Квантовые группы и некоммутативные аналоги моделей пространства-времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Куратов, Василий Васильевич

• Куратов, Василий Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куратов, Василий Васильевич

0.1. Введение.1

0.1.1. Актуальность темы и постановка задачи . 1

0.1.2. Цель работы.9

0.1.3. Объекты и методы исследования.9

0.1.4. Научная новизна и практическая ценность работы .11

0.1.5. Апробация работы .12

0.1.6. Публикации .12

0.1.7. Структура и объем диссертации .12

1 Квантовые ортогональные группы Кэли-Клейна 13

1.1. Преобразования подобия квантовых групп.17

1.2. Ортогональные квантовые группы в декартовых образующих.21

1.3. Дуальные алгебры и ортогональные группы Кэли Клейна .24

1.4. Ортогональные квантовые группы Кэли Клейна . . 30

1.5. Основная теорема.31

1.6. Неизоморфные контрактированные квантовые группы 34

1.7. Квантовые группы SOv(3-,j;a).37

1.7.1. Квантовые группы 50^(3; j; сто) .37

1.7.2. Квантовые группы SOv(3; j; а').43

1.7.3. Квантовые группы SOv(3;j; а) .47

1.8. Квантовые группы SOv(4; j; <т).51

1.9. Квантовые группы SOv(5\ j; а).52

2 Квантовые векторные пространства Кэли-Клейна 55

2.1. Квантовое евклидово пространство в симплектическом базисе.55

2.2. Квантовое евклидово пространство в декартовом базисе .58

2.3. Расслоенные квантовые пространства О^ (j: <т; С). . 61

3 Квантовые кинематики 68

3.1. Квантовые векторные пространства а) . 68

3.1.1. Квантовое векторное пространство oq) . . 70

3.1.2. Квантовое векторное пространство а') . . 73

3.1.3. Квантовое векторное пространство Ojj(j; а) . . 74

3.1.4. Квантовые (1 + 1) кинематики.75

3.2. Квантовые векторные пространства а) . 76

3.2.1. Квантовое векторное пространство 04(j; erg) . . 78

3.2.2. Квантовое векторное пространство 04(j; а') . . 81

3.2.3. Квантовые (1 + 2) кинематики.84

3.3. Квантовые векторные пространства а) . 86

3.3.1. Квантовое векторное пространство . . 87

3.3.2. Квантовое векторное пространство а') . . 92

3.3.3. Квантовое векторное пространство сг) . . 95

3.3.4. Квантовые (1 + 3) кинематики.98

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куратов, Василий Васильевич, 2004 год

1. А.А.Белавин, В.Г.Дринфельд. Функ. анал и прил. 16 159 (1982).

2. Р.Бэкстер. Точно решаемые модели в статистической физике. Москва.: "Мир", 1985. 488 с.

3. Л.Л.Ваксман, Л.И.Корогодский. Алгебра ограниченных функций на квантовой группе движений плоскости и q-аналоги функций Бесселя, Докл. АН СССР, 1989, с.1036-1040.

4. В.Б.Вологодский. В сб."Проблемы теоретической физики'" памяти И.Е.Тамма, с.25-33, "Наука", 1972.о. Ю.Д.Гольфанд. ЖЭТФ, т.37, вып.2, 1959.

5. Ю.А.Гольфанд. ЖЭТФ, т.43, с.256, 1962.

6. Ю.А.Гольфанд. ЖЭТФ, т.44, с.1248, 1963.

7. Н.А.Громов, Л.В.Якушевич. Теоретико-групповые методы в физике. М.: Наука, 1986. - т.2. - с.191-198.

8. Н.А.Громов. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. — Сыктывкар: Коми НП. 1990.

9. Н.А.Громов, И.В.Костяков, В.В.Куратов. Квантовые группы и пространства Кэли-Клейна. В сб.: "Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей", (Труды Коми НЦ УрО РАН, Ко 151). Сыктывкар, 1997, с.3-29.

10. Н.А.Громов, И.В.Костяков, В.В.Куратов. Возможные контракции квантовых ортогональных групп. В сб.: Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Сыктывкар. 2000, с.3-28. (Труды Коми НЦ УрО РАН, №163).

11. Н.А.Громов, В.В.Куратов. Некоммутативные аналоги моделей пространства-времени. Сыктывкар, 2004. 28 с. (Научные доклады / Коми науч. центр УрО РАН. Вып.468).

12. В.Г.Дринфельд. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера. ДАН СССР. 1985. т.282. с. 1060-1064

13. С.А.Дуплий. Нильпотентная механика и суперсимметрия Пробл. ядерной физики и косм, лучей, 1988. Вып. 30. с.41-48.

14. Г.А.Зайцев. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики. М.: Наука, 1974. - 192 с.

15. А.Б.Замолодчиков. ЖЭТФ, 1980, т.79, с. 641;

16. А.Г.Изергин, В.Е.Корепин. Квантовый метод обратной задачи. Физика ЭЧАЯ. 1982, т.13, с.501-541.

17. А.П.Исаев. Квантовые группы и уравнения Янга-Бакстера. Физика элементарных частиц и атомного ядра, т.26, в.5, 1995. с.1204-1263.

18. В.Г.Кадышевский. Докл. АН СССР, т.136, №1, с.70-73, 1961.

19. В.Г.Кадышевский. ЖЭТФ, т.41, вып.6(12), с.1885-1894, 1961.

20. В.Г.Кадышевский. Докл. АН СССР, т.147, №3, с.588-591, 1962.

21. В.Г.Кадышевский. Докл. АН СССР,т.147, №6, с.1336-1339, 1962.

22. В.Г.Кадышевский. Препринт ОИЯИ, Р2-5717, Дубна, 1971.

23. В.Г.Кадышевский. В сб."Проблемы теоретической физики" памяти И.Е.Тамма, с.52-73, "Наука", 1972.

24. Д.А.Киржниц. ЖЭТФ, т.41, с.551,1961; т.45, с.143. с.2024. 1963; 1.49, с.1544, 1965.

25. И.В.Костяков. Об одной контракции квантовой ортогональной группы. (Сер.препринтов "Научные доклады" УрО РАН, Коми научный центр; Вып.348).

26. А.П.Котельников. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань, 1985.

27. П.П.Кулиш, Е.К.Склянин. Записки науч. семинаров Ломи. 1980. т.95. с.129-160.

28. П.П.Кулиш, Н.Ю.Решетихин. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордон и высшие представления. Записки науч. семинаров Ломи. 1981. т.101. с.101-110.

29. Я.Х.Лыхмус. Предельные (сжатые) группы Ли. (II летняя школа по проблемам теории элементарных частиц) Тарту. 1969. - 132 с.

30. P.M.Мир-Касимов. ЖЭТФ, т.49, вып.3(9), с.905-913. 1965.

31. P.M.Мир-Касимов. ЖЭТФ, т.49, вып.4( 10), с.1161-1168, 1965.

32. P.M.Мир-Касимов. ЖЭТФ, т.52, вып.2, с.533-535, 1967.

33. Р.И.Пименов. Аксиоматическое исследование пространственно-временных структур. Тр. III го Всесоюзного математического съезда, 1956. - т.4. - М., 1959. - с.78-79.

34. Р.И.Пименов. Применение полуримановой геометрии к единой теории поля. ДАН СССР. 1964. - т.157. - №4. - с. 795-797.

35. Р.И.Пименов. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой движений. Литовский мат. сб. 1965. - т.5 - ЛаЗ.с. 457-486.

36. Р.И.Пименов. Пространства кинематического типа. (Математическая теория пространства-времени), Ленинград, 1968.

37. Н.Ю.Решетихин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев. Квантование групп и алгебр Ли. Алгебра и анализ. 1989, т.1, вып.1, с.178-206.

38. Б.А.Розенфельд. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955. - 742 с.

39. Б.А.Розенфельд, Л.М.Карпова. Флаговые группы и сжатие групп Ли. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1966. - Вып. 13 - с 168-202.

40. Е.К.Склянин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев. Квантовый метод обратной задачи. I, ТМФ, 1979, т.40, 2, с.194-220;

41. Е.К.Склянин. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния. Записки науч. семин. ЛОМИ, 1980, т.95, с.55-128.

42. Е.К.Склянин. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Функцион. анализ и его приложения. 1982, т.16, №4. с.27-34.

43. Е.К.Склянин. Об одной алгебре, порождённой квадратичными соотношениями. Успехи мат. наук. 1985, т.40, №2. с.214.

44. И.Е. Тамм. О кривом импульсном пространстве. Собрание научных трудов. Т.2. М.: Наука, 1975, с.218-225.

45. И.Е.Тамм. Труды XII Международной конференции по физике высоких энергий. Атомиздат, т.2, с.229-231, 1964.

46. И.Е.Тамм, В.Б.Вологодский. Труды ФИАН, т.57, с.5-28, 1972.

47. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев. Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга. Успехи Мат. наук, 1979, т.34, 5, с. 13-63.

48. А.С.Феденко. Предельные пространства. УМН 1957. т. 12. с.235-240.

49. Л.Фраппат, П.Сорба, А.Сциаррино. Квантовые группы и генетический код, Теор. и матем. физика, т.128, №1, июль, 2001. с.27-42., physics/9801027, physics/0003037, physics/0007034.

50. P.Aschieri, L.Castellani. R-matrix formulation of the quantum inhomogeneous groups ISOq>r(N) and ISpqtr(N), Lett. Math. Phys. 1996. - pp. 197-211.

51. J.A. de Azcarraga, M.A. del Olmo, J.C.Perez Bueno. M.Santander. Graded contractions and bicrossproduct structure of deformed inhomogeneoys algebras, J. Phys. A, 30, (1997). 3069, (q-alg/9612022).

52. D.N.Ananikyan, P.P.Kulish and V.D.Lyakhovksy. St.Petersburg Math.J. 14, 385, 2003.

53. A.Ballesteros, E.Celeghini, R.Giachetti, E.Sorace, M.Tarlini. An i?-matrix approach to the quantization of the Euclidean group E{2). J. Phys. A: Math. Gen. 1993. - V.26. - pp.7495-7501.

54. A.Ballesteros, F.J.Herranz, M.A. del Olmo, M.Santander. Quantum structure of the motion groups of the two-dimensional Cayley-Klein geometries, J.Phys. A: Math. Gen., 26, 5801-5823 (1993); hep-th/9404052.

55. A.Ballesteros, N.A.Gromov, F.J.Herranz, M.A. del Olmo. M.Santander. Lie bialgebra contractions and quantum deformations of quasi-orthogonal algebras. J.Math.Phvs. 1995. v.36, pp.5916-5936. hep-th/9412083.

56. A.Ballesteros, F.J.Herranz, M.A. del Olmo, M.Santander. Poisson Lie contractions and quantum (1+1) groups, hep-th/9403182.

57. A.Ballesteros, F.J.Herranz, M.A. del Olmo, M.Santander. Quantum algebras for maximal motion groups of N-dimensional flat spaces. Lett. Math. Phys., 1995, pp.273 281.

58. A.Ballesteros, E.Celeghini, F.J.Herranz. Quantum extended (1+1) Galilei algebras: from Lie bialgebras to quantum R-matrices and integrable system. J.Phys. A: Math. Gen., 33. pp.3431-3444, (2000).

59. A.Ballesteros, F.J.Herranz, M.A. del Olmo, M. Santander. Phys. Lett. 1996, B351, 215.

60. H.Bacry, J.-M.Levy-Leblond. Possible Kinematics, J.Math.Phys. v.9, №10 1968, pp.1605-1614.

61. F.Bonechi, E.Celeghini, R.Giachetti, E.Sorace and M.Tarlini. J. Phys. A: Math. Gen.25, L939 (1992); Phys. Rev. Lett. 68, 3178. (1992);

62. T.Brzezinski. Crossed product structure of quantum Euclidean groups. In book: Quantum group simposium at group 21. Heron Press, Sofia, 1997, pp.283-288.

63. T.Brzezinski, S.Majid. Quantum group gauge theory on quantum spaces. Commun.Math.Phys. 157, (1993), p.591.

64. X.Calmet. B.Jurco, P.Schupp, J.Wess, M.Wohlgenannt. The Standard Model on Non-Commutative Space-Time, Eur.Phys.J. C23 (2002), pp.363-376; hep-ph/0111115.

65. E.Celeghini, R.Giachetti, E.Sorace, M.Tarlini. The quantum Heisenberg qroup H(l)q. J.Math.Phys., 1991, v.32, №5, pp.1155 1158.

66. E.Celeghini, R.Giachetti, E.Sorace, M.Tarlini. The three dimensional Euclidean quantum group E(3)q and its R-matrix. J.Math.Phys., 1991, v.32, №5, pp.1159-1165.

67. E.Celeghini, P.P.Kulish. Deformation of orthosymplectic Lie superalgebra osp( 1|4). J.Phys.A: Math.Gen., 2004, v.37, n.20. pp.L211 L216.

68. B.L.Cerchiai, J.Wess. q-Deformed Minkowski Space based on a q-Lorentz Algebra, Eur.Phys.J. C5 (1998) 553-566, LMU-TPW 98-02, MPI-PhT/98-09; math.QA/9801104.

69. B.L.Cerchiani, J.Madore, S.Schaml, J.Wess. Structure of the Three-dimensional Quantum Euclidean Space, Eur.Phys.J. C16 (2000), pp.169-180; math.QA/0004011.

70. B.L.Cerchiai, G.Fiore, J.Madore. Geometrical tools for Quantum Euclidean Spaces, Commun.Math.Phys. 217, (2001), pp.521-554: math.Q A/0002007.

71. The Chang, Quantum Anti-de Sitter Space, Eur.Phys.J. C17 (2000) 527-534, hep-th/9904091, MPI-PhT 99-15.

72. A.Connes, M.R.Douglas, A.Schwarz. Noncommutative geometry and matrix theory: Compactification on tori. JHEP 02. 003: hep-th/9711162.

73. S.Doplicher, K.Fredenhagen, J.E.Roberts. The quantum structure of spacetime at the Planck scale and quantum fields. Commun.Math.Phys. 172, (1995), pp.187-220, hep-th/0303037.

74. B.-D. Dorfel. Non-commutative Euclidean structures in compact spaces, J.Phys.A:Math.Gen., 34, №12, pp.2583-2594. hep-th/9907136. A Lie-algebra model for noncommutative space time geometry; hep-th/0204161.

75. D.Ellinas, J.Sobczyk. Quantum Heisenberg Group and Algebra: Contraction, Left and Right Regular Representations J.Math.Phys. 36, (1995), pp.1404-1412, FTUV 94-30.

76. L.D.Faddeev. Quantum completely integrable models in field theory // Soviet Sci. Rev. Sect. C: Math. Phys. Rev. 1980. v. 1. pp.107-155.

77. L.D.Faddeev. Integrable Models in 1+1-Dimensional Quantum Field Theory. Les Houshes Lectures 1982. Amsterdam: Elsevier. 1984. 300p.

78. L.D.Faddeev, L.A.Takhtajan. Liuville model on the lattice. Lect. Notes Physics. 1986. v.246. pp.166-179.

79. M.Flato and D.Sternheimer. On a possible origin of quantum groups, Lett, Math. Phys. 22 (1991), pp.155 160.

80. R.Gilmor. Lie groups, Lie algebras and some of their applications. New York: Wiley, 1974. - 588p.

81. N.A.Gromov. Contractions of the quantum matrix unitary groups. Proc. XIX Int. Coll. Group Theor. Meth. in Phys. Salamanca, Spain, June 29 July 4, 1992.

82. N.A.Gromov. The matrix quantum unitary Cayley-Klein groups. J.Phys.A: Math.Gen., v.26, 1993, pp.L5-L8.

83. N.A.Gromov, I.V.Kostyakov, V.V.Kuratov. On contractions of quantum orthogonal groups, math.QA/0209158.

84. N.A.Gromov. I.V.Kostyakov, V.V.Kuratov. Quantum orthogonal Cayley-Klein groups in Cartesian basis. Int. J.Mod.Phys.A, 1997. v.12. №1, p.33-41. (math.QA/9610011).

85. N.A.Gromov. Contractions of algebraic structures and different couplings of Cayley-Klein and Hopf structures // Turkish J. Phys. 1997. v.21. - №3. - pp.377-383. q-alg/9602003.

86. N.A.Gromov, I.V.Kostyakov, V.V.Kuratov. Quantum orthogonal Cayley-Klein groups and algebras. 3p. ( Proceedings of WigSym5, Vienna, Austria, 25-29 August 1997).

87. N.A.Gromov, I.V.Kostyakov, V.V.Kuratov. FRT quantization theory for the nonsemisimple Cayley-Klein groups. (Proceedings of International Conference "Quantum Groups, Deformations and Contractions", Istanbul, Turkey, 17-24 September 1997).

88. C.Grosche, Kh.G.Karayan, G.S. Pogosyan and A.N.Sissakian. Free Motion on the Three-Dimensional Sphere: The Ellipso-Cylindrical Bases. J.Phys., bf A30, pp.1629-1657, 1997.

89. V.Hussin, A.Lauzon. Д-matrix method for Heisenberg quantum qroups, Lett. Math. Phys. 1994. - pp.159-166.

90. E.Inonii and E.P.Wigner. On the contraction of groups and their representations. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S. 39, pp.510-524. (1953).100.A.P.Isaev. Quantum group covariant noncommutative geometry. J.Math.Phys. 35 (1994) pp.6784-6801; hep-th/9402060.

91. A.P.Isaev, Z.Popowicz. Quantum group gauge theories and covariant quantum algebras, Phys.Lett. B307 (1993) p.353: hep-th/9302090.

92. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. J.Phys 29, 5940, 1996.

93. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosian, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. N-dimensional sphere. J.Math.Phys. 40, pp.1549-1573, 1999.

94. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosian, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of interbasis expansions for subgroup coordinates on N-dimensional sphere. J.Phys. A34, 521-554, 2001.

95. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Coulomb-oscillator duality in space of constant curvature. J.Math.Phys. 41, pp.2629-2657, 2000.

96. E.G.Kalnins, J.M.Kress, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of superintegrability in two dimensional constant curvature space. J.Phys. A34, 4705-4720, 2001.

97. P. Kosinski, P. Maslanka. The к-Weyl group and its algebra. In: From field theory to quantum groups, eds B. Jancewicz and J. Sobczyk, World Scientific, 1996, p.41; q-alg/9512018.

98. E.Kowalczyk. Lie Bialgebra Structures on Twodimensional Galilei Algebra and their Lie-Poisson Counterparts, Acta Phys. Pol. В 28, p.1893 (1998); math.QA/9704009.

99. P.P.Kulish, E.K.Sklyanin. Quantum spectral transform method. Recent development. Lect. Notes Physics. 1984. v.151. pp.61-119.

100. P.P.Ivulish, L.D.Lyakhovsky and A.I.Mudrov. J.Math.Phys. 40. 4569, 1999.

101. P.P.Kulish, L.D.Lyakhovsky and M.A. del Olmo. J.Phys.A: Math.Gen. 32, 8671, 1999.

102. P.P.Kulish, V.D.Lyakhovksy and A.A.Stolin. J.Math.Phys. 42. 5006, 2001.

103. J.-M.Levy-Leblond. Une nouvelle limite non-relativiste du groupe de Poincare. Ann. Inst. H.Poincare, 1965. v.A3. JV>1. pp.1 12.

104. Li Yun, Sicong Jing. Realization of the N(odd)-dimensional Quantum Euclidean Space by Differential Operators. Commun.Theor.Phys. v.41, 2004, pp.175-178, hep-th/0311007.

105. A.Lorek, W4.Weich and J.Wess. Non-commutative Euclidean and Minkowski Structures, Z.Phys.С 76, p.375-386. q-alg/9702025.

106. V.D.Lyakhovsky and A.M.Mirolyubov. Contractions in deformed Lie-Poisson structures, Intern. Journ. Modern Phys. A, 12 №1, pp'.225-230, 1997.

107. V.Lyakhovsky and A.Mudrov. Generalized quantization scheme for Lie algebras, J. Phys. A: Math. Gen. 25, (7 October 1992). L1139-L1143.

108. J. Lukierski, V. Lyakhovsky, M. Mozrzymas. «-deformations of D = 4 Weyl and conformal symmetries; hep-th/0203182.

109. J.Madore, S.Schrame, P.Schupp, J.Wess. Gauge theory on noncommutative space, Eur.Phy.J. C, 16, pp.161-167, (2000). hep-th/0001203

110. S.Majid and H.Ruegg. Bicrossproduct structure of к- Poincare group and noncommutative geometry, Phys. Lett, В 334 (1994) 348 (hep-th/9405107).

111. R.L.Mallet, G.N.Fleming. J.Math.Phys., v.14, №1, pp.45-51. 1973.

112. P.Maslanka. The Eq(2) group via direct quantization of the Lie-Poisson structure and its Lie algebra. J. Math. Phys. 1994. v.35. .No 4. pp.1976 1983.

113. F.Meyer, H.Steinacker. Gauge field theory on the Eq(2)-covariant plane; hep-th/0309053.

114. D.Parashar, R.J.McDermott. Contraction of the G>,6 Quantum Group to its Nonstandard analogue and corresponding Coloured Quantum Groups. J. Math. Phys. 41, (2000), pp.2403-2416: math.QA/9911194.

115. M. de Montigny, J.Patera. Discrete and continuous graded contractions of Lie algebras and superalgebras. J.Phys.A: Math.Gen., 1991, v.24, pp.525-547.

116. M. de Montigny, J.Patera, J.Tolar. Graded contractions and kinematical groups of space-time, J.Math.Phys. 35(1), 405 (1994).

117. R.V.Moody, J.Patera. Discrete and continuous graded contractions of representations of Lie algebras. J.Phys.A: Math.Gen., 1991, v.24, pp.2227-2258.

118. R.M. Mir-Kasimov. The Snyder space-time quantization, q-deformations and ultraviolet divergences. Phys. Lett, B. 1996. v. 378, pp.181-186.

119. A.Opanowicz. Lie bialgebra structures for centrally extended two-dimensional Galilei algebra and Lie-Poisson counterparts: hep-th/9710028

120. P.Podles, S.L.Woronowicz. Comm.Math.Phys., 1990, v.130. p.381.

121. C.Quesne. Nonstandard GLh(n) quantum groups and contraction of covariant q-bosonic algebras. Czech. J. Phys. 48 (1998), pp.1471-1476.

122. E.J.Saletan. J. Math. Phys. 2, 1 (1961).

123. M.Santander, F.J.Herranz and M.A. del Olmo. Kinematics and homogeneous spaces for symmetrical contractions of orthogonal groups, in Proceedings of the XIX ICGTMP, Anales de Fisica. Monografias I, Vol. 1, p. 455, (CIEMAT RSEF, Madrid 1993).

124. P.Schupp, P.Watts, B.Zumino. The two-dimensional quantum Euclidean algebra. Lett.Math.Phys., 1992, v.24, №2, pp.141-145.

125. M.Schlieker, W.Weich, R.Weixler. Inhomogeneous quantum groups and their quantized universal enveloping algebras. Lett, Math. Phys. -27, 1993. pp.217-222.

126. N.Seiberg, E.Witten. String theory and Noncommutative geometry, JHEP 9909 1999 032; hep-th/9908142.

127. H.S.Snyder. Quantized space-time. Phys. Rev., Vol. 71. №1. pp.38-41, 1947.

128. J.Sobczyk. Quantum E(2) groups and Lie bialgebra structures. J.Phys. A 29 (1996), p.2887; math.QA/9603009.

129. J.Sobczyk. Kappa-contraction from SUq(2) to EK(2), Czech. J. Phys. 1996. - v.46. - pp.265-270; math.QA/9603008.

130. Stolin. Math. Scand. 69 57, 81. (1991).

131. E.Witten. Noncommutative geometry and string field theory, Nucl. Phys. В 268, p.253 (1986).

132. S.L.Woronowicz. Quantum SU(2) and E(2) Groups. Contraction Procedure. Commun. Math. Phys. 149. pp.637-652. (1992).

133. S.Zakrzewski. J. Phys. A: Math. Gen., 1994, v. 27, p. 2075.

134. S.Zakrzewski. Poisson Poincare groups, hep-th/9412099.

135. A.B.Zamolodchikov, Al.B.Zamolodchikov. Ann. Phys. 1979. vol.120, p.253. A.B.Zamolodchikov, Al.B.Zamolodchikov. - Nucl. Phvs., 1978, vol.B133, p.525. A.B.Zamolodchikov. - Comm. Math. Phys., 1981, vol.79, p.489.

136. P.Zaugg. The quantum two dimensional Poincare group from quantum group contraction, J. Math. Phys. 36, 1547-1553 (1995). hep-th/9404007.

137. P.Zaugg. The 7-Poincare quantum group from quantum group contraction, J. Phys. A: Math. Gen. 1995. - pp.2589 2604.