормальный удар по ортотропной пластине/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4. с. 264-266.

5. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины упруго закрепленной по одному краю и жестко закрепленной по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4. с. 246-251.

6. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины упруго закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4. с. 240-245.

7. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы жестко закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4. с. 259-263.

8. Егорычев O.A., Е Брендэ В.В.. Постановка задачи о колебании ортотропной пластины. / ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2011. № 4. с. 50-53.

9. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Свободные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы. / ВЕСТНИК МГСУ-Москва. 2012. № 2. с. 11-14.

10. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Поперечные собственные колебания ортотропной пластины-полосы со свободными краями. / ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2012. № 7. с. 26-30.

Диссертационная работа выполнялась согласно программе под руководством д.т.н., профессора Егорычева O.A. на кафедре Высшей математики в МГСУ.

Глава 1. Вывод уравнений предварительно напряженной однородной ортотропной пластины.[136]

Параграф 1. Общая постановка задачи о колебании ортотропной предварительно напряженной пластины.

Пусть материал плоской конструкции (пластины) ортотропен, предварительно напряжен, причем предварительно напряженное состояние однородное. Зависимости между напряжениями и деформацией линейны и, кроме того, возмущенное состояние материала по отношению к однородному состоянию также линейно.

Будем считать, что материал обладает вязкими свойствами [8], тогда связь напряжений и деформаций можно представить в виде [79,112].

=А1£ХХ + А12£уу+А1 Ъ£гг

<*уу = А^+Лг^+Лз^ (1.1.1)

= + АЪ геуу + АЪЪ£а

& уг = А44 £уг ахг = А55£хг аху = А66 8 ху

При этом вязкоупругие операторы Ау имеют вид:

(1.1.2)

Где /ц -ядра вязкоупругих операторов, к у -константы материала.

Под предварительным напряжением в работе подразумевается принятое в работах И.Г. Филиппова [133,134,135,136] изменение первоначальных размеров пластины за счет приложенных сил. Так как предварительно напряженное состояние считается однородным, начальные перемещения пред ставимы в виде:

и0 =а0х + Ь0у + с0г у0 = ахх + Ьху + схг

щ = а2х + Ь2у + с2г (113)

где С], > = о,1,2- безразмерные константы, которые определяют однородное деформированное состояние в момент (КО).

Пусть возмущенные перемещения (1>0), а м', V, и?' -перемещения

характеризующие состояние пластины в данный момент, выражаемые через начальные и возмущенные перемещения:

и' =и+и0 V =у+у0 =м? + м?й (114)

В этом случае, пользуясь соотношениями (1.1.3) и (1.1.4), зависимости между деформацией и перемещениями имеют вид:

\ди ду дм> ох дх ох

1/ 2 2 2^1 «0 + 2^0 + +а2)

лди ду дм> ду ду ду ди ду дм>

/, \ии иу ■'яя =(1+С0)— + С,— +

дг дг

и 1 Л V OV.OV.OU ои г , , 1

е- =(1 + 6,)— + (1 + с2)— + с, — + Ъ2 — + Ь0 — + с0 — + [с, +Ь2+с0Ь0 +ахсх +а2с2\ 02 ду ду ду ог ду

дг

■ +

ь0+иь20+ь?+ь22)

(1.1.5)

. дм> ду „ ду , ди ди

/, \ди л \Ом оу оу ом> ои г 1

= V + )т~ + (1 + )— I- сх — + ах —— + а0 — 1- с0 — I- [с0 + а2 + сйай+ахсх+а2с2\ дг дх дх дг дг дх

к дм> ду ду дм> ди

/ т \ ди / . \ ОУ , ои ОМ> . ОН> ОУ г. , , 1

£'Ху={1 + Ь0)— + {\ + Ьх)— + Ь0~ + ах — + Ъ2 — + а2 — + [Ь0+ах +Ь0а0 +ахЪх +а2Ъ2\ ду дх ду ду дг ду

. ду , ди дц> , дч> ду

Здесь деформации начального состояния ¿^представлены в виде:

0 1 / 2 2 2 \ Е» =«0+тК +«1 +«2 )

е1У=К+Ць1+Ъ2х+Ъ1)

уу „ 2

4 =с0+^(С02+С,2+С22)

(1.1.6)

£у. = сх+Ъ2 +с0Ьа +ахсх +а2с2

£1 = + а2 + С0«0 + а\С\ + «2С2 £'ху =Ь0 +ах +Ь0а0 +ахЬх +а2Ъ2

Поскольку возмущенное состояние возникает в момент времени 1=0, когда внешние усилия отсутствуют, то можно рассмотреть статическую задачу.

Так как касательные и нормальные напряжения равны 0, аХ2 = ау2 = 0, сг2г =0 при г = ±И, и принимая во внимание соотношения (1.1.1) и (1.1.6), получим: Ь2 = а2 = с0 = с, = 0 (1-1.7)

Следовательно:

= А55 (С0 +а2+ С0а0 + аХСХ + а2С2 ) = 0

а0 = Л44(с, +Ъ2+ с0Ь0 + ахЪх + а2Ь2) = 0

<х° = А

13

«о +«,)]+А А +|(г>02 +

33

1 2

с, + — с, 2 2 2

= 0

(1.1.8)

Где: Аи

■ Ац =Ку

1- \fijdt

Из (1.1.8) следует, что постоянная с2зависит от 6,,а,,я0,60 и имеет вид:

43

а0+-

1

2 2 а0 +а{

+ А

■23

(1.1.9)

С учетом (1.1.7) и (1.1.9) начальные перемещения (1.1.3) для однородного предварительно напряженного состояния упрощаются и имеют вид:

щ ~айх+Ьйу у0 =ахх + Ьху

(1.1.10)

Используя соотношения (1.1.5), (1.1.7) и (1.1.10), деформации, вызванные возмущенными перемещениями Щ V, м? (г > 0), равны:

и \ ди ду

ОХ ох

г. А г.

ду ду

=(1 + С2)

дм> ~дг

А г. А г ди

8 у. = (1 + ь,)— + (1 + с2)— + Ь0 —

01 ду дг

А /. , \ду ду , ди

ог дх ду дх

£Х2 = (1 + а0)т- + V1 + с2 + Т"

ог дх дг

(1.1.11)

Подставив в (1.1.1) равенства (1.1.11), получаем связь между напряжениями и возмущенными деформациями:

о"» = Аи

°уу - А\2

сг„ = А

13

°ху - А66

О"» = А55

°у: ~ А44

(л \ ди ду (1 + а0)—+ а,— ох дх

/, \ди ду дх дх

\ ди ду (1 + а0)—- + а,— ох дх

+ А

12

+ А

■22

+ А

32

А г \ду , ди

(1 + 6,)— +ь0 —

ду дх {. , \ду , ди

(1 + 6,)— + ь0 —

ду дх

а г. г ди (1 + Ь,)— + Ь0 —

ду дх

+ Лз(1 + С2)~"

дг

+ Лз(1 + С2)^

дг

(1.1.12)

+ А33{\ + с2)

дм> дг

а \ди л , чду , ди ду ду дх дх ду

\ ди / \ дм> ду {1 + а0)— + (1 + с2)— + а1 — дг дх дг ^

А L А , дм

дг ду дг

Рассмотрим случаи, когда (1.1.12) принимает более простой вид. Первый случай.

Если параметры однородного напряженного состояния удовлетворяют условиям:

а1=Ь0=0^а0=Ь1^с2=с2М (1.1.13)

То зависимости (1.1.12) для возмущенных деформаций принимают вид типа (1.1.1), при этом операторы Д,, Д2, Д3 заменяются на следующие:

^=(1 + а0)Ап 4?=(\ + а0)А,2

Д(30)=(1 + а0)Д3

а константы материала ал, я;2, а0 на константы

40) = (1+«ок

«,(20) =(1 + «ок2

о;з0)=(1 + ао)а;3

То есть получен снова однородный ортотропный материал, но с другими упругими константами.

Второй случай.

Пусть возмущенные деформации не зависят от одной из координат, например от координаты у, и перемещение у = 0, тогда соотношение (1.1.12) принимает вид:

=Аи

о"» = Аз

0 + «о> (1 + «о> (1 + Яо)

ди дх

ди дх_

ди дх

+ Аи(1 + с2) + Лгз(1 + с2) + А33{\ + с2)

дм>

аГ.

д\\> дг .

дм>

~дИ.

(1.1.14)

^ = Ав

ь ^и

0 дх

= А$

(1 + а0)— + (1 + с2)— дг дх

Параграф 2. Уравнение колебаний ортотропной предварительно напряженной пластины.

Предварительно напряженную ортотропную пластину будем рассматривать как вязкоупругий слой [2,3], занимающий следующее пространство:

(у е (-со;+со),х € (-со;+оо),г € [- к, /г]) (1.2.1)

Предположим, материал пластины однороден, ортотропен, предварительно напряжен и начальные перемещения пластины, согласно соотношениям (1.1.10) и (1.1.13) имеют вид:

"о = аох

У0 = а0у ^о =с2(ао)2

(1.2.2)

Известно, что плотность пластины определяется как Р = масса

материала, занимаемый объем с1У = с1хс}ус1г.

Так что при предварительном напряжении, элементарный объем, при постоянной массе, меняется и становится равным й(у + + +

, то меняется и плотность.

Следовательно, плотность рассматриваемой предварительно напряженной ортотропной пластины равна:

А Р

(1 + а0)2(1 + с2) (1.2.3)

Здесь р - плотность материала пластины без предварительного напряжения.

Известно, что в декартовой системе координат, уравнения движения материала пластины запишутся в виде: , дс7ху дсг д2и

--1---1--= рх -Г-

дх ду дг дг

д<тх да^ дау2 ■ + —— + —— = р,

дх ду дг

дстг, да^ д<т22 _ ■ + —— + ——- рх

де

д2ч>

(1.2.4)

дх ду дг д/' Используя соотношения (1.1.12) и (1.2.2) зависимость между напряжениями и возмущенными перемещениями для предварительно напряженной ортотропной однородной пластины представимы в виде:

ахх - А\\

°уу = А12

ст.. = А,-

= А66

<?** = А55

Я у; = А44

дх

+ А

12

(1 + «о>

(1 + а0)

ди дх

ди дх

+ А

22

(1 + а0) (1 + «о)

ду_ ду

ду ду.

+ А.

■32

ду.

+ Ап(1 + с2) + А23(\ + с2)

+ Аъг (1+ с2 )

дм> ~дг

дм> ~дг

ды дг

(1.2.5)

0 + «о)

ди ду — + —

ду дх

1л \ди /. чди'

дг дх

А \ду / чдн'

дг ду

В этом случае уравнение движения в перемещениях имеют вид:

(1 + *о)

дги и и о и / \

11 ^ + 66 + 55 д?"+ + 66 Удхду

дги

д2и

д2и

+

л V ,# ^ лд2\у д2и + (1 + с2\Ап + Ац )— - = р

дхдг

1 д(2

(1 + а0)

Абв дх2 22 ду2 дг2 (Л]2+Лбб)дхду

+

и V а л д2у

+ (1 + с2\А23 + А4 4)—— = А —Г

0X02 о£

(1 + а01 (А

13 55

охдг дгду

¡л чГ V д2™ , д2-м> . д2м> + (1+с2и55—+А44—+А33— =а

(1.2.6)

+

д2\у д/2

В общем случае колебания пластины вызываются внешними усилиями, приложенными к поверхности пластины, т.е. граничные условия имеют вид:

(1.2.7)

Туе при

Используя равенства (1.2.5), граничные условия в перемещениях

запишутся в виде:

а ^ ди . ду

дг

(1.2.8)

= А55

(л \ди г. \дм>

дг дх

<2у: ~ А44

(. \ду ( чди> 02 ду

= р£(х>у>')

Начальные условия задачи будем считать нулевыми:

(1.2.9)

Следовательно, трехмерная задача о колебании предварительно

ди ду дм? Л и =— = у = — = \у = — = 0

дг дг дг

напряженной однородной ортотропной пластины сведется к решению уравнения (1.2.6) при граничных условиях (1.2.8) и начальных условиях (1.2.9).

Задачу о колебании предварительно напряженной однородной ортотропной пластины будем решать, при помощи интегрального преобразования Фурье по координатам (*,>>) и преобразованию Лапласа по времени

В граничных условиях (1.2.8) функции Р*{х,у,{), Р*(х,у,г), определяют внешние усилия, которые в данной функциями, представляемых в виде [7,33,125]:

(1.2.Ю)

J0sm(fee) J-cos(qy) Л

. / 4 }s\n(kx) „fC0s(<7y)r r ,

,, cosffor) I sinfe.) (;J

При этом функции /Д, /¿о, будем считать пренебрежимо малыми вне области:й<|&0|, (1.2.11)

Где к0, q0, со0 -конечные величины.

Условие (1.2.11) говорит о том, что внешние усилия, приложенные к поверхности пластины, не являются ни высокочастотными, ни концентрированными. Иначе при таких нагрузках внешних усилиях длины волн, как по времени, так и по координатам, малы и соразмерны с размерами пластины, а значит задачу невозможно будет свести к двумерной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Брендэ, Владимир Владиславович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. - М.: «Наука», 258с. 1967.

2. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В.. Анизотропия конструкционных материалов. - «Машиностроение». Л. 1972.

3. Ашкенази Е.К.. Анизотропия машиностроительных материалов. - Л. 1969.

4. Бабаков И.М. Теория колебаний. - Изд-во «Наука», 1965. 560 с.

5. Бабешко В.А., Пельц С.П. Колебание плит на упругом слое. - Изд-во АН СССР «Механика твердого тела». N01. 1976. с. 131-135.

6. Бабич Д.В., Борисенко В.И., Шпакова С.Г. Свободные колебания пластинки со сосредоточенными массами. - АН УССР «Прикладная механика», т.5, в.5, 1969. с.71-75.

7. Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа и Меллина, т.1, - СМБ изд-во «Наука», М., 1969. 344 с.

8. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. - Изд-во «Мир», М. 200 е., 1965.

9. Блох М.В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластинки на упругом полупространстве. - «Динамика и прочность машин». Респ. межвед. научно-технический сб. В.6. 1967. 200 с.

10. Блох М.В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины на упругом инерционном полупространстве. «Исследования по теории сооружений» - в. 16, М.: «Стройиздат», 1968. с.47-60.

11. Болотин В.В. и др. О потери устойчивости упругих оболочек под действием импульсной нагрузки. - «Строительная механика и расчет сооружений», 1959. N2. с. 9-16.

12. Болотин B.B. Асимптотический метод в теории колебаний упругих пластин и оболочек. - Тр. Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Казань, КФАН СССР, 1961.

13. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек. - Киев, «Наукова думка», с. 16-32. 1962.

14. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях упругих пластин. - «Инженерный сборник>, т.31. 1961.

15. Болотин В.В. Случайные колебания упругих пластин. - М.: «Наука», 1979.

16. Варданян Г.С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформированного твердого тела. - М.: «изд-воМИСИ», 1980. 104 с.

17. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, 1,1,- M-JI, 1949.

18. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин.- «Изд. АН СССР» ОТН, 1957. N12. с.57-60.

19. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение к технике. -«Гостехиздат», М-JT, 784 с. 1949.

20. Власов В.З., Леонтьев H.H. Техническая теория расчета фундаментов на упругом основании. - «Труды МИСИ», сб. N2 14. 1956.

21. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М. «Госиздат физ. Мат. Литературы», 1960.

22. Власов В.З. Избранные труды, т. 1. - «изд-во АН СССР». - М., 528 с. 1962.

23. Волос Н.П. Об одном виде основных уравнений модифицированной теории изгиба пластин. Сопротивление материалов и теория сооружений. 1982, №40. с. 143-147.

24. Гаврилов А.К. Экспериментальное исследование колебаний трехслойных плит. - «Вопросы техн. диагностики». 1977. N217. с. 10-13.

25. Галин М.П. О поперечных колебаниях пластинки. - «Прикладная математика и механика». В.З. 1948.

26. Галиныш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям. Иссл. по теор. пластин и оболочке. - Казань. «Изд-во КГУ». 1970. N27. - с. 24-26.

27. Гельфонд А.О. Вычиты и их приложения. - М. Изд-во «Наука», 1966. 112с.

28. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Коган Ф.А. О динамическом изгибе трехслойных круговых пластин с сжимаемым заполнителем. - АН УССР «Прикладная механика». N21. 1978. - с. 78-87.

29. Григолюк З.И., Чулков П.М. Малые деформации, устойчивость и колебания несимметричных трехслойных плит с жёстким заполнителем. -Док. АН СССР. Т.149. N 1. 1968. - с. 62-64.

30. Григолюк З.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. - ВНИИТИ. Итоги науки и техники. Серия «Механика твердых деформированных тел», т.5. М., 1973.

31. Грей 3., Мэттюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложение к физике и механике. - М.ИМ., 1949. 372 с.

32. Гузь А.И., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. - Киев. «Вища школа». 1982. 350 с.

33. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразований Лапласа и z-преобразованиЙ. - М.: «Наука». 1971. 288 с.

34. Даннея Л.Г. Балки, пластины и оболочки. - М.: Мир. 1985. 567 с.

35. Егорычев O.A., Брендэ В.В.. Собственные колебания однородной ортотропной пластины - Москва, «ПГС», 2010. № 6.

36. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной

пластинки-полосы упруго закрепленной по одному краю и свободной по другому - Москва. «ВЕСТНИК МГСУ». 2010. № 4. с. 252-258.

37. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Подцаева О.И., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы жестко закрепленной по одному краю и свободной по другому - Москва. «ВЕСТНИК МГСУ». 2010. № 4.

38. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Поддаева О.И, Брендэ В.В.. Нормальный удар по ортотропной пластине - Москва. «ВЕСТНИК МГСУ». 2010. №4. с. 264-266.

39. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины упруго закрепленной по одному краю и жестко закрепленной по другому - Москва. «ВЕСТНИК МГСУ». 2010. № 4. с. 246-251.

40. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины упруго закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому - Москва. «ВЕСТНИК МГСУ». 2010. № 4. с. 240-245.

41. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы жестко закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому - Москва. «ВЕСТНИК МГСУ». 2010. № 4. с. 259-263.

42. Егорычев O.A., Е Брендэ В.В.. Постановка задачи о колебании ортотропной пластины. - Москва. «ВЕСТНИК МГСУ». 2011. № 4. с. 50-53.

43. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Свободные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы. -Москва. «ВЕСТНИК МГСУ». 2012. № 2. с. 11-14.

44. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Поперечные собственные колебания ортотропной пластины-полосы со свободными краями. - Москва. «ВЕСТНЖ МГСУ». 2012. № 7. с. 26-30.

45. Егорычев 0.0. Колебания плоских элементов конструкций. - М.: «АСВ». 2005. 240 с.

46. Егорычев 0.0., Филиппов И.Г., Джанмулдаев Б.Д., Скропкин С.А., Филиппов С.И. Теория динамического поведения плоских элементов строительных конструкций. - Варшава. Док.2-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». 1993.

47. Егорычев 0.0., Филиппов И.Г. Неклассическая теория нелинейных колебаний плоских элементов строительных конструкций. - М. Док.3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», 1994.

48. Егорычев 0.0., Филиппов И.Г. Численный метод декомпозиций в исследовании колебаний пластин. - М. Док. 3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», 1994.

49. Егорычев 0.0., Филиппов И.Г. Анализ краевых задач в теории элементов строительных конструкций. - Варшава. Док. 4-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». 1995. с.55-62.

50. Егорычев 0.0., Егорычев O.A. Исследование поперечных колебаний прямоугольной пластинки свободной по трем краям и жёстко закреплённой по одному краю. - Док. 7-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». 1998.

51. Егорычев 0.0. Нестационарные колебания двух вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой. -М. «Вопросы прикладной математики и вычислительной техники». МГСУ. 1999.

52. Егорычев 0.0., Егорычев O.A. Анализ решения задач о колебании пластин различными методами. - Варшава. Док.11-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». 2002. - С. 163-173.

53. Егорычев 0.0. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. - «ПГС». 9. 2004. - С.30-32.

54. Егорычев 0.0. Влияние вязкоупругости материала на совместные колебания пластин и среды, лежащей на жёстком основании. -«Строительные материалы и оборудование технологии XXI века». 10. 2004.

55. Егорычев 0.0. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебания пластин. - «ПГС» .2004. № 12.

56. Егорычев O.A., Поддаева О.И., Хрупов A.A. Собственные поперечные колебания предварительно напряжённой прямоугольной пластины жёстко закреплённой по контуру. - Сборник докладов ХУ1 словацко-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2007 г.

57. Егорычев 0.0., Поддаева О.И., Хрупов A.A. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины, три края которой шарнирно опёрты по контуру, а четвёртый жёстко закреплён. - Москва, Сборник докладов шестой научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» ИФО МГСУ, 2008.

58. Егорычев O.A., Егорычев 0.0., Хрупов A.A. Собственные поперечные колебания упругой предварительно напряженной пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других упруго закреплены. - Сборник докладов XVII словацко-российско-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2009 г.

59. Жаворонок С.Ю., Рабинский JI.H. Осесимметричная задача нестационарного взаимодействия акустической волны давления с упругой оболочкой вращения - «Механика композиционных материалов и конструкций», 2006, Т. 12, N2 4, с.1251-1265.

60. Жаворонок С.Ю. Модели высшего порядка анизотропных оболочек -«Механика композиционных материалов и конструкций» 2008, Т. 14, N 14, с.561-571.

61. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. - М.: «Наука». 1970. - 280 с.

62. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М. Изд-во «Наука», 1971. 704 с.

63. Каюмов Э.К. Колебание вязкоупругих трёхслойных пластин с нелинейно упругим и вязкоупругим заполнителем. - Ташкент, «Вопросы вычислительной и прикладной математики». N248. 1977. с. 171-182.

64. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек, т.1. -Киев, изд-во «АН УССР», 1963. 354 с.

65. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. - М.: «ГИТТЛ». 1956. 192 с.

66. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. - М.: «Наука». 1991.

67. Коренев Б.Г., Румчинский М.Н. Некоторые задачи динамики балок на упругом основании. - М. «Госстройиздат», 1955.

68. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. - М. «Госиздат. Физмат. Литературы», 1960.

69. Коренев Б .Г., Черниговская Е.И. Расчет плит на упругом основании -М., Госстройиздат, 1962, 356 с.

70. Коренев Б.Г. О движении нагрузок по пластинке, лежащей на упругом основании. - «Строительная механика и расчет сооружений». N26. 1965.

71. Коренев Б.Г., Пановко Я.г. Динамический расчет сооружений. - М. Сб. «Строительная механика в СССР» 1917-1967. «Стройиздат». 1969. -с. 280-329.

72. Коренева Е.Б, Гросман В.Р. Аналитическое решение задачи об изгибе круглой ортотропной пластины лежащей на упругом основании. - М. «ВЕСТНИК МГСУ». 2011. № 8. с. 156-159.

73. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. - М.: «Мир». 1974. 340 с.

74. Курант А.Г., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1.2 -МЛ.: Изд. 3-еГИТТЛ, 1951.

75. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: «Наука» Изд. 10-е. 1971. 431

с.

76. Ламзюк В.Д., Пожуев В.И. Об отставании пластинки от многослойного основания под действием подвижной нагрузки. - «У стойчивость и прочность элементов конструкцию>, Сб. статей. Днепропетровский университет, 1975. В.2. - с. 169-177.

77. Ламзюк В.Д., Пожуев В.И. К определению критических скоростей движения нагрузки, лежащей на многослойном основании. — Харьков. «Динамика и прочность машин». Сб. статей, «Вища школа», 1978. В.2. с.105-111.

78. Лехницкий С.Г.. Теория упругости анизотропного тела. - М. Изд-во «Наука». Физматлит. 1977.

79. Лурье А.Н. Теория упругости. - М.: «Наука». 1970. 939 с.

80. Лэмб Г. Динамическая теория звука. - М., Гос. издат. «Ф-м лит». 1960. 372 с.

81. Ляв А. Математическая теория упругости. - М-Л., ОНТИ. 1935. 674 с.

82. Майлз. Реакция слоистого полупространства на движущуюся нагрузку. - «Прикладная механика» сер. Е . N23 изд-во «Мир». 1966. с. 232234.

83. Молотков Л.А. Об инженерных уравнениях колебаний пластин, имеющих слоистую структуру. - Сб. V «Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн», изд-во «ЛГУ». 1961. с. 308-313.

84. Москаленко В.Н. Об учёте инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин. Теория пластин и оболочек. -Киев. «АН УССР». 1962. с. 264-266.

85. Муравский Г.Б. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины, лежащей на упругом основании при действии подвижной нагрузки. - Труды МИИТ. В. 193. с. 166-171.

86. Найвельт В.В. Действие подвижной нагрузки на бесконечную плиту, лежащую на упругом основании. - Изд. Высших учебных заведений «Строительство и архитектура». N5. 1967. с. 161-169.

87. Найвельт В.В. Неустановившиеся колебания бесконечной плиты, лежащей на упругом основании, при движении по ней инерционного груза. -АН УССР.« Прикладная механика», т. 5. в. 8. 1969. - С.123-128.

88. Ониашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. -М.: «изд-во АНССР», 1957, с. 196.

89. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин. Тр. XII Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек. - М.: «Наука». 1970. с. 846-883.

90. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты. - Изд. «АН ЭССР» сер. Физ-мат. и техн. наук. 1965. N3. - С.345-384.

91. Николаенко Н.А. Колебания неограниченной плиты, лежащей на упругом полупространстве и упругом слое. - М. Сб. статей «Вопросы расчета плит на упругом основании». Госиздат литературы по строительству, архитектуры и строительным материалам. 1958. с.63-121.

92. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. - Изд-во «МГУ», 1963.

93. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. - Изд-во «МГУ», 1969.

94. Омецинская Е.Б. Обобщенные уравнения динамики пластин. -«Прикладная механика». 1965.5. N 5. с.64-70.

95. Пановко Я.Г., Губанов И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.- М.: Наука. 1967. 420 с.

96. Пановко Я.Г., Исторический очерк развития теории динамического действия подвижной нагрузки. - Л. Труды ЛВВИА. В. 17, 1948.

97. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин. - Ученые записки ЛГУ .Ы 149. В. 24 «Динамические задачи теории упругости». 1951. С. 172-249.

98. Петрашень Г.И. Проблемы теории колебаний вырожденных систем. Исследования по упругости и пластичности. - Сб . N 5. Изд-во «ЛГУ». 1966. -С.3-33.

99. Петрашень Г.И., Хинен З.В. Об инженерных уравнениях колебаний неидеально-упругих тонких пластин. - Л. АН СССР, труды математического института им В.А.Стеклова, ХСУ/95/, изд-во «Наука, 1968, с. 151-183.

100. Петрашень Г.И, Хинен З.В. Об условиях применимости инженерных уравнений колебаний неидеально-упругих пластин. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. - Изд-во «Наука» N211. 1971. - С.48-56.

101. Приварников В.И., Приварников И.И. Влияние инерциональности основания на динамический изгиб упругой пластины. - АН УССР, «Прикладная механика». Т.8. В.1. 1972.

102. Пожуев В.И. Влияние величины постоянной скорости нагрузки на реакцию пластины, лежащей на упругом основании - АН СССР, «Механика твердого тела»^ 6. 1981. с. 112-118.

103. Пшеничнов Т.И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевых задач. - М.: ДАН СССР. 1985. т.282 . .Ы 4. с.792-794.

104. Пшеничнов Т.И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиций. - «Строительная механика и расчет сооружений». 1986..N 4. с.12-17.

105. Рабинович ИМ., Синицын А.П., Лужин О.В., Теренин Б.М. Расчет сооружений на импульсное воздействие. — М. «Стройиздат», 1970.

106. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. - М. «Госиздат. Технико-теоретической литературы», 1949.

107. Ржаницын А.Р. Пологие оболочки и волнистые пластины. - М. «Госиздат. Литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам», 1960.

108. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пологих оболочек. Пространственные конструкции в СССР - Л-М. «Госстрой. Издат», 1964.

109. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. - М. «Изд-во литературы по строительству», 1968.

110. Россохин Ю.А. О не стационарных колебаниях пластин на упругом основании. - «Прикладная математика и механика», т. 42. в.2. 1978. с. 333 -339.

111. Сагомонян А .Я. Волны напряжений в сплошных средах. - М.: изд-во «МГУ». 1985,416 с.

112. Седов Л.И. МСС. т. 1,2 - М.: «Наука». 1973. с. 492, 584.

113. Селезов ИТ. Исследование распространения упругих волн в плитах и оболочках. - Казань. Тр. конф. по теор. пластин и оболочек. 1960. с.347 -352.

114. Селезов И.Г. Концентрация гиперболичности в теории упругих динамических систем. - Киев. Кибернетика и вычислительная техника. В.1. «Наукова думка». 1969. с. 131-137.

115. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в не стационарных задачах механики. - Л.: Судостроение. 1980. 344 с.

116. Смирнов А.И. Неустановившиеся колебания свободной трехслойной полосы. - Доклады АН СССР. т. 172. N 5. 1967.

117. Снеддон И. Преобразования Фурье. - М.: «Изд-во иностранной литературы», 1955. 667 с.

118. Сорокин Е.С., Архипов A.C. Исследование свободных поперечных колебаний балки, как плоской задачи колебания упругости. Строительная механика. - М.: «Стройиздат». 1966. с. 134-141.

119. Соколов Е.А. Колебания свободной пластинки на упругом основании под действием динамической нагрузки. - Изд. АН СССР ОТН. N 6. 1958.

120. Терентьев В.Н. Динамическое действие периодической нагрузки, движущейся прямолинейно по поверхности пластинки, лежащей на упругом полупространстве. - М. Тр. VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. «Наука». 1966. с. 134- 738.

121. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. - М. «Гостехиздат». 1955.

122. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М. Изд-во «Наука», 1966.

123. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М. Изд-во «Наука». 1967.

124. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. -М. Изд-во «Наука», 1975. 704 с.

125. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. - М.-Л. ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. 479 с.

126. Тихонов Л.Н., Самарский А.К. Уравнения математической физики. - М.: «Наука». Изд. 4-е. 1972.

127. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ., 1948. 12. 33. - С.287-300.

128. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. - Л.: «Наука», изд. 2-е. 1967. 402 с.

129. Филиппов А.П. Колебания упругих тел. - Изд-во АН УССР, 1956.

130. Филиппов А.П. Колебания механических систем. - Киев, «Наукова думка». 1965.

131. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. - М.: Машиностроение. 1970.

132. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций. - Киев. Изд-во «Наукова думка». 1974.

133. Филиппов И,Г. Приближённый метод решения динамических задач для линейных вязкоупругих сред. - АН СССР, ПММ, т. 43. в. 1. 1979. - С. 133 - 137.

134. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. - М. «Машиностроение». 1983. 269 с.

135. Филиппов И.Г., Чебан В. Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. - Кишинев. «Штинница». 1988. 190 с.

136. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах. - Москва. «МГСУ». 2007.

137. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики - M.-JL: ОНТИ. 1937. 998 с.

138. Хесин Г.И. и др. Некоторые экспериментальные и теоретические исследования распространения волн напряжений в линейных вязкоупругих средах. Фотоупругость. Развитие методики. Инженерные приложения. - М., 1975. с. 34-41.

139. Хрупов A.A. Вывод частотного уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины. - Журнал «ПГС» N 5, 2009 г. с.76-77.

140. Хрупов A.A. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины, жёстко закреплённой по контуру. - издательство «АСВ», научно-технический журнал "Вестник МГСУ", N 2, 2009 г. с. 54-57.

141. Шмаков В.П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова-Галеркина к решению краевых задач (о колебании оболочек и пластин). - Изд. АН СССР. МТТ. N 5. 1967.

142. Ширинкулов Т.Ш. Расчет конструкций на сплошном основании -Ташкент, изд-во «ФАН», 1969.

143. Achenbach L.D. Wave propagation in elastic solids - Amsterdam: Nord-Holand. 1973. 425 p.

144. Brunelle E.J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates. = AIAA Journal. 1971.9. N6. p.1018-1022.

145. Callahan W.R. Flexural vibrations of elliptical plates when transverse shear and rotary inertia are condidered. - J. Acoust. Soc. Amer. 1964. N 5. p. 823 -829.

146. Gupta A.K., Aragval N., Kumar S. Free Transverse Vibrations of an Orthotropic Visco-Elastic Plate with Continuously Varying Thickness and Density. - Prague, Czech Republic, Institute of Thermal Dynamics, 2010, no. 2.

147. Hasegawa M. Influence of rotatory inertia on transverse vibrations of isotropic, elastic, rectangular plates. - Proc.l 6 Japan Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo. 1967. p. 291-295.

148. Kirchhoff G. User das Gleichgewicht mid die Bewegung einer elastischert Scheibe. - J. Reine und angew. Math. 1850.40. N21. p.51-88.

149. Kirchhoff G. Vorlesugen user mathematische Physic. - Mechanic. Leipzig. 1876. Киргоф Г. Механика. Лекции по математической физике. - М-АН СССР, 1962.

150. S.B. Kharde, А.К. Mahale, K.S. Bhosale, S.R. Thorat. Flexural vibrations plates by using exponential shear deformation theory. - International journal of emerging and advanced engineering. 2013 p. 369-375.

151. Lamb H. On the flexure of an elastic plate (Appendix). - Froc. Lond. Math. Sec. 1889-1890.21. p.85-90.

© h

152. Poisson S.D. Memoire sur 1' eguilibre el le mouvement des corps élastiques. - Mem. Acad. Roy. Set. 1829.8. p. 557-570.

153. Rayleigh J.W. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. - Froc. London Math. Sec. 1888-1889. 20. N 357. p.225-234.

154. Rajamohan C., Raamachandran J.. Bending of anisotropic plates by charge simulation method. - Indian Institute of Technology 5.1999 p. 369-373.

155. Reinssner E. On the theory of bending of elastic plates. - J.Math. and Phys. 1944.23. N 4. p. 184 - 191.

156. Shirakawa K. Effects of shear deformation and rotatory inertia on vibration and buckling of cylindrical shells. - L. Sound and vibration. - v. 91. N 3. 1983 p. 425-437.

157. Tolstoy 1., Usdin E. Wave propagation in elastic plates; low and high mode dispersion. J.Acoust. Sec. Amen. 1957 p. 87-42.