Коллективная алгебраическая динамика тождественных частиц на единой мировой линии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Хасанов, Илдус Шевкетович

• Хасанов, Илдус Шевкетович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Хасанов, Илдус Шевкетович

Содержание

Введение

1 Концепция единой Мировой линии и алгебродинамический подход

к теории поля

1.1 «Одноэлектронная Вселенная»

Штюкельберга—Уилера—Фейнмана

1.2 Основные идеи геометро- и алгебродинамики. Алгебро-механическая конструкция Гаусса

1.3 Твисторные структуры и единая Мировая линия

1.4 Тахионная мировая линия: «эффект размножения» частиц-источников и каустики-сигналы

1.5 Комплексификация пространства-времени и комплексная мировая линия

1.6 Заключительные замечания

2 Основные положения единой алгебраической динамики

2.1 Самосогласованная алгебраическая кинематика тождественных частиц на единой Мировой линии

2.2 Методы решения и свойства

систем полиномиальных уравнений

2.3 Класс «инерциальных» систем отсчета и закон сохранения импульса как следствие полиномиальной динамики

2.4 Механика Ньютона и алгебраическая динамика: сравнительный анализ

3 Форм\лы Вне га и законы сохранения

3.1 Алгебраическая динамика на неявно заданной единой Мировой

линии с полиномиальной зависимостью коэффициентов от времени

3.2 «Усиленная» теорема вириала как аналог закона сохранения энергии

3.3 Закон сохранения момента импульса

3.4 ЗБ-обобщение полиномиальной динамики

3.5 Заключительные замечания

4 Динамическая структура светового конуса и лоренц-инвариантная

динамика на полиномиальной мировой линии

4.1 Законы сохранения для полиномиальных мировых линий в естественной параметризации

4.2 «Времениподобные» полиномиальные мировые линии и лоренц-инвариантная динамика

4.3 Асимптотическое поведение: разбегание, образование пар, формирование кластеров

4.4 Полевые и твисторные структуры, связанные с единой Мировой линией

4.5 Заключительные замечания

Заключение

Литература

А Пример полиномиальной динамики

В Формулы Виета и тождества Ньютона

С Структура матриц Сильвестра и законы сохранения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коллективная алгебраическая динамика тождественных частиц на единой мировой линии»

Введение

Несмотря на все успехи современной теоретической физики, создание общей, основанной лишь на фундаментальных принципах теории движения и взаимодействия частиц остается неприступной задачей как на квантовом, так и на классическом уровне. Имеющиеся на данный момент попытки построения принципиально новых, или даже просто свободных от расходимостей теорий, встречают неразрешимые трудности. В частности, квантовая теория поля, по мнению многих физиков [I; 2], может рассматриваться не более чем приближение, обусловленное непониманием подлинной природы механизма взаимодействия частиц. Поэтому всегда актуальными остаются попытки разработать принципиально новые подходы к проблеме физических взаимодействий, в том числе к задаче построения теории, не использующей методов перенормировок [3, с. 460], или, более радикально, предлагающей альтернативу парадигме классической и квантовой теориям поля.

В попытке сформулировать такой подход, в настоящей работе мы исследуем внутренние свойства некоторых алгебраических структур (в первую очередь систем полиномиальных уравнений) и, на их основе, предлагаем чисто алгебраическое, не использующее дифференциальных уравнений описание коллективной динамики системы частиц. С физической точки зрения, развиваемый подход близок к концепции единой Мировой линии («одноэлектронной Вселенной»), предлагавшейся ранее Штюкельбергом, Уилером и Фейнманом, а также к теории прямого межчастичного взаимодействия (см., например, [4]).

Целью данной работы является построение алгебраической динамики коллектива (тождественных точечных) частиц на единой Мировой линии. Для этого необходимо, в частности:

1. Выяснить возможные механизмы возникновения системы тождественных частиц, «населяющих» единую Мировую линию.

2. Выявить структуру динамических законов, определяющих корреляции в положении и движении частиц на единой Мировой линии.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Определить способ задания и выделить класс мировых линий, допускающих возникновение на них динамически коррелированных систем тождественных частиц.

2. Изучить основные свойства индуцированной коллективной динамики, определяемой свойствами корней систем алгебраических (полиномиальных) уравнений.

3. Описать полную структуру законов сохранения, определяющих коллективную динамику частиц на единой Мировой линии.

Резюмируя, основной целыо исследования является построение самосогласованной динамики системы тождественных частиц, индуцированной только внутренними алгебраическими свойствами единой Мировой линии.

Методы исследования. В настоящей работе для анализа поведения решений системы полиномиальных уравнений применялся математический аппарат линейной и нелинейной алгебры [5; 6]. Широко использовались также методы символьной компьютерной алгебры и численные методы расчета.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что полученные в ней новые и подчас неожиданные связи между алгебраическими структурами и физическими законами (в том числе между формулами Виета для корней полиномиальных уравнений и законами сохранения) могут способствовать более глубокому пониманию механизма взаимодействия элементарных частиц и структуры динамики в системах многих частиц. Указанные связи имеют по существу универсальный, не зависящий от конкретного типа взаимодействия характер, и потому могут быть использованы для построения более простых и эффективных моделей описания коллективной динамики в плазме, молекулярных комплексах и в других системах большого числа частиц нескольких видов.

В работе развиты новые методы анализа алгебраических структур и предложена их возможная физическая интерпретация. Полученная в результате связь

между алгебраическими структурами и физическими величинами может способствовать более глубокому пониманию природы и механизма взаимодействия элементарных частиц и некоторых проблем релятивистской динамики.

Основные новые результаты, полученные в работе:

1. Установлены фундаментальные связи формул Виета для корней полиномиальных уравнений с законами сохранения. В частности, показана связь линейной по корням формулы Виета с законом сохранения полного импульса в системе (двух типов) частиц на любой (неявно заданной) «полиномиальной» мировой линии.

2. Для неявно заданных «полиномиальных» мировых линий с дополнительной полиномиальной зависимостью коэффициентов от времени, получена связь квадратичной по корням формулы Виета с аналогом закона сохранения энергии, представляющим собой «усиленный» вариант известной в механике теоремы вириала. Установлено также свойство сохранения полного момента импульса.

3. Для системы тождественных копий-частиц, возникающих на параметрически заданной полиномиальной мировой линии, в процессе их «детектирования» по световому конусу инерциального наблюдателя, доказано выполнение полной системы лоренц-инвариантных законов сохранения. Установлена целочисленность значений аналога полной энергии системы копий-частиц. Изучена асимптотическая (при больших значениях собственного времени наблюдателя) динамика системы частиц, в том числе эффекты «разбегания», образования пар и формирования кластеров.

Достоверность результатов обеспечивалась использованием хорошо разработанного аппарата нелинейной алгебры и систем компьютерного счета, а обоснованность физической интерпретации обеспечивалась её сопоставлением с канонической структурой классической механики и релятивистской динамики частиц.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трёх приложений. Полный объем диссертации составляет 132 страницы с 27 рисунками. Список литературы содержит 118 наименований.

Во введении дан обзор предшествующих работ, использующих (прямо или косвенно) концепцию единой Мировой линии, сформулированы цели и задачи

исследования, методы исследования, отмечена научная новизна тематики диссертации, обоснована актуальность и теоретическая значимость данной работы, перечислены конференции и семинары, на которых проводилась апробация и обсуждение данной работы, приведены основные результаты работы и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлена концепция «одноэлекгронной Вселенной», послужившая одной из мотиваций данного исследования, разъяснено общее понятие единой Мировой линии. Рассмотрены близкие по исходным посылкам и изучаемым структурам подходы других авторов и возникающие трудности на пути реализации данной концепции. Обозначены основные идеи и методы, развиваемые в диссертации. Сформулированы, в частности, основные положения алгебродинамического подхода к теории поля и объяснена его связь с концепцией единой Мировой линии. Проанализированы другие попытки описания коллективной динамики многих частиц и их связи с представленным подходом.

Во второй главе развит алгебраический аппарат для описания плоской (2Э) динамики коллектива точечных частиц на одной мировой линии. Основная идея этого описания состоит в неявном задании мировой линии с помощью системы (двух) алгебраических, а конкретно, полиномиальных уравнений, содержащих параметр времени. При этом естественно возникают два вида (Я- и С-) частиц, сопоставляемых вещественным и комплексно-сопряженным решениям генерирующей системы уравнений, соответственно. В некоторые моменты времени, отвечающие образованию кратных корней, происходит аннигиляция двух Я-частиц с последующим образованием пары комплексно-сопряженных корней, сопоставляемых одной (композитной) С-частице; в другие моменты времени имеет место обратный процесс (рождение пары Я-частиц). Показано, что при переходе в систему отсчета, имитирующую инерциальную, линейная по корням формула Виета обеспечивает выполнение закона сохранения полного импульса в любой рассматриваемой системе Л-С частиц. В заключение проведен сравнительный анализ представленной «полиномиальной динамики» с канонической Ньютоновской механикой.

Третья глава посвящена общему анализу связей формул Виета и законов сохранения в системе К-С частиц, локализованных па произвольной неявно заданной мировой линии. При этом, в отличие от второй главы, рассматривается случай полиномиальной зависимости коэффициентов от временного параметра.

В этом случае, помимо закона сохранения импульса, выполняются и остальные вращательно-инвариантные законы сохранения. А именно, квадратичные по корням формулы Виета обеспечивают выполнение «усиленной» теоремы вириала, известной из классической механики и выступающей здесь в роли аналога закона сохранения энергии. Продемонстрировано также выполнение закона сохранения полного момента импульса в произвольной системе Я-С частиц, отвечающей мировой линии вышеуказанного вида. Рассмотрено также ЗБ обобщение описанной выше конструкции и установлено, что при этом все основные законы сохранения остаются справедливыми для произвольной системы Я-С частиц, т.е. для произвольной мировой линии рассматриваемого вида.

В четвертой главе предпринята попытка релятивистского обобщения конструкции, описанной во второй и третьей главах. При этом сама по себе единая Мировая линия для простоты задается привычным параметрическим образом (с полиномами в роли параметризующих функций) и, как следствие, описывает кинематику одной единственной частицы. В дополнение, однако, рассматривается процесс ее «детектирования» наблюдателем посредством его локального светового конуса, т.е. с помощью светоиодобных сигналов от точек на Мировой линии. В таком случае эффективно опять-таки будет наблюдаться множество копий-частиц (Я-С типов) на Мировой линии, отвечающих вещественным или комплексно сопряженным корням уравнения светового конуса наблюдателя.

Показано, что для инерциального наблюдателя (и только для него) индуцированная динамика возникающей системы Я-С частиц подчиняется полной системе лоренц-инвариантных законов сохранения. Более того, доказана цело-численность значений величины (аналога) полной энергии покоя системы Я-С частиц, а также получена явная формула для значений полного момента импульса. Для т.н. «асимптотически времени-подобных» мировых линий изучено поведение системы Я-С частиц при больших значениях собственного времени наблюдателя. Показано, что при этом возникает эффект взаимного «разбе-гания» частиц (с уменьшающимися значениями скоростей, т.е. с замедлением), сопровождающегося образованием пар и, при кратных степенях параметризующих полиномов, - формированием кластеров. Проведено сравнение построенной лоренц-инвариантпой схемы полиномиальной динамики с основными положениями специальной теории относительности и с канонической структурой релятивистской динамики.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях и научных семинарах, в частности на:

• XLVII Всероссийской научной конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники в РУДН, г. Москва в 2012 г.,

• IL Всероссийской научной конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред и оптоэлектроники в РУДЫ, г. Москва в 2013 г.,

• L Всероссийской научной конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники в РУДН, г. Москва в 2014 г.,

• Международной конференции по полиномиальной компьютерной алгебре в Математическом институте Эйлера, г. Санкт-Петербург в 2014 г.,

• 17-ом Международном совещании по компьютерной алгебре в ОИЯИ, г. Дубна в 2014 г.,

• Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (RUSGRAV-15) в КГУ, г. Казань в 2014 г.

• 18-ом Международном совещании по компьютерной алгебре в ОИЯИ, г. Дубна в 2015 г.,

• Международной конференции по теоретической физике в МФТИ, г. Москва в 2015 г.

Публикации Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 научных работах ["—14]. три (3) из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК или в зарубежных рецензируемых изданиях из списков Web of Science и Scopus [7; 8; 14], а пять (5) — в материалах и тезисах докладов международных и всероссийских конференций [9—13].

Личный вклад автора состоял в развитии алгебраической реализации концепции единой Мировой линии. Он детально проанализировал, с использованием аналитических и численных вычислений, свойства динамики, индуцированной системами полиномиальных уравнений, а также представил наглядную

визуализацию такой коллективной динамики и предложил физическую интерпретацию полученных результатов.

Научная новизна работы состоит прежде всего в том, что впервые предложена новая алгебраическая схема задания мировых линий и установлены фундаментальные связи формул Виета для корней полиномиальной системы уравнений с законами сохранения в индуцированной динамике системы частиц на единой Мировой линии. Все результаты, выносимые автором на защиту, являются вполне оригинальными и ранее не рассматривались.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Произвольная мировая линия, заданная неявно посредством системы полиномиальных уравнений с параметром времени, порождает коррелированную динамику системы двух типов тождественных частиц, сопоставляемых корням такой системы и включающую их взаимопревращения. После перехода к инерциальной системе отсчета, в любой такой системе частиц выполняется закон сохранения полного импульса.

2. Для всех неявно заданных полиномиальных мировых линий, с полиномиальной зависимостью коэффициентов от времени, индуцированная коллективная динамика подчиняется законам сохранения полного импульса, момента импульса и аналога полной механической энергии.

3. Для любой параметрически заданной «полиномиальной» мировой линии коллективная динамика системы частиц, определяемой структурой светового конуса инерциального наблюдателя, подчиняется полной системе лоренц-инвариантных законов сохранения. При больших значениях собственного времени наблюдателя имеет место эффект разлёта частиц от точки наблюдения, сопровождающегося образованием пар и возможным последующим формированием кластеров из многих частиц.

Глава 1

Концепция единой Мировой

линии и

алгебродинамический подход к теории поля

Физические законы могли бы найти свое наисовершеннейшее выражение как взаимоотношения между Мировыми линиями.

Г. Минковский [ 15]

1.1 «Одноэлектронная Вселенная»

Штюкельберга—Уилера—Фейнмана

Одной из, возможно, наиболее красивых и необычных идей, связанных с основами теоретической физики, является гипотеза Уилера—Фейнмана, известная как концепция «одноэлектронной Вселенной». Любопытная история её появления была описана Р. Фейнманом в его Нобелевской лекции 1965 г. [16]. Однажды профессор Дж. Уилер позвонил своему аспиранту Р. Фейнману и взволнованно сказал: «Фейнман, я знаю, почему все электроны имеют одинаковые заряд и массу! ... Потому что это один и тот же электрон!». Действительно, выдвинутая им

space

Рисунок 1.1: Единая Мировая линия, множество точечных «частиц» (при £ = £2) и события рождения (при £ = £1) и аннигиляции (при £ = £3) пары «частиц»

гипотеза, основанная на понятии коллектива частиц, расположенных в разных точках на единой Мировой линии, легко объясняет свойства идентичности элементарных частиц одного типа, а также процессы аннигиляции/рождения пары «частица-античастица» (в которых «позитрон» расматривается как «электрон», движущийся обратно во времени [17]). Продолжая тот же телефонный разговор, Р. Фейнман заметил: «Но, профессор, ведь позитронов куда меньше, чем электронов». На что Дж. Уилер ответил: «О, может быть, они запрятаны в протонах или где-то еще». К сожалению, из-за множества возникших трудностей, в том числе и в объяснении существования асимметрии между числом частиц и античастиц, парадигма «одноэлектронной Вселенной» так и не была полностью реализована. Несмотря на это, отдельные попытки построения физически реалистичных моделей динамики в рамках этой и подобных концепций продолжаются до настоящего времени.

Следует заметить, что идея, близкая гипотезе Уилера об «одноэлектронной Вселенной» и о «позитроне как движущемся вспять по времени электроне», высказывалась ранее в пионерских работах швейцарского физика Э. Штюкель-берга [18; 19]. Он допустил существование мировых линий (запрещенных в канонической СТО), содержащих участки, соответствующие движению частиц со сверхсветовыми скоростями. Для таких мировых линий соответствующая (гипер-)плоскость равных значений времени-подобной координаты £ может пересекаться с этой линией в некотором (в общем случае большом) числе точек. Физически, эта конструкция формирует коллектив тождественных частиц, расположенных на единой Мировой линии. Тогда, если считать, что координата I монотонно возрастает, то некоторые две частицы могут возникнуть в некоторый

момент t — ti либо исчезнуть в момент t = ¿3 (см. Рисунок 1.1). Таким образом, эти события могут, по крайней мере качественно, моделировать процессы рождения (уничтожения) пары «частица-античастица».

Э. Штюкельберг [18] рассматривал переменную t в качестве четвертой координаты и не считал её реальным физическим эволюционным параметром. Позднее, в работе [19], он ввёл времениподобный параметр Л, монотонно возрастающий вдоль траектории и пропорциональный собственному времени т частицы. После этого все уравнения могут быть представлены в релятивистски-инвариантной форме. С другой стороны, сегменты траектории, соответствующие различным по знаку приращениям г и Л, т.е. отвечающие условию dr/dX < О, moj ут соответствовать движению античастицы как обратного к направлению собственного времени «основной» частицы.

Однако Л-параметризация фактически является параметризацией истории одной отдельной частицы, что не соответствует концепции «одноэлектронной Вселенной». На самом же деле, для того, чтобы обеспечить существование множества тождественных частиц на единой Мировой линии, следует рассматривать именно переменную t в качестве «истинного» времени. При этом, однако, скорости копий-частиц, которые должны измеряться по отношению к параметру t, на некоторых участках траектории (возможно, относительно малых) должны обязательно превышать скорость света (и даже обращаться в бесконечность в моменты аннигиляции/рождения, см. ниже).

Несмотря на то, что идеи Штюкельберга не были до конца реализованы, впоследствии многие из них (включая его оригинальную интерпретацию волновой функции, функционала действия и др.) получили развитие в работах других авторов в направлении, известном как «параметризованные релятивистские теории» (см. обзор [20] и ссылки в нем). В большинстве из них, дополнительный времениподобный параметр рассматривался как лоренц-инвариантный эволюционный параметр или даже как абсолютное ньютоновское время [21 23].

С другой стороны, в статье [24] была доказана инвариантность действия Штюкельберга по отношению к преобразованиям Галилея. Несмотря на это, истинный физический смысл переменной t до сих пор остаётся неясным. При этом, так или иначе, множество положений «частиц» на единой Мировой линии, относящихся к одному и тому же значению t, не является причинно связанным, что представляется одной из главных трудностей теории.

Развитию последовательного релятивистского описания посвящена 4-я глава диссертации. Однако в первую очередь, особенно с учетом упомянутой выше инвариантности схемы Штюкельберга относительно преобразований Галилея, представляется естественным сосредоточиться на возможностях чисто нерелятивистской реализации гипотезы «одноэлектронной Вселенной», основываясь, в частности, на схеме процессов, изображенной на Рисунке 1.!. Такая алгебраическая реализация и рассматривается в двух следующих главах диссертации.

1.2 Основные идеи геометро- и алгебродинамики. Алгебро-механическая конструкция Гаусса

Гипотеза «одноэлектронной Вселенной» по существу основана на предположении о том, что сами по себе свойства мировых линий, рассматриваемых как кривые в 3-х мерном (4-х мерном) физическом пространстве (пространстве-времени), могут иметь прямое отношение к реальной кинематике и динамике элементарных частиц. В этом смысле эта гипотеза лежит в русле одного из наиболее значительных направлений развития теоретической физики XX века, а именно т.н. «геометродинамики» [25].

Под геометродинамикой в широком смысле слова обычно понимают все фундаментальные геометрические теории, начиная с самой общей теории относительности и ее обобщений на пространства с кручением, неметричностью и многомерные пространства [26]. При этом предполагается, что вид тензора энергии-импульса материи, как и лагранжиана физических полей, не выбирается из каких-либо феноменологических предположений, а индуцируется самой геометрией. Например, в конформной геометродинамике Горбатенко-Пушкина [27; 28] в качестве исходной геометрии принимается геометрия Вейля [29; 30], послужившая в свое время основой единой теории гравитации и электромагнетизма, предложенной Г. Вейлем [31]. При этом вместо постулирования некоторого лагранжиана в качестве базовых выбираются уравнения следующего вида:

= (1.1)

в левой части которых фигурирует тензор Риччи (точнее, его симметричная часть) в пространстве Вейля. Выделяя теперь чисто риманову составляющую

этого тензора, уравнения (1.1) можно переписать в виде

- = А„„ + Ащм - 2д^А?р - 2А»А„ - д[ШАрр =: Г^, (1.2)

где эффективный тензор энергии-импульса материи выражен через 4-х вектор неметричности пространства Вейля А^ и имеет поэтому чисто геометрическое происхождение. Более подробно с основаниями и современным статусом конформной геометродинамики можно ознакомиться по работам се создателей [27; 28] (см. также [32]).

В более узком смысле под геометродинамикой понимают теории типа Райнича-Уилера [33; 34], в которых общепринятые уравнения типа системы Эйнштейна-Максвелла переписываются (после исключения тензора напряженности электромагнитного поля) в форме весьма сложных уравнений, содержащих только сам метрический тензор и его производные. Иначе говоря, непосредственно изучается «след», оставляемый элетромагнитным полем на метрике пространства-времени. Недостатком таких теорий является, очевидно, то, что их исходными составляющими по-прежнему остаются уравнения материальных полей, не имеющие прямого геометрического смысла и достаточно феноменологические и неоднозначные по существу.

По нашему мнению, истинная геометродинамика не только должна иметь в качестве основы некоторый фиксированный геометрический фон. Сверх этого, сами физические поля и частицы должны иметь чисто геометрическое происхождение. Например, поля могут быть связаны с характеристиками поверхностей (минимальной кривизны и пр.), конгруенций специального вида, ковари-антно постоянных векторных полей [32] и т.п. Что касается частиц, то они могут рассматриваться или как особые точки этих геометрических структур-полей, или как «уплотнения» (солитоноподобные структуры) соответствующих локальных распределений кривизны и проч. (см. например, [35]).

Такая программа представляется наиболее общей и достоверной, хотя и очевидным образом трудной при реализации попыток построения реалистической физической теории. При этом первой из трудностей является выбор самого геометрического «фона» из множества имеющихся альтернатив — геометрий различных размерностей, топологий и дифференциально-геометрических структур. Разнообразие возможностей и отсутствие жестких критериев выбора делает задачу нахождения «истинной» физической геометрии, по существу, неразрешимой.

Ситуация кардинально меняется, если в основу теории кладется некоторая алгебраическая структура. Группа ее автоморфизмов может, в духе Эрланген-ской программы Ф. Клейна, выступать в роли группы движений пространства, на котором задана алгебра (векторного пространства в случае линейной алгебры), превращающая последнее в многообразие с индуцированной алгебраической структурой метрической геометрией. В работах Г. Хестенеса подобная структура, в качестве которой рассматривалась, в частности, алгебра матриц Дирака, получила название алгебры пространства-времени [36]. В работах В. В. Кассан-дрова (см., например, [37; 38]) эта программа была дополнена рассмотрением функций над алгебрами, удовлетворяющих определенным дифференциальным соотношениям («условиям аналитичности»), аналогичным уравнениям Коши-Римана в комплексном анализе. Такие функции предлагалось рассматривать в качестве первичных физических полей, а обобщенные КР-уравнения — в качестве уравнений поля. Таким образом, в предложенной программе, т.н. «алгебро-динамике», и геометрия пространства-времени и полевая динамика предположительно должны следовать только из внутренних свойств некоторой первичной алгебраической структуры, скорее всего исключительной по своим внутренним свойствам.

В отличие от геометрий, многие алгебраические структуры допускают полную и достаточно простую классификацию, выделяющую среди их представителей исключительные. В частности, среди линейных алгебр таковыми, кроме комплексных чисел, являются алгебры кватернионов и октонионов (теоремы Фробениуса и Гурвица, см., например, [39]). Мы вернемся к более подробному рассмотрению динамики, индуцированной алгеброй (комплексных) кватернионов, в следующем разделе 1.5, а пока представим простую иллюстрацию общего алгебраического подхода на примере конструкции, предложенной в 1836 г. К. Ф. Гауссом [40] и использующей алгебру комплексных чисел.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хасанов, Илдус Шевкетович, 2015 год

Литература

1. Дирак П. Эволюция взглядов физиков на картину природы : пер. с англ. // Вопросы философии. — 1963. — Вып. 12. — С. 83—94. — Пер. по изд.: Dirac P. А. М. The Evolution of the Physicist's Picture of Nature // Scientific American. 1963. Vol. 208, issue 5. Pp. 45-53.

2. Фейнман P. КЭД - странная теория света и вещества / под ред. JI. Окуня ; пер. с англ. О. Тиходеевой, С. Тиходеева. — М. : Наука, 1988. — 144 с. — Пер. по изд.: Feynman R. QED, The Strange Theory of Light and Matter. Princeton : Princeton University Press, 1985.

3. Райдер JI. Квантовая теория поля / под ред. Р. Касимова ; пер. с англ. С. Азакова. — 1-е изд. — М. : Платон, 1998. — 508 с. — Пер. по изд.: Ryder L. Н. Quantum field theory. 2nd ed. Cambridge : Cambridge University Press, 1996.

4. Владимиров Ю. С., Турыгин А. Ю. Теория прямого межчастичного взаимодействия. — М. : Энергоатомиздат, 1986. — 133 с.

5. Гантмахер Ф. Теория матриц. — 5-е изд. — М. : Физматлит, 2004. — 320 с.

6. Морозов А. Ю., Шакиров Ш. Р. Новые и старые результаты в теории результантов // Теор. и мат. физ. — 2010. — Т. 163, № 2. — С. 222—257.

7. Kassandrov V. К, Khasanov I. S. Algebraic roots of Newtonian mechanics: correlated dynamics of particles on a unique worldline // J. Phys. A: Math. Theor. - 2013. - T. 46. - P. 175206 (16pp.)

8. Кассандров В. В., Хасанов И. Ш., Маркова Н. В. Algebraic dynamics on a single worldline: Vieta formulas and conservation laws // Вестник РУДН: Мат. Инф. Физ. - 2014. - Т. 2. - С. 169-180.

9. Kassandrov V. К, Khasanov I. S. Modelling of "polynomial" dynamics of an ensemble of identical particles on a unique worldline // International Conference Polynomial Computer Algebra. — ПОМИ им. В. А. Стеклова РАН. СПб., Апрель 2014. - С. 32-36.

10. Kassandrov V. К, Khasanov I. S. Twistor algebraic dynamics on a unique worldline // Мат-лы XV-й Российской Гравитационной конференции. — КГУ. Казань, Июль 2014. - С. 47-48.

11. Kassandrov V. V., Khasanov I. S. Self-consistent kinematics of identical particles on a unique worldline // Мат-лы XLVII Всеросс. научной конфер. по проблемам физики частиц, физики плазмы, конденсированных сред и оптоэлектроники. - РУДН. М., Май 2012. - С. 120 124.

12. Хасанов И. Формулы Виета и алгебраическая динамика // Мат-лы IL Всеросс. научной конфер. по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред и оптоэлектроники. — РУДН. М., Май 2013.-С. 94-98.

13. Кассандров В. В., Хасанов И. Ш. Алгебраические основания механики Ньютона: законы сохранения, индуцированные полиномиальными связями // Мат-лы L Всеросс. научной конфер. по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред и оптоэлектроники. — РУДН. М., Май 2014. - С. 37-40.

14. Kassandrov V. V., Khasanov I. S., Markova N. V. Collective Lorentz invariant dynamics on a single "polynomial" worldline // J. Phys. A: Math. Theor. — 2015. - T. 48 - P. 395204 (21 pp.)

15. Минковский Г. Пространство и время : пер. с нем. // УФН. — 1959. — Т. 69, № 2. — С. 303—320. — Пер. по изд.: Minkowski Н. Raum und zeit // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1909. Vol. 18. Pp. 7588.

16. Фейнман P. Развитие пространственно-временной трактовки квантовой электродинамики (Нобелевские лекции по физике 1965 г.)Пер. с англ. // УФН. - 1967. - Т. 91, № 1. - С. 29-48. - Пер. по изд.: Реуптап R. Р. The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics // Science. 1966. Vol. 153, no. 3737. Pp. 699-708.

17. Feynman R. P. The theory of positrons I I Phys. Rev. — 1949. — Vol. 76, issue 6. - Pp. 749-759.

18. Stueckelberg E. C. G. Remarque a propos de la création de paires de particules en théorie de relativité // Helv. Phys. Acta. — 1941. — Vol. 14. — Pp. 588594.

19. Stueckelberg E. C. G. La mécanique du point matériel en théorie de relativité et en théorie des quants // Helv. Phys. Acta. — 1942. — Vol. 15. — Pp. 23-37.

20. Fanchi J. Review of invariant time formulations of relativistic quantum theories // Found. Phys. - 1993. - Vol. 23, no. 3. - Pp. 487-548.

21. Enatsu H. Relativistic Hamiltonian formalism in quantum field theory and micro-noncausality // Progress of Theor. Phys. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — Pp. 236-264.

22. Horwitz L. P., Piron C. Relativistic dynamics // Helv. Phys. Acta. — 1973. — Vol. 46. - Pp. 316-326.

23. Pavsic M. Relativistic quantum mechanics and quantum field theory with invariant evolution parameter // II Nuovo Cimento A. — 1991. — Vol. 104, no. 9. - Pp. 1337-1354.

24. Cawley R. G. Observer theories based on Stueckelberg equations of motion // Int. J. Theor. Phys. - 1970. - Vol. 3, issue 6. - Pp. 483-505.

25. Визгин В. П. Единые теории в 1-й трети XX в. — М. : Наука, 1985. — 304 с.

26. Владимиров Ю. С. Пространство-время: явные и скрытые размерности. — 2 изд., перераб. и доп. - М. : ЛИБРОКОМ, 2010. - 208 с.

27. Пушкин А. Геометродинамика. — Саров : РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2005. — 242 с.

28. Рорбатенко М. Конформная геометродинамика: в 2-х кн.В 2 т. Т. 1. — Саров : РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2012.- 172 с.

29. Weyl H. Reine Infinitesimalgeometrie // Math. Z. - 1918. - Vol. 2. -Pp. 384-411.

30. Вейлъ F. Избранные труды. Математика. Теоретическая физика / пер. с нем. С. П. Демушкина. - М. : Наука, 1984. - С. 198-218. - Пер. по изд.: Weyl H. Gravitation und elektrizit // Sitzungsber. d. Berl. Akad. 1918.

31. Вейль Г. Пространство. Время. Материя / пер. с нем. В. П. Визгина. — 2 изд., испр. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 456 с. — Пер. по изд.: Weyl Н. Raum, Zeit, Materie / ed. by J. V. von Springer. Berlin : Springer, 1923.

32. Kassandrov V. V., Rizcallah J. A. Double gauge invariance and covariantly-constant vector fields in Weyl geometry I I Gen. Relativ. Gravit. — 2014. — Vol. 46, issue 8. - P. 1772.

33. Rainich G. Electrodynamics in the general relativity theory // Trans. Amer. Math. Soc. - 1925. - Vol. 27. - Pp. 106-136.

34. Уилер Д. Гравитация, нейтрино и Вселенная : пер. с англ. / под ред. Д. Иваненко. — М. : Изд. ин. лит., 1962. — 404 с. — Пер. по изд.: Wheeler J. А. Neutrinos, gravitation and geometry : пер. с англ. Princeton : Princeton Univ. Press, 1960.

35. Zhuravlev V. A topological interpretation of quantum theory and elementary particle structure // Grav. & Cosmol. — 2011. - Vol. 17, no. 3. — Pp. 201217.

36. Hestenes D. Space-Time Algebra. — 2nd ed. — Berlin : Birkhauser, 2015. — 102 pp.

37. Кассандров В. В. Алгебраическая структура пространства-времени и ал-гебродинамика. - М. : РУДН, 1992. - 152 с.

38. Кассандров В. В. Алгебродинамика: кватернионы, твисторы, частицы // Вестник РУДН. Серия: Физ. - 2000. - № 8. - С. 35^5.

39. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа / под ред. В. Донеченко. — М. : Наука, 1973. — 144 с.

40. Прасолов В. Многочлены. — 3. изд., испр. — М. : МЦНМО, 2003. 336 с.

41. Хованский А. Г. Малочлены. - М. : ФАЗИС, 1996. - 220 с.

42. Frayer С., Swenson J. A. Polynomial Root Motion // Amer. Math. Month. — 2010. - Aug. - Vol. 117, issue 7. - Pp. 641-646.

43. Kassandrov V. V. Biquaternion electrodynamics and Weyl-Cartan geometry of space-time // Grav. & Cosmol. - 1995. - Vol. 1, no. 3. - Pp. 216-222.

44. Пенроуз P., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Т. 2. — М. : Мир, 1987.- 572 с.

45. Kassandrov V. V. General solution of the complex 4-eikonal equation and the "algebrodynamical" field theory // Grav. & Cosmol. — 2003. — Vol. 8. — Pp. 57-62.

46. Терлецкий Я. П. Принцип причинности и второе начало термодинамики // ДАН СССР. - 1960. - Т. 133, № 2. - С. 329.

47. Терлецкий Я. П. Парадоксы теории относительности. — М. : Наука, 1966. — 120 с.

48. Feinberg G. Possibility of faster-than-light particles // Phys. Rev. — 1967. — Vol. 159, issue 5. - Pp. 1089-1105.

49. Sen A. Remarks on tachyon driven cosmology // Physica Scripta. — 2005. — Vol. 2005, no. 117. - Pp. 70-86.

50. Panda S., Sami M, Tsujikawa S. Inflation and dark energy arising from geometrical tachyons // Phys. Rev. D. - 2006. - Vol. 73, no. 2. - P. 023515.

51. Padmanabhan T. Accelerated expansion of the universe driven by tachyonic matter // Phys. Rev. D. - 2002. - Vol. 66, no. 2. - P. 021301.

52. Линде А. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. — 1-е изд. - М. : Наука, 1990. - 280 с.

53. Headrick М, Minwalla S., Takayanagi Т. Closed string tachyon condensation: An overview // Class, and Quant. Gravity. — 2004. — Vol. 21, no. 10. — P. 1539.

54. Ohmori K. A review on tachyon condensation in open string field theories. — 2001. — arXiv: hep-th/0102085.

55. Peskin M. E., Schroeder D. V. An Introduction To Quantum Field Theory. — Reading, US-MA : Perseus Books Publishing, 1995. — 842 pp.

56. Chodos A., Hauser A. /., Kostelecky V. A. The neutrino as a tachyon // Phys. Lett. B. - 1985. - Vol. 150, no. 6. - Pp. 431-435.

57. Мычелкин Э.,Денисюк Э. Нейтринный фон и кривые вращения галактик // Журнал проблем эволюции открытых систем. — 2009. — Т. 2, № 11. — С. 3-12.

58. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Теория поля. II т. — М. : Наука, 1973.

59. Бейтман Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн / под ред. Н. Кошлякова ; пер. с англ. JI. Брюхатова. — М. : Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958. — 180 с. — Пер. по изд.: Bateman Н. The Mathematical Analysis Of Electrical And Optical Wave-Motion On The Basis Of Maxwell's Equations. Cambridge, University Press, 1915. 160 pp.

60. Болотовский Б. M., Гинзбург В. Л. Эффект Вавилова-Черенкова и эффект Доплера при движении источников со скоростью больше скорости света в вакууме // УФН. - 1972. - Т. 106, № 4. - С. 577-592.

61. Болотовский Б. М., Быков В. 77. Излучение при сверхсветовом движении зарядов // УФН. - 1990. - Т. 160, № 6. - С. 141-161.

62. Kassandrov V. V., Trishin V. N. Effective connections and fields associated with shear-free null congruences // Gen. Rel. Grav. — 2004. — Vol. 36, no. 7. - Pp. 1603-1612.

63. Ibison M. Un-renormalized classical electromagnetism // Ann. Phys. — 2006. - Vol. 321. - Pp. 261-305.

64. Ibison M. A New Case for Direct Action // Phys. Interp. Rel. Theor. (PIRT). - Moscow, 2008. - Pp. 206-207.

65. Ibison M. Radiation as Self-Action via a Cosmological Mirror // The Astron, Rev. - 2012. - Vol. 7, no. 3. - Pp. 49-91.

66. Bolokhov S. V., Klenitsky A. N. On the construction of effective metrics in a relational model of space-time // Grav. & Cosm. — 2013. — Vol. 19, no. 1. — Pp. 35-41.

67. Кассандров В. Алгебродинамика: «предсвет», частицы-каустики и поток времени // Гиперкомплексные числа в геом. и физ. — 2004. — Т. 1, № 1. — С. 91-107.

68. Ефремов А. П. Кватернионные пространства, системы отсчета и поля. — М. : РУДН, 2005. - 373 с.

69. Efremov А. P. Solutions of dynamic equations in quaternion model of relativity // Adv. Sci. Lett. - 2010. - Vol. 3, issue 2. - Pp. 236-240.

70. Kassandrov V. V. Algebrodynamics in complex space-time and the complex-quaternionic origin of Minkowski geometry // Grav. & Cosm. — 2005. — Vol. 11. - Pp. 354-359.

71. Kassandrov V. V. Twistor algebraic dynamics in complex space-time and physical meaning of hidden dimensions // Proc. Int. Sci. Meet. "Phys. Interpr. Relativ. Theory" (PIRT). - Moscow, 2005. - Pp. 42-53.

72. Demianski M, Newman E. T. Combined Kerr-Nut solution of the Einstein field equations. Tech. rep. / Univ., Warsaw. Univ. of Pittsburgh. — 1966.

73. Иваненко Д. Д., Буринский А. Я. Гравитационные струны в моделях элементарных частиц // Вестник МГУ: Физ., Астрон. — 1975. — Т. 5. — С. 135-137.

74. Burinskii A. Ya. Twistorial analyticity and three stringy systems of the Kerr spinning particle // Phys. Rev. D. - 2004. - Vol. 70. - P. 086006.

75. Debney G. C., Kerr R. P., Schild A. Solutions of the Einstein and EinsteinMaxwell Equations // J. Math. Phys. — 1969. — Vol. 10, issue 10.

76. Kerr R. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics // Phys. Rev. Lett. — 1963. — Sept. — Vol. 11, issue 5.

77. Newman E. Т., Janis A. I. Note on the Kerr spinning-particle metric // J. Math. Phys. 1965. Vol. 6, issue 6.

78. Metric of a rotating, charged mass / E. T. Newman [et al.] // Journal of Mathematical Physics. — 1965. — Vol. 6, issue 6.

79. Carter B. Global structure of the Kerr family of gravitational fields // Phys. Rev. - 1968. - Vol. 174, issue 5.

80. Burinskii A. Ya. Emergence of the Dirac equation in the solitonic source of the Kerr spinning particle // Grav. & Cosmol. — 2015. — Vol. 21, issue 1. — Pp. 28-34.

81. Burinskii A. Ya. The Kerr geometry, complex world lines and hyperbolic strings // Phys. Lett. A. - 1994. - Vol. 185, 5-6. Pp. 441 445.

82. Burinskii A. Ya. Complex Structure of the Four-Dimensional Kerr Geometry: Stringy System, Kerr Theorem, and Calabi-Yau Twofold // Adv. in High Energy Phys. - 2013. - P. 509749.

83. Newman E. T. Maxwell's equations and complex Minkowski space // J. Math. Phys. - 1973. - Vol. 14, no. 1. - Pp. 102-103.

84. Lind R. W., Newman E. T. Complexiflcation of the algebraically special gravitational fields // J. Math. Phys. - 1974. - Vol. 15, no. 7. - Pp. 11031112.

85. Calabi E. The space of Kähler metrics // Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam. - 1954. - Pp. 206-207.

86. Vacuum configurations for superstrings / P. Candelas, G. T. Horowitz, A. Strominger, E. Witten // Nuclear Phys. B. - 1985. - Vol. 258. - Pp. 46-74.

87. Kassandrov V. V. Singular sources of Maxwell fields with self-quantized electric charge. - 2003. — arXiv: physics/0308045.

88. Kassandrov V. V. Nature of time and particles-caustics: physical world in al-gebrodynamics and in twistor theory. — 2003. — arXiv: hep-th/0312278.

89. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. — Мир, 1988. — 254 с.

90. Synge J. L. Geometrical mechanics and De Broglie waves. — Cambridge : Cambridge University Press, 1954. — 167 pp.

91. Кадомцев Б. Коллективные явления в плазме. — 2 изд., испр. и доп. — Наука, 1988.-304 с.

92. Solving polynomial equations: foundations, algorithms and applications / ed. by A. Dickenstein, I. Z. Emiris. — Berlin : Springer, 2005. — 436 pp.

93. Bezout E. Théorie générale des équations algébriques. — Paris : Impr. de P.-D. Pierres, 1779.

94. Kronecker L. Zur Theorie der Elimination einer Variabein aus zwei algebraischen Gleichungen. Werke. Bd. 2. — Leipzig, Teubner, 1897. — Pp. 113192.

95. Калинина E. AУтешев A. Ю. Теория исключения. — СПб. : СПбГУ, 2002. - 72 с.

96. Brill A. von Vorlesungen über ebene algebraische kurven und algebraische funktionen. — Braunschweig : Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn, 1925.

97. Kassandrov V. V. Algebrodynamics over complex space and phase extension of the Minkowski geometry. // Phys. Atom. Nuclei. — 2009. — Vol. 72. — Pp. 813-827.

98. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1 / пер. с фр. И. Малкина. — М. : Физматлит, 1960. 516 с.

99. Тихомиров В., Успенский В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Мат. проев. - 1997. - Т. 1. - С. 50-70.

100. Mead D. Newton's Identities // The Am. Math. Monthly. - 1992. - Vol. 99(8). - Pp. 749-751.

101. Goldstein H., Charles P. P., John L. S. Classical Mechanics. — 3rd ed. — NY : Addison Wesley, 2001. — 636 pp.

102. Akritas A. G. Sylvester's form of the resultant and the matrix-triangularization subresultant PRS method // Computer Aided Proofs in Analysis. — Springer, 1991. - Pp. 5-11.

103. Аржанцев И. В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. — М. : МЦНМО, 2003. - 68 с.

104. Jackson J. Classical Electrodynamics. — 3rd ed. — NY : Wiley, 1973. — 810 pp.

105. Ландау Л. Д., Лифилиц Е. М. Теоретическая физика. Механика. I т. — 3 изд. - М. : Наука, 1973. - С. 23-24.

106. Kassandrov V. V. Dimerous Electron and Quantum Interference beyond the Probability Amplitude Paradigm // Proc. Int. Sci. Meet. "Phys. Interpr. Relativ. Theory" (PIRT). - Moscow, 2009. Pp. 95 104.

107. Болотовский Б. // Проблемы теоретической физики и астрофизики: Сборник статей, посвященный 70-летию B.JI. Гинзбурга / под ред. JI. Келдыш. - Наука, 1989. - С. 24.

108. Kassandrov V. К, Rizcalla J. A. Algebrodynamical approach in field theory: bisingular solution and its modifications. — 1998. — arXiv: gr-qc/9809078.

109. Newman E. T. On a classical, geometric origin of magnetic moments, spin-angular momentum and the Dirac gyromagnetic ratio // Phys. Rev. D. — 2002. - Vol. 65. - P. 104005.

110. Adamo Т. M., Newman E. T. The real meaning of complex Minkowski-space world-lines // Class. Quant. Grav. - 2010. - Vol. 27. - P. 075009.

111. Burinskii A. Ya. Gravitational strings beyond quantum theory: Electron as a closed heterotic string // J. Phys.: Conf. Ser. — 2012. - Vol. 361. — P. 012032.

112. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. VIII т. — 4-е изд. — М. : ФМЛ, 2005.

113. Gordeyev А. N. Description of the electromagnetic interaction of relativis-tic particles by means of universal laboratory time // Theor. Math. Phys. (USA). - 1978. - Vol. 36. - Pp. 593-600.

114. Gordeyev A. N. A simultaneous expansion for the electromagnetic field of a relativistic charged particle // J. Phys. A: Math. Gen. — 1975. — Vol. 8. — Pp. 1048-1059.

115. Burinskii A. Ya. Twistor string structure of the Kerr-Schild geometry and consistency of the Dirac-Kerr system // The Problems of Mod. Cosmol. — 2009. - Pp. 129-136.

116. Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 4, перераб. и доп. — М. : МЦНМО, 2011. — 592 с.

117. Райхштейн 3. Б. Тождества Ньютона и математическая индукция // Матем. проев. - М., 2000. - Т. 4, № з. _ с. 204-205.

118. Sylvester J. J. On a theory of the syzygetic relations of two rational integral functions, comprising an application to the theory of Sturm's functions, and that of the greatest algebraical common measure // Philosophical Transactions of the Royal Soc. of London. - 1853. - Vol. 143. - Pp. 407-548.