Концепция твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Бездитный Андрей Александрович

• Бездитный Андрей Александрович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Бездитный Андрей Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Этапы эволюции твердотельного геометрического моделирования

1.2. Технологии использования твердотельных геометрических моделей в науке и производстве

1.3. Анализ существующих подходов к аналитическому описанию геометрических тел

1.4. Анализ программных продуктов твердотельного геометрического моделирования

1.5. Геометрическая теория твердотельного моделирования

1.6. Концепция твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении

1.7. Положения концепции твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении

1.8. Прикладные области и потенциал практического применения

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТВЕРДОТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

2.1. Определение геометрических объектов в точечном исчислении

2.1.1. Определение прямой

2.1.2. Определение плоскости

2.1.3. Определение 3-мерного пространства

2.2. Описание базовых формообразующих инструментов твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении

2.2.1. Параллельный перенос как аффинный аналог формообразующей

операции выдавливания

2.2.2. Метод подвижного симплекса

2.2.3. Кинематическая операция

2.2.4. Операция вращения

2.2.5. Моделирование алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе кривых Безье

2.2.6. Операция по сечениям

2.2.7. Операции редактирования в точечном исчислении

2.2.8. Управление параметризацией геометрической модели

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

3.1. Геометрическое моделирование твердотельных примитивов

3.1.1. Моделирование призматических тел

3.1.2. Моделирование пирамидальных тел

3.1.3. Моделирование цилиндрических тел

3.1.4. Моделирование конических тел

3.2. Моделирование тел переменного сечения вдоль управляющей линии

3.1.5. Моделирование эллиптических тел

3.1.6. Моделирование тороидальных тел

3.1.7. Моделирование тела с учётом брахистохронных свойств

3.1.8. Моделирование тела луковичного купола

3.1.9. Моделирование каналовых поверхностей и тел

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ

МОДИФИКАЦИИ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ

4.1. Инвариантные свойства точечных операций геометрического моделирования

4.2. Определение точки пересечения двух прямых

4.3. Определение точки пересечения прямой и плоскости

4.4. Определение точки пересечения прямой и отсека поверхности

4.5. Определение линии пересечения отсека поверхности с плоскостью

4.6. Определение линии пересечения двух поверхностей

4.7. Разрезы и сечения в точечном исчислении

4.8. Объединение геометрических точечных моделей

4.9.Построение составных моделей на основе геометрических схем

4.10. Формообразование через параметрические условия

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

5.1. Построение тонкостенных геометрических тел

5.2.Построение эквидистантных геометрических объектов

5.3. Построение симметричных геометрических объектов

5.4.Построение сопряжений в точечном исчислении

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 6. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

6.1. Визуализация гранных тел с использованием технологии Ray marching

6.2. Визуализация геометрических тел с использованием системы компьютерной алгебры

6.3. Визуализация геометрических тел с использованием программного обеспечения «Point geometric modeling software»

6.4. Визуализация геометрических тел с использованием программного интерфейса WebGL

6.5. Оценка вычислительной сложности этапов формирования и визуализации моделей

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Акты внедрения результатов исследований

Приложение Б. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ

Приложение В. Схема основных компонентов концепции геометрической теории твердотельного моделирования

Приложение Г. Программный листинг к разделу 4.10: пересечение труб в параметрической модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Концепция твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Задачи получения и редактирования твердотельных геометрических моделей являются неотъемлемой частью большинства современных систем автоматизированного проектирования и имеют широкое практическое применение в следующих областях науки и техники:

- машиностроение: разработка деталей для автомобильных двигателей и коробок передач в CAD-системах;

- аэрокосмическая промышленность: моделирование фюзеляжа самолёта с учетом аэродинамических нагрузок;

- архитектура и строительство: BD-моделирование несущих конструкций зданий и их визуализация;

- аддитивные технологии (BD-печать): разработка сложных биомедицинских имплантатов с индивидуальной геометрией;

- медицинская визуализация: создание BD-моделей внутренних органов пациента для предоперационного планирования;

- компьютерная графика и анимация: разработка BD-моделей персонажей и объектов в играх и фильмах;

- реверс-инжиниринг: воссоздание цифровой модели сломанной детали для дальнейшего производства;

- CAE (Computer-Aided Engineering): гидродинамика и аэродинамика, прочностной и тепловой анализ, электромагнитные расчёты и другие виды моделирования физических процессов;

- электроника и приборостроение: проектирование корпусов печатных плат и разъёмов;

- образование и научные исследования: создание учебных моделей физических явлений.

В текущих реалиях развития компьютерной техники, а также качественного и количественного роста вычислительных мощностей, актуальность получения твердотельных геометрических моделей будет продолжать расти по мере

дальнейшего развития технологий и увеличения спроса на эффективные, точные и универсальные проектные решения. Существующие методы построения твердотельных моделей эффективно справляются со своей задачей, но в то же время не лишены ряда недостатков. Если говорить о конкретных подходах твердотельного моделирования и их индивидуальных недостатках:

- B-Rep требует сложных структур данных для описания граней, рёбер и вершин, что затрудняет обработку и трансформацию объектов с высокой геометрической сложностью, а также - хранение сложных топологических структур, что приводит к росту объёмов данных;

- CSG удобен для создания простых объектов, но при сложных булевых операциях ведёт к резкому росту вычислительных затрат. Также этот метод экспоненциально увеличивает глубину деревьев при сложных конструкциях, что делает вычисления неэффективными;

- F-Rep позволяет представить сложные формы, но требует вычисления неявных функций в каждой точке, что усложняет анализ пересечений. Кроме того, необходимы сложные функций и расчёты полей расстояний (Signed Distance Field), что замедляет генерацию и обработку моделей;

- воксельные методы требуют хранения больших массивов данных, что делает их малопригодными для высокодетализированных объектов.

Исходя из перечисленных недостатков, разработку теоретических основ и практических методов твердотельного геометрического моделирования можно считать актуальной научно-практической задачей, имеющей важное теоретическое и прикладное значение.

Объект исследования - твердотельное геометрическое моделирование на основе аппарата точечного исчисления.

Предмет исследования - концепция твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении и её приложения.

Цель исследований - разработка концепции твердотельного геометрического моделирования и её приложений в точечном исчислении.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие теоретические и прикладные задачи:

1. Выявить ограничения и возможности существующих подходов и методов твердотельного геометрического моделирования на основе их анализа.

2. Разработать концепцию твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении.

3. Разработать математически обоснованные алгоритмы твердотельного геометрического моделирования, реализуемые в рамках аппарата точечного исчисления.

4. Реализовать алгоритмы моделирования простых геометрических тел в точечном исчислении.

5. Разработать алгоритмы построения сложных криволинейных геометрических объектов.

6. Разработать различные способы параметризации геометрических моделей.

7. Разработать способы визуализации твердотельных геометрических моделей, представленных в виде упорядоченного множества точек.

Методы исследования. Теоретические основы твердотельного геометрического моделирования опираются на геометрические алгоритмы формообразования геометрических объектов многомерного аффинного пространства, аналитическое описание которых выполнено в рамках математического аппарата точечного исчисления, основанного на аффинных инвариантах. Это позволяет аналитически представить любой геометрический объект в виде совокупности проекций на оси глобальной системы координат. Также используются методы начертательной, аналитической, дифференциальной, проективной и аффинной геометрии.

Теоретической основой и информационной базой для проведения исследований послужили работы ведущих учёных и их учеников:

- в области прикладной геометрии кривых линий и поверхностей: Александрова П.С., Алексюка А.А., Аюшеева Т.В., Балюбы И.Г., Бежаева А.Ю.,

Беляева М.Г. Верещаги В.М., Иванова В.Н., Иванова Г.С., Каца Б.А., Короткого В.А., Корчагина Д.С., Кривошапко С.Н., Найдыша А.В., Найдыша В.М., Нордена А.П., Панчука К.Л., Роткова С.И. Сафрошина Р.Э., Толока А.В., Юркова В.Ю., Bloomenthal J., Gallier J., Stanley O. и др.;

- в области твердотельного геометрического моделирования: Аюшеева Т.В., Голованова Н.Н., Ляшкова А.А., Нарзуллаева С.А., Andries van Dam, Gallier J., Hughes J., Mantyla M., McGuire M., Micchelli C.A., Mortenson M.E., Nagy H. Sklar D., Stroud I. и др.;

- в области прикладной многомерной геометрии: Балюбы И.Г., Валькова К.И., Вертинской Н.Д., Волкова В.Я., Конопацкого Е.В., Короткого В.А., Найдыша А.В., Наумович Н.В., Радищева В.П., Розенфельда Б.А. и др.

- в области точечного исчисления: Балюбы И.Г., Бумаги А.И., Верещаги В.М., Вороновой О.С., Давыденко И.П., Конопацкого Е.В., Крысько А.А., Найдыша А.В., Найдыша В.М., Чернышевой О.А. и др.

Научная новизна полученных результатов:

1. Разработана новая концепция твердотельного геометрического моделирования, основанная на точечном исчислении, в рамках которой геометрическая модель представляется упорядоченным множеством точек в пространстве Rn, определяемым системой параметрических уравнений. В отличие от традиционных подходов, концепция не требует явного описания границ и топологии, обеспечивая описание как внешней формы объекта, так и его внутренней структуры.

2. Разработан математический аппарат твердотельного моделирования геометрических объектов, представленных в виде выделенной части пространства. Для этого, в отличие от существующих методов, используются точечные уравнения, а не неравенства.

3. Разработаны геометрические алгоритмы базовых операций формообразования твердотельных геометрических моделей, параметризованных в точечном исчислении (выдавливание, вращение, операция по сечениям), которые

позволяют получать точечные уравнения геометрических тел, описывающие не только границы, но и внутреннюю структуру пространства.

4. Разработаны различные параметризации геометрических тел, определённых как выделенная часть пространства, по заданным требованиям.

5. Разработаны геометрические и вычислительные алгоритмы построения параметризованных твердотельных моделей без применения топологических операторов Эйлера.

6. Предложены в точечном исчислении параметризации твердотельных геометрических объектов с линейной и нелинейной структурой внутреннего пространства, которые позволяют моделировать изотропные и анизотропные геометрические тела с наперёд заданными свойствами.

7. Предложены геометрические и вычислительные алгоритмы визуализации моделей геометрических тел в виде трёхпараметрического упорядоченного множества точек.

Практическая ценность результатов исследований заключается в том, что разработанные в точечном исчислении инструменты моделирования твердотельных геометрических объектов имеют широкие перспективы внедрения в современные системы автоматизированного проектирования в связи с тем, что полученные на их базе твердотельные геометрические модели содержат не только геометрическую информацию об объекте, но также данные о его положении в пространстве и внутренних свойствах. Кроме того, внутренняя структура моделируемого объекта становится управляемой, а его аналитическое представление сводится к одному параметрическому уравнению, что экономит вычислительные ресурсы, необходимые для хранения информации об объекте.

Результаты диссертационной работы внедрены на следующих предприятиях, что подтверждается актами о внедрении:

- в автоматизацию процесса проектирования жилых и общественных зданий различного назначения в АО «Южный региональный научно-исследовательский и проектный институт градостроительства»;

- в автоматизацию процесса проектирования узлов и агрегатов различного назначения в АО «Научно-производственное объединение им. С.А. Лавочкина».

Также работа подкреплена двумя действующими НИР, получившими грантовую поддержку:

- НИОКТР FSWN-2023-0003 «Математический аппарат реализации параллельных вычислений в системах геометрического моделирования и автоматизированного проектирования» - государственное задание на проведение научных исследований (Рег. № 124012000104-5);

НИР «Новая концепция твердотельного моделирования геометрических объектов в точечном исчислении» - грант РНФ (Рег. № 125040104687-0).

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечивается корректным использованием методов математического аппарата точечного исчисления, который основан на инвариантах аффинной геометрии и позволяет моделировать геометрические тела в виде трёхпараметрического множества точек в трёхмерном пространстве.

Корректность аналитического описания твердотельных геометрических моделей, полученных при помощи разработанных формообразующих операций, подтверждается вычислительными экспериментами.

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: III-VI International scientific conference «Mechanical Science and Technology Update» (Омск, 2019-2022); XIII-XV International scientific and technical conference «Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines» (Омск, 2019-2021); International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety (Челябинск, 2019-2020); XXX-XXXII, XXXIV Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «Графикон» (Санкт-Петербург, 2020; Нижний Новгород, 2021; Рязань, 2022; Омск, 2024); VIII и XIII Международной конференции «Физико-техническая информатика (CPT)» (Пущино, 2020; Нижний Новгород, 2025); IX Всероссийском строительном форуме «Строительство и архитектура» (Макеевка, 2025).

Соответствие паспорту специальности. По своему содержанию диссертационная работа соответствует следующим пунктам научной специальности 2.5.1. «Инженерная геометрия и компьютерная графика. Цифровая поддержка жизненного цикла изделий»:

- п.2. Теория и практика непрерывного и дискретного геометрического моделирования. Конструирование кривых линий, поверхностей и тел по заданным требованиям;

- п.6. Геометрические основы процессов проектирования, конструирования и технологии производства с применением компьютерных технологий;

- п.7. Разработка методов и алгоритмов визуализации информационных массивов данных, а также процессов и явлений различной природы. Методы и алгоритмы обработки изображений в системах технического зрения;

- п.9. Применение геометрических моделей и методов в информационных (включая геоинформационных) технологиях и системах;

- п.14. Разработка научных основ построения средств компьютерной графики, методов геометрического моделирования проектируемых объектов и синтеза виртуальной реальности.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Концепция твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении и её положения.

2. Геометрические алгоритмы твердотельного моделирования, реализованные в точечном исчислении.

3. Аналитическое описание базовых формообразующих операций твердотельного геометрического моделирования в точечном исчислении.

4. Геометрические и компьютерные твердотельные модели, реализованные в точечном исчислении в виде упорядоченного множества точек.

5. Способы параметризации твердотельных геометрических моделей в точечном исчислении.

6. Аналитическое описание логических операций с твердотельными геометрическими объектами и геометрические модели, полученные с их использованием в точечном исчислении.

7. Геометрические и вычислительные алгоритмы визуализации твердотельных моделей.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 32 работы (14 работ опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК уровня К2, 2 работы - в изданиях уровня К3, 16 - в сборниках трудов конференций, в том числе 11 -индексируемых в наукометрической базе Scopus, а также 1 государственная регистрация программы для ЭВМ), в том числе 16 публикаций входят в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав с выводами, заключения и списка использованной литературы. Общий объём составляет 329 страниц, 92 рисунка. Библиографический список включает 162 наименования.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Твердотельное геометрическое моделирование - это фундаментальная область компьютерного проектирования и вычислительной геометрии, ориентированная на математическое и вычислительное представление трехмерных твердых объектов. Она обеспечивает основу для проектирования, анализа и визуализации физических объектов в технике, производстве, архитектуре и других научных областях.

Твердотельное моделирование имеет решающее значение при разработке разного рода изделий, поскольку оно позволяет проектировщикам создавать точные цифровые копии физических объектов для анализа и оптимизации свойств продукции, сокращения затрат и времени проектирования и производства. Твердотельные модели могут отображать не только форму, но и свойства материалов, внутреннюю структуру и функциональные аспекты, что делает их незаменимыми в современной промышленности.

Несмотря на свою значимость, твердотельное моделирование сталкивается с рядом проблем. Точное представление сложной геометрии, особенно изогнутых поверхностей или сложных элементов, требует продвинутых алгоритмов, а булевы операции, такие как объединение, вычитание и пересечение, могут приводить к вычислительным ошибкам. Кроме того, обеспечение совместимости различных программных платформ и интеграция твердотельного моделирования с другими технологиями, такими как анализ методом конечных элементов или 3D-печать, остаются сложными задачами.

Твердотельное геометрическое моделирование является краеугольным камнем современных процессов проектирования и производства. Несмотря на то, что его внедрение произвело своего рода революцию в сфере анализа, моделирования и производства изделий, для эффективного решения технических и вычислительных проблем, связанных с его внедрением, необходимы постоянные улучшения и доработки.

В первой главе будут рассмотрены основные этапы эволюции твердотельного геометрического моделирования, их особенности и области применения. Также будут проанализированы существующие подходы к аналитическому описанию твердотельных моделей и программные продукты, в которых они реализуются. В завершение будет предложена концепция геометрической теории твердотельного моделирования.

1.1. Этапы эволюции твердотельного геометрического моделирования

Эволюцию твердотельного геометрического моделирования (ТГМ) можно представить через отдельные этапы, отражающие достижения ТГМ в способах представления, обработки и применения геометрии в вычислительных системах. На каждом этапе увеличивались возможности и точность ТГМ, что соответствовало потребностям таких областей, как компьютерное проектирование, компьютерная графика и инженерное дело для построения систем автоматизации проектирования (САПР).

Можно выделить следующие этапы развития ТГМ:

1. Этап I. Каркасное моделирование (1960-е - начало 1970-х годов).

Каркасные модели представляют собой 3D-объекты, описываемые только вершинами и рёбрами, аналогично геометрии «скелета». Поверхности, внутренние объёмы и физические свойства в таких моделях не задаются.

Ключевыми особенностями данного этапа являются представление объектов в виде сети линий, соединяющих точки в трёхмерном пространстве. Такие модели неоднозначны, поскольку одна и та же структура может иметь несколько 3D-интерпретаций. Кроме того, они не содержат явного описания граней, поверхностей и внутренних объёмов.

Тем не менее, именно на этом этапе был сделан первый шаг к компьютерному представлению геометрических объектов. Однако применение каркасных моделей в основном ограничивалось визуализацией и простейшим рендерингом.

К основным недостаткам можно отнести невозможность явно представлять твердые тела (например, нет различия между внутренним и внешним видом), а также неоднозначность топологии (каркасные модели не предоставляют информацию о твердости объекта или ориентации грани).

Использовалось в ранних системах САПР (например, Sketchpad Ивана Сазерленда [1]) и при визуализации простых структур, таких как каркасы в архитектуре.

2. Этап II. Поверхностное моделирование (середина 1970-х - 1980-е годы).

Поверхностное моделирование описывает объекты через аналитическое описание их поверхностей с помощью многоугольников, параметрических кривых или NURBS (неоднородных рациональных B-сплайнов). Эти модели представляют собой внешние границы объектов. Особенностью этого этапа моделирования является то, что поверхности (грани) определены явно, но не имеют четкой информации об объеме, а сложные кривые и поверхности произвольной формы можно представить с помощью математических уравнений (например, кривых Безье, B-сплайнов). По сути, это математический метод, используемый в компьютерной BD-графике для создания сложных гладких поверхностей путем манипулирования кривыми линиями.

Данный этап имеет явные преимущества перед предшествующим ему каркасным моделированием, так как устраняет неоднозначности топологии, определяя грани и границы. Лучше подходит для реалистичного рендеринга и визуализации, но имеет также общий с каркасными моделями недостаток - не может моделировать внутренние структуры или различать твердые и полые объекты. К недостаткам можно отнести сложность выполнения таких операций, как логическое вычитание или пересечение.

Моделирование поверхностей является неотъемлемой частью различных отраслей промышленности и поддерживается многочисленными компьютерными системами: автомобильный и аэрокосмический дизайн (система автоматизированного проектирования CATIA - позволяет создавать сложные геометрические формы поверхностей, необходимые для кузовов транспортных

средств и компонентов самолетов); промышленный дизайн и потребительские товары (SolidWorks и Blender - проектирование потребительских товаров); развлечения и медиа (Cinema 4D - используются для создания визуальных эффектов и анимации, где детальное моделирование поверхностей имеет решающее значение для реалистичного рендеринга).

На развитие этого способа моделирования [2] повлияли несколько ключевых фигур:

- Стивен Энсон Кунс: работа Кунса, пионера в этой области, в 1960-х годах заложила основу для методов параметрического моделирования поверхностей;

- Чандраджит Баджадж: внёс существенный вклад в геометрическое и твердотельное моделирование.

3. Этап III. Твердотельное моделирование (1980-е годы - настоящее время).

Твердотельные модели представляют объекты как объемные, явно определяя как внутренние, так и внешние области тела. Они объединяют геометрические и топологические данные, обеспечивая полное и однозначное представление модели.

Ключевыми особенностями твердотельных моделей являются:

- поддержание логических операций (объединение, пересечение, вычитание);

- широкое разнообразие моделей и их высокая точность построения, что означает возможность их существования в реальном мире (исключая самопересекающиеся поверхности или стенки нулевой толщины);

- позволяют рассчитывать свойства объекта: объем, массу, момент инерции

и т. д.

В пределах третьего этапа условно выделяют следующие направления, которые ещё более подробно будут рассматриваться в этой работе:

1) Граничное представление (B-Rep - Boundary Representation) - объекты представлены поверхностями (вершинами, рёбрами, гранями), охватывающими объем моделируемого тела. Широко используется в современных CAD-системах, благодаря гибкости в работе с произвольными формами.

2) Конструктивная твердотельная геометрия (CSG - Constructive Solid Geometry) - твердые тела создаются путем объединения примитивов (например, кубов, цилиндров, сфер) с использованием логических операций. Подходит для хорошо структурированных объектов.

3) Методы пространственного разделения - предполагают разделение трехмерного пространства, содержащего твердый объект, на иерархические или однородные сегменты. Такой подход упрощает представление, обработку и анализ сложных геометрических моделей. Примеры таких методов:

- октодеревья, когда пространство рекурсивно делится на 8 равных частей (октант), создавая иерархическую древовидную структуру. Каждый узел дерева представляет собой часть пространства, а листья соответствуют областям, содержащим геометрию или пустое пространство. Октодеревья эффективны для представления редко заполненных или крупномасштабных моделей и хорошо подходят для обнаружения столкновений, трассировки лучей и рендеринга на основе вокселей. Октодеревья используются в SD-играх для рендеринга уровня детализации (например, приём в программировании трёхмерной графики, заключающийся в создании нескольких вариантов одного объекта с различными степенями детализации, которые переключаются в зависимости от удаления объекта от виртуальной камеры), медицинской визуализации (например, КТ, реконструкция МРТ);

- разделение двоичного пространства (деревья BSP) - рекурсивное деление пространства на две половины с помощью плоскостей. Каждое деление создает бинарную древовидную структуру, где узлы представляют пространство, а листья содержат объекты или пустые области. Такие деревья подходят для рендеринга сцен в приложениях реального времени. Этот способ эффективен для удаления скрытых поверхностей, трассировки лучей, обнаружения столкновений и используется в базовом программном обеспечении компьютерных игр (например, в ранних версиях Quake и Doom);

- воксели (объемные пиксели) - элементы объёмного изображения, в котором объекты трёхмерного пространства разделены на сетку маленьких

кубиков (вокселей). Каждый воксель содержит информацию о твёрдом теле -такую, как свойства материала, из которого оно состоит, или плотность тела. Такой метод визуализации ßD-объектов обладает преимуществом простого представления сложных тел. Подходит для аддитивного производства, ßD-печати и моделирования гидродинамики, а также широко используется в медицинской визуализации для представления анатомических структур, воксельных играх в стиле Minecraft или моделировании физических процессов (тепло, жидкости).

- KD-деревья (K-мерные деревья) - пространственная структура разделения, которая делит пространство с помощью плоскостей, выровненных по осям. Этот метод похож на деревья BSP, но специально оптимизирован для разделения по осям и обладает более быстрым пространственным поиском (например, метод ближайших соседей и трассировка лучей). KD-деревья используются для трассировки лучей в компьютерной графике.

Методы пространственного разделения используются для оптимизации рендеринга, обнаружения столкновений и геометрических запросов в больших наборах ßD-данных. Эти методы уменьшают вычислительную сложность операций, фокусируясь только на соответствующих областях пространства.

4) Неявное твердотельное моделирование (иногда можно встретить такое название, как имплицитные модели) - твёрдые тела представляются с помощью математических функций (например, наборов уровней, функций расстояний со знаком), а не явными геометрическими элементами, такими как вершины или грани. Оно также называется моделированием на основе функций. В сравнении с предыдущими методами, имплицитные модели могут представить объекты с поддержкой физического моделирования и производственных процессов, а также подходят для инженерного анализа, такого как стресс-тестирование или гидродинамика.

Ключевыми особенностями имплицитных моделей являются возможность естественной работы с гладкими поверхностями и сложными формами. Такие модели легко описывают изогнутые объекты, например, сферы или метасферы - n-мерные сглаженные структуры, используемые в компьютерной графике. Булевы

операции (объединение, пересечение, разность) реализуются через математические преобразования над скалярными функциями.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Бездитный Андрей Александрович, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sutherland I. E. Sketchpad: A man-machine graphical communication system. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, 1963. 204 p.

2. Weinan E. W. Principles of Multiscale Modeling. - London: Cambridge University Press, 2011. 488 p.

3. Bloomenthal J., Wyvill B. Implicit Surfaces. - San Francisco: Morgan Kaufmann, 1999. - 400 p.

4. Stanley O., Ronald F. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. - New York: Springer New York, 2003 - 273 p.

5. Nilsson T. Optimization Methods for Direct Volume Rendering on the Client Side Web. Linköping: Linköping University, 2019. 53 p.

6. Akenine-Möller T., Haines E., Hoffman N. Real-Time Rendering. 4th ed. Boca Raton: CRC Press, 2018. 1198 p.

7. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. - М.: ДМК Пресс, 2024. - 408 с.

8. Mortenson M. E. Geometric Modeling. New York: Industrial Press, 2006.

504 p.

9. Micchelli C. A. Mathematical Aspects of Geometric Modeling. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1987. 266 p.

10. Gallier J. Curves and Surfaces in Geometric Modeling: Theory and Algorithms. San Francisco: Morgan Kaufmann, 1999. 491 p.

11. Mantyla M. An Introduction to Solid Modeling. - San Francisco: W.H. Freeman and Co., 1988. - 401 p.

12. Hughes J., van Dam A., McGuire M., Sklar D. Computer Graphics: Principles and Practice. - 3rd ed. - Boston: Addison-Wesley, 2013. - 1264 p.

13. Stroud I., Nagy H. Solid Modelling and CAD Systems. - London: Springer, 2011. - 689 p.

14. Конопацкий Е. В., Рябинин К. В., Бездитный А. А. Визуализация геометрических моделей гранных тел в точечном исчислении / Научная визуализация. - 2023. - Т. 15, № 1. - С. 60-70. - DOI: 10.26583/sv.15.1.05.

15. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Lagunova M. V., Naidysh A. V. Principles of solid modelling in point calculus / Journal of Physics: Conference Series -2021. - Vol. 1901. - P. 012063. - DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012063.

16. Бездитный А. А. Особенности твердотельного моделирования в точечном исчислении / Труды Международной конференции по компьютерной графике и зрению «Графикон». - 2022. - № 32. - С. 947-955. - DOI: 10.20948/graphicon-2022-947-955.

17. Конопацкий Е. В., Бездитный А. А. Моделирование каналовых поверхностей и тел в точечном исчислении / Строительство и техногенная безопасность. - 2022. - № 24(76). - С. 97-106.

18. Конопацкий Е. В., Бездитный А. А. Кинематическая операция построения геометрических тел в точечном исчислении / Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура.

- 2022. - Т. 22, № 3. - С. 79-88. - DOI: 10.14529/build220309.

19. Конопацкий Е. В., Бездитный А. А. Проблема визуализации твердотельных моделей в виде трёхпараметрического множества точек / Научная визуализация. - 2022. - Т. 14, № 2. - С. 49-61. - DOI: 10.26583/sv.14.2.05.

20. Конопацкий Е. В., Бездитный А. А. Геометрическое моделирование каналовых поверхностей в точечном исчислении / Проблемы машиноведения: Материалы VI Международной научно-технической конференции, Омск, 22-23 марта 2022 года. - Омск: Омский государственный технический университет, 2022.

- С. 252-259. - DOI: 10.25206/978-5-8149-3453-6-2022-252-259.

21. Конопацкий Е. В., Крысько А. А., Бумага А. И. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперёд заданных точек. Геометрия и графика, 2018. Т. 6. № 3. С. 20-32. DOI: 10.12737/article_ 5bc457ece18491.72807735. - DOI: 10.12737/article 5bc457ece18491.72807735.

22. Юрков В. Ю. Математическое моделирование отсеков гиперповерхностей сложной формы / Омский научный вестник. - 2015. - №2 2(140).

- С. 8-9.

23. Юрков В. Ю. Математическое моделирование линейчатых моноидальных гиперповерхностей / Омский научный вестник. - 2015. - № 2(140).

- С. 5-7.

24. Конопацкий Е. В. Геометрическое моделирование дуг обвода, проходящих через наперёд заданные точки. Вестник компьютерных и информационных технологий. 2022. Т. 19, № 7 (217). С. 13 -20. Б01: 10.14489/укй.2022.06.рр.013-020.

25. Конопацкий Е. В. Конструирование системы специальных плоских кривых типа «синусоида» методом обобщённых тригонометрических функций / Сборник науч. трудов SWorld. - Иваново: Научный центр SWorld, 2013. - Т. 12, № 3. - С. 76-80.

26. Конопацкий Е. В. Решение дифференциальных уравнений методами геометрического моделирования / Труды Международной конференции по компьютерной графике и зрению «Графикон». - Москва: МГУ, 2018. - № 28. - С. 358-361.

27. Шевчук О. А., Конопацкий Е. В. Решение дифференциальных уравнений с помощью геометрических интерполянтов / Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2020. - № 3(179). - С. 29-33.

28. Конопацкий Е. В., Шевчук О. А. Использование геометрических интерполянтов для численного решения дифференциальных уравнений / Информационные технологии: Материалы 84-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (с международным участием), Минск, 03-14 февраля 2020 года / Отв. за издание И.В. Войтов. - Минск: Белорусский государственный технологический университет, 2020. - С. 194-196.

29. Балюба И. Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / И. Г. Балюба. - Макеевка, 1995. -227 с.

30. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В., Бумага А. И. Точечное исчисление. Макеевка: ДОННАСА, 2020. 244 с.

31. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В. Точечное исчисление. Историческая справка и основополагающие определения / Труды 8-й Международной научной конференции «Физико-техническая информатика», 9-13 ноября 2020 г. - Н. Новгород: ННГАСУ, 2020. - Ч. 2. - С. 321-327.

32. Балюба И. Г. и др. Метод подвижного симплекса при конструировании 2-поверхностей многомерного пространства / Моделирование и информационные технологии. - К.: Институт проблем моделирования в энергетике НАН Украины, 20XX. - Т. 1. - С. 310-318.

33. Давыденко И. П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / И. П. Давыденко. - Макеевка, 2012. - 186 с.

34. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A. Geometric modeling of multifactor processes and phenomena by the multidimensional parabolic interpolation method / IOP Conference Series: Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1441. - P. 012063. - DOI: 10.1088/1742-6596/1441/1/012063.

35. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A. Application of mixed geometric interpolants for modeling the strength characteristics of steel fiber concrete / IoP conference series: Journal of Physics: Conference Series. - 1546 (2020) 012037. - DOI: 10.1088/1742-6596/1546/1/012037.

36. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A. Geometric approach to finding the best possible solutions based on composition optimization of the mixed aggregate of finegrained concrete / IoP conference series: Journal of Physics: Conference Series. - 962 (2020) 032031. - DOI: 10.1088/1757-899X/962/3/032031.

37. Konopatskiy E. V., Voronova O. S., Shevchuk O. A., Bezditnyi A. A. About one method of numeral solution of partial differential equations using geometric

interpolants / Proceedings of the 8th International Scientific Conference on Computing (CPT2020), 9-13 November 2020. - [Место изд. не указано]. - DOI: 10.30987/conferencearticle_5fce27708eb353.92843700.

38. Найдыш В. М., Балюба И. Г., Верещага В. М. Алгебра БН-исчисления / Прикладная геометрия и инженерная графика. - К.: КНУБА, 2012. - Вып. 90. -С. 210-215.

39. Кривошапко С. Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник / С.Н. Кривошапко / М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с

40. Крысько А. А. Геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.01 и 05.01.01 / А.А. Крысько. - Макеевка, 2016. - 191 с.

41. Еремин И. А. Моделирование 3D тел с помощью кинематических операций на основе открытого ядра Open Cascade / Информатика: проблемы, методология, технологии : материалы XV Междунар. науч.-метод. конф., Воронеж, 12-13 февр. 2015 г. Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2015. Т. 3. С. 294-298.

42. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В., Бумага А. И. Точечное исчисление. -Макеевка: Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, 2020. - 244 с.

43. Конопацкий Е. В. Геометрическое моделирование и оптимизация многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции / Тр. Междунар. науч. конф. по физ.-техн. информатике CPT2018, Царьград, 28-31 мая 2018 г. Царьград: Ин-т физ.-техн. информатики, 2018. С. 299-306.

44. Конопацкий Е. В. Геометрическое моделирование многофакторных процессов на основе точечного исчисления: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01. Нижний Новгород, 2020. 307 с.

45. Конопацкий Е. В. Геометрическая теория многомерной интерполяции / Автоматизация и моделирование в проектировании и управлении. 2020. № 1(7). С. 9-16. DOI: 10.30987/2658-6436-2020-1-9-16.

46. Конопацкий Е. В. Аппроксимация геометрических объектов с помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки / Информационные технологии. 2019. Т. 25. № 1. С. 46-52. DOI: 10.17587/it.25.46-51.

47. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A. Solid modeling of geometric objects in point calculus / CEUR Workshop Proc. 31, Nizhny Novgorod, 2021. P. 666-672. URL: https:/ceur-ws.org/Vol-3027/paper69.pdf

48. Панчук К. Л., Ляшков А. А., Шарф В. И. Математическое и компьютерное моделирование формообразования червячного инструмента / Динамика систем, механизмов и машин. - 2016. - № 3. - С. 167-173.

49. Рязанов С. А., Решетников М. К. Аналитические зависимости кинематического формообразования начальных поверхностей элементов червячной / Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 2. - С. 65-75. - DOI: 10.12737/article_5d2c2dda42fda7.79858292.

50. Михайлов М. И. Моделирование кинематической направляющей внутренней цилиндрической поверхности при обработке концевой фрезой / Вестник Гомельского государственного технического университета им. П.О. Сухого. - 2018. - № 1(72). - С. 3-10.

51. Чекалин А. А., Решетников М. К., Бирзул А. С. Кинематическая параболическая поверхность для конструирования архитектурных покрытий / Ресурсоэнергоэффективные технологии в строительном комплексе региона. - 2018. - № 9. - С. 458-461.

52. Гетманцева В. В., Андреева Е. Г., Белгородский В. С. Кинематический способ параметрического описания поверхности фигуры человека / Материалы VII Международного конгресса «EUROASIA SUMMIT: Научные исследования и современные тенденции». - Баку, 6-9 декабря 2020 г. - Баку: FARABI Publishing House, 2020. - С. 577-581.

53. Корчагин Д. С., Панчук К. Л. Способ динамического проектирования кинематической поверхности / Материалы Всероссийской молодежной конференции «Информационно-телекоммуникационные системы и технологии

(ИТСиТ-2012)», Кемерово, 20-22 августа 2012 г. - Кемерово: Кузбасский государственный технический университет им. Т. Ф. Горбачева, 2012. - С. 223-224.

54. Иванов Г. С., Дмитриева И. М. Нелинейные формы в инженерной графике / Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - №2. - С. 4-12. - DOI: 10.12737/article_5953f295744f77.58727642.

55. Рачковская Г .С. Геометрическая модель и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей на основе триады контактирующих аксоидов "плоскость - круговой конус - круговой конус" / Транспорт: наука, образование, производство: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции, Ростов-на-Дону, 18-21 апреля 2017 года. - Ростов-на-Дону: Ростовский государственный университет путей сообщения, 2017. - С. 286289.

56. Короткий В. А., Хмарова Л. И., Усманова Е. А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей / Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3.

- №4. - С. 19-26. - DOI: 10.12737/17347.

57. Кокарева Я. А. Синтез кинематических поверхностей на основе эллиптического поворота плоскости / Инженерный вестник Дона. - 2018. - №2 2(49).

- С. 88.

58. Гринько Е. А. Поверхности плоскопараллельного переноса конгруэнтных кривых / Строительная механика и расчет сооружений. - 2021. - № 3(296). - С. 71-77. - DOI: 10.37538/0039-2383.2021.3.71.77.

59. Романова В. А. Образование поверхностей Монжа кинематическим способом в среде AutoCAD / Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2019. - Т. 15. - № 2. - С. 106-116. - DOI: 10.22363/1815-5235-201915-2-106-116.

60. Алексюк А. А. Конструирование кинематических моделей линий и поверхностей в компьютерной графике / Вестник евразийской науки. - 2019. - Т. 11. - № 6. - С. 87.

61. Мясоедова Т. М., Панчук К. Л. Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных траекторий (эквидистант) обрабатывающего

инструмента / Динамика систем, механизмов и машин. 2018. Т. 6. № 2. С. 262-269. DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-262-269.

62. Мясоедова Т. М., Панчук К. Л. Геометрическое моделирование семейства линий контурно-параллельной обработки карманных поверхностей в изделиях машиностроения / Динамика систем, механизмов и машин. 2018. Т. 6. № 2. С. 269-276. DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-269-276.

63. Генералова А. А., Чепелов А. В. Основные принципы построения лофтинг-поверхностей / Системы проектирования, моделирования, подготовки производства и управление проектами CAD/CAM/CAE/PDM : сб. ст. IX Междунар. науч.-практ. конф., Пенза, 30 апр. 2015 г. / под ред. В.З. Зверовщикова и др. Пенза: Приволжский дом знаний, 2015. Вып. 9. С. 14-18.

64. Мущанов В. Ф., Шпиньков В. А. Учет совместной работы тонколистовой мембраны с подкрепляющими элементами стабилизирующей системы / Металлические конструкции, 2016. Т. 22. № 2. С. 79-89.

65. Юдин О. А. Интерполяция NURBS-кривыми в многомерном пространстве. Научные труды Винницкого национального технического университета. №4 (2008).

66. Пахнутов И. А. Многомерная интерполяция / Интерактивная наука, 2017. №15. Точка доступа: https:/cyberleninka.ru/article/n/mnogomernaya-interpolyatsiya.

67. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Андреева О. В., Зайцева Н. В. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция / Чебышевский сборник, 2004. Т.5. Вып. 1. С.122-143.

68. Шустов В. В. Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции / Молодой учёный. Чита: Издательство Молодой учёный, 2010. №8(19)/2010. Т.1. С.17-20.

69. Бахвалов Ю. Н. Метод многомерной интерполяции и аппроксимации и его приложения / М.: Спутник+, 2007. 108 с.

70. Блинов А. О., Фраленко В. П. Многомерная аппроксимация в задачах моделирования и оптимизации / Автомат. и телемех., 2009. № 4. С.98-109.

71. Беляев М. Г. Аппроксимация многомерных зависимостей по структурированным выборкам / Искусственный интеллект и принятие решений, 2013. № 3. С. 24-39.

72. Бежаев А. Ю. Сплайн-интерполяция многомерных данных большого объема / Сибирский журнал вычислительной математики. Новосибирск, 2003. Т. 6. №3. С.249-261.

73. Конопацкий Е. В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов многомерной интерполяции / Программная инженерия. М.: 2019. Т.10. № 2. С. 77-86. - Б01: 10.17587/рпп. 10.77-86.

74. Конопацкий Е. В. Моделирование дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки / Вестник компьютерных и информационных технологий. М.: 2019. № 2. С. 30-36. Б01: 10.14489/укИ2019.02.рр.030-036.

75. Мущанов В. Ф., Шпиньков В. А. Уточнённая оценка совместной работы тонколистовой мембранной обшивки с подкрепляющим элементом / Металлические конструкции, 2018. Т. 24. № 3. С 133-141.

76. Денисова Е. В., Гурьева Ю. А. Аналитическое и компьютерное моделирование поверхностей методом криволинейного проецирования. Онтология проектирования. 2023. Т. 13, № 2(48). С. 204-216. Б01: 10.18287/2223-9537-202313-2-204-216.

77. Короткий В. А., Усманова Е. А. Бикубическая поверхность на фиксированном каркасе: расчет и визуализация. Научная визуализация. 2023. Т. 15, № 2. С. 45-65. Б01: 10.26583^.15.2.05.

78. Иванов А. В., Савенков Е. Б. Моделирование и визуальное представление динамики поверхности с подвижным краем на стационарной неструктурированной сетке. Научная визуализация. 2017. Т. 9, № 2. С. 64-81.

79. Косников Ю. Н. Математическое моделирование поверхностей свободных форм в системах визуализации пространственных сцен. Информационно-телекоммуникационные системы и технологии: материалы Всероссийской научно-практической конференции, Кемерово, 12-13 октября 2017

года. Кемерово: Кузбасский государственный технический университет им. Т.Ф. Горбачева, 2017. - С. 428-430.

80. Ryabinin K. V., Matkin K. A. Building and Visualization of Sleek 3D Surfaces without Mis-placed Extremes. Scientific Visualization. 2019. Vol. 11, No. 1. p. 91-106. DOI: 10.26583/sv.11.1.08.

81. Wang K., Zhou X. A new approach for generating lofted surfaces using NURBS / Computer-Aided Design and Applications. - 2020.

82. Малютина Т. П., Давыденко И. П., Старченко Ж. В. Задание эвольвентной цилиндрической поверхности методом подвижного симплекса / Перспективы развития строительного комплекса: материалы XIII Международной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, молодых ученых и студентов, Астрахань, 29-31 октября 2019 г. / под ред. В. А. Гутмана, Т. В. Золиной. - Т. 13. - Астрахань: Астраханский государственный архитектурно-строительный университет, 2019. - С. 281-284.

83. Малютина Т. П., Давыденко И. П. Моделирование поверхностей гидротехнических сооружений методом подвижного симплекса. Строитель Донбасса. 2020. № 2(11). С. 40-44.

84. Конопацкий Е. В., Селезнев И. В., Чернышева О. А. [и др.] Геометрическое моделирование адаптивных алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки / Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2021. - Т. 18. - №9(207). - С. 26-34. - DOI: 10.14489/vkit.2021.09.pp.026-034.

85. Peng X., Atroshchenko E., Kerfriden P., Bordas S. P. A. Linear elastic fracture simulation directly from CAD: 2D NURBS-based implementation and role of tip enrichment. Interna-tional Journal of Fracture. 2017. Vol. 204, No. 1. pp. 55-78. - DOI: 10.1007/s10704-016-0153-3.

86. Vale M. P. De. C. A., Ghisleni C. V., Gasperin F. F. De., Leal R. L., Silva F. P. Da., Bruscato U. M. Proposta de código automatizado para conversao de malhas poligonais de formas or-ganicas para superficies NURBS utilizáveis em softwares CAD.

Gestao & Tecnología de Projetos. 2022. Vol. 17, No. 2. p. 5-17. - DOI: 10.11606/gtp.v17i2.166353

87. Чекалин А. А. Алгоритмы компьютерной графики на основе интегродифференциальных сплайнов. Проблемы управления, обработки и передачи информации (УОПИ-2018): Сборник трудов VI Международной научной конференции, посвященной 85-летию Ю.А. Гагарина, Саратов, 15-17 декабря 2018 года. Саратов: Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. 2019. С. 440-446.

88. Рязанов С. А., Карачаровский В. Ю. Моделирование пространственных поверхностных моделей в среде визуального программирования dynamo. КОГРАФ

- 2020: сборник ма-териалов 30-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам, Нижний Новгород, 13-16 апреля 2020 года. Нижний Новгород: Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева. 2020. С. 108-113. -DOI: 10.46960/43791586_2020_108.

89. Ююкин И. В. Применение метода сплайн-функций при компьютерной визуализации подводного рельефа. Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. 2021. Т. 13, № 1. С. 64-79.

- DOI: 10.21821/2309-5180-2021-13-1-64-79.

90. Балюба И. Г., Найдыш В. М. Точечное исчисление: учебное пособие / под ред. В. М. Верещаги. - Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. - 236 с.

91. De Berg M., Cheong O., Van Kreveld M., Overmars M. Computational Geometry: Algorithms and Applications. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008. 386 p.

92. Um D. Solid Modeling and Application: Rapid Prototyping, CAD and CAE Theory. Springer Cham Heidelberg New York Dordrecht London, 2016. 298 p.

93. Devadoss S. L., O'Rourke J. Discrete and Computational Geometry / Princeton University Press, 2011. - p. 255.

94. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Litvinov A. I. Geometric modeling of torse surfaces in BN-calculus / Journal of Physics: Conference Series. - 2021. -

Vol.1791. - Omsk, 10-12 November 2020. - P. 012050. - DOI: 10.1088/17426596/1791/1/012050.

95. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В. О взаимном положении некоторых геометрических объектов в БН-исчислении / Университетская наука, 2018. Т. 2. № 6. С. 120-124.

96. Чернышева О. А. Эллипсоид Красовского в точечном исчислении Балюбы-Найдыша / Вестник Донбасской национальной академии строительства и архитектуры. - Макеевка: ДонНАСА, 2014. - Вып. 2014-4(108). - С. 6-9.

97. Багоутдинова А. Г., Золотоносов Я. Д., Мустакимова С. А. Геометрическое моделирование сложных поверхностей пружинно-витых каналов теплообменных устройств / Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. - 2011. - № 4(18). - С. 185-192.

98. Базыкина А. Ю., Доценко С. Ф. Применение каналовой модели для описания распространения одиночных волн типа цунами в канале переменного поперечного сечения / Морской гидрофизический журнал, 2015. № 1(181). С. 2941.

99. Сафрошин Р. Э. Циклические поверхности в конструкциях газопроводов / Научному прогрессу - творчество молодых, 2017. № 1. С. 123-125.

100. Орловский Б. В., Дворжак В. Н. Компьютерное моделирование перемотки пряжи для вязания на конические бобины / Новое в технике и технологии в текстильной и легкой промышленности: Материалы докладов Международной научно-технической конференции, Витебск, 25-26 ноября 2015 года. Витебск: Витебский государственный технологический университет, 2015. С. 72-74.

101. Корчагин Д. Метод геометро-динамического формообразования каналовой поверхности по дискретному каркасу её образующих / Тр. 26-й Междунар. науч. конф. «Графикон-2016», Нижний Новгород, 19-23 сент. 2016 г. -Н. Новгород: Ин-т физ.-техн. информатики, 2016. - С. 280-283.

102. Панчук К. Л., Любчинов Е. В. Элементы пространственной циклографии / Омский научный вестник. Сер. «Авиационно-ракетное и

энергетическое машиностроение». - 2018. - Т. 2. - № 3. - С. 63-69. - DOI: 10.25206/2588-9793-2018-6-2-262-269.

103. Кокарева Я. А. Конструирование каналовых поверхностей с переменной образующей и плоскостью параллелизма на основе эквиаффинных преобразований плоскости / Геометрия и графика, 2017. Т. 5. № 1. С. 12-20.

104. Иванов В. Н., Валенсия Р. Э. Г. Тонкостенные пространственные конструкции на основе поверхностей Иоахимсталя / Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2016. № 2. С. 15-21.

105. Сальков Н. А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 1 / Геометрия и графика. 2015. Т. 3, № 1. С. 16-25. DOI: 10.12737/10454.

106. Норден А. П. Теория поверхностей / М.: ГИТТЛ, 1956. 260 с.

107. Норден А. П. Краткий курс дифференциальной геометрии / М.: ФИЗМАТГИЗ, 1958. 244 с.

108. Бумага А. И., Конопацкий Е. В., Крысько А. А., Чернышева О. А. Введение в математический аппарат БН-исчисление / Материалы VII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации». Пермь: ПНИПУ, 2017. Вып. 4. С. 76-82.

109. Бездитный А. А. Моделирование каналовой поверхности с направляющей дугой обвода / Труды Тавр. гос. агротехнол. ун-та. 2012. Вып. 4. Т. 53. С. 7-12.

110. Бездитный А. Ф., Верещага В. М., Найдыш А. В., Конопацкий Е. В. Моделирование каналовой поверхности с криволинейной направляющей / Труды Тавр. гос. агротехнол. ун-та. 2012. Вып. 4. Т. 54. С. 9-14.

111. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Litvinov A. I. Geometric modeling of torse surfaces in BN-calculus / IoP conference series: Journal of Physics: Conference Series 1791 (2021) 012050. - DOI: 10.1088/1742-6596/1791/1/012050.

112. Жихарев Л. А., Карпова Ю. С. Плоские отражения от кривых / Журнал естественнонаучных исследований, 2020. Т. 5. № 4. С. 52-58.

113. Кац Б. А. Об одной метрической характеристике замкнутых плоских кривых и ее приложении / Ученые записки Казанского государственного университета. Серия: Физико-математические науки, 2006. Т. 148. № 2. С. 77-84.

114. Короткий В. А., Хмарова Л. И. Универсальный компьютерный коникограф / Графикон'2016: Труды 26-й Международной научной конференции, Нижний Новгород, 19-23 сентября 2016 года. Нижний Новгород: Автономная некоммерческая организация "Институт физико-технической информатики", 2016. С. 347-351.

115. Конопацкий Е. В., Воронова О. С., Ротков С. И., Лагунова М. В., Бездитный А. А. Моделирование кривых 2-го порядка и поверхностей оболочек инженерных сооружений на их основе / Строительство и техногенная безопасность, 2021. №22(74). С. 101-110. - DOI: 10.37279/2413-1873-2021 -22-101110.

116. Hoffmann C. Geometric and Solid Modeling. San Mateo: Morgan Kaufmann, 1989. - 295 p.

117. Requicha A. G. Geometric Modeling: A First Course. Fundamental Algorithms. Pittsburgh: Carnegie Mellon University, 1980. - 150 p.

118. Mortenson M. E. Geometric Modeling. 2nd ed. New York: Wiley, 1997. -

432 p.

119. Requicha A. G., Voelcker H. B.. Boolean Operations in Solid Modeling: Boundary Evaluation and Merging Algorithms / Technical Memorandum. - 1984.

120. Arruda M. C. Boolean Operations on Non-Manifold and B-Rep Solids for Mesh Generation. Dissertation. - 2006.

121. Krishnan S., Gopi M., Manocha D., Mine M. Interactive Boundary Computation of Boolean Combinations of Sculptured Solids / Technical Report TR97-005. Department of Computer Science, University of North Carolina at Chapel Hill, 1997. 13 p.

122. Бездитный А. А. Геометрическая теория точечного твердотельного моделирования / Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2025. -Т. 22, № 1. - С. 15-24. - DOI: 10.14489/vkit.2025.01.pp.015-024.

123. Конопацкий Е. В. Геометрическое моделирование алгебраических кривых и их использование при конструировании поверхностей в точечном исчислении Балюбы-Найдыша: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. - Мелитополь, 2012. - 163 с.

124. Бездитный А. А. Вариантивное дискретное геометрическое моделирование на основе геометрических соотношений в точечном исчислении Балюбы-Найдыша: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. - Мелитополь, 2012. - 190 с.

125. Найдыш А. В., Конопацкий Е. В., Бумага А. И. Теоретические основы геометрического моделирования физико-механических свойств асфальтобетонов методами БН-исчисления / Математика. Геометрия. Информатика. 2014. Т. 1. С. 111-117.

126. Конопацкий Е. В., Геометрическое моделирование и оптимизация физико-механических свойств дегтеполимербетона / Информационные технологии в проектировании и производстве. 2019. № 1 (173). С. 20-24.

127. Воронова О. С., Конопацкий Е. В. Геометрическое моделирование параметров физического состояния воды и водяного пара / Вестник кибернетики. -2019. - № 1(33). - С. 29-38. - Сургут: СурГУ.

128. Конопацкий Е. В., Ротков С. И., Крысько А. А. Общий подход к полилинейной интерполяции и аппроксимации на основе линейчатых многообразий / Строительство и техногенная безопасность. - 2019. - № 15(67). -С. 159-168. - Симферополь: ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского».

129. Чернышева О. А. Вычислительные алгоритмы и компьютерные средства моделирования нерегулярной топографической поверхности: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. - Донецк, 2019. - 150 с.

130. Конопацкий Е. В. Использование кривых одного отношения для конструирования профиля крыла летательного аппарата в БН-исчислении / Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника. - Пермь: ПНИПУ, 2017. - № 50. - С. 90-100. - Б01: 10.15593/2224-9982/2017.50.09.

131. Бездитный А. А., Верещага В. М. Геометрическое моделирование конструктивных элементов дробилки на основе построения поверхностей

вращения в точечном исчислении / Научный вестник ТДАТУ. - 2011. - Вып. 1. -С. 69-74. - Мелитополь: ТГАТУ.

132. Крысько А. А. Геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.01 и 05.01.01. - Макеевка, 2016. - 191 с.

133. Кучеренко В. В. Формализованные геометрические модели нерегулярной поверхности для гиперколичественного дискретного конечного множества точек: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. - Мелитополь, 2013. - 234 с.

134. Конопацкий Е. В., Чернышева О. А., Кокарева Я. А. Моделирование поверхности рельефа местности на основе спутниковых данных SRTM / Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2019. - №6. - С. 23-31. - 001: 10.14489/укй.2019.06.рр.023-031.

135. Конопацкий Е. В. Геометрический смысл метода наименьших квадратов / Вестник компьютерных и информационных технологий. - М., 2019. -№ 9. - С.11-18. - Б01: 10.14489/укй.2019.09.рр.011-018.

136. Бумага А. И. Геометрическое моделирование физико-механических свойств композиционных строительных материалов в БН-исчислении: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05 и 05.01.01. - Макеевка, 2016. - 164 с.

137. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В., Бумага А. И. Точечное исчисление: учебно-методическое пособие для аспирантов и соискателей по специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика». - Макеевка: ДОННАСА, 2020. - 244 с.

138. Конопацкий Е. В., Бездитный А. А. Точечные инструменты геометрического моделирования, инвариантные относительно параллельного проецирования. Геометрия и графика. 2021. Т. 9. № 4. С. 11 -21. - Б01: 10.12737/2308-4898-2022-9-4-11-21.

139. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А.С. Пархоменко. М.: Наука, 1968. 912 с.

140. Алсынбаев К. С. Алгоритмы определения тел объемных объектов в трехмерном нерегулярном облаке точек / Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. - 2015. - № 10. - С. 159-165.

141. Gholizadeh N., Saadatfar H., Hanafi N. K-DBSCAN: An improved DBSCAN algorithm for big data / The Journal of Supercomputing. - 2021. - Vol. 77, No. 6. - P. 6214-6235. - DOI: 10.1007/s11227-020-03524-3.

142. Shen T., Gao J., Yin K., Liu M., Fidler S. Deep marching tetrahedra: A hybrid representation for high-resolution 3D shape synthesis. Paper presented at the Advances in Neural Information Processing Systems. 2021. No. 8. p. 6087-6101.

143. Балюба И. Г. Вычислительная геометрия пространственных форм в точечном исчислении: учебное пособие для студентов, магистрантов и аспирантов инженерных специальностей. - Макеевка: ДОННАСА, 2008. - 45 с.

144. Boyashova E. A., Voloshinov D. V., Musaeva T. Constructive algorithm for transforming conics in a circle on imaginary Laguerre points / CEUR Workshop Proc. -2021. - Vol. 3027. - P. 673-681. - Proceedings of the 31st International Conference on Computer Graphics and Vision (GraphiCon 2021), Nizhny Novgorod, Russia, Sept. 2730.

145. Cantón A., Fernández-Jambrina L., Vázquez-Gallo M. J. Curvature of planar aesthetic curves / J. Comput. Appl. Math. - 2021. - Vol. 381. - DOI: 10.1016/j.cam.2020.113042.

146. Kucukoglu I., Simsek B., Simsek Y. Multidimensional Bernstein polynomials and Bezier curves: Analysis of machine learning algorithm for facial expression recognition based on curvature / Applied Mathematics and Computation, 2019. Vol. 344-345. p. 150-162.

147. Li X., Luk K.M., Duan B. Aperture illumination designs for microwave wireless power transmission with constraints on edge tapers using Bezier curves / IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2019. Vol. 67. No. 2. - DOI: 10.1109/TAP.2018.2884850.

148. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В. Конструирование дуг обвода из кривых одного отношения / Труды 27-й Международной конференция по компьютерной

графике и машинному зрению «GraphiCon 2017» 24-28 сентября 2017 г. Пермь: ПГНИУ, 2017. С. 332-334.

149. Kettunen M., D'Eon E., Pantaleoni J., Novak J. An unbiased ray-marching transmittance estimator. ACM Transactions on Graphics. 2021. 40(4).

150. Coulon R., Matsumoto E.A., Segerman H., Trettel S.J. Ray-marching Thurston geometries / Exp. Math. - 2022.

151. Xu T., Zeng W., Wu E. Viewport-resolution independent anti-aliased ray marching on interior faces in cube-map space. Paper presented at the Proceedings -SIGGRAPH Asia 2021 Technical Communications. SA 2021.

152. Debelov V. A., Kozlov D. V. Visualization of light polarization to debug ray tracing algorithms / Scientific Visualization. - 2013. - Vol. 5, No. 4. - P. 71-87.

153. Жданов Д. Д., Ершов С. В., Дерябин Н. Б. Объектно-ориентированная модель фотореалистичной визуализации сложных сцен. Научная визуализация. 2013. Т. 5. № 4. С. 88-117.

154. Sokolov V. G., Voloboy A. G., Potemin I. S., Galaktionov V. A. Overview of BSDF reconstruction methods for rough surfaces / Scientific Visualization. - 2022. -Vol. 14, No. 3. - P. 132-151. - DOI: 10.26583/sv. 14.3.10.

155. Wald I., Zellmann S., Usher W., Morrical N., Lang U., Pascucci V. Ray tracing structured AMR data using exabricks. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. 2021. 27(2). p. 625-634. - DOI: 10.1109/tvcg.2020.3030470.

156. Zhang K., Luan F., Wang Q., Bala K., Snavely N. PhySG: Inverse rendering with spherical gaussians for physics-based material editing and relighting. Paper presented at the Proceedings of the IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 2021. 5449-5458.

157. Shen T., Gao J., Yin K., Liu M., Fidler S. Deep marching tetrahedra: A hybrid representation for high-resolution 3D shape synthesis. Paper presented at the Advances in Neural Information Processing Systems. 2021. No. 8. p. 6087-6101.

158. Soukov S. A. Combined signed distance calculation algorithm for numerical simulation of physical processes and visualization of solid bodies movement. Scientific Visualization. 2021. 12(5).

159. Конопацкий Е. В., Бездитный А. А., Кокарева Я. А., Кучеренко В. В. Особенности визуализации геометрических объектов в БН-исчислении. Научная визуализация, 2020. Т.12. №2. С.98-109. - DOI: 10.26583/sv.12.2.08

160. Ulyanov D., Bogolepov D., Turlapov V. Interactive vizualization of constructive solid geometry scenes on graphic processors. Programming and Computer Software, 2017. Vol. 43. No 4. p. 258-267. - DOI: 10.1134/S0361768817040090.

161. Вяткин С. И., Городилов М. А., Долговесов Б. С. Геометрическое моделирование и визуализация функционально заданных объектов на базе функций возмущения с использованием графических акселераторов. Научная визуализация, 2010. Т. 2. № 3. С. 22-49.

162. Суков С. А. Комбинированный алгоритм вычисления расстояния со знаком для задач численного моделирования физических процессов и визуализации движения твердых тел. Научная визуализация, 2020. Т. 12. № 5. С. 86-101. DOI: 10.26583/sv.12.5.08.

Приложение А. Копии справок о внедрении результатов исследований

НПО

/МВОЧКИК4

Акционерное общество «Научно-производственное объединение им. С.А. Лавочкина» [АО «НПО Лавочкина»]

Ленинградская ул., д 24, г Химии. Московская область, 141402. ОГРН11750290С9363, ИНН 50*7198566 тел: <-7 1*95) 573-56-75. факс »7 (4951573-35-S5, e-mail npol@iaspace ru, www.lespace ru

СПРАВКА

о внедрении результатов исследований диссертационной работы А. А. Бездитного, представленной на соискание учёной степени доктора технических наук

Настоящая справка выдана доценту кафедры прикладной математики и информационных технологий имени профессора В. М. Найдыша Мелитопольского государственного университета Бездитному Андрею Александровичу о том. что результаты его научно-исследовательской работы рассмотрены и приняты к внедрению в акционерное общество «Научно-производственное объединение им. С. А. Лавочкина (АО Н110 Лавочкина)» для автоматизации процесса проектирования узлов и агрегатов различного назначения.

Исследования А. А. Бездитного обеспечили возможность применения вычислительных алгоритмов геометрического моделирования для построения твердотельных компьютерных моделей в виде выделенной части пространства и реализацию авторского подхода к генерации трёхмерной сети объёмных элементов с последующим расчётом в системах конечно-элементного анатиза.

Также А. А. Бездитным был разработан авторский вычислительный алгоритм моделирования геометрических тел с неравномерной структурой внутреннего пространства применение которою дзя ЗО печати методом СЛС алюминиевых сплавов привело к снижению расхода материала до 10 % без потери эксплуатационных характеристик моделируемого объекта.

«11» сентября 20 24 г.

Главный металлург - начальник отдела главного металлурга Севастьянов Антон Сергеевич

^___./Lподпись^

Заместитель генерального директора по персоналу и общим вопросам

Подпись А

11.09.2024 г.

(дата)

янова заверяю

Шолохова

А К Ц И О Н К Р II о Е О Ь III Е С Г В О

Южный региональный научно-исследовательский и проектный институт градостроитель* *а

344006. г.Ростов-на-Дону, пр-т Ворошиловский, л. 12. к нината 22 б тел.: [phone]

Исх. №__

В специализированный совет по защите диссертаций

СПРАВКА

о внедрении результатов исследований диссертационной работы Бездитного A.A., представленную на соискание ученой степени доктора

технических наук по специальности 2.5.1 Инженерная геометрия и компьютерная графика. Цифровая поддержка жизненного цикла изделия

Настоящая справка выдана доценту кафедры экономики, финансов и учета Севастопольского филиала ФГБОУВО «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова» Бездитному A.A. о том, что результаты его научно-исследовательской работы рассмотрены и приняты к внедрению в АО «Южный региональный научно-исследовательский и проектный институт градостроительства» для автоматизации процесса проектирования жилых и общественных зданий различного назначения.

Исследования Бездитного A.A. обеспечили возможность применения вычислительных алгоритмов геометрического моделирования для построения твердотельных компьютерных моделей строительных конструкций, зданий и сооружений с последующим расчётом в системах конечно-элементного анализа.

0§у

Приложение Б. Копия свидетельства о регистрации программы для ЭВМ

Приложение В. Схема основных компонентов концепции геометрической

теории твердотельного моделирования

Приложение Г. Программный листинг к разделу 4.10: пересечение труб в

параметрической модели

if (mode === "Пересечение_2_труб") {

/ 1) Формула для пользователя document.getElementById("formula").innerText = "Mi = (A-C)tcos(a) + (B-C)tsin(a) + (D-C)u + C\n" + "M2 = (C-D)pqtsin(a) + (B-C)tcos(a) + 2(C-A)u + (D-C)p + A"; / 2) Параметры трубок const r1_inner = 0.3, r1_outer = 0.5; const r2_inner = 0.3, r2_outer = 0.5; const r_max = 1.0; const p = 0.5;

const q = A.clone().sub(C).length() / (p * C.clone().sub(D).length()); / 3) Центрирование и оси

const center = new THREE.Vector3().addVectors(C, D).multiplyScalar(p); const axis1 = D.clone().sub(C).normalize(); / ось первой трубки const axis2 = C.clone().sub(A).normalize(); / ось второй трубки (параллельная AC) const pointOnCD = C.clone().add(D.clone().sub(C).multiplyScalar(p)); / точка на оси CD / 4) Вспомогателька для расстояния до оси function distToAxis(P, P0, dir) { const v = P.clone().sub(P0); const proj = dir.clone().multiplyScalar(v.dot(dir)); return v.sub(proj).length();

}

/ 5) Основной тройной цикл t, a, u for (let t = 0.0; t <= r_max; t += 0.02) { for (let alpha = 0; alpha < 2 * Math.PI; alpha += Math.PI / 96) { for (let u of uVals) { / Первая трубка (вдоль CD)

const P1 = A.clone().sub(C).multiplyScalar(t * Math.cos(alpha)) .add(B.clone().sub(C).multiplyScalar(t * Math.sin(alpha))) .add(D.clone().sub (C).multiplyScalar(u)) .add(C.clone()); / Вторая трубка (вдоль CA), с учётом смещения const P2 = C.clone().sub(D).multiplyScalar(p * q * t * Math.sin(alpha))

.add(B.clone().sub(C).multiplyScalar(t * Math.cos(alpha))) .add(C.clone().sub (A).multiplyScalar(2 * u)) .add(D.clone().sub (C).multiplyS calar(p)) .add(A.clone()); / Центрируем и масштабируем

const P1s = P1.clone().sub(center).multiplyScalar(scale).add(center); const P2s = P2.clone().sub(center).multiplyScalar(scale).add(center); / Маска для первой трубки:

/ внутренний < t < внешний И расстояние до оси второй трубки > r2_inner

const r_to_axis2 = distToAxis(P1s, pointOnCD, axis2);

const insidel = (t >= r1_inner && t <= r1_outer) && (r_to_axis2 > r2_inner);

/ Маска для второй трубки: точка не должна попадать в радиус первой трубки const r_to_axis1 = distToAxis(P2s, C, axis1);

const inside2 = (t >= r2_inner && t <= r2_outer) && (r_to_axis1 > r1_inner); / Проверяем, что точка в пересечении, исключаем если это наружная часть if (inside1) pushPoint(P1s); if (inside2) pushPoint(P2s);

}

}

}

}

if (mode === "Пересечение_3_труб") {

document.getElementById("formula").innerText = "Mi = (A-C)tcos(a) + (B-C)tsin(a) + (D-C)u + C\n" + "M2 = (C-D)pqtsin(a) + (B-C)tcos(a) + 2(C-A)u + (D-C)p + A\n" + "M = (A-C)tcos(a) + (C-D)pmtsin(a) + 2(C-B)u + (D-C)p + B"; const r1_inner = 0.3, r1_outer = 0.5; const r2_inner = 0.3, r2_outer = 0.5; const r3_inner = 0.3, r3_outer = 0.5; const r_max = 1.0;

const p = 0.5; / коэффициент для смещения

const m = C.clone().sub(B).length() / (p * C.clone().sub(D).length()); / коэффициент m / Параметр q для второго цилиндра

const q = A.clone().sub(C).length() / (p * C.clone().sub(D).length()); / коэффициент q

const center = new THREE.Vector3().addVectors(A, D).multiplyScalar(p); function distToAxis(P, P0, dir) { const v = P.clone().sub(P0); const proj = dir.clone().multiplyScalar(v.dot(dir)); return v.sub(proj).length();

}

/ Оси для трёх трубок

const axis1 = D.clone().sub(C).normalize(); / ось первой трубки (CD) const axis2 = C.clone().sub(A).normalize(); / ось второй трубки (CA) const axis3 = B.clone().sub(C).normalize(); / ось третьей трубки (AB) / Точки на осях для каждой трубки, определяемые коэффициентом p const pointOnCD = C.clone().add(D.clone().sub(C).multiplyScalar(p)); / точка на оси CD const pointOnCA = A.clone().add(C.clone().sub(A).multiplyScalar(p)); / точка на оси CA const pointOnAB = C.clone().add(B.clone().sub(C).multiplyScalar(p)); / точка на оси AB for (let t = 0.0; t <= r_max; t += 0.02) { for (let alpha = 0; alpha < 2 * Math.PI; alpha += Math.PI / 96) { for (let u of uVals) {

/ Первая трубка (вдоль CD)

const P1 = A.clone().sub(C).multiplyScalar(t * Math.cos(alpha)) .add(B.clone().sub(C).multiplyScalar(t * Math.sin(alpha))) .add(D.clone().sub (C).multiplyScalar(u)) .add(C.clone());

/ Вторая трубка (вдоль CA)

const P2 = C.clone().sub(D).multiplyScalar(p * q * t * Math.sin(alpha)) .add(B.clone().sub(C).multiplyScalar(t * Math.cos(alpha)))

.add(C.clone().sub(A).multiplyScalar(2 * u)) / исправлено: 2*u для второй трубки

.add(D.clone().sub (C).multiplyScalar(p))

.add(A.clone());

/ Третья трубка (вдоль AB)

const P3 = (A.clone().sub(C).multiplyScalar(t * Math.cos(alpha))) .add(C.clone().sub(D).multiplyScalar(p * m * t * Math.sin(alpha))) .add((C.clone().sub(B).multiplyScalar(2 * u))) / исправлено: 2*u для третьей трубки .add(D.clone().sub (C).multiplyScalar(p)) .add(B.clone());

const P1s = P1.clone().sub(center).multiplyScalar(scale).add(center); const P2s = P2.clone().sub(center).multiplyScalar(scale).add(center); const P3s = P3.clone().sub(center).multiplyScalar(scale).add(center);

/ Маска для первой трубки: точка не должна попадать в радиус второй и третьей трубки const r_to_axis2 = distToAxis(P1s, pointOnCD, axis2); / расстояние до оси второй трубки (параллельной CA)

const r_to_axis3 = distToAxis(P1s, pointOnCD, axis3); / расстояние до оси третьей трубки (параллельной AB)

const inside1 = (t >= r1_inner && t <= r1_outer) && (r_to_axis2 > r2_inner) && (r_to_axis3 > r3_inner);

/ Маска для второй трубки: точка не должна попадать в радиус первой и третьей трубки const r_to_axis1 = distToAxis(P2s, pointOnCD, axis1); / расстояние до оси первой трубки (параллельной CD)

const r_to_axis3_2 = distToAxis(P2s, pointOnCD, axis3); / расстояние до оси третьей трубки (параллельной AB)

const inside2 = (t >= r2_inner && t <= r2_outer) && (r_to_axis1 > r1_inner) && (r_to_axis3_2 > r3_inner);

/ Маска для третьей трубки: точка не должна попадать в радиус первой и второй трубки const r_to_axis1_3 = distToAxis(P3s, pointOnCD, axis1); / расстояние до оси первой трубки (параллельной CD)

const r_to_axis2_3 = distToAxis(P3s, pointOnCD, axis2); / расстояние до оси второй трубки (параллельной CA)

const inside3 = (t >= r3_inner && t <= r3_outer) && (r_to_axis1_3 > r1_inner) && (r_to_axis2_3 > r2_inner);

/ Добавляем точки для всех трубок, если они находятся внутри пересечения if (inside1) pushPoint(P1s); / Первая трубка if (inside2) pushPoint(P2s); / Вторая трубка if (inside3) pushPoint(P3s); / Третья трубка

}

}

}

}