Комбинаторные аспекты инвариантов топологических объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Жуков Вячеслав Игоревич

• Жуков Вячеслав Игоревич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Жуков Вячеслав Игоревич

1.1 Системы множеств

1.2 Градуированное векторное пространство систем множеств

1.3 Произведение систем множеств

1.4 Дельта-матроиды

1.5 Дельта-матроиды простых графов и бинарные дельта-матроиды

1.6 Дельта-матроиды и вложенные графы

1.7 Хордовые диаграммы и Д-матроиды

1.8 Алгебра Хопфа бинарных дельта-матроидов

1.8.1 Коумножение для бинарных дельта-матроидов

1.9 Четырехчленные соотношения для дельта-матроидов

1.9.1 Второе движение Васильева: протягивание ленточки

1.9.2 Первое движение Васильева: обмен концов лент

1.9.3 Четырёхчленные соотношения для бинарных дельта-матроидов

1.10 Алгебра Хопфа бинарных дельта-матроидов по модулю 4-членных соотношений

1.11 Соотношения Татта для инвариантов бинарных дельта матроидов и весовые системы

2 Дельта-матроиды и лагранжевы подпростанства

2.1 Движения Васильева и лагранжевы подпространства

2.2 Бинарные дельта-матроиды и лагранжевы подпространства (теоретико-множественная биекция)

2.3 Лагранжевы подпространства и бинарные дельта-матроиды вложенных графов

2.4 Изоморфизм алгебр Хопфа бинарных дельта матроидов и лагранжевых подпространств

2.5 Четырехчленные соотношения и весовые системы

3 Симметризованный многочлени Стенли для бинарных Д-матроидов

3.1 Комбинаторные алгебры Хопфа

3.2 Хроматический многочлен Стенли

3.2.1 Первое определение (многочлена Стенли)

3.2.2 Второе определение многочлена Стенли

3.3 Хроматический многочлен Стенли для оснащенных графов

3.4 Хроматический многочлен для дельта-матроидов

3.5 Хроматические весовые системы

3.6 Значения продолжения хроматического многочлена Стенли

4 Многочлен переходов

4.1 Определение взвешенного многочлена переходов

4.1.1 Переходы и греческие буквы

4.1.2 Взвешенный многочлен переходов

4.1.3 Многочлен переходов как весовая система

4.1.4 Доказательство теоремы

4.2 Продолжение многочлена переходов на вложенные графы

4.3 Многочлен переходов для бинарных дельта-матроидов

Заключение

Список обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комбинаторные аспекты инвариантов топологических объектов»

Введение

Настоящая диссертация посвящена комбинаторным аспектам теории инвариантов узлов и зацеплений конечного порядка (инвариантов Васильева). В теории В. А. Васильева [38] каждому такому инварианту узлов порядка не выше п сопоставляется функция на хордовых диаграммах с п хордами. Такая хордовая диаграмма представляет собой ориентируемый вложенный граф с одной вершиной и п ребрами. Более общим образом, инварианту зацеплений (многокомпонентных узлов) порядка не выше п с к компонентами сопоставляется функция на ориентируемых вложенных графах с к вершинами и п ребрами. Тем самым, теория Васильева связывает между собой инварианты топологических объектов — узлов и зацеплений — и инварианты комбинаторных объектов — вложенных графов.

Доказанная в 1993 г. М. Концевичем [21] теорема утверждает, что набор указанных В. А. Васильевым ограничений на получающиеся инварианты вложенных графов является полным. Другими словами, изучение весовых систем — инвариантов вложенных графов, удовлетворяющих соотношениям Васильева, — эквивалентно изучению инвариантов конечного порядка узлов и зацеплений. В. А. Васильев высказал гипотезу, согласно которой инварианты конечного порядка образуют полный набор инвариантов: любые два неизотопных зацепления различаются некоторым инвариантом конечного порядка. Уже более 30 лет эта гипотеза остается недоказанной и не опровергнутой. Однако даже если она и не верна, ясно, что инварианты конечного порядка образуют большой и важный класс инвариантов зацеплений. Тем самым, изучение весовых систем способно пролить свет на теорию инвариантов зацеплений.

Одной из центральных задач в теории инвариантов конечного порядка является конструирование таких инвариантов. Оно может быть выполнено в терминах предъявления весовых систем.

Начало изучения вложенных графов (графов на двумерных поверхностях) было положено в работах Л. Эйлера. В последние десятилетия оно ведется особенно интенсивно, и помимо собственно исследовательских работ этой тематике посвящено несколько монографий (см. [16, 26]). В частности, активно развивается конструирование инвариантов вложенных графов и изучение свойств построенных инвариантов. Многие из этих инвариантов оказываются весовыми системами.

Зачастую конструируемые инварианты вложенных графов выражаются на языке дельта-матроидов. Теория дельта-матроидов была разработана А. Буше в 80-х годах прошлого века. Дельта-матроид оказался удобным комбинаторным объектом, кодирующим целый ряд важных свойств как графов, так и вложенных графов. Один из главных результатов диссертации состоит в перенесении понятия весовой системы на инварианты дельта-матроидов.

Другим важным инструментом изучения весовых систем является опора на их алгебраические свойства. Как показал М. Концевич [21], пространство, порожденное хордовыми диаграммами по модулю соотношений Васильева, наделено естественной структурой коммутативной кокоммутативной градуированной алгебры Хопфа. Многие инварианты графов и хордовых диаграмм демонстрируют естественное поведение относительно этой структуры, что позволяет при их изучении разделить индивидуальные свойства инварианта и структурные свойств алгебры Хопфа. На пространстве вложенных графов не

удается ввести аналогичную структуру, однако нам удалось построить ее на пространстве дельта-матроидов. В результате, ряд инвариантов узлов удается продолжить до инвариантов многокомпонентных зацеплений.

В то же время, многие ключевые вопросы остаются нерешенными. Так, большой класс весовых систем можно построить по конечномерным алгебрам Ли. Такая весовая система принимает значения в центре универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли. В настоящий момент мы не знаем хорошего распространения этой конструкции на вложенные графы с произвольным числом вершин и дельта-матроиды.

Обоснование актуальности избранной темы, степень ее разработанности, цели и задачи, теоретическая и практическая значимость работы, методология и методы диссертационного исследования

Инварианты узлов и зацеплений являются предметом многочисленных исследований в последние десятилетия. Их изучением занимаются многие группы математиков и математических физиков во всем мире. Использование для изучения этих инвариантов полиномиальных инвариантов комбинаторных объектов — графов и вложенных графов — является отличительной чертой московской группы исследователей, сосредоточенной в Высшей школе экономики. Достигнутые на этом пути результаты получили широкое признание у специалистов.

Цель исследования заключается в разработке способов расширения области определения весовых систем с хордовых диаграмм — ориентированных вложенных графов с одной вершиной — и их графов пересечений на произвольные вложенные графы. Хордовые диаграммы предназначены для описания инвариантов конечного порядка узлов, тогда как произвольные вложенные графы необходимы для описания инвариантов конечного порядка зацеплений.

Конкретная решаемая задача состоит в использовании структуры алгебры Хопфа на пространствах графов и хордовых диаграмм и поведение их инвариантов относительно этой структуры для построения возможных продолжений. В диссертации предложены принципиально новые методы распространения инвариантов графов до инвариантов вложенных графов, что позволяет достигнуть существенного прогресса в понимании инвариантов конечного порядка многокомпонентных зацеплений.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при исследовании топологии объектов малых размерностей, для построения инвариантов графов и вложенных графов, при разработке специальных лекционных курсов.

При проведении исследования широко использовались как чисто комбинаторные методы, основанные на изучении структуры графов и их вложений в двумерные поверхности, так и и алгебраические подходы, в основе которых, в первую очередь, лежит структура алгебры Хопфа на пространствах изучаемых объектов и на области значений инвариантов. Использование алгебраических структур позволяет эффективно выделить общеалгебраические свойства инвариантов и сконцентрироваться на изучении их индивидуальные свойств.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и четырех глав и имеет следующую структуру:

• Во Введении даются необходимые определения и формулируются основные результаты диссертации.

• Глава 1. Дельта-матроиды.

В этой главе описываются основные структуры теории дельта-матроидов, которые используются в остальных главах диссертации. В ней даются определения дельта-матроида, бинарного дельта-матроида и описываются способы построения бинарных дельта-матроидов по абстрактным и вложенным графам. В этой главе вводятся операции удаления, стягивания, локальной двойственности, движения Васильева на дельта-матроидах и 4-членные соотношения на них, описываются конструкции алгебры Хопфа бинарных дельта-матроидов и алгебры Хопфа бинарных дельта-матроидов по модулю 4-членных соотношений.

• Глава 2. Дельта-матроиды и лагранжевы подпростанства

В этой главе формулируется и доказывается один из основных результатов диссертации. В ней строится естественное отождествление между множеством бинарных дельта-матроидов и множеством лагранжевых подпространств в симплектических пространствах над полем из двух элементов. Это соответствие позволяет отождествить алгебру Хопфа бинарных дельта-матроидов и алгебру Хопфа лагранжевых подпространств, введенную В. Клепцыным и Е. Смирновым в [20]. В параграфе 2.5 показано, что построенная биекция также согласована с движениями Васильева на данных алгебрах Хопфа.

• Глава 3. Симметризованный хроматический многочлен Стенли

Эта глава посвящена еще одному результату диссертации — распространению важного инварианта графов, симметризованного многочлена Стенли, на дельта-матроиды. Вопрос о распространении инвариантов графов на вложенные графы — один из наиболее интенсивно изучающихся в исследовании графов на поверхностях в последние десятилетия. В частности, были предложены различные конструкции продолжения многочлена Татта [15]. Все они основаны на тех или иных видах соотношения удаления-стягивания, которые выполняются для многочлена Татта.

Предлагаемая нами конструкция имеет совершенно другую природу. Она использует алгебраические свойства симметризованного многочлена Стенли — его поведение относительно структуры алгебры Хопфа на пространстве графов. В ее основе лежит понятие комбинаторной алгебры Хопфа (параграф 3.1), введенное Агияром, Бержероном и Соттайлом [1] в 2006 г. Комбинаторная алгебра Хопфа — это пара, состоящая из градуированной алгебры Хопфа и характера на ней — ее мультипликативного отображения в базовое поле.

Согласно теореме универсальности из [1], комбинаторные алгебры Хопфа находятся во взаимно-однозначном соответствии с гомоморфизмами Хопфа в комбинаторную алгебру Хопфа многочленов от бесконечного числа переменных. В частности,

симметризованный многочлен Стенли, являющийся таким гомоморфизмом, соответствует характеру, принимающему значение 1 на простом графе с одной вершиной и значение 0 на всех остальных связных графах. Пользуясь этим свойством, мы строим характер алгебры Хопфа бинарных дельта-матроидов, определяющий симметризованный многочлен Стенли для них.

• Глава 4. Многочлен переходов

В этой главе описывается еще один пример переноса инварианта графов на дельта-матроиды. Многочлен перехода был определен Ф. Жаже (F. Jaeger [18]).

В главе даётся определение многочлена переходов, строится специализация многочлена переходов, являющаяся весовой системой. В ней строится продолжение этой специализации на вложенные графы и доказывается, что оно удовлетворяет 4-членным соотношениям на вложенных графах. Мы также строим продолжение этой специализации на бинарные дельта-матроиды и доказываем, что построенное продолжение удовлетворяет 4-членным соотношениям на бинарных дельта-матроидах.

Инварианты узлов и зацеплений конечного порядка (инварианты Васильева)

Узлом называется класс изотопии вложения S1 ^ R3 ориентированной одномерной окружности в пространство. Инвариант узлов — это функция на множестве узлов.

Особым узлом называется класс изотопии гладких невырожденных отображений и: S1 ^ R3, таких, что все точки самопересечения образа u(S1) — простые двойные точки с трансверсальными самопересечениями. В. А. Васильев предложил способ (скейн-соотношение Васильева) продолжить каждый инвариант узлов со значениями в абелевой группе до инварианта особых узлов:

Скейн-соотношение позволяет вычислять продолжение инварианта рекуррентно, последовательно разрешая двойные точки. Несложно показать, что это определение корректно: результат продолжения не зависит от выбранной последовательности разрешений двойных точек.

Инвариант узлов имеет порядок не выше п, если его продолжение обращается в нуль на всех особых узлах, имеющих более, чем п двойных точек.

Понятие инварианта конечного порядка естественным образом распространяется и на инварианты зацеплений ("многокомпонентных узлов"). Многие классические инварианты узлов, например, многочлен Конвея или многочлен ИОМПУРТ, выражаются тем или иным образом через инварианты конечного порядка, хотя сами и не являются ими.

Инварианты Васильева (они же инварианты конечного порядка) обладают рядом достоинств, что делает их удобным и важным инструментом изучения узлов и зацеплений. Во-первых, пространство инвариантов порядка не выше заданного конечномерно,

и размерность этого пространства можно a priori оценить сверху. Кроме того, каждое пространство инвариантов наперед заданного порядка алгоритмически вычислимо. Далее, для каждого инварианта Васильева существует алгоритм для вычисления этого инварианта за полиномиальное время. Наконец, инварианты Васильева сильнее, чем все известные классические полиномиальные инварианты узлов (полиномы Александера, Джонса, Кауфмана, Конвея, HOMFLYPT и др.).

Алгебры Хопфа графов, хордовых диаграмм и 4-членные соотношения

Естественным образом определяемые инварианты графов и вложенных графов зачастую оказываются мультипликативными относительно той или иной операции умножения на множестве графов. Если соответствующая структура алгебры достраивается до структуры алгебры Хопфа, то пространство инвариантов оказывается алгеброй многочленов. В этом случае многие свойства инвариантов можно вывести, зная их значения на примитивных элементах алгебры Хопфа.

Алгебры Хопфа (определение)

В этом параграфе мы даем определение алгебры Хопфа, следуя [11]. Все рассматриваемые ниже векторные пространства определены над полем Е характеристики 0. Для простоты здесь и ниже можно считать, что это поле С комлексных чисел. Алгеброй Хопфа назвывается векторное пространство Н вместе с заданными на нем операциями умножения, коумножения, единицой, коединицой и антиподом.

Умножение т на Н это линейное отображение т : Н О Н — Н. Умножение ассоциативно, если диаграмма

П^П^П-

m®Id

Id ®m

поп

-non

■п

коммутативна. Эдесь Ы — тождественное отображение пространства в себя. Единицей будем называть линейное отображение ь : Е — Н, такое, что диаграмма

F ОП-^^ ПОП

п

■п

коммутативна. Коумножение ^ и коединица е это линейные отображения ^ : Н — НОН и е : Н —^ Е, такие, что следующие диаграммы коммутативны:

nonon-

Id

non—

/®Id

non

—n

F on-

e®Id

n

non

= n

m

m

m

/

Все рассматриваемые нами алгебры и коалгебры обладают свойствами коммутативности и кокоммутативности, т.е. коммутативны диаграммы

П®П----и

Ч0Ч—--- Ч Ч0Ч^^-Ч

где т : Ч0Ч м Ч0Ч это перестановка множителей тензорного произведения, т(а0Ь) = Ь 0 а.

Биалгебра это векторное пространство Ч вместе со структурой алгебры (т, ь) и структурой коалгебры (р,е), такими, что

1. е(1) = 1;

2. ^(1) = 1 0 1;

3. е(аЬ) = е(а)е(Ь);

4. у(аЬ) = ^(а)^(Ъ).

Умножение на тензорном произведении действует покомпонентно ((^10 А2) ■ (В1 0В2) =

(А! ■ В1) 0 (А2 ■ в2)).

Отметим, что коумножение часто обозначается через А, однако в данной работе символ А зарезервирован для обозначения симметрической разности множеств, и мы обозначаем коумножение символом

Биалгебра Ч называется градуированной, если Ч раскладывается в прямую сумму векторных пространств,

Ч = 0 Чк,

к> 0

причём умножение и коумножение в Ч согласованы с градуировкой, т.е. т(Чк 0 Ч1) С Чк+1 для всех к,1 = 0,1, 2,..., и ^(Чп) С Чо 0 Чп ф Ч1 0 Ч„_1 Ф ■ ■ ■ Ф Чп 0 Чо для всех п = 0,1, 2,....

Градуированное векторное пространство Ч называется векторным пространством конечного типа, если все Чп конечномерны.

Градуированная биалгебра Ч связна, если ь : Е м Ч суть изоморфизм поля Е на Ч0 С Ч.

Градуированная алгебра Хопфа — это связная градуированная биалгебра конечного типа вместе с линейным отображением в : Ч м Ч, таким, что т о (в 0 1) о ^ = т о (1 0 5) о ^ = ь о е. Отображение 5 называется антиподом.

Один из главных классов примеров алгебр Хопфа образуют алгебры Хопфа многочленов. Зададим коумножение на алгебре Е^,... ,хт], положив ^ : Хгм- 1 0 Хг + Хг 0 1 для г = 1, 2,... ,т, и продолжив это отображение до гомоморфизма алгебр. Антипод отображает переменные в противоположные к ним, Хг м —Хг, и продолжается до гомоморфизма алгебр. Подпространство градуировки п в этой алгебре Хопфа состоит из однородных многочленов степени п.

т

Градуировку в алгебре Хопфа многочленов можно изменить, если присвоить целочисленный вес каждой переменной и определить вес монома как сумму весов всех входящих в него переменных. Пространство градуировки п в такой алгебре многочленов натянуто на все мономы веса п. В частности, мы будем широко использовать алгебру Хопфа многочленов ¥[р\,р2,... ] от бесконечного набора переменныхр\,р2,..., в которой вес переменной р^ равен г, г = 1, 2,.... Несмотря на то, что набор переменных бесконечен, эта алгебра Хопфа имеет конечный тип.

Примитивные элементы

Элемент р Е Н алгебры Хопфа Н называется примитивным, если ^(р) = р О 1 + 1 О р. В частности, в алгебрах Хопфа многочленов примитивными элементами являются линейные многочлены. Пусть Н — градуированная алгебра Хопфа, Н = Н0 Ф Н ф Н2 Ф .... В каждом однородном пространстве Нп примитивные элементы образуют подпространство Р(Нп) С Нп. Согласно теореме Милнора-Мура [30] всякая связная кокоммутатив-ная алгебра Хопфа конечного типа над полем характеристики нуль изоморфна некоторой алгебре Хопфа многочленов от своих примитивных элементов. Другими словами, выбрав базис в пространствах примитивных элементов Р(Н\),Р(Н2),... и присвоив этим элементам вес, равный их градуировке, мы отождествляем Н с кольцом многочленов от элементов выбранного базиса. Таким образом, единица, коединица и антипод в рассматриваемых нами алгебрах Хопфа однозначно определяются структурой соответствующей адгебры Хопфа многочленов, поэтому в дальнейшем при определении алгебр Хопфа мы будем задавать только операции умножения и коумножения в них.

Теорема Милнора-Мура означает, в частности, что в такой алгебре Хопфа Н всякое подпространство Нп допускает разложение в прямую сумму Нп = Р(Нп) ф Д(Нп) векторного пространства примитивных элементов и векторного пространства разложимых элементов И(Нп), линейно порожденного произведениями элементов меньших градуировок. В частности, для всякого натурального п корректно определена проекция

Нп -—— Р(Нп) на пространство примитивных элементов вдоль подпространства разложимых.

Определение хордовых диаграмм и весовых систем

Хордовой диаграммой порядка п, п = 0,1, 2,..., называется ориентированная окружность, на которой выбрано 2п попарно различных точек, разбитых на п пар, рассматриваемая с точностью до сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности.

Рис. 1: 4-членное соотношение

Функция £ на хордовых диаграммах со значениями в коммутативном кольце называется весовой системой, если она удовлетворяет 4-членным соотношениям, изображен-

ным на рисунке 1. Мы выбираем диаграмму С и две её хорды с соседними концами и строим три других диаграммы в соответствии с рисунком 1. Предполагается что каждая из четырех окружностей ориентирована против часовой стрелки. Каждая из диаграмм на рисунке может содержать другие хорды с концами на дугах, изображенных пунктиром, набор которых одинаков для всех четырех диаграмм. Пусть С — первая из хордовых диаграмм, изображенных на рисунке 1, и a, b — изображенные на рисунке хорды (причём а — левая хорда, а b — правая). Преобразование, переводящее С во вторую хордовую диаграмму на рисунке, называется первым движением Васильева; обозначим его образ через С'аь. Преобразование, переводящее С в третью хордовую диаграмму на рисунке, называется вторым движением Васильева; его образ обозначается Саь. Четвертая диаграмма обозначается через С'аь; она является результатом применения к С композиции первого и второго движения Васильева, выполненных в произвольном порядке.

Обозначим через С = С0 ® С\® С2 Ф ... градуированное векторное пространство хордовых диаграмм; каждое пространство Сп порождено хордовыми диаграммами с п хордами. На пространстве С определить умножение не представляется возможным. Вместо этого введем структуру алгебры Хопфа на фактопространстве С4 = С^ Ф С\ Ф С^ Ф ..., где С4п является результатом факторизации пространства Сп по всем 4-членным соотношениям на хордовых диаграммах с п хордами.

Произведением двух хордовых диаграмм С\ и С2 будем называть хордовую диаграмму, полученную следующим образом. Разрежем окружности каждой из диаграмм С\ и С2 в произвольной точке, не совпадающей с концами хорд, и склеим получившиеся дуги с сохранением ориентации, так что в результате образуется новая окружность (см. рисунок 2). Результат такого умножения по модулю 4-членных соотношений не зависит от выбора точек разрезания диаграмм С\ и С2.

А_С

\_/ ........ \ =

Г\ J к

Рис. 2: Умножение хордовых диаграмм

Вот пример произведения хордовых диаграмм:

Коумножение ^ хордовых диаграмм определено следующим образом

»(С):= ^ С\и 0 С,

и UW=V (С)

где через С\и обозначена хордовая диаграмма, образованная подмножеством U С V(С) множества V(С) хорд диаграммы С.

Аналогичным образом можно определить алгебру Хопфа оснащённых хордовых диаграмм — хордовых диаграмм, хордам которых приписанно оснащение 0 или 1. В этом

случае, если оснащение хорды b (неподвижной хорды с рисунка 1), хордовой диаграммы С равно единице, то оснащение хорды а (второй хорды с рисунка 1) меняется при втором движении Васильева (в третьем и четвертом слагаемых на рисунке 1), так же, как и знак при этих слагаемых.

Основы теории инвариантов Васильева и их связи с хордовыми диаграммами изложены, например, в [11] и в главе 6 книги С.Ландо и А.Звонкина [26].

Алгебры Хопфа графов и оснащенных графов

Обозначим через G алгебру Хопфа графов, являющуюся градуированным векторным пространством

G = Go ®Gi® ...,

где Qn - векторное пространство над C, порождённое классами изоморфизма графов на п вершинах. Произведение в G индуцированно несвязным объединением графов, ко-умножение ^ : G ^ G 0 G действует на графе G следующим образом:

V : G ^ G\u 0 G\w,

U и w=V (G)

где суммирование происходит по всем разбиениям множества вершин V(G) графа G в несвязное объединение двух подмножеств, через G\u обозначен подграф графа G, индуцированный подмножеством U С V(G).

Оснащенный граф это простой граф G, на котором задано оснащение, т.е. функция V(G) ^ {0,1}. Как и простые графы, оснащенный граф можно задать его матрицой смежности. Строки и столбцы матрицы смежности индексируются вершинами графа. Внедиагональные элементы матрицы смежности равны 1 , если соответствующие вершины соединены ребром, и 0 в противном случае, всякий диагональный элемент равен оснащению соответствующей вершины.

Алгебру Хопфа оснащенных графов (впервые рассмотренную в [24]) будем обозначать через

G1 = G/i ®G(®GÎ 0 ...,

где Gn, для п = 0,1, 2,... — векторное пространство, натянутое на классы изоморфизма оснащенных графов с п вершинами. Заметим, что в градуировке 1 векторное пространство G{ порождено двумя оснащенными графами на одной вершине, которая в одном случае имеет оснащение 0, а в другом оснащение 1. Умножение Çf 0G^ ^ G^ и коумно-жение G^ ^ G^ 0 Gf определяются так же, как в алгебре Хопфа G.

В алгебре Хопфа графов G проекция -к : Gn ^ Р(Gn) на пространство примитивных элементов вдоль подпространства разложимых задаётся равенством

*(G)= £ (-1)|в|-1(\Б\- 1)! Д G\vp, (1)

V(G)= и Vg рев

рев р

где суммирование происходит по всем неупорядоченным дизъюнктным разбиениям В множества вершин V(G) графа G на непустые подмножества, \В\ — число элементов

разбиения, G^ обозначает подграф графа G, индуцированный подмножеством Vß Е

V (G).

Формула (1) для проекции позволяет представить произвольный граф G в виде многочлена от проекций графов на примитивные:

G = Е П ^^). (2)

у(G)= u Vg ßeß

ßeB g

Формулы (1) и (2) остаются справедливыми и для оснащённых графов.

4-членные соотношения для графов и оснащенных графов

Будем говорить, что инвариант графов F удовлетворяет 4-членным соотношениям для графов [23], если для любого графа G и любой упорядоченной пары (а, Ъ) его различных вершин выполняется равенство:

F(G) - F(G'ab) = F(Gab) - F(G'ab),

где все четыре графа являются графами на одном и том же множестве вершин V(G).

В графе G'ab вершины a, b соединены ребром, если и только если они не соединены ребром в G. Граф Gab строится по графу G следующим образом: меняется примыкание к вершине а всех вершин, примыкающих к Ь, отличных от а. Наконец, G'ab = (G'ab)ab = (Gab)'ab.

4-членные соотношения для оснащенных графов [24] имеют точно такой же вид, однако преобразование G М- СаЬ понимается несколько другим образом, если оснащение вершины b равно 1. В последнем случае, помимо изменения примыкания к а всех вершин, соседних с Ь, меняется оснащение вершины а и ее примыкание к вершине Ь.

Будем обозначать факторалгебры графов и оснащённых графов по 4-членным соотношениям через Q4 и Q4? соответственно.

Определение 0.1 (Граф пересечений) Графом пересечения хордовой диаграммы будем называть граф, вершины которого соответствуют хордам хордовой диаграммы и пары вершин которого соединены ребром в том и только в том случае, если соответствующие хорды пересекаются.

Оснащённой хордовой диаграмме соответствует оснащённый граф пересечений, оснащение вершин которого равно оснащению соответствующих хорд.

Если G — граф пересечения хордовой диаграммы (или оснащённой хордовой диаграммы) С и а и b — вершины этого графа, соответствующие хордам с соседними концами, то графы, участвующие в 4-членном соотношении для графа G и вершин а и Ь, являются графами персечений соответствующих хордовых диаграм 4-членного соотношения на хордовой диаграммы С и хордах а и Ь. Иными словами, отображения С4 М Q4 (соответственно, С4^ М Q4^) из алгебры Хопфа хордовых диаграмм по модулю 4-членных соотношений в алгебру Хопфа графов по модулю 4-членных соотношений (соответственно, из алгебры Хопфа оснащённых хордовых диаграмм по модулю 4-членных соотношений в алгебру Хопфа оснащённых графов по модулю 4-членных соотношений) определены корректно и являются гомоморфизмами градуированных алгебр Хопфа.

4-членное соотношение для дельта-матроидов

Система множеств - это пара (Е; Ф), где Е - конечное множество, а Ф - некоторое подмножество множества всех его подмножеств, Ф С 2Е. Множество Е называется носителем системы множеств, а элементы множества Ф - допустимыми подмножествами в ней.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жуков Вячеслав Игоревич, 2025 год

Список литературы

[1] Marcelo Aguiar, Nantel Bergeron and Frank Sottile Combinatorial Hopf algebras and generalized Dehn-Sommerville relations, Compositio Math. 142 (2006) 1-30

[2] D. Bar-Natan, H. Vo, Proof of a conjecture of Kulakova et al. related to the sl2 weight system, European Journal of Combinatorics, Volume 45, April 2015, Pages 65-70, arXiv:1401.0754

[3] B. Bollobas, O. Riordan, A polynomial invariant of graphs on orientable surfaces, Proc. London Math. Soc. (3) 83 (2001), no. 3, 513-531.

[4] B. Bollobas, O. Riordan, A polynomial of graphs on surfaces. Math. Ann. 323 (2002), no. 1, 81-96.

[5] Booth, Richard F.; Borovik, Alexandre V.; Gelfand, Israel M.; Stone, David A. Lagrangian matroids and cohomology. Ann. Comb. 4 (2000), no. 2, 171-182.

[6] A. Bouchet, Greedy algorithms and symmetric matroids, Math. Programm. 38 (1987), 147-159

[7] A. Bouchet, Representability of Д-matroids, in: Proceedings of the 6th Hungarian Colloquium of Combinatorics, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai 38 (1987), 167-182

[8] A. Bouchet, Maps and delta-matroids, Discrete Math. 78 (1989), 59-71

[9] Brijder, Robert, and Hendrik Jan Hoogeboom. Interlace polynomials for multimatroids and delta-matroids, European Journal of Combinatorics 40 (2014): 142-167.

[10] S. Chmutov, Generalized duality for graphs on surfaces and the signed Bollobas-Riordan polynomial, J. of Combin. Theory Ser. B 99 (2009) 617-638

[11] Chmutov S., Duzhin S., Mostovoy J., Introduction to Vassiliev Knot Invariants, 2012, Cambridge University Press

[12] S. Chmutov, S. Lando, Mutant knots and intersection graphs, Algebraic & Geometric Topology 7 (2007) 1579-1598

[13] S. Chmutov, S. Duzhin, S. Lando Vassiliev knot invariants III. Forest algebra and weighted graphs, in: Adv. Sov. Math., vol. 21, Providence RI, AMS, 135-146, 1994.

[14] S. Chmutov, F. Vignes-Tourneret, Partial duality of hypermaps, Arnold Mathematical Journal, Volume 8, pages 445-468 (2022)

[15] Carolyn Chun, Iain Moffatt, Steven D Noble, and Ralf Rueckriemen. Matroids, delta-matroids and embedded graphs. arXiv preprint arXiv:1403.0920, 2014.

[16] J. A. Ellis-Monaghan, I. Moffatt, Graphs on Surfaces; Dualities, Polynomials, and Knots, Springer (2013)

[17] D. P. Ilyutko, V. O. Manturov, A parity map of framed chord diagrams, Journal of Knot Theory and Its Ramifications Vol. 24, No. 13 (2015) 1541006 (15 pages)

[18] F. Jaeger, On transition polynomials of 4-regular graphs, in: Hahn et al. (Eds.), Cycles and Rays, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1990, pp. 123-150

[19] M. Kazaryan, S. Lando Weight systems and invariants of graphs and embedded graphs, Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, 893-942

[20] V. Kleptsyn, E. Smirnov Ribbon graphs and bialgebra of Lagrangian subspaces, Journal of Knot Theory and Its Ramifications Vol. 25, No. 12 (2016) 1642006

[21] M. Kontsevich Vassiliev knot invariants, in: Adv. Sov. Math., vol. 16, part 2, Providence RI, AMS, 137-150, 1993.

[22] E. Kulakova, S. Lando, T. Mukhutdinova, G. Rybnikov, On a weight system conjecturally related to si2, European Journal of Combinatorics, Volume 41, October 2014, Pages 266277

[23] S. K. Lando, On a Hopf algebra in graph theory, Journal of Combinatorial Theory, Series A. Vol. 80, 104-121 (2000)

[24] S. K. Lando, J-invariants of ornaments and framed chord diagrams, Funct. Anal. Appl., 40(1), 1-13 (2006).

[25] S. Lando, V. Zhukov. Delta-matroids and Vassiliev invariants. Moscow Math. J. vol. 17, no. 4, pp. 741-755, 2017

[26] S. Lando, A. Zvonkin, Graphs on surfaces and their applications. Springer, 2004.

[27] I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2, Oxford: Clarendon Press, 1995.

[28] Malic G. An action of the Coxeter group BCn on maps on surfaces, Lagrangian matroids and their representations arXiv:1507.01957v3

[29] B. Mellor, The intersection graph conjecture for loop diagrams. Journal of Knot Theory and its Ramifications, 9(02): 187-211, 2000.

[30] J. W. Milnor, J. C. Moore, On the Structure of Hopf Algebras, Annals of Mathematics, Vol. 81, No. 2 (Mar., 1965), pp. 211-264

[31] Iain Moffatt and Eunice Mphako-Banda. Handle slides for delta-matroids. European Journal of Combinatorics, 59:23-33, 2017.

[32] G. Moran, Chords in a circle and linear algebra over gf (2). Journal of Combinatorial Theory, Series A, 37(3):239-247, 1984.

[33] S. Noble, D. Welsh, A weighted graph polynomial from chromatic invariants of knots. Annales de l'institut Fourier 49(3) 1057-1087, 1999

[34] Gesche Nord, The s-chromatic polynomial. Master's thesis, Universiteit van Amsterdam, 2012.

[35] E. Soboleva Vassiliev knot invariants coming from Lie algebras and 4-invariants, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, Volume 10, Issue 01, February 2001, 161-169

[36] Richard P Stanley. A symmetric function generalization of the chromatic polynomial of a graph. Advances in Mathematics, 111(1):166-194, 1995.

[37] L. Traldi, The transition matroid of a 4-regular graph: an introduction, European J. Combinatorics 50 (2015), 180-207

[38] V. A. Vassiliev, Cohomology of knot spaces, in: Theory of singularities and its applications, 23-69, Adv. Soviet Math., 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1990.

[39] V. Zhukov, Lagrangian subspaces, delta-matroids, and 4-term relations, Funct. Analysis and Appl., vol. 52, 15-24 (2018)