Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений гиперболического типа с интегральными условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Юсупова, Ольга Викторовна

• Юсупова, Ольга Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юсупова, Ольга Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление

Введение

Глава 1. Задачи с условиями сопряжения для уравнения с двумя линиями вырождения

1.1. Задача У\

1.1.1. Сведения о задаче Коши

1.1.2. Задача Ц

1.1.3. Единственность решения задачи У\

1.1.4. Приведение решения задачи У\ к решению интегрального уравнения

1.1.5. Исследование ядра интегрального уравнения

1.1.6. Исследование правой части интегрального,уравнения

1.1.7. Выполнение условий теорем 1

1.1.8. Непрерывная зависимость решения задачи У\ от начальных условий

1.2. Задача Уг

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Существование и единственность решения задачи

1.3. Задача У3

1.3.1. Постановка задачи

1.3.2. Существование и единственность решения задачи Уз

Глава 2. Задачи для уравнений, вырождающихся на границе области

2.1. Задачи для уравнений с одной линией вырождения

2.1.1. Предварительные утверждения

2.1.2. Задача Аг

2.1.3. Задача

2.1.4. Задача Ад

2.2. Задачи для уравнения с двумя линиями вырождения

2.2.1. Нахождение общего решения

2.2.2. Задача ^

2.2.3. Задача

2.2.4. Задача 53

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений гиперболического типа с интегральными условиями»

ВВЕДЕНИЕ

Теория краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа занимает важное место в системе знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными. Первые фундаментальные результаты в этой области были получены Ф.Трикоми [77]. В последствии для гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области, были поставлены и исследованы различные краевые задачи [70, 71, 74, 47, 18, 35 и др.]. Этот класс уравнений имеет широкое применение в газовой и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике и многих других областях науки и техники.

Успехи современного естествознания потребовали дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных. В процессе изучения различных физических проблем постоянно возникают качественно новые задачи, на важность изучения которых указывает, например, А.А.Самарский [68]. Так, последние двадцать лет интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными.

К нелокальным задачам можно отнести задачи типа Франкля [879]. Эти задачи для уравнений смешанного типа изучали Ф.И.Франкль, А.В.Бицадзе, Ю.В.Девингталь, А.П.Солдатов, К.Б.Сабитов [79, 7, 34, 73, 67]. Так, К.Б.Сабитовым [67] получено решение задачи Франкля для уравнения Чаплыгина, для которого в 1956 году и была поставлена задача Франкля, а также найдены собственные значения и соответствующие собственные функции спектральной задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Исследованию еще одного класса нелокальных задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В.И.Жегалова [37] и А.М.Наху-шева [55]. Задачи со смещением являются важным классом нелокальных задач и впоследствии исследовались для уравнений различных типов, что нашло отражение в многочисленных, работах [1, 2, 5, 13, 51, 66 и др.].

В работе А.В.Бицадзе и А.А.Самарского [9] впервые была рассмотрена нелокальная краевая задача, являющаяся обобщением задачи Дирихле, что обусловило появление работ, в которых исследовались нелокальные задачи, представляющие собой непосредственное обоб-

щение известных классических краевых задач [5, 6]. В частности, задача со смещением, о которой уже упомяналось выше, является существенным обобщением задачи Трикоми. В одной из последних своих работ А.М.Нахушев приводит определения локальной и нелокальной задач и классификацию известных на сегодняшний день нелокальных задач [56].

Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями. Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, A.A.Самарский [68] приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из задач, возникающей при изучении физики плазмы. Впоследствии Л.С.Пулькина [65] получила явный вид решения этой задачи.

Отметим, что в настоящее время известны примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями для параболических и гиперболических уравнений (задача влагопереноса, задачи математической биологии [56]).

За последние три года появились работы, посвященные исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями и для пространственных задач [20].

Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа изучались В.Ф.Волкодавовым, З.А.Нахушевой, Л.С.Пульки-ной, Н.Д.Голубевой, Л.А.Игнаткиной [14-16, 57-58, 63-65, 23, 41] и др. Так, Л.С.Пулькиной [63] была рассмотрена задача, состоящая в нахождении решения уравнения Эйлера-Дарбу

J7 { \ — 0 а

-^а.а(^) =: tLxv ^х ^v == 0)

х-у X-у у удовлетворяющего интегральным условиям

J\(x,y)dy = <р(х),

' - ¡¡u{x,y)dx = ф(у)

и непрерывным условиям сопряжения на линии у = х как по функции, так и по нормальной производной. Н.Д.Голубева в своей кандидатской диссертации [23] для того же уравнения исследовала задачу с

весовыми интегральными условиями. Л.А.Игнаткина [40] обосновала существование и единственность решения серии краевых задач для уравнения,

Еал(и) = ¡(х,у), где <*>0,/?>0,а + /3<1,

в которых по крайней мере одно условие является интегральным.

Целью данной работы является постановка новых задач с интегральными условиями и доказательство теорем о существовании и единственности классического решения этих задач для уравнений гиперболического типа второго порядка с одной и двумя линиями вырождения, находящимися как внутри, так и на границе рассматри-ванмых областей.

Задачи, рассматриваемые в настоящей диссертации, составляют две категории. Одна из них рассмотрена в первой главе, являющейся основной, где дается доказательство существования и единственности решения краевых задач с интегральными условиями и с условиями сопряжения на нехарактеристической линии вырождения уравнения, находящейся внутри обрасти. Ко второй категории задач односятся задачи с интегральными условиями для уравнений, вырождающихся на границе области.

В тех случаях, когда уравнения вырождаются на границе области, решения поставленных задач получены в явном виде. Единственность этих решений следует из однозначного характера их построения.

Когда решение в явном виде получить не удается, единственность решения доказывается на основании принципа локального экстремума, доказанного в данной работе. При доказательстве существования решения исследуемые задачи сводились к интегральным уравнениям.

Итак, в первой главе данной диссертации для уравнения

(х2 - у2)иху — 2руих + 2рхиу = 0 (1)

на множестве = и где

0+ = {(я,2/)|0 <х<у<Н}, С = {(®,у)|0 < у < х < к}

рассмотрены краевые задачи, в которых по крайней мере одно из условий является интегральным.

Л.А.Игнаткина рассматривала уравнение с непрерывными параметрами на множестве 6?. В настоящей же работе уравнение (1) имеет

параметр р кусочно-постоянный по областям, а именно

| 9. в . 0<(1< 1/2, 0 < г < 1/2.

I Г, В Сг

В отличии от задач, изучавшихся Н.Д.Голубевой, задачи первой главы имеют только одно условие сопряжения. Кроме того иначе доказана единственность решений задач. Н.Д.Голубева при доказательстве единственности пользуется методом априорных оценок. В настоящей работе при доказательстве единственности используется принцип локального экстремума.

Итак, в первой главе доказаны принципы локального экстремума для уравнения (1) в областях и С?-, которые используются при доказательстве единственности решений всех поставленных в главе задач. Доказано существование решений этих задач.

В этой главе на примере одной из задач доказана непрерывная зависимость решения от граничных условий.

Во второй главе показано, что задачи с интегральными условиями для вырождающихся уравнений гиперболического типа могут быть поставлены и решены в областях, где рассматриваемые уравнения вырождаются на части границы/Таким образом, в постановках таких задач отсутствуют условия сопряжения. Для уравнения

а . ,

Щ-,у Н--;—Щ — 0, 12)

у — х

где — | < а < которое изучал В.Ф.Волкодавов [12], сформулированы новые краевых задачи с локальными и интегральными условиями в области Сг+. Решения всех поставленных задач получены в явном виде. Доказана единственность этих решений. В этой же главе в области

Р = {(х,у)\-у<х<у, 0 <у<Ь}, к> О

рассматривается уравнение

2т>11 , ч

и*у ~ 2 2й* = 0, 0 < р < 1. (3)

х у

Это уравнение вырождается на двух нехарактеристических линиях, являющихся границей области Р. Для уравнения (3) в области Р

сформулированы новые краевые задачи. Такие задачи, а именно задачи без условий сопряжения для уравнения, вырождающегося на двух линиях области, рассматриваются впервые. Решения всех задач получены в явном виде. Доказана единственность этих решений.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Уточнение класса начальных данных в задаче Коши для уравнения (1).

2. Доказательство принципа локального экстремума для уравнения (!)•

3. Доказательство существования и единственности решений краевых задач для уравнения (1) на множестве <3.

4. Постановка новых краевых задач с интегральными условиями для уравнения (2) в области и для уравнения (3) в области Р. Доказательство существования и единственности решений этих задач. Построение решений в явном виде.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21, 81 - 85]. Работы [21], [85] выполнены в соавторстве с научным руководителем В.Ф.Волкодавовым, которому принадлежат постановки задач.

Результаты диссертации докладывались на семинарах 1997-1999г.г.:

- в Самарской государственной архитектурно-строительной академии (Самара, 1997г., научные руководители профессор В.Ф.Волкодавов, профессор Н.Я.Николаев),

- в Стерлитамакском государственном педагогическом институте (Стерлитамак, 1998г., научный руководитель профессор К.Б.Сабитов),

- в Самарском государственном педагогическом университете (Самара, 1998г., научный руководитель профессор В.Ф.Волкодавов),

- в Казанском государственном университете (Казань, 1998г., научный руководитель профессор В.И.Жегалов),

- в Самарском государственном университете (Самара, 1999г., научный руководитель профессор О.П.Филатов),

а также

- на ежегодной научно-технической конференции сотрудников СамГАСА по итогам НИР за 1997г.(Самара, 1998г.),

и> и 4 __и Г"

- на международной научной конференции, посвященной юбилею академика-Ильина В.А., "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (Стерлитамак, 1998г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юсупова, Ольга Викторовна, 1999 год

Литература

[1] Андреев A.A. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Межвузовский сборник научных трудов "Краевые задачи для уравнений математической физики".- Куйбышев, 1990. С. 3-6.

[2] Базаров Д. Нелокальные краевые задачи для эллиптико- параболического уравнения // Дифференциальные уравнения.- 1990. Т. 26. N 6. С. 998-1007.

[3] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра- М.: Наука, 1965.

[4] Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981.

[5] Бицадзе A.B. К теории нелокальных задач // Докл. АН СССР.-

1984. Т. 277 N 1. С. 17-19.

[6] Бицадзе A.B. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций // Докл. АН СССР.-

1985. Т. 280 N 3. С. 521-524.

[7] Бицадзе A.B. Об одной задаче Франкля// Докл. АН СССР. - 1956. - Т.109, N 6. С.1091-1094.

[8] Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина // Докл. АН СССР.- 1957. Т. 112 N 3. С. 375-376.

[9] Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР.- 1969. Т. 185 N 4. С. 739-740.

[10] Владимиров B.C. Уравнения математической физики - М.: Наука, 1984.

[11] Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие - Киев: Наукова Думка, 1986.

[12] Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его применения к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными // Докт. диссертация. Куйбышевский государственный педагогический институт им.В.В.Куйбышева. Куйбышев, 1968.

[13] Волкодавов В.Ф., Мельникова А.И. Задача с нелокальными краевыми условиями для вырождающегося гиперболического уравнения // Межвузовский сборник научных трудов "Дифференциальные уравнения (Математическая физика)".- Куйбышев, 1981. Т. 248 С. 24-31.

[14] Волкодавов В.Ф., Бушков C.B. Задача с интегральными условиями для одного неоднородного уравнения второго порядка // Труды третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск 19-21 мая 1998, Саранск, тип. "Красный Октябрь", 1998. С.14-15.

[15] Волкодавов В.Ф., Бушков C.B. Задачи с интегральными и локальными условиями для уравнения гиперболического типа в треугольной области // Seventh International Scientific Kravchuch Conference. 14-16 May 1998 Kyiv. Conference Materials. Kyiv, 1998. C.93.

[16] Волкодавов В.Ф., Жуков B.E. Две задачи для уравнения колебания струны с интегральными условиями и специальными условиями на характеристике // Дифференциальные уравнения. -1998. Т. 34. N 4. С. 503-507.

[17] Волкодавов В.Ф., Жуков В.Е. Об одном обращении уравнения Абеля с бесконечным верхним пределом и его применение // Тезисы докладов международной конференции СГПУ. - Самара.: Самарский государственный педагогический университет, 1995.

[18] Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. - Куйбышев: Издательство Куйбышевского гос.пед.ин-та, 1984.

[19] Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Интегральные уравнения Воль-терра первого рода с некоторыми специальными функциями в

ядрах и их приложения. тет", 1992.

- Самара: Изд-во " Самарский универси-

[20] Волкодавов В.Ф., Федоров И.Н. Задача с интегральным и локальным условиями для трехмерного аналога уравнения колебания струны // Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Тезисы докладов, часть IV. Изд. института математики СО РАН. Новосибирск, 1998. С.11.

[21] Волкодавов В.Ф., Юсупова О.В. Задача для одного уравнения гиперболического типа с двумя линиями вырождения с заданием искомого решения на этих линиях // Сборник научных трудов международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы". 22-25 сентября. - Стерлитамак, 1998. С.42-44.

[22] Гахов Ф.Д. Краевые задачи - М.: Наука, 1963.

[23] Голубева Н.Д. Нелокальные задачи с интегальными условиями для уавнений в частных поизводных // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. - Самара, 1995. (СГУ. Мех.-мат. факультет)

[24] Голубева Н.Д. О разрешимости одной неклассической задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов III Международной конференции женщин-математиков. 29 мая - 2 июня. - Воронеж, 1995. С. 15.

[25] Голубева Н.Д. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа / / Тезисы докладов IV научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". 25-27 мая. - Самара: Самарский государственный технический университет, 1994. С. 15-16.

[26] Голубева Н.Д. Задача с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов V научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". 24-25 мая. - Самара: Самарский государственный технический университет, 1995. С. 67.

[27] Голубева Н.Д. Задача с нелокальными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов Международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". 27-30 июня. - Самара, 1995. С. 43.

[28] Голубева Н.Д. О разрешимости одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Тезисы докладов IV Международной конференции имени академика Кравчука. - Киев, 1995. С. 75.

[29] Голубева Н.Д., Пулькина JI.C. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики". 25 января - 1 февраля.- Воронеж, 1995. С. 76.

[30] Голубева Н.Д., Пулькина JI.C. Задача с нелокальными условиями для гиперболического уравнения // Деп. ВИНИТИ от 20.01.95. -. N 187-В95. 14с.

[31] Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Волжский математический сборник. - 1968. Вып. 6.

[32] Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Математический сборник. - 1994. Т. 185. N 1.С.121-160.

[33] Гущин А.К., Михайлов В.П. О некоторых нелокальных задачах для эллиптического уравнения // Тезисы докладов Международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". 27-30 июня. - Самара, 1995. С. 46.

[34] Девингталь Ю.В.ТГ вопросу о существовании и единственности решения задачи Франкля // Успехи матем.наук. - 1959. Т. 14. N 1(85). С. 177-182.

[35] Ежов A.M. Об одной гиперболической задаче для вырождающегося уравнения // Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора С.П.Пулькина. 27-30 мая. - Самара, 1997. С.25-26.

[36] Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Ученые записки Казанского университета. - 1962. Т. 122. N 3. С. 3-16.

[37] Жегалов В.И. К задачам со смещениями для уравнения смешанного типа // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Казанский университет, 1980. Вып. 17. С. 63-73.

[38] Жестков С.В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Украинский математический журнал. - 1990. Т. 42. N 1. С. 132-135.

[39] Зайнулабидов М.М. О задаче с нелокальными краевыми условиями, когда линии изменения типа смешанной области перпендикулярны II Дифференциальные уравнения. - 1994. Т. 30. N 5. С. 832-837.

[40] Игнаткина Л.А. Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа с непрерывными и сингулярными коэффициентами // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. - Самара, 1997. (СГПУ)

[41] Игнаткина Л.А. Две задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа с непрерывными коэффициентами II Тезисы длкладов VI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" 29-31 мая. - Самара, 1996. С. 45-47.

[42] Игнаткина Л.А. Задача с интегральными условиями для одного неоднородного уравнения гиперболического типа // Доклады 51-ой научной конференции СГПУ. Март 1997. Ч. I. Самара, 1997. С. 47-51.

[43] Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. - 1977. Т. 13. N 2. С. 294-304.

[44] Кальметов Т.Ш., Садыбеков М.А. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения // Дифференциальные уравнения. - 1990. Т. 26. N 1. С. 60-65.

[45] Каратопраклиева М.Г. Регулярное решение одной нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. - 1994. Т. 30. N 5. С. 847-857.

[46] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа - М.: Наука, 1972.

[47] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики - М.: Физматгиз, 1962.

[48] Краснов M.JI.Интегральные уравнения- М.: Наука, 1976.

[49] Курант Р. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1964.

[50] Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973.

[51] Лернер М.Е., Пулькина Л.С.Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. - Новосибирск: АН СССР. Сибирское отделение. Институт математики, 1988. С. 147-150.

[52] Миляков В.П., Сабитов К.Б.Принцип локального экстремума для уравнения Эйлера-Дарбу // Краевые задачи. - Оренбург, 1977. С. 46-53.

[53] Михайлов В. Г .Дифференциальные уравнения в частных производных,- М.: Наука, 1983.

[54] Михлин С.Т.Интегральные уравнения.- М.: ОГИЗ, 1949.

[55] Нахушев А.М.0 некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. - 1969. Т. 5. N 1. С. 44-53.

[56] Нахушев А.М.Уравнения математической биологии - М.: Высшая школа, 1995.

[57] Нахушева З.А.Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. - 1986. Т. 22. N 1. С. 171-174.

[58] Нахушева З.А.Первая и вторая краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. - 1990. Т. 26. N 11. С. 1982-1992.

[59] Николаев Н.Я.Некоторые специальные функции, краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения. - М: Издательство АСВ, 1997.

[60] Палюткин В.Г. О единственности решения граничной задачи с интегральным условием для дифференциального уравнения в полосе // Украинский математический журнал. - 1984. Т. 36. N 6. С. 786-791.

[61] Петровский И.Г.Лекции об уравнениях с частными производными - М.: Физматгиз, 1961.

[62] Просяной A.A. О решении смешанной задачи с интегральным условием для некоторого параболического уравнения // Тезисы докладов Гродненского госуниверситета. 6-ая конференция математиков Белоруссии. - Гродно, 1992. С.28.

[63] Пулькина JI.C.Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1991. N 11. С. 48-51.

[64] Пулькина JI.C.06 одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Математические заметки. -1992. Т. 51. N 3. С. 91-96.

[65] Пулькина JI.C.Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения // Тезисы докладов Международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". 27-30 июня. - Самара, 1995. С. 68.

[66] Репин О.А .Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. АН (Россия). - 1994. Т. 335. N 3. С. 295-296.

[67] Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН (Россия). - 1991. Т. 317. N 5. С. 1048-1052.

[68] Самарский A.A. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1980. Т. 16. N 11. С. 1925-1935.

[69] Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев ОМ.Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987.

[70] Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения.- М.: Наука, 1970.

[71] Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения-Минск: Вышэйша школа, 1977.

[72] Соболев C.JI. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966.

[73] Солдатов А.П. Об одной задаче теории функций // Дифференциальные уравнения. - 1973. Т. 9. N 2. С. 325-332.

[74] Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе.- Новосибирск, 1973.

[75] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики - М.: Наука, 1981.

[76] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.- М.: ИЛ, 1957.

[77] Трикоми Ф. О линейых уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа.- М.: 1947.

[78] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- М.: Наука, 1969.

[79] Франкль Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения // Прикл.мат. и мех. - 1956. - Т.20, N 2. С. 196-202.

[80] Чекалин А.Н.Разрешимость задачи с интегральными граничными условиями для дифференциального уравнения параболического типа // Дифференциальные уравнения. - 1985. Т. 21. N 2. С. 348-351.

[81] Юсупова О-В. Задача для одного вырождающегося уравнения гиперболического типа с интегральными условиями // Тезисы докладов межрегиональной научной конференции "Проблемы современного математического образо вания в педвузах и школах России". 19-20 мая. - Киров, 1998. С. 196-197.

[82] Юсупова О.В. Задача с локальным и интегральным условиями для одного вырождающегося уравнения гиперболического типа второго порядка // Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Тезисы докладов, часть IV. Изд. института математики СО РАН. Новосибирск, 1998. С. 46-47.

[83] Юсупова О.В. Задача с интегральным и граничным условиями для одного уравнения гиперболического типа с двумя линиями вырождения // Сборник научных трудов международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы". 22-25 сентября. - Стерлитамак, 1998. С.66-68.

[84] Юсупова О.В. Задача Уз для одного вырождающегося уравнения гиперболического типа с интегральными условиями // Доклады

52-ой конференции СГПУ. Апрель 1998. Изд-во Самарского гос. пед. университета. Самара, 1998. С.100-102.

[85] Волкодавов В.Ф., Юсупова О.В. Об одном решении уравнения гиперболического типа с двумя линиями вырождения // Доклады

53-ей конференции СГПУ. Май 1999. Изд-во Самарского гос. пед. университета. Самара, 1999. С.100-102.