Комбинаторно-топологические методы в теории алгебраических кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Шабат, Георгий Борисович

• Шабат, Георгий Борисович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шабат, Георгий Борисович

держание. едение.

Общая характеристика работы.

Содержание работы. ава О.

§0.1. Теория категорий.2,

§0.2. Топология.

§0.3. Алгебраическая геометрия.

§0.4. Комплексный анализ.^2.

§0.5. Рекурсивные структуры.^ ^ ва 1- Категория детских рисунков и ее варианты. 1 • 1 - Объекты.^ %

1-2- Морфизмы и определение категории .¿О. г 1.3. Морфизмы рисунков и отображения флагов.¿

1.4. Другие категории рисунков 1.5- Сравнение с другими подходами к тем же объектам.75" ва 2. Картографические группы и их однородные пространства,.7"?

2- 1- Картографические группы.

2-2- Связи между картографическими группами.$22- 3- Некоторые картографические категории.Ч

2.4. Функторы, связывающие картографические категории.,

§ ава 3. Основные функторы на категориях и "ба-^лл-.

§ 3- О- Категория кубических диаграмм ШчАЗСПадА.

§3-1- Функтор -» -'бчЗЗЫадл,.д^

§ 3.2. Функтор аМ.ао:: ^¿УЧь -► -►

§ з. з. Функтор Цо^-:: -► -». ъ^-^са.^

§ 3-4. Функтор : : -> -►

§ 3• 5- Функтор -> -» .^ у

§ 3-6. Функтор 1 -> -> . д£

1ва 4 Категория пар Белого над полем к.¡

5 4.1- Объекты. ¡ 4.2. Морфизмы и определение категории., /

4.3- Функтор ыелтьЦ ё^^сЛ -» -&4£Роаа,(<С )./об 4.4. Функтор гьсиги: : &-е£Ралл,(<€) -> ->■ <в<$г£Гл1.¡цд

4.5. Функтор аЦьал^Ц ) -» -ЗЬъ&о.¡¡^ ва 5. Рисунки и накрытия.I I 2.

5- 1 - Категории топологических пар Белого »гиЕ-ЫРалл, и мл^Т&ть&еХУолл.I I 25- 2- Функтор о&е^сЛ; ; -> -'й&^ТпЛ. /) Ц

5-3. Функтор -■ьи&т.о : : -> -> С J.//5"

5-4- Функтор £<г£РаМ,(<С)-» -> Т&^^РоЛл.//$

5.5. Эквивалентности категорий рисунков и накрытий.<12ава б Эквивалентность основных категорий. '

§6-1- Преобразование функтора {ихьллЛ* »гьШгь* * ол1ол> в • • • • '

§ 6-2- Преобразование функтора сиХсиУ» * {излги* . -чХет. в ¿¿^ УсЯъ'''' ' ^

§ б.З. Преобразование функтора д оАйхо 0 о ряЛги в и&еХЗ>алл(<С ).

§ 6.4. Эквивалентность категорий Ъ&ЮГги., "вв У с*? и 'ЛеЯРалА, (С) . . . (3! 5 6.5. Эквивалентность категорий , 'б^УсА* и Р\1ле£еХЗ>алл(<С ) . \ 32.

1ва 7. Картографическая теория Галуа. <

§ 7.1 . Теория Галуа помеченных рисунков ¡Вело . I

§ 7.2. Регулярные и Платоновы рисунки. ¡

§ 7.3. Нормализация. . ¡

§• 7.4. Примеры. | ва 8. Связи рассмотренных категорий с .j:\M 8. 1. Эквивалентность категорий ) в ) . .| 8-2- Эквивалентность ¿В-&£РоАа.(рассмотренным выше категориям. I 5 2. ва 9. Действие группы Галуа на рисунках.

Г 9-1. Пространства модулей и ) ]./ уб

• 9-2- Действие группы Галуа на ) ].I 5~ 9-3. Действия группы Галуа на Ж[3)&£>-с>]. /

9. 4- Инварианты. .кз

9.5. Малое поле определения рисунка.

9-6- Постановки основных проблем.(¿ за 10. Перечисление рисунков. 1^

10- 1- Гауссово кодирование рисунков.

10-2- Оценки и асимптотика. за 11- Рисунки, графы и биграфы. .П

11.1- Графы и их схемы.

11.2. Биграфы, их схемы и биматрицы.|82>

11.3. Полугеографичные биграфы.| 2

11.4. Реализация наборов валентностей.| 9 i ja 12. Воплощение детских рисунков.19S"

12. 1. Диофантовы уравнения, определяющие пары Белого.l 9 ST

12-2- Решения уравнений и рисунки.\ЗЭ $а 13 Случай рода о. 2о

13-1. Специализация общих рассмотрений.%о Ъ

13.2. Коцикл Галуа асимметричной рациональной функции. 205"

13.3- Поля определения асимметричных сферических эскизов.

13. 4. Примеры. .2-0% va 14. Плоские деревья и обобщенные многочлены Чебышева.2

14. 1 • Специализация общих рассмотрений .Z i

14. 2- Двудольность.2 i

14. 3. Системы уравнений.2-2ава 15. Случай рода а.2

§ 15.1. Специализация общих рассмотрений.2 2 2

§ 15-2- ^-инварианты.2^

§ 15-3- Центрально-симметричные рисунки.Я

§ 15-4. Малореберные рисунки. ава 16. Рисунки и дискретные группы.2-Ъ

§ 16- 1 - Группы вращений ребер одноклеточных двудольных рисунков 2

§ 16-2- Группы вращений ребер плоских деревьев.

§ 16.3- Расширенная картографическая группа.2.4 2ьва 17. Рисунки и пространства модулей кривых.2$Л 17-1- Теория Пеннера.2 ? I 17-2- Носитель рисунка лежит в "своей" клетке Пеннера.7.%^ 17- 3- Теория Штребеля. 17.4. Носитель рисунка лежит в "своей" клетке Штребеля. ва 18. Рисунки и униформизация.

18-1- Униформизация полных кривых.

18-2- Униформизация проколотых кривых. ЪЬН

18-3- Накрытия триангуляций.2 6> а 19 Метрическая теория рисунков.

3. 1- Кусочно-евклидовы атласы и комплексные структуры.¿

5.2. Теорема о равносторонних триангуляциях. 2 7С) ратура. 27^

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комбинаторно-топологические методы в теории алгебраических кривых»

Общая характеристика работы туальность темы. Современным математикам известны многочисленные туации, когда классы объектов, кажущиеся на первый взгляд весьма лекими друг от друга, связаны между собой настолько прочно, что учение одних ложет быть полностью сведено к изучению других. есовы векторные расслоения над фиксированным топологическим эстранством и гомотопические классы отображений этого пространства классифицирующее, алгебраические кривые над полем комплексных зел и фуксовы группы, расширения заданного поля и подгруппы группы хуа его алгебраического замыкания и т.п. классической математике связи такого рода, как правило, >еделялись различными биекцияли. Например, введение на плоскости ¡артовой системы координат устанавливает биекцию между множествами ских алгебраических кривых и множествами многочленов от двух еменных; теория функций комплексной переменной основана на кции между ростками решений уравнения Коши-Римана и сходящимися пенными рядами. ашем же столетии преобладают связи, выражаемые эквивалешностяли эгорий. Яркие примеры доставляют, скажем, двойственность грягина и й-теория.

Юрия детских рисунков Гротендика, намеченная В fGrathendieck84J, »наруживает несколько новых, неожиданных и совершенно неочевидных ¡язей. Одно из наиболее вдохновляющих направлений развития этой ории основано на эквивалентности категорий детских рисунков и пар лого. Первая из этих категорий интуитивно очень ясна; ее объекты рафьг на поверхностях) имеют комбинаторно-топологическую природу, гко описываются и кажутся совсем простыми. Вторая же, имеющая ифметико-геометрическую природу, относится к "трудной" математике, к, в пары Белого входят все алгебраические кривые над всеми еловыми полями, а на множестве классов изоморности пар Белого гественно определено действие группы Галуа Aut(®). Теория этендика, связывающая эти категории, доставляет уникальную (еще гнь плохо понятую и недостаточно использованную) возможность эусиизацш этих и других объектов. еобразие личности Александра Гротендика и его совершенно >бычный для нашего века стиль жизни (с 1972 по 1984 год он 5отал, причем очень активно, почти в полной изоляции от •ематического сообщества) привели к тому, что когда препринт othendieckS-4] стал в 1984 году доступен, многие математики приняли его появление как некое чудачество автора. Этому собствовал и нестандартный стиль текста íGrothendiееk84] , ис-анного почти без точных определений и формулировок, на окохудожественном языке, с шутками и лирическими отступлениями, бликован С Grothendíeck34] был лишь 13 лет спустя в сборнике hneps97I.

-видимому, одним из первых мест, где серьезное внимание стало еляться жшюжшическолу содержанию Сбго1Ьеп<Иеск84] , стал мехмат У". В 1986 году на семинаре И.М.Гельфанда последовательно збирались первые разделы этого текста; там этой теорией интересовался и автор настоящей диссертации. Первой публикацией, держащей перевод некоторых идей Гротендика на язык общепринятых ределений и теорем, была статья автора и Воеводского n^aЬat-Voevodsky90] . последующие годы интерес к этой области неуклонно возрастал; 5ликации уже исчисляются многими десятками, а в 1993 и в 1995 цах в ¿Гуминьи (Франция) прошли две крупные международные яференции, ПО трудам которых ££сЬперз94] И £5еЬперз97] можно зтавить представление о развитии теории. зстливым обстоятельством для теории детских рисунков стали ее згочисленные обнаруживающиеся связи с различными разделами гематики и физики. Например, приложениям к обратной задаче теории яуа посвящены работы £ ОеЬеэВезсЬатрзЭТ"] , £ Гг1еЖоре11.с^1сЬЭ71 и эгие другие, связи с квантовыми группами, квазихопфовыми алгебрами пр. найдены Дринфельдом в £Дринфельд89з, £ДринфельдЭОз и развиты 5да многих Ихарой в £1Ьага90Г и £1Ьага943 , связи с топологической энтовой теории поля обсуждаются в £ Оед±сг\гапга.943 , а с теорией эун - в £2ии.г92] , где применяется результат автора и Воеводского >еводскийШабат89]. юнец, исключительно важна для дальнейшего развития теории тъшерная алгебра. Существенная часть полученных к настоящему мени результатов были бы невозможны без ее использования; см., ример, [2сЬперз94], ССо^е±дпез6гапЬои1ап94] и особенно трудное тижение Матиясевича в сМатияеевичЭбз . ор выражает убежденность в том, что в будущем роль тематических компьютерных экспериментов в рассматриваемой теории :етно возрастет; наряду с компьютерной алгеброй будут привлечены гие средства (визуальные, информационные и пр.). Одна из целей тоящей диссертации - подвести итог развития теории в период, дшес-твующий этим систематическим экспериментам, и подготовить у для их проведения.

Ь работы. Во-первых, устанавливается эквивалентность нескольких егорий, относящихся к разным областям математики: комбинаторной ологии, комплексному анализу, арифметической геометрии и др. вторых, систематизируются метода конструктивной реализации этих ивалентностей; приводятся полные таблицы соответствий объектов аниченной сложности. ретьих, установленные эквивалентности применяются для решения ач, возникающих в одних категориях, с помощью техники, актерной для других; наиболее важной является возможность уализацш абсолютной группы Галуа поля рациональных чисел с ощью графов на поверхностях. а года исследования. Исследования проводятся с помощью разнообразных годов комбинаторной топологии, комплексного анализа, афметической и алгебраической геометрии, вычислительной алгебры, дологической алгебры, теории категорий и пр. Применяется также лдиальная техника, разработанная для решения рассматриваемых *ач. гчная новизна работы состоит в следующем.

Установлена эквивалентность нескольких категорий, включающих по варианта категорий детских рисунков и пар Белого.

Определено действие абсолютной группы Галуа на детских рисунках; дено понятие орбит Галуа рисунков и сформулированы основные блемы их исследования.

Введены несколько понятий полей определения детских рисунков и иедованы связи между ними; показано, что препятствие к совпадению с из них лежит в когомологиях Галуа о коэффициентами в РЗЪ (&)) построены примеры рисуков, для которых эти препятствия >ивиальны.

Введены понятия биграфа и построены биграфы, соответствующие ¡ким рисункам; доказан аналог теоремы Эйлера о кенигсбергских ах, устанавливающей, какие биграфы происходят из рисунков; •едована реализуемость наборов пар валентностей рисунками и афами.

Введено понятие группы вращения ребер плоского дерева и построены шеры деревьев, для которых эта группа интересна, в частности, шется группой Матье и М2з; доказано, что эта группа является 1уа-инвариантом и приведены примеры, в которых она различает 5иты Галуа деревьев.

Установлена связь теории детских рисунков с двумя теориями точных разбиений пространств модулей комплексных кривых; :азано, что носитель каждого рисунка лежит в "своей" клетке.

Теория детских рисунков применена к явному построению фуксовых | пп, униформизующих кривые над числовыми полями.

Введены понятия кусочно-евклидовой и, в частности, носторонней структуры на комплексной кривой; доказано, что кривая ускает равностороннюю триангуляцию тогда и только тогда, когда зделяема над числовым полем. результаты диссертации являются новыми на момент их 5ликования. стическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический эктер. Ее результаты и методы могут найти применение в теории эов, теории Галуа, исследовании пространств модулей кривых, гьютерной алгебре, квантовой гравитации и других разделах >матики и физики. бация работы. Результаты работы многократно докладывались на ичных московских семинарах, в том числе на мехмате МГУ, в МИАН, [АН, в ИТЭФ (1988-1996 гг.). Б 1990 г. основные проблемы теории с сформулированы на заседании ММО. льтаты работы докладывались на российских конференциях в [оголовке (1987, 1989) и в Ярославле (1990). гльтаты работы докладывались на международных конференциях в (Германия, 1989), в Луминьи (Франция, 1993 и 1995), в Киото >ния, 1993) и в Москве (1994). р выступал с докладами по содержанию работы в Таллинском ^техническом Институте (1988), в Йейльском университете (1990), в зачуссетском Технологическом Институте (1990), на Ленинградском шатическом Обществе (1990), В Стокгольмском Университете (1991), Институте Высших Исследований в Бюр-сюр-Иветте (1991), в зерситете Орсэ (1991), в Университете Бордо (1991,1993), в асбургском Университете (1991), в Институте Паскаля в Париже ЭЗ), в Токийском Университете (1993) и в Институте Фурье в яобле (I995). дикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ. Из работ, исанных в соавторстве, в диссертацию в основном вошли результаты, надлежащие автору. работах i ВоеводскиЯ11абат89] и íГурвичШабат891 автору принадлежит становка задачи и идея доказательства. В работе babatVoevodskyQOi автору принадлежат некоторые ключевые идеи и зструкции, а также доказательства теорем 2.2.1 и 2.3.3. В работе nabatZvonkin94J автору принадлежит доказательство теоремы 1.4. В 5оте с АдриановКочетковСуворовШабат95] автору принадлежит основная ютрукция, постановка задачи о нахождении деревьев с нетривиальной гппой вращений и идея поиска таких деревьев. В работе ишмоненковШабатаз] автору принадлежит постановка задачи, идея ОВНОЙ конструкции И часть вычислений. В работе ГAdrianovShabat971 ору принадлежат некоторые ключевые идеи, доказательство теоремы И часть ручных вычислений. В работе IRazinShabatShabat97] автору надлежит постановка задачи и некоторые конструкции, используемые оказательстве основной теоремы.

Содержание работы. за 0 содержит вспомогательные сведения и отсылки к литературе по гичным вопросам теории категорий, топологии, алгебраической ютрии» комплексного анализа и некоторых других разделов ¡матики. В большинстве своем эти сведения стандартны; несколько ¡няком стоит параграф, относящийся к нетрадиционной области, рую Ю.И.Манин предложил называть рекурсивной геолетрией. лавах 1-6 вводятся главные понятия теории детских рисунков; вная цель этой части диссертации - установление нескольких валентностей основных категорий. ьекты категории детских рисунков - графы на компактных тактированных поверхностях, дополнения к которым гомеоморфны звязным объединениям дисков. Точные определения, наряду с соторыми специальными конструкциями и сопоставлением с более адациоиными понятиями, содержатся в главе I диссертации. мографаческая группа £ , по определению, порождена тремя азующими а , , а2 с соотношениями

2 2 2,- -,2 , а = а = а = о о ) = 1.

О 1 2 О 2 егория ъ^УсА* является категорией однородных к -множеств с сложной дополнительной структурой и ограничениями, имеющими ютой наглядный смысл. Этой и нескольким родственным категориям даящена глава 2. главе 3 вводятся несколько функторов, связывающих введенные ■егории. Наиболее важен из них функтор сопоставляющий сдому детскому рисунку множество его флагов (для большинства ¡унков представляющих собой тройки попарно инцидентных вершины |фа, его ребра и компоненты дополнения), наделенных естественной »уктурой £ -множества.

1ва 4 посвящена парал Белого над произвольным алгебраически [кнутым полем. Так называются пары (Х,р), где X - полная неособая риводимая кривая, а |3 - непостоянная рациональная функция на ней, критические значения которой содержатся в множестве (0,1 ,оо). ди пар Белого условием двукратности всех ветвлений над 1 деляются чистые. Пары Белого и чистые пары Белого над полем к разуют категорию и ее полную подкатегорию В этой же главе строятся несколько функторов, из торых наиболее важен функтор ёлал» из категории ) в тегорию Яеоо, сопоставляющий паре над полем комплексных сел рисунок, "изображенный" множеством ¡31Г'/,оо7 на топологической дели кривой X. главе 5 введенные понятия связываются (на несколько специальном яке) с обычной теорией накрытий сферы, разветвленных лишь над змя точками.

1овным результатом главы 6 является теорема 6-4.2, утверждающая, ) введенные функторы задают треугольник еквивалентностей категорий б УсА*-у -* Рчм&ЫРалЖ. С1> 2 главе 7 с помощью установленных еквивалентностей строится тографическая шеирим Гстуо, детских рисунков. Наиболее важное ятие этой теории - функтор норжыизации рисунка. С его помощью анавливается, что каждый рисунок накрывается регулярным нятие регулярности представляет собой некоторый аналог понятия тоновости рисунка на сфере для поверхностей положительного рода). этого результата вытекает

3.3.3. Теорема. Существует бесконечное количество попарно ¿изоморфных Платоновых рисунков.

•о - известный результат, но с помощью развитых понятий он жазывается особенно легко. ава завершается разбором двух примеров, из которых видно, что рмализация простейших рисунков вместе с построенными вивалентностями категорий автоматически ведет к теории многочленов бышева и к кривым Ферма. главе 8 установленные в предыдущих главах эквивалентности гегорий дополняются их эквивалентностью с ). Особо очеркивается значение функтора воплощения ечается, что объекты обеих категорий, связываемых этим функтором, :яютс я конструктивными, т.е. могут быть определены конечным ичеством информации и, скажем, введены в компьютер. Обсуждаются тветствующие "вычислительные" задачи. иная с главы 9, систематически используется понятие пространства улей категории; в случаях, когда оно имеет смысл, оно вставляет собой множество классов изоморфности объектов теории, зтранство модулей категории £ обозначается Л['€]; класс лорфности объекта X обозначается X. Функтор £ -> -> .£> делеет отображение — рез Г обозначается абсолютная группа Галуа главе 9 устанавливается каноническая рекурсивная биекция между юстранствами модулей л[1и )], Затем на втором этих пространств определяется действие группы Г; с помощью строенной биекции оно переносится на первое. Далее приводятся которые инварианты Галуа рисунков и обсуждаются вычислительные дачи.

3.1. Теорема-конструкция. Аля 7 е Г и 3 £е форлула елъ-8 &сСу. 1 ® (^&1Ть6 &<£у- (В) ) ределяет действие группы Г на л. ]. ределенное этой теоремой действие группы Галуа на детскш|рисунках одно из главных действующих лиц теории. Весьма эмоционально о нем лет Гротендик в Свго1ЬепсИеск34Л; вычисления отдельных примеров эго действия мотивируют большую часть публикаций, связанных с гскими рисунками.

3.4. Факт. Орбиты, определенного в 9.3.1 действия не зависят от женим -5 -> с. лее с помощью этого действия и классической теории Галуа для зунка I) вводится его малое поле определения

5.2.3. Верхняя оценка степени малого поля определения. Для сунка В степень (®(В) :<б ) не превосходит количества реализация, бора валентностей рисунка В. главе 10 обсуждаются вопросы практического перечисления детских сунков и приводятся некоторые количественные результаты. главе II строится теория биграфов - пар графов с отождествленными 5рами. Каждому рисунку (в той числе неориенмируелолу) ставится в этветствие биграф - исходный граф и двойственный ему. граф называется полугеографическил, если он порождается некоторым зобще говоря, не ориентиру ежил) рисунком, и географическил, если эождается ориентируемым рисунком. раф называется эйлеровыл, если он связен, в некотором смысле ■сально связен и еще обладает дополнительным свойством четности, зе деленным в §11.3. з. 2. Теорема . Биграф полугеографичен тогда и только тогда, когда эйлеров. ша завершается обсуждением проблемы реализации наборов юнтнос-тей биграфами и рисунками. ша 12 посвящена общей проблеме воплощения рисунков. Для рисунков щ g о п ребрами по заданным наборам валентностей определяются мерные подсхемы в пространствах модулей кривых с упорядоченными, юколами мд2п+22д и в пространствах Гурвица 9еи/1 2г<1 точки этих дсхем соответствуют кривым с упорядоченными наборами критических чек искомой функции Белого в пространствах модулей и пары Белого в остранствах Гурвица. Для тех пар (§,ть), для которых пространства 2п+2-2д и 2п могут быть заданы явно, введенные определения мерных подсхем превращаются в системы диофантовых уравнений.

главах 13, 14 и 15 рассматриваются такие пары (В,п). ава 13 посвящена общему рассмотрению случая g = О. Выписываются и суждаются соответствующие системы диофантовых уравнений. Ставится решается вопрос о наличии решений этих уравнений над малым полем ределения рисунка. Ответ оказывается отрицательным; препятствие ¡кит в когомологиях Галуа с коэффициентами в РЭ1-2. Приводится имер рисунка, для которого это препятствие нетривиально. главе 14 рассматривается наиболее изученный к настоящему времени учай одноклеточных рисунков рода О, т.е. плоских деревьев. Функции лого в этом случае выражаются через обобщенные многочлены Чебышева ногда называемые в литературе также шогочленали Шабота); по ределению, это - многочлены с двумя критическими значениями, нуждается присущий этому случаю дополнительный инвариант Галуа 5удолъная струшура), выписываются специальные системы уравнений я: воплощения деревьев и показывается, что их решения над малым дем определения существуют всегда. главе 15 рассматривается случай рода 8 ~ Приводятся этветствующие системы уравнений; отдельно рассматривается задача числения /-инварианта носителя воплощения рисунка непосредственно рисунку. Отдельно рассматривается случай цешрсиъно-сгмшричнъит зунков. Для центрально-симметричных рисунков с не более чем 4 5рами и для всех рисунков с не более чем 3 ребрами приводятся яные вычисления.

главах 16-19 рассматриваются связи теории с различным разделами тематики. эва 16 посвящена связям с теорией дискретных групп. В двух первых заграфах рассматриваются конечные группы вращений ребер двудольных зунков. Второй из них посвящен деревьям. Сообщается, что для общих зевьев эта группа изоморфна Б или и приводятся результаты, заяяциееся групп вращений ребер одного класса весьма специальных зевьев. юкое дерево называется сокрестиел, если все его валентности равны 2 или 4. сазывается, что группы вращений ребер сокрестий юморфны РЯ1.2(ог ) и что групгш вращений ребер сокрестий морфны группам Матье М±± и М2Эее рассматривается расширенная картографическая группа. Она дставляет собой бесконечную группу с тремя образующими, полная тема соотношений в которой в настоящее время неизвестна; основная рема 16.3.6.3 утверждает, что для любых (В,п) эта группа нзитивно действует на множестве классов изоморфности рисунков а £ с п ребрами и одним отмеченным флагом. лаве 17 рассматриваются связи теории с геометрией пространств глей кривых. Эти связи весьма многообразны; мы ограничиваемся гким описанием двух - по Пеннеру и по Штребелю - клеточных 5иений пространств модулей Клетки этих разбиений эметризованы детскими рисунками (разумеется, Пеннер и Штребель ьзовались другой терминологией), и мы показываем в теоремах 2.1.2 и 17.4.2, что носитель каждого рисунка лежит в "своей" гке. за 18 посвящена связям с униформизацией кривых, определенных над яовыми полями, теоремы Римана о конформном отображении вытекает, что все зрболические римановы поверхности являются факторами верхней /плоскости по фуксовым группам дробно-линейных преобразований. теорема, однако, не позволяют построить примеры конкретных совых групп, накрывающих явно заданные римановы поверхности, смотренная в диссертации теория позволяет это сделать. плексная алгебраическая кривая будет называться унифорлизуелой вещественная числовая тюлея к, если она биголоморфно ивалентна фактору верхней полуплоскости по группе драно-линейных образований с коэффицентами из поля К.

1.1.7. Теорема. Пусть X - такая полная кривая над полем гебраическш чисел, что на ней существует функция Белого, все нули торой имеют кратности р, а все полюса - кратности д. Тогда X иформизуема над кводратичныл расширением вещественного клотолического поля.

1.1.8, Теорема. Пусть X - полная гиперболическая кривая над словил полел; существует такое разветвленное накрытие Т -> X, р еделенное над числовым полем, что 7 униформизуема над 1дратичным расширением вещественного циклотомического поля. ава 19 посвящена метрической теории рисунков. Точнее, на носителях зунков рассматриваются кусочно-евклидовы метрики, в которых шоненты дополнения к рисункам изометричны плоским згоугольникам. Основным результатом является

2.2.4. Теорема. Комплексная кривая имеет модель над полем гебрашесшг чисел тогда и только тогда, когда допускает 3постороннюю триангуляцию. а теорема, полученная первой из результатов настоящей диссертации, 1а стимулирована теорией струн и нашла в этой теории применение.

ГЛАВА 0. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ 0.1. Теория категорий

1. Обозначения. работе предпринимаются усилия к четким разграничениям ретико-множественных и категориях конструкций. Как правило, тветствующий теоретико-множественный значок повторяется дважды; меняются также кавычки.

1.1. Запись X ее ® означает, что X есть объект категории .

1.2. Знакосочетание ^ --» обозначает функтор из егории ё в категорию

1-3. Двойной квантор УУ означает "любой объект категории".

•1-4. Двойной квантор 33 означает "существует объект категории".

1.-1.5. Знакосочетание о о применяется для композиции функторов.

I-1-6."Сюръективность на объектах" функтора : ® -► -> & зачает уу 7 ее я 33 X ее ¿Ш - Г. алогичный очевидный смысл имеет выражение "инъективность на рфизмах" и т. п.

1.2. Построение категорий.

1.2.1. По любой категории и любому направленному графу строятся шегории диагралл. см. гЦаленкоШульгейфер74, стр. 1651. вменяется в 5.1.2.2, 11.1.

1.2.2. Факт. Если 6 некоторой категории существуют произведения, то они существуют и в построенные по ней категориях агралл. См. сЦаленкоШульгейфер74, стр. 167] .

1.2.3. Из любой категории, объекты которой представляют собой эжества со структурами, а морфизмы - отображения, "уважающие" эти оуктуры, можно с помощью наложения дополнительных структур строить зые категории. См. сЦаленкоШульгейфер74, стр. 161. 3. Эквивалентности категорий.

•3.1. Определение. Функтор называется полнил, если он "сюръективен на фИЗМах". См. [ Мас1 агм&ТЗ, стр. 143

•3-2. Определение. Функтор называется строгил, если он ъективен на морфизмах". См. СМас1апе73, стр. 151

1.3.3. Определение. Пусть 8 и ® - категории, в -„ -5. & и £> --> ц функторы. Говорят, что такая пара функторов определяет :вивалешноспъ категорий, если имеются естественные преобразования

В И В См. [ Мас1апе73, стр. 153

1-3.4. Определение. Преобразование функторов, задаваемое олорфизлами, называется функторныл изолорфизлол. См. $ГкурДеляну72, стр. 161.

1-3.5. Утверждение. Фунтор : « -> -> определяет

Швалентностъ категорий тогда и только тогда, когда он полный и строгий (т.е. "биективный на лорфизлах"); "сюръентибный на объектах". азательство. См. сГельфандМанин88, стр. 91з , [БукурДеляну72, стр. , сМак-Лейн65, стр. бз , сЦаленко-Шульгейфер74, стр. 1461. |

-3-6. Факт. Колпозиция эквивалентностей категорий является ивалентностъю категорий. верка. С помощью 0-1-3-4 сводится к 0-1-3-5. |

1.3.7. Теорема. Пусть л, к - категории, и даны такие строгие <нкторы

Л*: *-► --> ->«, л;: е-> ю

9- в о/о оЛ ~ 1 ур II /еоЛ-оор ~ 1 ^ . гба бее три функтора суть эквивалентности категорий. казательство. Сводится к 0.1.2.4. |

1.4. Небольшие категории и их пространства модулей. эдятся как класс категорий, промежуточных между лалыли и эизвольными. Грубо говоря, категория невелика, когда классы аморфности ее объектов образуют множество. Аналогичное понятие осматривается В СМас1апе73, стр. 913 .

1.4.1. Определение. Категория £ называется небольшой, если чествует такое множество ШС&) и такая процедура сопоставления кдому объекту X ее элемента X е называемого классол ыорфности объекта X, что объект категории £ изолорфны 'да и только тогда, когда их классы изолорфности равны, че говоря, X ее ®»

I ой Г ^ X = У.

•е

1.4.2. Замечание. Введенная процедура сопоставления X -► X ъекту его класса изоморфности не является ни отображением (ее >бласть определения" не предполагается множеством), ни функторам >на ничего не сопоставляет морфизмам категории . Видимо, это 'Оцедура не выражается в общепринятых в современной математике рминах; однако она представляется автору необходимой для основания конкретных математических рассмотрений с использованием тегорий.

1.4.3. Факт. Пространство модулей небольшой категории определено позначно с точностью до биещш. эверка. Пусть "е - небольшая категория, а и М ) - ее эстранства модулей. Рассмотрим в множестве М С®) [^множество (т±, т2) | 33 I Д2 ее [Х± * Х21 л [ т±] л [ Х2= т21).

0.1.3.1 вытекает, что соответствие Д определяет требуемую *кцию. Ц

4.4. Примеры. тегория множеств "является большой", т.е. не является юлыной. Это - краткое выражение причин возникновения аншшолий, с ЕурбакибЗ, стр, 443 . тегория конечных множеств - небольшая. Во введенных значениях МС^^^^) =: ^ и для любого конечного множества X имеет то равенство X =:#Х. категория кривых над заданным полем - небольшая. Это вытекает, фимер, из того, что любая кривая бирационально эквивалентна 'ской, см. 0.3.1.1а. Этот пример мотивирует используемую »минологию.

4.5. Факт-определение. Пусть « и £> - небольшие категории, а

-е -> -> я - функтор. Тогда существует и единственно

•брожение £: Ш('в) -¡> М(я), обладающее свойствол

УУ X е £(Х2 = £(%)• отображение называется отображением, индуцированным функтором. верка. Постулируемое равенство является определением отображения Единственность вытекает из определений функтора и изоморфизма. |

4.6. Факт. Пусть функторы. :<е -> -> &

-► -> « еделяш эквивалентности небольших категорий и £>. Тогда брожения

М(ъ) -> -► М(я)

9::М(я) -> -> МСё) яктся взаилно обратными биекцияли. верка. Вытекает из 0.1.2.3 и 0.1.3.5. |

1.4.7. Факт. Категория, эквивалентная небольшой, сала является большой. оверка. Следует из 0.1.3.6. g

1.4.8. Факт. Полная подкатегория небольшой категории сала является большой. зверка. Следует из 0.1.3.1, Щ L.5. Теории Галуа.

L.5.I. Обозначение. Для упорядоченного множества (!,«) через гь&(1,<<) обозначается малая категория, объектами которой являются гменты множества I, а множества морфизмов либо пусты, либо ■гоэлементны, причем для t,J е I множество м&Гъ& (I (t>J) ■гоэлементно тогда и только тогда, когда i « ,/. См., например, эльд76, стр. 103 .

L.5.2. Определение. Пусть дана небольшая категория все ужества лорфизлов в которой не более чел одноэлементны, и группа

Мы будем говорить, что сопоставление £ каждому объекту X ее з,группы /-(X) с Г задает теорию Галуа на s со значениями б Г, если ï некоторого множества У подгрупп группы Г возникает жвалентность категорий : g -> -м&ги?(<г )CJ.

1.5.3. Утверждение. Пусть дета небольшая категория е, все эжества лорфизлов в которой не более чел одноэлелентны, и группа Пусть для каждого X ее £ определена подгруппа £(X) с Г, причел я X, X' ^

Мог^(Х,Х') * «X) с 1(Г). да £ задает на с теорию Галуа со значениями б Г. газательство. Следует из 0.1.2.4. |

5.4. Классическая теория Галуа в наших обозначениях задается [ем К и группой Г с АиЛ(К). Категорией 'б является малая категория ¡долей поля К, содержащих неподвижное поле группы Г (иногда проще »аничиться конечными расширениями этого неподвижного поля). Теория [уа в смысле 0.1.4.2 задается сопоставлением каждому такому ;полю подгруппы элементов группы Г, тривиально действующих на этом ;поле. Обратный функтор обозначается для Г' с Г (иногда удобно и : наших целей достаточно считать (ТгГ',) < со,) так:

Г' (--► рсеМк(Т'), а е К | Г'А, = Ш)

Варден76, стр. 199-204].

§ 0.2. Топология.

2.0. Общая топология.

2-0.1. Соглашение. На подмножествах топологического пространства егда подразумевается индуцированная топология.

2-0.2. Под связностью всюду понимается линейная связность.

2.0.3. Соглашение. На всех пространствах непрерывных отображений осматривается компактно-открытая топология, см. 1Свитцер85, стр. з . Гомотопность в классе отображений означает принадлежность к ной компоненте связности в этой топологии.

2.0.4. Соглашение. Под метрикой на топологическом пространстве згда подразумевается лишь метрика, индуцирующая имеющуюся пологию.

2.0.5. Факт. Пространство Б связно тогда и только тогда, когда (Б^ г. сФуксФоменкоГутенмахербЭ, стр. 13гз . |

2-0-6. Лемма о продолжении. Непрерывное отображение регулярного гологического пространства полностью определяется значениями на 1ом всюду плотном множестве. См. сБурбаки68, стр. П43 .

2.0.7. Факт. Гомотопность в классе любых отображений является ношением эквивалентности. эверка. См. 0.2.0.2. |

2.0.8. Факт. Пусть X,Y,Z - топологические пространства, a L с M с Morr&fx(Y,Z) и N с МогТ (XtY)~ такиэ подмножества, } M*L с N. Тогда, если f*f <= Ъ лежат в одной компоненте свзности ктранства L, a g±,g2 <= M лежат в одной компоненте свзности устройства М, то gi°fl и gz°fz лежат в одной компоненте связности ютранства N. верка. В силу 0.2.0.2 вытекает из определения компактно-открытой галогии. 1

Л. Одномерная топология.

1.1. Определение. Замкнутым маршрутом в графе называется говая последовательность чередующихся вершин и ребер, в которой ые соседние ребро и вершина инцидентны. См.[Харари73, стр. 263.

1.2. Определение. Циклом называется замкнутый маршрут, в котором ребра различны. См.[Харари73, стр. 263 .

1.3. Определение. Цикл называется простым, если в нем все лины различны. См. [Харари73, стр. 263.

2.1.4. Определение. Цикл, содержащий все ребра графа, а такжу самый аф, в котором существует простой цикл, называются эйлеровыми. .[Харари73, стр.83].

В. 1.5. Теорема. Дш связного графа следующие три свойства бивалентны: а) граф эйлеров; б) найдется набор (простых) циклов, илекщих попарно общих ребер и содержащих в совокупности все ребра 1фа; в) степени всех вершин четные. . [Харари73, теорема 7.1]. 1

1*2, Двумерная топология.

1.2.1. Определение. Поверхностью. называется компактное связное "мерное ориентируемое топологическое многообразие. гЦишангФоггКолдевай88, гл. 31 . |

2.2. о топологической классификации поверхностей см., например, шангФоггКолдевай88, стр. 761 .

2.3. Под всегда понимаем рижшову сферу, независимо от того, сматривается ли комплексная структура на ней. Ориентация при ичии комплексной структуры задается с помощью аффинной координаты бычным соглашением

-I Л > 0. (1 + гг)2

1.2.4. Теорема. Любая поверхность триангулируема, причел юнгуляция определяет рисунок. гЦшпангФоггКодцевай88, гл. 31. |

1.2.5. Факт. Пусть X с Х2 - пара топологических пространств, а Х2 - связное подпространство. Если Б не пересекается с I, то Б

Ж1 в единственной связной компоненте дополнения X \ X .

2 1 дует из 0.2.0.2. |

2.6. Теорема. Пусть I: А -> о?2 голеоморфное вложение рытого круга в плоскость. Тогда существует такой сохраняющий ентацию голеолорфизл 1г: А -> А , что 1°р продолжается на ницу. азательетво. Приведем несколько вычурное, но короткое суждение. дем на к2 2: с комплексную структуру. Тогда на А возникает две плексных структуры: одна - как на стандартном круге, другая - та, осительно которой вложение ь голоморфно. Согласно теореме Римана конформном отображении £Голузин52, стр. 301 ©ти две структуры заны гомноморфизмом /г; теперь теорема вытекает из теоремы атеодори (см. сГолузин52, стр. 473). |

2.2.7. Факт. Непрерывные отображения колшшпнш ориентируемых верхностей, индуцирующие ненулевой морфизм в Е , сюрьешивны. . сЦшпангФоггКодцевай88, стр. ви . |

3.2.8. Теорема. Пусть

X I 7 и / шя диаграмма разветвленных накрытий поверхностей, что \= <3°/2= р. Тогда, если голотопно / , то f . азательство. Вне ветвлений теорема выводится из соответствия еду накрытиями и гомоморфизмами фундаментальных групп. Щ

1.2.9. Факт. При разветвленных накрытиях поверхностей род не иичивается. гЦишангФоггКолдевай88, стр. 783 .

2.10. Теорема. Все компактные поверхности реализуемы как модели плициальных множеств. сЦишангФо1тКолдевай88, гл. зз .

2.11. Стандартные факты об эйлеровой шрашеристике см. в пангФоггКодцевай88, гл. зз .

2.2.12. Теорема. Любой граф вкладывается в некоторую поверхность. казательство. См. сЗыковбЭз , сьхпе^аубш. |

2.2.13. Лемма об утолщении дуги. /Ьобая дуга на поверхности

ЩЩу утри некоторой 2-клетки, причел эта 2-клетка ложет быть выбрана пересекающейся с любыл компактом, не пересекающимся с дугой. С0оу1еМогап681 . |

1.3. Клеточные и симпливдальные комплексы.

5.3.1. Следуя, например, с ГабриельЦисман71, стр. 993 будем »значать \3\ геометрическую реализацию симплициального множества

1.3.2. гРохлинФукс77, стр. 1291: Для всякого клеточного устройства X найдется голотопически эквивалентное елу шициальное той же разлерности.

3.3. Определение. Пусть X - хаусдорфово пространство. Его точным разбиением называется такая последовательность замкнутых пространств уО у! у2. л сл сл с. ,

1° дискретно (возможно, пусто!!)

Для V д е ^, пространство Iя \ Iя-1 является дизъюнктным ъединением своих открытых подпространств, гомеоморфных К4. . с МассивИ .