Корреляции и фрактальные свойства стохастических процессов в ядерной физике и физике частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Моисеенко, Александр Васильевич

• Моисеенко, Александр Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моисеенко, Александр Васильевич

Введение.

1. Актуальность работы.

2. Определения, примеры, подходы.

3. Постановка задачи.

4. Структура диссертации.

5. Научная новизна работы.

6. Практическая значимость работы.

7. Автор защищает.

Глава 1. Методы обработки данных.

1.1. Методы определения фрактальной размерности.

1.2. Метод нормированного размаха.

1.3. Стандартный метод поиска корреляций.

Глава 2. Рождение пионов при промежуточных энергиях.

2.1. Реакции л + р ->/? + 2 л + л и л + р ^р + 2л + к

2.2. Другие процессы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корреляции и фрактальные свойства стохастических процессов в ядерной физике и физике частиц»

3.2. Анализ модельных данных.50

3.3. Основные результаты и выводы.56

Глава 4. Проверка методологии исследований.58

4.1. Исследование генератора случайных чисел на предмет корреляций. 58

4.2. Исследование генератора случайных чисел на предмет скрытых периодичностей.61

4.3. Связь показателя Херста с объемом статистики.65

4.4. Анализ эксп-х и модельных данных стандартным методом.70

4.4. Основные результаты и выводы.74

Глава 5. Установление самоподобия и класса анализируемых рядов.76

5.1. Введение.76

5.2. Обработка экспериментальных и модельных данных.77

5.3. Основные результаты и выводы.83

Глава 6. Моделирование многократного рассеяния.86

6.1. Введение.86

6.2. Моделирование.88

6.3. Исследование полученной статистики.91

6.4. Основные результаты и выводы.95

Глава 7. Определение дифф. уравнений для описания исследуемых процессов. .97

7.1. Введение.97

7.2. Реакции (2.1) и (2.2).98

7.3. Модель многократного рассеяния.107

7.3. Основные результаты и выводы.109

Глава 8. Основные результаты и выводы.112

8.1. Рождение пионов при промежуточных энергиях.112

8.2. Моделирование рождения пионов при промежуточных энергиях. 113

8.3. Проверка методологии исследований.115

8.4. Установление самоподобия и класса анализируемых рядов.117

8.5. Моделирование многократного рассеяния.119

8.6. Определение дифф. уравнений для описания исследуемых процессов 123

Заключение.126

Литература.129

Введение

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Моисеенко, Александр Васильевич

7.3. Основные результаты и выводы

Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

Очевидно, что со временем, то есть, по мере увеличения числа слагаемых в суммах последовательных членов временных рядов исследуемой статистики, распределения всех этих сумм приближаются по своей форме к нормальному. Уже на 16-м шаге они становятся практически неотличимыми от гауссовского. Кроме того, для дисперсий экспериментальных и модельных распределений от времени справедлив закон: \n(D) = a + b\n(t-t0), так как погрешность МНК (коэффициентов а и Ь) очень мала (-1%). В таблицах 7.2.9, 7.2.10, 7.3.3 приведены расчетные значения коэффициентов b для исследуемых величин. Там же указаны расчетные значения 2Я, причем для реакций (2.1) и (2.2) Я взяты непосредственно из таблиц 2.1.1 и 2.1.3 соответственно. Сравнивая полученные значения можно уверенно заявлять, что в пределах погрешностей выполняется равенство b = 2Н. Таким образом, имеет место формула D = <j2(t -t0)2n . Более того, судя по графикам 7.2.9, 7.2.10, 7.3.3 можно проследить что данное соотношение будет выполняться в широком диапазоне п, эквивалентного (t-t0), то есть практически не зависит от времени. Для многократного рассеяния однако, наблюдается тенденция к некоторому уменьшению b со временем, что сможет свидетельствовать об ослаблении корреляций со временем.

Характеристики процессов (2.1) и (2.2) и модели многократного рассеяния подробно исследованы в предыдущих разделах работы. Вместе с представленным выше анализом поведения дисперсий они позволяют полностью определить дальнейший ход анализа. Действительно, как показано в [12], случайный процесс с коррелированными значениями, зависимыми и стационарными приращениями может быть представлен (смоделирован) обобщенным, фрактальным броуновским движением, описываемым следующим выражением для плотности вероятности: (ЛГ-.Т „)р{Х1)^-10) = -==--—е 2а2{,-'°)1" (7.3.1) где хо, х - значения характеристик процесса в моменты /о и Я - показатель Херста, а2 - параметр, имеющий смысл коэффициента диффузии. Таким образом, мы проверили справедливость обобщенной центральной предельной теоремы для исследуемых нами процессов, убедившись тем самым в независимости составляющих их случайных величин.

Линейной заменой переменных выражение (7.3.1) приводится к виду

1 V2 х) = -р=ехр(-—), то есть исследуемый процесс представляет собой

72 п 2 разновидность винеровского, диффузионного процесса, распределение плотности вероятности которого является решением дифференциального уравнения, связывающего значение функции распределения со значениями ее производных. Установленный факт сдвига среднего от распределения плотности вероятности прямо пропорционально ширине временного интервала (см. выше) позволяет сделать заключение, что таким уравнением является уравнение Фоккера-Планка:

7.3.2) с/ дх ох где М- коэффициент сноса, приведенный для реакций (2.1) и (2.2) в таблице 7.2.11, а сг2Я(г-?0)2//"' имеет смысл коэффициента диффузии по соответствующей переменной.

Как известно, уравнением Фоккера-Планка [104] описываются специальные виды диффузии. Оно известно в физике некоторых диффузионных процессов, в математической теории случайных процессов оно возникает как прямое уравнение Колмогорова для распределения плотности переходной вероятности.

Формула (7.3.1) справедлива только когда математическое ожидание исследуемой величины равно нулю, как например, для броуновского движения. Характеристики же яр-взаимодействий имеют отличные от нуля средние, поэтому в числителе выражения под экспонентой для переходной вероятности появится зависящее от времени математическое ожидание суммы, накопленной за время

ПО

-/0): М(?-Г0), где М - математическое ожидание исследуемой величины. Вид р будет таким: х-х0 -M(t-l0))2

Вычислив —, — и —V можно легко показать, что р является решением dt ôx дх~ уравнения диффузии которое имеет вид (7.3.2).

Итак, можно сделать заключение о возможности рассмотрения исследуемых стохастических процессов в качестве случайных блужданий. Причем в случае жр-взаимодействий мы рассматриваем фиктивный случайный процесс в том смысле, что исследуется не история состояний одной и той же частицы, а характеристики последовательных независимых событий, которые берутся в качестве приращений координаты в некотором пространстве. С математической же точки зрения любая совокупность случайных величин Ç(t), teT (где Т - некоторое множество), заданных на вероятностном пространстве <Q,I,P>, называется случайным процессом [59]. Необходимо отметить, что поставленная во Введении задача поиска дифференциального уравнения описывающего процесс по его реализации разрешается в данной главе не полностью, поскольку мы получили лишь асимптотический вид искомого уравнения. Тем не менее, это позволяет нам понять характер процессов и углубиться в исследование их физики - очевидно что постоянные о, M и Я определяются именно ей - а значит и природа возникновения корреляций тоже.

Не следует также забывать что фрактальная диффузия в ядерной физике обнаружена уже давно - как внутреннее блуждание партонов в адронных взаимодействиях [105-109]. Нельзя исключить вариант что оно служит одной из причин фрактально-диффузионного характера исследуемых процессов.

Глава 8. Основные результаты и выводы.

8.1. Рождение пионов при промежуточных энергиях

В Главе 2 проводился анализ экспериментальной статистики методом нормированного размаха. Установлено, что для исследуемых динамических переменных A a, Ptma\ Ау как для реакции (2.1), так и для и (2.2) значения постоянных Херста достоверно превышают 0,5. В некоторых случаях это превышение значительно (Н= 0,7 + 0,8). Погрешности определения Н малы (-1%), причем для метода без усреднения они больше. Графики зависимостей нормированного размаха от запаздывания не совпадают с прямой соответствующей отсутствию корреляций (#= 0,5 и а=к/2). Результат получен с высокой достоверностью - обратную гипотезу можно принять лишь с очень малой вероятностью - в большинстве случаев менее 1% - см. таблицы 2.1.1-2.1.4. Как и следовало ожидать, для метода с усреднением они более сглажены и мало отличаются от прямой. Если усреднение не проводится, то график становится ломаным, и оказываются заметными участки статистики с различными коэффициентами наклона (Я).

Аналогичные по смыслу результаты получаются для адрон-адронных взаимодействий других видов: (2.3), (2.4), (2.5), (2.6). В этих случаях исследовались другие переменные, нежели для реакций (2.1) и (2.2) а также начальная энергия налетающих частиц и множественность в конечном состоянии были другими. Несмотря на это, соответствующие таблицы и графики указывают на значительные отклонения постоянной Херста в большую сторону от 0,5 почти во всех случаях.

Такая общность результатов позволяет заключить, что по крайней мере в исследуемых в данной работе экспериментах наблюдается фрактальность, определяющая корреляции последующих событий с предыдущими. Аналогичные результаты были получены ранее в предшествующих работах [72, 85-86].

Причины такого, как оказалось, распространенного, явления назвать затруднительно, поскольку условия проведения экспериментов предполагают абсолютную случайность и независимость актов взаимодействия частиц. С учетом того, что во-первых, мы имеем качественно одинаковые (//>0,5) результаты для различных реакций и различных переменных на статистике, полученной в разных лабораториях, во-вторых наблюдаем отсутствие подобного эффекта при моделировании подобных процессов, а в-третьих, замечаем что корреляции исчезают при перемешивании статистики - мы заключаем что обнаруженный эффект либо является следствием каких-то неизвестных физических законов, либо следствием неустановленного влияния экспериментатора (наблюдателя) на процесс. В любом случае оказывается что процессы взаимодействия частиц не являются информационно закрытыми, что открывает перед нами возможности дополнительных исследований, направленных на поиск причин этого информационного воздействия. Очевидно они должны представлять собой детальное изучение зависимости степени фрактальности процесса от физических условий, характеристик взаимодействующих частиц, а также от методики сбора данных и формирования рядов.

Тот факт, что коэффициент Н в нашем случае оказывается больше 0,5, подтверждает идею, высказанную самим Херстом [54] о том, что в природе не существует абсолютно случайных процессов и закрытых систем. Механизм же потери закрытости и случайности еще предстоит выяснить.

8.2. Моделирование рождения пионов при промежуточных энергиях

В Главе 3 мы исследовали двумя вариациями метода нормированного размаха шесть различных модельных наборов данных (три модели двух реакций). По сути модели повторяли эксперимент (2.1, 2.2), но только в идеальных условиях - исключались любые изменения начальных и внешних условий. Для полной аналогии рассматривались те же переменные, что и для экспериментальной статистики. Эта работа была призвана выяснить, не являются ли причинами возникновения корреляций различного рода тривиальные причины, например возникающие в результате действия законов сохранения и искусственных ограничений.

Общий вывод исследования можно сформулировать так: модели не описывают эксперимента по части проявления корреляций. Значения коэффициента Херста для всех моделей колеблются около 0,5 и какой-то обнадеживающей закономерности глядя на таблицы 3.2.1 - 3.2.12 выявить не удается. Максимальные значения Н - около 0,54 для метода с усреднением и около 0,58 для метода без усреднения, встречаются только для одной переменной (4у) в случае использования модели <<А/57Ж>> и все равно, даже в пределах погрешности не достигают экспериментальных значений. Учитывая проведенную в Главе 4 верификацию метода Херста и проведенное там исследование компьютерного генератора случайных чисел, используемого при моделировании, можно не сомневаться в сделанном выводе.

Таким образом, мы определили что технология формирования рядов данных (а именно - отбор только нужных событий с определенным числом и типом частиц в конечном состоянии, а также искусственное ограничение объема статистики - все это проводилось при подготовке рядов модельных данных) и фундаментальные законы сохранения, как предполагаемые причины возникновения корреляций, не оправдали себя. Это также указывает на несовершенство исследуемых моделей, в том смысле что они не учитывают ответственного за появление корреляций физического механизма. После логического анализа всей проделанной работы можно заявлять, что в качестве кандидатов на этот механизм могут выступать - либо неизвестные ранее свойства пространства, времени и материи, либо, что более всего вероятно - условия протекания исследуемых процессов. Например это может быть незначительное, но закономерное изменение энергии пучка пионов, вылетающих из ускорителя.

8.3. Проверка методологии исследований

Не следует забывать, что причиной обнаружения корреляций, кроме вышеперечисленных, могло бы быть несовершенство методики или воздействие причин, вызывающих ложные корреляции. Глава 4 была посвящена как раз этим проблемам - методологии и исследованию причин, могущих оказывать воздействие на значение Я.

Во-первых, было установлено что компьютерные генераторы случайных чисел действительно не являются чисто случайными - в выдаваемых ими рядах всегда присутствуют корреляции большей или меньшей степени, как и заявлялось разработчиками таких программ. Однако нельзя исключать того, что частично эти корреляции могут определяться ограниченностью исследуемого ряда, объемом выборки, поскольку, как было показано, с ростом последнего убывают как и Я, так и С. В рамках данной работы мы не сможем отделить одну причину от другой, поскольку для этого потребовалась бы статистика значительного объема, которую с уверенностью можно считать абсолютно случайной. Сбор такой статистики сам по себе является непростой задачей. Поэтому предлагается в качестве критерия-максимума неслучайности любого процесса, представленного рядом длины N считать среднее значение Я или С для random-ряда такой же длины.

Специальный поиск скрытых периодичностей (см. рисунки 4.1.1, 4.2.3

4.2.6) не дает определенного ответа на вопрос об их наличии в галдЬ/и-статистике.

По крайней мере можно уверенно утверждать, что при малых объемах выборки периодичности отсутствуют. При увеличении же длины ряда до 103 - 106 их наличие не исключено, на что указывает смещение коэффициента Херста, определенного методом без усреднения, в сторону антиперсистентности. Здесь же фактически проводится сравнение двух методов определения Я - с усреднением и без. Оказывается что каждый метод хорош по своему. Первый позволяет получить усредненную фрактальную характеристику всего ряда с хорошей точностью, и сглаживает тенденции в выборке, как, например, изменение условий эксперимента со временем, оставляя лишь чистую исследуемую переменную. Поэтому он используется в данной работе «по умолчанию». Второй метод выдает

115 глобальную» фрактальную характеристику, но с большей погрешностью, которая характеризует изменения Я внутри выборки.

Мы продолжаем эти рассуждения, изучая графики зависимостей постоянной Я от объема выборки. Для рядов полученных с помощью генератора случайных чисел, а также для модельных данных они представляют собой асимптотическое приближение Я к некоторому значению, близкому к 0,5. Колебания Я оказываются незначительными (по сравнению с 0,5). Иным образом выглядят аналогичные графики для экспериментальной статистики. Почти всегда они расположены над обозначенным выше уровнем критерия-максимума неслучайности. Асимптотического поведения не наблюдается - либо график близок к прямой, либо присутствуют значительные изменения коэффициента Херста с объемом выборки. Все это, вместе с изломанными графиками нормированного размаха от запаздывания (Глава 2) указывает на справедливость сделанного в конце предыдущего параграфа предположения. Если бы за возникновение корреляций были ответственны фундаментальные законы, вряд ли бы их степень (Я) значительно менялась на протяжении всей статистики. Скорее всего изменения Я, а значит и фрактальной размерности соответствующих графиков накопленного отклонения по мере нарастания объема выборки, определяются непостоянством условий проведения экспериментов - например, изменениями вида распределения энергии налетающих частиц.

В качестве проверки используемых методов выявления корреляций применяется альтернативный способ - стандартный. Он хоть и оказывается гораздо менее точным и чувствительным чем метод нормированного размаха, но позволяет уверенно утверждать, что статистика гат/от-генератора и моделей имеют примерно одинаковую степень автокоррелированности ряда (см. таблицы 4.1.3, 4.4.1-4.4.6, рис. 4.4.2, 4.4.3.), которая в пределах погрешности оказывается ниже значений коэффициентов автокорреляции для экспериментальной статистики (см. таблицы 4.4.7, 4.4.8, рис. 4.4.4). Более того, при произвольном перемешивании статистики С резко падает, что свидетельствует о действительности корреляций.

8.4. Установление самоподобия и класса анализируемых рядов

В Главе 5 производилась математическая идентификация исследуемой статистики для обеспечения математической строгости полученных ранее результатов. Некоторые выводы относительно характера изучаемых рядов уже были сделаны выше, а другие можно сделать основываясь на результатах предыдущих глав. Так очевидно, что в общем случае все рассматриваемые процессы, как реальные, так и модельные не могут считаться марковскими, исходя из определения последних: процесс является марковским, если вероятность достижения процессом определенного значения не зависит от его поведения в предыдущее время, то есть каждый шаг делается без какой-либо информации о том, каким образом процесс достиг текущего значения [12]. Все определенные коэффициенты Херста и коэффициенты корреляции в свете проделанных выше рассуждений о причинах корреляций указывают на наличие этой самой зависимости от того, как разворачивался процесс в прошлом. Лишь в некоторых случаях процессы, построенные с помощью генератора случайных чисел, дают значение Н совпадающее в пределах погрешности с 0,5. Эти конкретные ряды можно считать марковскими, но в общем случае как гапс1от-генератор, так и эксперимент проявляют немарковские свойства, причины которых лежат для первого варианта - в особенностях компьютерной программы, а для второго - по-видимому, в технологии эксперимента.

Установлено, что все процессы относятся к классу негауссовских. Это следует как непосредственно из физики самих процессов (алгоритмов их моделирования), так и из анализа формы соответствующих гистограмм. Несмотря на то что при проведении моделирования мы используем гапс1от-генератор, генерирующий распределенные по Гауссу случайные величины, из последних формируются другие переменные, обладающие отличным от нормального распределением. Если провести анализ вида распределений, подробности проведения которого в данной работе опущены, с использованием различных функциональных зависимостей для их оценки и применением метода наименьших квадратов, то можно убедиться, что формулы распределений для реакции (2.1) и г2 для реакции (2.2) с коэффициентами достоверности таковы: п

5) Для Ла: fix) - А, ехр(-а,х2)

6) Для Ptmax: f{x) = А2х"гХ ехр(-/?, -х)

7) Для f(x) = A}x'^exp(-ß2-x)

8) Для Лу: f{x) = А4 ехр(-а2х2) , где х>0, и А], An, A3, A4, а\, а% а], а2, ßl, ß2> - положительные параметры (различные для реакций (2.1) и (2.2)).

Далее переходим к вопросу о стационарности изучаемых рядов. Как известно, процесс считается стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени [71]. Для экспериментальной статистики рисунки 5.2.2 - 5.2.5 и 5.2.7 - 5.2.10 как раз указывают на то, что форма распределения вероятностей для исследуемых переменных не меняется со временем. Это же подтверждается численно в таблицах 5.2.2 и 5.2.4. Для модельной статистики специальное исследование не проводилось, поскольку алгоритм моделирования подразумевает неизменность закона распределения для всех характеристик процесса со временем.

Наконец, проводилось строгое определение фрактальности исследуемых нами объектов. Во-первых, было выяснено что размерность Минковского графиков накопленного отклонения во всех случаях (таблицы 5.2.1, 5.2.3) дробная, чего, согласно некоторым источникам, уже достаточно, чтобы признать такое множество фракталом. Во-вторых, размерность Хаусдорфа (совпадающая с размерностью Минковского) графиков накопленного отклонения больше топологической размерности (для ломаной линии она равна единице), а значит выполняется первое определение фрактала по Мандельброту. В-третьих, графики IgiNia)) от lg(a) очень близки к прямой, имеющей почти один и тот же наклон на протяжении трех и более порядков величины. Изменение масштаба статистики в пределах от 1 до 100 приводит лишь к незначительным изменениям размерности

Минковского, совпадающим в пределах погрешности для различных масштабов. Также вид распределений для исследуемой статистики почти не зависит от масштаба (см. соответствующие рисунки), о чем говорят близкие к единице 2 значения 11 в вышеуказанных таблицах. Таким образом, мы обнаруживаем п масштабную инвариантность и вероятностное самоподобие исследуемых процессов, что свидетельствует о выполнении второго определения фрактала по Мандельброту. Но стоит отметить что само определение Мандельброта (фракталом называется «структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [12]) не требует строгого доказательства самоподобия.

Даже если считать второе определение фрактала по Мандельброту для последнего случая сомнительным, другие определения для него, как было продемонстрировано, выполняются. Таким образом, исследуемые нами статистические объекты являются фракталами. Тем не менее, не стоит забывать, что в физике мы никогда не имеем дело с математически строгими фракталами, так как всегда имеются естественные ограничения по масштабу, в пределах которых объект можно считать фракталом.

8.5. Моделирование многократного рассеяния

В Главе 6 была разработана компьютерная модель процесса многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. Полученная с ее помощью статистика обрабатывалась методом Херста, в результате чего, при определенных и вполне реальных условиях, были обнаружены значительные корреляция между углами отклонения траектории от выбранной. Они оказывается особенно сильными при малых средних углах рассеяния частицы - траектория представляет собой почти гладкую кривую, схожую с дугой окружности (см. рис. 6.3.2). Когда <6> велико и достигает величины порядка л/4, что практически не наблюдается в экспериментальной практике (это уже диффузия частицы в веществе), траектория хаотична и похожа на броуновское движение (рис. 6.3.8), что подтверждается близкими к 0,5 коэффициентами Херста. Такая крайняя ситуация характерна для частиц с очень низкой энергией, и, соответственно, быстро ее теряющих, но практического смысла она не имеет. В данной работе потери энергии не учитывались, чтобы средний угол рассеяния не менялся на протяжении траектории. Для релятивистских частиц это вполне допустимо. Очевидно, что при учете снижения энергии <9> несколько увеличился бы, что повлекло бы за собой некоторое уменьшение И. Следующий важный вывод заключается в том, что показатель Херста и, стало быть, форма траектории не зависят от используемого типа модели - микроскопического или макроскопического. Они определяются только значением <0>. Этот факт дает возможность полагать, что хаотичность траектории не зависит от распределения углов рассеяния и от масштабного фактора, а определяется чем-то общим для обеих моделей, а скорее всего -кумулятивным характером угла содержащего в своем значении информацию об углах 0 для всех предыдущих актов рассеяния. Хотя ранее уже разъяснялся смысл обозначений и 0, еще раз подчеркнем, что первый - это угол отклонения траектории частицы от направления ее первоначального импульса (от оси 7), а 0 -угол, на который рассеивается частица после взаимодействия с ядром вещества. Также приведем рисунок, иллюстрирующий процесс многократного рассеяния с обозначением этих углов.

Рисунок 8.5.1

Анализ показывает, что в процессе рассеяния осуществляется связь (корреляция) между предыдущим и последующим углами отклонения траектории ч ч от направления первоначального импульса частицы (см. таблицу 6.3.1), в то время как углы рассеяния (0) - чисто случайные, некоррелированные величины (см. таблицу 6.3.2), что неудивительно, поскольку они определяются абсолютно независимыми (как закладывалось в модели) актами рассеяния. Математически такая связь реализуется с помощью матрицы перехода между системами координат (6.2.2). Каждый прямолинейный участок траектории в исходной системе координат образуется с помощью умножения случайного вектора свободного пробега на цепочку матриц типа (6.2.2), переводящих вектор в наши координаты через множество систем, связанных с предыдущими пробегами.

Рассмотрим теперь более подробно вопрос марковости процесса последовательного изменения угла Из вышеприведенного текста и рисунка понятно, что имеет место формула *¥„= 01+.+0„1, где 0/ независимы. То есть рассматриваемый процесс является процессом с независимыми приращениями, как и, например, классическое (а не обобщенное!) броуновское движение. А в [12] мы прямо видим: «броуновское движение, как и любой процесс с независимыми приращениями, есть марковский процесс». Обратимся к приведенному там же определению: процесс является марковским, если «условная вероятность события «Д^) достигает определенного значения при данном значении Д^)» зависит только от и Ь- Эта вероятность не зависит от поведения Д/) при К t^ , то есть в процессе случайного блуждания каждый шаг делается без какой-либо информации о том, каким образом процесс достиг текущего значения». Именно так и происходит многократное рассеяние - каждый последующий акт рассеяния происходит без какой-либо информации о прошлом (см. выше). Таким образом, согласно определению, последовательное изменение угла - это марковский процесс. Однако такой вывод может вызвать недоумение, поскольку еще недавно мы говорили о наличии в процессе многократного рассеяния корреляций и отличия Н от 0,5. Рассмотрим этот момент подробнее, проводя прямую аналогию с процессом броуновского движения. В [5] говорится следующее: «фрактальное броуновское движение не является марковским процессом, за исключением случая #=0,5». Здесь Н - коэффициент Херста, рассчитываемый для ряда последовательных приращений координаты броуновской частицы. Его отличие от 0,5 свидетельствует о наличии корреляции, связи между последовательными приращениями координаты. Это и означает немарковость (см. выше определение марковского процесса). Рассчитаем же теперь коэффициент Херста для ряда самих значений координаты броуновской частицы. Хотя в данной работе и не проводилось отдельного исследования по этому вопросу, можно показать, что Я для ряда самих значений координаты будет близок к единице, причем независимо от значения Я для приращений координаты. И это неудивительно, поскольку сами значения координаты в любом процессе с последовательными приращениями всегда зависимы - каждая последующая координата есть предыдущая плюс случайный добавок. В случае многократного рассеяния аналогом броуновской координаты выступает угол % а аналогом приращения - 0: ¥„= 01+.+0Л,1. Поскольку в, всегда независимы (см. таблицу 6.3.2), марковость процесса не вызывает сомнения.

Теперь же попытаемся определить почему степень корреляции (Я) между зависит от <0> именно таким образом, как было обнаружено (см. таблицу 6.3.1). Начнем с того, что угол Ч7 - величина изначально ограниченная и меняющаяся в некотором коридоре -а до а, где а определяется начальной энергией частицы и характеристиками среды. При больших средних углах рассеяния <0> случайные колебания угла У от одной границы этого коридора до другой будут значительными, порядка самого значения угла *Р. Это фактически будет означать независимость последовательных значений а значит Я будет около 0,5. Если же распределение <0> становится чрезвычайно «зажатым» (<0> « л), то коридор случайных колебаний ¥ сужается (а<< ¡Ч1!). Это значит что между последовательными значениями ¥ усиливается зависимость (вклад случайной компоненты становится все меньше и меньше), и поэтому Я приближается к единице.

Рассмотрим теперь приращения координат частицы, испытывающей многократное рассеяние. Они очевидно определяются углами отклонения от соответствующих осей. Например, как видно из рисунка 8.5.1, Д£(. = г( -соз^,),

122 где АД - приращение координаты 2 в /-м акте рассеяния, гь - пробег частицы (независимая случайная величина) в веществе в /-м акте рассеяния, а - угол отклонения от оси 1 в /-м акте рассеяния. А это значит что если углы отклонения от осей (в данном случае 4*) коррелированны, то и приращения координат тоже будут коррелированны в соответствующей степени (см. таблицу 6.3.3). Как известно [12], процесс с коррелированными приращениями не является марковским. Таким образом мы приходим к любопытному и парадоксальному, казалось бы, выводу: процесс многократного рассеяния частицы в веществе в смысле изменения координат частицы является немарковским, а в смысле изменения угла наклона траектории частицы к выбранной оси - марковский.

Проведенная в Главе 6 работа вряд ли поможет непосредственно ответить на вопрос о причинах корреляций, обнаруженных для адрон-адронных взаимодействий, поскольку здесь нельзя провести простую аналогию. В последнем случае мы имеем дело с последовательностью независимых случайных событий для разных частиц, а в первом - со случайными независимыми изменениями характеристик одной частицы, которая, как было показано, может частично «запоминать» свои предыдущие состояния. Действительно, например А2Я -гп -соб^), где то есть каждое приращение каждой координаты частицы, испытывающей многократное рассеяние заключает в себе всю историю процесса в виде значений углов рассеяния 0Ь. , 1. Здесь материальный объект - частица - является физическим носителем собственной истории.

8.6. Определение дифференциальных уравнений для описания исследуемых процессов

Наконец, рассмотрим результаты Главы 7. В ней показано, что со временем, то есть, по мере увеличения числа слагаемых в суммах последовательных членов временных рядов исследуемой статистики, распределения всех этих сумм приближаются к распределению для ФБД, процесс которого характеризуется переходной вероятностью (7.3.1). В случае если математическое ожидание исследуемой величины не равно нулю, то эта вероятность принимает вид (7.3.3).

Вычислив —, — и —£ можно легко показать, что р является решением

5/ ах дх~ уравнения диффузии (Фоккера-Планка) которое имеет вид (7.3.2).

Таким образом можно предложить рассмотрение исследуемых стохастических процессов в качестве случайных блужданий в пространстве выбранных переменных (при 1).

Рассмотрим подробнее уравнение 7.3.2 для ФБД. Как известно, в случае полного отсутствия корреляций во временных рядах (классическое броуновское д2/ движение), Н=0,5. При этом, очевидно, коэффициентом перед будет просто

2 ^ коэффициент диффузии Д равный в нашем случае —. Тогда 2H(t-t0У -й можно назвать обобщенным коэффициентом диффузии и обозначить как Следует отметить что множитель сг2(/-/0)2// соответствует дисперсии и всегда имеет размерность координаты в квадрате, поэтому проблем с размерностью в выражении 7.3.2 при различных значениях Я не возникнет. Итак, обобщенное з/ . а2/ др уравнение Фоккера-Планка можно записать как ~ •

Коэффициент М (математическое ожидание исследуемой величины) по аналогии с реальным процессом диффузии здесь можно рассматривать в качестве характеристики сопротивления (постоянного смещения). Особое свойство коэффициента П заключается в том, что при возникновении корреляций, диффузия вдруг приобретает зависимость от времени, и в крайнем случае, когда Н= 1, зависит от него линейно. Такое свойство представляется закономерным, поскольку физический смысл коэффициента диффузии - это квадрат смещения вдоль оси х за время I. Очевидно, что чем ближе к единице Я, тем более гладкая будет «траектория» изменения х и тем дальше она будет уходить со временем от 0. Проанализируем, можно ли объяснить возникновение зависимости от времени изменением самого D. Если х - координата, то коэффициент диффузии, как известно [ПО], задается формулой:

6 ЛТ]Г где rj - вязкость среды, г - радиус броуновской частицы. Очевидно, что в случае наличия ФБД при неизменных условиях эксперимента, изменение со временем любого из множителей в этой формуле кажется невероятным. Но даже если допустить положим, рост температуры со временем, то это даст увеличение D засчет роста амплитуды колебаний броуновской частицы и не объяснит изменения вида траектории, например, то что она становится более гладкой с ростом Н.

Обобщенный коэффициент диффузии D', помимо универсальных констант и констант, характеризующих среду, включает в себя еще и постоянную Н, определяющую степень корреляций между предыдущими и последующими событиями. Очевидно что она, так же как и Д определяется физикой самого процесса. Не следует забывать, что параметры обобщенного уравнения диффузии, в том числе и Н, сами могут зависеть от времени, поэтому его вид 7.3.2 следует считать справедливым лишь на том временном отрезке, на котором условия протекания процесса можно считать неизменными.

Таким образом, уравнение 7.3.2, определяющее характеристики процесса, а не отдельной частицы, кроме того что выявляет фрактальный характер процесса, реализует новый, статистический, подход к описанию взаимодействий в микроскопической физике [111]. Параметры же о, Н и М представляют собой ни что иное как функции от усредненных по всему процессу характеристик отдельных взаимодействий, а соответственно, являются аналогами температуры в термодинамических уравнениях. Отсюда ясно что чтобы дать окончательный ответ на вопрос о природе корреляций в исследуемых адрон-адронных взаимодействиях, необходимо провести дополнительные исследования, имея возможность изменять характеристики налетающего пучка и мишени ли же имея полную соответствующую статистику с исчерпывающим описанием условий эксперимента.

Заключение

В качестве основных результатов выполненной работы можно выделить следующие:

1. Проведен статистический анализ методом нормированного размаха (метод Херста-Мандельброта) упорядоченных по времени рядов измерений кинематических переменных дифракционно-подобных реакций

7Г+ + р —» р + 2 7Г+ п, тС+рр + 2%+ ж~ в области промежуточных энергий. Подобный анализ в экспериментальной физике ядра и частиц проведен впервые.

2. Установлена фрактальная структура исследованных рядов, определены значения показателей Херста, свидетельствующие о наличии в рядах дальних корреляций (персистентность).

3. Было выполнено моделирование исследуемых процессов с помощью генераторов РгШо/, \Jzhinsky. Установлено что в модельных рядах данных корреляции не проявляются.

4. Проведено моделирование процесса многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. Установлено наличие фрактальности и корреляций в рядах данных, описывающих траекторию такой частицы. Показано что в данном случае степень фрактальности определенным образом зависит от физических характеристик исследуемой системы.

5. Проведено исследование влияния используемых компьютерных генераторов псевдослучайных чисел на полученные результаты. Установлено что оно является несущественным.

6. Определены статистические свойства рядов измерений, рассматриваемых как стохастические процессы. Установлено, что они являются стационарными, негауссовыми и немарковскими. Определен вид распределений для исследуемых случайных величин.

7. Проведено математическое доказательство фрактальности исследуемой статистики. Результаты метода Херста проверены с помощью расчета размерностей Минковского. Установлено свойство вероятностного самоподобия изученных рядов измерений.

8. Результаты метода Херста проверены с помощью стандартного метода -расчета коэффициентов корреляции. Продемонстрирована более высокая точность первого метода определения корреляций в рядах данных по отношению к последнему.

9. Показано что анализируемые данные могут быть представлены как результат случайных блужданий в пространстве выбранных переменных и воспроизведены моделью фрактального броуновского движения. Процессы оказываются аналогичными диффузии и описываются уравнением Фоккера-Планка, где коэффициент Херста полностью определяет характер диффузии. Информация о зависимости этого параметра от условий протекания для конкретных физических процессов открывает возможности предсказания их поведения.

Ю.Проделанная работа впервые дает экспериментальное подтверждение открытости систем взаимодействующих в исследованных реакциях частиц (к+р, к+р), которые очевидно испытывают воздействие окружения, т.е. условий в которых протекает процесс. Также не могут быть исключены и влияния информации, которые появляются в процессе переработки первоначальных экспериментальных данных.

11.По результатам работы выполнено 11 печатных научных работ [68, 69, 112120], в том числе три статьи в научных журналах, препринты, тезисы докладов в сборниках научных трудов конференций, в том числе международных. Работа многократно обсуждалась на научных семинарах кафедр МИФИ, в ОИЯИ.

Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю, профессору Феликсу Михайловичу Сергееву за теплую человеческую поддержку, за переданные глубокие знания и мудрые советы, за заразительный и неугасающий энтузиазм по отношению к теме моей работы.

Выражаю глубокую признательность профессору Александру Климентьевичу Поносову за доброту, поддержку и помощь в поиске экспериментальных данных, в участии в конференциях, при подготовке публикаций.

Благодарю уважаемых членов научно-технического совета кафедры №7 проф. Петрухина A.A., проф. Кокоулина Р.П., проф. Гальпера A.M., доц. Юркина Ю.Т., доц. Колдашова C.B. за конструктивную критику и важные замечания, которые помогли мне доработать диссертацию.

Хочу сердечно поблагодарить доцента кафедры высшей математики Сандракову Елизавету Васильевну, определившую начало моего научного пути, за доброе отношение и математические знания, необходимые для моей работы.

Говорю искреннее спасибо всем своим бывшим и нынешним коллегам: И.В. Болотину, A.C. Борчикову, О.В. Булекову, И.А. Рубинскому, C.B. Федосееву за свежие идеи, плодотворные обсуждения исследуемой проблемы, за помощь в моделировании и обработке данных и в подготовке компьютерных программ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моисеенко, Александр Васильевич, 2007 год

1. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.

2. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

3. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman, 1982.

4. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. San Francisco, W.H. Freeman, 1977.

5. Mandelbrot B.B. //J.Stat.Phys. 1983. V.34. P.895.

6. Mandelbrot B.B. Fractals and multifractals: noise, turbulence and galaxies. New York, Springer, 1988.

7. Mandelbrot B.B. Fractals and Scaling in Finance. New York, Springer, 1997.

8. Mandelbrot B.B., Van Ness J.W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. SI AM Rev. 1968. № 10, p. 422-437.

9. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. Монография. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 105 с.

10. Ю.Встовский Г.В. Элементы информационной физики. Москва: РИЦ МГИУ, 2002. 257 с.1 l.Vstovsky G.V. Foundations of Physics, 1997, 27, N10, p.1413-1444.

11. Кроновер P. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000.

12. Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993.

13. Barnsley M.F. Fractals everywhere. New York: Academic press, 1988.

14. Bjorken J.D. Fractal phase space as a diagnostic tool for high-energy multijet processes. Physical Review, 1992. V. 45, № 11, p. 4077-4087.

15. Поликарпов М.И. Фракталы, топологические дефекты и невылетание в решёточных калибровочных теориях. // Успехи физических наук, 1995. Том 165, №6. С. 627-643.

16. Sprott J.C. Chaos and Time-Series Analysis. Oxford: University Press, 2003.

17. Жиков B.B. Фракталы. Соросовский образовательный журнал, №12, 1996, С. 109-117.

18. Лагутин A.A., Никулин Ю.А. Флуктуации космических лучей в Галактике.

19. Барнаул, 1993. 26 с. - (Препринт АГУ; 93/2). 24.Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // УФН. 1987. Т. 152. С.3-32.

20. Mandelbrot B.B.//J. Fluid Mech. 1974. V. 62. P. 331.

21. Frisch U., Sulem P., Nellan M.//Ibidem. 1978. V.87. P. 719.

22. Михайлов Е.Ф., Власенко C.C. // УФН. 1995. Т. 165. N3.

23. Кликушин Ю.Н. // Журнал радиоэлектроники. 2000. N4. С. 1-12.

24. Смирнов Б.М. // УФН. 1987. Т.152. С.133-157.

25. Vstovsky G.V.// Phys.Lett.A, 1992,165, N1, р.41-46.

26. Де Вольф Э.А., Дремин И.М., КиттельВ. //УФН, 1991, Т. 163, с.З.

27. Bialas A., Peschanski R. //Nuclear Physics. 1986. V. В273. P.703.

28. De Wolf E.A., Dremin I.M., Kittel W. //Phys.Rep. 1996, V.270. P.l.

29. Dremin I.M. // Modern Phys. Lett. 1993, V.A8, p.2747.

30. Потапов A.A., Герман В.A. // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. С. 19.

31. Реутов А.П., Потапов A.A., Герман В.А. // Нелинейный мир. 2003. Т.1. N1-2. С.12.

32. Потапов A.A. // Proceedings of The International Conference MSS-0423-25 November 2004. Москва. 2004. С. 508.

33. Дремин И.М. // УФН. 1994. Т. 164. С.785.

34. Дремин И.М. // УФН. 2002. Т. 172. С.551.

35. Dokshitzer Yu.L., Dremin I.M. //Nucl.Phys. 1993. V.B402. P. 139.

36. Дремин И.М., Назиров М.Т. //ЯФ. 1992. Т.55. С. 197.

37. Hwa R.C. // Phys.Rev. 1993. V.D47. Р.2773.

38. Brax A., Peschanski R.V. Levy stable law description of intermittent behaviour and quark-gluon plasma phase transitions//Phys. Lett. B. 1991. V.253. P.225-230.

39. Gustafson G. // Phys. Lett. 1986. V. В175, P. 453.

40. Andersson В., Dahlqvist P., Gustafson G. // Phys. Lett. 1988. V. B214. P. 604.

41. Tokarev M.V. // E2-2003-200, Дубна 2003, Proceedings of the 7-th International workshop "Relativistic Nuclear Physics". August 25-30, 2003.

42. Singh G., Jain P.L. // Phys. Rev. C. V.50. N5. P.2508.

43. Clemente M., et al // Phys. Lett. 1984. V.137B. P.41.

44. Cowan Т., et al // Phys. Rev. Lett. 1985. V.54. P. 1761.

45. Tsertos H., et al // Phys. Lett. 1985. V.162B. P.273.51 .Danzmann K., et al // Phys. Rev. Lett. 1987. V.59. P. 1885.

46. F.W.N de Boer, R. van Danzig // Phys. Rev. Lett. 1988. V.61. P. 1274.

47. Hurst H.E., Black R.P., Simaika Y.M. // Long-term storage: an experimental study. London, Constable. 1965.

48. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991.

49. Михайличенко В.И. и др. Препринт ИТЭФ 79-94, Москва, 1994.

50. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972.

51. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1987.

52. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.

53. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965.

54. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. В. 2. С. 269-277.

55. Aharonov Y., Albert D. // Phys. Rev. 1981. V.D24, P.359.

56. Zurek W.H. // Ann. N.Y.Acad.Sci. 1986. V.480. P.89.

57. Namiki M., Pascazio S., Schiller CM Phys. Lett. A. 1994. V.187. P. 17.

58. Unruh W.C., Zurek W.H. //Phys.Rev. D. 1989. V.40. P. 1071.

59. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М.: УФН, 1999. (Броуновское движение, УФ-П).бб.Энциклопедический словарь. Вероятность и математическая статистика. М.: Большая российская энциклопедия, 2003.

60. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.

61. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Многократное рассеяние как фрактальный диффузионный процесс». III конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2005, С.9-11.

62. Чистяков В.П. Курс теории вероятности. М.: Наука, 1982.

63. Демидов B.C., Михайличенко В.И. и др. Препринт №42/ ИТЭФ, М., 1999.

64. Дьяконов В. Matlab. Обработка сигналов и изображений. С.-П.: Питер, 2001.

65. Bialas A., Peschanski R. //Nuclear Physics. 1988. V. В308. P. 857-867.

66. Дремин И.M. Перемежаемость и фрактальность в процессах множественного рождения частиц//УФН. 1987. Т.152. С.531-539.

67. Дремин И.М.// Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 45. No. 11; Preprint CERN-TH. 4693/87. Jeneva, 1987.

68. Дремин И. M. Дальние корреляции частиц и вейвлеты // УФН. 2000. Т. 170, С. 1235-1244.

69. Логу нов A.A. Корреляции и флуктуации в процессах множественного рождения частиц// УФН. 1990. Т. 160, С. 801.

70. Ангелов Н., Любимов В., Тогоо Р. //Краткие сообщения ОИЯИ. 1991. N1 47. С.27.

71. Lebedev I. A. and Shaikhatdenov B.G., The Use of the Hurst Method for Rapidity Correlation Analysis// J. Phys. G: Part. Phys.: v.23, 1997.

72. Lebedev I. A., New Method for Analysis of Correlations in Multiparticle Processes// Physics of Atomic Nuclei:v.60, N 7,1997.

73. Qin L., Ta-Chung M. Direct evidence for the validity of Hurst's empirical law in hadron production processes // Phys. rev. D. 2005. vol. 72, Issue 1, id. 014011

74. Балдин A.H., Балдин A.A. Релятивистская ядерная физика: пространство относительных 4-скоростей, симметрии решений, принцип ослабления корреляций, подобие, промежуточные асимптотики. Дубна: Р2-97-309, 1997.

75. Федосеев С.В. Пояснительная записка к дипломному проекту на тему: Фрактальные свойства рядов измерений для адрон-адронных реакций. МИФИ, 2002.

76. Михайличенко В.И. и др. Препринт №21/ИТЭФ, М., 1999.86.0короков В.А., Поносов А.К. и др./Инженерная физика, М., 2000, N2,1. С.2-8.

77. Барашенков B.C., Тонеев В.Д. Взаимодействия высокоэнергетических частиц и атомных ядер с ядрами. М.: Атомиздат, 1972.

78. Hong P. An event generator for interactions between hadrons and nuclei FRITIOF version 7, University of Lund, Lund, Sweden, 1993.

79. V.D.Toneev, K.K.Gudima, Nucl. Phys. A400 (1983).

80. P. Danielewicz, G.F. Bertsch, Nucl. Phys. A533 (1991).

81. Теребиж В.Ю. Анализ временных рядов в астрофизике. М.: Наука, 1992.

82. Росси Б. Частицы больших энергий. М.: ГИТТЛ, 1955.

83. Беленький С.З. Лавинные процессы в космических лучах. М.: Гостехиздат, 1948.

84. Компанеец А.С. ЖЭТФ, 1945. №15, с.235.

85. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986.

86. Scott. М.В., Snyder H.S. //Phys. Rev. С. 1950. V. 78. P 223.

87. Scott M.B. //Phys. Rev. С. 1949. V. 76. P. 212.

88. Luebke E.A. et al. //Phys. Rev. C. 1947. V. 71 P. 649.

89. Александров Ю.А., Воронов Г.С. и др. Пузырьковые камеры. М.: Госатомиздат, 1963.

90. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976.

91. Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика. М.: Энергоатомиздат, 1983.

92. Сегре Э. Экспериментальная ядерная физика. М.: ИЛ, 1955.

93. Bershadskii A. Some generalization of self-similarity. Europhysics Letters, Volume 39, Issue 6, September II 1997, pp.587-592.

94. Risken H. The Fokker-Plank Equation: Methods of Solution and Application, Springer-Verlag, New York, 1996.

95. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. // УФН. 1985. T. 146. С.493-506.

96. Смирнов Б.M. // УФН. 1986. Т.149. С.177.

97. Соколов И.М. // УФН. 1986. Т.150. С.221.

98. O'Shaughnessy В., Procaccia I.//Phys. Rev. Lett. 1985. V.54. P. 455.

99. Батунин А. В., Фрактальный анализ и универсальность Фейгенбаума в физике адронов // УФН. 1995. Т. 165. С.645-660.

100. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1976. (случайные блуждания, диффузия).

101. Пригожин И., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени М.: УРСС, 2003.

102. Борчиков A.C. и др. Препринт 005-03/ МИФИ, М., 2003.

103. Моисеенко A.B. и др. // LUI Международное совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра, Тезисы докладов, СпбУ., 2003, С.227.

104. Борчиков A.C. и др. II II конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2004, С.12-13.

105. Булеков О.В. и др. // II конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2004, С.14-15.

106. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Фрактальные диффузионные процессы в физике частиц». III конференция научно-образовательного центра CRDF, Сборник научных трудов, М., 2005, С.11-13.

107. Моисеенко A.B. «Исследование генераторов случайных чисел на наличие корреляций методом Херста». Препринт 009-2005/ МИФИ, М., 2005.

108. Булеков О.В. и др. «Фрактальность в адрон-адронных взаимодействиях». Научная сессия МИФИ-2006, Сборник научных трудов, Том 7, М., 2006, С. 148149.

109. Моисеенко A.B. «R/S-анализ компьютерных генераторов случайных чисел» // Инженерная физика. 2006. №1. С.56-59.

110. Моисеенко A.B., Сергеев Ф.М. «Фрактальные диффузионные процессы в физике частиц» // Письма в ЭЧАЯ, 2007, т.4, №3(139), С.371-381.