Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с наклонной линией перемены типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Таранов, Николай Олегович

• Таранов, Николай Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Таранов, Николай Олегович

Введение

1 Задачи Трикоми с наклонной линией перемены тина с ненулевыми данными на части границы области эллиптичности

1.1 Постановка, задач.

1.2 Теорема существования решения задачи с нулём на .пеной характеристике.

1.3 Интегральное представление решения задачи с, нулём па левой характеристике.

1.4 Принцип экстремума, для задачи с нулём на левой характеристике.

1.5 Теорема существования решения задачи с нулём на правой характеристике. 5G

1.G Интегральное представление решения задачи с нулём па правой характеристике.

1.7 Принцип экстремума, для задачи с нулем па правой характеристике . GO

1.8 Построение решения задач Трикоми дляучая крином в области эллиптичности и данными на ней общего вида, . G

2 Задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с наклонной линией перемены типа и смешанными условиями на границе области эллиптичности

2.1 Постановка задач.

2.2 Теорема существования решения задачи с нулём на левой характеристике . GO

2.3 Интегральное представление решения задачи с нулём на левой характеристике,.

2.4 Принцип экстремума для задачи с даппымп па левом характеристике.

2.5 Теорема существования решения задачи с нулём на правой характеристике. 7G

2.G Интегральное представление решения задачи с нулём на правой характеристике.

2.7 Принцип экстремума для решения задачи с нулём на правой характеристике.

3 Аналоги задачи Геллерстедта с ненулевыми данными на дуге окружности на границе области эллиптичности

3.1 Постановка задач.

3.2 Теорема существования решения задачи с нулём па внутренних характеристиках.

3.3 Интегральное представление решения задачи Геллерстедта с нулём на внутренних характеристиках.

3.4 Принцип экстремума для аналога задачи Геллерстедта с нулём па внутренних характеристиках.

3.5 Теоремы существования решения задачи с нулём па внешних характеристиках. 9G

3.G Интегральное представление решения задачи Геллерстедта с нулём па внешних характеристиках

3.7 Принцип экстремума для аналога задачи Геллерстедта с нулём на внешних характеристиках

Задачи для уравнения Лаврентьева-Б ицадзе с ненулевыми данными на характеристиках на границе области гиперболичности

4.1 Постановка задач.

4.2 Система синусов с разрывной фазой.

4.3 Теорема существования решения задачи Геллерегодта

4.4 Теорема существования решения задачи с данными смешанного типа на границе полу полосы.

4.5 Интегральное представление нормальной к линии перемены типа производной решения задачи с данными смешанного типа, па границе полуполосы.11G

4.6) Теорема существования решения задачи Три ком и.

4.7 Интегральное представление нормальной к линии перемены типа производной решения задачи Трикоми

4.8 Интегральное представление нормальной к линии перемены тина производной решения задачи Геллерстедтн

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с наклонной линией перемены типа»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнении смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Исследование уравнений смешанного тина имеет сравнительно недолгую историю. Первыми глубокими исследованиями в этой области явились работы Ф. Трикоми, опубликованные в двадцатых годах двадцатого века. Для уравнения д2и д2и которое сейчас называют уравнением Трикоми, он изучил следующую краевую задачу. Пусть область D ограничена кривой Ж орда и а а. лежащей в верхней полуплоскости у > Ос концами в точках /1(0,0) и В{ 1,0) оси абсцисс, расположенной в верхней полуплоскости, и отрезками характеристик АС и ВС уравнения, выходящими из этих точек и пересекающимися в точке С нижней полуплоскости. Требуется найти решение уравнения (1), регулярное в D и удовлетворяющее условиям: и(х,у) = ф(х,у) на. а и и(х,у) = %Ь(х) на АС. Ф. Три ком и доказал существование и единственность решения этой задачи при определенных дополнительных требованиях относительно поведения частных производных и:г и и;/. гладкости функции ч/-' и характера дуги о. Исследования Трикоми были продолжены в тридцатых годах Чпб]>арио и Геллерстедтом.

М. А. Лаврентьев для упрощения исследования краевых задач для уравнения смешанного типа предложил исследовать модельное уравнение д2а д2и

Подробное исследование задачи Трикоми и ее различных обобщении для уравнения (2) провел А. В. Бицадзе при самых общих предположениях о характере дуги гт, ограничивающей область D в верхней полуплоскости. А. В. Бицадзе решил также для уравнения (2) задачу Трикоми в миогосвязпой области, а также задачу, в которой на кривой а задана vj|. Им же была решена задача Трикоми для случая, когда данные в гиперболической части области заданы с отходом от характеристики. В случае задачи Трикоми для уравнения (1), аналогичный результат был получен К. И. Бабенко, для задачи Геллерстедта исследован ж; для случая данных, заданных с отходом от характеристики, было проведено Ф. И. Фрапклем. М. М. Смирнов исследовал некоторые обобщения задачи Трикоми, а также некоторые родственные задачи (см. работу [21|).

Для задачи Трикоми имеет место принцип экстремума: решение задачи Трикоми, обращающееся в нуль на характеристике/1С, достигает положительного максимума и отрицательного минимума на дуге гг. Этот принцип впервые был сформулирован А. В. Бицадзе в случае уравнения (2). Несколько позднее он был установлен для уравнения Трикоми (1) в работе Жермена и Баде.

Е.И.Моисеев, используя свойство базисноетп, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. Это позволило Е.И. Моисееву получить решения задач Три ком и для уравнения (2) в виде ряда в некоторых специальных областях, а также интегральные представления решений.

Помимо уже упомянутых авторов, созданием теории краевых задач для уравнении смешанного типа занимались Б. А. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Дидепко, В. А. Елеев, В. И. Жегалов, М. М. Зайпулабидов, А. Н. Зарубин, Т. Ш. Кальмепов. Г. Д. Кара/гопраклиев, И. JI. Кароль, А. А. Килбас, А. И. Кожанов, Ю. М, Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, А. М. Нахушев, С. М. Пономарев, А. В. Псху, С. П. Пулькип, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Сол датой, Р. С. ХаГтруллин, Хе Кап Чер, Л. И. Чибрикова, S. Agmon, Р. О. Lax, С. S. Morawetz, L. Nirenberg, R. P. Phillips, M. M. Protter, M. Schneider и др. Цель работы. Исследовать возможность построения решения is виде ряда и установления его единственности для задачи Трнкоми с наклонной линией перемены типа, задачи Геллерстедта с линией перемены типа, представляющей собой симметричный относительно оси ординат угол, для которых данные заданы на кривой, ограничивающей область эллиптичности, а также задачи Геллерстедта для случая с данными заданными на. паре характеристик на границе; областей гиперболичности.

Методы исследования. Решения задач строятся в виде рядов методом разделения переменных, с использованием псортогопальных систем синусов специального вида. Для понижения требовании па гладкость граничных условий используются интегральные представления решений, вид интегральных представлений при этом устанавливается непосредственным суммированием рядов для решений внутри соответствующих областей эллиптичности. Единственность решений устанавливается посредством доказательства принципов экстремума.

Научная новизна. Впервые рассмотрены аналоги нескольких задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе для случая, когда линия перемены типа не совпадает с осью координат, а, область эллиптичности представлена сектором круга. А именно, аналог за,дачи Три коми, аналог задачи с нулём нормальной производной, заданным па стороне угла кругового сектора и данными, заданными на дуге, задачи Геллерстедта для симметричного относительно оси ординал- кругового сектора. Получены решения в виде рядов по неортогональпым системам синусов, а также их интегральные представления. Освещен вопрос единственности решения данных задач. В виде биортогонального ряда, коэффициенты которого вычисляются по системе синусов с разрывной фазой выписано решение задачи Геллерстедта с ненулевыми данными на характеристиках волнового уравнения. Было получено интегральное представление решения данной задачи. Ранее подобные результаты были известны для задачи Трикоми.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты представляют теоретический интерес и могуч1 быть использованы в теории краевых задач для уравнении смешанного типа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященном 70-летию академика В. А. Садовпичего, на конференции молодых учёных Ломоносов-2006, на научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений ВМиК МГУ.

Публикации. Большинство результатов работы подготовлены и оформлены в трёх статьях, две из которых опубликован ы( работы [22], [17]), третья, работа [18], направлена в печать.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, 4-ёх глав и списка литературы. Во введении освещена актуальность задачи и краткая история основных результатов по смежным вопросам теории уравнений смешанного типа, а также основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 130 страниц.

Основное содержание работы

В целом, данная работа является развитием идей, продета пленных в работах [13], 114], [15], [16]. Композиция работы обусловлена линейностью представленных задач, которая позволяет строить решение задач е произвольными граничными данными нутом разложения их па задачи, для которых часть условий на границе являются нулевыми. В первых трёх главах рассмотрены задачи переменного типа с ненулевыми данными, заданным па границе области эллиптичности, в четвёртой главе рассмотрены задачи с ненулевыми данными в области гш юрбол и ■чпости.

Первая глава

Первая глава посвящена аналогам задачи Трикоми для уравпепиия Лаврептьева-Бицадзе и случае, когда линия перемены типа находится под углом к оси координат, а область эллиптичности ограничена линией перемены типа и дугой Жордапа с заданными на пой ненулевыми данными. Область гиперболичности представляет собой треугольник и ограничена линией перемены типа и отрезками характеристик волнового уравнения. В зависимости от постановки, на одной из характеристик заданы нулевые данные. При этом для построения решения рассмотрены более частные задачи, для которых область эллиптичности представляет собой сектор круга. При этом ненулевые данные заданы в области эллиптичности на дуге кругового сектора. Рассмотрены как задачи с нулём, заданным на левой характеристике, 'так и с нулём, заданным на правой характеристике.

Постановка данных задач представлена в следующем виде. Постановка задач.

D = D+ U D

3)

Область D+ ограничена отрезком АВ и кривой Ляпунова а. А В представляет собой прямолинейный отрезок единичной длины, лежащий под углом а к оси абсцисс и соединяющий точку А с координатами (0, 0) и точку В с координатами (cos сv, sin а). Кривая а соединяет точки А и /3, она расположена так, что при движении вдоль отрезка А В от А к В область D+ остаётся слева. Будем рассматривать значения а, лежащие в диапазоне (—f • \) •

Область D ограничена двумя отрезками характеристик волнового уравнения АС — {(х,у) : у = —х} и ВС = {{х.у) : у — х — \/2 • sin — а)} и отрезком АВ.

Будем искать решение и(х,у) <Е C[\D) П C2(D+) П C2(D). такое, чтобы выполнялись следующие условия. у) + и.сх(х, у) = 0, {х. у) <Е £>+, (4)

Uyy(x> у) - у) = 0. (а:, у) <Е £>. (5)

Как видно из уравнений (4) и (5), область D+ является областью эллиптичности, - областью гиперболичности, а АВ - линией перемены типа. Граничное условие для области эллиптичности:

I а = (С)

Для области гиперболичности: u\ab = 0. (7)

Частые производные во внутренних точках линии перемены типа должны непрерывно сшиваться, кроме, может быть, точек А и В где они могут иметь особенность порядка ниже единицы. Помимо задачи (4, 5, 6, 7) рассмотрим также более частную задачу. Задача, отличается от предыдущей тем, что область эллиптичности и условия па её границе заданы специальным образом. Вместо для данной задачи областью эллиптичности будет D+rs. которая представляет собой сектор круга, ограниченный линией перемены типа АВ, отрезком AID и дугой 0\. Где AD - прямолинейный отрезок единичной длины, находящимся под уголом ft к оси абсцисс, ft > а', соединяющий точку А и точку D с координатами (cos/5. siuft). <т\ - дуга окружности х~ + у2 = 1, соедипящая точку Л, и точку D. Таким образом, будем требовать

Щу(х, у) + ихх{х, у) = 0, (ж, у) 6Е D+r,. (8)

На границе области эллиптичности в этом случае заданы следующие условия. ti(l,0) =/(0), в € [a, ft], / € С/[а, ft], 0 < б < 1 J(0) = 0; u\ad = 0. (9)

Сама, область гиперболичности и условия на границе для данной задачи те же, что и для задачи (4, 5, 6, 7).

Помимо задач (4, 5, 6, 7) и (8, 5, 9, 7) будем также рассматривать задачи, для которых на, границе области гиперболичности вместо условия (7) выполняется условие и\вс = 0- (Ю)

Для таких задач также будем требовать /(а) = 0.

Для задач с сектором круга в области эллиптичности приведены теоремы существования решения, дающие решение явно в виде рядов. Также приведены интегральные представления решений данных задач в областях эллиптичности. Для задач с областью эллиптичности ограниченной кривой а общего вида доказаны принципы эктремума, нз которых следует единственность решений данных задач. Теорема существования решения задачи с нулём на левой характеристике.

Теорема 1.2.1 Решение задачи (8, 5, 9, 7) в указанных в постановке условиях существует при а £ (—f5f)> и Для него верно следующее4 представление в виде рядов. оо U

Г, 9) = fr, ■ • sin [ап(в - f3)}, (ж, у) € 7J>+rs; (И) и

• sin [а,, (cv - 0)], (./;, у) € D. , (12)

13)

2 {2соБ[1г(£-а)/(2(/3-а))]}-^-*

-1/2-2о/тг

Лп(0 - (-1) л tg[7T«-Q)/(2 (/?-a0)]}1/2+2f,/

14)

Bi = Ci/2+2a/^(1)/ - коэффициент

1)' - коэффициенты биортогонального разложения функции f(6) но системе sin[a:7!(# — /?)].

Интегральное представление решения задачи с нулём на левой характеристике.

Теорема 1.3.1 Для решения задачи (8, 5, 9, 7) в Dпри о £ ( — j, верно следующее интегральное представление.

Ф)

-Im fl ft ~а J t z(3x/i-n)/{3-a) f\-(n/4+a)/{f1-a)

71

3-(у) /{p-o)

I fir J {B-a.) fy-ian f {,i-<\) 1

1/2+2г*/тг argf)rU

Принцип экстремума для задачи с нулём на левой характеристике.

Теорема 1.4.1 Максимум и минимум решения задачи (4, 5, С, 7) достигается па кривой а.

Теорема существования решения задачи с нулём на правой характеристике.

Теорема 1.5.1 Решение задачи (8, 5, 9, 10) в указанных в постановке условиях существует при а 6 (—j, , и для него верно следующее представление в виде рядов. оо U r> = /»•г<Цг •sin - 0)1' (*> у)е <■«'■■ i ос

Фм/) = ^ п=1 х-у

2sm(7r/4 - а). Р

ГД e/n= fmhn(№, а, sin [q„(o — ft)} , (х. у) £ D .

7ГП — 37Г/4 — cv ft — а

МО = (-!)'

2 {2 cos [тг(^ — а)/(2(6 — а))]} Р-<* {tg [тгК - а)/(2(/?-«))]}

-3/2-2а/тг 3/2+2о/тг 1 - (*)

В{ = Сз/9+90/тг(~^)г " коэффициенты биортотонального разложения функции f(0) по системе sin[a'n(# — /3)].

Интегральное представление решения задачи с нулём на правой характеристике.

Теорема 1.6.1 Для решения задачи (8, 5, 9, 10) в D+rb при о G (— верно следующее интегральное представление.

Ф) тг/4-а)/(«*-«)

Aj у-1—(зтг/4+л)/(/?—(»)

СГ] j-TY / (J-n)e-2/fV7r/ fTr/(ll-<t)e-l07r/(J-l\) 1

3/2 н 2п /f(m'gt)<H

Принцип экстремума для задачи с нулём на правой характеристике.

Теорема 1.7.1 Максимум и минимум решения задачи (4, 5, G, 10) достигается на кривой п.

Построение решения задач Трикоми для случая с кривой в области эллиптичности и данными на ней общего вида. В работе приведён способ сведения задач Трикоми с наклонной линией перемены типа и данными общего вида на границе сектора круга конформными отображениями к задачам Трикоми с наклонной линией перемены типа и нулём на радиусе AD. Обоснована возможность отображения решения в области эллиптичности, представляющей собой сектор круга, на область ограниченную произвольной кривой Ляпунова<т и линией перемены тина с сохранением свойств решения на линии перемены типа.

Вторая глава

Задачи, рассматриваемые во 2-ой главе отличаются от задач из первой главы с сектором круга в области эллиптичности, тем, что для них па радиусе (г, 9) : г €Е (0,1), (9 = f3 вместо условия равенства пулю решения задано условие равенства пулю нормальной производной решения. Решение ищем в области, представляющей собой объединение сектора круга с заданным внутри уравнением Лапласа и треугольника, с заданным внутри волновым уравнением. При этом данный треугольник ограничен линией перемены типа и отрезками характеристик волнового уравнения. В зависимости от постановки, на одной из характеристик заданы нулевые данные. Рассмотрены как задачи с нулём, заданным на левой характеристике, так и с пулом, заданным на правой характеристике.

Постановка данных задач представлена в следующем виде. Постановка задач.

Drb = D+rs U D. (15)

Область D+J.,s представляет собой сектор круга, ограничепый линией перемены типа АВ. находящейся иод углом сх к оси абсцисс и соединяющей точки Л(0,0) и В (cos a, sin or), отрезкомAD и дугой ст\. A D - прямолинейный отрезок единичной длины, находящимся под уголом /3 к оси абсцисс, /3 > а, соединяющий точку А и точку D с координатами (cos/3, sin /3). Область ограничена двумя отрезками характеристик волнового уравнения АС — {(х.у) : у = —.г'} и /3(7 = {(.т, //) : у — л; — \/2 ■ sin (| — а)} и отрезком АВ. оч - дуга окружности х2 4- у2 — 1, соединяющая точку В, и точку Z). Будем искать решение yi(x,y) Е C°(D) nC2(L>+)nC2(£L), такое, что выполняются следующие условии. и1П){х, у) + ихх(х, у) = 0, (х, у) е D+rs. (16) у у у (х-, у) - Ухх(х., у) = 0, (ж, у) G D-. (17)

На границе области эллиптичности заданы следующие условия. и( 1,0) = 0(0), 0 е [а, в], д е С* [а,/?], 0 < е < 1 ди дп

Вектор п направлен перпендикулярно AD. Для области

-0. (18)

AD гиперболичности: у\аб = 0. (19)

Частые производные во внутренних точках линии перемены типа должны непрерывно сшиваться, кроме, может быть, точек А и В где они могут иметь особенность порядка ниже единицы.

Помимо задачи (16, 17, 18, 19), будем также рассматривать задачу, для которой на границе области гиперболичности вместо условия (19) выполняется условие

IВС - 0. (20)

19

Для этой задачи та,кже будем требовать д(о') = 0.

Для задачи е нулём как на левой, так и на ира.вой характеристике в области гиперболичности удаётся построить решение в виде, рядов и получить интегральное представление решения. Также оказывается возможным доказать для вышеуказанных задач соответствующие п р и 1 щи 11 ы э к стрем у м а.

Теорема существования решения задачи с нулём на левой характеристике.

Теорема 2.2.1 Решение задачи (1G, 17, 18, 19) в указанных в постановке условиях существует при а £ (—7г/4.7г/4) и для пего верно следующее представление в виде рядов. ос V г, 0) = 9п ■ • COS [а„(0 - /?)], у) е D+rs; ч v^ х + У

Ф, у) = 9п ~т=-—-г V2 cos(tt/4 — а) ос

• cos [<*„(« - /7)] , (:/;, у) е О. . п

МО

-1)"+[ - a) {sin [тг(е - а)К(р - а))]}1/2+2о/7Г cos [тг(£ - <*)/(2(/'i - о))]

В1 = ^/2+2„/Jr(-l)/+C'l72U/7r(-1)Z"1" коэффицие —l)z 1 - коэффициенты биортогонального разложения функции д по системе cos{a7)(# — /i)}.

Интегральное представление решения задачи с нулём на левой характеристике.

Теорема 2.3.1 Для решения задачи (16, 17, 18, 19) в D+r,4 верно следующее интегральное представление.

Ф)

-1тп уж/{р-с\) р-кпт/(,') а)

0-a""J tl-(37T/4+«)/(/?-a) pi/(rf-rv)p-i(\irj(J- a)

1/2 <-2a/7 1 g(m-gi)dt.

Принцип экстремума для задачи с данными на левой характеристике в области гиперболичности.

Теорема 2.4.1 Максимум(мииимум) решения задачи (1G, 17. 18, ]9) достигается па кривой а\ или равен нулю и достигается в точке; (0,0).

Теорема существования решения задачи с данными на правой характеристике.

Теорема 2.5.1 Решение задачи (16, 17, 18, 20) в указанных в постановке условиях существует и для пего верно следующее представление г. виде рядов. и(г. в) = 41

Фг оо

1 - £>« • г"» • COS [«„(0 - /?)] п=2 оо 9п ■ гп» • cos [ап(в - ,6)}, (г, в) € D+r,

1=2 и{х, у)

91

Фг

ОС

1 - ]г>„ п—2 х-у оо

П=2

V^sin (тг/4 — «) J а; - у л/28т(тг/4-а).

• cos [а„(а- — /?)] + cos [а„(а — /5)]. (х. у) е D. а« =

7Г71 — 57Г/4 — tv р - а '

9г. р Р

J 'Фп = / ЫСК, sin[7rfa-a)/(2(0-c*))]}

-1/2—2о/тг

5 - а- sin [7г(77 - а)/((/3 - а))] л 4 Vr

7г(?/-а)' — А

Bi ~ С!3/2+2а/7Г(-1)1 + С'з/2+2а/7г(~1)/

Интегральное представление решения задачи с данными на правой характеристике.

Теорема 2.6.1 Для решения задачи (16, 17, 18, 20) в D+J.s при а £ f 5 f) В('Р|Ю следующее интегральное представление.

1 , 2п v(z) =

7г dc

7 (1-2 cos С +

X f t(r,7r/4+o)/(.J-o)-l

111! f3 — a J i

1 zK/(ri-(\)e-imT/{B-a)' X £x/{i1-n)e-io-K/{e-a)

X -J- /тr/(/i-o)e inir/(.'S-<\) 1 ry(arft /,) f/1

Принцип экстремума для решения задачи с нулём на правой характеристике волнового уравнения.

Теорема 2.7.1 Максимум и минимум решения задачи (16, 17, 18, 20) достигается на кривой а\.

Третья глава

Третья глава посвящена аналогам задачи Геллерстедта для уравпепиия Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда линия перемены тина, образует симметричный относительно оси ординат угол с вершиной г, начале координат. Область эллиптичности представляет собой симметричным относительно оси ординат сектор круга и ограничена линией перемены типа и дугой единичной окружности с центром в начале координат, на которой заданы ненулевые данные. Области гиперболичности представляют собой треугольники и ограничены линией перемены типа и отрезками характеристик волнового уравнения. В зависимости от постановки, на внешних или внутренних характеристиках в области гиперболичности заданы нулевые данные. Рассмотрена как задача с нулём, заданным на внутренних характеристиках, так и с нулём, заданным на внешних характеристиках.

Постановка задач дана в следующем виде. Постановка задач.

Исследуем пару краевых задач, которые можно рассматривать как некоторые аналоги задач Геллерстедта.

D = D+m U £L l U Z)2, (21)

D+rs = {0 < г < 1, (У < в < тг - а}} х = г cos 0, у = г sin 0, (22)

D-1 = {(я,;У) : max (х; —х — \/2cos + < у < — tga • х; — cos а < х < 0}.

D-2 = {(х,у) : max X] х — у/2 cos ^ + а^ < у < tg а • х\ 0 < х < cos о-}.

В области D определить функцию и(х, у) € C°(D)nC2(D+rs)nC2(D„ ,)П C2(D2)-, которая удовлетворяет уравнениям

Uyy + ихх = 0, (ж, у) е D+rs (23) и

Uyy - ихх = О, (ж, у) G -D-i U £>2

24) и граничным условиям

1,0) = Ф(0),0 <Е [а,тг-а],ср £ С [а% тг — а], г > 0. (25 Обозначим (т\ — {(г, 0) : г = 1, 0 G [а, 7Г — о]}.

Для первой из рассматриваемых задач будем требовать выполнение условий п(х, х) = 0, х € cos + а) > 0 и(х, -х) = 0, х <Е ^0, fcos Q + . (2G)

Будем называть эту задачу „задачей с нулём на внутренних характеристиках'1. Для второй из задач вместо приведённых выше условий потребуем выполнение следующих условий. и —х — у/2 cos ^ + а^ = 0, х G cos а, cos (j + а v (х, X - \/2 cos + = 0, х е ^^ cos + а) , cosn^ .(27)

Также для этой задачи потребуем согласования значений Ф(о) = Ф(тг — су) = 0. Задачу, для которой будем требовать выполнения этих условий будем называть „задачей с нулём на внешних характеристиках". Будем также рассматривать более общие задачи, для которых

D = D+ U Di U D—2- {Щ

Область эллиптичности D+ в этом случае ограничена линией перемены тина и кривой Ляпунова <т, соединяющей точки (— cos о\ sin о) и (cos (У, sin су), соответствующе левой и правой граничной точке линии перемены типа.

Граничные условия для кривой <т будут выглядеть следующим образом.

В точках (—cos a, sin a), (cos a, sin а), (0,0) позволим градиенту решения иметь особенность порядка ниже единицы, градиент решения должен быть непрерывен в остальных точках линии перемены типа, для всех вы 1 неонисашiых задач.

Теорема существования решения задачи Геллерстедта с нулём на внутренних характеристиках.

Теорема 3.2.1 Решение задачи (23, 24, 25, 26) в указанных в постановке условиях существует при а £ (—7г/4,7г/4) и для пего в D+rs верно следующее представление в виде рядов.

29) ос

U, оо а тгп — тг/4 — а

7Г71 — Зтт/4 — Q

II a 2 2 {2co s[7rK-g)/(2(f-Q))]}-1/2-2a/ir feV (f-a)y ■ l)n+1 cos [?r(£ — a)/(2(f — a))]" f-«){sin[7rK-a)/((f-a))]}

1/2+2п/тг n

V

Ar= L

5 - «0 .

B} С б;2 = с

1/2+2(v/

1/2-Ь2о./тг( + C'l/2+2«/7r("1)

-1

Интегральное представление решения задачи Геллерстедта с нулём на внутренних характеристиках.

Теорема 3.6.1 Для решения задачи (23, 24, 25, 2G) и D+(.s порно следующее интегральное представление.

Ф)

-—/т /

J t

Зтг/4-о)/(.*-и) 1 тг/(,'У—a) iaw/(ii—o)

1 ^/р-о)е-ттг/(5-с>)

2f2a/V

0"!

7r/(f-Q)e-2m7r/(|-«) |

- (2;t)7r/^~rt)e-2ia7r/(f-a) ^7r/(f-a) ^tt/(f-a) arg/)r/if-o<

Im г ^(тг/1-о)/(|-г>)

7r/(|-a)e-;o7r/(f-n) £7r/(f-n)e-m7r/(f--o) t/2i2fi/7 1

1 ( ^7T/(f-ft)e-W7r/(f-o) f//( f-n)e-2/«Tr/(f-«) 1

1 (^)7r/(f-a)e-2/a,r/(§-a) ^/(f-.i) ~тг/(§-а)

9{0) = \Щ0) + ФМ + тг)].

Формула среднего значения для решения аналога задачи Геллерстедта с нулём на внутренних характеристиках.

Теорема 3.7.1 Для гармонической функции, представляющей собой решение задачи (23, 24, 25, 27) в D+rs верна следующая формула среднего значения.

7Г—<Х

Ш 0)£1Ы1 = f«м)*

I4 i£l '

2п -я

Принцип экстремума для решения аналога задачи Геллерстедта с нулём на внутренних характеристиках.

Теорема 3.4.1 Максимум(мипимум) решения задачи (23, 24, 25, 26) достигается на кривой а или равен нулю и достигается в точке (0.0).

Теоремы существования решения задачи с данными па внешних характеристиках.

Теорема 3.5.1 Решение задачи (23, 24, 25, 27) в указанных в постановке; условиях существует при а 6 (—7г/4,7г/4) и для пего в D.(.,.s верно следующее представление в виде рядов. щ г, У) = > Тт, • г"" • sm | <х (и — —) + п—1

T^-sill ос

1 - ■ г";

COS ri—2

7Г s ос Х> га" • COS п=2

7Г ft 7Г7? — 37Г/4 ~ а 2

7Г f — а 5

7гп — 5тг /4 — а о 5 / [Ф(0 н- + тг)] hliOdt, fjn = 2 fv

7Г 2

Ф,. = /

4(f) = (-1)'

-3/2—2а/—

2 {2cos [?г(£ — «)/(2(| — а))]} tg[^(f-a)/(2(}-a))]}3/2,-2"/'

-l)»+l {sin[7r(r; — а)/(2(| — а))]}

-1/2-2O/7 f - а sin[7rfo-c0/((f-a))] fsin fr=l 4 1 2

7Г(?/ - О')'

Bl

Bf

-I)'с'з/2+2Г>/7Г(-1)/ + с'з/2+2«/7Г("1)

-1

Приведём представление решения задачи Геллерстедта сданными на внешних характеристиках также в несколько иной форме.

Теорема 3.5.2 Решение задачи (23, 24, 25, 27) в указанных в постановке условиях существует при а £ (—7г/4,7г/4) и для пего в D+rs верно следующее представление в виде рядов.

V ; Vi оо

1 - Фг. г°п ■ sin

7г г) =2 an(<9 — а) — — 4- а га" • sin

11=2

7Г а„(0 — а) — — + а , (г, 0) а, п ттл - Зтг/2 - 2а тг- 2а :

7Г—а тг—а а =

-3—4rv/7i

2а Г ) 3/2+2o/ff

2(тг-2а) J

Unk к=1 V а)'

7г — 2а В н-к \ Л /~il—m /~<гп ( 1 \l

I — > 03,2aW+22(-iJ

Z—'' 2 + 1Г 2 7Г

-777

7H=0

Интегральное представление решения задачи Геллерстедта с нулём на внешних характеристиках.

Теорема 3.6.1 Для решения задачи (23, 24, 25, 27) в D+rs при rv G (~~I>l) веРио следующее интегральное представление;. \ 4>v u(z) = —

3 I 2a

1 -Im (2 — z27r/(7r-2o)e-i'2a7r/(?r-2a)^ 2+^

7г

LELii±llF Л 5 £. з + (гР-/«)5r(| + f) \ 4 + J Im

2«)/(ir-2o)-]

К-2(1 2(тг/2+2а)/(тг-2а) x ^27г/(тг—2«) g—г2атг/(7г—2a) ^2тг/(7г—2a)g—/2п7г/(тг—2a) / (тг—2a) p—2 (а тг / (тс—2a) a , 2<» arg£) <//

1 - (л£)^ке-2/о7г/(тг-2а) (тг/{тг-2а) гтг/(тг-2а)

Принцип экстремума для аналога задачи Геллерстедта с нулём на внешних характеристиках.

Теорема 3.7.2 Максимум и минимум решения задачи (3.5, 3.6, 3.11, 3.9) достигается па кривой а.

Четвёртая глава

В четвёртой главе рассмотрены три взаимосвязанных задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области является полуполосой, а граничные данные отличны от нуля только па характеристиках в гиперболических частях области. Задача Геллерстедта, задача Трикоми, а также задача с граничными данными смешанного типа на границе области эллиптичности. В последней из этих задач на левом крае полуполосы, являющей собой область эллиптичности, задано требование равенства, нулю нормальной производной, на нравом же крае требуется равенство нулю самой функции. Новыми являются результаты, полученные для двух из этих задач, а именно, для задачи Геллерстедта и для задачи с данными смешанного типа. Аналогичные результаты для задачи Трикоми приведены в работе [15).

Для за,дачи Геллерстедта решение выписано в виде ряда, коэффициенты в котором находятся из разложения но системе синусов с разрывной фазой. Возможность построения решения в виде ряда основана на новых результатах о базиспости, полноте и минимальности системы синусов с разрывной фазой с параметром. Параметр в данной системе определяет величину „разрыва фазы".

Для задачи с смешанными данными в области эллиптичности также приведено решение в виде ряда, а также интегральное представление для нормальной производной па линии перемены типа уравнения. При помощи этих результатов получено интегральное представление для нормальной производной налипни перемены типа уравнения задачи Геллерстедта.

Решение данной задачи Геллерстедта, в совокупности с результатами работы [14) позволяет выписать решение задачи Геллерстедта с граничными условиями общего вида.

Постановка данной задачи приведена в следующем виде. Постановка задач.

Рассмотрим следующую краевую задачу. В D — D , LJ I). \ LJ 1). 232

D+ = {-1/2 < x < 1/2> 0}, - {-1/2 - у < x < v/, — 1 /4 < у < 0}, D-2 = {— У < x < у + 1/2, —1/4 < у < 0} определить функцию и(х, у) е C°(D) п C2(D+) п C2(Di) п С2(Л2), которая удовлетворяет уравнению sgnyuxr + иуу = 0, (ж, у) 6 D+ и £)1 и D2 (30) и граничным условиям и(±1/2,у)=0,у€(0,+оо), (31) v(x, -х - 1/2) = fL(x),z е (-1/2, -1/4), и(хух - 1/2) = /2(а:),ж G (1/4,1/2), (32)

J\ е С2(-1/2,-1/4) П Cl4f[—1/2, —1/4], /2 е С2(1/4.1/2) П С1 к[1/4,1/2], /[(—1/2) = 0, /2(1/2) = 0. Частные производные ди/дх и ди/ду должны непрерывно сшиваться но всем точкам отрезка [—1/2,1/2] действительной оси кроме, может быть, точек (±1/2.0) и (0.0), где они могут обращаться в бесконечность порядка, ниже единицы. Будем требовать и(х, у) —> 0 при у —> +оо.

Наряду с задачей (30-32) будем рассматривать следующее две задачи. Первая из задач представляет собой задачу Три ком и в полу полосе для уравнения Лаврентьева,-Вицадзе с данными на участке характеристики у = X - 1. Итак, в Е = E+UE-, Е+ = {0 < х < 1,у > 0}, Е- = {-у < х < у + 1, —1/2 < у < 0} нужно определить функцию и~(х, у) € C°(D) П С2(Е+) П С2(£?), (33)

33 которая удовлетворяет уравнению sgn у . + и~у = 0, (ж, I/) G и (34) и граничным условиям и~(0,у) = 0./«Г(1,?у) = 0,2/ е (0,+оо), (35) ж - 1) = ж € (1/2,1), ' (3G) v> е С2(1 /2,1) П C1+f[]/2,1], = о. Частные производные д(Г/[):,: и дгг/ду должны непрерывно сшиваться по всем точкам отрезка, [0,1] действительной оси кроме, может быть, точек (1, 0) и (0, 0). где они могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы. Будем требовать и(х, у) —» 0 при у —> +оо.

Во второй из задач нужно найти решение w+, задача же отличается от зада,чи (34, 35, 36) тем, что вместо условий (35) в области эллиптичности заданы условия и+(х, г/)|а;=0 = 0, «+(1, у) = 0, у > 0. (37)

Также обозначим и+{х,х- 1) = ф),х £ (1/2,1). (38)

Теорема существования решения задачи Геллерстедта в области эллиптичности.

Теорема 4.3.1 Решение задачи (30-32) в заданных в постановке условиях существует и представим о в D+ виде следующего ряда где ос А и у) = У" " sin п—1

7гп (х + i

-1)*+1 / Г+(в/(2>к))Ь1(в)ст.,

Ч) £ 1 ч "2 ~ 4 к г.

7г( \/2 sill 6») ^ d1 \ ^ s-il—ms-im ( -\\l-m

I ~ 1/2 01/2V~-U

Z(Z-!).(/-??+ 1) ш=0 тг!

А* = ("!)* Г F-(0/(2n))hl(0)d0„ J о г

2 4 у I

1—7)1 m=()

39)

40)

41)

При этом для доказательства данной теоремы существования используются следующее результаты о свойствах систем синусов с разрывной фазой.

Система синусов с разрывной фазой

Рассмотрим следующию систему синусов. sin [пв + (Y sgn (в - тг/2)]}~ , , в £ (0,7Г), а 6 R • (42)

Теорема 4.2.1 Система (42) образует базис в Ьр(0.-к) при р > 1 (при р — 2 - базис Рисса) тогда и только тогда, когда a mod (7г) £ (— 77 min (1--) ) .

V 1 V 2р'2 \р- pJJ

Теорема 4.2.2 Система, составленная из членов системы (42) с чётными индексами {sin [2kB + О' 8gn (в — 7г/2)]}^=] , в £ (0. тг). а £ К. , в подпространстве нечётных функций образует базис в L;>(0,7г) при р > 1 (при р = 2 - базис Рисса) тогда и только тогда, когда a mod (7г) € ( —тг, тг I •

Причём система минимальна в подпространстве нечётных функций при любых а £ Ж, а при О' = ±7г/(2р) + тгт также полна.

Теорема 4.2.3 Система, составленная из членов системы (42) с нечётными индексами sin [(2к - 1)0 - a sgn (в - 7г/2)]}^=1. 0 £ (0, тг), а< £ К, (43) в подпространстве, чётных функций в Lp(0,7r) образует базис (при р = 2 базис: Рисса) при следующих условиях.

1. При р > 2 тогда и только тогда, когда modOr)e(f(-l-£),j).

Причём в этом случае система минимальна в подпространстве чётных функций при любых (\ £ К, а при а = —тг/2 — тт/(2р) + тгт и п — 7г/(2р) + тгт также полна.

2. При 1 < р < 2 тогда и только тогда, когда a mod (-)е (f (-2 + i),|(l-I)).

Причем в этом случае вне интервалов базисности система не минимальна., при этом система полна в подпространстве чётных функций при любых а £ К.

Теорема существования решения задачи с данными смешанного типа на границе области эллиптичности .

Теорема 4.4.1 Решение задачи (34, 37, 38) в заданных условиях существует и представим о в Е+ в виде следующего ряда: и+(х- У) = сп sin ~ ж + ехр (7г (п " 0 ' ('г' у)g е

К = -тг jf1 у/ + 0 h^nt) dt, Ci = Л1,/ (ч/2тг( п - 1 rt=0

Интегральное представление решения задачи с данными смешанного типа на границе области эллиптичности .

Теорема 4.5.1 Для производной ди+/ду решения задачи (34, 37. 38) при кр € С,1+г[1/2,1] внутри Е+ верно следующие интегральное представление:

- -i=lm i J (I + eiirz){\ - е^-)е""'7Г~х dyK y/2 V

Jo 1 X I </>'!- +

2 2 / ^2 sin 7r£

37 e-m{z+i) J, e/7r(/-2) 1 rf/ •

Интегральное представление решения задачи Геллерстедта.

Используя приведённое в [15] интегральное представление решения задачи Трикоми в полуполосе и интегральное представление задачи с данными смешанного типа на границе области эллиптичности, оказывается возможным выписать интегральное представление; решения задач и Геллерстедта.

Теорема 4.8.1 Для производной ди/ду решения задачи (30-32) при е С1+'[—1/2, —1/4], /2 б С1+г[1/4,1/2], внутри D 4. верно следующее и и те 1 ральпое п ре; 1,став ji ei i ие : о 1 1 1 dt+ + ■ у/'2 sin 2тг/. - 1 - 1J

1/2 t 1 \ ( t 1 2 + 4 )+'Ч-2-4

2 + 4 rfl о л/ig7rtx