Конечно-элементный анализ и моделирование упруговязкопластических объемно-стержневых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Гайджуров, Петр Павлович

• Гайджуров, Петр Павлович
• доктор технических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор технических наук Гайджуров, Петр Павлович

Общая характеристика работы.

1. Роль конечно-элементного моделирования на современном этапе науки и техники.

1.1. Развитие метода конечных элементов.

1.2. Развитие нелинейной вычислительной механики.

1.3. Краткий обзор программного обеспечения для конечно-элементного анализа.

2. Матричные алгоритмы метода конечных элементов для решения пространственных задач теории упругости.

2.1. Прямолинейный стержневой конечный элемент.

2.2. Полилинейные изопараметрические конечные элементы в декартовых координатах.

2.3. Поликубический элемент Эрмита.

2.4. Ансамблирование объемных и стержневых конечных элементов.

2.5. Выводы ко второму разделу.

3. „Моментная" схема метода конечных элементов.

3.1. Построение несовместных функций перемещений с помощью вспомогательных аппроксимирующих полиномов.

3.1.1. Полилинейный конечный элемент.

3.1.2. Поликвадратичный конечный элемент.

3.2. Аппроксимация компонент тензора деформаций.

3.3. „Функции формы" объемных изопараметрических конечных элементов.

3.4. Алгоритм формирования матрицы жесткости объемных конечных элементов по „моментной" схеме.

3.5. Алгоритм „моментной" схемы в цилиндрических координатах.

3.6. Алгоритм формирования матрицы жесткости по моментной" схеме для осесимметричной задачи.

3.7. Алгоритмы вычисления напряжений.

3.7.1. Метод сопряженных аппроксимаций.

3.7.2. Вычисление напряжений в пластинах и оболочках'.

3.8. Выводы к третьему разделу.

4. Численное исследование сходимости.

4.1. Балки и кольца.

4.2. Тонкостенные пластины.

4.3. Толстостенные пластины.

4.4. Оболочки.

4.5. Выводы к четвертому разделу.

5. Реологические модели упруговязкопластических сред.

5.1. Основные соотношения линейной наследственной теории упругости в трехмерной постановке.

5.1.1. Физические соотношения.

5.1.2. Способы моделирования линейной ползучести с учетом изменения деформационных свойств материала.

5.2. Вариационное уравнение равновесия для задач наследственного типа.

5.3. Шаговый алгоритм метода конечных элементов в перемещениях для решения задач линейной теории наследственности.

5.4. Выбор расчетного значения шага по временной координате.

5.5. Вычислительные особенности шагового алгоритма.

5.6. Матричное представление физических соотношений в рамках деформационной теории пластичности.

5.7. Вычислительные особенности конечно-элементного решения упругопластических задач.

5.8. Конечно-элементный алгоритм решения упруговязкопластических задач.

5.9. Выводы к пятому разделу.

6. Численное исследование точности и сходимости шаговых процедур МКЭ, предназначенных для решений задач вязкоупругости и пластичности.

6.1. Численное исследование точности и сходимости шаговой конечно-элементной процедуры решения задач вязкоупругости.

6.2. Тестирование шаговых конечно-элементных алгоритмов решения нелинейных задач.

6.3. Тестирование шаговой процедуры при переменном нагружении.

6.4. Компьютерное моделирование контактного взаимодействия системы „штамп-основание" в условиях полного сцепления.

6.5. Выводы к шестому разделу.;.

7. Численные методы решения прикладных задач динамической теории упругости.

7.1. Матричное уравнение движения механической системы в формулировке метода конечных элементов.

7.2. Матрица масс объемного изопараметрического конечного элемента.

7.3. Матрица масс пространственного прямолинейного бруса.^.

7.4. Анализ частот и мод свободных колебаний пространственных конструкций.

7.5. Примеры расчета частот и форм свободных колебаний.

7.6. Конечно-элементный анализ вынужденных колебаний.

7.7. Примеры конечно-элементных расчетов при динамическом нагружении.

7.8. Модальный анализ шестиэтажного здания.

7.9. Анализ частот и форм свободных колебаний коленчатого вала рядного дизеля в трехмерной постановке.

7.10. Инженерный анализ крутильных колебаний валопроводов энергетических установок с приводом от поршневых двигателей внутреннего сгорания.

7.11. Расчет напряженно-деформированного состояния дорожного покрытия в динамической постановке.

7.12. Выводы к седьмому разделу.

8. Расчетно-вычислительный комплекс POLYGON V для конечно-элементного моделирования пространственных конструкций и сооружений.

8.1. Организация вычислительного процесса.

8.2. Выбор расчетной схемы и ансамблирование.

8.3. Описание основных параметров конечно-элементной модели.

8.4. Структура исходных данных.

8.5. Фрагментарный способ дискретизации массивных тел сложной формы.

8.6. Визуализация результатов конечно-элеметного моделирования.

8.7. Примеры конечно-элементного моделирования промышленных объектов с использованием комплекса POLYGON V.

8.8. Выводы к восьмому разделу.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечно-элементный анализ и моделирование упруговязкопластических объемно-стержневых систем»

Актуальность темы. На современном этапе развития науки и техники трудно представить процесс проектирования новых машин, зданий и сооружений без широкого использования программ конечно-элементного анализа. Общеизвестно, что для создания многофункционального расчетно - вычислительного комплекса на базе метода конечных элементов (МКЭ) требуются усилия многих специалистов в области строительной механики, прикладной математики и системотехники.

В последнее время повышенный интерес исследователей проявляется к трехмерным механико-математическим моделям, учитывающим вязкоупругое и упругопластическое поведение материала. Однако, вычислительные возможности МКЭ при решении пространственных задач механики деформируемого твердого тела ограничены степенью дискретизации исследуемого объекта на конечные элементы (КЭ). В существующих программных комплексах, как правило, рекомендуется трехмерную нелинейную модель упрощать, сводя ее к плоской или осесимметричной. Вместе с тем мало исследованными остаются подходы к построению новых объемных конечных элементов повышенной точности, позволяющих моделировать деформации и большие перемещения тонкостенных и толстостенных конструкций на грубых сетках.

Проблема усложняется при создании конечно-элементного приложения в рамках наследственной теории упругости. В этом случае встает вопрос о выборе схемы численного интегрирования и величины шага по временной оси для различных типов ядер релаксации.

Значительно расширить круг инженерных приложений МКЭ позволяет процедура формализации связанной краевой задачи упруго-пластичности и вязкоупругости при квазистатическом процессе нагружения. Численная реализация данной процедуры открывает возможность исследования напряженно деформированного состояния объекта в процессе возведения (монтажа) и последующей эксплуатации. К сожалению, сейчас эта проблема практически не изучена.

Еще одной мало исследованной областью конечно-элементного анализа является направление, связанное с решением "слоевых" задач в физически и геометрически нелинейной постановке. Для расчета сэндвичевых структур требуется вводить различные параметры идентификации нелинейных моделей, характеризующих деформационные свойства отдельных фрагментов ("слоев"). В публикациях, посвященных численным расчетам с учетом пластичности, решений поставленной задачи не приводится.

Востребованной также является разработка МКЭ-программ для решения задач прочности упругопластических трехмерных систем при циклическом процессе "нагружение - разгрузка".

Существенно увеличить эффективность МКЭ позволяет процедура ансамблирования объемных и стержневых (балочных) конечных элементов. Последние позволяют моделировать ребра жесткости пластин и оболочек, рассчитывать на прочность массивные предварительно напряженные железобетонные конструкции, а также разрабатывать рекомендации по увеличению жесткости аварийных сооружений с помощью тяжей. Вместе с тем в литературе по МКЭ отсутствуют сведения об использовании объемно-стержневых моделей.

Необходимо указать на малое число работ, посвященных конечно-элементному анализу линейно упругих колебаний трехмерных механических систем при силовом и кинематическом воздействиях. В частности нет сведений о МКЭ-программах, предназначенных для модального анализа объемно-стержневых моделей.

Важнейшей частью конечно-элементного комплекса является банк тестовых и учебных примеров, включая нелинейные задачи.

Данная информационная составляющая определяет качество и достоверность используемых механико-математических моделей материала, показывает вычислительную эффективность алгоритмов и создает благоприятные предпосылки для промышленного внедрения пакета прикладных программ.

Рассмотренные в настоящей работе вопросы развития теории МКЭ и его приложений к задачам механики деформируемого твердого тела и динамики и прочности машин связаны со следующими проблемами:

- существующие объемные конечные элементы требуют значительных вычислительных затрат при решении трехмерных задач теории упругости и не позволяют моделировать больших перемещений;

- для расчета на прочность упругопластических неконсервативных пространственных систем требуется разработать универсальный итерационный алгоритм МКЭ, индифферентный к величине параметра пластичности;

- трехмерные реологические модели сплошной среды, основанных на интегральной связи между компонентами тензоров деформаций и напряжений, требуют разработки шаговой процедуры МКЭ, основанной на пространственно-временной дискретизации краевой задачи;

- отсутствует алгоритм построения конечно-элементной модели, образованной из конечных элементов с различным числом неизвестных в узлах;

- требуется разработать концепцию МКЭ для решения связанной краевой задачи упругопластичности и вязкоупругости;

- отсутствуют МКЭ-программы для решения прикладных задач динамики объемно-стержневых механических систем;

- необходим банк тестовых примеров, обеспечивающих фундаментальность и гарантию качества конечно-элементного программного комплекса.

Эффективное решение этих проблем возможно на основе совершенствования существующих и разработки новых методов и алгоритмов конечно-элементного моделирования, что определяет актуальность рассматриваемой темы.

Резюмируя можно сформулировать следующую цель научных исследований.

Целью работы является решение важной научной проблемы, связанной с разработкой методов, алгоритмов и МКЭ-программ для расчета упруговязкопластических объемно-стержневых систем и направленной на повышение качества проектирования в области машиностроения и строительства без привлечения дорогостоящих мульти-физических программных комплексов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Анализ современных методов построения матриц жесткости объемных конечных элементов, способов формирования и хранения коэффициентов глобальной матрицы жесткости и алгоритмов решения результирующей системы уравнений с целью оценки их эффективности и разработки соответствующего математического и программного обеспечения.

2. Обзор механико-математических моделей упругопластиче-ских, вязкоупругих и упруговязкопластических сплошных сред для построения физических соотношений конечно-элементного алгоритма в форме метода перемещений.

3. Построение матриц жесткости и тестирование новых универсальных объемных КЭ, позволяющих моделировать изгибные деформации тонкостенных и толстостенных пластин и тел вращения.

4. Разработка алгоритма и программы ансамблирования объемных и пространственных стержневых (балочных) КЭ.

5. Разработка программы генерации трехмерной сетки элементов и формирования соответствующих массивов топологической информации.

6. Создание программы решающего устройства, включающего формирование глобальной матицы жесткости ансамбля КЭ, решение результирующей системы алгебраических уравнений, вычисление внутренних усилий в стержневых и напряжений в объемных элементах.

7. Построение программного модуля пре- и постпроцессорной обработки информации.

8. Разработка и исследование сходимости нового метода конечно-элементного анализа напряженного состояния массивных тел, выполненных из линейно вязкоупругого материала при квазистатическом процессе нагружения.

9. Разработка и исследование сходимости нового эффективного метода и МКЭ-программы решения пространственных задач теории пластичности при циклическом процессе нагружения.

10. Разработка нового метода решения связанной задачи упруго-пластичности и вязкоупругости.

11. Разработка пакета прикладных программ МКЭ для динамического расчета механических объемно-стержневых систем.

Диссертационная работа выполнена в рамках научных направлений Южно-Российского государственного технического университета (НПИ) по темам: "Компьютерная оптимизация, ресурсосберегающие расчеты и управление состоянием строительных конструкций и оснований зданий и сооружений", "Совершенствование, разработка узлов, агрегатов, систем и программ расчета деталей, улучшающих эффективность и экономичность поршневых и комбинированных двигателей внутреннего сгорания".

Методы исследований

В работе использовались:

- элементы тензорного анализа и вариационного исчисления (принцип Лагранжа), матричная алгебра, интерполяционные полиномы и сплайны;

- методы и алгоритмы решения больших систем линейных алгебраических уравнений с симметричными редкозаполненными матрицами коэффициентов;

- алгоритмы экономичного хранения разреженных матриц высокого порядка в терминах теории графов;

- теория малых упругопластических деформаций;

- наследственная теория упругости;

- численные методы решения нестационарных задач теории упругости, включая модальный анализ;

- элементы дискретной и компьютерной (символьной) математики.

Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Новые тензорно - матричные алгоритмы построения матриц жесткости "моментных" полилинейных КЭ.

2. Пространственные механико-математические модели упругопластических и вязкоупругих материалов.

3. Новые методы, алгоритмы и программы конечно-элементного анализа напряженно деформированного состояния трехмерных тел, выполненных из упругопластических и вязкоупругих материалов.

4. Оригинальная методика расчета объемно-стержневых механических систем при динамическом нагружении.

5. Программный комплекс POLYGON V и модули пре- и постпроцессорной обработки данных конечно-элементного расчета.

6. Числовые результаты исследований сходимости и точности разработанных алгоритмов и программ.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Получены оригинальные соотношения для матриц жесткости "мо-ментных" трехмерных (в общем случае криволинейных) элементов, инвариантные по отношению к глобальному базису и учитывающие в процессе сложного деформирования смещения элементарных объемов "как жесткое целое". Отличительной особенностью предлагаемых элементов является вычисление физических компонент тензоров деформаций и напряжений относительно местных "сопутствующих" в общем случае неортогональных осей. Для случая, когда изменением метрики в объеме элемента можно пренебречь, представленные матричные выражения преобразованы к замкнутому виду.

2. Впервые создана процедура ансамблирования объемных и стержневых (балочных) конечных элементов, позволяющая решать задачи пространственного армирования и усиления конструкций и сооружений.

3. Выявлены новые важные особенности, возникающие при моделировании пластинчатых и оболочечных конструкций по толщине одно- и двухслойными схемами изопараметрических полилинейных КЭ, построенных на основе "моментного" и стандартного алгоритмов МКЭ.

4. Впервые исследованы вычислительные особенности алгоритма "глобального" сглаживания поля напряжений для трехмерного конечно-элементного ансамбля. На базе теории сопряженных аппроксимаций получены новые выражения для фундаментальных матриц объемных элементов с различным числом узлов. Разработан универсальный алгоритм вычисления физических компонент тензора напряжений "моментных" КЭ.

5. Разработан и апробирован на модельных задачах новый конечноэлементный алгоритм решения задач линейной вязкоупругости с учетом переменного квазистатического нагружения и зависимости реологических характеристик материала от времени и температуры.

6. Формализована оригинальная механико-математическая модель сдвиговой ползучести стареющего материала, применительно к шаговой процедуре МКЭ в форме метода перемещений.

7. Исследована сходимость численного решения задачи наследственной теории упругости в зависимости от типа ядра релаксации, способа численного интегрирования и схемы дискретизации по временной оси.

8. Разработан и реализован эффективный алгоритм метода переменных параметров упругости в сочетании с процедурой предикции для решения задач теории пластичности. Предлагаемый новый алгоритм позволяет исследовать пластический отклик конечно-элементной модели при циклическом нагружении.

9. Впервые разработано программное обеспечение, позволяющее в рамках единого вычислительного процесса использовать для отдельных фрагментов (конгломератов КЭ) ансамбля различные нелинейные модели материала.

10. Разработан конечно-элементный алгоритм прочностного расчета упруговязкопластических тел, основанный на шаговой схеме процесса нагружения (разгрузки), инкрементальной нелинейно деформируемой модели материала и интегральной зависимости между результирующими тензорами напряжений и деформаций.

11.Создан метод динамического анализа объемно-стержневых механических систем. Сформулированы практические рекомендации по выбору шага по времени для различных способов возбуждения колебаний, обеспечивающие устойчивую сходимость процесса прямого интегрирования уравнения движения.

12. На базе нового стандарта Фортрана 90 разработано вычислительное ядро конечно-элементного комплекса POLYGON V, предназначенного для решения научно-исследовательских и промышленных задач в области машиностроения и строительства.

13. На основе графических функций системы компьютерной математики Maple V R5 созданы пре- и постпроцессорные программные модули визуализации исходных данных (геометрия, топология) и результатов конечно-элементного анализа.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждена результатами численного исследования сходимости на тестовых примерах, имеющих заранее известное решение, а также данными комплексного контроля, включающего:

- проверку выполнения условий равновесия внутренних усилий в поперечных сечениях отдельных конгломератов конечных элементов;

- проверку на отсутствие напряжений обжатия на лицевых ненагру-женных поверхностях конструкции;

- проверку на выполнение условия равновесия конечно-элементной модели в интегральном смысле;

- проверку на отсутствие напряжений при смещении тела вдоль глобальных осей "как жесткого целого".

Для вывода основных выражений в тензорно матричной форме использовался символьный процессор системы компьютерной математики Maple V R5.

Практическая значимость и внедрение работы заключается в следующем:

1. Разработаны и апробированы на разнообразных тестовых примерах новые универсальные объемные полилинейные КЭ изопараметри-ческого типа, удовлетворяющие современным требованиям твердотельного моделирования.

2. Создан метод конечно-элементного анализа упругопластических континуумов, отдельные фрагменты которых могут описываться индивидуальными нелинейными диаграммами деформирования материала. Получено численное решение новой "слоевой" задачи о нелинейном взаимодействии ленточного фундамента и основания. Результаты упругопластического решения доведены до практического применения в виде данных о трансформации эпюры компонент тензора напряжений под подошвой фундамента и его осадке в процессе нагружения.

3. Разработаны новый метод и МКЭ-программа расчета вязкоупругих механических систем при переменном квазистатическом нагруже-нии с учетом зависимости реологических параметров материала от времени и температуры. Впервые получено конечно-элементное решение задачи о взаимодействии твердеющего бетонного блока с линейно упругим скальным основанием в условиях неоднородного и нестационарного температурного поля.

4. Реализована оригинальная процедура ансамблирования объемных и стержневых КЭ, позволяющая формировать глобальную матрицу жесткости из элементов, имеющих различное число степеней свободы в узлах. Данная методика позволяет существенно расширить круг инженерных задач, что обуславливает конкурентоспособность разработанного математического и программного обеспечения.

5. Создан новый инженерный метод анализа крутильных колебаний возбуждаемых в валопроводе энергетической силовой установки с приводом от поршневого двигателя внутреннего сгорания с учетом порядка чередования вспышек, внутреннего демпфирования и нештатной ситуации, связанной с отключением одного рабочего цилиндра. Разработанный метод и МКЭ-программа позволяют заменить дорогостоящие натурные испытания (торсиографирование) главных судовых двигателей, которые проводятся согласно требованиям "Морского регистра" при поочередно отключаемых рабочих цилиндрах.

6. Разработан и апробирован на модельных задачах метод модального анализа, позволяющий оценить динамическую жесткость пространственных конструкций и сооружений, моделируемых "моментны-ми" и стержневыми КЭ. Выполнены исследования частот и форм свободных колебаний шестиэтажного здания, шестицилиндрового рядного двигателя средней мощности, ротора агрегата газотурбинного наддува главного судового дизеля.

7. Впервые выполнены исследования малых линейных упругих колебаний "слоевой" системы основание - дорожное покрытие (ширина проезжей части 7,5 м) при набегающем характере нагружения, имитирующем движение большегрузного автомобиля грузоподъемностью 34 т со скоростью 90 км/ ч.

8. Разработан расчетно-вычислительный комплекс POLYGON V, включающий разделы: статический анализ напряженно деформированного состояния линейно упругих массивных, стержневых и комбинированных конструкций; модальный анализ объемно-стержневых механических систем; расчет на устойчивость пространственных стержневых конструкций; динамический анализ при силовом или кинематическом возбуждении колебаний; решение трехмерных задач в рамках деформационной теории пластичности при переменном нагружении; расчет массивных тел, выполненных их вязкоупругого материала. Характерной особенностью МКЭ-программы POLYGON V является модульный принцип, эволюционная структура и ориентация на современное математическое и программное обеспечение. Программы защищены свидетельством об официальной регистрации РОСПАТЕНТом.

9. Возможности разработанного комплекса МКЭ продемонстрированы на модельных примерах промышленного характера: изгиб квадратной плиты, усиленной ребрами жесткости, которые моделировались объемными и стержневыми КЭ; анализ напряженного состояния групп свай (1x1, 1x2, 2x2) висячего типа при действии вертикальной нагрузки и закручивании моментом в плоскости ростверка.

10. На основе разработанного математического обеспечения и соответствующей МКЭ-программы установлено, что главный судовой двигатель теплохода "Аксай" на номинальном режиме перегружен в тепловом и механическом отношении. На основании сделанного технического заключения руководство компании АО "ВолгоДонское пароходство" приняло решение об изменении геометрических параметров винта (путем укорочения лопастей) с целью снижения общей напряженности двигателя.

Разработанные алгоритмы, методики и программы расчетов успешно используются в учебном процессе (при дипломном проектировании), а также аспирантами соответствующих специальностей Ростовского государственного строительного университета и Южно-Российского государственного технического университета. Промышленное внедрение результатов работы осуществлено путем передачи и апробации пакета прикладных программ POLYGON V в проектно-конструкторскую компанию "ФлотТехМенеджмент" при АО "ВолгоДонское пароходство" г. Ростов-ц/ Д.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на Международных научно-практических конференциях "Строительство-1999, 2000, 2002, 2003" (г. Ростов-н/ Д); "Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах - 2000" (г.Новочеркасск); на ежегодных научно-технических конференциях преподавателей кафедры строительной механики Ростовского государственного строительного института, на заседании научно-технического семинара Донского государственного технического университета (г Ростов-н/ Д), на семинаре кафедры "Математическое моделирование" Ростовского государственного университета.

Публикации. Основные научные и практические результаты опубликованы в 33 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит: из общей характеристики; восьми разделов; заключения; списка литературы из 153 наименований (в том числе 34 зарубежных источников); приложений I, II, III, в которые вынесены выражения для матриц жесткости и данные тестирования (в виде таблиц) разработанного программного комплекса. Объем диссертации - 439 стр., включая 268 рисунка, 36 таблиц.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за творческое участие в обсуждении основных положений и результатов работы заведующему кафедрой строительной механики РГСУ профессору, д.т.н. Г.В. Василькову.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гайджуров, Петр Павлович

8.8. Выводы к восьмому разделу

1. На базе нового стандарта Фортрана 90 разработан многомодульный программный комплекс POLYGON V для конечно-элементного моделирования деформируемых объемно стержневых систем при квазистатическом нагружении. В качестве физической модели материала объемных конечных элементов может использоваться линейно упругая изотропная или конструктивно анизотропная среда, нелинейно деформируемое тело с линейным или степенным упрочнением, линейно ползучий стареющий континуум.

2. Свойства материала задаются путем идентификации фрагментов (конгломератов конечных элементов). При этом сначала формируются массивы механических констант для внутренних (замкнутых) фрагментов, а затем для наружных фрагментов.

3. В комплексе реализуются следующие типы нагрузки: сосредоточенные в узлах ансамбля элементов силы; поверхностное нагружение (включая нормальное давление); температурное воздействие; кинематическое нагружение в виде заданных линейных смещений узловых точек; массовые силы (включая силу инерции). В динамических расчетах линейно упругих малых колебаний задаются номера узлов конечно-элементной модели, на которые действуют переменные силы. Может использоваться внезапно приложенная (неисчезающая) нагрузка, переменное нагружение по линейному или периодическому гармоническому (негармоническому) законам, исчезающее (импульсное) воздействие, кинематическое возмущение. В случае табличного представления информации о процессе нагружения в программе предусмотрена линейная, квадратичная или кубическая сплайновая интерполяция данных.

4. Граничные условия конструируются по геометрическому принципу путем параметризации поверхностей, на которые наложены линейные и угловые связи.

5. На основе графических функций пакета компьютерной математики Maple V R5 созданы программы пре- и постпроцессорной обработки информации о состоянии каркаса конечно-элементной модели на стадиях подготовки исходных данных и после приложения нагрузки. Все соответствующие расчеты выполняются в MS DOS, в среде Maple V осуществляется только построение каркаса модели.

6. Разработаны вспомогательные программы визуализации результатов расчетов в виде 1D и 2D графиков; Пользователь в исходных данных задает номера контрольных узловых точек, ансамбля, для которых строятся графики. Этот модуль обслуживает как статические, так и динамические расчеты.

7. С помощью RGB алгоритма создана процедура контрастного окрашивания конечно-элементной модели по функциональным признакам (напряжения, интенсивность деформации). По желанию пользователя контрастные картины строятся в цвете или черно-серые. Данный вид визуализации снабжен соответствующей шкалой для количественного анализа результатов моделирования. Для графического представления поля главных напряжений служит процедура визуализации в виде цветных векторных графиков с копированием геометрии расчетной модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие научные и практические результаты:

1. Разработан оригинальный метод построения матриц жесткости объемных изопараметрических полилинейных конечных элементов с использованием идеи "моментной" схемы А.С. Сахарова, суть которой состоит в представлении ковариантных компонент тензора деформации в виде отрезков ряда Тейлора в окрестности местной сопутствующей в общем случае неортогональной системы координат. Полученные тензорно - матричные выражения, связывающие узловые перемещения и деформации, в отличие от соотношений А. С. Сахарова, представленных в тензорно - индексной форме, имеют прозрачную структуру вывода, легко программируются и удовлетворяют современным требованиям твердотельного моделирования пространственных тонкостенных, толстостенных и комбинированных конструкций сложной формы. По сравнению с элементами такого же порядка, но построенными по стандартной схеме МКЭ (деформации определяются в глобальных осях), предлагаемый элемент обеспечивает устойчивую и монотонную сходимость при меньших вычислительных затратах, а также незаменим при прочностном анализе трехмерных тонкостенных конструкций в случае больших перемещений.

2. Программными средствами реализована процедура ансамблирования объемных (3 степени свободы в узле) и пространственных стержневых (6 степеней свободы в узле) конечных элементов. Разработанный программный модуль ориентирован на уточненный расчет напряженно деформированного состояния массивных пространственно армированных тел и на осуществление эффективного усиления пластинчатых и оболочечных конструкций ребрами жесткости, моделируемыми стержневыми (балочными) элементами. Данная методика позволяет существенно расширить круг инженерных задач, что обуславливает конкурентоспособность разработанного математического и программного обеспечения.

3. На многочисленных тестовых примерах, имеющих аналитическое решение или решение, полученное с помощью других численных методов, исследована сходимость и установлены вычислительные (по точности) границы для разработанных "моментных" конечных элементов. Показано, что регулярная двухслойная конечно-элементная схема, с размером шага сетки в плане на порядок большем, чем толщина слоя элементов, позволяет достаточно точно моделировать изгибные деформации тонкостенных пластин и оболочек при значении коэффициента Пуассона не равном нулю.

4. Выполнен сравнительный анализ по точности и вычислительным затратам разработанного программного обеспечения и многофункционального комплекса для инженерных расчетов COSMOS/ DesignSTAR, в котором используются только объемные элементы в виде тетраэдров. Показано, что для достижения приемлемой по перемещениям точности созданный пакет прикладных программ требует значительно меньшего числа конечных элементов в форме призм и параллелепипедов. Уменьшение размерности дает выигрыш в затратах времени на формирование топологической информации и решение результирующей системы уравнений. *

5. Разработана процедура предикции для метода переменных параметров упругости, обеспечивающая устойчивую сходимость для наиболее распространенных физически нелинейных моделей материала, позволяющих описывать деформационные свойства металла, бетона, железобетона, полимеров, а также оснований естественного и искусственного происхождения. Данная особенность повышает качество разработанного программного обеспечения, т. к. делает итерационный процесс уточнения упругопластического решения управляемым.

6. Получено численное решение трехмерной задачи нелинейного взаимодействия фундамента с основанием в новой постановке, суть которой состоит в том, что конгломераты конечных элементов, принадлежащие основанию и фундаменту, описываются разными физически нелинейными моделями материала. Результаты упругопластического решения "слоевой" задачи доведены до практического применения в виде данных о трансформации эпюры компонент тензора напряжений под подошвой JL- образного фундамента и его осадке в процессе поэтапного нагружения. В программу добавлен модуль, позволяющий пересчитывать координаты узлов конечно-элементного ансамбля в случае, если полученные перемещения существенного искажают расчетную схему.

7. Формализован оригинальный конечно-элементный алгоритм решения связанной задачи вязкоупругости и упругопластичности, основанный на пространственно временной зависимости модулей объемной и сдвиговой деформации соответственно от гидростатического давления и деформации сдвига. Данный подход отличается от алгоритмов других авторов тем, что в нем используются более простые механико-математические модели материала, лежащие в основе деформационной теории пластичности и наследственной теории упругости. Это позволяет получить численное решение смешанной краевой задачи программным способом, не прибегая к сложным физическим соотношениям.

8. На модельных задачах апробирован новый метод и МКЭ-программа прочностного анализа массивных тел из "стареющих" вязкоупругих материалов при квазистатическом силовом нагружении и нестационарном температурном воздействии. По сравнению с техническими теориями ползучести (старения, течения и упрочнения) предлагаемый подход основан на интегральной форме связи компонент тензоров напряжений и деформаций, что позволяет использовать известные ядра релаксации, полностью хранить информацию об "истории" квазистатического нагружения и варьировать величиной шага интегрирования по временной оси в процессе вычислений.

9. Разработан метод расчета на малые упругие колебания объемно-стержневых систем, включающий модальный анализ и определение переменного напряженно деформированного состояния при различных видах внешнего воздействия. Частичная обобщенная собственная проблема решена с помощью стандартного алгоритма метода итераций в подпространстве. В конечноэлементном алгоритме прямого интегрирования уравнения движения реализованы безусловно устойчивые неявные схемы Ньюмарка и Г. В. Василькова. Метод реализован в виде программного модуля, с помощью которого выполнен спектральный анализ для несущего каркаса шестиэтажного здания и шестицилиндрового рядного дизеля средней мощности, а также исследовано динамическое поведение системы основание — дорожное покрытие при набегающем характере нагружения, имитирующем движение большегрузного автомобиля весом 34 т со скоростью 90 км/ч.

10.Предложен новый инженерный метод расчета валопровода силовой энергетической установки с приводом от поршневого двигателя внутреннего сгорания на крутильные колебания с учетом чередования вспышек, демпфирования и случая нештатной ситуации, связанной с отключением одного из рабочих цилиндров. Разработанное математическое обеспечение и МКЭ-программа позволяют заменить дорогостоящие ходовые испытания (торсио-графирование) главных судовых двигателей, которые проводятся согласно требованиям "Морского регистра" при поочередно отключаемых рабочих цилиндрах. На основании модального анализа, оценена динамическая жесткость коленчатого вала шестицилиндрового рядного судового дизеля средней мощности и выработаны практические рекомендации по усилению элементов несущего остова. С помощью разработанного программного обеспечения установлено, что детали цилиндропоршневой группы главного двигателя теплохода "Аксай" на номинальном режиме существенно перегружены в тепловом и механическом отношении. На основании сделанного технического заключения судовладельцем было принято решение о корректировке винтовой характеристики судна путем уменьшения диаметра винта.

11.На базе нового стандарта Фортрана 90 разработано вычислительное ядро комплекса прикладных программ POLYGON V, предназначенного для статического, квазистатического и динамического конечно-элементного анализа объемно-стержневых систем при различных видах силового и температурного воздействия с учетом упругопластичности и вязкоупругости материала. Вычислительное ядро комплекса основано на символьном представлении портретов матрицы жесткости и согласованной матрицы масс, что позволяет оценить ресурсы и выбрать тип решателя до процедуры численного ансамблирования. Комплекс построен по модульному принципу, документирован и имеет открытую структуру, что позволяет дополнять его новыми численными схемами, моделями материалов и совершенствовать на решении широкого круга задач учебного, промышленного и исследовательского характера.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Гайджуров, Петр Павлович, 2004 год

1. Автоматизация расчетов транспортных сооружений/ А.С. Городецкий, В.И. Заворитский, А.И. Лантух-Лященко, А.О. Рассказов.-М.: Транспорт, 1989.-232с.

2. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований.-М.: Изд-во „АСВ", 2000.-754с.

3. Александров А.П., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит, спец. вузов. М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

4. Ал футов Н.А., Зиновьев П. А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов.-М.: Машиностроение, 1984.-264с.

5. Амусин Б.З., Фадеев А.Б. Метод конечных элементов при решении задач горной геомеханики.-М.: Наука, 1975.-143с.

6. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц.-М.: Стройиздат, 1968.-241с.

7. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупруго-пластических сред.-М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1987.-472с.

8. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Расчет строительных конструкций с учетом ползу-чести.-М.: Стройиздат, 1988.-256с.

9. Бакулин В.Н., Рассоха А.А. Метод конечных элементов и голографическая интерферометрия в механике композитов.-М.: Машиностроение, 1987.-312с.

10. Ю.Бартеньев О.В. Современный Фортан.-М.: Диалог-МИФИ, 1998.-397с.

11. П.Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL: Ч.1.-М.: Диалог-МИФИ, 2000.-448с.

12. Бате К., Вилсон Р. Численные методы анализа и метод конечных элемен-тов.-М.: Стройиздат, 1982.-448с.

13. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний.-М.: Высш. школа, 1980.-408с.

14. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика.-1951.-№15, вып.6.-С.765-770.

15. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. -М.: Оборонгиз, 1956.-151 с.

16. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций .-М.: Машиностроение, 1980.-376с.

17. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмэм Я. Слабозаполненные матрицы.-М.: Энергия, 1079.—191с.

18. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.-М.: Мир, 1987.-542с.

19. Васильков Г.В. Вычислительная механика. Ч. II. Некоторые модели и методы теории упругости и пластичности: Учеб. пособие / РГСУ.-Ростов \V Д,1993.—124с.

20. Васильков Г.В. Вычислительная механика. Ч. III. Прямые методы' решения нестационарных задач строительной механики: Учеб. пособие7 РГСУ.-Ростов\V Д,1994.-156с.

21. Васильков Г.В., Имедиашвили Н.Г. Метод точечного сохранения инвариантов в решениях нестационарных задач механики / / Изв. вузов. Строительство.-1997.-№4.-С.60-68.

22. Васильков Г.В., Дежина И.Н., Орта-Ранхель А. О реологических моделях упруговязкопластических сред / / Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки.-1998-№3.-С.21-36.

23. Васильков. Г.В., Гайджуров П.П., Орта-Ранхель А. Шаговый метод решения пространственных задач линейной теории наследственности.-Ростов в/ Д: Ростовский ГСУ.-2000.-20с.-Деп. в ВИНИТИ 28.06.00., №1799-В00.

24. Васильков. Г.В., Гайджуров П.П. Расширенный вариационный принцип Гамильтона, экстремальная теорема динамики сооружений/ / Известия Ростовского гос. строит. ун-та.-2000.-№5.-С.47-55.

25. Васильков Г.В. Теорема об изменении потенциальной энергии механическойсистемы при добавлении новых связей/ / Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки.-2000.-№4.-С.26-28

26. Васильков Г.В. Об одном варианте виброреологической модели грунтовых сред/ / Изв. вузов. Строительство.-2000.-№9.-С.13-15.

27. Васильков Г.В., Гайджуров П.П. Анализ напряженно-деформированного состояния групп свай // Строительство-2002: Материалы Межд. науч. практ. конф. Ростов-н/Д. Рост. гос. строит, ун-т, 2002.-С.75-76.

28. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. 2-е изд.-М.: Физматгиз, 1959.-508с.

29. Ворович И.И., Копасенко В.В. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы/ / Прикл. математика и механика.-1966.-30,вып. 1.-С. 109-115.

30. Ворович И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости.-М.: Наука, 1974 .-456с.

31. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболо-чек.-М.: Наука, 1989.-373с.

32. Гайджуров П.П. Построение матрицы жесткости криволинейного конечного элемента с использованием вспомогательных аппроксимирующих полиномов.- Новочеркасск: Новочеркасский ГТУ.-1996.-15с.-Деп. в ВИНИТИ 17.04.96., №6-6/ о 54.

33. Гайджуров П.П. Конечно-элементный анализ напряженно деформированного состояния тел вращения в трехмерной постановке.-Новочеркасск: Новочеркасский ГТУ.-1997.-9с.-Деп. в ВИНИТИ 01.04.97., №6-6/ о 149.

34. Гайджуров П. П. Конечные элементы повышенной точности для прочностных расчетов деталей поршневых двигателей внутреннего сгорания.-Новочеркасск: Новочеркасский ГТУ.-1998.-22с.-Деп. в ВИНИТИ 04.08.98., №2515-В98.

35. Гайджуров П.П. Методика вычисления механических напряжений в машиностроительных конструкциях сложной формы.-Новочеркасск: Новочеркасский ГТУ.-1998.-13с.-Деп. в ВИНИТИ 04.12.98., №3541-В98.

36. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Численные методы решения прикладных задачдинамической теории упругости.-Ростов г/ Д: Ростовский ГСУ.-1998.-21с.-Деп. в ВИНИТИ 23.12.98., №3919-В98.

37. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Исследование свойств матриц жесткости объемных конечных элементов.-Ростов W Д: Ростовский ГСУ.—1998.-1 бс.-Деп. в ВИНИТИ 14.01.99., №59-В99.

38. Гайджуров П.П., Белаш В.В. Несовместные объемные конечные элементы // Строительство-99: Тез. докл. Межд. науч. практ. конф. Ростов-н/Д: Рост, инст-т промышл. и граждан. строит-ва.-1999.-С.63.

39. Гайджуров П.П. Инженерный анализ жесткостных свойств повторяющихся фрагментов коленчатых валов Вестник машиностроения. 2000. - №7. -С.22-25.

40. Гайджуров П.П. Конечно-элементное моделирование нелинейного контактного взаимодействия штампа и основания // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2003. - Приложение №1. - С. 1-9.

41. Гайджуров П.П. Конечно-элементное решение пространственной задачи теории вязкоупругости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. -2003. Приложение №1. - С.38-46.

42. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.-М.: Наука, 1986.-304с.

43. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.-М.: Мир, 1984.-428с.

44. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М.: Стройиздат, 1974.-316с.

45. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости.-М.: Наука, 1969.-336С.

46. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.-Киев: Наук, думка, 1987.-216с.

47. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений-М.: Мир, 1984.-334с.

48. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5.-M.: „СОЛОН", 1998.-399с.

49. Зенкевич О., Ченг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред.—М.: Недра, 1974.-238с.бО.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.-М.: Мир, 1975.-541с. .

50. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971.-232с.

51. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963 -272с.

52. Инженерный метод расчета горизонтально нагруженных групп свай: Учебн. пособие для вузов7 В.В. Знаменский.-М.: изд-во АСВ, 2000.-128с.

53. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. -Киев.: Наукова думка, 1971.-136 с.

54. Качанов Л.М. Теория ползучести.-М.: Физматгиз, 1960.-455с.

55. Квитка А.Л., Ворошко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно деформированное состояние тел вращения.- Киев: Наук, думка, 1977.-208с.

56. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред.-М.: Мир, 1979.-3 02с.

57. Композиционные материалы: Справочник/ Под общ. ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского.-Машиностроение, 1990.-512с.

58. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.-208.

59. Лисицин Б. М. Расчет защемленных плит в постановке пространственной теории упругости // Прикладная механика.-1970.-т.6.-вып.5.-С.18 23.

60. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978.-204 с.

61. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975 .-400с.

62. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха.-К.: Вшцашк., Лейпциг: ФЕБ Фахбухферфлаг, 1982.-480с.

63. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С.Ю. Еремен-ко.-Х.: Изд-во „Основа" при Харьк. ун-те, 1991.-272с.

64. Механика больших космических конструкций / Н.В. Баничук, И.И. Карпов, Д.М. Климов и др.-М.: Изд-во „Факториал", 1997.-302с.

65. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1981.-216с.

66. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих метериалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе).-М.: Наука, 1972.-328с.

67. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций.-М.: Наука, 1981.-344с.

68. Морозов Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разруше-ния.-М.: Машиностроение, 1999.-544с.

69. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболо-чек.-Казань: Таткнигоиздат, 1957.-432с.

70. Мыльнев В.Ф., Гайджуров П.П., Гасанов А.Б. Динамика и колебания поршневых ДВС: Учеб. пособие/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т.-Новочеркасск: ЮРГТУ, 2001.-160с.

71. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС.-М.: Машиностроение, 1984.-280с.

72. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы.-М.: Мир, 1983.-384.

73. Пилягин А.В., Казанцев С.В. Проектирование оснований и фундаментов с учетом упругопластических свойств грунтов.-Изд-во Краснояр. ун-та, 1990.-168с.

74. Писаренко Г. С., Можаровский Н. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. Киев: Наук, думка, 1981.-496с.

75. Писсанецки С. Технология разреженных матриц.-М.: Мир, 1988.-410с.

76. Подгорный А.Н., Бортовой В.В., Гонтаровский П.П. и др. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций.-Киев: Наукова думка, 1984.-264с.

77. Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н. и др. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций.-Киев: Наукова думка, 1989.-232с.

78. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций.-JI.: Судостроение, 1974.-344с.

79. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.-Л.: Судостроение, 1978.-279с.

80. Программное обеспечение исследований по механике грунтов и фундаменто-строению/ Под ред. В.М. Лиховцева -М.: Стройиздат., 1991.-528с.

81. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах / З.И. Бурман, Г. А. Артюхин, Б .Я. Зархин. М.: Машиностроение, 1988.-256 с.

82. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести.-М.: Стройиздат, 1980.-240с.

83. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности.-М.: Мир,1968.~176с.

84. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.-М.: Наука, 1977.-384с.

85. Расчет крановых конструкций методом конечных элементов / В.Г. Пискунов, И.М. Бузун, А.С. Городецкий и др.-М.: Машиностроение, 1991.-240с.

86. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / В.И. Мяченков, В.П. Мальцев, В.П. Майборода и др.: Под общ.ред. В.И. Мяченкова.-М.: Машиностроение, 1989.-520с.

87. Ржаницын А.Р. Теория ползучести.-М.: Стройиздат, 1968.-416с.

88. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1988.-284 с.

89. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим систе-мам.-М.: Стройиздат, 1977.-128с.

90. Сегерлинд JL Применение метода конечных элементов.-М.: Мир,1979.-392.

91. Седов JI. И. Механика сплошной среды Т.2.- М.: Наука, 1994.-560с.

92. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993.-664 с.

93. Сиратори М., Миеси Т., Мацусима X. Вычислительная механика разруше-ния.-М.: Мир, 1986.-334с.

94. Сорочан Е.А. Фундаменты промышленных зданий .-М.: Стройиздат, 1986-ЗОЗс.

95. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы: Учебник для вузов/ А.В. Александров, Б .Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников; Под ред. А.Ф. Смирнова.-М.: Стройиздат, 1983 -488с.

96. Стрэнг Г., Фикс Дж., Теория метода конечных элементов.-М.: Мир, 1977.-350с.

97. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.-М.: Мир,1980.-512с.

98. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.-636с.

99. Трапезников Л.П. Температурная трещиностойкость массивных бетонных сооружений.-М.: Энергоатомиздат, 1986.-272с.

100. Усюкин В. И. Строительная механика конструкций космической техники. -М.: Машиностроение, 1988.-392 с.

101. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике.-М.: Недра, 1987.-221с.

102. Чистяков В.К. Динамика поршневых и комбинированных двигателей внутреннего сгорания.-М.: Машиностроение, 1989 -255с.

103. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых дви-гателей.-Jl.: Машиностроение, 1983.-212с.

104. Шульман С.Г. Расчеты гидротехнических сооружений с учетом последовательности возведения.-М.: „Энергия", 1975.-167с.

105. Akin, J. E.Application and Implementation of Finite Element Methods. Academic Press, London, 1982.-33 lp.

106. Bathe K.J., Cimiento A.P., Some practical procedures for the solution of nonlinear finite element equation Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng., 1980.-22.-P.59-85.

107. Brebbia C. A. Finite Element Systems A Handbook.-Springer Verlag, New York, 1985.-767p.

108. Britto A. M., Gunn, M. J. Critical State Soil Mechanics via Finite Elements.-Ellis Horwood, Chichester, 1987.-488p.

109. Burnett D. S. Finite Element Analysis- From Concepts to Applications-Addison Wesley, Reading, 1987.-844p.

110. Cheung Y. K., Leung A. Y. T. Finite Element Methods in Dynamics.-Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1991.-296p.

111. Cheung Y. K., Lo, S. H., Leung Y. T. Finite Element Implementation Black-well Science, Oxford, 1995.-384p.

112. Cook, R. D. Concepts and Applications of Finite Element Analysis.-J. Wiley & Sons,New York, 1989.-537p.

113. Cook, R. D. Finite Element Modeling for Stress Analysis.-J. Wiley & Sons, New York, 1995.-336p.

114. Fenner D. N. Engineering Stress Analysis- A Finite Element Approach With FORTRAN 77 Software.-J. Wiley & Sons,.Chichester, 1987.-250p.

115. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity.-Clarendon Press, Oxford, 1980.-336p.

116. Hinton E., Owen, D. R. J. An Introduction to Finite Element Computa-tions.-Pineridge Press, Swansea, 1979.-385p.

117. Hinton E., Owen, D. R. J. Finite Element Software for Plates and Shells.-Pineridge Press, Swansea, 1984.-403p.

118. Hughes T. J. R. Finite Element Method Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis.-Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, 1987.-803p.

119. Kazda I. Finite Element Techniques in Groundwater Flow Studies With Applications in Hydraulic and Geotechnical Engineering.- Elsevier, Amsterdam, 1990.-330p.

120. Kikuchi N. Finite Element Methods in Mechanics-Cambridge University Press, New York, 1986.-418p.

121. Livesley R. K. Finite Elements An Introduction for Engineers.-Cambridge University Press, 1983 -199p.

122. Logan D. L. A First Course in the Finite Element Method.-PWS Publishing,.Boston, 1992.-617p.

123. Mackie R. I. Object Oriented Methods and Finite Element Analysis Saxe-Coburg Publ.,.Edinburgh, 2000.-25Op.

124. Oden J. T. Finite Elements of Nonlinear Continua.-McGraw-Hill Publ., New York, 1972.-409.

125. Ross С. T. F. Finite Element Programs for Axisymmetric Problems in Engineer-ing.-Ellis Horwood, Chichester, 1984.-297p.

126. Ross С. T. F. Finite Element Methods in Engineering Science.-HorwoodPub-lishing Ltd, Chichester, UK, 1990.-519p.

127. Ross С. T. F. Finite Element Programs in Structural Engineering and Continuum Mechanics.-Albion Publishing, Chichester, 1996.

128. Segerlind L. J. Applied Finite Element Analysis.-J. Wiley & Sons, New York, 1987.-427p.

129. Smith, I. M., Griffith, D. V. Programming the Finite Element Method.-J. Wiley & Sons,.Chichester, 1998.-534p.

130. Solid Works, Solid Edge, CADKEY, Неофициальный справочник САТУ CAW CAEoBserver, 2000.-№l.-115c.

131. Stasa F. L. Applied Finite Element Analysis for Engineers.-CBS Publ. Japan, Ltd., New York, 1985.-658p.

132. Pro/MECHANICA. Desingn Study Reference.-Waltham: Parametric Technology Corporation, 1997.-394p.

133. Topping, В. H. V., Khan A. I. Parallel Finite Element Computations Saxe-Coburg Publ., Edinburgh, 1995.-380p.

134. Villa A., Rodriguez-Ferran A., Huerta A. Nonlinear Finite Element Techniques Using an Object-Oriented Code.-CIMNE^Barcelona, 1995.-181p.

135. Weaver W., Johnston P. R. Finite Elements for Structural Analysis.-Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1984.-403p.

136. White, R. E. An Introduction to the Finite Element Method With Applications to Nonlinear Problems.-J. Wiley & Sons,.New York, 1985.-354p.

137. Yang T. Y. Finite Element Structural Analysis.-Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1986.-543p.

138. Zienkiewicz, О. C., Taylor, R. L. Finite Element Method- Basic Formulation and Linear Problems, Vol. 1-McGraw-Hill Publ.,New York, 1989.-648p.

139. Zienkiewicz, О. C. and Taylor, R. L.Finite Element Method- Solid and Fluid Mechanics: Dynamics and Nonlinearity, Vol. 2.-McGraw-Hill Publ.,New York, 1991.-790p.