Квантовая запутанность и статистика фотонов на волноводных светоделителях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Верещагина Юлиана Витальевна

• Верещагина Юлиана Витальевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Верещагина Юлиана Витальевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 АКТУАЛЬНЫЙ ОБЗОР

1.1 Спонтанное параметрическое рассеяние как способ генерации квантово-запутанных фотонов

1.2 Способы измерения квантовой запутанности

1.3 Светоделитель как источник квантово-запутанных фотонов

1.3.1 Теория для волноводного светоделителя

1.3.2 Базовые выражения для светоделителей любого типа

ГЛАВА 2 ВОЛНОВОДНЫЙ СВЕТОДЕЛИТЕЛЬ В КВАНТОВОЙ ОПТИКЕ

2.1 «Традиционный» волноводный светоделитель

2.2 Частотно-зависимый волноводный светоделитель

2.3 Эффект Хонг-Оу-Манделя

2.3.1. Эффект Хонг-Оу-Манделя на «традиционном» светоделителе

2.3.2. Эффект Хонг-Оу-Манделя на волноводном светоделителе

2.4 Выводы

ГЛАВА 3 КВАНТОВАЯ ЗАПУТАННОСТЬ И СТАТИСТИКА ФОТОНОВ НА СВЕТОДЕЛИТЕЛЕ

3.1 Квантовая запутанность связанных гармонических осцилляторов

3.1.1 Коэффициент R для связанных гармонических осцилляторов

3.1.2 Физический анализ коэффициента отражения R

3.1.3 Квантовая запутанность на свободных электронах

3.2 Квантовая запутанность фотонов на светоделителе

3.2.1 Квантовая запутанность на «традиционном» светоделителе

3.2.2 Квантовая запутанность на волноводном светоделителе

3.3 Статистика фотонов на светоделителе

3.3.1. Статистика фотонов на «традиционном» светоделителе

3.3.2. Статистика фотонов на волноводном светоделителе

3.2.3 Статистика фотонов на светоделителе на свободных электронах

3.4 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

В настоящем текстовом документе применяются следующие определения, обозначения и сокращения: BS - beam splitter - светоделитель; ХОМ - Хонг-Оу-Мандель; ПР - параметрическое рассеяние света; СПР - спонтанное параметрическое рассеяние; PPT - positive partial transpose - критерий сепарабельности; JSA - joint spectral amplitude - объединенная спектральная амплитуда; KLM протокол - E. Knill, R. Laflamme and G. J. Milburn protocol; РДС-кристаллы - кристаллы с регулярной доменной структурой; ХБ - состояния Холланда-Бернетта; РСА - рентгеноструктурный анализ.

ВВЕДЕНИЕ

Феномен квантовой запутанности впервые исследовали Эйнштейн, Подольский и Розен [1], а также Шрёдингер [2], которые обратили внимание на его необычные свойства, бросающие вызов традиционным представлениям о полноте квантовой теории. Впоследствии Белл показал, что это явление вызывает измеримые расхождения между квантово-механическими и классическими предсказаниями [3]. С развитием квантовой теории информации запутанность стали рассматривать как ключевой инструмент для реализации квантовой криптографии [4], телепортации состояний [5] и измеримо-управляемых квантовых вычислений [6]. Бурный прогресс в экспериментальном контроле квантовых систем способствовал резкому увеличению внимания к изучению природы запутанности.

Для генерации запутанных состояний особый интерес представляет светоделитель (BS). Светоделитель представляет собой ключевой элемент в оптических системах, выполняющий функцию разделения светового потока на две составляющие -проходящую и отраженную. Несмотря на кажущуюся простоту принципа действия, данное устройство играет фундаментальную роль как в классической оптике, так и в квантовых технологиях. В экспериментальной практике BS находит применение в различных интерферометрических схемах, включая установки Майкельсона-Морли, Маха-Цендера и Хонг-Оу-Манделя [9-12].

Особую значимость в квантовой оптике приобретает анализ выходных мод электромагнитного поля после взаимодействия с делителем. Характеристики выходных состояний определяются коэффициентом отражения Я (и соответствующим коэффициентом пропускания Т), а также параметрами входного излучения. Подбор этих параметров позволяет получать требуемые квантовые состояния, что открывает широкие возможности для практического применения в различных областях: линейно-оптические квантовые вычисления (КЬМ-протокол [13]), генерация запутанных состояний [12,14,15], моделирование квантового переноса [16], фотонная идентификация [12,17], квантовая метрология [18], протоколы квантовой информации [19], многофотонная интерференция [12,20] и др.

В настоящем исследовании основное внимание уделено двухпортовым конфигурациям BS как наиболее распространенным в квантовых технологиях. Следует отметить, что такие делители классифицируются по различным критериям, включая технологию изготовления (кубические, волноводные и другие типы) и функциональные характеристики. [12,17] и т. д.

В практике оптических измерений применяются несколько конструктивных решений светоделителей, например, тонкопленочные BS на основе подложки из оптического стекла с нанесенным отражающим слоем (металлическим или интерференционным диэлектрическим). Также распространены кубические сборки, где разделение пучка происходит на внутренней диагональной поверхности раздела между двумя оптическими элементами. Часто встречаются плоскопараллельные системы с внутренним разделительным слоем, расположенным между двумя идентичными стеклянными пластинами или покрытие, нанесенное на пленки и др.

Волноводный BS — это два волновода, расположенные настолько близко, что электромагнитные поля проходящие через них перекрываются; в данном случае это работает как направленный ответвитель (например, [21, 22]). Такой светоделители обладает значительными преимуществами по сравнению с другими типами, главным из которых является компактность. Согласно исследованиям [14, 16, 23], такие устройства демонстрируют ряд дополнительных преимуществ. Классификация светоделителей по свойствам включает поляризационно-чувствительные и поляризационно-независимые варианты, а также устройства с уникальными характеристиками.

В контексте квантовой оптики ключевыми параметрами светоделителя являются коэффициент отражения Я (или пропускания Т) и фазовый сдвиг ф. Современные теоретические модели, описывающие квантовую запутанность и фотонную статистику на выходе светоделителя [14, 15, 18, 24-27], традиционно предполагают постоянство этих параметров.

Однако в последних работах [28, 29] была предложена теория частотно-зависимых светоделителей на основе связанных волноводов. Исследования показали, что в такой конфигурации коэффициенты Я и Т приобретают зависимость от частот входящих фотонов. Эта зависимость может оказывать существенное влияние на различные приложения квантовой оптики. В частности, как продемонстрировано в работах [30, 31],

традиционная теория эффекта Хонг-Оу-Манделя (ХОМ), основанная на постоянных коэффициентах, требует пересмотра. Установлено, что даже для полностью идентичных фотонов и сбалансированного светоделителя параметр видности V в ХОМ-эффекте может отклоняться от единицы. Эти результаты подчеркивают актуальность исследований частотно-зависимых характеристик светоделителей в квантовой оптике.

Следует добавить, что такая частотная зависимость коэффициентов Я и Т присуща не только волноводному светоделителю, а также светоделителю на свободных электронах. Таким образом, актуальность темы диссертации высока и полученные в данной диссертации результаты могут быть использованы в квантовых технологиях, основанных на волноводных светоделителях и светоделителях на свободных электронах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая запутанность и статистика фотонов на волноводных светоделителях»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Развитие теории волноводного светоделителя в квантовой оптике для исследования квантовой запутанности фотонов и их статистики на его выходных портах.

ЗАДАЧИ РАБОТЫ

• Изучить систему квантово-запутанных фотонов как связанных гармонических осцилляторов. Найти простые аналитические выражения для оценки квантовой запутанности.

• Развить теорию для волноводного светоделителя в квантовой оптике с учетом частотно зависимых коэффициентов отражения и фазового сдвига.

• Получить статистику фотонов и рассчитать их квантовую запутанность на волноводном светоделителе с учетом частотно-зависимых коэффициентов отражения и фазового сдвига. Показать, что с учётом частотно-зависимых коэффициентов результаты могут сильно отличатся от ранее известных, где коэффициенты постоянные величины.

• Развить теорию частотно-зависимого волноводного светоделителя для немонохроматических фотонов. Показать, что для немонохроматических фотонов результаты могут сильно отличаться от случая монохроматических.

• Применить предлагаемую теорию к интерферометру Хонг-Оу-Манделя.

• Применить предлагаемую теорию к светоделителю, состоящему из свободных электронов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

• Изучена система квантово-запутанных фотонов как связанных гармонических осцилляторов. Найдены простые аналитические выражения для оценки квантовой запутанности.

• Представлена теория для волноводного светоделителя в квантовой оптике с учетом частотно зависимых коэффициентов отражения и фазового сдвига.

• Представлена статистика фотонов и их квантовая запутанность на волноводном светоделителе с учетом частотно-зависимых коэффициентов отражения и фазового сдвига. Показано, что с учётом частотно-зависимых коэффициентов результаты могут сильно отличатся от ранее известных, где коэффициенты постоянные величины.

• Представлена теория частотно-зависимого волноводного светоделителя для немонохроматических фотонов. Показано, что для немонохроматических фотонов результаты могут сильно отличаться от случая монохроматических.

• Представлено развитие предложенной теории на интерферометре Хонг-Оу-Манделя. Показано, что что при учете зависимости Т и Я от частоты, вероятность совместного обнаружения фотонов .1,2 на 1 и 2 портах (или корреляционная функция) может существенно отличаться от ранее известной теория интерференции ХОМ.

• Представлено развитие предложенной теории для светоделителя на свободных электронах.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

Развита теория волноводного светоделителя в квантовой оптике c учетом немонохроматичности падающих фотонов. Данная теория учитывает частотную зависимость для коэффициентов прохождения и отражения светоделителя, что показывает принципиально новые результаты. Показано, что при рассмотрении волноводного светоделителя как источника запутанных фотонов учет их немонохроматичности дает большой вклад в величину квантовой запутанности, и статистика фотонов на таком светоделителе сильно отличается от ранее известной теории. Аналогичная закономерность наблюдается и при рассмотрении интерферометра

Хонг-Оу-Манделя. Предложенная теория может иметь практическое применение в квантовых технологиях, основанных на волноводных светоделителях, поскольку такой светоделитель может быть источником квантово-запутанных фотонов с большой величиной запутанности, а также быть базовым элементом для квантового компьютера. Достоверность и научная обоснованность полученных результатов и выводов гарантируется использованием апробированных методов вычисления, внимательным тестированием применённых алгоритмов и программ, а также сопоставлением с результатами работ других исследователей и соответствием предложенной в диссертации теории уже известным теоретическим основам при использовании постоянных коэффициентов.

Методология и методы исследований диссертационной работы — известные приближения квантовой физики и квантовой электродинамики: теория возмущений, метод вторичного квантования в применении к теории излучения. Кроме того, в диссертационной работе использовались модельные методы, основанные на точном решении уравнения Шредингера. Также, некоторые численные расчёты проводились с использованием пакета Wolfram Mathematica.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Состояния фотонов в двухмодовом электромагнитном поле после прохождения фотонов через волноводный светоделитель находятся в запутанном состоянии и могут быть описаны как система из двух связанных гармонических осцилляторов.

2. При учете немонохроматичности падающих фотонов квантовая запутанность состояний фотонов может превышать величину запутанности по сравнению с монохроматическими фотонами.

3. Эффект Хонг-Оу-Манделя на волноводном светоделителе, где коэффициенты отражения и прохождения являются частотно-зависимыми, может существенно отличаться от случая постоянных коэффициентов.

4. Статистика состояний фотонов при их прохождении через волноводный светоделитель может совпадать со статистикой состояний фотонов при их взаимодействии со свободными электронами.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты исследований были представлены на 11 конференциях и опубликованы в сборниках конференций: Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2021» XXVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов», Москва, МГУ, 12-23 апреля 2021 г.; VIII Международная молодежная научная конференция. ФИЗИКА. ТЕХНОЛОГИИ. ИННОВАЦИИ. ФТИ-2021, 17-21 мая 2021, Екатеринбург; 8-я Школа-конференция «SPbOPEN2021», Санкт-Петербург, ВШЭ, 25-28 мая 2021 г.; 9-я Школа-конференция «SPbOPEN2022», Санкт-Петербург, ВШЭ, 2427 мая 2022 г.; IX Международная молодежная научная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения профессора С. П. Распопина. Физика. Технологии. Инновации. ФТИ-2022. г. Екатеринбург, УРФУ, 16-20 мая 2022 г.; 2nd International Conference «Problems of Informatics, Electronics and Radio Engineering (PIERE)», Новосибирск, НГТУ, 11-13 ноября 2022 г.; XXI Всероссийская молодежная Самарская конкурс-конференция по оптике, лазерной физике и физике плазмы, посвященная 300-летию РАН, Самара, 1418 ноября 2023 г.; XXVII International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2023), ОИЯИ, г. Дубна, 30 октября - 3 ноября 2023 г.; Всероссийская школа-конференция государственного университета «Дубна»: «Фундаментальная физика и технологии», г. Дубна, 22-24 апреля 2024 г.

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

Работа выполнялась в рамках плановых научно-исследовательских работ кафедры фундаментальной и прикладной физики ФГАОУ ВО «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова». Работа выполнена в рамках проектов, где автор диссертации был исполнителем или основным исполнителем — Российский Научный Фонд (РНФ), № 20-72-10151, 2020-2023 г.; Грант Президента РФ № МД-4260.2021.1.2, 2021-2022 г.; Госзадание проект № FSRU-2020-0005, FSRU-2021-0008.

ПУБЛИКАЦИИ

По результатам проведенных исследований было опубликовано 6 работ, индексируемых в базах Web of Science/Scopus, 3 из которых входят в первый квартиль — Q1, одна во второй Q2. Результаты исследований были доложены на 9 конференциях, по результатам которых опубликовано в сборниках конференций 9 тезисов.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА

Научным руководителем ставились задачи по расчетам исследуемых физических величин (энтропии фон Неймана и параметра Шмидта, вероятностей). Соискателем эти задачи выполнялись. Также проводились необходимые выкладки и проверки исследуемых величин, с последующим их расчетом в программе Wolfram Mathematica. Соискателем были самостоятельно проведены расчеты квантовой запутанности для различных пар квантовых чисел для каждого их представленных случаев фотонов и светоделителей.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Диссертация изложена на 107 страницах, содержит 24 рисунка, 2 таблицы. Список литературы диссертации включает 113 источников.

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНЫЙ ОБЗОР

1.1 Спонтанное параметрическое рассеяние как способ генерации квантово-запутанных фотонов

В нелинейной оптике особый интерес представляет параметрическое рассеяние света (ПР) [32] — уникальный процесс трёхволнового взаимодействия в средах с х(2)-нелинейностью. Физическая суть явления заключается в следующем: высокоэнергетический фотон лазерной накачки спонтанно преобразуется в пару коррелированных фотонов с меньшими энергиями, формирующих сигнальную и холостую моды. Этот процесс можно рассматривать как когерентное преобразование электромагнитной энергии, когда интенсивное поле накачки «расщепляется» на два новых квантовых состояния с сохранением суммарной энергии и импульса.

Важно подчеркнуть, что используемая терминология («расщепление», «распад») носит исключительно метафорический характер. В действительности мы наблюдаем сложное квантовое преобразование, где исходное возбуждение электромагнитного поля замещается двумя новыми квантовыми состояниями. Ключевая особенность параметрических процессов — их обратимость и отсутствие диссипации энергии в среде, что математически выражается через действительную часть тензора нелинейной восприимчивости.

Энергетический баланс в такой системе подчиняется строгим квантовым законам: = + , где индексы р, s, I соответствуют накачке, сигналу и холостой моде. При приближении частоты рассеянного излучения к резонансным переходам среды кардинально меняется физическая картина — вместо чистого параметрического рассеяния наблюдается гибридизация световых мод с элементарными возбуждениями кристаллической решётки, что приводит к поляритонному или фононному механизму рассеяния.

В рамках нашего исследования особый интерес представляет спонтанное параметрическое рассеяние (СПР) — специфический случай ПР, при котором сигнальная и холостая моды изначально пребывают в вакуумном состоянии. Физически этот процесс можно интерпретировать как параметрическое усиление квантовых флуктуаций вакуума, приводящее к генерации коррелированных фотонных пар (бифотонов) [34,35]. Важно

понимать, что в отличие от классического параметрического усиления, где входной сигнал явно присутствует, в СПР инициирующую роль играет квантовая природа электромагнитного вакуума.

Механизм СПР принципиально отличается от спонтанного излучения атомов, поскольку:

1. Источником фотонных пар служит не возбуждённая атомная система, а параметрическое преобразование в нелинейной среде.

2. Процесс требует одновременного выполнения условий фазового синхронизма для трёх взаимодействующих мод.

3. Генерация фотонов происходит строго попарно с сохранением энергетического и импульсного баланса.

Фазочувствительность процесса проявляется в избирательном усилении определённых квантовых флуктуаций. Максимальное усиление наблюдается, когда фаза суммарной флуктуации сигнальной и холостой мод когерентна с фазой поля накачки.

В результате такого преобразования формируется особое квантовое состояние света — квадратурно-сжатое излучение. Его отличительная особенность заключается в анизотропии квантовых флуктуаций: дисперсия одной из квадратур оказывается ниже стандартного вакуумного уровня, что невозможно в классической электродинамике.

На представленной схеме на рисунке 1 лазерное излучение S, падая на анизотропный кристалл с квадратичной нелинейностью, вызывает процесс спонтанного параметрического преобразования. Выходное излучение формирует характерную коническую структуру с пространственным разделением на две ортогонально поляризованные компоненты - горизонтальную (Н) и вертикальную (V). Каждая такая пара фотонов демонстрирует свойства квантовой запутанности, проявляя строгую корреляцию поляризационных состояний.

Физическая природа этого явления обусловлена параметрическим усилением вакуумных флуктуаций в нелинейной среде, где сохранение энергии и импульса приводит к попарной генерации коррелированных фотонов. Особенностью данной конфигурации является использование единого нелинейного кристалла, оптические свойства которого в сочетании с параметрами падающего лазерного излучения определяют характеристики образующихся бифотонных состояний.

{»пуганные фонты

Рисунок 1 - Получение запутанных состояний.

Параметрические процессы взаимодействия световых волн в нелинейных средах характеризуются относительно малой вероятностью, что требует выполнения двух ключевых условий для эффективного протекания СПР. Во-первых, необходимо обеспечить значительную временную протяженность взаимодействия, многократно превышающую период световых колебаний. Во-вторых, критически важна достаточная пространственная протяженность области взаимодействия, существенно превосходящая длину волны излучения.

Физическая природа этих требований обусловлена необходимостью когерентного сложения амплитуд вероятности параметрического преобразования фотонов накачки в различных пространственно-временных точках. Такая когерентность достигается только при выполнении специальных условий фазового согласования:

1. Частотный синхронизм, отражающий временную когерентность процесса и представляющий собой проявление закона сохранения энергии в параметрическом

взаимодействии. В этом приближении предполагается отсутствие энергообмена между световым полем и нелинейной средой.

2. Пространственный синхронизм, обеспечивающий пространственную когерентность преобразования и соответствующий закону сохранения импульса. Данное условие предполагает пренебрежение эффектами отдачи при взаимодействии фотонов с атомами среды.

СПР характеризуется уникальным сочетанием свойств: непрерывным спектром генерации, независимым от энергетической структуры среды, и сильными двухфотонными корреляциями. Последнее свойство делает этот процесс незаменимым инструментом квантовой оптики [38]. После теоретического обоснования Клышко [39] в 1966 году, феномен был экспериментально верифицирован тремя научными группами в течение следующего года [40-42].

Среди различных вариантов реализации особое место занимает СПР II типа, преимущественно используемое для создания перепутанных состояний. Его отличительная особенность — ортогональная поляризация фотонов в паре, в отличие от параллельной поляризации в типе I.

В Р-борате бария при СПР II типа наблюдаются:

1. Генерация коррелированных фотонных пар с сохранением энергии

(ю + Ю2 = ю).

2. Взаимно перпендикулярные поляризации фотонов относительно осей кристалла.

3. Пространственное разделение излучения на два конических пучка с различными поляризациями.

4. Частотная дегенерация при определённых условиях фазового синхронизма.

Волновые вектора при СПР подчиняются следующему соотношению:

к1 + к2 = к, (1)

поэтому вследствие квантовой корреляции бифотонов, при выборе фотона из одной линии пересечения конических пучков, парный ему фотон всегда будет локализован в соответствующей линии пересечения второго конуса.

Особенности распространения поляризованного излучения в кристаллах, связанные с различием фазовых скоростей для разных поляризаций, обуславливают

необходимость специальных компенсационных мер в экспериментальной схеме. Коррекция осуществляется путем введения второго кристалла с уменьшенной вдвое толщиной и повернутого на 90 градусов относительно первого. Для устранения поляризационных искажений применяется система волновых пластинок, изменяющая соотношение поляризаций в одном из пучков.

Бифотонные состояния, возникающие в результате СПР, обладают специфическими квантовыми характеристиками. Каждый фотон пары существует в суперпозиции двух поляризационных состояний |х) или |у) с равными вероятностями, причем их поляризации взаимно перпендикулярны. Пространственное распределение фотонов характеризуется одинаковой вероятностью их обнаружения в любой из двух возможных мод — мода |т) и мода |п) , что подчеркивает фундаментально вероятностный характер квантовых измерений.

Оптимальный выбор кристаллического материала определяется экспериментальными требованиями, включая рабочие частоты и интенсивность излучения [43]. В таблице 1 представлен перечень распространенных неорганических нелинейных кристаллов с искусственно созданной периодической доменной структурой [44] (так называемые РДС-кристаллы)

Таблица 1 - Некоторые неорганические нелинейные кристаллы с регулярной доменной структурой

Вещество Формула Аббревиатура

Бета-борат бария Р-ВаВ204 ВВО

Триборат лития ПВ3О5 ЬВО

Титанил фосфат калия КТЮР04 КТР

Ниобат калия ^Ь03 -

1.2 Способы измерения квантовой запутанности

В современной квантовой оптике мерой запутанности принято называть специально введенную числовую характеристику, позволяющую объективно оценивать три фундаментальных аспекта квантовых систем: принципиальную невозможность представления составного состояния в виде произведения состояний подсистем (несепарабельность); количественное выражение взаимозависимости между частицами; меру отклонения от классических локальных описаний. Представим некоторые примеры

мер запутанности, в основном заострим внимание на мерах, что хорошо применимы для двухмодовых систем.

По определению, меры запутанности (или монотоны запутанности) должны количественно определять степень запутанности в данном состоянии. Таким образом, общая мера запутанности должна обладать несколькими желаемыми свойствами [45-47], которые перечислены ниже. Однако следует отметить, что не все из следующих свойств выполняются всеми обсуждаемыми кванторами запутанности. Для того, чтобы использование таких мер было легитимным, эти меры должны удовлетворять следующим условиям:

1. Мера запутанности исчезает, если состояние является разделимым.

2. Мера запутанности должна быть инвариантной относительно локального изменения базиса.

3. Мера запутанности должна быть непрерывной [48].

4. Мера запутанности должна быть аддитивной [49].

Е(\грАВ)® \<рАВ)~) = Е(\хрАВ)) + Е(\(Рав)). (2)

Далее будут приведены некоторые меры запутанности, которые наиболее подходят для двухмодовых систем:

Дистиллируемая запутанность представляет собой количественную характеристику квантовой запутанности, определяемую через предельное число чистых синглетных состояний, которые могут быть локально выделены из исходного смешанного состояния. В современной квантовой теории различают два фундаментально различных класса запутанных состояний. К первому относится свободная запутанность, допускающая преобразование в синглетную форму посредством процедуры очистки [21]. Ко второму классу принадлежит связанная запутанность - форма квантовых корреляций, которая не поддается очищению и не может быть использована для реализации квантовых информационных протоколов.

Запутанность формирования представляет собой минимальное среднее значение запутанности среди всех возможных ансамблей чистых состояний [51, 61], соответствующих данному смешанному состоянию. Математически это выражается как:

Ер(р) = тт} р1Е(\^1)),

(3)

где Е(|^г)) — мера запутанности чистых состояний , оставляющих ансамбль, причем минимизация проводится по всем возможным декомпозициям р чистых состояний.

Эта характеристика количественно определяет наименьший объем чистой запутанности, требуемый для генерации рассматриваемого состояния с использованием только локальных квантовых операций. С физической точки зрения, запутанность формирования соответствует минимальному числу синглетных пар, необходимому для создания одной копии заданного квантового состояния.

Центральная проблема в изучении запутанности заключается в том, является ли запутанность формации полностью аддитивной. Этот вопрос до настоящего времени не решен, но его решение будет иметь далеко идущие последствия и для других тем, таких как аддитивность классической пропускной способности квантовых каналов [51].

Согласованность. Весьма популярной мерой количественного определения двудольных квантовых корреляций является согласованность [52, 53]. Согласованность, описанная Чарльзом Беннеттом и Уильямом Вуттерсом в 1996-1997 годах, является еще одной количественной характеристикой запутанности и определяется соотношением

где аг — коэффициенты разложения произвольного вектора двухкубитовой системы в базисе Белла:

(4)

4

(5)

Запутанность состояния выражается через С(^):

где Н(х) - бинарная функция энтропии:

Н(х) = -x\og2(x) -(1-х) \og2(l - x). (7)

Согласованность отражает меру декомпозиции вектора состояния |у) по базису полностью запутанных состояний. Численное значение данной характеристики определяется через специальную аналитическую зависимость, использующую матричные элементы оператора перевёрнутых спинов [54]:

Е±(ф) = Е2(ф) = ~1^12 \og2lttl2 - т2 \og2llH2. (8)

Для альтернативных схем измерений данная корреляция нарушается, что затрудняет однозначную физическую интерпретацию наблюдаемых совпадений. Кроме того, следует отметить неаддитивный характер самой меры согласованности.

Отрицательность — нарушение критерия Перес-Хородески, или PPT, — критерия сепарабельности [55-57]:

Нв)=Щ1-±, (9)

где ll^lh обозначает норму следа (т. е. сумму всех сингулярных значений) частично транспонированного состояния.

У этой меры запутанности есть два основных преимущества. Они заключаются в том, что отрицательность очень легко вычислить, и она выпуклая. Чтобы сделать эту величину аддитивной, можно рассмотреть логарифмическую отрицательность

EN(Q) = \og2llQTBUi. (10)

Это дает верхнюю границу запутанности при дистиллируемости En(q) > Ed(q) [57]. Однако логарифмическая отрицательность уже не является выпуклой. По своей сути отрицательность не способна распознать запутанность в состояниях PPT.

Параметр Шмидта. Известным инструментом изучения квантовых корреляций в бифотонных состояниях выступает разложение по Шмидту [58]. Для формального описания предположим, что исходное состояние системы характеризуется вектором:

№) = №)+ II йу1йу5Р(у1,у5)а^(у1)Ь^(у5).

(11)

Разложение Шмидта для функции р(у1,у3) имеет вид:

(12)

Шмидтовское разложение предлагает эффективный способ анализа бифотонных состояний, заменяя сложный двумерный интеграл на простую сумму. Вероятностные коэффициенты Лп в этом разложении определяют распределение фотонных пар по модам ап(у1) и Рп(уБ). Практическая ценность метода заключается в том, что обычно лишь несколько первых коэффициентов дают основной вклад, что существенно снижает сложность описания системы.

Параметр Шмидта К [59,60] количественно характеризует степень квантовой запутанности:

При этом, К=1 соответствует полностью факторизуемому состоянию, К>1 указывает на наличие несепарабельных корреляций между фотонами.

Этот параметр имеет четкую физическую интерпретацию: при К>1 невозможно независимо описать состояния фотонов в сигнальной и холостой модах, что является прямым свидетельством квантовой запутанности.

Энтропия фон Неймана. Для квантовой системы, описываемой оператором плотности р, введем полный набор собственных состояний ^1) с соответствующими невырожденными собственными значениями рг , удовлетворяющими квантовому уравнению на собственные значения р^^ = р^рь). Каждое Р1 интерпретируется как вероятность нахождения системы в соответствующем чистом состоянии, что естественным образом ограничивает их значения единичным интервалом [0,1].

В диагональном представлении (базисе собственных векторов (|р[)}) энтропия фон Неймана приобретает форму, структурно аналогичную шенноновской

(13)

информационной энтропии Н(Х), где роль вероятностей играют собственные значения матрицы плотности:

SN = -^Pi1nPi. (14)

i

Анализируя свойства энтропии фон Неймана SN [61, 62], определяемой через спектр (|pi)} матрицы плотности, можно установить следующие важные соотношения. Во-первых, фундаментальное свойство неотрицательности SN > 0 следует непосредственно из вероятностной интерпретации собственных значений 0 < рг < 1. Нулевая энтропия соответствует случаю, когда система находится в чистом состоянии (одно рк = 1, остальные равны нулю).

Во-вторых, для системы размерности N энтропия ограничена сверху логарифмом размерности пространства состояний. Максимальная энтропия SN = ln(N) реализуется в полностью смешанном состоянии, когда все pt = 1/N . Эти свойства полностью аналогичны поведению классической энтропии Шеннона, что подчеркивает глубокую связь между квантовой и классической теорией информации и удовлетворяет двойному неравенству

0<SN< \n(N). (15)

Рассмотрим произвольное чистое квантовое состояние |'ф). Соответствующий оператор плотности имеет вид р = . Решая спектральную задачу для этого

оператора: plpt) = PilPi) ^ (^lPi)l^) = PilPi),можно обнаружить, что матрица плотности чистого состояния обладает единственным ненулевым собственным вектором lp1) = 1ф) с соответствующим собственным значением р1 = {ф1р1) = {iplip) = 1.

Вычисление энтропии фон Неймана для этого случая дает:

S^ = -1\n(1) = 0

Учитывая свойство неотрицательности энтропии (S > 0), можно заключить, что чистые состояния содержат максимально доступную информацию о квантовой системе, которую можно получить невооруженным глазом.

1.3 Светоделитель как источник квантово-запутанных фотонов 1.3.1 Теория для волноводного светоделителя

При прохождении через светоделитель входное излучение разделяется, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Верещагина Юлиана Витальевна, 2025 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

[1] Einstein, A. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? / A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen // Physical Review. - 1935. - Vol. 47. - P. 777-780.

[2] Schroedinger, E. Discussion of Probability Relations between Separated Systems / E. Schroedinger // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1935.

- Vol. 555. - P. 555-563.

[3] Bell, J.S. On the Einstein Podolsky Rosen paradox / J.S. Bell // Physics Physique Fizika. -

1964. - Vol. 1. - P. 195-200.

[4] Ekert, A.K. Quantum cryptography based on Bell's theorem / A.K. Ekert // Physical Review Letters. - 1991 - Vol. 67. - P. 661-663.

[5] Aspect, A. Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem / A. Aspect, P. Grangier, G. Roger // Physical Review Letters. - 1981. - Vol. 47. - P. 460 -463.

[6] Samuel, L. Teleportation of Continuous Quantum Variables / L. Samuel, H. Braunstein, J. Kimble / Physical Review Letters. - 1998. - Vol. 80. - P. 869-872.

[7] Bennett, C.H. Communication via one- and two-particle operators on Einstein Podolsky-Rosen states / C.H. Bennett, S. J. Wiesner // Physical Review Letters. - 1992. - Vol. 69. -P. 2881-2884.

[8] Shor, P.W. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory / P.W. Shor // Physical Review A. - 1995. - Vol. 52. - P. 2493-2496.

[9] Mandel, L. Optical Coherence and Quantum Optics / L. Mandel, E. Wolf. - Cambridge University Press : Cambridge, 1995.

[10] Scully, M. Quantum Optics / M. Scully, M. Zubairy. - Cambridge University Press : Cambridge, 1997.

[11] Biedenharn, L. The quantum theory of light / L. Biedenharn, H. van Dam. - Oxford University Press : Oxford, 2000.

[12] Hong, C.K. Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference / C.K. Hong, Z.Y. Ou, L. Mandel // Physical Review Letters. - 1987. - Vol. 59.

- P. 2044-2046.

[13] Knill, E. A scheme for efficient quantum computation with linear optics / E. Knill, R. Lafamme, G.J. Milburn // Nature. - 2001. - Vol. 409. - P. 46-52.

[14] Pan, J.W. Multiphoton entanglement and interferometry / J.-W. Pan, Z.-B. Chen, C.-Y. Lu, H. Weinfurter, A. Zeilinger, M. Zukowski // Reviews of Modern Physics. - 2012. - Vol. 84. - P. 777-838.

[15] Sangouard, N. Quantum repeaters based on atomic ensembles and linear optics / N. Sangouard, C. Simon, H. de Riedmatten, N. Gisin // Reviews of Modern Physics. - 2011. -Vol. 83. - P. 33-80.

[16] Nicholas, C.H. Quantum transport simulations in a programmable nanophotonic processor / N.C. Harris, G.R. Steinbrecher, J. Mower, Y. Lahini, M. Prabhu, D. Bunandar, C. Chen, F.N.C. Wong, T. Baehr-Jones, M. Hochberg, S. Lloyd, D. Englund // Nature Photonics. -2017. - Vol. 11. - P. 447-452.

[17] Tambasco, J.-L. Quantum interference of topological states of light / J.-L. Tambasco, G. Corrielli, R.J. Chapman, A. Crespi, O. Zilberberg, R. Osellame, A. Peruzzo // Science Advances. - 2018. - Vol. 4. - P. 3187-3182.

[18] Pezze, L. Quantum metrology with nonclassical states of atomic ensembles / L. Pezze, A. Smerzi, M.K. Oberthaler, R. Schmied, P. Treutlein // Reviews of modern Physics. - 2018. - Vol. 90. - 035005.

[19] Weedbrook, C. Gaussian quantum information / C. Weedbrook, S. Pirandola, R. G. Patron, N.J. Cerf, T.C. Ralph, J.H. Shapiro, S. Lloyd // Reviews of modern Physics. - 2012. - Vol. 84. - P. 621-669.

[20] Ou, Z.-Y.J. Multi-Photon Quantum Interference / Z.-Y.J. Ou - Springer : New York, 2007.

[21] Bromberg, Y. Quantum and classical correlations in waveguide lattices / Y. Bromberg, Y. Lahini, R. Morandotti, Y. Silberberg // Physical Review letters. - 2009. - Vol. 102. - 253904.

[22] Politi, A. Silica-on-silicon waveguide quantum circuits / A. Politi, , M.J. Cryan, J.G. Rarity, S. Yu, J.L. O'Brien // Science. - 2008. - Vol. 320. - P. 646-649.

[23] Tan, S.-H. The resurgence of the linear optics quantum interferometer recent advances and applications / S.-H. Tan, P.P. Rohde // Reviews in Physics. - 2019. - Vol. 4. - 100030

[24] Kim, M.S. Entanglement by a beam splitter: Nonclassicality as a prerequisite for entanglement / M.S. Kim, W. Son, V. Buzek, P.L. Knight // Physical review A. - 2002. -Vol. 62. - 032323.

[25] Campos, R.A. Quantum-mechanical lossless beam splitter: SU(2) symmetry and photon statistics / R.A. Campos, B.E.A. Saleh, M.C. Teich // Physical review A. - 1989. - Vol. 40.

- P. 1371-1384.

[26] Makarov, D.N. Quantum entanglement and reflection coefficient for coupled harmonic oscillators // Physical Review E. - 2020. - Vol. 102. - 052213.

[27] Streltsov, A. Measuring Quantum Coherence with Entanglement / A. Streltsov, U. Singh, H.S. Dhar, M.N. Bera, G. Adesso,// Physical Review letters. - 2002. - Vol. 115. - 020403.

[28] Makarov, D.N. Theory of a frequency-dependent beam splitter in the form of coupled waveguides / Scientific Reports. - 2021. - Vol. 11. - 5014.

[29] Makarov, D.N. Quantum entanglement and statistics of photons on a beam splitter in the form of coupled waveguides / D.N. Makarov, E.S. Gusarevich, A.A. Goshev, K.A. Makarova, S.N. Kapustin, A.A. Kharlamova, Y.V. Tsykareva // Scientific Reports. - 2021.

- Vol. 11. - 10274.

[30] Makarov, D.N. Theory of HOM interference on coupled waveguides / D.N. Makarov // Optics Letters. - 2020. - Vol. 45. - P. 6322-6325.

[31] Makarov, D.N. Fluctuations in the detection of the HOM effect / D.N. Makarov // Scientific Reports. - 2020. - Vol. 10. - 20124.

[32] Калачев, А.А. Спонтанное параметрическое рассеяние и задачи квантовой информатики / А.А. Калачев. - Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет. - 2012. - 45 с.

[33] Клышко, Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика / Д.Н. Клышко. - Москва: Наука. - 1980.

- 259 с.

[34] Клышко, Д.Н. Поперечная группировка фотонов и двухфо тонные процессы в поле параметрического рассеяния света / Д.Н. Клышко // ЖЭТФ. - 1982. - Т. 83. - С. 13131323.

[35] Belinsky, A.V. Twophoton wave packets / A.V. Belinsky, D.N. Klyshko // Laser Physics. -1994. - Vol.4. - P. 663-689

[36] Hamel, D.R. Realization of novel entangled photon sources using periodically poled materials / D.R. Hamel. - Waterloo, Ontario, Canada. - P. 17-19.

[37] Бурлаков, А.В. Поляризованные бифотоны как „оптические кварки" / А.В. Бурлаков, Д.Н. Клышко // Письма в ЖЭТФ : журнал. — 1999. — Т. 69. - C. 42-50.

[38] Бауместр, Д. Физика квантовой информации / Д. Бауместр, А. Экерт, А. Цайлингер. - Москва : Постмаркет. - 2002. - 376 с.

[39] Клышко, Д.Н. Когерентный распад фотонов в нелинейной среде / Д.Н. Клышко // Письма в ЖЭТФ. - 1967. - Т. 6. - С. 490-492.

[40] Ахманов, С.А. Квантовые шумы в параметрических усилителях света / С.А. Ахманов,

B.В. Фадеев, Р.В. Хохлов, О.Н. Чунаев // Письма в ЖЭТФ. - 1967. - Т. 6. - С. 575-578.

[41] Harris, S.E. Observation of tunable optical parametric fluorescence / S.E. Harris, M.K. Oshman, R.L. Byer // Physical Review Letters. - 1967. - Vol. 18. - P. 732-734.

[42] Magde, D. Study in Ammonium Dihydrogen Phosphate of Spontaneous Parametric Interaction Tunable from 4400 to 16 000 ° / A.D. Magde, H. Mahr // Physical Review Letters. - 1967. - Vol. 18. - P. 905-907.

[43] Paschotta, R. Nonlinear Crystal Materials / R. Paschotta // Photonics Encyclopedia.

[44] Анфимова, Е.А. Нелинейные кристаллы с доменной структурой для параметрической генерации света / Е.А. Анфимова // Оптика атмосферы и океана. — 2006. — Т. 19. -

C.991-994.

[45] Vedral, V. Entanglement measures and purification procedures / V. Vedral, M.B. Plenio // Physical Review A. - 1998. - Vol. 57. - 1619.

[46] Donald, M.J. The Uniqueness Theorem for Entanglement Measures / M.J. Donald, M. Horodecki, O. Rudolph // Journal of Mathematical Physics. - 2002. - Vol. 43. - P. 42524272.

[47] Plenio, M. An introduction to entanglement measures / M. Plenio, S. Virmani // Quantum Physics. - 2005. - Vol. 51.

[48] Plenio, M. Spin chains and channels with memory / M. Plenio, S. Virmani // Physical Review Letters. - 2007. - Vol. 99.

[49] Гузик. В.Ф. Количественные характеристики степени запутанности / В.Ф. Гузик, С.М. Гушанский, В.С. Потапов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2016. - Vol. 176. -C. 76-86.

[50] Bennett, C.H. Mixed-state entanglement and quantum error correction / C.H. Bennet, D.P. di Vincenzo, J.A. Smolin, W.K. Wootters // Physical Review A. - 1996. - Vol. 54.

[51] Wootters, W.K. Entanglement of formation and concurrence / Wootters, W.K. // Quantum Information and Computation. - 2001. - Vol. l. - P. 27-44.

[52] Bennett, C.H. Mixed-state entanglement and quantum error correction / C.H. Bennett, D.P. DiVincenzo, J.A. Smolin, W.K. Wootters // Physical Review A. - 1996. - Vol. 54.

[53] Hill, S. Entanglement of a Pair of Quantum Bits / S. Hill, W.K. Wootters // Physical Review Letters. - 1997. - Vol. 78. - P. 5022-5025.

[54] Доронин, С.И. Мера квантовой запутанности чистых состояний / С.И. Доронин // Квантовая Магия. - 2004. - Т. 1. - С. 1123-1137.

[55] Peres, A. Separability Criterion for Density Matrices / A. Peres // Physical Review Letters. - 1996. - Vol. 77.

[56] Zyczkowski, K.P. Volume of the set of separable states / K. Zyczkowski, P. Horodecki, A. Sanpera, M. Lewenstein // Physical Review A. - 1998. - Vol. 58.

[57] Vidal, G. Computable Measure of Entanglement / G.Vidal, R.F. Werner // Physical Review A. - 2002. - Vol. 65.

[58] Fedorov, M.V. Schmidt modes and entanglement / M.V. Fedorov, N.I. Miklin // Contemporary Physics. - 2014. - Vol. 55. - P. 94-109.

[59] Ekert, A. Entangled quantum systems and the Schmidt decomposition / A. Ekert, P.L. Knight // American Journal of Physics. - 1995. - Vol. 63 - P. 415-423.

[60] Grobe, R. Measure of electron-electron correlation in atomic physics / R. Grobe, K. Rzazewski, J.H. Eberly // Journal of Physics B. - 1994. - Vol. 27. - P. 503-508.

[61] Bennett, C.H. Concentrating partial entanglement by local operations / C.H. Bennett, H.J. Bernstein, S. Popescu, B. Schumacher // Physical Review A. - 1996. - Vol. 53. - P. 20462052.

[62] Casini, H. Entanglement entropy in free quantum field theory / H. Casini, M. Huerta // Journal of Physics A : Mathematical Theory. - 1996. - Vol. 42.

[63] Titulaer, U. Density operators for coherent fields / U. Titulaer, R. Glauber // Physical Review. - 1966. - Vol. 145.

[64] Agarwal, G.S. Quantum Optics / G.S. Agarwal // Cambridge University Press : Cambridge, 2013. - 489 p.

[65] Zeilinger, A. General properties of lossless beam splitters in interferometry / A. Zeilinger // American Journal of Physics. - 1981. - Vol. 49. - P. 882-883.

[66] Luis, A. A quantum description of the beam splitter / A. Luis, L. Snchez-Soto // Quantum and Semiclassical Optics: Journal of the European Optical Society Part B. - 1995. - Vol. 7. - P. 153-160.

[67] Biedenharn, L. Quantum Theory of Angular Momentum / L. Biedenharn, H. van Dam // Academic Press - 1965. - P. 505-514.

[68] 50:50 (R : T) cube beamsplitters. Thorlabs, Inc.

[69] Huang, W.-P. Coupled-mode theory for optical waveguides: an overview / W.-P. Huang // Journal of the Optical Society of America A - 1994. - Vol. 11. - P. 963-983.

[70] Makarov, D.N. Coupled harmonic oscillators and their quantum entanglement / D.N. Makarov // Physical Review E. - 2018. - Vol. 97.

[71] Tey, M. Strong interaction between light and a single trapped atom without the need for a cavity / M. Tey, Z. Chen, S.A. Ajunid, B. Chng, F. Huber, G. Maslennikov, C. Kurtsiefer // Nature Physics. - 2008. - Vol. 4. - P. 924-927.

[72] Makarov, D.N. Theory for the Beam Splitter in Quantum Optics: Quantum Entanglement of Photons and Their Statistics, HOM Effect / D.N. Makarov // Mathematics. - 2022. - Vol. 10. - P. 47-94.

[73] Makarov, D.N. Quantum entanglement of photons on free electrons / D.N. Makarov // Results in Physics. - 2023. - Vol. 49. - 106515.

[74] Makarov, D.N. Quantum Theory of Scattering of Nonclassical Fields by Free Electrons / D.N. Makarov // Mathematics. - 2023. - Vol. 11, Iss. 9. - 2094.

[75] Makarov, D.N. General quantum theory of Thomson scattering / D.N. Makarov // Results in Physics. - 2023. - Vol. 52 - 106790.

[76] Gisin, N. Quantum cryptography / N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel, H. Zbinden // Reviews of Modern Physics. - 2002. - Vol. 74. - P. 145-195.

[77] Fearn, H. Theory of two-photon interference // H. Fearn, R. Loudon // Journal of the Optical Society of America B - 1989. - Vol. 6. - P. 917-927.

[78] Steinberg, A. Dispersion cancellation and high-resolution time measurements in a fourth-order optical interferometer / A. Steinberg, P. Kwiat, R.Y. Chiao // Physical Review A. -1992. - Vol. 45. - P. 6659-6665.

[79] Legero, T. Quantum beat of two single photons / T. Legero, T. Wilk, M. Hennrich, G. Rempe, A. Kuhn // Physical Review Letters. - 2004. - Vol. 93. - 070503.

[80] Lyons, A. Attosecond-resolution hong-ou-mandel interferometry / A. Lyons, G.C. Knee, E. Bolduc, T. Roger, J. Leach, E.M. Gauger, D.Faccio // Science Advances - 2018. - Vol. 4. -9416.

[81] Wang, K. Quantum theory of two-photon wavepacket interference in a beamsplitter / K. Wang // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics - 2018. - Vol. 39.

[82] Branczyk, A.M. Hong-Ou-Mandel interference / A.M. Branczyk // Quantum Physics -2017.

[83] Lim, Y. Generalized Hong-Ou-Mandel experiments with bosons and fermions / Y.L. Lim, A.Beige // New Journal of Physics. - 2005. - Vol. 7.

[84] Toyoda, K. Quantum theory of two-photon wavepacket interference in a beamsplitter / K. Toyoda, R. Hiji,, A. Noguchi, S. Urabe // Nature. - 2015. - Vol. 527. - P. 74-77.

[85] Aspect, A. Hanbury Brown and Twiss, Hong Ou and Mandel effects and other landmarks in quantum optics: from photons to atoms / A. Aspect. - Oxford University Press : Oxford, 2019.

[86] Grice, W. Spectral information and distinguishability in type-ii down conversion with a broadband pump / W. Grice, I. Walmsley // Physical Review A. - 2000. - Vol. 56. - P. 1627.

[87] Erdmann, R. Restoring dispersion cancellation for entangled photons produced by ultrashort pulses / R. Erdmann, D. Branning, W. Grice, I.A. Walmsley // Physical Review A. - 2000. - Vol. 62. - 053810.

[88] Barbieri, M.What Hong-Ou-Mandel interference says on two-photon frequency entanglement / M. Barbieri, E. Roccia, L. Mancino, M. Sbroscia, I. Gianani, F. Sciarrino // Scientific Reports. - 2017. - Vol. 7. - 7247.

[89] Shih, Y. Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics / Y. Shih // Academic Press - 1999.- Vol. 41.

[90] Makarov D.N., Quantum entanglement of a harmonic oscillator with an electromagnetic feld / D.N. Makarov // Scientific Reports. - 2018. - Vol. 8 - 8204.

[91] Makarov, D.N. Optical-mechanical cooling of a charged resonator / D.N. Makarov // Physical Review A. - 2019. - Vol. 99, Iss. 3. - 033850.

[92] Holland, M. Interferometric detection of optical phase shifts at the Heisenberg limit / M. Holland, K. Burnett // Physical Review Letters. - 1993. - Vol. 71. - P. 13-55.

[93] Polino, E. Photonic Quantum Metrology / E. Polino, M. Valeri, N. Spagnolo, F. Sciarrino // Quantum Sensing and Metrology. - 2020. - Vol. 2. - 024703.

[94] Gigan, S. Self-cooling of a micro-mirror by radiation pressure / S. Gigan, H. R. Böhm, M. Paternostro, F. Blaser, G. Langer, J. B. Hertzberg, K. C. Schwab, D. Bäuerle, M. Aspelmeyer, A. Zeilinger // Nature. - 2006. - Vol. 444. - P. 67-70.

[95] Teufel, J.D. Sideband cooling of micromechanical motion to the quantum ground state / J.D. Teufel, T. Donner, D. Li, J. W. Harlow, M.S. Allman, K. Cicak, A.J. Sirois, J.D. Whittaker, K.W. Lehnert, R.W. Simmonds // Nature. - 2011. - Vol. 475. - P. 359-363.

[96] Aspelmeyer, M. Cavity optomechanics / M. Aspelmeyer, T. J. Kippenberg, F. Marquardt // Reviews of Modern Physics. - 2014. - Vol. 86. - P. 13-91.

[97] Bharadwaj, P. Electrical excitation of surface plasmons / P. Bharadwaj, A. Bouhelier, L. Novotny // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 106. - 226802.

[98] You, C. Observation of the modification of quantum statistics of plasmonic systems // C. You, M. Hong, N. Bhusal, J. Chen, M. A. Q.-J. J. Fabre, F. Mostafavi, J. Guo, I. De Leon, R. de J. L.-Montiel, O.S. Magana-Loaiza // Nature Communications. - 2021. - Vol. 12. - P. 51-61.

[99] Dahan, R. Imprinting the quantum statistics of photons on free electrons / R. Dahan, A. Gorlach, U. Haeusler, A. Karnieli, O. Eyal, P. Yousefi, M. Segev, A. Arie, G. Eisenstein, P. Hommelhoff, I. Kaminer // Nature Communications. - 2021. - Vol. 373. - eabj7128.

[100] Phoenix, S.J.D. Fluctuations and entropy in modelsof quantum optical resonance / S.J.D Phoenix, P.L Knight // Annals of Physics. - 1988. - Vol. 186. - P. 381-407.

[101] Makarov, D.N. Quantum beam splitter based on free charged particles / D.N. Makarov, K.A. Makarova // Optics Letters. - 2024. - Vol. 49. - P. 3042-3045.

[102] Baranes, G. Free electrons can induce entanglement between photons / G. Baranes, R. Ruimy, A. Gorlach, I. Kaminer // Quantum Information. - 2022 - Vol. 8.

[103] Horodecki, R. Quantum entanglement / R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki // Reviews of Modern Physics. - 2009. - Vol. 81. - P. 865-942.

[104] Chen, Y. Quantum entanglement by a beam splitter analogous to laser mode transformation by a cylindrical lens / Y.F. Chen, M.X. Hsieh, H.T. Ke, Y.T. Yu, H.C. Liang, K.F. Huang // Optics Letters. - 2021. - Vol. 46 - P. 5129-5132.

[105] Jiang, Z. Mixing nonclassical pure states in a linear-optical network almost always generates modal entanglement / Z. Jiang, M. Lang, C. Caves // Physical Review A. - 2013.

- Vol. 88. - 044301.

[106] Berrada, K. Entanglement generation from deformed spin coherent states using a beam splitter / K. Berrada, M.E. Baz, F. Saif, Y. Hassouni, S. Mnia // // Journal of Physics A: Mathematical Theory. - 2009. - Vol. 42. - P. 285-306.

[107] Xiang-bin, W. Theorem for the beam-splitter entangler / W. Xiang-bin // Physical Review A. - 2002. - Vol. 66. - 024303.

[108] Makarov, D.N. High intensity generation of entangled photons in a two-mode electromag netic eld / D.N. Makarov // Annalen der Physik. - 2017. - Vol. 549. - 1600408.

[109] Makarov, D.N. Quantum entanglement of monochromatic and non-monochromatic photons on a waveguide beam splitter / D.N. Makarov, Y.V. Tsykareva // Entropy. - 2022.

- Vol. 24, Iss. 1. - 49.

[110] Suryanarayana, C. X-Ray Diffraction: A Practical Approach / C. Suryanarayana, M.G. Norton. - Plenum Press : New York and London, 1998.

[111] Jones, N. Crystallography: Atomic secrets / N. Jones //Nature. - 2014. - Vol. 505. - P. 74-85.

[112] Pietsch, U. High-Resolution X-Ray Scattering / U. Pietsch, V. Holy, T. Baumbach. -Springer Science+Business Media New York, 2004.

[113] Pachon L. A. Inuence of non-Markovian dynamics in equilibrium uncertainty-relations / L. A. Pachon, J. F. Triana, D.Zueco, P. Brumer // J. Chem. Phys. - 2019. - Vol. 150. - 034105.