Колебательное движение земного полюса под действием гравитационно-приливных и диссипативных возмущений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мьо Зо Аунг

• Мьо Зо Аунг
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Мьо Зо Аунг

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КОЛЕБАНИЯ ПОЛЮСА ВЯЗКОУПРУГОЙ ЗЕМЛИ

1.1. Вводные замечания и основные сведения о движении земного полюса. Постановка задачи

1.2. Модель колебательного движения земного полюса

1.3. Модель полюсного прилива деформируемой Земли

1.4. Основные свойства полюсного прилива: теория и наблюдения

1.5. Оценка параметров модели полюсного прилива

1.6. Установившийся колебательный процесс земного полюса при различных моделях полюсного прилива

1.7. Интегрирование дифференциальных уравнений движения с учетом геофизических

возмущений

1.8. Выводы

ГЛАВА 2. УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЗЕМНОГО ПОЛЮСА С УЧЕТОМ ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКОГО ЛУННОГО ВОЗМУЩЕНИЯ

2.1 Введение

2.2 Кинематические соотношения колебательного движения земного полюса и идентификация 18-летней цикличности

2.3 Колебания земного полюса, согласованные с прецессией орбиты Луны. Постановка задачи

2.4 Выбор систем координат и геометрия задачи

2.5 Вариации моментов инерции деформируемой Земли

2.6 Дифференциальные уравнения движения земного полюса с учетом долготы восходящего узла орбиты Луны

2.7 Выводы

2

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ЗЕМНОГО ПОЛЮСА ПО РАЗРАБОТАННЫМ МОДЕЛЯМ С УЧЕТОМ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

3.1 Предварительные замечания о синфазности возмущений и прецессии орбиты

Луны

3.2 Оценка точности разработанной модели

3.3 Расчетные вариации амплитуд чандлеровской и годичной компонент

3.4 Интегрирование уравнений движения земного полюса с учетом модифицированной модели полюсного прилива

3.5 Выводы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебательное движение земного полюса под действием гравитационно-приливных и диссипативных возмущений»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена задаче уточнения модели движения полюса деформируемой Земли, вращающейся в гравитационном силовом поле Луны и в поле центробежных сил инерции. Актуальность темы исследования

Задача о построении математической модели движения земных полюсов является интересной и актуальной задачей теоретической и небесной механики. Исследование движения полюса (для определенности - северного) представляет, как теоретический интерес - для задач геофизики и небесной механики, так и имеет прикладное значение в астрометрии и навигации. Координаты земного полюса используются для вычисления матрицы перехода от земной системы координат к небесной системе. Этот переход в упрощенном виде выполняется с помощью композиции пяти поворотов на угловые величины - параметры ориентации Земли. Два из этих поворотов выполняются вокруг экваториальных осей (оси, пересекающей гринвичский меридиан и оси, ему ортогональной) на координаты земного полюса, измеряемые в угловых величинах. Для ряда прикладных задач астрометрии и навигации важным является вопрос о прогнозировании параметров ориентации Земли, который включает в себя задачу построения модели колебаний земного полюса.

Точность определения траектории движения земного полюса по общепринятой модели в основном зависит от полноты описания возмущений. Такая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в которой учтены диссипативные слагаемые, приливные возмущения и возмущения со стороны подвижных сред. Ряд эффектов, связанных с изменением параметров основных компонент колебаний полюса, пока не удается объяснить учитываемыми возмущениями.

Исследование переменности параметров основных компонент колебаний земного полюса представляет интерес не только для задачи прогнозирования его движения, но и является важным для изучения механизма возбуждения чандлеровского и годичного колебаний. Данная проблема является актуальной и пока мало изучена. Её решение связано с установлением небесномеханических и геофизических причин такого поведения чандлеровской и годичной компонент колебаний. Более детальное их описание может быть использованио при построении уточненных моделей долгосрочного прогноза движения земного полюса.

Наряду с исследованием вариаций параметров основных компонент колебаний полюса представляет интерес анализ диссипативных свойств вязкоупругой Земли, которые необходимо учитывать в модели движения земного полюса.

Приливное возмущение, связанное с приливообразующим потенциалом, вызывает периодические деформации фигуры Земли, которые сопровождаются диссипацией энергии. Изменение во времени центробежного потенциала (вследствие перемещения мгновенной оси вращения Земли в связанной системе) также создает дополнительный возмущающий потенциал Земли, который зависит от координат земного полюса. В такие вариации геопотенциала наибольший вклад дает изменение тессеральной гармоники. Оно обусловлено полюсным приливом - откликом деформируемого слоя Земли на смещение земного полюса. Величина полюсного прилива зависит от вязкоупругих свойств реальных сред. Следствием вязкоупругих свойств мантии Земли и наличия гидросферы является запаздывание полюсного прилива на относительно небольшую величину.

Деформации Земли, обусловленные полюсным приливом, учитываются также и в задаче построения высокоточного прогноза орбиты космического аппарата, т.к. в этом случае в уравнениях движения спутника необходим учёт различных малых возмущающих факторов. Влияние вариаций центробежных моментов инерции из-за смещения полюса на движение спутника весьма мало и приводит к возмущающему

ускорению порядка 10 11 м/с2 для высокоорбитальных спутников с высотой орбиты около 20000 км (ГЛОНАСС, GPS) и порядка 2 -10"9 м/с2 для низкоорбитальных спутников с высотой орбиты около 350-400км (МКС).

В отличие от малого влияния слагаемых полюсного прилива на орбиту спутников в задаче о вращении Земли и движении ее полюса такие деформации имеют уже существенное - определяющее значение. Следствием неупругости мантии Земли является малое смещение полюсного прилива и сдвиг фазы колебаний центробежных моментов инерции относительно колебаний земного полюса. Такое малое смещение определяет амплитуду необходимого внешнего возмущения для возбуждения основного колебательного движения земного полюса.

Целью диссертационной работы является уточнение модели движения земного полюса с учетом диссипативных сил и гравитационно-приливных долгопериодических лунных возмущений, а также аппробация, и оценка точности разработанной модели на основе сравнения с наблюдениями Международной службы вращения Земли.

Научная новизна результатов. В диссертационной работе получены следующие результаты, обладающие новизной и научной значимостью:

• Предложено уточнение модели движения земного полюса с учетом модифицированной модели полюсного прилива, зависящая от положения полюса и от его скорости. Показано, что применение модифицированной модели полюсного прилива существенно влияет на параметры установившегося колебательного процесса земного полюса и амплитуду необходимого возмущения с чандлеровской частотой для возбуждения наблюдаемого чандлеровского колебания полюса.

• Разработана уточненная модель движения земного полюса с учетом долгопериодического лунного возмущения, приводящего к вариациям параметров основных компоенент колебательного процесса земного полюса.

• Показано, что предложенные модели приводят к более точному расчету траектории полюса при интегрировании дифференциальных уравнений его движения с учетом геофизических возмущений.

Первая глава диссертации посвящена задаче уточнения диссипативных слагаемых дифференциальных уравнений движения земного полюса. Для этого рассматривается модельная задача о деформациях осесимметричной Земли с вязкоупругим слоем при ее движении по инерции. Для функционала внутренних диссипативных сил принимается модель Кельвина-Фойгта. С помощью модального подхода определены деформации, обусловленные полюсным приливом, выведены выражения для вариаций центробежных моментов инерции. Проведено сравнение вариаций центробежных моментов инерции с общепринятыми выражениями, рекомендованными к использованию Международной службой вращения Земли (МСВЗ).

Во второй части главы исследуется влияние структуры диссипативных слагаемых на установившееся движение земного полюса. На основе тестовых расчетов показано, что выбор модели полюсного прилива существенно влияет на параметры установившегося колебательного процесса земного полюса и амплитуду необходимого возмущения с чандлеровской частотой для возбуждения наблюдаемого чандлеровского колебания полюса. В заключении проведено интегрирование полученных уравнений движения полюса с учетом геофизических возмущений в сравнении с наблюдениями МСВЗ и с результатами стандартной модели.

Во второй главе предложены уточненные дифференциальные уравнения движения полюса с учетом долгопериодических лунных возмущений. Для этого

рассмотрена модельная задача о деформациях Земли, вращающейся в гравитационном поле Луны и в поле центробежных сил инерции. В такой задаче модель Земли представляется вязкоупругим твердым телом, состоящим из твердой части и вязкоупругого слоя. Для функционала внутренних диссипативных сил, как и в первой главе, принимается модель Кельвина-Фойгта. На основе уравнений деформаций получены приближенные выражения малых вариаций центробежных моментов инерции, зависящих как от движения полюса, так и от долготы восходящего узла орбиты Луны.

С помощью тестовых расчетов, включающих аппроксимацию наблюдаемой траектории движения полюса и численное интегрирование модифицированных уравнений его движения, проведена идентификация параметров модели. На тестовых примерах показано, что дополнительные слагаемые, учитывающие долготу восходящего узла орбиты Луны, позволяют повысить точность расчета положения полюса.

Третья глава диссертации посвящена идентификации параметров разработанных моделей, а также исследованию их точностных характеристик. С учетом геофизических возмущений (от атмосферы и океана) проведено численное интегрирование уточненных дифференциальных уравнений движения полюса, полученных в первой и второй главах (как с учетом дополнительных слагаемых, связанных с долгопериодическим лунным возмущением, так и с учетом модификации модели полюсного прилива). Из наблюдаемой и расчетных траекторий движения полюса выделены вариации амплитуд чандлеровской и годичной компонент, согласованные с прецессионным движенияем лунной орбиты.

В заключении представлены основные результаты выполненной работы.

Методология и методы исследования

Для решения задачи о деформациях вязкоупругого слоя Земли и определения вариаций центробежных моментов инерции, обусловленных полюсным приливом и приливными возмущениями от Луны, использовались вариационный принцип Даламбера - Лагранжа, теория гравитационного потенциала, метод модального анализа систем с бесконечным числом степеней свободы. Анализ основных свойств теоретического полюсного прилива проведен в сравнении с выражениями, рекомендуемыми к учету Международной службой вращения Земли (МСВЗ), а также с наблюдаемым полюсным приливом на основе обработки высокоточных измерений ускорения силы тяжести.

Уравнения движения земного полюса получены с помощью общих теорем механики. Установившийся режим колебаний земного полюса исследовался на основе динамических уравнений Эйлера-Лиувилля с учетом слагаемых, обусловленных приливными деформациями мантии Земли.

Идентификация параметров модели, её апробация и оценка точности проводились с помощью численнго интегрирования дифференциальных уравнений движения полюса с учетом геофизических возмущений методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Данные о геофизических возмущениях включали возмущения со стороны атмосферы и океана, публикуемые Международной службой вращения Земли. Аппроксимации траектории движения полюса строились с помощью метода наименьших квадратов и Фурье-анализа. Для определения параметров орбиты Луны использовались лунные эфемериды.

Положения, выносимые на защиту:

1. Для модели осесимметричной деформируемой Земли с вязкоупругим слоем

определены деформации, обусловленные полюсным приливом при ее движении

по инерции вокруг центра масс. Проведено сравнение вариаций центробежных

моментов инерции с общепринятыми выражениями, рекомендованными

9

Международной службой вращения Земли. Установлено, что выбор модели полюсного прилива влияет на оценку параметров установившегося чандлероского колебания, а ошибка определения амплитуды установившегося чандлеровского колебания может достигать 10%. Показано, что разработанная модель движения земного полюса с учетом модифицированных диссипативных слагаемых точнее описывает траекторию движения полюса при её вычислении с учетом геофизических возмущений в среднем на 1-2 см.

2. Для модели деформируемой Земли, находящейся в поле притяжения Луны, найдены малые вариации полюсного прилива в упругом слое, модулированные гармоникой с частотой прецессии лунной орбиты. Определены дополнительные слагаемые модели движения земного полюса, обладающие комбинационной структурой, необходимой для возбуждения рассматриваемого 18-летнего колебательного процесса земного полюса, связанного с долгопериодическим возмущением от Луны.

3. Показано, что разработанные модели (с учетом модифицированных диссипативных слагаемых и дополнительных слагаемых, синфазных с прецессией орбиты Луны) приводят к уточнению расчетной траектории полюса как за счет дополнительных слагаемых лунного возмущения, так и за счет модифицированной модели полюсного прилива в среднем на 3.6 см.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность разработанных математических моделей и сделанных выводов обеспечена корректной математической постановкой задач, а также согласованностью полученных результатов с результатами общепринятых моделей и данными наблюдений и измерений Международной службы вращения Земли. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах и научных конференциях и опубликованы в рецензируемых научных изданиях.

Результаты работы докладывались и обсуждались на: XII Международная конференция по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли. NPNJ'2018 24-31 мая 2018 г., Алушта, Крым; 18-я Международная конференция «Авиация и космонавтика - 2019», 18-22 ноября 2019 г. Москва, МАИ; EGU General Assembly 8 May 2020, Vienna, Austria; 19-я Международная конференция «Авиация и космонавтика» 23-27 ноября 2020 г. Москва, МАИ; XXII Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМС1111С'2021) 4-13 сентября 2021 г. Алушта, Крым.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы и получены лично автором. Постановки решаемых в диссертационной работе задач задавались научным руководителем и научным консультантом. Автор выполнил подавляющее большинство аналитических исследований и численных расчетов, самостоятельно обрабатывал и интерпретировал полученные результаты. Подготовка к публикации проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 127 страниц, из них 110 страниц текста, включая 35 рисунков.

ГЛАВА 1. КОЛЕБАНИЯ ПОЛЮСА ВЯЗКОУПРУГОЙ ЗЕМЛИ

1.1 Вводные замечания и основные сведения о движении земного полюса.

Постановка задачи

Задача о движении земных полюсов имеет длительную историю. Экспериментальные исследования движения оси вращения в теле Земли начались с исследований американского астронома С. Чандлера, который по многочисленным наблюдениям изменяемости широт обсерваторий установил, что траектория движения земного полюса (например, Северного) относительно среднего своего положения представляется как сумма двух периодичностей - с периодом 1 год (называемая годичным колебанием) и с периодом приблизительно 1.2 года или 433 суток. Колебание с периодом 433 суток получило название Чандлеровского колебания. В последствие во многих исследованиях, например в [89, 90, 109, 125], было установлено, что и амплитуды этих колебаний и чандлеровская частота постоянными не являются. Как показано в работах [38 - 42], посвященных анализу ряда данных наблюдений и прогнозированию движения земного полюса, его траектория может быть удовлетворительно аппроксимирована стационарными гармониками с постоянными амплитудами и фазами только на относительно небольших интервалах времени (в пределах 10-12 лет).

Для построения модели колебаний земного полюса могут применяться различные методы и подходы. Как правило, выбор методов зависит от исходной постановки задачи. Аналитические методы механики позволяют на качественном уровне проанализировать динамические процессы и уточнить уравнения движения сложной механической системы, рассмотрев задачу в упрощенной постановке [16 -18, 32, 35, 36, 43, 53,55,56,93 ,100]. Такой подход оказывается актуальным и для задачи о вращательном движении Земли [7 - 9]. Численные методы анализа и обработки данных [2, 4, 24, 39, 51, 116-119] могут использоваться не только как самостоятельный подход к прогнозированию временных рядов параметров вращения

Земли, но и быть вспомогательным звеном, позволяя в некоторых случаях распространить решение модельной задачи на движение реального тела. Такой подход является численно-аналитическим [3, 5, 6, 31,79].

Можно использовать как детерминированный [2 - 9], так и стохастический или комбинированный подходы [11, 62, 64-69, 108].

Детерминированные модели движения земного полюса как правило в своей основе содержат теоретические исследования Леонарда Эйлера, определившего 305-суточный период свободной нутации [21,87] для недеформируемой Земли и модель С. Чандлера (1891 г.), обнаружившего из многочисленных наблюдений изменяемость широт обсерваторий с двумя периодическими компонентами в движении полюса -365 и 430-440 суток [1, 54, 72, 102]. Отличие чандлеровского периода от периода Эйлера 305 суток для твердой Земли исследовалось в работах С. Ньюкома, А. Пуанкаре, Г. Джеффриса, А. Лява, У. Манка Г. Макдональда, Ф.А. Слудского, М.С. Молоденского [12, 27, 54, 71, 72, 73, 86]. Исторически принято называть движение земного полюса с периодом 430-440 суток свободной нутацией деформируемой Земли или чандлеровскими колебаниями полюса. Для описания свободной нутации деформируемой Земли при её движении относительно центра масс применяются методы как классической, так и аналитической механики в переменных Эйлера, Андуайе или действие-угол [2, 10, 12, 13, 28, 33-35, 94, 97, 101,106].

На основе детерминированной модели уже могут строиться комбинированные

стохастические модели. Обзор первых работ по исследованию влияния аддитивных

стохастических возмущений, зависящих от времени, на колебания полюса Земли дан

в [11]. В работе [65] дается подробный обзор построения комбинированных

стохастических моделей движения земного полюса. В частности в [66-69] на основе

детерминированной модели движения земного полюса и данных Международной

службы вращения Земли (МСВЗ) [102] строится комбинационная

небесномеханическая стохастическая корреляционная модель движения Земли

относительно центра масс. Детерминированная компонента модели отражает

13

основные регулярные динамические эффекты, а стохастическая часть - нерегулярные эффекты, подчиняющиеся статистическим закономерностям.

С практической точки зрения задача о движении земного полюса может решаться в двух направлениях - в направлении повышения точности прогноза модели[76,107] и в направлении повышения её автономности. Последнее связано с увеличением времени автономности, например, при функционировании на борту космического аппарата [14, 22, 58, 59, 63]. Такая необходимость может возникнуть при отсутствии доступа к оперативной информации, предоставляемой Международной службой вращения Земли о текущих значениях параметров ориентации Земли.

Теоретический аспект данной задачи оказывается не менее важным. В задачах астрометрии и геофизики модель вращательного движения Земли имеет ключевое значение.

Данная работа посвящена уточнению теоретической модели движения земного полюса с использованием численно-аналитического подхода. Полученные результаты позволяют уточнить и модель прогноза движения полюса.

Рассматривая модельную задачу о вращении деформируемой Земли определяющими факторами, влияющими на ее характер движения, являются диссипативные и гравитационные возмущения. По типу рассматриваемых возмущений данную задачу можно разделить на две части - на исследование движения деформируемой Земли по инерции и исследование её движения в гравитационном поле сил. Первая задача рассмотрена в главе 1, а вторая - отнесена к последующим главам. Причем обе задачи не рассматриваются в узком смысле, ограниченном только модельной постановкой, а применяются для определения движения мгновенной оси вращения Земли с учетом возмущений от реальных геофизических сред.

Говоря о движении мгновенной оси вращения Земли следует заметить, что

положение полюса, свзанного с осью вращения (полюс вращения) является не

14

наблюдаемым. Понятие земного полюса используются в первую очередь для вычисления матрицы перехода от земной связанной системы координат к квазиинерциальной геоцентрической небесной системе GCRS - Geocentrical Celestial Raference System (строго говоря она является Кёниговой системой и не является инерциальной) [30, 102]. Этот переход в упрощенном виде выполняется с помощью композиции пяти поворотов на угловые величины - параметры ориентации Земли. Два из этих поворотов выполняются вокруг экваториальных осей (оси пересекающей гринвичский меридиан и оси ортогональной ему) на координаты земного полюса, измеряемые в угловых величинах (угловых миллисекундах).

Задание ориентации Земли в космическом пространстве пятью углами обусловлено разделением вращения Земли на прецессию, нутацию, её осевое вращение и движение мгновенной оси вращения в теле самой Земли. Под земным полюсом понимается положение на поверхности Земли оси промежуточной системы координат. Земной полюс наблюдаемым также не является, но его положение определяется из наблюдений ориентации Земли на основании принятых соглашений о разделении вращения Земли на прецессию, нутацию, осевое вращение и движение полюса промежуточной системы в связанной системе координат. При рассмотрении движения полюса промежуточной системы в системе GCRS он носит название небесного полюса. Движение небесного полюса определяется прецессией и нутацией Земли. Положение земного полюса (с координатами xp, y ) и полюса мгновенного

вращения (с координатами , ) не совпадают, но оказываются близки друг к другу. Их координаты связаны соотношениями [99, 115]:

ю' (1.1.1)

Хю~ xp

= -

У со У р ' ю

Если исследуемое колебательное движение земного полюса является низкочастотным (с частотами порядка 1 цикл/год и ниже), то слагаемые,

15

определяемые производной координат полюса оказываются на два порядка меньшими. Тогда можно принять хр = хю, у = ут. Из (1.1.1) видно, что

необходимость учета этих соотношений возникает при рассмотрении высокочастотных колебаний (например, близсуточных). В данной работе рассматриваются колебания полюса в низкочастотном диапазоне, поэтому под мгновенным полюсом будем понимать земной полюс. Однако, для численных расчетов уравнения движения земного полюса приводятся к стандартному виду, которое учитывает (1.1.1).

Траектория движения земного полюса представляет собой спиралевидную кривую на поверхности Земли. Её можно разложить на основные компоненты -чандлеровскую и годичную с периодами 433 суток и 365.25 суток соответственно, долгопериодический и вековой тренд (дрейф среднего полюса) и высокочастотные колебания, как правило геофизического происхождения.

В главе 1, как было отмечено, рассмотрим задачу о движении деформируемой Земли в поле центробежных сил инерции. Следствием переменности во времени центробежного потенциала Земли является формирование полюсного прилива в вязкоупругой и жидких геосредах.

Деформации Земли, обусловленные полюсным приливом учитываются в задаче построения высокоточного прогноза орбиты космического аппарата, т.к. в этом случае в уравнениях движения спутника необходим учёт различных малых возмущающих факторов. Влияние вариаций центробежных моментов инерции из-за смещения полюса на движение спутника достаточно мало. Оно приводит к возмущающему ускорению порядка 10-11м/с2 для высокоорбитальных спутников с высотой орбиты около 20000 км (ГЛОНАСС, GPS) и порядка 2 10"9 м/с2 для низкоорбитальных спутников с высотой орбиты около 350-400км (МКС) [59].

В отличие от малого влияния слагаемых полюсного прилива на орбиту спутников в задаче о вращении Земли и движении ее полюса такие деформации имеют

уже намного более существенное - определяющее значение. Следствием неупругости мантии Земли (вязкость приводит к запаздыванию прилива) является малое смещение полюсного прилива и сдвиг фазы колебаний центробежных моментов инерции относительно колебаний земного полюса. Такое малое смещение никакой особой роли для практических задач не играет. Однако оно определяет амплитуду необходимого внешнего возмущения для возбуждения основного движения земного полюса.

Описание полюсного прилива - отклика деформируемой и подвижной геофизических сред на изменение во времени центробежного потенциала Земли зависит от принятой модели реологии Земли. В основу общепринятой модели полюсного прилива, содержащейся в опубликованном материале МСВЗ (IERS Technical Note) положена модель деформируемой Земли PREM (Preliminary Reference Earth Model) [105]. Полюсный прилив, согласно данной модели, зависит от положения полюса и имеет небольшой по величине сдвиг фазы. Коэффициенты модели полюсного прилива получены на основе теоретической модели Земли, разработанной авторами [105].

В работах [111, 112] предлагается уточнение модели стандартной модели полюсного прилива в рамках разработанной авторами модели DyMEG (Dynamic Model of Earth rotation and Gravity) на основе моделирования движения земного полюса с учетом геофизических сред. Модель полюсного прилива в указанных работах структурно совпадает со стандартной моделью МСВЗ. Отличия заключаются в числовых значениях коэффициентов, которые были получены из наилучшей аппроксимации наблюдаемой траектории полюса расчетной траекторией.

Для исследования полюсного прилива в данной работе рассматривается

модельная задача о деформациях вязкоупругого слоя Земли. В качестве модели Земли

выберем простейшую - систему, состоящую из твердого тела ("ядра") и вязкоупругой

оболочки ("мантии"). Примем, что реология деформируемой среды "мантии" Земли

описывается моделью Кельвина-Фойгта. При этом будем считать, что на внутренней

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мьо Зо Аунг, 2026 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авсюк Ю.Н.Приливные силы и природные процессы. М.: Изд-во ОИФЗ РАН. 1996. 188 с.

2. Акуленко Л.Д., Климов Д.М., Марков Ю.Г., Перепёлкин В.В. Колебательно-вращательные процессы в движении Земли относительно центра масс: интерполяция и прогноз // Известия РАН. МТТ. 2012. №6. С.6-29.

3. Акуленко Л.Д., Марков Ю.Г., Перепёлкин В.В., Рыхлова Л.В., Филиппова А.С. Анализ вращательно-колебательных процессов параметров вращения Земли в коротком интервале времени //Астрономический журнал. 2013. Т. 90. №4. С.1-9.

4. Акуленко Л.Д., Климов Д.М., Кумакшев С.А. Основные свойства и особенности движения Земли относительно центра масс // Доклады РАН. 2014. Т. 458 №5. С.547-550.

5. Акуленко Л.Д., Климов Д.М., Марков Ю.Г., Перепелкин В.В., Филиппова А.С. Численно-аналитическое моделирование возмущенных колебательных движений полюса Земли // Изв. РАН. МТТ. 2014. №6. С.105-119.

6. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В. Анализ влияния многочастотных воздействий на колебания полюса Земли // Астрономический журнал. 2002. Т.79. №.1 С. 481-489.

7. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В. Гравитационно -приливной механизм колебаний полюса Земли // Астрономический журнал.2005. Т.82. №10. С. 950-960.

8. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В. Анализ влияния многочастотных воздействий на колебания полюса Земли //Астрономический журнал. 2007. Т 84. №-5. С. 471-478.

9. Акуленко Л.Д., Перепелкин В.В. Динамический анализ возмущенного чандлеровского колебания земного полюса // Известия РАН. МТТ. 2018. №6. С. 4-12.

10.Акуленко Л.Д., Перепелкин В.В. Движение земного полюса при нестационарных возмущениях // Изв. РАН. МТТ. 2019. №5. С. 153-160.

11.Арато М. Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами. Статистический подход. М.: Наука. 1989.

12.Баркин Ю.В. Вращательное движение тел солнечной системы. В книге: Пионеры освоения космического пространства (A89-42451 18-99). - М.:Наука, 1988, C. 161-171.

13.Баркин Ю.В., Демин В.Г., Панкратов А.А., Марков Ю.Г. Переменные Пуассона, Андуайе и Шарлье в небесной механике и динамике твердого тела // Сборник научно-методических статей по теоретической механике - М.: Высшая школа. 1982. Вып.12, C. 92-100.

14.Бахтигараев Н.С., Чазов В.В. Информационное обеспечение космических экспериментов на основе численно-аналитической теории движения искусственных спутников Земли // Космические исследования. 2005. Т. 43. №5. С. 386-389

15.Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 504с.

16.Бондаренко В.В. О поступательно-вращательном движении двух деформируемых небесных тел//Космические исследования, 1997, том 35, № 6, стр. 645.

17.Веретенников В.Г., Карпов И.И., Марков Ю.Г. Колебательные процессы в механических системах с упругими и диссипативными элементами. - М.: Изд-во МАИ. 1998. 142 с.

18.Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы в динамике систем с

бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд -во Моск. Ун-та, 1982. 122 с.

117

19.Вильке В.Г. Теоретическая механика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. 237 с.

20.Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Часть I. М.: Изд-во механико-математического ф-та МГУ, 1997. 215 с.

21.Вулард Э. Теория вращения Земли вокруг центра масс. - М.: Физматгиз, 1963. 143 с.

22.Ву Виет Чунг Оценка влияния параметров вращения Земли в задаче координатно-временного обеспечения навигационных спутников // Труды МАИ №69.

http://trudymai.ru/upload/iblock/c5e/c5e3a0d6e1551811473350c0b94809ff.pdf7lang =ги&1в8ие=69

23.Вэй Ян Сое Исследование зависимости параметров движения земного полюса от прецессии орбиты Луны // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: ИНАСАН, 2022.

24.Губанов В.С. Обобщённый метод наименьших квадратов. Теория и применение в астрометрииСПб.: Наука, 1997.315 с.

25.Голдрайх П., Пил. С. Динамика вращения планет. Сборник статьей «Приливы и резонансы в Солнечной системе». Под ред. Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, с.130.

26. Дарвин Дж.Г. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе. М.: Наука. 1965. 265 с.

27.Джеффрис Г. Земля, её происхождение, история и строение - М.: ИЛ. 1960. 486с.

28.Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968, 800 с.

29.Егармин Н.Е. Влияние упругих деформаций на тензор инерции твердого тела // Изветия РАН. МТТ.1980.№6. С.43-48.

30.Жаров В.Е. Сферическая астрономия. Фрязино. 2006. 480с.

31.3ленко А.А. Небесномеханическая модель приливной эволюции системы Земля-Луна // Астрономический журнал. 2015. Т.92. №1. С80-96.

32.Зленко А.А. Стационарные решения одной модельной задачи трёх тел // Прикладная математика и механика. - 2016. - №4. С. 461-472.

ЗЗ.Зленко А.А. Силовая функция двух твёрдых небесных тел в переменных Делоне-Андуайе // Астрономический журнал. 2015. Т. 92. № 12. С. 1009.

34.Карпов И.И., Марков Ю.Г. О диссипативной эволюции поступательно-вращательного движения системы «деформируемая планета-спутник» // Космические исследования. 1999. Т. 37. С. 306-311.

35. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. - М. Изд-во МГУ,1980, 232 с. %не указано

36.Конкина Л.И., Марков Ю.Г., Микиша А.М., Рыхлова Л.В. К задаче построения промежуточных траекторий в теории вращения упругой Земли вокруг центра масс // Доклады академии наук. 2000. Т.375. №5. С.619-622.

37.Крылов С.С., Перепёлкин В.В., Почукаев В.Н., Вэй Ян Сое. Об изменении средней частоты движения земного полюса под действием лунно-солнечных возмущений // Космонавтика и ракетостроение. 2020. 6(117). С. 5-11.

38.Климов Д.М., Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А. Механическая модель возмущенного движения Земли относительно барицентра // Доклады РАН.2013.Т 453. №. 3. С. 277-281.

39.Климов Д.М., Акуленко Л.Д., Шматков А.М. Разделение и спектральный анализ колебаний земного полюса // Доклады РАН. 2015. Т. 464. №3. С.288-292.

40.Клюйков А.А Определение параметров гравитационного поля Земли по градиентометрическим измерениям // Астрономический журнал Т. 99, № 7, с. 612 - 615 (2022).

41. Клюйков А.А Определение параметров гравитационного поля Земли по градиентометрическим измерениям в земной геоцентрической системе координат // Астрономический журнал Т. 101, № 5, с. 483 - 494 (2024).

42.Кумакшев С.А. Гравитационно-приливная модель колебаний полюсов Земли //

Изветия МТТ РАН.2018. № 2. С. 48-53.

119

43.Кондратьев Б.П. Вехи в развитии небесной механики // Астрономический журнал 2023, Т. 100 №7, с. 630 - 646.

44.Кондратьев Б.П. Теория потенциала и фигуры равновесия. М: Мир, 2007 512с.

45.Крылов С.С., Мьо Зо Аунг, Перепелкин В.В. Моделирование чандлеровского и годичного колебаний земного полюса с учетом прецессии лунной орбиты // Вестник Самарского государственного технического университета: Физико-математические науки (в печати).

46.Курбасова Г.С., Рыхлова Л.В., Астрономический журнал.Т.95, 3 (1972).

47.Курбасова Г.С., Рыхлова Л.В., Рыбалова М.Н.Вариации амплитуды чендлеровского колебания // Астрономический журнал. 2002. Т. 79. № 6. С. 579.

48.Курбасова Г.С., Рыхлова Л.В., Шликарь Г.Н. Параметрическое возбуждение чандлеровского колебания и эмпирические законы мельхиора // Астрономический журнал. 2003. Т.80. № 6. С. 571-576.

49. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 246 с.

50.Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. 408 с.

51.Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. - М.: Физматгиз. 1962. 352с.

52.Ляв А. Математическая теория упругости. М.,Л.: ОНТИ, 1935. 672 с.

53.Маркеев А.П. К динамике упругого тела в гравитационном поле // Космические исследования. 1989. Т. 27. № 2. С. 163.

54.Манк Н., Макдональд Г. Вращение Земли М.: Мир. 1964. 384 с.

55.Марков Ю.Г. Пространственное движение деформируемого центральном поле сил // Космические исследования. 1988. Т. 26. № 2. С. 236.

56.Марков Ю.Г. О вращении вязкоупругого шара на условно-периодической орбите в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.// Известия АН. Механика твердого тела, 1989, №6, с.23-29.

57.Марков Ю.Г. Результаты исследования небесномеханических задач

поступательно-вращательного движения деформируемых тел // Диссертация на

120

соискание ученой степени доктора физико-математических наук М.: МГУ. 1995.

58.Марков Ю.Г., Михайлов М.В., Почукаев В.Н. Фундаментальные составляющие параметров вращения Земли в формировании высокоточных систем навигации космических аппаратов // Доклады РАН. 2013.Т.451. № 3. С-283.

59.Марков Ю.Г., Михайлов М.В., Перепелкин В.В., Почукаев В.Н., Рожков С.Н., Семенов А.С. Анализ влияния различных возмущающих факторов на высокоточный прогноз орбит космических аппаратов// Космические исследования. 2016.Т.54. № 2. С 164-172.

60.Марков Ю.Г., Миняев И.С. Об эволюции движения системы «планета-спутник» в поле притягивающего центра // Астрономический журнал. 1992. Т. 69, вып. 2, С. 416-427.

61.Марков Ю.Г., Миняев И.С. Пространственный вариант задачи «деформируемая планета-спутник» в поле притягивающего центра // Космические исследования. 1994. Т32. Вып. 6. С. 89-98.

62.Марков Ю.Г., Дасаев Р.Р., Перепелкин В.В., Синицын И.Н., Синицын В.И. Стохастические модели вращения Земли с учетом влияния Луны и планет // Космические исследования. 2005. Т.43. № 1. С.57-66.

63.Марков Ю.Г., Перепелкин В.В., Чазов В.В., Шемяков А.О. Фундаментальные параметры вращения Земли в определении точности долгосрочных эфимеридно-временых поправок в спутниковой навигации//Доклады РАН. 2015. Т 465. №6. С. 678.

64.Марков Ю.Г., Перепелкин В.В., Крылов С.С. Колебания полюса Земли с учетом флуктуационно-диссипативных возмущений //Доклады РАН. 2016. Т. 471. №6. С. 665-670.

65.Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В., Синицын И.Н. Развитие методов построения моделей движение полюса Земли // Астрономический журнал.2010. Т.87, № 9.

66.Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Стохастическая модель движения полюса деформируемой Земли //Доклады Академии наук. 2002. Т.385. №2. С.189-192.

67.Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Нелинейные стохастические корреляционные модели движения полюса деформируемой Земли // Астрономический журнал. 2003. Т. 80. №2. С.186-192.

68.Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Влияние параметрических флуктуационно-диссипативных сил на движение полюса Земли // Доклады Академии наук. 2004. Т. 395. № 1. С. 51-54.

69.Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Стохастическая модель движения полюса деформируемой Земли //Доклады Академии наук. 2002. Т.385. №2. С.189-192.

70.Марков Ю.Г., Скоробогатых И.В. Определение частот колебаний неоднородного вращающегося осесимметричного тела // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 6. С. 83-91.

71. Молоденский М. С. Основные вопросы геодезической гравиметрии - Труды Центрального н.-и. института геодезии, аэросъемки и картографии». 1945. вып. 42. 111 с.

72.Мориц Г., Мюллер А. Вращение Земли. Теория и наблюдения К.: Наук. Думка. 1992. 512с.

73.Мельхиор П. Физика и динамика планет. М.: Мир. Т.1. 1975. 575 с.

74.Мьо Зо Аунг О влиянии полюсного прилива на установившееся движение земного полюса // Труды МАИ. № 116. 2021.

75.Мьо Зо Аунг Деформации вязкоупругого слоя Земли под действием сил притяжения Луны и Солнца // Труды МАИ. № 133. 2023.

76.Мубаракшина Р.Р, Андреев А.О., Нефедьев Ю.А., Демина Н.Ю. Создание гармонических моделей динамики полюсов планет на основе спутниковых наблюдений и корреляционно-спектрального подхода // Журнал технической физики.2024.Т.94. №12.С.2040-2043.

77.Перепелкин В.В. Вращение деформируемой Земли с учетом флуктуационно-диссипативных моментов сил // Известия РАН МТТ. 2006. №4. С. 119-130.

78.Перепёлкин В.В. Флуктуации колебательного процесса полюса деформируемой Земли при нестационарных возмущениях // Известия РАН МТТ. 2016. №6. С.44-51.

79.Перепёлкин В.В. Колебательные процессы в движении земного полюса на частоте прецессии орбиты Луны // Изветия РАН. МТТ.2018. №3. С. 38-44.

80.Перепелкин В.В. Модель движения земного полюса с учетом лунно-солнечных возмущений // Известия РАН. МТТ. 2019. №3. С. 118-123.

81. Перепелкин В.В., Рыхлова Л.В., Филиппова А.С. Долгопериодические вариации в колебательном процессе земного полюса, вызванные лунным возмущением // Астрономический журнал 2019. Т. 96. № 3. С. 255 - 264.

82.Перепелкин В.В., Рыхлова Л.В., Вэй Ян Сое О синфазности вариаций параметров движения земного полюса и прецессии орбиты Луны // Астрономический журнал 2022. Т. 99. № 1. с. 75-87.

83.Перепёлкин В.В., Румянцев Д.С., Вэй Ян Сое. Прогнозирование колебаний земного полюса приизменений средней частоты его движения // Космонавтика и ракетостроение. 2020. 5(116). С. 5-11.

84.Перепелкин В.В., Скоробогатых И.В., Мьо Зо Аунг Уточненная модель полюсного прилива вязкоупругой Земли // Космонавтика и ракетостроение. 2020. 6(117). С. 12-18.

85.Перепелкин В.В., Скоробогатых И.В., Мьо Зо Аунг Динамический анализ установившегося колебательного процесса Земного полюса// Известия РАН. МТТ. №5. 2021. С.141-151.

86.Слудский Ф. А. Общая теория фигуры земли // Математический сборник 1888. Т.13. №4. С.633 - 706.

87.Смарт У.М. Небесная механика. М.: Мир, 1965.504 с.

88.Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения Земли. М.: Наука, 2002. 376 с.

89.Сидоренков Н.С. Природа амплитудной модуляции чандлеровского движеня полюса // Известия Главной астрономической обсеватории в Пулкове. 2013. №220. С143-148.

90.Сидоренков Н.С., Бизуар К., Зотов Л.В., Салстейн Д. Момент импульса атомосферы // Природа 2014. Т. 1184. №4. С. 22-28.

91.Сидоренков Н.С. Соизмеримости между частотами земных процессов и частотами системы Земля-Луна-Солнце // Процессы в геосредах. 2015. Т.3. №3. с. 88-99.

92.Сидоренков Н.С. Геодинамические причины декадных изменений климата // Земля и Вселенная. 2016. №3. С. 25-36.Пуанкаре А. Избранные труды. Т1. Новые методы небесной механики. М.: Наука, 1971,772 с.

93.Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983. Т.1, 2, 528 с., 560 с.

94.Скоробогатых И.В., Мьо Зо Аунг Задача о вычислении частот приливов в рамках модели вязкоупругой Земли//18-я Международная конференция «Авиация и космонавтика - 2019». 18-22 ноября 2019 г. Москва. С. 199-200.

95.Скоробогатых И.В., Мьо Зо Аунг Уточнение вращательной деформации модели вязкоупругой Земли // 19-я Международная конференция «Авиация и космонавтика» 23-27 ноября 2020г. Москва. С.479.

96.Скоробогатых И.В., МьоЗоАунг О влиянии выбора модели полюсного прилива на оценку параметров установившегося чандлеровского колебания земного полюса//ХХП Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2021) 4-13 сентября 2021г. Алушта, Крым.

97.Тихомирова П.П., Шатина А.В., Шерстнев Е.В. Приливные деформации вязкоупругой планеты // Известия РАН МТТ 2018 №6, стр. 110-117.

98.Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.: Едиториал УРСС. 2004. 504 с.

124

99.Филиппова А.С.Динамический анализ колебательного процесса полюса Земли // Изв. РАН. МТТ. 2015. №6. С.26-38.

100. Черноусько Ф.Л. О движении вязкоупругого твердого тела относительно центра масс // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1980. № 1. С. 22.

101. Шатина А.В., Борец А.С. Математическая модель гравитационного потенциала планеты с учетом приливных деформаций. Russian technological Journal. 2024, 12(2), стр. 77-89.

102. International Earth Rotation and Reference Systems Service - IERS Annual Reports (http: //www.iers.org).

103. Global Geodynamic Project (http:// isdc.gfz-potsdam.de)

104. The JPL Horizons https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons/

105. Adam M. Dziewonski, Don L. Anderson Preliminary Reference Earth Model - Physics of the Earth and Planetary Interiors 25, 297 - 356 (1981).

106. Andoyer H. Cours de mecanique celeste. Paris, Gauthier-Villars, v.l, 1923; v.2,1926.

107. Andreev A, Mubarakshina R, Nefedyev Y, Analysis of the Earth's Pole Dynamics by Means of Regression Modeling //Proceedings of ITNT2021-7th IEEE International Conference on Information Technology and Nanotechnology.-2021.

108. Barkin M.Yu., Krylov S.S., Perepelkin V.V. Modeling and analysis of the Earth pole motion with nonstationary perturbations // IOP Conf. Series: Journal ofPhysics: Conf. Series 1301 (2019) 012005. doi:10.1088/1742-6596/1301/1/012005

109. Bizouard C., Remus F., Lambert S., Seoane L., and Gambis D. The Earth's variable Chandler wobble // Astronomy and astrophysics, A106 (2011)

110. Bizouard C., Zotov L., Sidorenkov N. Journal of Geophysical Research D: Atmospheres // 119. 21. (2014).

111. Florian Seitz, Jochen Stuck, Maik Thomas Consistent atmospheric and oceanic excitation of the Earth's free polar motion - Geophysical Journal International 157, 25 - 35 (2004).

112. Florian Seitz, S. Kirschner, D. Neubersch Determination of the Earth's pole tide Love number k2 from observations of polar motion using an adaptive Kalman filter approach - Journal of geophysical Research 117, B09403 (2012).

113. Krylov S.S., Perepelkin V.V., Filippova A.S. Estimation of the contribution of geophysical perturbations to the Earth pole oscillatory process at the precession frequency of the lunar orbit // Materials Science and Engineering 927 (2020) 012036 doi:10.1088/1757-899X/927/1/012036

114. Hu X.-G., Liu L.-T., Ducarme B., Xu H. J. And Sun H.P. Estimation of the pole tide gravimetric factor at the chandler period through wavelet filtering - Geophys. J. Intern. 169, 821 (2007)

115. Schubert G 2007 Treatise on Geophysics vol. 3 (Amsterdam:Elsevier)

116. Schuh H., Nagel S., Seitz N. Linear drift and periodic variations observed in long time series of polar motion // Journal of Geodesy. 74. (2001). https://doi.org/10.1007/s001900000133

117. McCarthy D., Luzum B. Path of the mean rotational pole from 1899 to 1994 // Geophysical Journal International. 125, 2, (1996) https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1996.tb00024.x

118. Malkin Z., Miller N. Chandler wobble: two more large phase jumps revealed // Earth Planet. 62. (2010). https://doi.org/10.5047/eps.2010.11.002

119. Perepelkin V. and Rumyantsev D. IEEExplore (2020) doi: 10.1109/STAB49150.2020.9140555.

120. Skorobogatykh I.V., Myo Zo Aung, Perepelkin V.V. Refinement of the Rotational Deformation of Viscoelastic Earth // Journal of Physics: Conference Series. Vol.1705 (2020) FADU 2019. 9-12 January. Moscow. Russian Federation.

121. Skorobogatykh I.V., Myo Zaw Aung About the calculation of the frequencies of lunar-solar in the model of viscoelastic Earth // EGU General Assembly 2020, Online, 4-8 May 2020.

122. Skorobogatykh I.V., Krylov S.S., Perepelkin V.V., Myo Zo Aung On the influence of the method for estimating the parameters of the pole tide on the amplitude of the steady motion of the earth's pole// Journal of Physics: Conference Series 1925 (2021).

123. Sidorenkov N.S. The Chandler Wobble of the Poles and its Amplitude Modulation // Book of abstracts Journees 2014 Systems de reference spatiotemporels "Resent development and prospects in ground-based and space astrometry". Pp. 195197.

124. Zhou Y H, Salstein D A, Chen J L Revised atmospheric excitation function series related to Earth'svariable rotation under consideration of surface topography // J. Geophys. Res. 2006 111 D12108

125. Zotov L., Bizouard C. On modulations of the Chandler wobble excitation // Journal of Geodynamics. 62. 2012.

126. Zotov L., Bizouard C., Shum C.K. A possible interrelation between Earth rotation and climatic variability at decadal time-scale // Geodesy and Geodynamics 7. 3 (2016).