Контактные задачи для тел с покрытиями при описании их неоднородности и формы поверхности быстро изменяющимися функциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Курдина Светлана Павловна

• Курдина Светлана Павловна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Курдина Светлана Павловна

0.2 Описание работы

0.3 Равновесие полосы

1. Равновесие однородной полосы

2. Равновесие тонкой неоднородной полосы

0.4 Проекционный метод решения смешанных

интегральных уравнений

1. Проекционная задача для смешанного операторного уравнения

2. Решение смешанных интегральных уравнений

Глава 1 Контакт слоя с покрытием и системы штампов,

имеющих сложную форму поверхности

1.1 Постановка задачи и общие соотношения

1. Формулировка задачи

2. Математическая модель задачи

3. Преобразование уравнений и базис специального вида

1.2 Решение задач для одной группы штампов

1. Решение задачи с известной правой частью (тип 1)

2. Решение задачи при известных давлениях и моментах (тип 2)

3. Задача с известными силами и углами поворота (тип 3)

4. Задача с известными моментами и осадками штампов (тип 4)

1.3 Решение задач для двух групп штампов

1. Решение задачи при условиях первого и второго типов

2. Решение задачи при условиях первого и третьего типов

3. Решение задачи при условиях второго и третьего типов

4. Решение задачи при условиях первого и четвертого типов

5. Решение задачи при условиях второго и четвертого типов

6. Решение задачи при условиях третьего и четвертого типов

1.4 Решение задач для трех групп штампов

1. Решение задачи при условиях первого, второго и третьего типов

2. Решение задачи при условиях первого, второго и четвертого типов

3. Решение задачи при условиях первого, третьего и четвертого типов

4. Решение задачи при условиях второго, третьего и четвертого типов

1.5 Решение задачи для четырех групп штампов

1.6 Численные расчеты

1. Расчеты при заданных силах и моментах

2. Расчеты при заданных силах и углах поворота

1.7 Основные результаты и выводы

Глава 2 Задачи множественного контакта для оснований

с поверхностно неоднородными покрытиями

2.1 Постановка задачи и общие соотношения

1. Формулировка задачи

2. Математическая модель задачи

3. О преобразовании уравнений, базисе и решении задачи

2.2 Решение задач для одной группы штампов

1. Решение задачи с известной правой частью (тип 1)

2. Решение задачи при известных давлениях и моментах (тип 2)

3. Задача с известными силами и углами поворота (тип 3)

4. Задача с известными моментами и осадками штампов (тип 4)

2.3 Решение задач для двух групп штампов

1. Решение задачи при условиях первого и второго типов

2. Решение задачи при условиях первого и третьего типов

3. Решение задачи при условиях второго и третьего типов

4. Решение задачи при условиях первого и четвертого типов

5. Решение задачи при условиях второго и четвертого типов

6. Решение задачи при условиях третьего и четвертого типов

2.4 Решение задач для трех групп штампов

1. Решение задачи при условиях первого, второго и третьего типов

2. Решение задачи при условиях первого, второго и четвертого типов

3. Решение задачи при условиях первого, третьего и четвертого типов

4. Решение задачи при условиях второго, третьего и четвертого типов

2.5 Решение задачи для четырех групп штампов

2.6 Численные расчеты

2.7 Основные результаты и выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Контактные задачи для тел с покрытиями при описании их неоднородности и формы поверхности быстро изменяющимися функциями»

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию плоских задач механики контактного взаимодействия. В ней рассматривается контакт слоев, поверхностные свойства или профиль которых описываются быстро изменяющимися функциями, и регулярной системы жестких штампов.

0.1 Обзор литературы

Считается, что исследование механики контактного взаимодействия началось в 1882 году с работы Г. Герца [93], в которой он описывал решение задачи о контакте двух упругих тел с искривленными поверхностями. Результаты этих исследований, а также тех, которые были изложены в более поздней работе 1895 года [94], стали считаться классическими и до сих пор не потеряли своей ценности, несмотря на ряд серьезных допущений в исходной постановке. С контактными задачами также связаны и такие основополагающие задачи, как задача о действии сосредоточенной силы на полупространство, решенная Я. Буссинеском в 1885 году [90], и задача о действии нагрузки на полуплоскость, решенная Флама-ном в 1892 году [95]. Следует отметить и, по-видимому, первую плоскую контактную задачу, поставленную и решенную С.А. Чаплыгиным в 1900 г., в которой он рассмотрел общую задачу давления цилиндра на упругую почву. Однако работа не была опубликована и была найдена в архивных документах [86], поэтому задачу для штампа с плоским основанием принято называть задачей М.А. Садовского, о которой рассказывается в работе [104]. До 30-х годов XX века всесторонние теоретико-экспериментальные исследования подтверждали теорию Герца и способствовали развитию ее применений в инженерном деле. Фундаментальные же исследования в области контактной механики практически не проводились, так как отсутствовала необходимая математическая база.

В 30-х годах XX столетия академиком Н.И. Мусхелишвили и его по-

следователями начали развиваться эффективные методы теории функции комплексного переменного (см. [68, 69]). Ими были получены основополагающие результаты в области интегральных уравнений, методах интегральных преобразований, теории потенциала. Они позволили получить решения новых задач теории упругости и, в частности, контактных задач. В самом общем виде было получено решение основной смешанной задачи о полуплоскости. Несомненно, математический аппарат, созданный академиком А.М.Ляпуновым [100], также внес существенный Вклад в развитие теории контактных взаимодействий. В дальнейшем он использовался, например, И.Я. Штаерманом [87]. В.А. Флорин предложил приближенное решение задачи о штампе, жестко связанном с основанием [85]. Нельзя пройти мимо фундаментальных работ таких авторов, как Л.А. Галина, А.Ю. Ишлинского, А.И. Лурье, Д.И. Шермана, В.М. Абрамова, Н.А. Кильчевского, М.Я. Леонова, В.И. Моссаковского, Г.Н. Савина и пр. Вследствие высокого темпа развития данной тематики во второй половине XX века выходят сборники работ [63, 64]. Доскональный обзор развития механики контактного взаимодействия отражен в обзорной книге «Развитие теории контактных задач в СССР», редактором которой выступил Л.А. Галин [78]. Этот сборник включает в себя работы десятков авторов и результаты, собранные почти из 1000 источников. В ней дается классификация различных направлений развития контактных задач. В нее вошли, в том числе, результаты работ таких авторов как В.М. Александров, А.Ю. Амензаде, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь, И.И. Ворович, Л.А. Галин, Ф.Д. Гахов, В.И. Довнорович, Б.А. Друянов, Д.Д. Ивлев, А.И. Лурье, В.С. Никишин, В.В. Панасюк, М.И. Теплый, Г.П. Черепанов, Я.С. Уфлянд, Г.С. Шапиро [15, 17, 19, 28, 29, 47, 48, 70, 71, 84].

Разумеется, развитие механики контактного взаимодействия продолжилось и после выхода [78]. Следующая обзорная книга, вышедшая в 2001 году под названием «Механика контактных взаимодействий» [65], подытожила результаты публикаций, вышедших в период 1976-2001 годов ([2-6, 10-13, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 38, 41, 49-56, 66, 67, 72-76, 77, 79, 81, 83, 88, 92] и другие).

Отдельно следует отметить раздел, написанный Е.В. Коваленко [39] и посвященный доскональному обзору задач контактного взаимодействия для тел с покрытиями. За рубежом также развивалась контактная механика, что отражено в книгах Дж. Гладуэлла и К.Джонсона [27, 91].

С темой данной диссертации тесно связаны два параграфа этой книги. Во-первых, это параграф, написанный А.В. Манжировым [57], в ко-

тором дается обзор контактных задач для неоднородных стареющих вяз-коупругих тел и описывается проекционный метод решения. Развитие и обобщение этого метода описано в [62, 103].

Дальнейшее развитие механика контактного взаимодействия получила в работах С.М. Айзиковича, В.М. Александрова, А.В. Белоконя, Т.И. Белянковой, В.В. Калинчука, Л.И. Кренева, И.С. Трубчика, М.И. Чебакова [1, 7, 8, 22, 23, 37, 41, 82]. Механика контактного взаимодействия для тел с покрытиями особенно активно исследуется А.В. Манжировым и К.Е. Казаковым в их работах [30, 31, 58, 60, 96, 101, 102]. В их работах рассматриваются задачи одиночного контакта жестких штампов и оснований с покрытиями со сложными свойствами, а также описываются и обосновываются математические методы решения таких задач. Данная диссертация является продолжением этих исследований для случая множественного контактного взаимодействия.

0.2 Описание работы

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Список литературы включает 104 наименования. Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях [32-36, 42-46, 59, 61, 97-99]. Общее количество иллюстраций в работе — ???.

В первой главе исследуется взаимодействие регулярной системы жестких штампов и вязкоупругого основания с тонким покрытием переменной толщины в случае, когда поверхности штампа и покрытия являются согласованы. В дальнейшем под регулярной системой штампов будем понимать множество одинаковых штампов, расстояния между которыми одинаковы. Такая задача возникает, когда, например, штампы погружаются в еще незатвердевшее покрытие, изготовленное, из клея, бетона в его молодом возрасте, полимерных материалов, в результате чего форма покрытия в точности совпадает с формой оснований штампов. Рассмотрен случай плоской деформации. Получены разрешающие системы смешанных интегральных уравнений. Даны различные постановки задач. Получены аналитические решения для всех возможных постановок. Для решения систем смешанный уравнений с дополнительными условиями развит обобщенный проекционный метод, описанный во введении. Проведены численные расчеты для ряда модельных задач, среди которых присутствуют задачи, в которых формы поверхностей описываются быстро изменяющимися функциями.

Во второй главе исследуются плоские контактные задачи для регулярной системы одинаковых жестких штампов и вязкоупругого поверхностно неоднородного основания, т.е. основания с покрытием, свойства которого не меняются по глубине, но зависят от продольной координаты. Поверхностная неоднородность обуславливается особенностями нанесения покрытия на нижний слой, обработкой поверхностных слоев (травление, лазерная обработка, термическая обработка, ионная имплантация и т. д.). Неоднородность может быть связана с использованием материалов с различными свойствами при изготовлении покрытий. Как и в первой главе рассмотрен случай плоской деформации. Получены разрешающие системы смешанных интегральных уравнений. Для всех возможных вариантов постановки задачи при помощи получены аналитические решения. Исследован модельный пример, в котором покрытие состоит из нескольких материалов, т.е. его неоднородность описывается разрывной функцией.

Заключение содержит основные выводы по диссертационной работе.

Описанные задачи актуальны как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения практических приложений. Практическая значимость таких исследований связана с необходимостью учета неоднородности или форм поверхностей, так как подобные свойства приобретаются за счет, например, поверхностной обработки и особенностей изготовления контактирующих тел и могут вносить существенный вклад в характер поведения контактирующих тел. В теоретическом плане такие задачи интересны тем, что для их решения необходимо усовершенствовать старые и разрабатывать новые методы решения систем смешанных интегральных уравнений (т.е. интегральных уравнений, содержащих как интегралы с постоянными пределами интегрирования, так и интегралы с переменными пределами интегрирования), в состав которых входят быстро изменяющиеся функции. Математическое моделирование контактного взаимодействия дает возможность проводить численные эксперименты для выбора необходимых материалов слоя с целью упрочнения основания либо для управления поведением штампов на слое.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании новых задач механики контактного взаимодействия вязкоупругих стареющих тел с покрытиями и систем штампов, установлении закономерности эволюции контактных характеристик с неоднородными покрытиями и с покрытиями, имеющими сложную форму поверхности.

Целями и задачами данной работы являются постановка и исследование плоских задач множественного контакта упругих и вязкоупругих тел с покрытиями, форма которых совпадает с формами оснований штампов (согласованный контакт), либо с поверхностно неоднородными покрытиями в случае, когда формы и неоднородности описываются быстро изменяющимися функциями; развитие обобщенного проекционного метода решения систем смешанных интегральных уравнений; формулировка выводов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построение аналитического решения плоской задачи множественного контакта регулярной системы одинаковых жестких штампов и вяз-коупругого стареющего основания с покрытием, форма которого совпадает с формами оснований штампов (т.е. когда их профили согласованы).

2. Построение аналитического решения плоской задачи множественного контакта регулярной системы одинаковых жестких штампов и вяз-коупругого стареющего основания с поверхностно неоднородным (про-

дольно неоднородным в плоском случае) покрытием, т.е. покрытием, свойства которого не меняются по глубине, но зависят от продольной координаты.

3. Применение проекционного метода для решения систем смешанных интегральных уравнений в контактных задачах для тел с покрытиями.

4. Анализ полученных результатов, формулировка выводов.

Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней впервые рассмотрены задачи множественного контакта, учитывающих поверхностную неоднородность покрытий и согласованность контакта. Для построения аналитических решений поставленных задач развит обобщенный проекционный метод А.В. Манжирова. Исследованы механические эффекты связанные с множественностью контакта, сильной неоднородностью покрытий и сложных форм контактирующих поверхностей.

Методы исследования представленных в диссертации задач опираются на классические методы контактной механики и, в частности, на теорию контактного взаимодействия тел с покрытиями, результаты и подходы математического и функционального анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью вышеописанных математических методов при построении аналитических решений задач. Сформулированные результаты допускают физическую и геометрическую интерпретацию и соответствуют представлениям о протекающих процессах и поведении контактирующих тел.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на Международной молодёжной научной конференции «XXXVIII Гагаринские чтения» (Москва, 2012); III Международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Цахкад-зор, Армения, 2012); VII Всероссийской конференции по механике деформируемого твёрдого тела (с международным участием) (Ростов-на-Дону, 2013); XVII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2014); VIII Международной конференции «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (Горис-Степанакерт, Армения, 2014); Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы трибологии технологических, энергетических и транспортных машин» (Самара, 2014); Международном симпозиуме IUTAM Symposium on Growing solids (Москва, 2015); XLII Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2016); Всероссийской научно-технической кон-

ференции «Механика и математическое моделирование в технике», посвященной 100-летию со дня рождения В.И. Феодосьева (Москва, 2016); IX Всероссийской конференции «Механика деформируемого твердого тела» (Воронеж, 2016); Международной школе-конференции молодых ученых МЕХАНИКА-2016 (Цахкадзор, Армения, 2016); Научной конференции «Проблемы прочности, динамики, ресурса и оптимизации», посвященной 80-летию со дня рождения В.П. Малкова (Нижний новгород, 2016).

Большинство исследований выполнено в рамках проектов, финансируемых Российским фондом фундаментальных исследований (проекты № 12-01-00991 а, № 16-31-00329 мол_а) и Министерства образования и науки РФ (тема 1.2640.2014).

В двух параграфах, предшествующих основным главам, излагаются решения основополагающих задач о равновесии однородного и неоднородного слоев, а также дается описание обобщенного проекционного метода решения смешанных интегральных уравнений.

0.3 Равновесие полосы

Интегральные уравнения, используемые в диссертационной работе, опираются на результаты исследований, опубликованных в [8, 11]. В этих работах решены две основополагающие задачи: 1) задача о равновесии однородного слоя произвольной толщины под действием распределенной нагрузки; 2) задача о равновесии тонкого неоднородного слоя под действием распределенной нагрузки. Постановки и решения обеих задач приведены ниже.

1. Равновесие однородной полосы.

Рассмотрим задачу равновесия вязкоупругого стареющего однородного слоя толщиной h, изготовленного в момент времени т* и лежащего на подстилающем недеформируемом основании, на который действует нормальная q(x,t) и касательная т(x,t) распределенные нагрузки (рис. 1). Будем рассматривать случай плоской деформации.

Для нахождения перемещений будем искать решение уравнения Ламе

2(1 — v)grad div u(x, y, t) — (1 — 2v)rot rot u(x, y, t) = 0. (0.1)

Здесь u(x,y,t) = (u(x,y,t) v(x,y,t) 0) — вектор перемещений точек слоя, v — коэффициент Пуассона, который будем считать постоянной величиной. Деформации слоя и перемещения связаны формулами Коши

£ (X У t) = ди{Х>У>1) £ <Х у t) = ^У'Ъ •гЧ j дх ' ду ' (02)

о, (г II Л - du{X,[y,t) 4-

ду + дх '

а напряжения в слое и деформации следующими определяющими соотношениями

2G(t — т *)

°х{х, у, t) = v_ + N) [(1 - v)ex{x, у, t) + isey(x, y, t)},

2G(t — т *)

°у(х> f ) = i -2u (I + N) " У' + U£x(x> У> ^'

тху (x,y,t) = G(t — т *)(I + N)7xy (x,y,t), (0.3)

(x, y, t) = v [ax(x,y,t) + ay (x,y,t)], t

Nf (t) = j R(t — т*,т — т*)f (т) (1т,

то

x(x,t) у*

q(x,t)

х

Фиг. 1. Равновесие однородной полосы

где N — интегральный оператор Вольтерра с ядром релаксации R(t — т*,т — т*), I — тождественный оператор, (I + N) — резольвентный оператор, G(t) — модуль упругомгновенной деформации при сдвиге. Следует также отметить, что рассматриваются такие материалы, для которых коэффициенты Пуассона постоянны. Здесь и далее для аппроксимации модуля G(t) будем пользоваться зависимостью G(t) = G0(1 — хе~'at), в которой Go — модуль сдвига для материала весьма старого возраста, а х и a — положительные константы, зависящие от конкретного материала. В качестве ядра релаксации R(t, т) будем пользоваться соотношением R(t,T) = 1{t,r) — G(t)}7 в котором Çl(t,r) — мера релаксации

при сдвиге, для аппроксимации которой обычно используется функция ) = (A + Be-вт)(1 — е-Y(t—тгде A, C, в, Y — положительные константы, зависящие от конкретного материала. Детально об основах ползучести неоднородных стареющих тел и, в частности, об основных соотношениях линейной теории ползучести, можно прочитать, например,

Из формул (0.2) и (0.3) следует, что напряжения и перемещения связаны соотношениями

Применим интегральное преобразование Фурье по переменной х к уравнениям (0.1) считая, что и(ы,у,£) является образом п(х,у,Ь), а

в [11].

V(ы,у,£) — образом -и(ж,у,£), то есть

сю сю

и{и,у,г) = ! и{х,у,г)ешх(1х, и{х,у,г) = ^ ! и{и,у,г)е-шх(1и,

—с —с

сю сю

—сю —сю

(0.5)

Тогда мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка для функций и(ы,у,£) и V(ы,у,£) относительно переменной у

(1 — )иуу (ы, у, *) — 2(1 — V )ы2и (ы, у, *) — ^'(ы, у, *) = 0, 2(1 — V) V;; (ы, у, *) — (1 — 2v )ы^ (ы, у, *) — гыи^ (ы, у, *) = 0,

общее решение которой имеет вид

и(ы, у, ¿) = [Ах(ы, ¿) + А2(ы, ¿)ыу] еЬ(ыу) +

+ [Вх(ы,^) + Я2(ы,*)ыу] 8Ь(ыу), (0 б)

V(ы, у, ¿) = г{[£1(ы, £) — А2(ы, ¿)к + В2(ы, ¿)ыу] еЬ(ыу) + ( ' ) + [А1(ы, — В2(ы, ¿)к + А2(ы, ¿)ыу] вЬ(ыу)},

где к = 3 — ^. Функции А1(ы,^), А2(ы,^), В1(ы,^), В2(ы,^) подлежат определению из граничных условий задачи. Используя выражения (0.5), (0.6), необходимые в дальнейшем формулы (0.4) для напряжений а"у(ж,у,^) и тху(ж,у, ¿) можно представить в виде

сю

—сю

+ 2ыуА2(ы, £)] еЬ(ыу) + [—(к + 1)А2(ы,£) + 2В1(ы,£) + + 2ыуВ2(ы,^)] 8Ь(ыу)}ые—^ы, (0 7)

сю (0. ' )

—с

+ 2ыуВ2(ы, £)] еЬ(ыу) + [—(к — 1)В2(ы, ¿) + 2А1(ы, + + 2ыуА2(ы,*)] 8Ь(ыу)}ые—г^ы.

Пусть полоса защемлена по основанию. Тогда условия на нижней грани слоя представимы в виде

и(ж, 0,£) = 0, ф, 0,£) = 0. (0.8)

Условия же на верхней грани ставятся относительно напряжений

ау(х, £) = —#(х,/), тху(х, /) = т(х,

Предполагая, что как касательная, так и нормальная распределенные нагрузки действуют лишь на участке х £ [—а, а], получим

, ч I —д(х,/), х Е [—а,а], 0, х / К а, а|,

г , , , (0-9)

Тху(х,М) = 1 —т(х'()' х £ [—й'а1'

I 0, х £ [—а,а].

Если эти функции непрерывны в (—а, а) и абсолютно интегрируемы при х £ [—а, а], для них также можно воспользоваться преобразованием Фурье

а сю

-а (0-ю)

—оо

Подставив (0.6) в граничные условия (0.8), а (0.7) и (0.10) в граничные условия (0.9), получим систему для определения функций АДы,/), А2(ы,/), В^ы,/;), В2(ы,/), решение которой имеет вид

= 0,

Г Т(ы,/) 2ы^вЬ(ый) — (к + 1)еЬ(ы^)

Л2(ы, /;) = (I — Ь)

— т *) я(ый)

. ф(ы,/) 2ы^еЬ(ы^) — (к — 1)вЬ(ы^)

+ г(3(*-т*) ^Щ^К)

В1(ы,;) = кА2(ы,;),

„ . , Т,Г Т(ы,;) 2ы^еЬ(ы^) + (к — 1)вЬ(ый)

В2{СО, /:) = (! — Ь)

(0.11)

— т *) я(ый)

+ {к, + 1) сЬ(ы/г) ~ 1 — т*) иО{иК)

Здесь введено обозначение Л(м) = 2кеЬ(2м) + к2 + 1 + 4и2, а I — Ь = (I +

f

В результате, для нахождения перемещений и(ж, у, £) и -и(ж, у, £) необходимо подставить (0.11) в (0.6), а затем перейти от полученных образов перемещений к оригиналам при помощи формул (0.5). Приведем лишь окончательные формулы для перемещений верхней грани слоя

а сю

—а 0

а сю

—а 0 а с (0.12)

«=-(1 - {/•* >«/ ¡Щ} «»м« - *>] <*"-

—а 0

а сю

-¡-^¡ту

а0

где

Л11(м) = 2к 8ь(2м) + 4и, Л22(м) = 2к 8Ь(2м) — 4и,

8и2

£>12(м) = £>21 (ад) = 2фЬ(2гО - 1] -

к1

1 — V ' 2(1 — V)'

В диссертации нас будут интересовать вертикальные перемещения верхней грани слоя, на который действует только нормальная распределенная нагрузка. Поэтому из уравнений (0.12) и связи между модулем сдвига и модулем упругости Е(£) = 2(1 + V)С(£) следует

а

У(Х, И, О = - Ь) кр1 д(€, 0 с (0.13)

—а

где кр}(й) — ядро плоской контактной задачи, вычисляемое по формуле

сю

кр\{з) = [ ^^ со8(зи) (1и, (0-14)

Ь(м) =

0

2кйЪ(2и) + 4'« 2к еЬ(2м) + к2 + 1 + 4и2'

У к

ГТтГтТТ!

Фиг. 2. Равновесие тонкой неоднородной полосы

Замечание 1. Если между подстилающим основанием и нижней гранью слоя осуществляется гладкий контакт, то граничные условия на нижней грани слоя принимают вид

■у(х, о,;) = о, тху(х, о,;) = 0. (0.15)

В этом случае решение имеет вид (0.13), однако в ядре, опеределяемом формулой (0.14), меняется функция Ь(м)

сЬ(2и)-1

ь{и) =

вЬ(2и) + 2м'

Замечание 2. В случае, если слой является тонким по сравнению с длиной отрезка [—а, а], на котором действует распределенная нагрузка, формулу (0.13) можно преобразовать к виду

где к^ = (1 — V — 2^2)/(1 — V) в случае идеального контакта между подстилающим основанием и слоем, к„ = 1 — V2 в случае гладкого контакта.

2. Равновесие тонкой неоднородной полосы.

Рассмотрим теперь задачу равновесия вязкоупругого стареющего неоднородного слоя толщиной Н, изготовленного в момент времени т* и лежащего на подстилающем недеформируемом основании, на который действует нормальная д(х, /) распределенная нагрузка на отрезке [—а, а] при условии, что слой является тонким по сравнению областью действия нагрузки, то есть Н ^ 2а (рис. 2). Как и в предыдущей задаче, будем рассматривать случай плоской деформации.

Уравнения состояния такого слоя имеют вид:

ч 2С(х,/ — т *) аЛх.уЛ) = —-т—;—■— X

(ту{х,у,г) = ——х

х (I + N){[1 — V(х)]ех(х,у,/) + V(х)£у(х,у,/)},

2в{х,г-т*)^ (0.17)

1 - 2и{х)

х (I + N^[1 — V(х)]еу(х,у,/) + V(х)ех(х,у,/)}, тЖу (х,у,;) = С(х,; — т *)(I + (х,у,;).

Деформации связаны с перемещениями формулами Коши (0.2), а для напряжения выполняются условия равновесия

дах{х,у,г) дтХу{х, у, ¿) _ 0

, л , ^ л " ' (0.18) у, ¿) д(7у{х,у,г) = 0

дх ду

Предполагаем также, что на нижней грани осуществляется сцепление с подстилающим основанием (0.15), а на верхней — гладкий контакт

ау(х, Н, /) =

—д(х,/), х £ [—а,а], 0, х £ [—а,а], (0.19)

тХу(х, Н,/) = 0.

Так как слой тонкий и характерный размер области контакта существенно больше толщины слоя, то Н/(2а) ^ 1. Тогда представим касательное напряжение тху(х,у,/) в виде разложения в ряд Тейлора по координате у, в котором ограничимся лишь линейными слагаемыми

тху (х,у,;) = ко(х,;) + к1(х,;)у.

Подставив это представление во второе граничное условие (0.19), получим

тху (х,у,/) = к1(х,/)(у — Н). Тогда из второго уравнения равновесия (0.18) следует, что

2

которое с учетом первого граничного условия (0.19) преобразуется в

(у — Н)2

(ту{х,у,г) = -к[{х,г)—---

Используя полученное представление для напряжения ау(х,у,£) и уравнения состояния (0.17) можно вывести уравнение для напряжения

. 2G(x,t - т*)/т ,

<Гх(х, у, t) = (I + у, t)-

V (x)

(У - h)

2

k'i(xi t)-ö--^ t)

(0.20)

1 — v (x)

Выразив в первом уравнении равновесия ax(x,y,t) и приравняв его вы-шезаписанному выражению с учетом того, что lim a"x(x,y,t) = 0, получим соотношение

2G(x,t — т *)/т _ ,

1 — V (x)

V(x)

(У — h)

2

/^(x, i)----h q{x, i)

= —Ki(x,t),

1 — V (х)

где КДх,^) = /&1(х,£) ¿х. Так как слой тонкий, то |Кх(х, | ^

¿)| и тогда

2С(х,£ — т*)/т , ч V(х) , , ^ / ч

1 — V (х) 1 — V (х)

Так как нижняя грань защемлена, то £ж(х, 0,£) = 0 и тогда

V (х)

= е*(ж>У>*) = о.

В этом случае из (0.20) следует, что

/ \ V(х) , Л аЛх-уЛЛ = — --——а(хЛ),

а из первого уравнения (0.17)

£y (x, y, t) =

1 -2z/(x) _ q(x, t) у^"""' l-v(x)[i 2G(x,t — r*)'

Интегрируя полученное выражение для деформаций и используя граничное условие для перемещений (0.8), получим вертикальные перемещения верхней грани слоя

/ , ч 1 — 2v(х) , /т т, о(х, £)

2 [1 — v (x)p yG(x,t — т *)

2 (0.21)

1 - ф) - 2v-{x) h^ _ ^ q(x, t)

1 — v (x) !E (x,t — т*)'

Замечание 3. Если между подстилающим основанием и нижней гранью слоя осуществляется гладкий контакт, то граничные условия на нижней грани слоя принимают вид (0.15), а решение принимает вид

/ , ч 1 — V(х), /т т, о(х, /)

2 ^ — т *) (0.22)

.2/„мь/т т \ 4(х,;)

= —[1 — V 2(х)]Н(! — Ь)

е (х,; — т *)'

Замечание 4- Если основание однородно, то решения (0.21) и (0.22) совпадают с (0.16).

Замечание 5. Отметим, что напряжения ау(х,у,/) не зависят от глубины и равны ау(х,у,/) = —д(х,£) при любых у £ [0, Н].

Замечание 6. Если тонкое основание имеет переменную высоту, то в случае идеального контакта перемещение верхней грани будет определяться соотношением

. . . 1 — V (х) — 2v 2(х),. т. а(х,/)

1 — V (х) м УЕ (х,; — т*)

а в случае гладкого - соотношением

V(х, Н(х),;) = —[1 — V2(х)]Н(х)(! — Ь)

е (х,; — т *)'

0.4 Проекционный метод решения смешанных интегральных уравнений

Описывается эффективный проекционный метод, позволяющий строить решения в аналитической форме с выделенными главными особенностями так называемых смешанных интегральных уравнений (см. [62, 103]), то есть уравнений, содержащих как интегральные операторы Вольтерра, так и интегральные операторы Фредгольма. Этот метод позволяет не только находить решения задач с неполной информацией о правой части интегрального уравнения, но и получать эффективное аналитическое решение задачи для интегрального уравнения Фред-гольма второго рода с заданной правой частью, которое отличается от решения, построенного в [26].

1. Проекционная задача для смешанного операторного уравнения.

Интегральные уравнения, к которым сводятся задачи, рассматриваемые в данной диссертации, при помощи разнообразных замен переменных можно привести к операторному вида

сйр — Ь1)у(;) + (I — ь^уй = /(;), ; £ [¿о,П (0.23)

в котором у(;), ] (;) £ Н х С (то, Т) — непрерывные функции параметра ; из пространстве Н, с(;) £ С(т0,Т), с(;) > 0 — непрерывная положительная функция параметра I — тождественный оператор; Е: Н ^ Н -интегральный оператор Фредгольма; Ь1 и Ь2 — операторы Вольтерра по параметру ¿; Н — гильбертово пространство, С(т0,Т) — пространство непрерывных в ; £ (т0,Т) функций. Известно также, что оператор Е является вполне непрерывным, самосопряженным и положительным, а интегральные операторы Ь1 и Ь2 обладают следующим свойством: результатом действия операторов (I — Ь1), (I — Ь2), [I — (ы1Ь1 + ы2Ь2)], (I — Ь1)—1, (I — Ь2)—1, [I — (ы1Ь1 + ы2Ь2)]—1 на непрерывную функцию параметра ; является непрерывная функция параметра

Представив пространство Н в виде прямой суммы ортогональных подпространств Н (°) и Н « , запишем функции у(;) и /(;) в виде

у(;) = у(0)(;) + у(1)(;), /(;) = /(0)(;) + /(1)(;), (0.24)

где у(г)(;),/(г)(;) £ Н(г) х С(т0,Т) (г = 0,1) — непрерывные функции параметра ; в соответствующих подпространствах.

Обобщенная проекционная задача может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что функции /(Ь) и у(Ь) удовлетворяют уравнению (0.23) и могут быть представлены в виде (0.24). Необходимо при известных функциях у(0)(Ь) и /(1)(Ь) определить неизвестные функции у(1)(Ь) и /(0)(Ь).

Для решения поставленной задачи необходимо ввести операторы ортогонального проектирования Р^: Н ^ Н(г) (г = 0,1) такие, что Р0 + Р1 = I. Тогда очевидно, что Ргу(Ь) = у(г)(Ь), Р/(Ь) = /(г)(Ь) (г = 1, 2). Подействовав ортопроектором Р1 на уравнение (0.23) получим операторное уравнение с известной правой часть

ф)(1 — Ь^^Ь) + (I — Ь2)Р1Еу(1)(г) = (0 25)

= /(1){() — (I — Ь2)Р1Еу(0){(), Ь е [то,Т],

которое содержит компактный, самосопряженный и положительный оператор Р1Е: Н(1) ^ Н(1). Если функции ^к являются собственными функциями оператора Р1Р, соответствующими собственным значениям 7к, то есть = 7к, то они образуют базис пространства

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Курдина Светлана Павловна, 2018 год

(У - h)

2

k'i(xi t)-ö--^ t)

(0.20)

1 — v (x)

Выразив в первом уравнении равновесия ax(x,y,t) и приравняв его вы-шезаписанному выражению с учетом того, что lim a"x(x,y,t) = 0, получим соотношение

2G(x,t — т *)/т _ ,

1 — V (x)

V(x)

(У — h)

2

/^(x, i)----h q{x, i)

= —Ki(x,t),

1 — V (х)

где КДх,^) = /&1(х,£) ¿х. Так как слой тонкий, то |Кх(х, | ^

¿)| и тогда

2С(х,£ — т*)/т , ч V(х) , , ^ / ч

1 — V (х) 1 — V (х)

Так как нижняя грань защемлена, то £ж(х, 0,£) = 0 и тогда

V (х)

= е*(ж>У>*) = о.

В этом случае из (0.20) следует, что

/ \ V(х) , Л аЛх-уЛЛ = — --——а(хЛ),

а из первого уравнения (0.17)

£y (x, y, t) =

1 -2z/(x) _ q(x, t) у^"""' l-v(x)[i 2G(x,t — r*)'

Интегрируя полученное выражение для деформаций и используя граничное условие для перемещений (0.8), получим вертикальные перемещения верхней грани слоя

/ , ч 1 — 2v(х) , /т т, о(х, £)

2 [1 — v (x)p yG(x,t — т *)

2 (0.21)

1 - ф) - 2v-{x) h^ _ ^ q(x, t)

1 — v (x) !E (x,t — т*)'

Замечание 3. Если между подстилающим основанием и нижней гранью слоя осуществляется гладкий контакт, то граничные условия на нижней грани слоя принимают вид (0.15), а решение принимает вид

/ , ч 1 — V(х), /т т, о(х, /)

2 ^ — т *) (0.22)

.2/„мь/т т \ 4(х,;)

= —[1 — V 2(х)]Н(! — Ь)

е (х,; — т *)'

Замечание 4- Если основание однородно, то решения (0.21) и (0.22) совпадают с (0.16).

Замечание 5. Отметим, что напряжения ау(х,у,/) не зависят от глубины и равны ау(х,у,/) = —д(х,£) при любых у £ [0, Н].

Замечание 6. Если тонкое основание имеет переменную высоту, то в случае идеального контакта перемещение верхней грани будет определяться соотношением

. . . 1 — V (х) — 2v 2(х),. т. а(х,/)

1 — V (х) м УЕ (х,; — т*)

а в случае гладкого - соотношением

V(х, Н(х),;) = —[1 — V2(х)]Н(х)(! — Ь)

е (х,; — т *)'

0.4 Проекционный метод решения смешанных интегральных уравнений

Описывается эффективный проекционный метод, позволяющий строить решения в аналитической форме с выделенными главными особенностями так называемых смешанных интегральных уравнений (см. [62, 103]), то есть уравнений, содержащих как интегральные операторы Вольтерра, так и интегральные операторы Фредгольма. Этот метод позволяет не только находить решения задач с неполной информацией о правой части интегрального уравнения, но и получать эффективное аналитическое решение задачи для интегрального уравнения Фред-гольма второго рода с заданной правой частью, которое отличается от решения, построенного в [26].

1. Проекционная задача для смешанного операторного уравнения.

Интегральные уравнения, к которым сводятся задачи, рассматриваемые в данной диссертации, при помощи разнообразных замен переменных можно привести к операторному вида

сйр — Ь1)у(;) + (I — ь^уй = /(;), ; £ [¿о,П (0.23)

в котором у(;), ] (;) £ Н х С (то, Т) — непрерывные функции параметра ; из пространстве Н, с(;) £ С(т0,Т), с(;) > 0 — непрерывная положительная функция параметра I — тождественный оператор; Е: Н ^ Н -интегральный оператор Фредгольма; Ь1 и Ь2 — операторы Вольтерра по параметру ¿; Н — гильбертово пространство, С(т0,Т) — пространство непрерывных в ; £ (т0,Т) функций. Известно также, что оператор Е является вполне непрерывным, самосопряженным и положительным, а интегральные операторы Ь1 и Ь2 обладают следующим свойством: результатом действия операторов (I — Ь1), (I — Ь2), [I — (ы1Ь1 + ы2Ь2)], (I — Ь1)—1, (I — Ь2)—1, [I — (ы1Ь1 + ы2Ь2)]—1 на непрерывную функцию параметра ; является непрерывная функция параметра

Представив пространство Н в виде прямой суммы ортогональных подпространств Н (°) и Н « , запишем функции у(;) и /(;) в виде

у(;) = у(0)(;) + у(1)(;), /(;) = /(0)(;) + /(1)(;), (0.24)

где у(г)(;),/(г)(;) £ Н(г) х С(т0,Т) (г = 0,1) — непрерывные функции параметра ; в соответствующих подпространствах.

Обобщенная проекционная задача может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что функции /(Ь) и у(Ь) удовлетворяют уравнению (0.23) и могут быть представлены в виде (0.24). Необходимо при известных функциях у(0)(Ь) и /(1)(Ь) определить неизвестные функции у(1)(Ь) и /(0)(Ь).

Для решения поставленной задачи необходимо ввести операторы ортогонального проектирования Р^: Н ^ Н(г) (г = 0,1) такие, что Р0 + Р1 = I. Тогда очевидно, что Ргу(Ь) = у(г)(Ь), Р/(Ь) = /(г)(Ь) (г = 1, 2). Подействовав ортопроектором Р1 на уравнение (0.23) получим операторное уравнение с известной правой часть

ф)(1 — Ь^^Ь) + (I — Ь2)Р1Еу(1)(г) = (0 25)

= /(1){() — (I — Ь2)Р1Еу(0){(), Ь е [то,Т],

которое содержит компактный, самосопряженный и положительный оператор Р1Е: Н(1) ^ Н(1). Если функции ^к являются собственными функциями оператора Р1Р, соответствующими собственным значениям 7к, то есть = 7к, то они образуют базис пространства

Н(1)

= 1, 2,3,...). В этом случае произвольную непрерывную функцию параметра Ь из подпространства Н(1) можно представить в виде разложения по этим функциям

то то

У(1)(Ь) = £ УкШк, /(1)(Ь) = £ /к(Ь)у>к,

к= ТО^ (0.26)

/(1)(Ь) = (I — Ь2)Р1Гу(0)(Ь) = £ /(ЬК,

к=1

в которых ук (Ь),/к(Ь),/к (Ь) е Н х С (Ь0, +то) (& = 1, 2,3,...). Подставив (0.26) в (0.25) получим уравнение для нахождения функций ук(Ь)

ы*) = (I + к = 1,2,3,..., (0.27)

с(Ь) + 7к

где Wk — резольвентный оператор для оператора Ьк = [с(Ь)Ь1 + 7к Ь2]/[с(Ь) + 7к ], (I — Ьк )—1 = I + Wk (£ = 1, 2, 3,...). В результате, из уравнений (0.26) и (0.27) следует, что неизвестная функция у(1)(Ь) принимает вид

то

/к (Ь) — /к (Ь)

/у1 (/) • л.

к=1 с(Ь)+7к

Подействовав ортопроектором Р0 на уравнение (0.23) и учитывая то, что функция у(1)(г) уже известна, получим уравнение для определения функции /(0)(г)

/(0)(г) = Ф)(1 - ^«»(г) + (I - Ь2)РоГ[у(0)(^) + у(1)(г)], г е [то,Т].

Отметим, что полученные решения существуют и единственны.

2. Решение смешанных интегральных уравнений.

Рассмотрим смешанное интегральное уравнение с системой из N дополнительных условий:

с(г)ш(ж)(1 - Ь1)у(ж, г) + (I - Ь2)Су(х, г) = / (х, г), (0.28)

Iу(£,г)//(£)= М/(г), I = 1,2,...,^ (0.29)

п

N

/ (х,г) = ^ «I (г)//(х) - #(ж,г), с/(х,г)= / ф,ОЖ,г)

г=1

п

х е О, г е [т0,Т],

в котором с(г) е С(т0,т), ш(ж) е ь2(О), ш(ж) > 0, #(ж,г) е ь2(О) х С(т0,Т) — заданные функции, у(х,г) е £2(О) х С(т0,Т), а(г) е С(т0,Т) (I = 1, 2,..., N) — искомые функции; О — ограниченное замкнутое множество в К (отрезок); {//(ж)}/=1?2д... (//(х) е Ь2(О)) — система линейно независимых функций; I — тождественный оператор; Ь (г = 1,2) -интегральные операторы Вольтерра с полярными либо непрерывными ядрами Кг(г - т0,т - т0) е С(т0,Т) х С(т0,Т); С: ¿2(0) ^ ^(О) — положительно определенный, вполне непрерывный, самосопряженный оператор с ядром ) е Ь2(О х О).

Произведя в (0.28), (0.29) замену переменных по приведенным ниже формулам

У (ж,*) = у(х,г)л/т{х), ^(ж,*) = -ЛЪЦ, =

Цх,0

Ух,Ъ) = у(х,1)\/т(х), Р'(х,г.) = , =

получим преобразованное интегральное уравнение и систему дополнительных условий

с(г)(1 - Ь1)У (х,г) + (I - Ь2)еу (х,г) = ^ (х,г), (0.30)

[ = МгЦ), 1 = 1,2,..., ж, (0.31) й ^

N

/ (ж)

/=1 а/ т(ж)'

ж е П, £ е [то,Т].

(ж,*)= / к(ж,е)/(£,*)

п

Если предположить, что Н = Ь2(П), то можно видеть, что уравнение (0.30) совпадает с уравнением (0.23).

Чтобы построить решение в классе функций Ь2(П) х С(т0,Т) уравнения (0.30) с дополнительными условиями (0.31) необходимо ввести в рассмотрение базис в Ь2(П), содержащий в себе в явном виде функцию 1 /л/т{х). Это предположение следует из вида правой части уравнения (0.30) и левых частей системы уравнений (0.31). Для построения такой системы воспользуемся соотношениями

№ (ж) =

Р*к(х)

\/т{х)

4 =

^11 ^12 ^21 ^22

к, т = 1, 2,3,.

=

,

п

т(е)

Рк (ж) =

1

¿^е, ¿0 = 1,

^11 ^12

^21 ^22

/1(ж) /2(ж) • • • (ж)

(0.32)

Из (0.32) следует, что функции р1(ж),р2(ж),... (ж) могут быть представлены в виде:

Ут(ж)

I = 1, 2,...,Ж

(0.33)

Разрешая систему уравнений (0.33) относительно /¿(ж)/у/ш(ж), получим

//(ж) \/т( ж)

¿ЬуР (ж), I = 1, 2,..., Ж,

(0.34)

¿=1

где матрица, составленная из элементов , является обратной по отношению к матрице, составленной из элементов а^ (/,^ = 1, 2,..., N).

Представив пространство Ь2(П) в виде суммы ортогональных подпространств ь20)(П) и ь21)(П), базисами которых являются системы {р/(ж)}/=1,2,...д и (ж)}л=^1Д+2Д+з..., соответственно, заметим, что произвольные функции из Ь2(П) х С(т0, Т) могут быть представлены как

алгебраическая сумма функций из ь20)(О) х С(т0,Т) и ь2^(О) х С(т0,Т). Тогда искомая функция У(х,г) и функция ^(х,г), стоящая в правой части уравнения (0.30), принимают вид

N

у(х,г) = у(0)(х,г) + у(1)(х,г), у(0)(х,г) = ^у/(0)(г)р/(х), (0.35)

/=1

N Г N

(0),

........ "

^(х,г) = ^(0)(х,г)+^(1)(х,г), ^(0)(х,г)=^ Х^/а(г)-"((0)(г) р/(®),

/=Д ^=/ ^

= -С(1)(М), = + С(1)(М), (0.36)

ут(х)

N

= 1 = 1,2, 1=1 П

Из дополнительных условий (0.31), представления (0.34), разложения (0.35), (0.36) и условия ортогональности системы базисных функций {Рк(х)}к=1,2,з,... следует, что

/

у(0)(г) = М/(г), I = 1,2,...,N.

^=1

Разрешая ее относительно У/(1)(г), получим

/

у(0)(г) = ^ауМ,(г), I = 1,2,...,N. (0.37)

Таким образом, из представления (0.35) и формул для функций разложения (0.37) следует, что функция У(0) (ж, г) может быть определена при помощи соотношения

N /

У (0)(х,г) = ^ Р/ (х)^ ау М- (г) (0.38)

/=1 ¿=1

Получается, что в представлении (0.35) для функции У(х, г) известно слагаемое

У(0)(х,г) е ^20)(О) х С(т0,Т), а слагаемое У(1)(х,г) е 4^(0) х С(т0,Т) необходимо определить. В представлении функции Р1(х,г) обратная ситуация — требуется определить Р1(0)(х,г) е 40)(О) х С(т0,Т), а ^(1)(х,г) е ^21)(О)

х С(т0,Т) известно. Это позволяют классифицировать описанную задачу как один из случаев обобщенной проекционной задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Опираясь на описанный ранее обобщенный метод, введем ортопроек-торы, отображающие пространство Ь2(О) на ь20)(О) и ь21)(О) при помощи следующих формул

N

Р0/(х) = /(£) ^Р/(х)Р/(£) , Р1 = I - Р0.

п /=1

Очевидно, что Р/У(х,г) = У(/)(х,г), Р/^(х,г) = ^(/)(х,г) (/ = 0,1). Как и ранее, подействовав оператором Р1 на уравнение (0.30), получим операторное уравнение с известной правой частью

с(г)(! - Ь1)У (1)(х,г) + (I - Ь2)Р1ГУ(1) (х,г) =

= -С(1)(х,г) - (I - Ь2)Р1ГУ(0)(х,г), х е О, г е [т0,Т],(. )

содержащее компактный самосопряженный оператор Гильберта-Шмидта Р^: ¿^(О) ^ ¿^(О), ядро которого имеет вид

К (1)(х,е ) = К (х,^) - [ К (*,£ Р/ (х)р/(5)

п /=1

Решение (0.39) следует строить в виде ряда по собственным функциям (х) оператора Р1Р, которые, очевидно, образуют базис пространства ь21)(О): Р1Е^к(х) = 7к(х), где 7^ — соответствующие собственные значения (к = N + 1, N + 2, N + 3,...). Сами собственные функции представляются в виде

то

(х)= ^ ^кшРш(х), т = N + 1, N + 2, N + 3,...

m=N +1

Поскольку ядро К(х,^) раскладывается в двойной ряд по функциям рк(х), то есть

то то

К(х,е) = ^ ^Кт/Рт(х)Р/(е),

т=1 /=1

где коэффициенты разложения определяются формулами

Кт/ = / У ^(х,^)Рт(х)Рп(е) ¿О^,

пп

то разложение ядра К(1)(х,^) принимает вид:

то то N то

К (1)(х,е )= ^2 Кт/Рт(х)р/(е ) + ^ Кт/Р/ (х)Рт(^ )•

m=N+1 /=N+1 т=1 /=N+1

Спектральная задача преобразуется к бесконечной системе уравнений относительно коэффициентов разложения и

оо

^ Кт= ^т, к, т = N + + 2,Ж + 3,... г=N+1

Представив функции У(1)(ж,г) и ж, г) в виде разложения по системе собственных функций, то есть

то то

У(1)(ж,г) = £ УР^*(ж), С(1)(ж,г) = £ ^(г)**(ж), (0.40)

£=N+1 £=N+1

в котором

п Ут(е)

и подставив эти представления в уравнение (0.39), можно получить урав нение для определения функций разложения у,(1)(г) (к = N + + 2, N + 3,...), решение которого будет иметь вид

N

5<1)(() + (1 - у/0)(()

Л = -(1 +ЧУ*)-^-, (0.41)

к = N + 1, N + 2, N + 3,...,

то

где К(/)£ = ^ Кт/^т, а Wk — резольвентный оператор для опера-

m=N +1

тора = [ф)Ь1 + 7^ Ь2]/[с(^)+ ], (I - Ь* )-1 = I + Wk (/ = 1, ,

к = N + 1, N + 2, N + 3,...). В результате из уравнений (0.40) и (0.41) следует, что неизвестная функция У(1)(г) принимает вид

N

то ^(г) + (1 - Ь2)£К(0*^(0)(г)

¿=N+1 с(г) +

а функция у(ж, г) уравнения (0.28) на основании полученного выражения, формул (0.35), (0.38) и замены У(х^) = у(х, 1)\/т{х) может быть представлена выражением

■у{х, г) =

N I то

т(ж) ж е П, г е [т0,Т],

$>?(ж)£М(г)+ £ уа(1)(*М(ж)

г=1 =1 £=N+1

(0.42)

в котором

х) = у/гф)(рк(х) = Е ФкпгРКх), к = N + I, N + 2, N + 3,...

ш=Ж +1

Уравнение (0.42) также можно представить в виде г N / 1 \

1

ш(ж)

оо / оо

ь 1=1 Ъ=1 X е £ е [то, Т].

Е(Е«?м(*)Ь*(х)+ Е ( е^^(^ц(х)

£=N+1 m=N +1

В полученном представлении отдельным сомножителем выделена функция ш(ж). Это дает возможность производить вычисления даже для быстро изменяющихся функций ш(ж).

Подействовав ортопроектором Р0 на уравнение (0.30) получим уравнения для определения функций а/ (£):

N г

а/ (*) = Е «Л Л) + Ф)(1 - Ь1)Е М (*) +

г=/ ^ 7=1

7=1

+ (I - Ь2)

|-т=1 х 7=1

I = 1, £ е [то,Т],

- N / т \ и-.

Е*ЧЕ «т7 М (*)) + Е К(г)к^(1)(^) ,

-т = 1 V 7 = 1 / £ = N+1 -I ^

где функции д(0)(£) определяются уравнением (0.36).

Глава 1

Контакт слоя с покрытием и системы штампов, имеющих сложную форму поверхности

В главе исследуются плоские задачи контакта систем одинаковых жестких штампов и вязкоупругого стареющего основания с тонким покрытием в случае, когда формы поверхностей штампов повторяют форму покрытий, то есть осуществляется конформный контакт. Такие задачи возникают, например, в случаях, когда в еще незатвердевшее покрытие без напряжения погружаются штампы, а затем, после отверждения, эти штампы отсоединяются. В результате форма покрытия и формы штампов в точности совпадают. В качестве таких материалов для таких покрытий могут выступать многие полимеры, бетон в молодом возрасте и т. п.

Для такой задачи контакта возможны 15 вариантов формулировок. Для всех вариантов формулировок поставлены задачи, выписаны разрешающие смешанные интегральные уравнения и при помощи обобщенного проекционного метода построены их аналитические решения. Решен ряд модельных примеров, включающих случаи, когда формы штампов и поверхностей задаются быстро изменяющимися функциями. Исследовано влияние сложных форм поверхностей на кинематические характеристики штампов и на распределение напряжений в области контакта.

Основные результаты главы отражены в работах [33, 42, 45, 59, 61, 98].

1.1 Постановка задачи и общие соотношения 1. Формулировка задачи.

Однородный стареющий вязкоупругий слой толщины Н, изготовленный в момент времени т2, лежит на подстилающем недеформируемом основании. Между слоем и подстилающим основанием осуществляется либо идеальный контакт, либо гладкий. На слое располагается тонкое вязкоупругое стареющее покрытие, изготовленное в момент времени т1 из материала, отличного от материала основного слоя. Жесткость основного слоя не ниже жесткости покрытия, а между ними также либо гладкий, либо идеальный контакт. Толщина покрытия ^(ж) является переменной величиной, однако в данной работе считается, что функция ^(ж) периодична (период равен величине Да).

В момент времени т0 > тах{т1,т2} на описанный пакет слоев начинает действовать система п одинаковых жестких штампов шириной а. Расстояние между осями соседних штампов равна Да (система штампов регулярна). Формы штампов в точности совпадают с формами покрытий под ними, то есть осуществляется конформный контакт.

Считается также, что толщина покрытия ^(ж) много меньше ширины области контакта а; области контакта имеют ширины а и со временем не изменяются. Рассматривается случай плоской деформации.

Схема контактного взаимодействия представлена на рисунке 1.1. Под воздействием нагрузки вышеописанное основание деформируется, а штампы перемещаются и поворачиваются.

На любом штампе возможен один из четырех типов условий: тип 1, известны осадка штампа и его угол поворота; тип 2, известны осадка штампа и момент приложения силы; тип 3, известны угол наклона штампа и приложенная сила; тип 4, известны приложенная сила и момент. Несомненно, на каждом штампе возможен свой набор условий, независимо от того, какие условия ставятся на других штампах. Несложно показать, что существует 15 различных вариантов постановки задачи: 1) когда на всех штампах заданы условия одного типа, то говорят об одной группе штампов; таких постановок всего 4 (С| = 4); 2) когда на части штампов заданы одни условия, а на другой части — другие, то говорят о двух группах штампов; таких постановок всего 6 (С| = 6); 3) существует 4 (С| = 4) постановки, когда штампы делятся на 3 группы штампов с различными типами условий; 4) и, наконец, существует одна постановка

Фиг. 1.1. Множественный конформный контакт для тел с покрытиями

(С = 1), когда можно выделить 4 группы штампов. Подход к решению всех 15 вариантов подобен. В диссертационной работе будут рассмотрены построения решений для всех возможных постановок.

Необходимо по известным данным определить недостающие величины, а также контактные давления под штампами. Например, если слой вдавливаются 2 штампа, на одном из которых известны вдавливающая сила и момент приложения нагрузки, а на другом — осадка и угол поворота, то на первом штампе подлежат определению его осадка и угол поворота, а на втором — приложенная сила и момент; под обоими штампами также необходимо определить распределение контактных давлений.

2. Математическая модель задачи.

Для составления математической модели поставленной задачи, заменим штампы некоторыми распределенными нагрузками ^(х,£) (г = 1, 2,..., п). Очевидно, что в области действия штампов они будут совпадать по модулю с контактными давлениями ^(х,£), но иметь противоположные направления, то есть ^¿(х,^) = — ^(х,£) (г = 1, 2,...,п). На основании известных решений для однородного слоя произвольной толщины и тонкого слоя (см. раздел 0.3), можно получить выражение для перемещений верхней грани слоя с покрытием под действием распределенных нормальных нагрузок ^(х,£)

гЧ{х^) = кЛ{х){ 1-й) Л

+

2(1 — ^22)

п

—ад

£х(* — Т1) 1

Ьз

3=1

£2(* — Т2)

х Е [а^,^], I > то, г = 1, 2,...,п,

п

где — Т1), V! — модуль упругомгновенной деформации и коэффициент Пуассона покрытия, Е2(£ — т2), ^ — модуль упругомгновенной деформации и коэффициент Пуассона нижнего основного слоя, к^ — коэффициент, величина которого зависит от условий сцепления между покрытием и нижним слоем (к^ = (1 — v1 — 2v2)/(1 — v1) при сцеплении и к^ = 1 — V2 при гладком контакте); аг, Ьг — левая и правая координаты ¿-го штампа (г = 1, 2,..., п); кр}(й) — ядро плоской контактной задачи, зависящее от условий на нижней грани слоя

сю

кр\{з) = J—^-со8(ви) с1и, (1.2)

0

в котором Ь(м) = [2к28ь(2м) + 4и]/[2к2еЬ(2м) + к2 + 1 + 4и2] при сцеплении и Ь(м) = [еЬ(2м) — 1]/[йЬ(2и) + 2и] при гладком контакте; I -тождественный оператор, Ьк — интегральные операторы Вольтерра с ядрами Кк^-тк,т-тк), Кк{1,т) = Ек{т)^[Е^1{т) + Ск{1, т)], а Ск^,т) - мера ползучести (к = 1, 2), то есть

£

Ьк/(0 = ^ К(* — Тк,т — Тк)/(т) ¿т.

то

С другой стороны осадка верхней грани слоя будет в точности совпадать с осадками штампов как жесткого целого, так как в еще недефор-мированном состоянии профили штампов и профиль покрытия в точности совпадают и зазоров между поверхностями нет. Тогда, приравнивая правую часть уравнения (1.1) осадкам штампов, можно получить следующую систему смешанных интегральных уравнений

кЛ(х)( 1-ьо +

Е1(с — Т1)

Ьз

(13)

э 1 о,-

= &(*) + а(£)(ж — Пг), х е [аг,Ьг], £ > т0, г = 1, 2,...,п,

где и — осадка и угол поворота ¿-го штампа, = ^(а^ + -срединная точка ¿-го штампа.

Дополнительными условиями для штампов являются условия их равновесия на слое, представляющие из себя следующие уравнения

I ^ = Р(*),

а; (1.4)

[ *)(£ - п) ^ = е<(*)Р(*) = М(*), £ > то, г = 1, 2,..., п,

где Р(£) — сила, которая действует на г штамп, е(£) — эксцентриситет приложения указанной силы, — момент приложения нагрузки.

Таким образом математическая модель задачи представляет из себя систему уравнений (1.3) с дополнительными условиями (1.4).

Приведем эту систему с дополнительными условиями к безразмерному виду. Для этого сделаем следующую замену переменных

х* = 2{х~гц) ^ = Щ-гц) ^ = т* = П т* = Ъ

а а т0' 1 т0' 2 т0'

\ 2Н „ ( + \ Е~ ^

А = — МО = — «(*) = <*(*), =

т*(ж*) = тпНх*) = К ЩХ) а*(х* П = ~

_ ±рг{т-4) _ ^хтхт -4)

1 Ео{1-го)а ' Щ1-т2)а* '

1 г (1-5)

(ж*) = i (ж*,£*)/(£*, цf (г) = i Кк*(г,т*)/(т*)^т*,

А (* 'т ) = Т77-—ттттт:—-тАЦ^-тьт-пКо, Е1 (т - Т1) Е2(£ - Т1)

/Л.^ ^

К 2*(£*,т *) = К (£ - Т2,Т - Т2)Т0, г,; = 1, 2,..., п.

Опустив в новой системе звездочки, получим теперь уже безразмерную

систему уравнений с дополнительными условиями

п

с(г)т(ж)(1 - ЬО^ж, г) + (I - (ж, г) = ¿г(г) + оЭДж,

=1

1 • } • • (1.6)

J ^,г) ^ = Р*(г), J = М*(г),

-1 -1

ж е [-1,1], г > 1, г = 1, 2,..., п.

Полученную систему уравнений с дополнительными условиями (1.6) можно представить в виде единственного операторного уравнения с двумя векторными дополнительными условиям

с(г)т(ж)(1 - Ь1)я(ж,г) + (I - Ь2)Сд(ж,г) = 5(г) + а(г)ж, 1 1

^ = Р(г), У = м(г), ж е [-1,1], г > 1,(1'7)

-1 -1 где введены следующие векторы, матрицы и операторы

я(ж,г) = дг(ж,г)1\ Р(г) = рг(г)Г, м(г) = мг(г)Г, 5(г) = ¿г(г)1\ а(г) = аг(г)1\ к(ж,£) = (ж,£,

1 (1.8) (ж)=ук(ж,^) ■' )

-1

Здесь и далее будет считаться, что в правой части формулы производится суммирование от 1 до п по верхним дважды повторяющимся индексам в случае, когда левая часть формулы не зависит от этих индексов.

3. Преобразование уравнений и базис специального вида.

Независимо от того, решение для какой из 15 задач будет строиться, операторное уравнение и систему дополнительных условий (1.7) необходимо привести к виду

с(*)(1 - *) + (I - *) = (1.9)

уш(ж)

1 1

/т=«=Р((). х е [-1,1], г >1,(1.10)

где введены следующие обозначения

Q(x,t) = \/m(x) q(x, t), К(ж,£) 1

Ff (x) = | K(x,£) • f (£)

1

k(x,e)

(1.11)

Такое представление удобно тем, что функция ш(ж) отсутствует в явном виде в левой части уравнения. В случае, когда основание изготовлено из упругих материалов и на него действует единственный штамп, операторы I — Ь и I — Ь2 будут отсутствовать и мы получим классическое уравнение Фредгольма второго рода с положительно определенным симметричным оператором типа Гильберта-Шмидта.

Какую бы из 15 постановок задачи мы ни рассматривали, решение операторного уравнения с дополнительными условиями мы будем искать классе вектор-функций непрерывных по времени £ в гильбертовом пространстве Ь2([—1,1], V) (см., например [11, 14]). Так как в результирующее операторное уравнение и дополнительные условия входит функция у/т(х), связанная формой основания штампа и формой покрытия, следует учитывать то, что эта функция может быть быстро изменяющейся. Использование базиса, в структуру которого входит функция у/т(х), эффективнее, чем применение какого-либо стандартного базиса (например, классических полиномов Лежандра). Систему ортонормированных базисных вектор-функций, удовлетворяющих описанному условию, можно построить по следующему правилу

р1(я) = 4=, Pk(x)=pl(x)i\ d_i = l, Jk

dk =

yjm{x) Jo • • • Jk Jk • • • J2k

, Pk (x) =

1

У/dk-idk

x e [-1,1], k = 0,1, 2,..., i = 1, 2,..., n.

1

еле

Jo J1

Jk

Jk-1 Jk • • 1x

J2k-1

xk

(1.12)

Отметим, что если толщина покрытия постоянна, то m(x) = const, а базисные функции pk (x) являются ортонормированными полиномами Лежандра.

1

Для некоторых вариантов задач будет необходимо использовать чуть другую систему базисных функций, в которой система {1/у/т(х), х/у/т(х), х2/у/т(х), ж3/у/т(ж),...} ортонормируется в другой последовательности. В ней в качестве первой функции берется х/у/т(ж), а лишь затем {1/у/т(ж), ж2/у/т(ж), ж3/у/т(ж),...}. Такая система может быть построена по правилу

Л г / \ _ РА* (ж) дц/ \ _ л*/ \ • ^ \ _ * / \

РаЛ3^ — / , , > Ра — ) Рт\Х) — Рт\Х)->

у т(х)

ч х */ ч . М0Л2 — */ Ч = "Т^ = г-г-гРо(х) + у--¡—Т-рЛх)>

лАРг V (1.13)

ч Л2 — Л1х /Л0Л2 — Л2 */ Ч */ ч

р, 1' = —, = \ /-——--Юп Ж--Рл \ х),

х е [-1,1], к = 0,1, 2,..., т = 2,3,4,..., г = 1, 2,...,п,

где функции рк(х) (к = 0,1, 2,...) задаются формулами (1.12).

И, наконец, в тех вариантах задач, в которых на части штампов (при г1 = 1, 2,...,п1) необходимо использовать систему (1.13), а на другой части (при г2 = п1 + 1,п2 + 1,... ,п) — систему (1.12), система базисных функций будет строиться по формулам

ра(х) = рг (я) = рА* (х) =

л/т(х)

(1.14)

х е [-1,1], к = 0,1,2,..., v 7

г = 1, 2,...,п, г1 = 1, 2,...,п1, г2 = п1 + 1,п1 + 2,...,п,

где функции (х) и рЗ^к(х) (к = 0,1, 2,...) задаются формулами (1.12) и (1.13).

Решение всех вариантов задач будет строиться на основании развития обобщенного проекционного метода, который, как было показано в разделе 0.4, позволяет получать последовательность независимых интегральных уравнений Вольтера вместо бесконечных систем интегральных уравнений Вольтера, к которым приводит метод разделения переменных Фурье и другие классические методы.

Далее всюду в формулах с безразмерными величинами х е [—1,1], £ > 1, если отдельно не выписаны иные диапазоны.

1.2 Решение задач для одной группы штампов

1. Решение задачи с известной правой частью (тип 1).

Пусть известны осадки и углы поворота всех штампов, а приложенные силы Д(£) и моменты М^(£) неизвестны (г = 1, 2,...,п). В этом случае операторное уравнение (1.9) является уравнением с известной правой частью, а вектор-функция Р(ж,£) подлежит определению. Базисом пространства Ь2([-1,1], V) являются вектор-функции {Рк(х)Н=0,1,2,...;г=1,2,...,п, построенные по правилу (1.12). Решение этого уравнения необходимо строить в виде разложения по собственным функциям вполне непрерывного, симметричного и положительно определенного оператора Е из Ь2([-1,1], V) в Ь2([-1,1], V), система собственных функций {^к(ж)Ь=0,1,2,... которого также как и {рк(ж)}к=0,1,2,...;г=1,2,...,п составляет базис пространства ь21)([-1,1], V). Спектральная задача для этого оператора имеет вид

то

¥рк (ж) = Тк ^к (ж), ^к (ж) = Е ^кшРт(х), к = 0,1, 2,...

т=0

Она преобразуется к бесконечной системе уравнений относительно коэффициентов разложения ^кт и 7к

то

ЕКЖ = 7к ^кт, к, т = 0,1, 2,..., г = 1, 2,...,п, (1.15) 1=0

где Кт — коэффициенты разложения ядра К(ж,<^), определяемые из соотношений

11 11

-1 -1 -1 -1 т, I = 0,1, 2,..., = 1, 2,...,п.

Представив функцию Р(ж,£) в виде разложения по {^к(ж)}к=0,1,2,..., то есть

то

д(м) = Е^(^(ж), ж е [-1,1], I > 1, (1.17)

к=0

и подставив это представление в (1.9), получим уравнение для определения функций разложения ^ (£)

тото

$>(*)(! - (*) + 7к(I - Ь2)^к(¿)]^к(ж) = Е Дк(*)^к(ж), к=0 к=0

где Дк(£) — функциональные коэффициенты разложения правой части, определяемые соотношениями

1

Ак(1) = [ . Ых) с1х = ();/ ();(/) +