Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бозиев, Олег Людинович

• Бозиев, Олег Людинович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бозиев, Олег Людинович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Существование и единственность решений смешанных задач для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка.

§ 1. Априорная оценка решения смешанной задачи для нагруженного волнового уравнения.

§ 2. Существование обобщенного решения смешанной задачи для нагруженного волнового уравнения.

§ 3. Априорные оценки решения первой смешанной задачи для нагруженного уравнения, возникающего в теории оптимального управления.

§ 4. Существование обобщенного решения задачи (1.23) - (1.25) прир = 3 яр = 4.

§ 5. Единственность обобщенного решения задачи (1.23) - (1.25).'.

Глава II. Приближённое решение нелинейного гиперболического уравнения методом редукции к нагруженному уравнению.

§ 1. Уравнения неустановившегося движения воды в трубопроводе.

§ 2. Редукция задачи (2.3) - (2.5) к смешанной задаче для нагруженного уравнения второго порядка.

§ 3. Решение задачи неустановившегося движения жидкости в трубе.

§ 4. Априорные оценки решения первой смешанной задачи для нагруженного однородного уравнения.

§ 5. Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для нагруженного однородного уравнения.

§ 6. Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для нагруженного однородного уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа»

В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления.

К первым работам, касающихся нагруженных интегральных уравнений, следует отнести работы Kneser А.[93],[94], Lichtenstein L.[95], Гюнтера Н.М.[21], Назарова Н.Н.[54].

Термин "нагруженное уравнение", впервые появился в работах Кнезера [93], [94] применительно к интегральным уравнениям. Определение нагруженного интегрального уравнения, данное Кнезером, приведено в книге В.И.Смирнова [68].

Метод исследования нагруженных интегральных уравнений был также предложен Н.М.Гюнтером [21].

Общее определение нагруженных уравнений дано A.M. Нахушевым в работе [55]:

Определение 0.1. Пусть П— n-мерная область евклидова пространства R" точек х = (xj, ., х1г). Заданное в области Q дифференциальное, интегро-дифферетщальное или функциональное уравнение Lu = f(x), называется нагруженным, если оно содержит некоторые операции от следа искомого решения и - и fx) на принадлежащих замыканию Q многообразиях размерности меньше п.

Определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [58, с.90, с.94].

В качестве важнейших примеров нагруженных дифференциальных уравнений можно привести односкоростное уравнение переноса с изотропным рассеянием х2 + и = |и(х,и(х) = и(х{,х2), хеЯ2, или уравнение, описывающее распределение давления почвенной влаги, поглощаемой корнями растений д2и . ди удххдх2 дхх J М д

Эх. I

2 0

Среди начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений, относящихся к классу нагруженных, наиболее исследованы задачи для гиперболического уравнения Кирхгофа вида иа - а\

А и = /(х,/1) и его обобщений (см., например, [1],[8],[61],[79],[80],[81],[83],[103],[104], [105]), а также задачи для параболического уравнения вида \ и2хс1х и, - а|

Аи = 0 возникающие при изучении проникновения электромагнитного поля в вещество, коэффициент электропроводности которого зависит от температуры ([20], [22],[23],[24],[25],[43]).

Менее изучены задачи для дифференциальных уравнений вида и„ и( =0, р — сот1 > 0, возникающее в теории оптимального управления (см. например, [47],[102],[103]).

Представляет также интерес исследование систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, содержащие нагруженные уравнения, например система, получаемая из обобщенного волнового уравнения^], щ =

71

1+ |У2(х,/)Й6С Л

V 0 или модель популяции [87] дБ дБ да Ы о о 3/5/ . оа сЛ а также некоторые другие системы ([66],[82],[85],[96],[98]).

Обширная библиография по нагруженным уравнениям приведена в [26].

Решение начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных во многих случаях можно найти с удовлетворительной точностью методом редукции к нагруженным дифференциальным уравнениям.

Пусть Ь - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор с областью определения И(Ь), а Ь - нагруженный дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор такого же типа и порядка, что и Ь, который с той или иной степенью точности аппроксимирует Ь. Метод редукции к нагруженным уравнениям, состоит в замене уравнения

Ьи=/(х), иеВД, (0.1) аппроксимирующим уравнением

Lu = f{x\ и е D(L) = D(L). - (0.2)

Определение 0.2 [55]. Функция и е D(L) называется приближенным решением, задачи (0.1), если она является точным (или приближенным) решением аппроксимирующей задачи (0.2).

Сущность метода редукции к нагруженным уравнениям раскрыта в [52] на некоторых модельных задачах.

Приведем используемые в работе определения и обозначения. LP(Q) - банахово пространство измеримых в ограниченной области Q функций f=fx) с конечной нормой

1/(4 р,п

J| f(x)\Pdx f>g) ~ \f(x)g(x)dx - скалярное произведение в Z2(Q); п т f(xALo=\ \\\fi^tfdxdt on о пространство Соболева, ^(О.)- подпространство пространства (О) функций, обращающихся в нуль на границе дС1 области О,

1 и(х) о,п и{х)\ + ди(х) дх

Л Л dx

- норма в пространстве Соболева (Q) .

Пусть Х- банахово пространство с нормой ||-||А. Следуя Ж.-Л. Лионсу[42] через Ьр(0,Т; X) обозначим пространство измеримых функций заданных на (0, Т) и имеющих значения в X, с нормой

U\

Px dt 1 < p < со,

L„(0,T;X) p- GO.

Основными методами, используемыми в работе, являются метод компактности и метод Галеркина.

Перейдем к краткому изложению содержания работы. Глава I.

В первой главе исследуются смешанные задачи для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка.

В §1 рассматривается следующая задача: в области () = О х (О, Т), О = (0, /) найти решение и = и(х, уравнения д и д df дх дгЛ 1 k(x,t)— + q(x,t)u-a(t) \u(x,t)dx = f{x,t), дх) nJ

0.3) удовлетворяющее начальным ы граничным условиям

Зы и(х,0)= <р(х), —(х,0) = у/(х), 0 < х < /,

Ot (0.4)

CjU

0,0 = Ди(0,0, 0 <t<T, ох (О.Ь) t) = p2u(!,t\ o<t<т. дх (0.6)

Доказана

Лемма. Пусть a(t),q{x,t), f (x,t),at(t),q ^x^^^xj) e L2(Q), (p(x), y/(x) e L2 (Q), k(x, t) g Wx2 (Q) и a(t), Д, p2 > 0, k, q,apkp qt<C2= const > 0, k,q>C} = const > 0. Тогда для любого регулярного в области Qрешения и(х, t), принадлежащего при любом г > О пространству И7^ (О), справедлива априорная оценка и,

П+Ыко + и

2Л1 ЩГ

2,2 2

2,П где К ~ положительное число, не зависящее от ср, у/и/.

В §2 рассмотрен вопрос существования решения задачи (0.3) - (0.6). Определение. Функция и е ^(0,7";^'(О)), такая, что и1 е А» {0,Т;Ь2 (О)), называется обобщенным решением задачи (0.3) -(0.6), если она удовлетворяет первому из условий (0.4) и тождеству

I I и,, м?) + ^¿ких, и'д) + (ци, м;)-(а,м?)- ^ыск + о о Щ, г)/32и{1, т)л»{1) + к( 0, г) Д и(0, г)и<0)]^ = (/ + м>) при всех уу е ^ (О) и / е 12 (0. Имеет место следующая

Теорема 1.1. Пусть (р е И'2' (£)), ^<е£2(0). Тогда существует функция и(х, являющаяся обобщенным решением задачи (0.3) — /77.6/ В §§3-5 для уравнения 1 ии (х, /) - м (х, /) + и< (х, /) ||и(х, 0 Р сЬс = 0 ^

0.7) в области 0. = П х (0, Т), О = (0,1) рассмотрена задача: найти решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным и граничным, условиям и{х,0) = (р{х), и( (х,0) = ц/(х), 0< х < 1, (0.8) и( 0,0 = 0, и( 1,0 = 0, 0 <Г<Т, (0.9) где <р{х), у/(х) - заданные функции, р - целое, р> 2.

Определение. Функция такая, что и( (О,Т;Ь2(0.)); называется обобщенным решением задачи (0.7) - (0.9), если она удовлетворяет первому из условий (0.8) и тождеству

I г при всех м? е

С использованием теорем вложения Соболева, неравенства Гронуолла и его нелинейного аналога получены априорные оценки решения поставленной задачи при значениях показателя р - 3, 4 и доказана о

Теорема 1.2. Пусть (р е \У2 (О), у/ е Ь2(0), р = 3, 4 . Тогда существует функция и, являющаяся обобщенным решением задачи (0.7)- (0.9).

Теорема 1.3. Для любого р > 2 задача (7), (8) для уравнения (6) не имеет более одного обобщенного решения. Глава II.

В §§1-3 второй главы реализован метод численного решения смешанной задачи для квазилинейного уравнения д2и 9 д2и X | ди дГ а и\ дх2 В 1 0, которое играет важную роль при математическом моделировании явления гидравлического удара. Здесь и(х, - скорость течения жидкости в трубе диаметра £) ,а - скорость звука, Я - коэффициент гидравлического сопротивления.

В основе метода лежит предложенный А.М.Нахушевым метод редукции к нагруженным дифференциальным уравнениям.

В §§4-6 для уравнения ии ~а 11 хх +,и

111 = о

0.11)

0-12) (0.13) в области {2= Ях(0,Т), О = (0,1) рассмотрена задача: найти решение уравнения (0.11), удовлетворяющее начальным и граничным условиям м(х,0) = </?(х), иг(х,0) = у/(х) , 0 <х</, и( 0,0 = 0, м(/,0 = 0, 0<t<T, где (р(х), у/(х) — заданные функции, а, ¡и - положительные числа. о

Определение. Функция меД^О,!";^'(□)), такая, и1 <еЬх (0,Г; (О)), называется обобщенным решением задачи (0.11) - (0.13), если она удовлетворяет первому из условий (0.12) и тождеству что а2(их,ых)+{1 л ип ю

V 0 )

Ж = (у/,М>) при всех м? е Ж, (О).

На основе теорем вложения Соболева и неравенства Гронуолла получены априорные оценки, которым удовлетворяет любое решение задачи (0.11) -(0.13). Доказана о

Теорема 2.1. Пусть <р е ^(О). у/ е Ь2(С1) . Тогда существует обобщенное решение задачи (0.11) - (0.13).

Кроме того, имеет место

Теорема 2.2. Функция и(х, являюъцаяся обобщенным решением задачи (0.11) - (0.13), единственна.