Критические явления неабелевых калибровочных теорий в решеточной регуляризации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Герасименюк Николай Владимирович

• Герасименюк Николай Владимирович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Герасименюк Николай Владимирович

Введение

Глава 1. Теоретические основы

1.1 Статистическая физика и ее основные принципы

1.2 Теория сильных взаимодействий

1.3 Решеточная регуляризация

1.4 Фазовая структура КХД

1.5 Нейронные сети

Глава 2. Нейросети и исследование решеточной КХД

2.1 Машинное обучение в области решеточной теории поля

2.2 Во становление параметра порядка при помощи нейронных сетей

2.3 Концепции будущего использования техник машинного обучения

Глава 3. Исследование поведения нулей Ли-Янга в области перехода

Роберге-Вейсса

3.1 Канонический подход

3.2 Формулировка метода и проблемы численного подхода

3.3 Исследование поведения канонической статсуммы

3.4 Вычисление нулей Ли-Янга при Т > Т^ж

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критические явления неабелевых калибровочных теорий в решеточной регуляризации»

Введение

На данный момент известно, что около пяти процентов от общей массы Вселенной приходится на барионную материю, состоящую из протонов и нейтронов, оба из которых содержат по три кварка. Сильное взаимодействие, объединяющее кварки в адроны, довольно интенсивно исследуется численно и аналитически, для чего применяется практически весь инструментарий современной физики и математики. В области высоких энергий, где константу взаимодействия можно считать малым параметром, применяются методы теории возмущения. В области низких энергий, где не удается выделить малый параметр, исследования осуществляются при помощи непертубативных или феноменологических подходов. К последним можно отнести ряд широко известных моделей, таких как: модель Скирма, модель Намбу-Иона-Ласиньо и другие. При описании фазовой структуры КХД, эффективные модели предсказывают наличие критической точки в достаточно широкой области, но в привязке к экспериментальным данным выделяются только некоторые модели. В целом эффективные модели дают хорошее качественное поведение, однако количественно точны не все. Лагранжианы эффективных моделей задаются массами частиц или другими физическими константами (пример, /п - константа пионного распада в модели Скирма), сами модели учитывают лишь часть свойств квантовой хромодинамики (КХД) - теории, описывающей сильное взаимодействие. Непертубативные подходы, где вычисления производятся в решеточной регуляризации при помощи метода Монте-Карло, являются достаточно надежным инструментом при получении результатов из первых принципов КХД. Данный подход предлагает всесторонний взгляд на проблему конфамента, позволяет успешно восстановить спектр легких адронов, а также дает возможность выполнять исследования при наличии различных условий: внешних полей, нетривиальной топологии, вращения. Обратной стороной решеточного подхода является то, что в вычислительном отношении затраты очень дороги и требуют суперкомпьютеров самого высокого уровня. Более того, существует область конечной плотности, где из-за известной проблемы знака, когда решеточное действие КХД перестает быть действительным, метод Монте-Карло не может быть применен. В результате появляется потребность в разработке процедур которые обходят эту проблему.

На сегодня существует ряд кандидатов, позволяющих получать результаты в области конечных плотностей, их можно разделить на две группы: методы основанные на выборке значимых решеточных данных (reweighting [1], канонический подход [2], разложение в ряд Тейлора [3; 4]) и методы генерации решеточных данных с мнимым действием (Complex Langevin method [5], Lefschetz thimble [6]). Методы второй группы достаточно активно развиваются, однако на сегодняшний день их применимость показана лишь на простых моделях. Особое внимание уделяется первой группе, которой и принадлежат основные заслуги в исследовании фазовой структуры решеточной КХД в области конечных плотностей. Как итог, решеточный подход воспроизводит результаты в области T < 1, которые находятся в соответствии с эффективными моделями и экспериментальными данными [4]. В области ^/T > 1 методы первой группы расходятся в прогнозах. Канонический подход и вовсе не представлен, поскольку воспроизводит мнимую вероятность в области T > Tc. В области T <Tc метод не воспроизводит фазовый переход, однако в ряде эффективных моделей [7; 8] работает хорошо.

Исследования в области ^/T > 1 планируется осуществить в ближайшем будущем на отечественном ускорителе NICA - Nuclotron-based Ion Collider Facility, на немецком ускорительном комплексе GSI - Центр по изучению тяжёлых ионов имени Гельмгольца, а также планируется запуск новых экспериментов RHIC (США) и J-PAC (Япония). В этой связи в области решеточных вычислений наблюдается всплеск интереса к новым подходам исследования, в частности к методам машинного обучения.

Нейронные сети достаточно успешно используются при анализе данных с ускорителей частиц, где поиск скрытых закономерностей, лежащих глубоко в данных, позволяет устанавливать существование экзотических связанных состояний. Такой статистический подход принципиально не зависит от природы анализируемых данных, источником которых могут служить как классические изображения, так и данные с детекторов частиц. Методы машинного обучения несут в себе мощный инструмент, который не ограничивается обработкой данных. Эти методы используются и в задачах генерации данных и в ряде других комбинированных задач, но в связке с методами решеточной теории поля эти вопросы по большей части не изучены.

Потенциальным кандидатом для решения задач решеточной теории поля могут стать GAN-архитектуры состоящие из двух отдельных нейросетей: генератор и дискриминатор. Первая нейронная сеть из случайного шума генерирует

данные похожие на решеточные конфигурации, а дискриминатор тестирует полученные данные на правдоподобность. Для хорошего анализа сеть-дискриминатор должна видеть в данных физические поля, обладающие рядом свойств. В случае неабелевых теорий поля, мы показываем как должна выглядеть архитектура нейронной сети способная видеть локальную калибровочную инвариантность. Дискриминатор контролирует генератор до тех пор, пока тот не обучится создавать нужные данные. Дальнейшая задача состоит в установлении связи между параметрами теории и видом стартового шума.

В качестве первого шага была предпринята попытка исследовать довольно простые системы, состоящие, фактически, только из вакуума. Нами была поставлена задача создать нейросеть, которая способна работать с физическими полями, в нашем случае это глюонные поля, связывающие кварки в протоны, нейтроны и другие адроны на самых разных масштабах. Ожидалось, что нейронная сеть в процессе обучения, распознает такие особенности глюонов, которые обычно «прячутся» за принципом невылетания цвета и фоновым шумом, заполняющим вакуум. В результате исследований нам удалось создать нейросеть, способную распознавать глюонные поля, которые в отличие от электромагнитных описываются не числами, а матрицами. Перед нейросетью стояла задача проанализировать, что происходит с вакуумом при переходе от бесцветного состояния к состоянию, где цветные глюоны свободно вылетают, для чего ей было необходимо построить матричную комбинацию - линию Полякова, которая давно используется при исследовании подобных фазовых переходов. Результаты исследования показывают, что нейронная сеть, обученная в одной точке пространства параметров теории, позволяет предсказывать поведение линии Полякова в другой, где нейронная сеть не обучалась.

Построенная наблюдаемая является калибровочно-инвариантной из-за естественного усреднения, возникающего в ходе обучения нейронной сети. Такое усреднение делает обучение нейронной сети более чувствительным к наблюдаемым, не зависящим от калибровки. Некалибровочно-инвариантные наблюдаемые просто зануляются в ходе обучения. Качеству данных в таком подходе уделяется особое внимание, поскольку от этого зависит степень покрытия группы (Ж). Если обучающая выборка данных представляет вакуумы теории в полном объеме, то нейросеть, обученная в одной области теории, способна предсказывает поведение наблюдаемой в другой. Масштабирование такого подхода на случай больших

размерностей N = 2,4 приводит к изменению нейросети, однако архитектура сети не изменяется при переходе от одной теории к другой (2) ^ (3).

Другой способ исследования критических явлений в неабелевых теориях - подход Ли-Янга, который в нашем случае объединяется с Каноническим подходом. Идея, которой мы следуем, основана на изучении нулей Ли-Янга - нулей большой канонической статсуммы Zcc(ц,У,Т), полученной в мнимой области химического потенциала. Область мнимых значений примечательна тем, что в ней отсутствует проблемы знака, а следовательно, в данной области действие КХД остается действительным, т.е. подход Монте-Карло не испытывает сложностей. Работа в такой нефизической точке позволяет получать значения канонических статсумм Z(и,У,Т), которые в свою очередь не зависят от химического потенциала. С другой стороны значения Z(и,У,Т) являются коэффициентами ряда Лорана при разложении большой канонической статсуммы Zcc(ц,У,Т) в ряд по активностям £ = ец/т. Данный факт позволяет восстанавливать большую каноническую статсумму, изучая нули которой оказывается возможным исследовать фазовую структуру теории во всей области ц. Таким образом, исследование фазовой структуры в действительной области завязывается на решеточных вычислениях в мнимой области. К сожалению, каноническая процедура получения коэффициентов Z(и,У,Т) оставляет ряд открытых вопросов из-за чего фазовая структура КХД исследована только частично. Также немаловажным остается требование вычислений с произвольной точностью, что вновь затрагивает проблему вычислительных мощностей современных компьютеров.

Интерес к подобным исследованиям усиливается тем, что в недавней работе [9] удалось показать поведения нулей Ли-Янга, полученных из экспериментальных данных ЯШС. Результат работы основан на том, что авторам удалось выделить несколько канонических коэффициентов Z(и,У,Т) из данных барион-ной множественности.

Подводя итог вводной части можно сказать, что работа подступает к проблемам непертубативных подходов со стороны задач продолжения решеточных наблюдаемых. Первая часть работы посвящена методам машинного обучения, которые применяются к решеточным данным глюонных полей. Другая часть посвящена каноническому подходу, в рамках которого изучаются поведение нулей Ли-Янга.

Целью данной работы является изучение критических явлений в неабеле-вых калибровочных теориях и разработка новых методов для их исследования.

Для достижения данной цели было необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать модель машинного обучения для предсказания решеточных наблюдаемых;

2. Исследовать применимость методов искусственного интеллекта к задачам экстраполяции решеточных наблюдаемых;

3. Разработать алгоритм получения канонических статсумм Z(и,У,Т);

4. Исследовать поведение нулей Ли-Янга в рамках Канонического подхода.

Научная новизна:

1. Было показано, что методы машинного обучения позволяют строить наблюдаемые в теориях с калибровочной группой симметрии SU(2) и SU(3);

2. В работе предложен новый способ численного продолжения физических наблюдаемых из легко достижимых, но нефизических областей пространства параметров теории, в физическую и потенциально недостижимую область;

3. В работе впервые было показано, что свёрточная архитектура, в которую не закладывалась исходная симметрия данных, способна распознавать калибровочную инвариантность в пределах статистических погрешностей;

4. Был предложен способ получения канонических статсумм, основанный на оценке интеграла Фурье в мнимой области химического потенциала;

5. Было выполнено оригинальное исследование по анализу поведения нулей Ли-Янга в области температур выше критической;

6. Было показано существование ненулевой плотности нулей Ли-Янга в пределе бесконечного объема, указывающей на наличие перехода Роберге-Вейсса.

Методология и методы исследования. Результаты представленью в работе базируются на данных полученных методами квантовой теории поля на решетке. Обучающая выборка решеточных данных была получена с использованием классического действия Вильсона и улучшенного действия Ивасаки. Методы машинного обучения в данной работе применяются для задач регрессии в рамках подхода обучения с учителем. Процедура оптимизации параметров нейроннной сети основана на модификации классического алгоритма градиентного спуска с экспоненциальной скоростью затухания для оценок первого и второго момента. Для отыскания нулей Ли-Янга использовался пакет MPSolve, реализующий метод

Аберта - вариация алгоритма Ньютона с возможностью вычислений с произвольной точностью.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Современные подходы компьютерного зрения, в которые не закладывалась исходная симметрия данных, позволяют находить калибровочно-инвариантные величины в решеточных конфигурациях глюонных полей;

2. Конволюционная модель способна воспроизвести поведение параметра порядка в неабелевых калибровочных теориях с достаточно хорошей точностью в неизвестной области пространства параметров, где обучение не производилось;

3. Аналитический метод оценки интеграла Фурье для разложения большой канонической статсуммы в ряд Лорана по активностям не приводит к знакопеременному поведению коэффициентов этого ряда;

4. Показано существование слабой объемной зависимость нулей Ли-Янга в пределе больших значений барионного числа;

5. Наличие ненулевой плотности нулей Ли-Янга в области T = in/3 указывает на присутствие фазового перехода первого рода в мнимой области химического потенциала.

Достоверность полученных результатов обеспечивается возможностью их верификации, поскольку в данной работе использовались средства общедоступных библиотек: Kerns, Tensorflow, MPSolve, MPFR. Также полученные выводы находятся в соответствии с результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

- Harp Workshop «Hadrons and dense matter from QCD», Владивосток, Россия, 2019 г.

- The 6th annual student scientific conference in english, Владивосток, Россия,

2019 г.

- Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, Россия, 2020 г.

- The 7th annual student scientific conference in english, Владивосток, Россия,

2020 г.

- The MITP Workshop «Machine Learning Techniques in Lattice QCD», Майнц, Германия, 2021 г

- XXXIII International Workshop on High Energy Physics, Протвино, Россия, 2021 г

- The 38th International Symposium on Lattice Field Theory (LATTICE2021), США, 2021 г.

- The JINR workshop «Infinite and Finite Nuclear Matter», Дубна, Россия, 2023 г.

Личный вклад. Вклад автора заключается в непосредственном выполнении расчетов и анализе полученных результатов, представленных в данной работе. Автор принимал участие в написании статей и лично представлял результаты на отечественных и международных конференциях. Также автор работал над улучшением метода вычисления корней полиномов больших степеней, в рамках выполнения работ по нахождению нулей Ли-Янга. В ходе обсуждений с авторами пакета MPSolve, проблем касающихся вычислений с произвольной точностью, версия MPSolve была обновлена до версии v.3.1.8. Автор участвовал в конструировании и обучении нейронных сетей, занимался анализом и обработкой решеточных данных, проводил подготовку основных решеточных наблюдаемых.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях ,4 — в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 5 — в тезисах докладов. Зарегистрированы 3 программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 98 страниц, включая 21 рисунок и 2 таблицы. Список литературы содержит 82 наименования.

Глава 1. Теоретические основы

Статистическая физика была заложена в 19 веке Л.Больцманом и Дж.Максвеллом как попытка обоснования термодинамических законов имеющих только эмпирическую основу на то время. Бытующая в то время Ньютоновская механика не могла описывать системы с большим числом частиц поэтому было предложено использовать статистический аппарат для описания таких систем. В результате, предложенный в 20 веке метод Гиббса, или метод ансамблей Гиббса, фактически закрыл проблему такого обоснования, чем предоставил научному сообществу великолепный инструмент для исследования физических процессов и явлений.

На сегодняшний день статистическая физика затрагивает уже совсем другие задачи, не сравнимые с теми для которых она разрабатывалась изначально. Появление квантовой теории в 20 веке заставило пересматривать метод ансамблей Гиббса на случай квантовых систем, но впоследствии подход Гиббса с успехом удалось применить и к квантовым системам тоже. Применение статистического аппарата к квантовым системам и дальнейшее развитие теории поля привело к появлению квантовой теории поля, наиболее фундаментальной теории материи -теории взаимодействия элементарных частиц.

Квантовая теория поля, объединившая в себе представления релятивизма и классической теории поля, казалось должна полностью разъяснить вопросы фундаментального устройства материи, однако на практике все оказалось гораздо сложнее. Так называемое сильное взаимодействие никак не укладывалось в аппарат квантовой теории поля из-за сложностей возникающих при сильной константе связи. Выйти из сложившейся ситуации удалось при помощи решеточного подхода, но в области малых температур и больших плотностей и он оказался бессилен из-за так называемой «проблемы знака». Область больших плотностей напрямую относится к исследованию строения звезд, область низких температур известна своими свойствами сверхпроводимости. Эти два наблюдения, при всех сложностях изучения, до сих пор воодушевляют умы ученых и вселяют в них энтузиазм для изучения материи при таких критических условиях.

Для более полного раскрытия темы в следующих подглавах будет изложена базовая концепция статистической физики и будет показано как законы классической статфизики изменяются при применении к квантовым системам. Далее

будут даны основы теории поля, в частности теории сильных взаимодействий и решеточного подхода. В следующих главах будет показан метод аналитического продолжения основанный на решеточном подходе, а также будут даны представления об методах машинного обучения как одной из возможностей такого продолжения.

1.1 Статистическая физика и ее основные принципы

Статистическая физика начинается с рассмотрения движения фазовой точки в фазовом пространстве. В классическом случае фазовое пространство системы, состоящей из одной частицы, задается ее тремя координатами (р) и тремя импульсами (р). Для системы состоящей из N частиц ее состояние можно задать в 6№мерном фазовом пространстве, при условии что частицы одинаковые, т.е не имеют внутренних степеней свободы.

Изначально изучается движение фазовой точки в фазовом пространстве в течении времени Т и рассматривается АЬ - интервал времени в течении которого точка находилась в выделенном объеме фазового пространства АГ = Пз=1 Ад^Ар^. Вероятность Аш того что система будет обнаружена в элементе АГ задается Аш = АЬ/Т .В другую очередь, вероятность связана с плотность рас-

д ш дГ-

распределения равна

пределения как р = Ш, тогда можно заключить, что функция статистического

= Т™, ТАГ (1Л)

ДГ™0

Гиббс в свою очередь предложил другое определение функции распределения. При рассмотрении в фазовом пространстве достаточно большого числа N фазовых точек ( ансамбль Гиббса), то в пределе N ™ ж можно ввести понятие плотности этих точек или функции их распределения р = АN/ АГ - число фазовых точек в элементе фазового объема. Очевидно, что в этом случае р(р{д,Ь) нормирована на число всех фазовых точек. Нормировав функцию распределения на единицу, имеем

АN

р(р„д„()= Шп Жр (1-2)

ДГ О

Равенство определения 1.1 и 1.2 не совсем очевидно и является одной из больших проблем, до сих пор не решенных. Но на практике подтверждается, что функция статистического распределения 1.2 позволяет вычислять средние по времени значения физических величин 1.3, данное утверждение есть смысл эр-годической гипотезы.

7 = ^ • • • ^ 7(Рг^]р(РгЛг1) (Г (1.3)

Сформулировав понятие функции распределения, далее можно попробовать получить уравнение движения для нее. Это уравнение вытекает из теоремы Ли-увилля, которая гласит, что для системы, подчиняющейся уравнениям Гамильтона 1.4, фазовый объем с течением времени сохраняется. Другими словами можно сказать, что множество фазовых точек с течением времени ведет себя как несжимаемая жидкость.

Як дркдн (1.4)

дН

Рк = ддк

Таким образом, теорема Лиувилля гласит о том, что фазовый объем ¿ГаЫН, содержащий в себе ансамбль фазовых точке в стартовый момент времени Ь и фазовый объем (Гп в другой момент времени Ь = Ь + ДЬ равны друг другу Это легко можно увидеть если рассмотреть инфинитезимальные преобразования каждой из координат

| Як(Ь) = Як(Ь) + Чк(Ь)ДЬ

[Рк (Ь) = Рк Рк (Ь)ДЬ .

Пользуясь этим определением переходим к отклонениям для каждой координаты

(кк (Ь) = (кк (Ь) + Щ (кк (Ь)ДЬ ¿рк (Ь) = (рк (Ь) + дк (Рк (Ь)ДЬ Тогда элементарный объем

(1.6)

¿Як(Ь)(рк(Ь) = ¿Як(Ь)(рк(Ь) (1 + ||ДЬ + дрГк ДЬ + °(Д{2)) (1.7)

Последние два слагаемых в скобках зануляются в силу уравнений Гамильтона. Тогда (Гп = ¿як (Ь)(рк (Ь) = ¿як (Ь)(рк (Ь) = ¿Г'81аН, а в силу условия нормировки вытекает равенство:

1= / р(рг,да) ¿Г'аН = [ р(р'4,г>) (Гп (1.8)

откуда в силу теоремы Лиувилля можно заключить постоянство функции р вдоль траектории движения фазовой точки

р(Рг,Яг,Ь) = р(р'г ) (1.9)

В результате, найдя полную производную по времени от р и приравняв ее к нулю, а также воспользовавшись 1.4, получим уравнение движения для функции статистического распределения, иначе уравнение Лиувилля

др = {н,р}, (1.10)

где правая часть представляет собой скобку Пуассона

т ^ (дН д р дН д р \ (111)

{Нр = ? ВРИ - ^7%) (и1)

Ввиду рассмотрения системы находящейся в термодинамическом равновесии, т.е. в случае отсутствия явной зависимости от времени, уравнение 1.10 принимает вид

{Н,р} = 0 (1.12)

и поскольку функция статистического распределения явно не зависит от времени и ее скобка Пуассона равна нулю, то согласно классическому подходу о нахождении интегралов движения можно заключить, что функция р = рр д) является интегралом движения.

В отличии от классической системы, квантовая система описывается вектором состояния |*ф) в Гильбертовом пространстве, а не координатами ^ и р1 как принято в классическом случае. Тут же стоит добавить, что в квантовой теории принято работать в одном из представлений вектора |"ф) либо в координатном представлении (ж|"ф) = "ф(ж), либо в импульсном (р^) = "ф(р). Данное ограничение связано с принципом неопределенности координаты и импульса, присутствующем в квантовой теории. Также в квантовом случае рассматривается два типа состояний системы: чистые и смешанные. Чистое состояние дает максимально полное описание системы в рамках квантовой механики, т.е. известно полностью в каком состоянии находится система. В свою очередь статистический ансамбль, т.е. большое число невзаимодействующих копий данной системы, называется чистым ансамблем. Ансамбль смешанных состояний имеет более общее понятие в котором рассматривается большое число тождественных невзаимодействующих копий системы, которые могут находиться в различный квантовых

состояния. В смешанном ансамбле определены лишь вероятности wi обнаружить систему в квантовом состоянии. Таким образом в смешанном случае точно неизвестно в каком именно квантовом состоянии находится система.

Также в квантовой теории каждой наблюдаемой величине сопоставляется оператор, если рассматривать вектор состояния |*ф) в Гильбертовом пространстве H с размерностью N, то в H можно выбрать базис lni),i = {1,... ,N} где произвольный оператор Â в этом пространстве есть матрица N х N и каждый элемент матрицы определяется как Âj = (n^Âlnj). Среднее значение оператора для чистого состояния дается выражением

(a4) = (ф^ф) =Tr(P^Â), (1.13)

где Рф - оператор проекции (проектор) на вектор состояния |ф). Проектор также можно определить как Рф = ||. Здесь можно показать, что правая часть выражения 1.13 в действительности представляет собой среднее значение оператора.

Tr(P^Â) = £ (ni№)(MÂln)

i

= £ ШЫШФ) (1.14)

i

= £ 1щ)ы)1Ф) = (фЩф)

Для смешанного состояния среднее значение оператора задается как взвешенная сумма отдельных чистых средних

(,4) = £ шк(фк\Щк), (1.15)

к

где Т.к шк = 1 и шк ^ 0. Выражение (фк\Л\фк) представляет собой среднее значение оператора Л в чистом состоянии \фк). В общем случае, вектора состояния \фк) даже не обязаны быть ортогональны друг другу. По аналогии с 1.13 выражение 1.13 можно также привести к виду следа.

(Л) = £ Шк (фк\Л\фк)

к

= £ ШкТг(Рфк Л) (1.16)

к

= Тг([ £ ШкрРф^ 4 = Тг(рЛ)

Выражение в квадратных скобках представляет собой матрицу плотности или ста-топератор - аналог функции распределения.

Р = Х! ШкР^ь = Мк)(Фк | (1.17)

к к

Для статистического оператора также можно составить уравнение движения. Статоператор в выражении 1.17 зависит от времени, а \"фк) подчиняются уравнению Шредингера

д

\Фк) = Н\^,

\ = \н у '

Из данных выражений можно составить уравнение на статоператор р = р(£) для этого нужно домножить справа первое уравнение на Мк (фк \ и второе уравнение слева на -Мк\*фк) и просуммировать получившиеся выражения

№к )) Мк (^к \ + Мк)(д (^к \)] = (1.19)

к

= \Нр№к )Мк (^к \ \Мк\^к )(Фк\Н

>к)(Ук \

кк

вынося из под знака суммирования оператор Гамильтона и переставляя константы мк под знаком суммы имеем

о

Мк№к)(Фк\) = Мк\^к)(Фк\) - (X) Мк№к)(фк\)Н (1.20)

к к к

В результате имеем уравнение движения для статоператора

= ЯР -рН = [Й, р] (1.21)

Поскольку рассматривается статическая система, т.е. явно не зависящая от времени, то уравнение 1.21 преобразуется к простому виду

[ Н, р]=0 (1.22)

Равенство нулю коммутатора 1.22 значит что р является интегралом движения, аналогично классическому случаю. Также выражение 1.22 означает, что р и Н имеют общую систему собственных векторов.

Из классического выражения 1.12 видно, что это интеграл движения, но поскольку мы рассматриваем множество фазовых точек в фазовом пространстве,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Герасименюк Николай Владимирович, 2024 год

Список литературы

1. Ferrenberg, A. New Monte Carlo technique for studying phase transitions [Text] / A. Ferrenberg, R. Swendsen // Phys. Rev. Lett. — 1988. — Vol. 61. — P. 2635-2638.

2. Lattice QCD at Finite Density: An Introductory Review [Text] / S. Muroya [et al.] // Progress of Theoretical Physics. — 2003. — Vol. 110, no. 4. — P. 615-668.

3. Equation of state and heavy-quark free energy at finite temperature and density in two flavor lattice QCD with Wilson quark action [Text] / S. Ejiri [et al.] // Physical Review D. — 2010. — Vol. 82, no. 1.

4. Nagata, K. EoS of finite density QCD with Wilson fermions by multi-parameter reweighting and Taylor expansion [Text] / K. Nagata, A. Nakamura // Journal of High Energy Physics. — 2012. — Vol. 2012, no. 4.

5. Perturbation theory without gauge fixing [Text] / G. Parisi, Y. S. Wu, [et al.] // Sci. Sin. - 1981. - Vol. 24, no. 4. - P. 483-496.

6. Aarts, G. Lefschetz thimbles and stochastic quantization: Complex actions in the complex plane [Текст] / G. Aarts // Physical Review D. — 2013. — Т. 88, № 9.

7. Wakayama, M. Search of QCD phase transition points in the canonical approach of the NJL model [Текст] / M. Wakayama, A. Hosaka // Physics Letters B. — 2019. — Т. 795. — С. 548—553.

8. Wakayama, M. Use of the canonical approach in effective models of QCD [Текст] / M. Wakayama, S.-i. Nam, A. Hosaka // Phys. Rev. D. — 2020. — Т. 102. — С. 034035.

9. Nakamura, A. Probing QCD phase structure using baryon multiplicity distribution [Текст] / A. Nakamura, K. Nagata // Progress of Theoretical and Experimental Physics. - 2016. - Т. 2016, № 3. - С. 033D01.

10. Ландау, Л. Д. Теоретическая Физика В 10т. Том 5. Статистическая Физика. Ч. 1 [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

11. Ландау, Л. Д. Теоретическая Физика В 10т. Том 9. Статистическая Физика. Ч. 2 [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

12. Yang, C. N. Statistical theory of equations of state and phase transitions. 1. Theory of condensation [Text] / C. N. Yang, T. D. Lee // Phys. Rev. — 1952. — Vol. 87, no. 404.

13. Yang, C. N. Statistical theory of equations of state and phase transitions. 2. Lattice gas and Ising model [Text] / C. N. Yang, T. D. Lee // Phys. Rev. — 1952. — Vol. 87, no. 410.

14. Степаньянц, К. В. Классическая теория поля [Текст] / К. В. Степаньянц. — Физматлит, 2009. — 538 с.

15. Фейман, Р. Квантовая механика и интеграллы по траекториям [Текст] / Р. Фейман, А. Хибс. — Мир, 1968. — 382 с.

16. Gattringer, C. Quantum Chromodynamics on the Lattice [Text] / C. Gattringer, C. B. Lang. — Springer, 2010. — 343 p.

17. Кроиц, М. Кварки, глюоны и решетки [Текст] / М. Кроиц. — МИР, 1987. — 189 с.

18. Борняков, В. Компьютерные методы вычислений в решеточной квантовой хромодинамике [Текст] / В. Борняков, М. Поликарпов // Теоретическая физики. - 2010. - Т. 11.-С. 64.

19. Hutton, J. X. Theory of the Earth; or an Investigation of the Laws observable in the Composition, Dissolution, and Restoration of Land upon the Globe. [Текст] / J. Hutton // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1788. — Т. 1, № 2. - С. 209-304.

20. Valkenburg, A. Visual Observations of High Pressure Transitions [Text] / A. Valkenburg // Review of Scientific Instruments. — 1962. — Vol. 33, no. 1462.

21. Terapascal static pressure generation with ultrahigh yield strength nanodiamond [Text] / N. Dubrovinskaia [et al.] // Science Advances. — 2016. — Vol. 2, no. 7. — e1600341.

22. Wigner, E. On the Possibility of a Metallic Modification of Hydrogen [Text] / E. Wigner, H. B. Huntington // J. Chem. Phys. — 1935. — Vol. 3, no. 764.

23. Nagata, K. Finite-density lattice QCD and sign problem: Current status and open problems [Text] /K. Nagata//Progress in Particle and Nuclear Physics. —2022. — Vol. 127.-P. 103991.

24. Weyl, H. Quantenmechanik und Gruppentheorie [Текст] / H. Weyl // Zeitschrift für Physik. — 1927. — № 46. — С. 1—46.

25. Stephanov, M. Event-by-event fluctuations in heavy ion collisions and the QCD critical point [Текст] / M. Stephanov, K. Rajagopal, E. Shuryak // Phys. Rev. D. — 1999. —Т. 60, вып. 11.-С. 114028.

26. Philipsen, O. Lattice Constraints on the QCD Chiral Phase Transition at Finite Temperature and Baryon Density [Текст] / O. Philipsen // Symmetry. — 2021. — Т. 13, № 11.

27. The crossover line in the (T, ^)-phase diagram of QCD [Текст] / J. N. Guenther [и др.] // Nuclear Physics A. — 2021. — Т. 1005. — С. 121782. — The 28th International Conference on Ultra-relativistic Nucleus-Nucleus Collisions: Quark Matter 2019.

28. Raschka, S. Python Machine Learning [Text] / S. Raschka, V. Mirjalili. — Packt Publishing Ltd., 2019. — 771 p.

29. Напалков, В. Уравнения свертки в многомерных пространствах [Текст] / В. Напалков. — Наука, 1982. — 240 с.

30. Samarasinghe, S. Neural Networks for Applied Sciences and Engineering: From Fundamentals to Complex Pattern Recognition [Text] / S. Samarasinghe. — Auerbach Publications, 2006. — 570 p.

31. Machine-learning physics from unphysics: Finding deconfinement temperature in lattice Yang-Mills theories from outside the scaling window [Text] / N. Gerasime-niuk [et al.] // Phys. Rev. D (Q1). — 2020. — Vol. 103, no. 014509.

32. Applying machine learning methods to prediction problems of lattice observables [Text] / N. V. Gerasimeniuk [et al.] //. — SciPost, 2022. — P. 020.

33. Gerasimeniuk, N.Detection of phase transition via neural network [Text] / N. Gerasimeniuk // The 6th annual student scientific conference in english. — 2019.

34. Программа для предсказания фазового перехода в теории Янга-Миллса с двумя цветами: Св. о Рег. ПрЭВМ no. 2019666516 [Текст] / Н. Герасименюк [и др.]. — Заявл. 2019.

35. Программа для реализации максимальной абелевой калибровки в решеточной теории поля: Св. о Рег. ПрЭВМ no. 2020666325 [Текст] /Н. Герасименюк [и др.]. — Заявл. 2020.

36. Программа для реализации друхуровневого интегратора системы уравнений Гамильтона: Св. о Рег. ПрЭВМ no. 2019663437 [Текст] / Н. Герасименюк [и др.]. — Заявл. 2019.

37. Shanahan, P. E. Machine learning action parameters in lattice quantum chromo-dynamics [Text] / P. E. Shanahan, D. Trewartha, W. Detmold // Phys. Rev. D. — 2018.— Vol. 97, no. 094506.

38. Pawlowski, J. M. Reducing Autocorrelation Times in Lattice Simulations with Generative Adversarial Networks [Text] / J. M. Pawlowski, J. M. Urban // Mach. Learn. Sci. Technol. — 2020. — Vol. 1, no. 045011.

39. Albergo, M. S. Flowbased generative models for Markov chain Monte Carlo in lattice field theory [Text] / M. S. Albergo, G. Kanawar, P. E. Shanahan // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, no. 034515.

40. Sampling using SU(N) gauge equivariant flows [Text] / D. Boyda [et al.] // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 103, no. 074504.

41. Equivariant flow-based sampling for lattice gauge theory [Text] / G. Kanwar [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Vol. 125, no. 121601.

42. Nieuwenburg, E. P. Learning phase transitions by confusion [Text] / E. P. Nieuwenburg, Y.-H. Liu, S. D. Huber // Nature Physics. — 2017. — Vol. 13.

43. Matsumoto, T. Classifying Topological Charge in SU(3) Yang-Mills Theory with Machine Learning [Text] / T. Matsumoto, M. Kitazawa, Y. Kohno.

44. Machine Learning in High Energy Physics Community White Paper [Text] / K. Al-bertsson [et al.] // J.Phys.Conf.Ser. - 2018. - Vol. 1085.

45. Wetzel, S. J. Machine Learning of Explicit Order Parameters: From the Ising Model to SU(2) Lattice Gauge Theory [Text] / S. J. Wetzel, M. Scherzer // Phys. Rev. B. — 2017. — Vol. 96, no. 184410.

46. Machine learning quantum phases of matter beyond the fermion sign problem [Text] / P. Broecker [et al.] // Scientific Reports. — 2017. — Vol. 7, no. 8823.

47. Gross, D. Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories [Text] / D. Gross, F. Wilczek // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Vol. 30. — P. 1343—1346.

48. Influence of relativistic rotation on the confinement-deconfinement transition in gluodynamics [Текст] / V. Braguta [и др.] // Physical Review D. — 2021. — Т. 103, №9.

49. Chernodub, M. N. Inhomogeneity of rotating gluon plasma and Tolman-Ehrenfest law in imaginary time: lattice results for fast imaginary rotation [Текст] / M. N. Chernodub, V. A. Goy, A. V. Molochkov. — 2022.

50. Gluodynamics and deconfinement phase transition under rotation from holography [Текст] / X. Chen [и др.] // Journal of High Energy Physics. — 2021. —Т. 2021, №7.

51. Global Л hyperon polarization in nuclear collisions [Текст] // Nature. — 2017.— Т. 548, № 7665. — С. 62—65.

52. Kashiwa, K. Topological feature and phase structure of QCD at complex chemical potential [Текст] / K. Kashiwa, A. Ohnishi // Physics Letters B. — 2015. — Т. 750. - С. 282-286.

53. Machine learning and the physical sciences [Текст] / G. Carleo [и др.] // Rev. Mod. Phys. — 2019. — Т. 91, вып. 4. — С. 045002.

54. Lattice Gauge Equivariant Convolutional Neural Networks [Текст] / M. Favoni [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2022. — Т. 128, вып. 3. — С. 032003.

55. Topological defects and confinement with machine learning: The case of monopoles in compact electrodynamics [Текст] / M. N. Chernodub [и др.] // Phys. Rev. D. — 2020. — Т. 102, вып. 5. — С. 054501.

56. Numerical study of the Roberge-Weiss transition [Text] / N. V. Gerasimeniuk [et al.] // Phys. Rev. D (Q1). - 2023. - Vol. 107, issue 1. — P. 014508.

57. Analytic Continuation in Lattice QC2D [Text] / N. V. Gerasimeniuk [et al.] // Phys. Part. Nucl. (Q4). — 2021. — Vol. 52, no. 4. — P. 529—535.

58. Lee-Yang Zeroes in the Baryon Fugacity Plane: The Role of High Densities [Текст] / N. Gerasimeniuk [и др.] // Particles (Q3). — 2023. — Т. 6, № 3.

59. Герасименюк, Н. Вычисление нулей Ли-Янга в решеточной КХД при T > Trw [Текст] / Н. Герасименюк // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам. — 2020.

60. Gerasimeiuk, ^.Calculation of lee-yang zeros in lattice qcd at T>Trw [Text] / N. Gerasimeiuk, V. Bornyakov, A. Molochkov // The 7th annual student scientific conference in english. — 2020.

61. Analytic Continuation of the Quark Density in Lattice QC2D with respect to Quark Chemical Potential [Text] / N. Gerasimeniuk [et al.] //. LATTICE2021. — 2022. — P. 493.

62. New approach to canonical partition functions computation in Nf=2 lattice QCD at finite baryon density [Text] /V. G. Bornyakov [etal.] //Phys. Rev. D. — 2017. — Vol. 95, no. 094506.

63. Lee-Yang zeros in lattice QCD for searching phase transition points [Text] / M. Wakayama [et al.] // Phys. Rev. B. — 2019. — Vol. 793. — P. 227.

64. The critical points of strongly coupled lattice QCD at nonzero chemical potential [Текст] /1. M. Barbour [и др.] // Physical Review D. — 1997. — Т. 56, № 11.

65. Results on finite density QCD [Текст] /1. M. Barbour [и др.] // Nuclear Physics B - Proceedings Supplements. — 1998. — Т. 60, № 1/2. — С. 220—233.

66. Chiral symmetry restoration and realisation of the Goldstone mechanism in the U(1) Gross-Neveu model at non-zero chemical potential [Текст] / I. Barbour [и др.] // Nuclear Physics B. - 1999. - Т. 557, № 1/2. - С. 327-351.

67. Barbour, I. Complex zeros of the partition function for lattice QCD [Текст] / I. Barbour, A. Bell // Nuclear Physics B. — 1992. — Т. 372, № 1. — С. 385—402.

68. Fodor, Z. Lattice determination of the critical point of QCD at finite T and p [Текст] / Z. Fodor, S. D. Katz // Journal of High Energy Physics. — 2002. — Т. 2002, № 03.

69. Fisher, M. E. Lectures in Theoretical Physics 7c [Текст] / M. E. Fisher // Nuclear Physics B. — 1965. — С. 1.

70. Roberge, A. Gauge Theories With Imaginary Chemical Potential and the Phases of QCD [Text] / A. Roberge, N. Weiss // Nucl.Phys.B. - 1986. - Vol. 275. -P. 734.

71. Roberge-Weiss endpoint at the physical point of Nf = 2+1 QCD [Текст] / C. Bonati [и др.] // Physical Review D. — 2016. — Т. 93, № 7.

72. Takahashi, J. Quark number densities at imaginary chemical potential in Nf=2 lattice QCD with Wilson fermions and its model analyses [Text] / J. Takahashi, H. Kouno, M. Yahiro // Phys. Rev. D. — 2014. — Vol. 91, no. 014501.

73. Canonical partition functions in lattice QCD at finitedensity and temperature [Text] / V. Bornyakov [et al.] // 37th International Symposium on Lattice Field Theory - Lattice2019. — 2019.

74. Федорюк, М. В. Метод перевала [Текст] / М. В. Федорюк. — Москва: Наука, 1977.-368 с.

75. Katznelson, Y. An Introduction to Harmonic Analysis [Текст] / Y. Katznelson. — 3-е изд. — Cambridge University Press, 2004.

76. Quark Density in Lattice QC2D at Imaginary and Real Chemical Potential [Текст] / A. Begun [и др.]. — 2021.

77. MPFR: A multiple-precision binary floating-point library with correct rounding [Text] / L. Fousse [et al.] // ACM Transactions on Mathematical Software. — 2007. — Vol. 33, no. 2.

78. Bini, D. A. Solving secular and polynomial equations: A multiprecision algorithm [Text] / D. A. Bini, L. Robol // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2014. — Vol. 272. — P. 276.

79. Atsushi, N.Probing QCD phase structure using baryon multiplicity distribution [Текст] / N. Atsushi, K. Nagata // Progress of Theoretical and Experimental Physics. — 2016. — Март. — Т. 2016, № 3.

80. Шабат, Б. Введение в комплексный анализ в 2 томах [Текст] / Б. Шабат. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976.

81. Oliver, A. Iteration methods for finding all zeros of a polynomial simultaneously [Text] / A. Oliver // Math. Comp. Mathematics of Computation. — 1973. — Vol. 27, no. 122.

82. Ehrlich, L. W. A Modified Newton Method for Polynomials [Текст] / L. W. Ehrlich // Commun. ACM. — 1967. — Т. 10, № 2. — С. 107—108.