Контактизация систем дифференциальных уравнений первого порядка на двумерных многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мухина Светлана Сергеевна

• Мухина Светлана Сергеевна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Мухина Светлана Сергеевна

Введение

1 Геометрия систем дифференциальных уравнений первого порядка на двумерных многообразиях

1.1 Инвариантное описание систем дифференциальных уравнений первого порядка

1.2 Системы Якоби

1.3 Характеристические распределения гиперболических систем

1.4 Законы сохранения

1.5 Теорема Лычагина-Рубцова

2 Контактизация систем Якоби

2.1 Контактная структура на М

2.2 Координатное представление

2.3 Контактные решения систем Якоби

2.4 Эффективные формы

2.5 Контактная эквивалентность систем Якоби

2.6 Контактные характеристические распределения

3 Контактные инварианты и контактная линеаризация систем Якоби

3.1 Распределение, трансверсальное контактному

3.2 Тензоры кривизны систем Якоби

3.3 Инвариантные 2-формы

3.4 Волновая система

3.5 Контактная линеаризация систем Якоби

3.6 Построение решений

4 Контактизация уравнений фильтрации суспензии

4.1 Модель Херцига фильтрации суспензии

4.2 Приведение к канонической форме

4.3 Контактизация уравнений Херцига

4.4 Построение линеаризующего преобразования

4.5 Построение решений уравнения глубокой фильтрации

4.6 Задача Коши

5 Контактные преобразования и точные решения уравнений фронтального вытеснения нефти раствором активного реагента

5.1 Модель Баренблата фронтального вытеснения нефти раствором активного реагента

5.2 Каноническое представление форм

5.3 Контактизация системы Баренблатта

5.4 Построение контактного преобразования

5.5 Точное решение

5.6 Построение симплектического преобразования

5.7 Интерпретация результатов для карбонизированной воды

6 Контактизация системы Якоби с двумя законами сохранения

6.1 Приведение к канонической форме

6.2 Уравнение одномерного течения газа

6.3 Построение контактного преобразования

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Приложение 1: Условие контактной эквивалентности

Приложение 2: Контактизация уравнения фильтрации суспензии

Приложение 3: Контактизация уравнения баратропного газового потока

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Контактизация систем дифференциальных уравнений первого порядка на двумерных многообразиях»

Введение

Для интегрирования дифференциальных уравнений часто применяется метод замены переменных. При этом, как правило, используются преобразования затрагивающие независимые и зависимые переменные — так называемые точечные преобразования. Если уравнения линейны, то естественно рассматривать линейные замены. Но иногда удаётся привести нелинейные уравнения к линейным используя нелинейные замены переменных.

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа посвящена разработке метода построения точных решений систем двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа на двумерных многообразиях. Класс рассматриваемых систем содержит все квазилинейные уравнения, а также уравнения, содержащие нелинейности по первым производным типа якобиана. Такие системы возникают, в частности, в задачах механики сплошных сред, а именно — при изучении одномерных нестационарных течений жидкостей со взвешенными твердыми частицами, газовых потоков, двухфазной фильтрации нефти (см., например, [1] и [2]).

Систему т дифференциальных уравнений порядка к с п независимыми и т зависимыми переменными можно рассматриваться как подмногообразие пространства джетов Зк (Кга ^ Кт) отображений из Кга в Мт. Согласно теореме Ли-Беклунда [3], любое касательное преобразование порядка к является либо продолжением точечного преобразования при т > 1, либо продолжением контактного преобразования при т = 1. Для рассматриваемых в диссертации систем п = т = 2 и поэтому естественно рассматривать преобразования, являющиеся продолжениями точечных преобразований.

В данной работе предложен иной подход, позволяющий существенно расширить класс допустимых преобразований для систем и рассматривать контактные преобразования вместо точечных. Этот подход основан на процедуре контактизации четырёхмерного симплектического пространства. При этом для каждой системы дифференциальных уравнений построено своё контактное пятимерное пространство, на котором определена дифференциальная 2-форма. Это позволяет рассматривать задачу контактной эквивалентности систем дифференциальных уравнений, что в классической ситуации невозможно согласно теореме Ли-Беклунда.

Данный подход применен для построения неизвестных ранее точных общих решений систем уравнений, описывающих различные процессы фильтрации в пористых средах. Это свидетельствует об актуальности темы диссертации.

Степень разработанности темы. Метод замены переменных для интегрирования дифференциальных уравнений является одним из основополагающих подходов [4]. Например, для

решения обыкновенного дифференциального уравнения типа Клеро используется преобразование Лежандра [5].

Преобразование Лежандра можно применять и к уравнениям в частных производных, Например, для решения уравнений типа Клеро используется контактное преобразование Лежандра, которое меняет местами независимые переменные и производные [6]. Преобразование Лежандра входит в класс так называемых контактных преобразований. Класс контактных преобразований широк и содержит все точесные преобразования.

Софусом Ли было замечено, что класс уравнений типа Монжа-Ампера замкнут относительно контактных преобразований [7]. Это сделало возможным применение контактной геометрии для анализа и классификации уравнений Монжа-Ампера [6].

Особенностью контактных преобразований и их высших аналогов является то, что классические однозначные решения могут переходить в решения многозначные [6]. Если у графиков многозначных решений удалить точки, в которых проекция на пространство 0-джетов имеет геометрические особенности, то они распадутся на графики однозначных решений.

Однако, как следует следует из теоремы Ли-Беклунда, расширение класса точечных преобразований до контактных происходит только для скалярных дифференциальных уравнений.

В.В. Лычагиным показано, что широкий класс систем первого порядка на двумерных многообразиях можно рассматривать как пару дифференциальных 2-форм на четырехмерном многообразии [8]. Такие системы он назвал системами Якоби, т.к. в их координатной записи присутствуют нелинейности типа якобиана.

O.K. Фоссумом [9] была доказана теорема о приведении гиперболической системы Якоби к линейной волновой системе с постоянными коэффициентами с помощью замены переменных в этом 4-мерном пространстве, что согласуется с теоремой Ли-Беклунда. В диссертации мы применяем иной подход.

Цели и задачи. Целью настоящей диссертационной работы является разработка метода построения точных решений систем Якоби гиперболического типа, а также применение данного метода к ряду прикладных задач. Для её достижения в диссертации предлагается переход из четырёхмерного пространства во вспомогательное пятимерное пространство, снабженное контактной структурой, и построение на этом пространстве геометрических структур, ассоциированных с системами Якоби. Такой переход мы назвали контактизацией систем Якоби.

Рассмотрение систем Якоби как геометрических объектов на контактном многообразии позволило расширить класс применяемых к ним преобразований до контактных. Заметим, что упомянутая выше теорема Ли-Беклунда уже не запрещает это, т. к. построенное нами пространство не является пространством джетов.

Основные задачи диссертации:

1. Построить контактизацию гиперболических систем Якоби, обладающих невырожденными законами сохранения.

2. Определить контактное пространство, лежандровы многообразия которого соответствуют многозначным решениям систем.

3. Описать действие контактных преобразований на системы Якоби и их многозначные решения.

4. Найти необходимые и достаточные условия контактной эквивалентности гиперболических систем Якоби линейной волновой системе с постоянными коэффициентами.

5. Применить полученные результаты к нелинейным системам, описывающих процессы фильтрации суспензии и двухфазной фильтрации в пористых средах, а также одномерного баротропного течения газа.

Научная новизна. Разработан метод, позволяющий использовать контактные преобразования при интегрировании гиперболических систем Якоби. Основные результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, являются новыми и принадлежат лично автору диссертации. Часть результатов получена совместно с научным руководителем А.Г. Кушнером [10— 15].

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертации состоит в разработке нового метода решения систем двух гиперболических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными. Этот метод основан на построении контактных многообразий, ассоциированных с данными системами. При этом контактные формы определяется законами сохранения систем и строятся для каждой системы отдельно. В этом состоит отличие предлагаемого метода от методов контактной геометрии дифференциальных уравнений, в которых контактной формой является форма Картана, которая не зависит от рассматриваемых уравнений.

В диссертации доказана теорема о контактной эквивалентности систем Якоби линейной волновой системе с постоянными коэффициентами и указан конструктивный метод построения контактного преобразования.

Практическая ценность результатов заключается в их использовании при моделировании фильтрационных процессов и описании движения сплошных сред и управления ими. Получены новые точные решения системы уравнений Баренблатта [16], описывающих процесс вытеснения нефти из природных месторождений с помощью растворов химических реагентов, в частности,

с помощью углекислого газа; получены новые точные решения уравнений Херцига [17], описывающих процесс фильтрации суспензии в пористой среде с учетом засорения пор мелкими твердыми частицами; получены необходимые и достаточные условия контактной эквивалентности уравнений течения одномерного баротропного газового потока[1] волновой системе и найдены её точные решения.

Стоит отметить, что рассматриваемые задачи являются актуальными в различных областях промышленности, а именно в химической, нефтяной, горнодобывающей и других. Построением решений этих уравнений занимались многие авторы. Так, например, системой фильтрации суспензии занимались в работе [18]. Для нее было построено асимптотическое решение для задачи глубокой фильтрации суспензии. В работе [19] были получены автомодельные решения для нестационарной фильтрации с изменяющейся пористостью. В работе [20] были предложены неявные схемы для уравнений с переменной проницаемостью. Однако точные решения этих уравнений, зависящие от двух произвольных функций, были представлены только в наших работах (см., например, [13]).

Результаты диссертации явились составной частью работ, выполнявшихся частично при финансовой поддержке Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС» №23-7-552-1, частично при поддержке Российского научного фонда №25-21-00152.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы дифференциальной геометрии [21], геометрии нелинейных дифференциальных уравнений [22; 23], в частности аппарат теории внешних форм, а также симплектической [24] и контактной геометрий [6]. При проведении конкретных вычислений использовалась программа символьных вычислений Maple [25].

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод построения контактного пятимерного пространства и геометричеких структур на нём, ассоциированных с гиперболическими системами Якоби.

2. Описание действия контактных преобразований на гиперболические системы Якоби и их многозначные решения.

3. Метод построения тензорных инвариантов систем относительно действий псевдогруппы контактных преобразований.

4. Теорема о необходимых и достаточных условиях контактной эквивалентности гиперболических систем Якоби линейной волновой системе с постоянными коэффициентами.

5. Метод построения многозначных решений систем Якоби, зависящих от двух произвольных функций.

6. Точные многозначные решения систем нелинейной фильтрации, зависящие от двух произвольных функций.

Соответствие паспорту специальности Работа выполнена в соответствии с пунктами паспорта специальности 1.1.2 «Дифференциальные уравнения и математическая физика»:

- П.5 Динамические системы, дифференциальные уравнения на многообразиях;

- П.6 Нелинейные дифференциальные уравнения и системы нелинейных дифференциальных уравнений;

- П.17 Математические проблемы механики сплошной среды.

Степень достоверности. Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается публикациями в высокорейтинговых журналах и выступлениями на научных конференциях и семинарах.

Теоретические выводы подкреплены множеством примеров и вычислительными экспериментами, выполненными в системе символьных вычислений Maple. В приложении к диссертации приведены соответствующие компьютерные программы.

Публикации. Основные научные результаты были опубликованы в 15 работах в журналах и сборниках, шесть из которых включены в перечень научных журналов, рекомендованных Московским физико-техническим институтом (МФТИ, Физтех): [10; 13; 26—29] - журналы, входящие в систему цитирования Scopus и Web of Science; 9 работ в сборниках трудов конференций [11; 12; 14; 15; 30—34].

Личный вклад. Положения, выносимые на защиту, получены соискателем лично. В работах, опубликованных в соавторстве, вклад автора диссертации состоит в следующем: [10] -геометризация системы Якоби, вычисление законов сохранения, контактные преобразования, условия контактной эквивалентности волновой, точные решения; [13; 14] - для системы глубокой фильтрации суспензии нахождение условий контактной эквивалентности волновой системе, контактизация системы, построение точного решения; [11] - построение точных решений для контактных неинтегрируемых распределений, возникающих в задачах механики сплошных сред; [15] - решение задачи Коши для системы глубокой фильтрации суспензии, визуализация, анализ результатов.

Апробация результатов. Результаты исследований были представлены на следующих международных и всероссийских научных конференциях:

1. Одиннадцатая Международная конференция «Квазилинейные уравнения, обратные задачи и их приложения» (QIPA-2025), 2025. Математический центр Сириус, Сочи, Россия.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Международная конференция «Актуальные проблемы электродинамики - 2025 имени профессора А. Г. Свешникова», 2025, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, Россия.

Пятая Международная конференция «Интегрируемые системы и нелинейная динамика», 2024, Ярославль, Россия.

Четырнадцатое Всероссийское совещание по проблемам управления «ВСПУ - 2024», 2024, ИПУ РАН, Москва, Россия.

Научная школа-конференция «Современные геометрические и топологические методы», 2024, Сириус, Россия.

Международная научная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ - 2024», посвященная памяти В.П. Маслова. 2024, Воронеж, Россия.

International Conference «Advances in applications of analytical methods for solving differential equations» (Symmetry'2024), 2024, Suranaree, Thailand.

Russian-Chinese Conference «Differential and difference equations», 2023, Novosibirsk, Russia.

Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям, 2023, Красноярск, Россия.

Вторая научно-практическая конференция по нефтяной гидрогеологии, геохимии и гидродинамическому моделированию «Practice GeoChemistry», 2023, Казань, Россия.

Международная конференция Воронежская зимняя математическая

школа «Современные методы теории функций и смежные проблем», 2023, Воронеж, Россия.

Восемнадцатая Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Управление большими системами УБС-2022», 2022, Челябинск, Россия.

Пятнадцатая Международная конференция «Управление развитием крупномасштабных систем MLSD-2022», 2022, ИПУ РАН, Москва, Россия.

Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам «DIFF-2022», 2022, Суздаль, Россия.

Научная конференция «Ломоносовские чтения-2022. Секция физика», 2022, Москва, Россия.

16. Вторая Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», 2022, РГУ им. С.А. Есенина, Рязань, Россия.

Основные результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах. В их числе: научный семинар кафедры Дифференциальной геометрии и приложений под руководством А.Т. Фоменко в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова (7 апреля 2025), научный семинар «Математические методы естественных наук и экономики» в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова под руководством О.С. Розановой (12 декабря 2025), научный семинар в Институте динамики геосфер РАН, Москва (21 марта 2024), научный семинар «Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений» под руководством И.С. Красильщика в Независимом Московском университете, Москва (7 июня 2023), научный семинар «Управление в сплошных средах» под руководством А.Г. Куш-нера и В.В. Лычагина в Иституте проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, Москва (21 декабря 2023).

Глава 1. Геометрия систем дифференциальных уравнений первого порядка на двумерных многообразиях

Эта глава носит вспомогательный характер. В ней описывается дифференциально-геометрический подход к системам дифференциальных уравнений первого порядка на двумерных многообразиях, предложенный В.В. Лычагиным [6; 8]. При таком подходе системы дифференциальных уравнений связываются с дифференциально-геометрическими объектами — дифференциальными формами. В свою очередь, для систем двух уравнений эти формы порождают поле линейных операторов на четырёхмерном многообразии. В случае гиперболических систем это поле операторов порождает структуру почти произведения. Если скобка Нийенхейса этого оператора равна нулю, то с помощью диффеоморфизма исходная система приводится к линейной волновой системе с постоянными коэффициентами [9].

1.1. Инвариантное описание систем дифференциальных уравнений первого

порядка

Пусть N — и-мерное ориентируемое гладкое многообразие, М := N х Мт и (М,7т,М) — тривиальное векторное расслоение с базой N, т.е. тт : М ^ N — проекция на N. Пусть в — сечение этого расслоения и 8* : П*(М) ^ П*(М) — соответствующее отображение С ^-модулей дифференциальных форм.

Для дифференциальной 2-формы ш Е П2 (М) определим нелинейный дифференциальный оператор первого порядка

Дш : С™(М) ^ П2(М), Дш(8):= з*(ш). (1.1.1)

Набор дифференциальных 2-форм ш\,... ,шт Е П2(М) определяет систему из т дифференциальных уравнений первого порядка на и-мерном многообразии N:

ДШ1 (в) = 0,..., ДШт (в) = 0. (1.1.2)

Лемма 1.1.1. [6] Если ||г,^=1,...,т — невырожденная матрица, а* € С^(М), то дифференци-

альные 2-формы

т

ио^ = ^^ а^ Шг, ] = 1,...,т (1.1.3)

г=1

определяют одну и ту же систему, что и формы ш1,... ,шт.

Определение 1.1.1. [6] Гладкое п-мерное подмногообразие ь : Ь ^ М называется многозначным решением системы (1.1.2) если ь*(шг) = 0 (г = 1,... ,т), т.е. если ограничения дифференциальных 2-форм ш1,..., шт на него равны нулю.

Здесь ь — тождественное вложение.

Если многозначное решение без особенностей проектируется на N, то оно является однозначным (классическим) решением.

1.2. Системы Якоби

В диссертации мы рассматриваем случай когда т = 2, т.е. когда система (1.1.2) состоит их двух уравнений на двумерном многообразии N.

Не все дифференциальные уравнения первого порядка на двумерных многообразиях могут быть описаны подобным образом. Однако класс таких уравнений достаточно широк и содержит все квазилинейные уравнения. Кроме того, он включает в себя существенно нелинейные уравнения, содержащие нелинейности типа якобиана. Поэтому такие системы называются системами Якоби [6; 35].

Систему Якоби, порожденную парой форм ш1,ш2, будем обозначать через £(ш1,ш2). Согласно Лемме 1.1.1, если матрица |г,^=1,2 невырождена в любой точке многообразия М, то дифференциальные формы

2

^ = ^ а)Шг, 3 = 1, 2 (1.2.1)

г=1

определяют ту же самую систему Якоби, что и формы ш1 и ш2. Поэтому систему Якоби можно рассматривать как распределение П на расслоении дифференциальных 2-форм 0,2(М), порожденное формами ш1,ш2\

П : М э а-—► П(а) = Ярап^,ш2,а) С ТаП2(М). (1.2.2)

Поэтому вместо обозначения £(ш1,ш2) можно использовать обозначение £П. Плоскость П(а) будем называть плоскостью Якоби.

Определим типы плоскостей Якоби. Пусть V — 4-мерное векторное пространство и пусть

Л2(у*) — пространство внешних 2-форм на V. Пусть П С Л2(V*) — плоскость Якоби и Е Л2 (у *) — две внешние 2-формы на V. Пусть ^ Е Л4(у *) — форма объёма на V, Внешнее произведение 2-форм на V пропорционально форме объёма. Поэтому равенство

а Л ¡3 = д(а, ¡3)

определяет некоторое число д(а, [3). Заметим, что а Л [3 = [3 Л а и

д(а1а1 + а,2а2, ^¡З1 + Ь2^2) = аф1 д(а1,^1) + а^д^, Р2) + ^2Ь1д(а2, А) + ^М^, для любых а1,Ь1,а2,Ь2 Е К. Поэтому отображение

д : Л2(V*) х Л2(У*) —► К является симметрической билинейной формой. Матрица Грамма этой формы имеет вид

(д(а,а) д(а,@)\ д(/3,а) д(/3,/3))

1.2.3)

Пусть д|п — ограничение билинейной формы д на плоскость П. Определение 1.2.1. Плоскость П называется

- эллиптической, если форма д|п невырождена и знакоопределена;

- гиперболической, если форма д|п невырождена и знаконеопределена;

- параболической, если форма д|п вырождена и ненулевая;

Пусть теперь система Якоби порождена распределением плоскостей (1.2.2).

Определение 1.2.2. [6] Система Якоби £п называется эллиптической, гиперболической или параболической в точке а Е М если плоскость Якоби П(а) соответственно эллиптическая, гиперболическая или параболическая в этой точке.

Определение 1.2.2 поточечно распространяется на области многообразия М. Далее нас будут интересовать только гиперболические системы. Для таких систем определитель матрицы Грама

я = . (1.2.4)

билинейной формы д отрицателен.

Следующая теорема (см. [6]) показывает как можно выбрать базис распределения П.

Теорема 1.2.1. Гиперболическую систему Якоби можно задать двумя дифференциальными 2-формами ш1 и ш2, такими, что для них выполняются следующие свойства:

ш1 Л ш2 = 0 и ш1 Л ш1 = —ш2 Л ш2. (1.2.5)

Далее мы считаем, что выполнено условие невырожденности

ш1 Л ш1 = 0.

Матрица Грама для такой пары форм диагональна и имеет вид

о = (0 —,) (1-2-6)

Определение 1.2.3. Представление системы Якоби в виде двух форм, удовлетворяющих условию (1.2.5) будем называть каноническим.

Приведём координатное представление систем Якоби. Пусть х1,х2 — локальные координаты на базе N и ь1,ь2 — координаты на слое К2. Тогда сечение в определяется двумя функциями переменных х1,х2, т.е. 5 : (х1,х2) м- (у1(х1,х2),у2(х1,х2)). Пусть

'и,1 =афх Л ¿х2 + ЬМ Л + сМ Л ¿х2 + л ^ + еф2 Л <1х2 + Л М,

(1.2.7)

ш2 =а2йх\ Л дьХ2 + Ъ2йь1 Л ¿х\ + с^у1 Л ¿х2 + ¿2йь2 Л ¿х\ + е2йь2 Л ¿х2 + ¡^у1 Л ¿V2

— две произвольные дифференциальные 2-формы на М. Здесь аг,Ьг,Сг,йг,ег, /г — гладкие функции на многообразии М (г = 1, 2). Тогда матрица

д = ( 201/1 — 2&1б1 + 2^1 С1 ¡1й2 — еф2 + с^2 + (11С2 — Ь^ + а^ \

\ /1 о>2 — еФ2 + с^2 + ^С2 — Ъге2 + ^¡2 2а2/2 — 2^2 + 2^С2 у

и система (1.1.2) примет вид

А1 — В1^1Х2 + С1У1Х1 — Б1У2Х2 + Е1Ь2Х1 + ^ (у1Х1 у2Х2 — у1Х2 ь2Х1) = ° ^2 — в2у12 + С2УХС1 — Б2У2Х2 + Е2УХЛ + ^ « < — < <) = 0.

Здесь Аг = в*(а¿),... = — функции переменных х1,х2,у1 ,ь2, а 5* : С^(М) м ) —

отображение семейств функций, соответствующее сечению в.

Как обычно, нижние индексы здесь означают взятие частных производных по независимым

переменным.

Формула (1.2.1) оправдывает следующее определение.

Определение 1.2.4. [6] Две системы Якоби £(ш1,ш2) и £(ш1,ш2) называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм Ф : М ^ М, такой, что

Ф*(ет1) = а1_ш1 + а\ш2, Ф*(ш2) = + а2ш2

для некоторой невырожденной матрицы ||а* !г,г=1,2, где аг* Е СГХ(М).

Непосредственно из определения следует, что класс систем Якоби замкнут относительно диффеоморфизмов многообразия М.

Определение 1.2.5. Многозначным решением системы Якоби является гладкое двумерное подмногооборазие ь : Ь ^ М, такое, что ь*(шг) = 0 (г = 1, 2) [6].

1.3. Характеристические распределения гиперболических систем

Пусть £(ш1, ш2) — гиперболическая система Якоби. Согласно [6], существует однозначно определенный оператор А^ на многообразии М такой, что:

Х\^2 = (1.3.1)

для любого ненулевого векторного поля X.

В силу (1.2.5) квадрат оператора А£ равен единичной матрице:

А£ = 1. (1.3.2)

Собственные числа оператора Ае равны ±1, а собственные подпространства — двумерные и порождают два распределения на многообразии М:

У± : М Э а^ У±(а) С ТаМ,

где

У±(а) := {Ха Е ТаМ | А£,аХа = ±Ха} ,

Ае,а — ограничение оператора на касательное пространство ТаМ. Эти распределения называются характеристическими.

Характеристические распределения определены с точностью до перестановки. Такая перестановка возникает если поменять местами дифференциальные формы Ш1 и ш2.

Теорема 1.3.1. [6] 1. Пусть Ь — многозначное решение системы Якоби. Касательное пространство к Ь в каждой точке а Е Ь пересекает плоскости характеристических распределений по прямым 1+,1-: ТаЬ = 1+ ф 1-, где 1+ = ТаЬ П У+(а) и 1- = ТаЬ П У-(а). 2. Пусть Ь — двумерное многообразие, такое, что в каждой точке а Е Ь касательное пространство

ТаЬ = £+(а) ф ¿-(а),

где 1±(а) одномерные подпространства характеристических плоскостей У±(а). Тогда Ь гозначное решение системы Якоби.

Теорема 1.3.2. [9] Гиперболическая система Якоби £ эквивалентна системе

мно-

^ - V* = °

- ^ = 0

1.3.3)

тогда и только тогда, когда скобка Нийенхейса оператора Ае равна нулю:

[Ае ,А£ ]=0.

1.3.4)

Условие (1.3.4) равносильно интегрируемости характеристических распределений. Для системы (1.3.3) дифференциальные 2-формы

ш1 = ¿V1 Л ¿х1 + ¿V2 Л ¿х2, ш2 = ¿V1 Л йх2 + ¿V2 Л ¿х1

и матрица оператора Ае имеет вид

А

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

1.3.5)

базисе

д

д

д

дх\ дь1 дх2

д

дь2

в

1.4. Законы сохранения

Определение 1.4.1. [6] Дифференциальная 1-форма в на М называется законом сохранения системы Якоби £п если её внешний дифференциал является ненулевой дифференциальной 2-формой, которая обращается в нуль на любом многозначном решении Ь этой системы:

¿в\ь = 0. (1.4.1)

Замечание 1.4.1. Из этого определения следует, что если 9 — закон сохранения, то одну из дифференциальных форм ш1 или ш2 можно заменить на форму АО. Положим, например, ш2 = АО. Тогда форму ш1 нужно выбрать из распределения П так, чтобы условия (1.2.5) выполнялись. Это всегда можно добиться при помощи преобразования (1.2.1).

Укажем способ вычисления законов сохранения для гиперболических систем. Касательное пространство к многообразию М в точке а является прямой суммой характеристических плоскостей:

ТаМ = (а) 0 У-(а). Поэтому модуль векторных полей на М распадается в прямую сумму

V(M) = V(V+) фV(V-),

где

ЧУ±) = {X е ъ(м) \ (X) = ±х}.

Определим модули дифференциальных форм

П1,0 = {а е П1 (М) \ а(Х) = 0 УХ еV(V-)} , П0,1 = {а е П1 (М) \ а(Х) = 0 УХ еV(V+)} , П2,° = {а е 92(М) \ X= 0 УХ еV(V-)} , 9°,2 = {а е 92(М) \ = 0 УХ еV(V+)} , 91,1 = « Л /3 \ а е е 90,11.

Теорема 1.4.1. [6] Дифференциальная 1-форма в является законом сохранения гиперболической системы Якоби тогда и только тогда, когда

¿в е 92,° 0 9°,2. (1.4.2)

Если внешний дифференциал закона сохранения 9 является невырожденной 2-формой, то он определяет симплектическую структуру АО на М. А так как ограничение формы АО на любое многозначное решение Ь равно нулю в силу (1.4.1), то многозначное решение является лагран-жевым многообразием.

Лемма 1.4.1. 1. Пусть в — закон сохранения. Тогда на любой паре векторных полей Х+ Е ги(У+),У- Е ^(у-) дифференциальная 2-форма ¿в обращается в нуль:

¿в(Х+,У-) = 0.

2. Если ¿в — симплектическая структура, то она невырождена на каждом их характеристических распределений.

Доказательство. 1. Из формулы (1.4.2) следует, что 2-форму ¿в можно представить как сумму 2-форм вида а+ Л(3 + и а-Лр-, где а+,р + Е П10 и - Е Поэтому ¿в(Х+,У-) = 0.

2. Доказательство проведём от противного. Допустим, что симплектическая структура ¿в вырождена на распределении У+. Существует ненулевое векторное поле Х+ Е'0(У+) такое, что ¿в(Х+ ,У+) = 0 для любого векторного поля У+ Е Т>(у+). Пусть 2 — произвольное векторное поле на М. Тогда это поле является суммой векторных полей из распределений У+ и V-: г = г+ + г-. Поэтому ¿в(Х+, 2) = ¿в(Х+, 2+) + ¿в(Х+, г-) = 0, т.е. Х+\с1в = 0. Но это противоречит невырожденности симплектической структуры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мухина Светлана Сергеевна, 2026 год

и - = -

8 а

1

2 = s,

1)а3/4

(6.3.15)

16а1/4(/ + а1/4 + в)

/Л

где т,в - параметры. Применим обратное преобразование (6.2.4) к решению (6.3.15), получим:

' 2т(/3 + э )2а3/4 + (/ +

— а

32 а5/4

Б :

х = — т,

и = --

= .

16 а1/4(/ + а1/4 + в)

(6.3.16)

/ +

Проверим полученное решение на паре дифференциальных 2-форм (6.2.3), выбрав функцию давления согласно теореме 6.3.1, получим:

1=—

256а

( / + 2)4

Найдем внешний дифференциал Ь,и:

сИ Лс1ь — ¿х Л ¿и, в2 = —(И Л ¿и — ¿х Л ¿V.

Л = 0+1Лт ++ + УЛ, =

16у/а ' 64а3/4

Умножая внешне ^ на ¿V, ¿х на ¿и и ^ на ¿и, получим:

( / + )2

, , (/ + 5 )2 , , , , 16^а , , 1111

аЪ Лаю = ———ат Л ав, ах Лай = --—-г-ат Л ав, аЪ Лай = ат Л ав.

16л/а

( / + )2

В результате ограничение 2-формы 91, 02 на поверхность Б из (6.3.16) равно нулю, т.е. б1^ = 021я = 0. Таким образом, мы получили решение системы (6.2.2). Сформулируем следующую теорему.

Теорема 6.3.2. Лежандрова поверхность, отвечающая системе плоского одномерного гладкое

2

4

течения газа

иг + р' (у) ух = 0,

Щ — их = 0,

где ( )

256 а

3( 3 + )3

имеет вид

2 а1/4 и

2% а1/4 - ---А

— 3 + —

М ^+-)

\

— 3% — и0

(3^>" —16

В

А

В

а

)

\

/

(

3 + ( 3 + ) и

— 3% — и0

а

+ 16^

\

(

3 + ( 3 + ) и

— 3% — и0

+

((а + у)и + Л V 16 ра )

— 16

3 +

— 3% — и0

+

а +

( а + ) и 16у/а

а

)

1/4

а

1/4

а +

/

0

0

0

Заключение

В диссертационной работе предложен метод решения систем типа Якоби двух уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными гиперболического типа. Его основу составляет процедура контактизации таких систем, а именно, построение пятимерного контактного многообразия систем Якоби.

Такое построение возможно если система обладает невырожденным законом сохранения — дифференциальной 1-формой, внешний дифференциал которой является невырожденной 2-формой, которая обращается в нуль на каждом решении системы. Отметим, что в системах, возникающих при исследовании физических процессов, это условие выполняется, так как сами системы дифференциальных уравнений строятся именно на основе законов сохранения (массы, импульса, энергии и др.).

В этом случае внешний дифференциал определяет симплектическую структуру на четырёхмерном многообразии зависимых и независимых переменных, что делает возможным построение контактизации симплектического пространства. При таком подходе одна из двух дифференциальных форм, определяющих систему Якоби, заменяется симплектической 2-формой и четырёхмерное пространство можно рассматривать как симплектическое. Добавление ещё одной координаты и контактной формы, которая строится также на основе законов сохранения, превращает его в контактное пространство.

В отличие от классических подходов контактной геометрии дифференциальных уравнений, где контактная форма задается универсальной формой Картана (не зависящей от конкретных уравнений), в данном методе контактные формы определяются законами сохранения исследуемой системы.

Преимущество такого подхода перед классическим состоит в расширении псевдогруппы преобразований, допускаемых системами Якоби. В частности, в диссертации доказана теорема о контактной эквивалентности нелинейных систем Якоби линейной волновой системе с постоянными коэффициентами (Глава 3). Эта теорема применима к более широкому классу систем, чем теорема Фоссума.

Условия контактной линеаризации формулируются в терминах тензорных инвариантов и дифференциальных 2-форм. Аналогичный подход был применен в работах А.Г. Кушнера при решении классификационных задач для уравнений типа Монжа-Ампера [39].

Отметим, что метод доказательства теоремы о контактной линеаризации конструктивен и содержит алгоритм построения искомого контактного преобразования. Этот алгоритм сводится к задаче построения интегралов двух вполне интегрируемых трёхмерных распределений в

пятимерном пространстве. Эти интегралы определяют требуемое контактное преобразование.

Практическая значимость метода демонстрируется на примере построения точных решений, которые не могут быть получены в рамках 4-мерного многообразия.

Разработанный метод применён интегрированию систем, возникающих в теории сплошных сред. А именно, к модели фильтрации суспензии в пористой среде (глубокой фильтрации) [17], описывающей в частности процесс засорения фильтра (Глава 4), к модели Баренблатта двухфазной фильтрации [16], описывающей процесс вытеснения нефти из природных месторождений с помощью растворов химически активных реагентов (Глава 5), к модели плоского одномерного течения баротропного газового потока [1] (Глава 6). Для них найдены условия существования контактных преобразований, построены точные общие решения.

При исследовании системы Баренблатта найдены условия на функцию Бакли-Леверетта, при которых система может быть проинтегрирована, т.е. могут быть найдены её точные решения, зависящие от двух произвольных функций. Подробно рассмотрен случай, когда в качестве активной компоненты используется углекислый газ. Для этого случая построено точное решение задачи Коши при произвольных начальных данных — концентрации углекислого газа и нефти.

В приложениях к основному тексту диссертации приведены компьютерные программы на языке символьных вычислений Maple для вычисления тензорных инвариантов систем Якоби (Приложение 1), а также для построения точных решений систем фильтрации суспензии (Приложение 2) и течения баротропного газового потока (Приложение 3).

Описанный метод можно использовать для построения точных многозначных решений других систем Якоби с двумя независимыми переменными, которые возникают в различных задачах математической физики, например, для системы Гиббонса-Царева [47] или системы распространения ударной волны в трубе [48] и других.

В дальнейшем полученный метод можно обобщить на более сложные системы, включая многомерные случаи и системы другого типа (например, эллиптического).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений н их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1978. — С. 688.

2. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Том 2. — М : Юрайт, 2017. — С. 368.

3. Виноградов А. М., Красильщик И. С. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики // М.:Факториал. — 1997. — С. 464.

4. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М : Физматлит, 2005. — С. 257.

5. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 344.

6. Kushner A. G., Lychagin V. V., Rubtsov V. N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications // Cambridge: Cambridge University Press. — 2007. — No. 101. — P. 496.

7. Lie S. Begründung einer Invarianten-Theorie der Berührungs-Transformationen // Mathematische Annalen. — 1874. — Vol. 8, no. 2. — P. 215-303.

8. Лычагин В. В. Дифференциальные уравнения на двумерных многообразиях // Изв. вузов. Математика. — 1992. — Т. 36, № 5. — С. 38—51.

9. Fossum O. K. On classification of a system of non-linear first order PDE's of Jacobi type : Master's thesis / Fossum Ole Kristian. — Norway : Tromso University, 2002. — 68 p.

10. Kushner A. G., Mukhina S. S. Contactization of First Order PDE Systems // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2025. — Vol. 46, no. 10. — P. 5428-5436. — DOI: 10.1134/ S1995080225611294.

11. Kushner A., Mukhina S., Gavrilov V. Contact Structures in Continuous Media Theory // 2024 17th International Conference on Management of Large-Scale System Development (MLSD). — IEEE. 2024. — P. 1-4. — DOI: 10.1109/MLSD61779.2024.10739520.

12. Mukhina S. S., Kushner A. G. Symplectic and contact linearization of nonlinear hyperbolic partial differential equations // Differential and Difference Equations. Russian-Chinese Conference (Novosibirsk, November 2-6, 2023). — 2023. — P. 113.

13. Kushner A. G., Mukhina S. S. Integration of the deep bed filtration equations // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 43, no. 10. — P. 2785-2792. — DOI: 10.1134/ S1995080222130236.

14. Кушнер А. Г., Мухина С. С., Файзуллина Э. Р. Точные решения уравнений фильтрации суспензии // Дифференциальные уравнения и математическое моделирование: Межвузовский сборник научных трудов. — Рязань : РГУ им. С.А. Есенина, 2022. — С. 60—61.

15. Kushner A. G., Mukhina S. S. Solving of the Cauchy Problem for Deep Bed Filtration of Suspension // 2022 15th International Conference Management of large-scale system development (MLSD). — IEEE. 2022. — P. 1-4. — DOI: 10.1109/MLSD55143.2022.9934568.

16. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. — М.: Недра, 1984. — С. 212.

17. Herzig J. P., Leclerc D. M., Goff P. L. Flow of suspensions through porous media—application to deep filtration // Industrial & Engineering Chemistry. — 1970. — Vol. 62, no. 5. — P. 8-35.

18. Кузьмина Л. И., Осипов Ю. В. Ассимптотика задачи фильтрации суспензии в пористой среде // Вестрник МГСУ. — 2015. — Т. 1. — С. 54—62.

19. Баренблатт Г. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика // Л.: гидроме-теоиздат. — 1982. — Т. 255. — С. 256.

20. Tien C., Ramarao B. V. Granular filtration of aerosols and hydrosols. — Elsevier, 2011. — P. 494.

21. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — С. 412.

22. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференицальных уравнений. — М.: Наука, 1986. — С. 336.

23. Krasilshchik I., Lychagin V., Vinogradov A. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. — Springer, 1986. — P. 441.

24. Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». — 1985. — Т. 4, № 0. — С. 5—135.

25. Tychkov S. Introduction to symbolic computations in differential geometry with Maple // Nonlinear PDEs, Their Geometry, and Applications: Proceedings of the Wisla 18 Summer School. — 2019. — P. 157-182.

26. Mukhina S. Contact geometry of barotropic gas flows // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2025. — Vol. 46, no. 10. — P. 5451-5458. — DOI: 10.1134/S1995080225611282.

27. Mukhina S. S. Symplectic geometry of the oil displacement Barenblatt equations // Journal of Geometry and Physics. — 2024. — Vol. 204. — P. 105277. — DOI: 10 .1016/j .geomphys. 2024.105277.

28. Mukhina S. An Exact Solution of the Hunter-Saxton-Calogero Equation by Contact Linearization Method // Advances in Systems Science and Applications. — 2023. — Vol. 23, no. 4. — P. 1-7. — DOI: 10.25728/assa.2023.23.04.1504.

29. Mukhina S. S. Contact transformations in theory of frontal oil displacement // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2023. — Vol. 44, no. 9. — P. 3976-3980. — DOI: 10. 1134/ S1995080223090251.

30. Мухина C. C. Контактная линеаризация в задачах механики сплошных сред // Труды Международной Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна, посвященная памяти В. П. Маслова (ВЗМШ, 2024). — 2024. — С. 175—178.

31. Mukhina S. S. Hyperbolic systems: special transformations and exact solutions // Abstracts of International Conference on Integrable systems and nonlinear dynamics (ISND-2024). — Filigran Yaroslavl, 2024. — P. 81-83.

32. Мухина С. С. Моделирование фильтрации нефти водным раствором активных реагентов // Материалы XXIV Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск. — 2023. — С. 32—33.

33. Мухина С. С. Контактные преобразования и точные решения уравнений фильтрации суспензии // Материалы Международной конференции. Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ, 2023). — 2023. — С. 259—260.

34. Мухина С. С. Задача Коши уравнений фильтрации суспензии в глубоком пористом слое и ее визуализация // Труды XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых «Управление большими системами». — 2022. — С. 502—509.

35. Lychagin V. V. Lectures on geometry of differential equations. — Rome, Italy, 1993. — Lecture notes, Universita degli Studi di Roma "La Sapienza". Preprint. - P. 120.

36. Лычагин В. В., Рубцов В. Н. Локальная классификация дифференциальных уравнений Монжа-Ампера // Доклады АН СССР. Т. 272. — Российская академия наук. 1983. — С. 34— 38.

37. Лычагин В. В. Контактная геометрия и нелинейный дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // ДАН СССР. — 1978. — Т. 238, № 5. — С. 273—276.

38. Кушнер А. Контактная линеаризация невырожденных уравнений // Изв. вузов. Матем. — 2008. — № 4. — С. 43—58.

39. Kushner A. G. A contact linearization problem for Monge-Ampere equations and Laplace invariants // Acta Appl. Math. — 2008. — Т. 101. — С. 177—189.

40. Туницкий Д. В. О контактной линеаризации уравнений Монжа-Ампера // Изв. РАН. Серия матем. — 1996. — Т. 60, № 2. — С. 195—220.

41. Шехтман Ю. М. Фильтрация малоконцентрированных суспензий. — М.: Изд-во АН СССР, 1961. — С. 211.

42. Zamani A., Maini B. Flow of dispersed particles through porous media—deep bed filtration // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 2009. — Vol. 69, no. 1/2. — P. 71-88.

43. Iwasaki T., Slade J., Stanley W. Some notes on sand filtration [with discussion] //J. Am. Water Works Assoc. — 1937. — Vol. 29, no. 10. — P. 1591-1602.

44. Akhmetzianov A. V., Kushner A. G., Lychagin V. V. Integrable models of oil displacement // IFAC-PapersOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 3. — P. 1264-1267.

45. Ентов В., Вазовский А. О вытеснении нефти раствором двух примесей (активной и пассивной) // Механика жидкости и газа. — 1982. — № 6. — С. 74.

46. Разработка нефтяных месторождений с применением поверхностно-активных веществ / Г. А. Бабалян [и др.]. — М.: Недра, 1983. — С. 216.

47. Gibbons J., Tsarev S. P. Reductions of the Benney equations // Physics Letters A. — 1996. — Vol. 211. — P. 19-24.

48. Жуковский Н. Полное собрание сочинений. Том VII. Гидравлика. — Л.: Главная редакция авиационной литературы, 1937. — С. 146.

Список рисунков

1. Рисунок 4.1 — процесс одномерной глубокой фильтрации суспензии с осаждением частиц на стенках пор ......................................... 42

2. Рисунок 4.2 — начальные распределения взвешенных и осажденных частиц ...... 54

3. Рисунок 4.3 — распределения взвешенных и осажденных частиц суспензии в момент времени = 0.3 и = 1 ...................................... 55

4. Рисунок 4.4 — распределения взвешенных и осажденных частиц суспензии в момент времени Ь = 3.05 и 1 = 4......................................56

5. Рисунок 4.5 — изменение концентрации взвешенных частиц с течением времени в точке ж = 0 ..............................................57

6. Рисунок 4.6 — изменение концентрации осажденных частиц с течением времени в точке ж = 0 ..............................................57

7. Рисунок 4.7 — трехмерные графики полученных решений задачи Коши для системы глубокой фильтрации суспензии ................................. 58

8. Рисунок 5.1 — зависимость вязкости фазы нефть/вода от концентрации активного реагента ................................................ 79

9. Рисунок 5.2 — зависимость относительной фазовой проницаемости фазы нефть/вода от водонасыщенности ....................................... 80

10. Рисунок 5.3 — зависимость функции Бакли-Леверетта от водонасыщенности и концентрации активных реагентов ................................... 80

11. Рисунок 5.4 — начальные распределения функций водонасыщенности по длине порового канала вида з(0,ж) и концентрации углекислого газа в воде с(0,х) ...........82

12. Рисунок 5.5 — фронт водонасыщенности и концентрации углекислого газа в воде для моментов времени = 0.2 и = 0.5 ............................... 83

Приложение 1: Условие контактной эквивалентности

Код программы по вычислению тензорных инвариантов относительно контактных преобразований типа кривизны на языке Maple.

# В "description" приводится описание каждой процедуры модуля CurvatureTensorsAndTwoForms:= module() option package; export two_forms_main;

local eqToForm, checkForm, transformForms, operatorA, eigenVec, projetors, qCoeffs, formAndVec, concatProc; uses

DifferentialGeometry,

DifferentialGeometry:-Tools,

DifferentialGeometry:-JetCalculus,

DifferentialGeometry:-Tensor,

DifferentialGeometry:-LieAlgebras,

PDEtools, LinearAlgebra, ArrayTools, StringTools;

checkForm := proc(omegaForm, Omega) local efC, normC;

description "It checks the efficiency condition and normalize the 2-form"; efC := DGinfo(evalDG(omegaForm &w Omega),"CoefficientList","all")[1]: normC := solve(op(DGinfo(evalDG(omegaForm &w omegaForm -

p*Omega &w Omega),"CoefficientList", "all"))): return efC, normC; end proc:

operatorA := proc(omega, Omega) local

VecCartan, CovecCartan, A, AEq, w, z, sol, m, Am, i, e, Act; description "It defines the operator field A on the tangent space

of 5-dimensional manifold M with coordinates x_1, x_2, v, p_1, p_2"; VecCartan:=evalDG([D_x1+p1*D_v,D_x2+p2*D_v,D_p1,D_p2]); CovecCartan:=evalDG([dx1,dx2,dp1,dp2]); unassign(a):

A:=evalDG(sum(sum(a[w,z]*VecCartan[w] &t CovecCartan[z],w=1..4), z=1..4)):

Act:=Z->convert(ContractIndices(evalDG(A &tensor Z),[[2,3]]), DGvector): for i from 1 to 4 do e[i]:=evalDG(Hook(Act(evalDG(VecCartan[i])),Omega)

-Hook(VecCartan[i], omega)); end do: AEq:=[]: for i from 1 to 4 do AEq:=[op(AEq),op(GetComponents(e[i],CovecCartan))] end do:

sol:=solve(AEq,[a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[2,1],a[2,2],a[2,3], a[2,4],a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4]]): assign(sol); DGsimplify(A):

m := proc (i, j) options operator, arrow; a[i,j] end proc;

Am:=simplify(Matrix(4,4,m));

print("A = ",Am, "det A=", Determinant(Am),

"A~2 = ",simplify(Am.Am)); return Am; end proc:

eigenVec:= proc(matrA) local VecCartan, EV, e, Cp, Cm, maxDenomp1, maxDenomp2, maxDenomm1, maxDenomm2, i, Vp1, Vp2, Vm1, Vm2; description "It define eigenvalues and eigenvectors of operator A. An eigenvectors form two two-dimensional characteristic contact distributions on the tangent space TM"; VecCartan:=evalDG([D_x1+p1*D_v,D_x2+p2*D_v,D_p1,D_p2]); EV,e:=Eigenvectors(matrA); Cp:=[]:Cm:=[]:

for i from 1 to 4 do if EV[i] > 0 then Cp:=[op(Cp), (convert((Transpose(e[1..-1,i])),list))] else Cm:=[op(Cm), (convert((Transpose(e[1..-1,i])),list))] end if end do: maxDenomp1:= denom(Cp[1][1]): maxDenomp2:= denom(Cp[2][1]): maxDenomm1:= denom(Cm[1][1]): maxDenomm2:= denom(Cm[2][1]): for i in Cp[1] do if Length(convert(denom(i),string)) > Length(convert(maxDenomp1,string)) then maxDenomp1:= denom(i) end if; end do;

for i in Cp[2] do if Length(convert(denom(i),string)) > Length(convert(maxDenomp2,string)) then maxDenomp2:= denom(i) end if; end do;

for i in Cm[1] do if Length(convert(denom(i),string)) > Length(convert(maxDenomm1,string)) then maxDenomm1:= denom(i) end if; end do;

for i in Cm[2] do if Length(convert(denom(i),string)) > Length(convert(maxDenomm2,string)) then maxDenomm2:= denom(i) end if; end do;

Vp1:=evalDG(DGzip(Cp[1], VecCartan, "plus")*maxDenomp1); Vp2:=evalDG(DGzip(Cp[2], VecCartan, "plus")*maxDenomp2); Vm1:=evalDG(DGzip(Cm[1], VecCartan, "plus")*maxDenomm1);

Vm2:=evalDG(DGzip(Cm[2], VecCartan, MplusM)*maxDenomm2); print("Vp1 = M, Vp1, "Vp2 = M, Vp2, "Vm1 = ", Vm1, "Vm2 = ", Vm2); return(Vp1, Vp2, Vm1, Vm2): end proc:

projetors:= proc(V,dV) local P1,P2,P3;

description "Forms projectors of arbitrary vectors into subspaces defined by a direct sum of characteristic distributions (P1,P3) and a transversal vector (P2)"; P1:=DGsimplify(evalDG(V[1] &t dV[1])+ evalDG(V[2] &t dV[2])); P3:=DGsimplify(evalDG(V[3] &t dV[3])+ evalDG(V[4] &t dV[4])); P2:=DGsimplify(evalDG(V[5] &t dV[5])); return P1,P2,P3; end proc:

qCoeffs:= proc(Q, componentArray, counts, vec, covec, idQ::list, myP1, myP2, myP3)::list;

local qRes, q__klr, dV__r, V__k, V__l, PiX, PiY, comutPiPj,

vecRes, arP, qcoefs, i, id, P11, P22, P33; description "It finds the coefficients of the expansion

of the series Q in the form of functions q__kl~r for tensors q__ij~k,

by next rule q__kl~r:= q__ij~k(V__k, V__l, dV__r)";

P11:= RearrangeIndices(myP1,[2,1]): P22:=RearrangeIndices(myP2,[2,1]): P33:= RearrangeIndices(myP3,[2,1]):

arP:= Array([]): qRes:= Array([]): q__klr :=([]):

for id from 1 to 3 do if idQ[id] = 1 then Append(arP,P11) elif idQ[id] = 2 then Append(arP,P22) else Append(arP,P33) end if; end do; for i from 1 to counts do

q__klr:= componentArray[i][1];

dV__r:= covec[q__klr[1]];

V__k:= vec[q__klr[2]];

V__l:= vec[q__klr[3]];

if q__klr[2] < q__klr[3] then

PiX:= Hook([V__k],arP[1]);

PiY:= Hook([V__l],arP[2]);

else

PiX:= Hook([V__k],arP[2]);

PiY:= Hook([V__l],arP[1]);

end if;

comutPiPj:= LieBracket(convert(PiX,DGvector),convert(PiY,DGvector)); vecRes:= -convert(Hook([comutPiPj],arP[3]),DGvector); qcoefs:=Hook(vecRes, dV__r);

Append(qRes, qcoefs); end do: qRes: end proc:

formAndVec:= proc(Q, myBV,myBC,qijk) local X_ar, DX1, DX2,qWorkX,i:

description "it finds all nonzero coefficients q__kl~r and their

corresponding vectors and covectors: (q__kl~r, V__r, dV__k, dV__l)";

X_ar:=Array([]): DX1:= Array([]): DX2:= Array([]): qWorkX:=Array([]): for i from 1 to numelems(qijk) do if qijk[i] <> 0 then

Append(X_ar,myBV[DGinfo(Q, "ObjectComponents")[i][1][1]]): Append(DX1,myBC[DGinfo(Q, "ObjectComponents")[i][1][2]]): Append(DX2,myBC[DGinfo(Q, "ObjectComponents")[i][1][3]]): Append(qWorkX,qijk[i]):

end if: end do: return(X_ar,DX1,DX2,qWorkX); end proc:

concatProc:= proc(qX,qY,DX1,DX2,DY1,DY2,VecX,VecY) local i,j, svertEq1, svertEq2, con1, con2, res: description "A convolution of two tensors A and B of type 2,1"; res:=0:

for i from 1 to numelems(qX) do for j from 1 to numelems(qY) do svertEq1:=qX[i]*qY[j]*evalDG(DX1[i] &t DX2[i] &t VecX[i] &t DY1[j] &t DY2[j] &t VecY[j]):

svertEq2:=qX[i]*qY[j]*evalDG(DY1[j] &t DY2[j] &t VecY[j] &t DX1[i] &t DX2[i] &t VecX[i]):

con1:=ContractIndices(svertEq1,[[1,6],[3,4]]): con2:=ContractIndices(svertEq2,[[1,6],[3,4]]): res:= evalDG(res+con1-con2): end do: end do: res: end proc:

two_forms_main:= proc(omega, Omega) local efCoef, normCoef, omegaEff, matrixA, Derivp, Derivm,Z, BV,

BC, vecBas, covecBas,P1,P2,P3, q112, q321, q332, q123, X_p,DX1_p,DX2_p,qX_p,Y_p,DY1_p,DY2_p,qY_p,X_m,DX1_m,DX2_m,qX_m, Y_m,DY1_m,DY2_m,qY_m, lamP, lamM, myVp1,myVp2,myVm1,myVm2, Q, componentArray,counts, simpl, lambdaM, lambdaP;

description "A main procedure. It determines the tensors: lambda__+

and lambda__- finding q__11"2, q__32"1; q__33"2, q__12"3

and them oblique convolution"; Preferences("JetNotation", "JetNotation2"); DGsetup([x1, x2, v, p1, p2], M1): efCoef, normCoef:= checkForm(omega, Omega): if efCoef<>0 and normCoef<>-1 then print("Check pair forms") else matrixA:= operatorA(omega, Omega):

myVp1,myVp2,myVm1,myVm2:=eigenVec(matrixA): Derivp:=evalDG([myVp1, myVp2, LieBracket(myVp1,myVp2)]): Derivm:=evalDG([myVm1, myVm2, LieBracket(myVm1,myVm2)]): Z:=evalDG(simplify(((IntersectSubspaces([Derivp, Derivm]))[1]))); print('Z =',Z);

print(pdsolve([LieDerivative(myVp1,f(x1,x2,v,p1,p2)), LieDerivative(myVp2,f(x1,x2,v,p1,p2)), LieDerivative(Z,f(x1,x2,v,p1,p2))],f(x1,x2,v,p1,p2)));

print(pdsolve([LieDerivative(myVm1,f(x1,x2,v,p1,p2)), LieDerivative(myVm2,f(x1,x2,v,p1,p2)), LieDerivative(Z,f(x1,x2,v,p1,p2))],f(x1,x2,v,p1,p2))); BV:=[myVp1,myVp2,myVm1, myVm2,Z]; BC:=simplify(evalDG(DualBasis(BV))); vecBas:= [D_x1,D_x2,D_v,D_p1,D_p2]; covecBas:= simplify(evalDG(DualBasis(vecBas))); P1,P2,P3:=projetors(BV,BC);

print('P__1',convert(P1,DGArray));

print('P__2', convert(P2,DGArray));

print('P__3',convert(P3,DGArray));

unassign(q);

Q:= evalDG(sum(sum(sum(q[k,l,r]*BV[r] &t (BC[k] &w BC[l]),l=k..5), k=1..5), r = 1..5)):

componentArray:= DGinfo(Q, "ObjectComponents"): counts:= numelems(componentArray);

q112:= qCoeffs(Q,componentArray,counts, BV,BC, [1,1,2],P1,P2,P3): q321:= qCoeffs(Q,componentArray,counts, BV,BC, [3,2,1],P1,P2,P3): q332:= qCoeffs(Q,componentArray,counts, BV,BC, [3,3,2],P1,P2,P3): q123:= qCoeffs(Q,componentArray,counts, BV,BC, [1,2,3],P1,P2,P3): X_p,DX1_p,DX2_p,qX_p:=formAndVec(Q, BV,BC,q112): Y_p,DY1_p,DY2_p,qY_p:=formAndVec(Q, BV,BC,q321): X_m,DX1_m,DX2_m,qX_m:=formAndVec(Q, BV,BC,q332): Y_m,DY1_m,DY2_m,qY_m:=formAndVec(Q, BV,BC,q123): lambdaP:= convert(concatProc(qX_p,qY_p,DX1_p,DX2_p,DY1_p,

DY2_p,X_p,Y_p),DGform): lambdaM:= convert(concatProc(qX_m,qY_m,DX1_m,DX2_m, DY1_m, DY2_m,X_m,Y_m),DGform):

print('lambda__+ ', lambdaP, 'lambda__- ',lambdaM);

return lambdaP, lambdaM: end if; end proc: end module:

^Сохранение модуля

save CurvatureTensorsAndTwoForms, "curvatureTensors_inv.m"; ^Использование модуля на примере пары форм,

отвечающих волновой системе. restart;

with(DifferentialGeometry):with(JetCalculus): Preferences("JetNotation", "JetNotation2M): DGsetup([x1, x2, v, p1, p2], M1): om:= evalDG(dx1 &w dp2 + dx2 &w dpi); Om:= evalDG(dx1 &w dp1 + dx2 &w dp2); #Вызов модуля read('curvatureTensors_inv.m'); with(CurvatureTensorsAndTwoForms); #Работа модуля

lamP,lamM:= two_forms_main(om, Om):

Приложение 2: Контактизация уравнения фильтрации

суспензии

^Подключение библиотек и определение пространства restart;

with(DifferentialGeometry):with(PDEtools):with(Tools):with(Tensor): with(LinearAlgebra): with(JetCalculus): Preferences("JetNotation", "JetNotation2M): DGsetup( [q1,q2,u,p1,p2], J1, verbose);

#Задание формы Картана и пары 2-форм, определяющих систему фильтрации суспензии kappa:= evalDG(du - p1* dq1 - p2 *dq2);

Omega1:= evalDG(-2*p1*h(p2)*dq1 &w dq2 - dq1 &w dp1 + dq2 &w dp1 - dq2 &w dp2);

Omega2:= evalDG(dq1 &w dp1 - dq2 &w dp1 - dq2 &w dp2);

#Проверка условий замкнутости и эффективности

DGsimplify(evalDG(Omega1 &w Omega1+Omega2 &w Omega2));

evalDG(Omega1 &w Omega2);

^Преобразование координат

Phi1:=Transformation(J1,J1,[q1=q1-q2,q2=-q2,u = u, p1=p1,p2=p2]);

Omega:= Pullback(InverseTransformation(Phi1), Omega2);

omega:= Pullback(InverseTransformation(Phi1), Omega1);

#Поиск условий, при которых возможна симплектическая линеаризация

ExteriorDerivative(omega);

^Подключение программного модуля (см. приложение 1)

with(LaplaceTwoForms);

eq:=2*(u[1,1]-h(u[0,1])*u[1,0]);

lamP,lamM:= laplace_forms_main(eq):

^Определение условий контактной линеаризации

eqLam1:=(DGinfo(simplify(lamM), "CoefficientList", "all")[1]);

eqLam2:=(DGinfo(simplify(lamP), "CoefficientList", "all")[1]);

dsolve({eqLam1,eqLam2});

h:= p2 -> (alpha1*p2+beta1);

^Построение контактного преобразования, которое переводит 2-форму \omega, в форму без произвольной константы \alpha

Phi3:=Transformation(J1,J1,[q1=Q1(q1,q2,u,p1,p2),q2=Q2(q1,q2,u,p1,p2), p1=P1(q1,q2,u,p1,p2),p2=P2(q1,q2,u,p1,p2), u = U(q1,q2,u,p1,p2)]); Check1:= evalDG((Pullback(Phi3, omega)-evalDG(2*(alpha1*p2)*p1* dq1 &w dq2 - dq1 &w dp1+ dq2 &w dp2))):

Check2:= (simplify(evalDG(Pullback(Phi3, kappa) &w kappa))): pdsolve({op(DGinfo(Check1, "CoefficientList", "all")), op(DGinfo(Check2, "CoefficientList", "all"))})

Phi_beta:=Transformation(J1,J1,[q1=q1,q2=q2,p1=p1,p2=(-beta1+alpha1*p2)/alpha1,

u = u-(beta1*q2)/alpha1]);

Xi_beta:= InverseTransformation(Phi_beta);

omega2:= Pullback((Phi_beta), omega);

^Нахождение поля эндоморфизмов A, характеристических распределний и первых интегралов

Phi2:=Transformation(J1,J1,[q1=q1,q2=q2,p1=p1*exp(-alpha1*u), p2=p2*exp(-alpha1*u), u = U(q1,q2,u,p1,p2)]);

^Нахождение условий на функцию u, которое сохраняет форму Картана Check3:= (simplify(evalDG(Pullback(Phi2, kappa) &w kappa))); pdsolve(DGinfo(Check3, "CoefficientList", "all"), U(q1, q2, u, p1, p2)) Phi4:=Transformation(J1,J1,[q1=q1,q2=q2,p1=p1*exp(-alpha1*u), p2=p2*exp(-alpha1*u), u = -exp(-alpha1*u)/alpha1]); Xi4:= InverseTransformation(Phi4); omega3:= Pullback(Xi4, omega2); Pullback(Xi4, kappa);

#Проверка условия эффективности 2-формы \omega_3 evalDG(Omega&w omega3);

#Обределение эффективной части формы \omega_3 Eff:=proc (omega)

evalDG(evalDG(omega-kappa &w Hook(evalDG(D_u),omega)) -(solve(op(Tools:-DGinfo(evalDG(g*Omega&w Omega -(evalDG(omega-kappa &w Hook(evalDG(D_u),omega))) &w Omega), "CoefficientSet")),g))*Omega); end proc:

omWeff:= simplify(Eff(omega3))

^Построение точного решения обратными контактными преобразованиями

sol:= u - A1(-q1) - A2(-q2);

sol1:= Pullback(Phi4,sol);

us:= simplify(solve(sol1,u));

p1s:= p1 - diff(us,q1);

p2s:= p2 - diff(us,q2);

sol2:= Pullback(Xi_beta, sol1);

uom:= simplify(solve(sol2,u));

ep12:= diff(uom,q1);

ep22:= diff(uom,q2)

u11:= Pullback(Phi1, ep12);

u22:= Pullback(Phi1, ep22);

Приложение 3: Контактная линеаризация уравнений баратропного газового потока

#Подключение библиотек

with(DifferentialGeometry):with(PDEtools):with(Tools):with(Tensor): with(LinearAlgebra): with(JetCalculus): Preferences("JetNotation", "JetNotation2"):

#Задание пространства джетов, формы Картана и дифференциала ф. Картана

DGsetup([q1,q2],[u],J11,1,verbose):

kappa:=evalDG(du[0,0]-u[1,0]*dq1-u[0,1]*dq2);

Omega:= evalDG(dq1 &w du[1,0] + dq2 &w du[0,1]);

#Определние формы \omega

omega:= simplify(evalDG(-sqrt(diff(rho(u[0,1]),u[0,1]))*dq1 &w du[0,1]

-1/sqrt(diff(rho(u[0,1]),u[0,1]))*dq2 &w du[1,0])); #Проверка на замкнутость и нормировку DGsimplify(evalDG(omega &w omega+Omega &w Omega)); evalDG(omega &w Omega); ExteriorDerivative(omega):

#Проверка на симплектическую эквивалентость

dsolve(DGinfo(simplify(ExteriorDerivative(omega)), "CoefficientList", "all")[1]); #Вызов модуля для определения проекторов и инвариантных форм read('laplace_inv.m'); with(LaplaceTwoForms);

eq:=(1/(sqrt(-diff(rho(p2),p2))))*u[2,0]-sqrt(-diff(rho(p2),p2))*u[0,2]; lamP,lamM:= laplace_forms_main(eq):

with(DifferentialGeometry):with(PDEtools):with(Tools): with(Tensor):with(LinearAlgebra): with(JetCalculus): eqLam1:=(DGinfo(simplify(lamM), "CoefficientList", "all")[1]); eqLam2:=(DGinfo(simplify(lamP), "CoefficientList", "all")[1]); #Использование функции давления, допускающей контактные преобразования rho: = u -> -(256*C1)/(3*(C2 + u)~3) + C3;

#Построение контактного преобразования, действие которого сокращает произвольные константы

solve(sqrt(alpha/(beta + p2)~4) = 1/m~2, p2);

Phi1:=Transformation(J11,J11,[q1=Q1(q1,q2,u[0,0],u[1,0],u[0,1]), q2=Q2(q1,q2,u[0,0],u[1,0],u[0,1]),u[1,0]=P1(q1,q2,u[0,0],u[1,0],u[0,1]),

u[0,1]=C1~(1/4)*u[0,1] - C2, u[0,0] = U(q1,q2,u[0,0],u[1,0],u[0,1])]); omGoal:= evalDG(-1/u[0,1]~2 *dq1 &w du[0,1] -u[0,1]~2* dq2 &w du[1,0]); Check1:= evalDG(Pullback(Phi1, omega)-omGoal): Check2:= (simplify(evalDG(Pullback(Phi1, kappa) &w kappa))): pdsolve({op(DGinfo(Check1, "CoefficientList", "all")), op(DGinfo(Check2, "CoefficientList", "all"))}): Phi02:= Transformation(J11,J11,[q1=q1*C1~(1/4),q2=q2*C1~(1/4), u[0,0]=u[0,0] +C2*q2,u[1,0]=u[1,0]/C1~(1/4),u[0,1]=(C2+u[0,1])/C1~(1/4)]); Xi02:= InverseTransformation(Phi02);

\omega_new=simplify(Pullback(Xi02, omega),sqrt,symbolic); simplify(Pullback(Xi02, kappa))

#Перезапись 2-формы \omega_new в упрощеной форме, проверка на замкнутость и эффективность

omega_new:= evalDG(-16*1/p2~2* dq1 &w du[0,1] - 1/16*p2~2* dq2 &w du[1,0]); DGsimplify(evalDG(omega_new &w omega_new+Omega &w Omega)); evalDG(omega_new &w Omega);

#Переход к более простым записям локальных координат пространства ,

перезапись формы Картана

DGsetup( [q1,q2,u,p1,p2], J1, verbose);

kappa1:= evalDG(du - p1* dq1 - p2 *dq2);

Phi_J1:=Transformation(J1,J11,[q1=q1,q2=q2,u[0,0]=u ,u[1,0]=p1,u[0,1]=p2]); Omega1:= Pullback(Phi_J1, Omega); omega1:= Pullback(Phi_J1, omega_new);

#Посроение характеристических распределений, поиск первых интегралов CovectCartan:=evalDG([dq1,dq2,dp1,dp2]); CovectCartan:=evalDG([dq1,dq2,dp1,dp2]); V:=DGzip([a, b, c,d], VectCartan, "plus");

A:=evalDG(sum(sum(a[i,j]*VectCartan[i] &t CovectCartan[j],i=1..4),j=1..4)); Act:=Z->convert(ContractIndices(evalDG(A &tensor Z),[[2,3]]),DGvector): for i from 1 to 4 do

e[i]:=evalDG(Hook(Act(evalDG(VectCartan[i])),Omega1)-Hook(VectCartan[i],omega1)); end do: AEq: = []:

for i from 1 by 1 to 4 do AEq:=[op(AEq),op(GetComponents(e[i],CovectCartan))] end do: AEq:

sol:=solve(AEq,[a[1,1],a[1,2],a[1,3],a[1,4],a[2,1],a[2,2],a[2,3],a[2,4], a[3,1],a[3,2],a[3,3],a[3,4],a[4,1],a[4,2],a[4,3],a[4,4]]): assign(sol); DGsimplify(A);

m := proc (i, j) options operator, arrow; a[i,j] end proc;

Am:=Matrix(4,4,m);

Determinant(Am);

Am.Am;

EV,e:=Eigenvectors(Am); Cp: = []:Cm: = []:

for i from 1 to 4 do if EV[i]=EV[1] then Cp:=[op(Cp),(convert((Transpose(e[1..-1,i])),list))]

else Cm:=[op(Cm),(convert((Transpose(e[1..-1,i])),list))] end if end do: Vp1:=evalDG(DGzip(Cp[1], VectCartan, "plus")); Vp2:=evalDG(DGzip(Cp[2], VectCartan, "plus")); Vm1:=evalDG(DGzip(Cm[1], VectCartan, "plus")); Vm2:=evalDG(DGzip(Cm[2], VectCartan, "plus")); (LieBracket(Vp1,Vp2)); (LieBracket(Vm1,Vm2));

Cp1:=evalDG([Vp1, Vp2, LieBracket(Vp1,Vp2)]): Cm1:=evalDG([Vm1, Vm2, LieBracket(Vm1,Vm2)]): Z:=evalDG(simplify(((IntersectSubspaces([Cp1, Cm1]))[1])));

pdsolve([LieDerivative(Vm1,f(q1,q2,u,p1,p2)),LieDerivative(Vm2,f(q1,q2,u,p1,p2)), LieDerivative(Z,f(q1,q2,u,p1,p2))],f(q1,q2,u,p1,p2));

pdsolve([LieDerivative(Vp1,f(q1,q2,u,p1,p2)),LieDerivative(Vp2,f(q1,q2,u,p1,p2)), LieDerivative(Z,f(q1,q2,u,p1,p2))],f(q1,q2,u,p1,p2));

#Задание контактного преобразования исходя из полученных 1-х интегралов Phi3:=Transformation(J1,J1,[p1 = (p1*p2 + 16)/(16*p2), q1 = -q1*(p1*p2 + 16)/p2 + u, p2 = -(p1*p2 - 16)/(16*p2), q2 = -q1*(p1*p2 - 16)/p2 + u, u = U(q1,q2,u,p1,p2)]); #Определение преобразования U для \Phi3

Check11:= (simplify(evalDG(Pullback(Phi3, kappa1) &wkappa1)));

pdsolve(DGinfo(Check11, "CoefficientList", "all"));

Phi3:=Transformation(J1,J1,[p1 = (p1*p2 + 16)/(16*p2),

q1 = -q1*(p1*p2 +16)/p2 + u, p2 = -(p1*p2 - 16)/(16*p2),

q2 = -q1*(p1*p2 - 16)/p2 + u, u = 2*q2 - 2*q1*p1/p2]);

#Действие преобразования \Phi3 на форму \omega_1

Xi3:= InverseTransformation(Phi3);

evalDG(Pullback(Xi3, kappa1));

om2:= evalDG(Pullback(Xi3, omega1));

evalDG(om2 &w Omega1);

#Построение эффективной части 2-формы \om2

Eff:=proc (omega)

evalDG(evalDG(omega-kappa1 &w Hook(evalDG(D_u),omega)) -(solve(op(Tools:-DGinfo(evalDG(g*Omega1&w Omegal-(evalDG(omega-kappa1 &w Hook(evalDG(D_u),omega))) &w Omegal), "CoefficientSet")),g))*Omega1); end proc:

omWeff:= simplify(Eff(om2)); #Точные решения

eq0:= u[0,0] - F11(-q1)-F22(-q2);

eq1:= TotalDiff(eq0,q1);

eq2:= TotalDiff(eq0,q2);

sol1:= Pullback(Phi3,[eq0,eq1,eq2]);

sol2:= Pullback(Phi02,sol1);

#Проверка

F11:=x->(x);

F22:=x -> (x)~2;

eval(simplify(solve(sol2,{q1,q2,u[0,0],u[1,0],u[0,1]})),{q2 = tau, u[0,1] = s}); DGsetup([tau, s], N1, verbose);

trans_in:= Transformation(N1,J11,[q1=-(-2*tau*(C2 + s)~2*C1~(3/4) - (C2 + s)~2 *sqrt(C1)/4 + C1)/(32*C1~(5/4)), q2 = -tau, u[0,0]=(8*(C2 + s)*(C2*tau + s*tau + 1/4)*C1~(3/4) + (C2 + s)~2*sqrt(C1) + 8*C1*tau*(C2 + 2*s))/(8*C1), u[1,0] =-16*C1~(1/4)*(C2 + C1~(1/4) + s)/(C2 + s), u[0,1] = s]); th1:= evalDG(-diff(rho(u[0,1]),u[0,1])* dq1 &w du[0,1] - dq2 &w du[1,0]); th2:= evalDG(-dq1 &w du[1,0] - dq2 &w du[0,1]); simplify(Pullback(trans_in,th1)); Pullback(trans_in,th2);