Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гачаев, Ахмед Магомедович

• Гачаев, Ахмед Магомедович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гачаев, Ахмед Магомедович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка и сопутствующие им интегральные операторы

§1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках.

§ 1.3.0 качественных свойствах несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнениями в частных производных смешанного типа.

§ 1.4. Об одном операторе, сопутствующем дифференциальному уравнению дробного порядка.

§ 1.5. Области в комплексной плоскости, где нет собственных значений оператора дробного интегрирования.

§ 1.6. Об одном способе приближенного решения уравнений дробного порядка.

§ 1.7. Применение операционного исчисления к решению краевых задач для дифференциального уравнения дробного порядка

ГЛАВА 2. Некоторые вопросы полноты систем собственных функций операторов дробного дифференцирования

§ 2.1.0 полноте систем собственных функций оператора дробного дифференцирования.

§ 2.2. О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах.

ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений дробного порядка

§ 3.1. Модель деформационно-прочностных характеристик одного класса полимеров на основе производных дробного порядка

§ 3.2. Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы»

В связи с важными проблемами уравнений в частных производных смешанного типа и газовой динамики трансзвуковых течений за последние годы существенно возрос интерес к краевым задачам для дифференциальных уравнений дробного порядка. Тому подтверждение монография A.M. Нахушева [75], посвященная основополагающим элементам дробного исчисления и их приложениям к проблемам математического моделирования различных процессов в живых и неживых системах с фрактальной структурой и памятью. Интенсификации фундаментальных и прикладных исследований в области дробного дифференциального исчисления значительно способствовали проблеме описания нелокальных краевых задач со смещением для основных типов уравнений математической физики и биологии [78], выход в свет в 1972 г. книги "Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений" коллектива авторов Х.Г. Бжихатлова, И.М. Карасева, И.П. Лесковского, A.M. Нахушева [21], а также весьма содержательного обобщающего труда С.Г. Самко, A.A. Килбаса и O.A. Мари-чева "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", изданного в г. Минске в 1987 г. [91]. Необходимость развития теории дифференциальных уравнений сделала востребованными монографии Ю.И. Бабенко "Тепло- массообмеи. Метод расчета тепловых и диф-фузионых потоков" [1G] и "The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order) "[104] авторов Oldham Keitk В., Spanier Jerome, которая вышла в Лондоне в 1974 г.

Фундаментальное значение в развитии теории дифференциальных уравнений дробного порядка и ее прикладных аспектов безусловно сыграют монографии В.А. Нахушевой [84], A.B. Псху [88], Л.И.Сербииой [93].

Существуют различные определения операции дробного интегрирования и дифференцирования, которые для достаточного гладких функций, как правило, совпадают.

В предлагаемой работе эти операции понимаются в смысле Римана-Лиувилля и следуя A.M. Нахушеву [75] оператор дробного иптегродиффе-ренцирования порядка а с началом в точке а € M и с концом в точке X G R порядка |а|, действующего на функцию (p{t) G L[A, В] по переменной t, обозначается через D%x. По определению X sign (я —a) f (p(t)dt

Г(-а) J (x-t)a+v а < О,

DaMt) = p(t), а = О, я[а]+1

BignW+1 (х - а > О, где [а] - целая часть а, которая удовлетворяет неравенству [а] < а < [а]+1; Г(г) - гамма-функция Эйлера; а,х 6 [А, В].

При 0 < а < 1 класс функций и = и(х), представимых в виде и(х) = с(х - a)a~l + D^f[t, u(t)}, с = const, (1) f[x,u(x)] е L[a, b] порождает обыкновенное дифференциальное уравнение порядка а:

Daaxu(t) = fM а<х<Ъ. (2)

В частности, интегральное уравнение Абеля [98]

Д27М = 0 < а < 1, а < х <Ь (3) в случае, когда дробный интеграл D%~lu(t) от правой части и(х) является абсолютно непрерывным на сегменте [а, Ь] порождает следующее простейшее дифференциальное уравнение дробного порядка

0ХО = f(x). (4)

Через ACQ-1[a, b] обозначим класс функций и(х), представленный в виде (1). При а = 1 этот класс совпадает с классом АС[а,Ь].

В силу (1) для уравнения (2) можно задать видоизмененное начальное условие т(х-а)1~аи(х) = С. (5)

Поскольку - a)Q1 = Г (а) условие (5) можно заменить нелокальным условием

ИтГ^г^НСь (б) х-*а где С\, как и С, - заданное число.

Уравнение (4), как формула обращения уравнения Абеля (3), является первоосновой теории дифференциальных уравнений произвольного порядка, хотя предполагается (см. [91, с.615]), что началом развития этой теории следует считать дискуссию о способах решения уравнения xDl!2u = и. (7)

Здесь D\^u(t) - дробная производная порядка 1/2 от функции и = и(х).

Так как

1/2«№] = xD^'2u{t) + D~0lJ\(t), то замена v = DQ^2u(t) G АС[0, b] связывает (7) с вырождающимся при х = 0 дифференциальным уравнением первого порядка xv)' - Dl£v(t) = v(x), 0 <x<b.

Задаче Коши как в локальной, так и в нелокальной постановках для уравнений вида (2) с произвольным а > 0 посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей.

При 0 < а < 1 задачу (2), (5) принято называть задачей Коши в локальной постановке, а задачу (2), (б) - задачей Коши в нелокальной постановке.

Задаче Коши в локальной (в том числе классической) и нелокальной постановках для уравнения вида (2) посвящено значительное число работ. Среди работ последних лет следует отметить работы A.A. Килбаса и С.М. Марзана [61], A.A. Ворошилова и A.A. Килбаса [24], В.М. Головизнина и И.А. Короткина [39], В.А. Чадаева [95], [96].

В работах М.М. Држбашяна [40]-[49] исследованы задача типа Коши и задача типа Штурма-Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Диссертационная работа выполнена в этом направлении. Здесь исследуются вопросы существования и единственности решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках, а также доказана теорема существования и единственности решения задачи Трикоми с нелокальным условием сопряжения и изучены качественные свойства несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа. Исследованы вопросы полноты системы собственных функций краевых задач для дифференциальных операторов дробного порядка.

Подобные проблемы находятся в настоящее время в центре внимания многих исследователей, работающих в области дробного интегродиффе-ренцирования и его приложений.

Справедливо отмечено в монографии A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение"(2003 г.) ". дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред".

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены исследования Алероева Т.С. [1]—[15], Барретта Д.Х. [100], Вольтерра В. [23], Ви-мана А. [106], Глушака A.B. [ЗТ]—[38], Джрбашяна М.М. [40]-[47], Зарубина А.Н., Карасева A.A., Килбаса A.A. [91], Летникова A.B., Маричева О.И. [91], Нахушева A.M. [75]-[83], Нахушевой В.А. [81]-[85], Нерсесяна A.B. [48]—[49], Псху A.B. [88], Репина O.A., Самко С.Г. [91], Сербиной Л.И. [93].

Вопросы распределения нулей функции типа Миттаг-Леффлера исследованы многими авторами (см. Wiman А. [106], Седлецкий A.M. [87],

92], Попов А.Ю. [86]-[87], Псху A.B. [89]).

Содержательность класса целых функций типа Миттаг-Леффлера и его асимптотические свойства объясняют интерес к вопросу о вещественных нулях, тесно связанному с разрешимостью спектральных задач для уравнений дробного порядка, рассматривался в работах Алероева Т.С. [3]-[15], Джрбашяпа М.М. [41]-[43], Нахушева A.M. [75]-[83]), Нерсесяпа A.B.

48]—[49], Попова АЛО. [86]-[87], Псху A.B. [89], Седлецкого A.M. [87], [92].

Работа состоит из трех глав, посвященных исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующих интегральных операторов.

Сформулируем основные результаты диссертации.

В первой главе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующие интегральные операторы.

Пусть: 7 = {7о>7ь72} ~ точка из трехмерного евклидова пространства Ж3 с координатами jj б]0,1], j = 0,1,2 ; (Jk = Yh Ъ~ ^ ^Jfe = ¿Hfe + l> к = 0,1,2; р = 1/сг2 > 0, Dqx - оператор дробного дифференцирования порядка \ц\ с началом в точке 0, который действует на функцию (р(х) из области его определения D(Dqx) С L[0,1], где Г(г) - гамма-функция Эйлера; L[0,1] - пространство абсолютно суммируемых функций; к з=о х 0 n/¿дхШ 0х

9М+1

Введем интегродифференциальные операторы пыт = = 1 /

J[ dx-V-ъУ ~ Г(1 - 7о) J (хо

DMf{x) = = 1 Г imL. n dx-^dxK1^)-Г{1-ъ) J (x-t)*' o

-(o) ¿P ¿-(p-a) где p - 1 < a < p = 1,2,.;

-(I-72) ¿7i ¿7o

Предполагается, что эти операторы имеют смысл, по крайней мере, почти всюду на [0,1].

Легко видеть, что D^f(x) = ^qTVM > & = 0,1; d"(a) f ЛИ DU(t), Н - 1 <а<р= Ы;

DMf(x) = D¡r1D¡lD¡¡f(n).

Рассматривается следующая задача: найти решение и(х) уравнения

D{<J2)u(x) - [Л + q(x)]u(x) = 0, (8) где А - спектральный параметр, q(x) £ С[0,1], из класса С]0,1] П L[0,1], удовлетворяющее видоизмененному (локальному) начальному условию Ко-ши

Hm x^uix) = So, lim W " = Slf (9) где 7o > 1 — 72, а и 51 - заданные числа.

Решение задачи (8)-(9) ищется в классе С<$[0,1] функций, представи-мых в виде v{x)x~5, где v(x) Е С[0,1], 5 = const < 1. Доказана

Теорема 1.1. Пусть q(x) удовлетворяет условию Липшица. Тогда в классе Cj[0,1] задача (8)-(9) имеет и притом единственное решение и = и(х).

Рассматривается задача: Найти решение и(х) уравнения dlu(t) = [X + g(x)}u(x), (10) где дЦ. = - регуляризованный оператор дробного дифференцирования порядка 7i с началом в точке 0 и с концом в точке х из класса С[0,1] П С1]0,1], удовлетворяющее краевым условиям tl(0) = 60i U( 1) = ¿2, (11) где ¿о и S2 ~ заданные числа. Доказаны

Теорема 1.2. Пусть q(x) € С^О, 1] u q'{x) > 0, Л > -д(0). Тогда задача (10)-(И) безусловно и однозначно разрешима. Теорема 1.3. Пусть q(x) = const. Тогда условие

Ер{\', 02) ф 0, А > -д(0) (12) является необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости задачи (10) —(11). При выполнении условия (12) её решение и(х) определяется формулой и(х) = S0Ep{Xqx^ 1) + хъEp(\qxa2] а2){52 - S0Ep(Xq] 1 )}/Ep(Xq] а2).

Теорема 1.4. Пусть q(x) = const, Ep{Xq, 1) ф 0. Тогда смешанная задача и(х)-и(0) lin£-= U(l) = S2, z-Ю Xai для уравнения

D£u'(t) = [\ + q(x)]u(x)t (13) имеет единственное решение и{х) = 50Ep(Xqx^] 1) + 51T{a2)Ep(Xqxa2-, а2)ха\ где о = [62 ~ SiT{a2)Ep{Xq; a2)]/Ep(Xq] 1).

Теорема 1.5. Задача Коши и(0) = ¿о эквивалентна интегральному уравнению Вольтерра второго рода

U(X) = SaXaoEp{XqXa2-fIo) ~ CaXaiEp(\qXa'lHi) +

T(g2)D-°*Ep[Xq(x - tf^MMt), (14) где sa = ^оГ(до) и ca = —- произвольные постоянные, Xq — А+<?(0), q0{x) = q(x) - g(0),

00 и zk k=0

- функция типа Миттаг-Леффлера по терминологии М.М. Доюрбашяпа, которое в классе С[0,1] всегда разрешимо и притом единственным образом.

При q(x) = const решение и(х) задаётся формулой и{х) = 6о[1 + Xqx^Ep(Xqx^; 1 +12)). (15)

Уравнение (8) при 70 = 71 = 1, 72 = а — 1 переходит в уравнение + (16) где 8qx = Dq~2^ - оператор, область определения которого принадлежит классу 52[0,1] всех функций и(х), измеримых на [0,1] вместе со своими производными до второго порядка.

Уравнение (8) при q(x) = О, X = Loa известно как дробное осциляци-онное уравнение.

Теорема 1.6. Задача Дирихле (11) для уравнения (16) в классе АС1[0,1] имеет единственное решение и(х), если q(x)eC1[0,1], X>-q(0), q'(x) > 0. (17)

Во втором параграфе доказана теорема существования и единственности решения задачи Трикоми с нелокальным линейным условием сопряжения и исследованы качественные свойства несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа.

На евклидовой плоскости с декартовыми ортогональными координатами х и у рассмотрим модельное уравнение в частных производных смешанного (параболо-гиперболического) типа яыЛ1'

О, Уу< О

- функция Хевисайда.

Уравнение (18) в верхней полуплоскости у > 0 совпадает с уравнением Фурье а в нижнем - с гиперболическим уравнением

Пусть: О, - область, ограниченная отрезками ААо, АоВо, В$В прямых х = О, у = уо, х = г соответственно и характеристиками

2 т+2 2 т+2

---(-г/ 2 =о, ВС:х +-- (-у)' = г га + 2 ^ ' т + 2 и> уравнения (20); = {(х,у) : 0 < х < г, 0 < у < уо] - параболическая

часть смешанной области О; - часть области Я,, лежащая в нижней полуплоскости у < 0, ограниченная характеристиками АС, 0 < х < г/2 ,

ВС, г/2 < х < г и отрезком АВ; ]0,г[= {(ж, 0) : 0 < х < г}; и+(х,у), У(х,у)е£1+, и={ и (х,у), ;

О10х - оператор дробного интегродифференцирования порядка |/| с началом в точке 0 [75, с. 9].

Для уравнения (18) в области О, рассмотрим краевую задачу типа задачи Трикоми с нелокальным условием линейного сопряжения в следующей постановке. Рассматривается

Задача 1. Найти регулярное в областях , решение (21) уравнения (18) со следующими свойствами: и+ € С(Й+) П С\П+и]0, г[), и е С{й~) П С^СГ и]0, г[); (22)

21 и+(я,0) = и"(ж,0) - 0), 0 < х < г; (23) д(и+ — и ) ду 0, 0 < х < г;

24) у=О и+(0, у) = (ро(у), и+(г, у) = <рг(у), 0 < у < г/о; (25) и~\АС = <ф(х), 0 <х <г, (26) где й - замыкание £2, А - спектральный параметр, (ро(у) и <рг(у) - заданные функции из класса С1[0, г], ф(х) = и §, - . заданная функция из С3[0, г].

Нелокальное условие сопряжения задается уравнением (23), а локальные краевые условия (24) и (25) совпадают с условиями Трикоми. При Л = 0 задача 1 идентична аналогу задачи Трикоми [20], [51].

Из (23), (20) при х = 0 и (25) при у = 0 следует, что равенство о(О) = ф(0) (27) является необходимым условием согласования граничных данных. Справедлива

Лемма 1.1. Пусть: существует решение (21) задачи (18); т{х) = и~{х, 0), ф) = Щ- ; х~Рр(х) G L[0, г]. Тогда у у=0 т"(х) - Хт(х) = и{х), (28)

Г(2 mlf0r(t) = [pmv(x) + х^ф(г)]т, (29) г r( 0) = <р0(0), r(r) -X J (г-t) r{t)dt = <pr(0). (30) o

Здесь Г(^) - гамма-функция Эйлера, вт- в

Исключая v(x) из системы (28)-(29), получим

Ьрт(х) = \т + фр(х), (31) где

Lpr(x) = T"(x)-fi0D1o-x20T(t), (32) от* =-é^'*®' (33)

15

Здесь же рассматривается

Задача 2. Найти решение т(х) уравнения (31) из класса С2]0, г[ П С1 [О, г[, удовлетворяющее условию (30). Доказаны

Теорема 1.7. Если 0 < А < 2/г2, то существует, и притом единственное, решение задачи 2.

В третьем параграфе исследуются различные случаи задачи, в частности, задача и" + А £0> = 0, (34) и(0) = 0, и(1) = 0, (35) которая возникает при исследовании аналога задачи Трикоми уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в стандартной области.

Здесь же изложен способ нахождения собственных функций и собственных значений оператора X т / х(1 - Ь)1~аиШ1, У

Г(2 о соответствующего задаче (34)—(35). В параграфе 4 доказана

Теорема 1.8. Число является собственным значением оператора А тогда и только тогда, когда Ау является нулем функции Ер(А; 2).

Соответствующие собственные функции оператора А задаются формулами иу = хЕр ^Луо:?; .

Отметим, что оператор А был исследован ранее в работах Т.С. Але-роева [1]-[4].

Пятый параграф посвящен выделению областей в комплексной плоскости, где нет собственных значений операторов вида А .

Рассмотрим оператор х 1

Аи = 1(х- ф~1и(1)сН - ^^у I х(1 - ф-'ит. о о

При 0 < р < 2 оператор А действует из £2 в £2 • Мы будем предполагать, что р < 2 , т.е. р может быть больше двух.

Теорема 1.9. Вне круга с центром в начале координат и радиуса 2/Г(/Г1) оператор А не имеет собственных значений.

Тут же приводится более точная оценка для спектрального радиуса оператора А [62], [94].

Теорема 1.10. Вне круга с центром в начале координат и радиуса 1/Г(р-1) оператор А не имеет характеристических чисел.

Сформулированные теоремы использованы для анализа распределения нулей функции Ер{\\ 2).

Далее в том же параграфе доказано, что оператор

X 1

Аи = - *)И«(*)(й - I Х(1 - ф-'и^М о о диссипативен.

Это свойство оператора позволяет доказать ряд важных утверждений, в частности

Следствие 1.1. Все нули функции Ер(А; 2) лежат в правой полуплоскости.

В параграфе 6 излагается метод приближенного решения задачи и" + АГ(2 - а)И1хи = &(х), (36) и(0) = 0, и( 1) = 0. (37)

Здесь ©(ж) - любая известная непрерывная функция. Задача (36)-(37) эквивалентна следующему интегральному уравнению Фредгольма второго рода и(х) + А х(\ - 1)1~аи(£)(И ~ ¡(х~ = (38) 1 где Р(х) = /(?(£, ¿)9(£)с/£, причем о <

Ь<х<\.

Заменяя ядро уравнения (38) на "близкое" к нему вырожденное ядро первого ранга, доказана

Теорема 1.11. Если 0 < А < (3 — а) (2 — а)/24; то уравнение и(х) + А 1^(1 - г)1-^)^ - 1(х - ^-"иЩЛ| = F(ж) имеет единственное решение и разность между этим решением и решением й{х) = Р(х) +

2-а)(3-<*)(-*) Пл л1а

3 — а) (2 — а) — Л

1 уравнения и(х) X

Г(2 - а) I удовлетворяет оценке

3 - а)(2 - а) - Л о

472ЛгЛ

23(23 - 47А)'

В седьмом параграфе с помощью операционного исчисления Лапласа изучается задача и" + И^и = Хщ (39) и{0) - ри'{0) = 0, и(1) - 0. (40)

Доказаны теоремы:

Теорема 1.12. Число X является собственным значением задачи (39)-(40) тогда и только тогда, когда X является нулем функции с+гоо го = [ У Й + в01 — А с-гоо

Теорема 1.13. Пусть А^ является нулем функции /7(А). Тогда соответствующей собственному значению А/ собственной функцией задачи (1.7.1)—(1.7.2) является функция с+гоо м- / ЙЩ

С—100

Вторая глава посвящена изучению полноты систем собственных функций дифференциальных уравнений дробного порядка. В первом параграфе доказана

Лемма 2.1. Пусть д(ж) полуограничена. Тогда задача

В^у - д{х)у = 0, (41)

ВЫУ\Х=о = ВЫУ\Х=1 = 0 имеет единственное тривиальное решение у = О Следствие 2.1. Оператор

Б^у + ц (х)у = О,

Ау=< имеет обратный.

С помощью сформулированных предложений доказывается Теорема 2.1. Система собственных и присоединенных функций оператора А полна в £2(0,1)

Из теоремы 1 следует Замечание 2.1. Система функций у(х, А„) - х^~'1оЕр{Хх^, 1 + /л - /1о)+ 1 у (1 - - Ф, 112 - 1*0Ап)йЬ о полна в £2(0,1), здесь Ап - нули функции шр(\) = Ер(\, 1 + ¡11 - /¿0)+ 1

1 (1 - £)№-/1°1£?р(А(1 - М2 - Й)М*М*; о

В этом же параграфе изучены вопросы полноты системы собственных функций задачи в следующей постановке:

Наряду с операторами ^^/(я) (к = 0,1,2) введем в рассмотрение аналогичные операторы дробного интегродифференцирования.

Приняв обозначения к к 72-; - 1, Д* = °к + 1 = X] (к = 2)'

0 j=0 определим эти операторы следующим образом л (РО

Я^/М = т-п—ТТ-/М' (42)

-р-ъ) ¿ъ ¿10

0*2 =

Найти нетривиальное решение г(х, Л) уравнения 70,71,72} = ^г - {А + д(х)}г = 0, х € [0,1), удовлетворяющее условиям

В^г(х,\)\х=1 = з т(3,

В^г(х,\)\х=1 = -созр.

Доказана следующая Теорема 2.2. Оператор

В^г - = 0,

Ах =

В^г . = 0, В^х п = 0

Х-1 ' 2=0 в £2(0,1) имеет полную систему собственных и присоединенных функций.

Во втором параграфе исследуются вопросы полноты систем собственных функций следующей задачи:

Си = -и" + ^ В^и + д(х)и = \и; i=\

0) - 0, и(1) = 0.

43)

44)

Здесь 0 < а{ < 1 (г = 1,2,., п).

Отметим, что вопросы полноты для систем собственных функций ранее изучены Т.С. Алероевым [10]-[15] для задач вида п

-и" + ^ (ц(х)в$.ш{(х)и + Хи = 0, 1 и( 0) = 0, и(1) = 0 и п ¿=1

2(0) = 0, г{1) = 0.

Здесь (БцI)* - оператор, сопряженный оператору дробного дифференцирования .

Доказана следующая

Теорема 2.3. Система собственных функций задачи (43)-(44) полна в пространстве £г(0; 1).

Третья глава посвящена рассмотрению модели деформационно-прочностных характеристик одного класса полимеров на основе производных дробного порядка.

Рассматривается стандартная модель линейного вязкоупругого тела [75, с. 149], которая имеет вид г=1 1=1 где о = <т(£) и е = - напряжение и деформация в момент времени Ь; Ь{, Ео, Е{ - заданные величины.

Частным случаем (45) является модель Максвелла йа ^ в,е + ТТГ Етж (4б)

В совместной с Кехарсаевой Э.Р. и Алероевым Т.С. работе [57], см. также [55]—[60] изучены прочностные характеристики одного класса полимеров, что привело к необходимости решения уравнения

70 = ЕоИ^е.

Здесь установлено, что участок эластичности деформационной кривой аппроксимируется интегральной кривой уравнения (47).

В этой части работы анализируется уравнение (47) и его решения.

В параграфе 2 главы 3 исследованы особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте.

В промысловой практике зависимость действующей толщине пласта от градиента давления, аппроксимируется степенной зависимостью вида Я >

0 < а < 1.

48)

В диссертации данная зависимость заменена на зависимость н = г^ЩгР, О < а < 1, (49) здесь - дробная производная Римана-Лиувилля. А широко используемое в промысловой практике уравнение

2а+1 р йГ а йр г

50) где а = ——-Н:-, о а№\Уркр\а

2-к кг

27г Нкг тогда заменится на уравнение а0(ад2Ур = а\ + ахгВ1тр.

Показано, что решение последнего уравнения можно искать в виде степенного ряда при а ~ 0 или аи1.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Гачаев, Ахмед Магомедович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации, посвященной исследованию линейных краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и их применению, получены следующие основные результаты:

1. Исследованы начальные и краевые задачи для широкого класса линейных дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках.

2. Изучены качественные свойства несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнением в частных производных смешанного (параболо-гиперболического) типа.

3. Для класса интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка, получены в терминах функций типа Миттаг-Леффлера явные выражения для собственных функций и собственных значений.

4. Доказана теорема, которая позволяет выделить области в комплексной плоскости, где нет собственных значений для класса линейных дифференциальных операторов дробного порядка.

5. Доказана теорема о системе собственных и присоединенных функций класса линейных дифференциальиых операторов дробного порядка с полуограниченным потенциалом.

6. Для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций с полуограниченным потенциалом.

7. Для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах установлена его диссипативность в случае полуограниченного потенциала.

8. Проведен конструктивный анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважинам в трещинном деформируемом пласте.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гачаев, Ахмед Магомедович, 2006 год

1. Алероев Т.С. Об операторах преобразования // Сборник научных трудов МФЮА, 2005. С. 3-8.

2. Алероев Т.С. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения 2-го порядка с дробными производными в младших членах // Дифференц. уравнения, 1982. Т.18, № 2. С. 341-342.

3. Алероев Т.С. К проблеме о нулях функции Миттаг-Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2000. Т.36, № 9. С. 1278-1279.

4. Алероев Т. С. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений дробного порядка // Доклады РАН, 1995. Т. 341, № 1. С. 9-11.

5. Алероев Т. С. О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2000. Т.Зб, № 6. С. 829-830.

6. Алероев Т.С. О собственных значениях одного класса несамосопряженных операторов // Дифференц. уравнения, 1994. Т.ЗО, № 1. С. 169-171.

7. Алероев Т. С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2000. Т.36, № 10. С.1422-1424.

8. Алероев Т.С. О собственных функциях одного несамосопряженного оператора // Дифференц. уравнения, 1989. Т.25, № 11. С. 1996-1997.

9. Алероев Т.С. Об одной краевой задаче для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1998. Т.34, J№ 1. С. 123.

10. Алероев Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов // Дифференц. уравнения, 1984. Т.22, № 1. С. 171-172.

11. Алероев Т.С. Формула для вычисления собственных значений одного несамосопряжешюго оператора. Труды института математики НАНУ, Киев, 1994. С. 3-8.

12. Алероев Т.С. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 1994. Т.1, № 1. С. 6-7.

13. Алероев Т. С., Гачаев A.M. К проблеме о нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Материалы международного Российско-Узбекского симпозиума. Нальчик, 2003.

14. Алероев Т. С. Об одном классе операторов, соответствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1201-1207.

15. Алероев Т.С., Гачаев A.M. Об одном классе интегральных операторов сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка I: ЧГУ, Грозный. 2003. 10 с: рус. - Деп. в ВИНИТИ. 14.11.2003, № 1977-В2003. № 1, 2004.

16. Бабенко Ю.И. Тепло- массообмен. Метод расчета тепловых и диффу-зионых потоков. Л.: Химия, 1986. 381с.

17. Баренблатт Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. -М.: Наука, 1972. 287 с.

18. Бартенев Т.М., Бартенева А.Г. Релаксационные свойства полимеров. М.: Химия, 1992. - 381 с.

19. Бегли Р.Л., Торвик П.Дою. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием // Аэрокосмическая техника. 1984, т.2, № 2. С. 84-93.

20. Бэюихатплов Х.Г., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // ДАН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 261-267.

21. Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев A.M. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик: КБГУ, 1972. 290 с.

22. Бленд Д. Р. Теория линейной вязкоу пру гости. М.: Мир, 1965. - 199 с.

23. Болътерра В. Теория функционалов, интегральных и иптегродиффе-ренциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

24. Ворошилов A.A., Килбас A.A. Задача Копш для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференц. уравнения. 2006. Т.42. №5. С. 599-609.

25. Гачаев A.M. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка // Материалы Республиканской научно-практической конференции (27 ноября 2004 г.). Грозный, 2004. С. 62-63.

26. Гачаев A.M. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения дробного порядка. Тезисы докладов Воронежской математической школы "Современные методы теории краевых задач "Понтря-гинские чтепияХУН. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 44-45.

27. Гачаев A.M. О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах // Материалы III Школы молодых ученых. Нальчик. 2005. С. 14-16.

28. Гачаев A.M. О полноте системы собственных и присоединенных функций одной краевой задачи // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2005. Т. 7, № 2. С. 12-13.

29. Гачаев A.M. Об одном операторе, сопутствующем дифференциальному уравнению дробного порядка // Труды ГГНИ, Грозный, вып. 4. 2004. С.16-24.

30. Гачаев A.M. Описание резольвентного множества оператора дробного интегрирования // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2005. Т. 8, № 1.С. 16-18.

31. Гачаев A.M. Об одном способе приближенного решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения с дробной производной // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Попт-рягинские чтения XVIIм. Воронеж. 2006. С.35.

32. Гачаев A.M. О полноте системы собственных функций оператора дробного дифференцирования // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2006. Приложение № 9. С. 14-19.

33. Гачаев A.M. Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2006. Т. 8, № 2. С. 9-15.

34. Гачаев A.M. Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Материалы III Международ, конф. B&Nak-2006. Нальчик, 2006. С. 78-80.

35. Гачаев A.M. Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2006. Приложение № 10. С. 4-8.

36. Глушак A.B. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. физ.-мат. Воронеж, 2001. К0- 2. С. 74-77.

37. Глушак A.B. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. физ.-мат. Воронеж, 2002. № 2. С. 61-63.

38. Головизиин В.М., Короткий И.А. Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифферент уравнения. 2006. Т. 42. №7. С. 907-913.

39. Джрбашяи М.М. // Изв. АН АрмССР, 1970, Т.75, № 2. С. 71-96.

40. Дэюрбагиян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966. - 677 с.

41. Доюрбашян М.М. Об асимптотическом поведении функции типа Миттаг-Леффлера // ДАН АрмССР, 1954, 19, № 3. С. 65-72.

42. Дэюрбашян М.М. Об интегральных преобразованиях, порожденных обобщенной функцией типа Миттаг-Леффлера // Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук, 1960, 13, № 3. С. 21-63.

43. Джрбашяи М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля // Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук, 1970, Т. 5, № 2. С. 71-97.

44. Джрбашян М.М. Базисность биортогональных систем, порожденных краевыми задачами для дифференциальных операторов дробного порядка // ДАН СССР, 1981. Т. 261, № 5. С. 1054-1058.

45. Джрбашян М.М. Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики. Сборник докладов 7-го сов.-чехосл. семинара. Ереван: изд-во Ереван, ун-та, 1982. С. 103-111.

46. Джрбашян М.М., Акопяи С.А. К теории интегральных преобразований с ядрами Миттаг-Леффлера // ДАН АрмССР, 1964, 38, № 4. С. 207-216.

47. До/србашяи М.М., Нерсесян A.B. Дробные производные и задача Ко-ши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН АрмССР, 1968, Т. 13, № 1. С. 3-28.

48. Джрбашяп М.М., Нерсесян A.B. О примеиении некоторых интегро-дифференциальньгх операторов // ДАН СССР, 1958, Т. 121, № 2. С. 210-213.

49. Диткии В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 542 с.

50. Золииа A.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6. №6. С. 991-1001.

51. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи математических наук. Т. 26, № 4. С. 1-41.

52. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР, 1951. Т. 77. С. 11-14.

53. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосо-пряжепных операторов. Труды IV всесоюзного математического съезда, 1963, 1. С. 101-120.

54. Кехарсаева Э.Р., Алероев Т. С. // Пластические массы. 2001. - № 3. - С. 35.

55. Кехарсаева Э.Р., Алероев Т. С. Модель деформационно-прочностныххарактеристик хлоросодержащих полиариатов на основе диана // Материаловедение, 2000. № 8. С. 50-51.

56. Кехарсаева Э.Р., Гачаев A.M., Алероев Т.С. Модель деформационно-прочностных характеристик хлоросодержащих полиэфиров // Пластические массы, 2004, № 11. С.35.

57. Кехарсаева Э.Р., Микитаев А.К., Алероев Т.С. Модель деформационно-прочностных характеристик хлоросодержащих полиэфиров на основе производных дробного порядка // Пластические массы, 2001, № 3.

58. Кехарсаева Э.Р., Микитаев А.К. Корреляция между деформацией полимерных пленок и молекулярными параметрами полимеров // Высокомолекулярные соединения, 1986. Т. 28Б, Ш 3. С.35-36.

59. Кехарсаева Э.Р., Микитаев А.К., Хадаев A.M. Исследование физико-химических свойств некоторых полиарилатов // Физико-химические методы исследования, Махачкала, 1996. С. 72-74.

60. Килбас A.A., Марзан С.А. Нелинейные дифференциальные уравнения с дробной производной Капуто в пространстве непрерывно дифференцируемых функций // Дифференц. уравнения. 2005. Т.41. №1. С. 82-86.

61. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

62. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.: Гостехиздат, 1950. 159 с.

63. Лидский В. Б. О полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного дифференциального оператора // ДАН СССР, 1956. Т.110, № 2. С. 172-175.

64. Лидский В.Б. Несамосопряжеппый оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром // Труды Московского мат. общества. 1960, № 9. С. 45-79.

65. Лидский В.Б. Труды Московского мат. общества. 1959, № 8.

66. Маламуд М.М. О возмущениях оператора дробного интегрирования // Функциональный анализ и его приложения. 1979. Т.13, № 2. С. 8586.

67. Маламуд М.М. // Доклады национальной академии наук Украины. 1998. № 9. С. 39-47.

68. Мацаев В.И. Об одном классе вполне непрерывных операторов // ДАН, 1961. Т. 139, № 3. С. 548-552.

69. Мацаев В.К, Палант Ю.А. // Укр. мат. журнал. 1962. - Т. 14, № 3. - С. 329-337.

70. Мейлаиов Р.П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории "фрактального" осциллятора // Письма в ЖТФ. Вып. 1. 2002. Т. 28.

71. Наймарк М.А. О разложении по собственным функциям несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка // ДАН СССР, 1953. № 89. С. 213-216.

72. Наймарк М.А. Исследование спектра и разложение по собственнымфункциям несамосопряженного оператора 2-го порядка на полуоси // Труды Московского математического общества, 1954. Т. 3. С. 181-270.

73. Наймарк М.А. О некоторых признаках полноты системы собственных и присоединенных векторов линейного оператора в гильбертовом пространстве // ДАН СССР, 1954. № 98. С. 727-730.

74. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.7G. Нахушев A.M. К теории дробного исчисления // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 2. С. 313-324.

75. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. - 50 с.

76. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.

77. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // ДАН СССР. 1977. Т. 234, № 2. С. 308-311.

78. Нахушев A.M. Математические модели вязкоупругого тела // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2000. Ш 3. С. 107-109.

79. Нахушева В.А., Нахушев A.M. О некоторых дифференциальных уравнениях дробного порядка и их приложениях. В кн.: Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. АМАДЕ-99.

80. Тезисы докладов Международной конференции 14-18 сентября 1999 г. Минск, Беларусь.

81. Нахушева В.А., Нахушев A.M. О некоторых прикладных аспектах дробного исчисления. В кн.: Тезисы XIV Международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". Тор-скол, 1999.

82. Нахушева В.А., Нахушев A.M. Дробное исчисление математическая основа уравнения состояния фрактальных сред. В кн.: Тезисы XVI Международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". Эльбрус, 2001.

83. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

84. Нахушева В.А. Об одном классе дифференциальных уравнений состояния фрактальных сред. В кн.: Вторая международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". 3-7 декабря, Нальчик, 2001.

85. Попов А.Ю. О спектральных значениях одной краевой задачи и нулях функции Миттаг-Леффлера // Дифференц. уравнения. 2002. Т.38, № 5. С.611-621.

86. Попов А.Ю., Седлецкий A.M. Распределение нулей функции Миттаг-Леффлера // Докл. АН. 2003. Т. 390, № 2. С. 165-168.

87. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

88. Псху A.B. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. Т. 77, № 4. С. 592-599.

89. Работное 10.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 261 с.

90. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

91. Седлецкий A.M. // Мат. заметки. 2000. - Т. 68, № 5. - С. 710-725.

92. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002.- 144 с.

93. Треногий В.Л. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

94. Чадаев В.А. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка // Известия КБНЦ РАН. 2002. №1 (8). С. 123-127.

95. Чадаев В.А. Видоизмененная задача Коши для квазилинейного уравнения дробного порядка // Доклады Адыг. (Черкесс.) межд. акад. наук. 2005. Т. 8. №1. С. 64-67. С. 123-127.

96. Шаймуратов Р. В. Гидродинамика нефтяного трещинного пласта. -М.: Недра, 1980. 223 с.

97. Abel N.H. Solution de quellques problèmes a laide d'integrales defines

98. Gesammcite mathematische werke. Leipzig-Tuebner, 1881. T.l. P.ll-27. (First publ. in Mag. Naturvidenkaberne, Aurgnag 1. Bd 2. Christiania 1823).

99. Dagley R.L., Torvik P.J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelustically damped structures // J. Rheol. 1983. V. 27. № 3. P. 201-213.

100. Barret J.H. Differential equations of non-integer order // Canad. J. Math, 1954, 6, 4, 529-541.

101. Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Zanichelli, Bologna (1969) (in Italian).X

102. GementA. A Method of Analyzing. Experimental Results, Contained from Elasto-Viscous. Physics. 1936. V. 7. P. 311-317.

103. Gement A. On Fractional Differential. Fhilosophical Magazine. 1938. V. 25, P. 540-549.

104. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order).

105. Riemann B. Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation // Gesammelte Mathematische Werke. Leipzig: Teubner, 1876. P.331-344.

106. Wiman A. Uber die Nulstellen der Funktionen // Acta Math., 1905, 29, 217-234.