Квантовые группы в двумерной логарифмической конформной теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Типунин Илья Юрьевич

• Типунин Илья Юрьевич
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Типунин Илья Юрьевич

Введение

Дальнейшее развитие результатов диссертации и современное состояние исследований

Вступление

1. Связь логарифмической конформной теории поля с решёточными моделями

1.1 Решеточные Ш-алгебры и логарифмические КТП

1.1.1 Триплетная Ш-алгебра из XX спиновой цепочки

1.1.2 Скейлинговый предел ХХ-цепочки и режимы Ш-алгебры

1.1.3 XXZ представление и Ш-алгебра на решетке

1.2 Двумерные критические плотные полимеры с граничными условиями Робина

на орбифолде

1.2.1 Модель решеточной петли

1.2.2 Граничные условия Робина

1.2.3 Диаграммные состояния

1.2.4 Трансфер-матрицы

1.2.5 Критические плотные полимеры

1.2.6 Конформная теория поля

1.3 Двумерные остовные сети как (1,2) логарифмическая минимальная модель

1.3.1 Модель остовной сети

1.3.2 Расчёт статистической суммы

1.3.3 Конформная теория поля остовных сетей

2. Логарифмические деформации конформной теории поля

2.1 Логарифмические конформные теории поля посредством логарифмических деформаций

2.1.1 Деформация тензора энергии-импульса

2.1.2 Деформация общей киральной алгебры

2.2 Логарифмические КТП, связанные с простыми алгебрами Ли: случай

простых связей

2.2.1 Предварительные сведения

2.2.2 Операторы экранирования

2.2.3 Вертекс-операторная алгебра №СХ({гр)

2.2.4 Квантовая группа

2.2.5 Характеры

3. (1, р)-триплетные модели

3.1 Представления модулярных групп и слияние в логарифмических конформных теориях поля и в центре квантовой группы

3.1.1 Вертекс-операторная алгебра (1,р)-конформной теории поля, ее характеры и 5Г(2^)-представления

3.1.2 з1(2): представления и кольцо Гротендика

3.1.3 з1(2): факторизуемые и ленточные структуры алгебры Хопфа и центр

3.1.4 5Г(2^)-представления в центре ицв£(2)

3.2 Граничные состояния Рэдфорда, Дринфельда и Карди в логарифмических

(1,р) моделях конформной теории поля

3.2.1 Пространство амплитуд (1,р) модельного тора

3.2.2 Центр квантовой группы

3.2.3 Правила слияния и обобщенная формула Верлинде

3.2.4 Обобщенная формула Верлинде для (1 ,р) моделей

3.2.5 Пространство граничных состояний и центр квантовой группы

3.3 Соответствие Каждана-Люстига для категории представлений триплетной

^-алгебры в логарифмической КТП

3.3.1 Эквивалентность категорий при р = 2: явная конструкция

3.4 Двойная аффинная алгебра Гекке в логарифмической конформной теории поля

3.4.1 Представление

3.4.2 РБ1(2,Ж) действие в %

3.4.3 Собственное пространство Т с собственным значением q

4. Фьюжн (1, р)-моделей Вирасоро и тензорные представления неразложимых

модулей Каждана-Люстига

4.1 Предел Люстига квантового э1(2) в корне из единицы и слияние (1,р) логарифмических минимальных моделей Вирасоро

4.1.1 Централизатор

4.1.2 Представления Сицв£(2)

4.1.3 Алгебра слияния

4.2 Эквивалентность Каждана-Люстига и слияние модулей Каца в логарифмических моделях Вирасоро

4.2.1 Классификация £ич-модулей

4.2.2 Разложение тензорного произведения

5. Коинварианты и квазичастичные формулы для характеров

5.1 Фермионные формулы для характеров логарифмической модели (1,р) в реализации Ф21 квазичастиц

5.1.1 Краткое описание логарифмических (1,р)-моделей

5.1.2 Доказательство Теоремы

5.2 Характеры коинвариантов в (1,р)-логарифмических моделях

5.2.1 Структура категории A

5.2.2 Характеры индуцированных модулей

5.2.3 Характеры пространств кратности

6. Логарифмические деформации минимальных моделей

6.1 Каждан-Люстиг-двойственная квантовая группа для логарифмических расширений минимальных моделей Вирасоро

6.1.1 Квантовая группа &р+>р_, ее представления, g-характеры и центр

6.1.2 Отображение Рэдфорда Ch(flP+,P_)

6.1.3 Факторизуемые и ленточные структуры для 0Р+;Р_

6.1.4 5Х(2^)-представления на др+ -центре

6.2 Логарифмические расширения минимальных моделей: характеры и модулярные преобразования

6.2.1 Предварительные сведения о свободном поле

6.2.2 Экранирующие операторы и квантовая группа

6.2.3 Вертекс-операторная алгебра для (р+,р-)-конформной теории поля и

ее представлений

6.2.4 Пространство торических амплитуд

7. Алгебры Николса и логарифмическая конформная теория поля

7.1 Алгебра экранирующих операторов Николса

7.1.1 Конфигурации экранирующих операторов как стратификация

7.1.2 Модули П(Х) и B(X)

7.1.3 Произведение слияния

7.1.4 Одномерные X и (р,1)-логарифмические модели КТП

7.2 Логарифмические модели sl(2) КТП из алгебр Николса

7.2.1 Алгебра Николса: «асимметричный» случай

7.2.2 Алгебра Николса: «симметричный» случай

7.2.3 От B(X) к расширенным киральным алгебрам: асимметричный случай

7.2.4 От B(X) к расширенным киральным алгебрам: симметричный случай

7.2.5 Двойная бозонизация B(X)

7.2.6 U(X) и алгебра W(2,(2p)x3x2)

8. Представления Uqsl(2|1) и алгебры Брауэра

8.1 Представления Uqsl(2|1) при четных корнях из единицы

8.1.1 Алгебра Хопфа U(X)

8.1.2 U(X) модули и модули Йеттера-Дринфельда B(X)

8.1.3 Простые модули U(X)

8.1.4 Ext1 пространства для простых U(X)-модулей

8.1.5 Проективные U(X) модули

8.1.6 Центр U(X)

8.2 Алгебра Брауэра с квантовыми стенками: коммутирующие семейства, бакстеризация и представления

8.2.1 ц^Ьт,п из сплетенных моноидальных категорий

8.2.2 Бакстеризация и коммутирующие семейства

8.2.3 ц«Ь модули Шпехта

8.2.4 Полунормальные представления и спектр элементов Джусиса-Мёрфи

8.3 Бимодульная структура смешанного тензорного произведения над и,дз1(2|1) и алгебра Брауэра с квантовыми стенками

8.3.1 Алгебра Хопфа Чд«1(211)

8.3.2 Смешанное тензорное произведение

8.3.3 Модули над цуЬт,п и Хт,п

8.3.4 Смешанное тензорное произведение как бимодуль

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые группы в двумерной логарифмической конформной теории поля»

Введение

Объектом исследования являются разнообразные модели логарифмической конформной теории поля и методы их построения. В работе широко применяется двойственность Каждана-Люстига для сведения бесконечномерных объектов теории поля к конечномерным объектам в теории квантовых групп. Такой подход позволяет сделать логарифмическую конформную теорию поля принципиально вычислимой и получать большое количество явных аналитических результатов. В работе также изучаются определённые применения двумерной логарифмической конформной теории поля в статистической физике. Здесь квантово-груп-повой подход также играет важную роль как при изучении конечных систем, так и в скей-линговом пределе. В работе изучаются решёточные модели статистической физики такие, как XXZ-цепочка Гейзенберга, модель плотных критических полимеров, модель остовных сетей, и модель (включающая взаимодействие между спиновыми и зарядовыми степенями свободы). Для этих моделей изучаются их скейлинговые пределы, в которых возникают логарифмические расширения (р, р') минимальных моделей и логарифмические расширения моделей з1(2). Эти модели изучаются в подходе Каждана-Люстига, который позволяет явно находить модулярные свойства их характеров, правила слияния и интегрируемые граничные условия.

Актуальность темы диссертации определяется открытием принципиально нового поведения моделей статистической физики при наличии в них нелокальных наблюдаемых. Типичными примерами таких моделей могут служить двумерная модель перколяции, модели самоорганизующихся критического состояния, например, модель песчаной кучи, скейлинго-вый предел таких моделей до сих пор слабо изучен. В скейлинговом пределе этих моделей возникают различные модели логарифмической конформной теории поля. В свою очередь, логарифмическая конформная теория поля является сложным для изучения объектом, если изучать её в классическом квантово-полевом подходе. Прорывным инструментом в изучении логарифмической конформной теории поля оказалась двойственность Каждана-Люстига, позволяющая заменить изучение бесконечномерных полевых объектов изучением конечномерных квантово-групповых объектов. Такой подход позволяет существенно продвинуться как в классификации моделей логарифмической конформной теории поля, так и в получении для них аналитических результатов. Этот подход также оказывается чрезвычайно успешным при изучении скейлингового предела моделей статистической физики с нелокальными наблюдаемыми.

Целью диссертационной работы является изучение логарифмической конформной теории поля с помощью квантовых групп.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:

1. Построена Ш-алгебра логарифмической конформной теории поля в скейлинговом пределе XXZ-цепочки Гейзенберга.

2. Построена модель двумерных критических плотных полимеров со специальными граничными условиями, называемыми граничными условиями Робина, и показано, что в скейлинговом пределе модель описывается фермионами на орбифолде.

3. Для модели двумерной остовной сети на цилиндре показано, что её скейлинговый предел описывается моделью симплектических фермионов.

4. Предложена процедура логарифмической деформации, позволяющая строить модели логарифмических конформных теорий поля из рациональных конформных теорий поля.

5. Предложена процедура построения логарифмических конформных теорий поля для каждой полупростой алгебры Ли с простыми связями.

6. Для (1, р) триплетных моделей логарифмической конформной теории поля показано, что категория представлений Ш-алгебры эквивалентно категории представления малой квантовой группы в р-том корне из единицы.

7. Показано, что пространство торических амплитуд и центр квантовой группы изоморфны как з1(2, Z) представления.

8. Для (1, р) моделей логарифмической конформной теории поля найдена обобщенная формула Верлинде.

9. Для (1, р) моделей логарифмической конформной теории поля с алгеброй симметрии Вирасоро показано, что категория представлений алгебры Вирасоро эквивалентна люстиговскому пределу квантовой з1(2) в р-том корне из единицы; найдена классификация неразложимых модулей.

10. Найдены правила слияния неразложимых модулей алгебры Вирасоро для (1,р) моделей.

11. Найдены фермионные формулы для характеров (1, р) моделей логарифмической конформной теории поля.

12. Найдены характеры коинвариантов в (1,р) моделях логарифмической конформной теории поля.

13. Построены логарифмические деформации минимальных моделей логарифмической конформной теории поля; найдены характеры неприводимых представлений и их модулярные свойства.

14. Развита техника алгебр Николса для работы с алгебрами экранирующих операторов в логарифмической конформной теории поля.

15. На основе техника алгебр Николса изучены модели з1(2) конформной теории поля.

16. Изучена квантовая группа из1(2|1) в р-том корне из единицы; найдены её проективные модули.

17. Показано, что в смешанном тензорном произведении и^1(2|1) и алгебры Брауэра с квантовыми стенками централизуют друг друга; найден спектр коммутирующих элементов Джусиса-Мёрфи для алгебры Брауэра с квантовыми стенками.

18. Найдена бимодульная структура смешанного тензорного произведения над и,дз1(2|1) и алгеброй Брауэра со стенками при д в общем положении.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. В работе впервые построена триплетная Ш-алгебра в скейлинговом пределе XXZ-цепочки Гейзенберга с симметричными относительно квантовой группы граничными условиями.

2. В работе найден новый тип граничных условий в модели двумерных критических плотных полимеров.

3. В работе впервые показана связь двумерных остовных сетей на цилиндре показано с двумерными симплектическими фермионами.

4. В работе предложена ранее неизвестный способ построения логарифмических конформных теорий поля, исходя из полупростых алгебр Ли.

5. В работе впервые построена двойственность Каждана-Люстига между (1, р) три-плетными моделями логарифмической конформной теории поля и малой квантовой группы в корне из единицы.

6. В работе впервые впервые сформулирована обобщенная формула Верлинде логарифмической конформной теории поля.

7. В работе впервые для (1, р) моделей Вирасоро проведена классификация неразложимых модулей и найдены правила слияния для них.

8. В работе найдены новые фермионные формулы для характеров триплетных моделей логарифмической конформной теории поля и характеры их коинвариантов.

9. В работе впервые найдены логарифмические деформации минимальных моделей логарифмической конформной теории поля.

10. В работе представлен новый подход с помощью алгебр Николса к построению моделей логарифмических конформных теорий поля как пересечений ядер экранирующих операторов.

11. В работе впервые построены проективные модули и^1(2|1) в корнях из единицы.

12. В работе впервые найден спектр коммутирующих элементов Джусиса-Мёрфи для алгебры Брауэра с квантовыми стенками.

13. В работе впервые найдена бимодульная структура смешанного тензорного произведения над ияз1(2|1) и алгеброй Брауэра со стенками при д в общем положении.

Практическая и теоретическая ценность результатов диссертационной работы. Совокупность результатов работы может применяться к различным моделям статистической физики с нелокальными наблюдаемыми. На основе результатов работы возможно глубокое изучение модели двумерной критической перколяции, модели плотных критических полимеров, изучение моделей самоорганизующегося критического состояния, таких как модель песчаной кучи, модели с з1(2|1) квантово-групповой симметрией, дающие скейлин-говое описание и моделей, могут быть полезны для описания взаимодействия спиновых и зарядовых степеней свободы, что важно для развития спинтроники.

Дальнейшее развитие результатов диссертации и современное

состояние исследований

Проблематика, описанная в диссертации, и полученные в ней результаты получили дальнейшее развитие в работах различных авторов. Мы дадим краткий обзор современного состояния этой области исследований. Основные результаты были получены относительно доказательств различных случаев 2-х гипотез, сформулированных в главах 2 и 7. Гипотеза из главы 2 формулируется относительно характеров (см. формулы (11), (12)) простых модулей для класса триплетных Ш-алгебр, называемых в литературе алгебрами Фейгина-Типуни-на, соответственно, гипотеза называется в литературе гипотезой Фейгина-Типунина. Вторая гипотеза сформулирована в главе 7 об эквивалентности подходов к ЛКТП, основанных на алгебрах Николса и квантовых группах, называемой в литературе гипотезой Семихатова-Типунина.

Последние достижения в теории логарифмических вертекс-операторных алгебр сосредоточены на расширениях с большими центрами и их приложениях к квантовой геометрической программе Ленглендса и логарифмическим конформным теориям поля (КТП). В работах [1; 2] конструируются расслоения вертексных алгебр над пространствами связно-стей, обобщая скрученные модули и предлагается связь с алгебрами Фейгина-Типунина и квантовыми группами. Эти алгебры возникают как критические пределы «ядер квантового Ленглендса», а их представления расслаиваются над пространствами связностей. В работе [3] эта конструкция расширяется до квази-гладких вертексных алгебр (например, аффинных триплетных алгебр), что доказывает частный случай гипотезы Семихатова-Типунина. В работе [4] доказывается простота триплетных Ш-алгебр, связанных спростыми корневыми системами и доказывается простота их вакуумного модуля, называемого в работе модулем Фейгина-Типунина. В работе [5] доказана гипотеза Фейгина-Типунина.

Центральной темой диссертации является обобщение двойственности Каждана- Люст-ига на широкий класс эквивалентностей (или существования функтора близкого к эквивалентности) между категориями представлений квантовых групп и категориями модулей логарифмических вертекс-операторных алгебр. В работе [6] устанавливается эквивалентность сплетенных тензорных категорий между ВОА из 3В калибровочных теорий и квантовыми супергруппами, что доказывает частный случай гипотезы Семихатова-Типунина. В работе [7] устанавливается связь между неполупростыми ТКТП (моделируемыми квантовыми группами в корнях из единицы) и алгебрами Фейгина-Типунина. В работе [8] вычисляются следы на модулях квантовых групп, согласованные с базисом Гайнутдинова-Типунина. В работе [9] устанавливается связь Ш-алгебр Фейгина-Типунина с индексами Шура теорий Аргайреса-Дугласа, при этом конформные вложения согласуются с ренорм-групповыми потоками теорий Аргайреса-Дугласа.

Вступление

Поведение физической системы в критической точке и вне её принципиально отличаются друг от друга. Классическими примерами критических явлений могут служить точка Кюри в модели магнетика [10] и множество примеров, описанных в [11]. Критические явления [12-15] играют важную роль в физике. Системы в критической точке описываются крайне богатой и красивой математикой: теорией квантовых групп, теорией категорий, бесконечномерными алгебрами симметрий и т.д.

Важной отличительной характеристикой критических явлений является то, что система ведёт себя сильно скоррелированным образом [16]. Это выражается в том, что корреляционные функции спадают полиномиально при удалении точек друг от друга, в то время, как вне критической точки их спадение является экспоненциальным. Также при критических явлениях система обладает свойством масштабной инваривантности [17], и, более того, конформной симметрией [17], а также в системе возникают фрактальные структуры [18]. В размерности 2 группа конформной симметрии становится бесконечномерной [19], что позволяет выйти за рамки теории возмущений и получать многие непертурбативные, а в некоторых случаях даже точные результаты [20]. Непертурбативные результаты получаются благодаря возможности применения теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, квантовых групп и теориии категорий [21].

Ещё одно удивительное свойство критических явлений - это универсальность: различные системы будучи в критической точке описываются одинаково с точностью до замены обозначений, поэтому в некотором смысле физические системы можно разделить на классы универсальности [11]. Классы универсальности могут быть описаны с помощью группы симметрии, содержащей конформную группу [21]. Также классы универсальности находятся во взаимно-однозначном соответствии с модулярными категориями, которые могут быть отождествлены с категориями представлений некоторых бесконечномерных (супер)алгебр Ли [22]. Вышеперечисленные отождествления предоставляют математический аппарат для получения непертурбативных результатов.

Среди двумерных критических систем выделяются модели рациональной конформной теории поля (РКТП) [20]. На данный момент для них получено наибольшее количество аналитических результатов как со стороны физики [21], так и со стороны математики [22]. Модели РКТП имеют многочисленные применения в статистической физике [23], теории поля [24] и теории струн [25].

Важную роль в статистической физике и критических явлениях играют решёточные модели. Решёточная модель формулируется в терминах конфигураций некоторой дискретной величины, расположенной на решётке (привязанной к узлам, рёбрам или плакетам) и статистических весов, приписанных каждой конфигурации. Типичными примерами двумерной решёточной модели служат модели Изинга и Поттса, шестивершинная модель [26]. Решёточ-

ные модели представляют собой удобный способ аппроксимации, а также решётка может иметь самостоятельный физический смысл.

Двумерные статистические модели в некотором смысле эквивалентны одномерным квантовым цепочкам [27]. Эквивалентность устанавливается с помощью трансфер-матрицы [26]. В скейлинговом пределе, в котором размер решётки стремится к бесконечности, или, что эквивалентно, шаг решётки стремится к нулю, двумерные решеточные модели и одномерные квантовые цепочки оказываются эквивалентны некоторой двумерной КТП. КТП, возникающая в скейлинговом пределе обладает бесконечномерной симметрией, содержащей конформную группу. В случае РКТП пространство состояний этой теории поля разлагается в прямую сумму конечного числа неприводимых представлений этой бесконечномерной группы симметрии. В этом случае также модулярная категория преставлений группы симметрии является полупростой.

Существует естественный способ расширения класса РКТП добавлением в модели нелокальных наблюдаемых. Для КТП, возникающих из решеточных статистических моделей класс наблюдаемых определяется при взятии скейлингового предела. В частности, могут рассматриваться модели только с локальными наблюдаемыми, что означает, что при взятии скейлингового предела оказывается, что такие наблюдаемые сосредотачиваются в точке, или модели, содержащие нелокальные наблюдаемые, то есть такие, которые в скейлинговом пределе оказываются распределены в конечной области пространства. Примером локальной наблюдаемой может служить отдельный спин в модели Изинга, а нелокальной - бесконечный кластер в модели перколяции.

Характерныой особенностью наличия в модели нелокальной наблюдаемой на языке корреляционных функций в двумерной системе является логарифмическая зависимость корреляционных функций1 от расстояния между точками [28]; на языке квантовых цепочек -это наложение определенных граничных условий, предполагающих наличие потока через систему или то, что система находится во взаимодействии с окружением, то есть неунитарность динамики, и, соответственно, неэрмитовость гамильтониана (он даже содержит явную зависимость от мнимой единицы); на языке теории представлений - неполупростота категории представлений алгебры симметрии [29]. Из-за наличия логарифма в корреляционных функциях такие модели называются логарифмическими конформными теориями поля (ЛКТП) [29-46].

В некоторой степени удивительно, что логарифмические конформные теории поля, хотя и нарушают некоторые фундаментальные принципы, обычно принимаемые в КТП, тем не менее возникают во многих ситуациях, когда конформная симметрия играет роль. Приложения, которые в последнее время привлекают внимание, включают гравитационное одевание [47], расширенную симметрию в неупорядоченных системах, полимеры и перколяцию [48-55], модель песочной кучи [56; 57] и WZW модели на супергруппах [58-61], динамику В-бран в теории струн [62; 63] и соответствие АдС/КТП [64-70]. С точки зрения теории представле-

хОбезразмеривание логарифма происходит с помощью параметра, который описывает, что значит нелокальность.

ний логарифмические конформные теории поля представляют интерес, поскольку изучение недиагонализуемых представлений Вирасоро [71; 72] может потребовать расширения (и, конечно же, новых приложений) идей и методов, которые успешно использовались при построении математической основы "стандартной" конформной теории поля.

Хотя точного определения класса логарифмических конформных теорий поля не существует, двумя характерными свойствами являются недиагонализуемое действие Вирасоро и появление логарифмов в корреляционных функциях (эти вопросы тесно связаны; см., например, [73] о том, как максимальный размер жордановой клетки ограничивает максимальную степень логарифмов). Тривиальный пример логарифмов, встречающихся в корреляционных функциях, дает конформная теория поля свободного бозона. Однако логарифм в этом случае возникает из-за добавления оператора координаты центра масс (сопряженного с импульсом), действующего на пространстве состояний, и это включение не приводит к какой-либо интересной новой структуре для представления соответствующей киральной алгебры (и(1) алгебры токов). С другой стороны, в «подлинно» логарифмических моделях логарифмы тесно связаны с приводимыми, но неразложимыми модулями над алгеброй Вирасоро [71; 72] или расширенными киральными алгебрами. В таких модулях действие Ь0 не диагонализируемо, а соединяет векторы в жордановой клетке определенного размера.

В ряде примеров, исследованных в литературе, жордановы клетки встречаются на верхнем уровне модуля, что в случае вакуумного модуля предполагает наличие «логарифмического партнера тождественного оператора». Однако такое поведение не является универсальным. Более того, логарифмические партнеры тензора энергии-импульса не обязательно должны появляться (хотя их существование, по-видимому, иногда воспринималось почти как определение логарифмической конформной теории поля). Действительно, в [72] уже было замечено, что жордановы клетки могут сначала возникать на более низких уровнях, приводя к так называемым «осциллирующим» модулям, в отличие от жордановых модулей с наибольшим весом [72], где жордановы клетки «наследуются» от верхнего уровня модуля.2 Случай «осцилирующего» типа на самом деле наиболее часто встречается в приложениях, в частности в логарифмически расширенных минимальных моделях.

Работа посвящена развитию различных аспектов математического аппарата, описывающего двумерные критические явления с нелокальными наблюдаемыми или одномерные квантовые цепочки, взаимодействующие с окружением. К сожалению, явное отождествление того или иного класса универсальности с той или иной конформной теорией поля не всегда возможно. Однако, в простейших случаях интересно проследить в деталях, как происходит появление той или иной КТП в скейлинговом пределе решёточной модели.

2Случай, изучаемый в [72], - это случай жордановых модулей Верма — «логарифмическая версия» модулей Верма, тогда как во многих конкретных моделях встречаются модули Фока, а не Верма (точнее, Фейгина-Фукса (ФФ) [74]). Соответственно, понятия, введенные в [72], следует применять по модулю соответствующей «поправки». По сравнению с модулями Верма, модули ФФ искажаются за счет инвертирования «одной половины» вложений. Это соотношение переносится и на их логарифмические версии.

Дадим краткий обзор связей между различными объектами, про которые будет идти речь в работе. Все модели, изучаемые в работе, будут связаны с той или иной (супер)алгеброй Ли Л или её корневой системой.

1. Двумерная конформная теория поля СТТ(Л).

Мы будем описывать те или иные двумерные КТП, понимаемые в смысле аксиоматики Мура-Зайберга [75], с помощью бозонизации [76]. Хорошо известен стандартный способ построения РКТП, начиная с решеточной вертекс-операторной алгебры £(Л) в терминах множества экранирующих операторов Б (Л) [77; 78], в частности пространство состояний этой ЛКТП строится как когомология комплекса Фельдера [79], построенного по Б (Л). В работе будет показано, что ЛРКТП можно строить как пересечение ядер, а не когомологии экранирующих операторов. В частности, переход от когомологии к ядрам может рассматриваться как логарифмическое расширение РКТП, заданной 5(Л). Как в РКТП, так и в ЛРКТП удобно работать с голономией корреляционных функций в терминах экранирующих операторов, что позволяет алгебраизировать задачу. Для этого введем сплетенное линейное пространство X (Л), заданное как формальная линейная оболочка £ (Л).

2. Вертекс-операторная алгебра V(Л).

Алгеброй симметрии ЛКТП из пункта 1 оказывается некоторая вертекс-операторная алгебра V (Л) с неполупростой категорией представлений О (Л), построенная из решеточной вертекс-операторной алгебры £(Л) с помощью экранирующих операторов. В частности, оказывается, что свойства этой неполупростой категории представлений могут быть описаны алгеброй экранирующих операторов. При определенных условиях целочисленности скалярных произведений импульсов экранирующих токов £ (Л) порождают конечномерную алгебру Николса.

Под названием «биалгебры первого типа» алгебры Николса (точнее, их бозонизации) первоначально появились в [80]. У них есть несколько определений, эквивалентность которых описана в [81; 82]. Они также изучались в [83; 83-88]. 3

Алгебра Николса В(Х) сплетеного линейного пространства X является градуированной сплетеной алгеброй Хопфа, ЩХ) = 0п^0 ЩХ)(га) ( прямая сумма векторных пространств), такая что Щ(Х)(0) - это основное поле и Щ(Х)(1) = X, и X порождает Щ(Х) как алгебру и совпадает с пространством всех примитивных элементов Р(X) = {х е Щ(Х) | Ах = х ® 1 + 1 Ь х].

Алгебры Николса появились независимо в [91] для целей построения квантового дифференциального исчисления и в форме сплетенных обобщений симметрических алгебр, а именно

Щ(х) = к ' X ф 0 X®7кег еп,

п^ 2

3Важная техническая особенность, которую мы, тем не менее, склонны игнорировать, заключается в том, что существует различие между квантовыми симметрическими алгебрами [87] и собственно алгебрами Николса; последние выбираются по условию жесткого сплетения (что, в частности, гарантирует, что двойственные X* являются объектами той же самой сплетенной категории, что и X); см. [89; 90].

где &п - полный сплетеный симметризатор. Это дает еще одну характеристику алгебр Ни-колса.

Наконец, алгебра Николса сплетенного линейного пространства X может быть определена в терминах спаривания (• , •) : Т(X*) Ь Т(X) ^ к. Отсюда следует, что В(Х) = Т(X)//(X), где I(X) - ядро спаривания [82].

3. Пространство состояний.

Существенная новая особенность неполупростых (логарифмических) конформных теорий поля по сравнению с полупростыми (рациональными) теориями проявляется уже при построении пространства состояний. В полупростом случае достаточно взять сумму всех неприводимых представлений в каждом киральном секторе. Но в неполупростом случае существуют различные неразложимые представления, построенные, начиная с первых расширений неприводимых представлений, затем с учетом их дальнейших расширений и т. д., заканчивая проективными модулями (максимально возможными неразложимыми расширениями и, следовательно, модулями с самые большие жордановые ячейки для оператора масштабирующей размерности Ь0, которые можно построить для заданного набора неприводимых представлений). Таким образом, пространство состояний задается суммой по всем неизоморфным неразложимым проективным модулям:

Это влияет не только на теорию, но и на приложения: физически важные операторы (тепловые, магнитные и т. д.) в конкретных моделях часто можно отождествить с полем, соответствующим вектору «наибольшего веса» в проективном модуле Р(, а не с примарным полем (той же размерности), соответствующим вектору старшего веса неприводимого фактора Кроме того, всякий раз, когда речь идет о неразложимых представлениях, появляется больше возможностей для построения модулярных инвариантов путем объединения кирального и антикирального пространств состояний.

Но еще более существенным моментом в отношении неполупростых теорий является то, что прежде чем говорить о представлениях, их характерах, слиянии и т. д., необходимо найти алгебру симметрий, представления, характеры, слияние и т. д. которых следует рассматривать; эта алгебра обычно является не «наивной» алгеброй явной симметрии. Этот момент был изложен в [92]. Алгебры симметрии моделей логарифмической конформной теории поля обычно являются нелинейными расширениями наивной алгебры симметрий (например, Вирасоро), т.е. являются некоторыми Ш-алгебрами. Первые примеры возникающих в этом контексте Ш-алгебр были изучены в [29; 37; 93], см. также [94] и ссылки там.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Типунин Илья Юрьевич, 2025 год

Используя

V (Д0У_ 1) = V (Д0_,+2) (1.317) мы наконец приходим к выводу, что

«1+«2_1

(1, 51)® V (Д0;,2_ 2 )= 0 У(Д0,у_ 1) (1.318)

81 _ «2 + 1, Ьу 2

Теперь обратимся к алгоритму КОК и применим его к слиянию произведений

(2,1)® V(Др>в_ 1), (1,2)® V(Д>в_ 1), (1,3)® V(Др>в_2), г, в е Ж (1.319)

Для этого напомним, что модули Каца (2,1), (1,2) и (1,3) строятся как фактормодули со старшим весом

(2,1) = V (1)/V (3) = V (1), (1,2) = V (—8 (15) = V (—8), (1,3) = V (0)^ (3) (1.320)

где V(Д) обозначает модуль Вирасоро Верма старшего веса Д. Сингулярные векторы, из которых образуются подмодули в (1.320), имеют вид

|Л2,1 > = (Ь21 — 2Ь_2) | Д2,1 >, |Л1,2> = (Ь2_1 — 2ь_2) | Д1,2>, |Л1,3> = (Ь3_1 — 2ь_2ь_х) | Д1,3>

(1.321)

Согласно приложению статьи [168], алгоритм КОК, примененный к (1.319), затем дает общие правила слияния

(2,1) Ь V(Д, 1) = V(Д1) ' V(Д. +1> 1) (1.322)

(1,2) Ь V(Дг, 1) = V(Дг,_ 1) ' V(Д, з) = V(Д_г, 1) ' V(Д_р+1,1) (1.323)

и

(1,3) ь V(Др, 1) = V(Др,_ 3) ф V(Д, 1) ' V(Др, 5) = V(Д+1,1) ' V(Др, 1) ' V(Д._1,1) (1.324)

здесь записано в терминах исчерпывающего набора конформных весов, встречающихся в центральной строке таблицы Каца, см. (1.270). Используя алгебру Каца [185] £^(1,2), ассоциативность и тот факт (или, скорее, предположение, см. приложение статьи [168]), что неприводимый модуль Робина не появляется как собственное подфактор неразложимого модуля, впоследствии мы находим

(г'А )Ь V (Д. 1 )= 0 0 V (Д,„у, _ 1) (1.325)

г"=г_г/ + 1,Ъу2 «" = «_./+1,Ъу 2

и

г+г/_1

пг/ ь V(Др1) = 0 (V(Д.,,,._5)' V(Дг,,,._ 1)' V(Д.,1)' V(Д,,. + зЛ (1.326)

г"=г_г1 +1, Ъу 2

где г'е N и г,э е Z. Отмечается, что правая часть (1.325) представляет собой прямую сумму г' модулей Робина, тогда как правая часть (1.326) представляет собой прямую сумму 4г' таких модулей.

1.3 Двумерные остовные сети как (1,2) логарифмическая

минимальная модель

Аналитические расчеты в разделах 1.3.1 и 1.3.2 сводятся к стандартным определяющим выражениям для модели свободных фермионов с последующим анализом с использованием формулы Эйлера-Маклорена. В разделе 1.3.3 мы показываем, что статистическая сумма, рассчитанная для конечной решетки с различными граничными условиями, совпадает с характерами коинвариантов, рассчитанных в разных модулях для алгебры симплектических фермионов. Это позволяет нам отождествлять открытые и закрытые граничные условия с модулями, порожденными целыми и полуцелыми модами фермионов соответственно.

1.3.1 Модель остовной сети

Рассмотрим раскрашенный граф 0 = (V,Е) с множеством вершин V и множеством ребер Е. Вершины - это узлы квадратной решетки зХ,у, 1 ^ х ^ М, 1 ^ у ^ N, из которой мы получаем граф на цилиндре, отождествляя вХ,у и вХ+М,у для всех х,у. Граф О представляет собой конечную квадратную решетку, вложенную в цилиндр высотой N и периметром М, с замкнутыми граничными условиями на верхнем и нижнем краях. Термин «замкнутость» означает отсутствие ребер, уходящих за пределы <3. Мы будем рассматривать также случай открытых граничных условий в вершинах В с V, принадлежащих одному из ребер {5 Х,1,1 ^ х < М} и {,1 ^ х < М} цилиндра или обоих из них. Этим случаям соответствует граф <3' = (V' ,Е') с множеством вершин V' = V и д, содержащим дополнительную вершину, корень д и множество ребер Е' = Е и {(],д) : ] е В}, дополненный ребрами, соединяющими вершины В с корнем . Для удобства обозначений мы помечаем граничные условия верхним индексом (р,и): р = 0 (р = 1) обозначает закрытую (открытую) верхнюю границу, а V = 0 ( V = 1) закрытая (открытая) нижняя граница соответственно. Удобно построить желаемые конфигурации остовной сети на приведенных выше графах, используя стрелочное представление, см., например, [380]. Соответственно, к каждой вершине % е V прикрепим стрелку, направленную вдоль одной из инцидентных ей ребер (г ,г'). Каждая стрелка определяет направленное ребро (г ^ г'), а каждая конфигурация стрелок Л на 0 определяет остовный ориентированный граф (орграф) ^(Д) с множеством облигаций Е^(Д) = {(г ^ г') : г,г' е V} в зависимости от Л. Аналогично, стрелочные конфигурации на 0' определяют остовный орграф ^(Л) с набором ребер Е^(Д) = {(г ^ г') : г е V, г' е V и д}. Обратите внимание, что к вершине д не прикреплена стрелка, поэтому она имеет нулевую исходящую степень. Циклом длины к называется последовательность направленных ребер (г 1,г2),(г2,гз),(гз,г4),..., (гк,г 1), где все ij, 1 < ] < к различны. Если оба (г ^ г') и (г' ^ г) принадлежат остовной сети, мы говорим, что она содержит цикл длины 2. Наша цель - изучить множества остовных орграфов, не имеющих других циклов кроме таких, которые оборачивают цилиндр. Соответствующие конфигурации будут перечислены с помощью производящей функции, определяемой как определитель соответствующим образом построенной матрицы весов.

Цилиндр с закрытыми границами

Начнем с рассмотрения детерминантного разложения обычной матрицы Лапласа Д для графа 0. Пусть вершины множества V помечены в произвольном порядке от 1 до п = ^ | =

MN. Тогда А содержит элементы (i,j е {1,..., п})

Ач =

г =J,

-1, г j , (1.327)

0, .

где Zi - порядок вершины г. Поскольку матрица А имеет нулевое собственное значение, ее определитель обращается в нуль. С другой стороны, формула Лейбница выражает определитель А как сумму по всем перестановкам а множества {1,2,... , п}:

det А =}] sgn(a) А1;СТ(1) А^^ ... АпМп) = 0, (1.328)

где Sn - группа симметрии, sgn(a) = +1 - сигнатура перестановки а. Тождественная перестановка а = ^¡а в (1.328) дает член z1z2 • • • zn, равный числу всех возможных конфигураций стрелок на Q.

В общем случае, каждую перестановку о е Sn можно разложить в произведение (композицию) непересекающихся циклических перестановок, скажем, а = с1 о с2 • • • о ск. Это представление разбивает множество вершин V на непустые непересекающиеся подмножества -орбиты Oi соответствующих циклов q, i = 1,... ,к. Точнее, если Oi = {vi,1,vi,2,... Vi,ц} с V

- орбита Ci, то u^Oj = V и 1 к = п, где к - мощность орбиты Oi, что эквивалентно

- длина цикла q. Орбиты, состоящие всего из одного элемента, если таковые имеются, составляют множество Sfp(a) неподвижных точек перестановки: Sfp(a) = {v = o(v), v е V}. В случае тождественной перестановки аи е Sn все орбиты состоят ровно из одного элемента, ^j(^id) = fai} с V, i = 1,... ,п и Sfp(a¡а) = V. Цикл Ci длины \q\ = к ^ 2 будем называть собственным циклом. Собственный цикл длины 2 соответствует двум противоположно направленным ребрам, соединяющим пару соседних вершин: (эдд ^ Vi,2), (vi,2 ^ vi,1). Заметим, что вершины орбиты Oi мощности k = \Oj(a)\ ^ 3 соединены замкнутым путем на Q, который можно пройти в двух противоположных направлениях: если q - цикл, определенный Vit1 ^ ^(^¿д) = Vi,2, ^ ... ^ k) " vi,1, то обратный цикл c,i можно представить как Vi,k ^ e(vi,ii) = ^ ... ^ ^¿д) = Vi>h.

Теперь учтем, что собственные циклы на Q имеют только четную длину, следовательно, сигнатура каждой подстановки в разложении определителя зависит от количества правильных циклов в его факторизации, т. е. если о = с1 о с2 • • • о ср, где \q\ ^ 2, г = 1,... ,р, тогда sgn(a) = (-1). Таким образом, члены в уравнении (1.328) можно переставить по числу р непересекающихся собственных циклов следующим образом:

п [n/2] р

Цгг -¿(^Г1 £ П^^А^ («-) ••• П ^ • (1.329)

i"1 Р"1 СТ"С10---0Ср i"1 jeSfp(a)

Здесь ск - /с-кратная композиция циклической перестановки сг четной длины Iг, ьг е Ог(а), так что ск_1(уг) " ск(уг) и с'1(г^) = Обратим внимание, что все ненулевые недиагональные элементы равны — 1 .

Приведенное выше расширение обнаруживает следующие особенности: (1) Как и ожидалось, все остовные орграфы на 0 имеют хотя бы один собственный цикл; (11) Каждый член в правой части с S^р(а) " 0 представляет собой набор ПZj различных остовных орграфов, которые имеют указанные циклы с1,... , ср являются общими и отличаются ориентированными ребрами, исходящими из вершин ] е S^р(а). Эти ориентированные ребра могут сами образовывать циклы, не входящие в список с1,..., ср; (111) Поскольку множества и S/р(с1,..., ср) не пересекаются, то собственные циклы, образованные ориентированными ребрами, инцидентными неподвижным точкам данной перестановки а = с1 о с2 о • • • о ср должна войти в расширенный список циклов с1, с2,... , ср,..., су, р' > р, соответствующий циклическому разложению другой перестановки а'.

Например, рассмотрим определитель матрицы Лапласа цилиндра высотой 3 и периметром 4. В случае замкнутых граничных условий соответствующее разложение Лейбница будет содержать член

( —1)3(Д1)5Д5)1)Д2)2(Д3)7Д7)8Д8)4Д4)3)Дб)б(Д9)12Д12)11Д11)10Д10;9), (1.330)

которое представляет с точностью до знака = 12 остовных орграфов на О с 3 заданными циклами и всеми возможными ориентированными ребрами, исходящими из вершин 2 и 6, как показано на рис. 1.9 (а). Один из этих 12 остовных орграфов будет содержать дополнительный цикл 2 ^ 6 ^ 2. В случае открытой границы внизу и закрытой сверху член

( —1)2(Д1)5Д5)1)Д2)2Д3)3Д4)4(Дб)10Д10)9Д9)12Д12)11Д11)7Д7)б)Д8;8 (1.331)

представляет собой х2г3г4г8 = 256 остовных орграфов на 0' с двумя заданными циклами и всеми возможными ориентированными ребрами, исходящими из вершин 2, 3, 4 и 8, как показано на рис. 1.9 (б). Последние ребра будут порождать три орграфа с одним дополнительным циклом длины 2: 2 ^ 3 ^ 2, или 3 ^ 4 ^ 3, или 4 ^ 8 ^ 4, и один орграф с двумя дополнительными циклы, 2 ^ 3 ^ 2 и 4 ^ 8 ^ 4.

Как впервые было замечено в [380], расширение (1.329) по форме соответствует принципу включения-исключения в комбинаторной математике. Действительно, пусть с1, с2,... , ст - список всех возможных собственных циклов на 0, помеченных в произвольном порядке. Определим Аг, г = 1,2,... ,т как множество всех остовных орграфов на 0, содержащих конкретный цикл сг. Тогда расширение (1.329) можно записать в виде принципа включения-исключения:

т

|и™1Аг| =2|Аг|— 2 |Аг X А, |+ £ А X А, X Ак |---• + ( —1) т+11А1 Н---пАт|,

г"1 1 ^ г<,7 ^ т 1 ^г<;/<к ^т

(1.332)

которое справедливо для любых конечных множеств А1, А2,... , Ат, где |А| - мощность множества А.

Рисунок 1.9 — Возможные остовные орграфы на цилиндре, порожденные одним членом детерминантного разложения соответствующей матрицы Лапласа (см. текст). Часть (а) соответствует закрытым граничным условиям, а часть (Ь) открытым внизу и закрытым

сверху.

Теперь мы можем определить матрицу связанную с графом 3, такую, что

- производящая функция всех остовных орграфов на 0, не имеющих стягиваемых циклов. Элементы , г,] = 1,... , п = NМ группы явно заданы как:

п(0'0) =

—а

г,

—1,

—а, 0,

, ,

г ^ г ^

'1.333)

Здесь а = ш1/Ме_ет/М, члены «левый» и «правый» фиксируют противоположные направления горизонтальных ребер. Обратите внимание, что все замкнутые пути, не обертывающие цилиндр, содержат равное количество горизонтальных ребер любой ориентации, следовательно, их вес в остается таким же, как и в det Д. Следовательно, все кон-

фигурации, содержащие такие замкнутые пути (стягиваемые циклы), сокращаются при разложении det Д(0'0). С другой стороны, циклы, порожденные недиагональными элементами, обертывающими цилиндр, меняют знак, поскольку содержат горизонтальные ребра, ориентированные в одном направлении, превышающие на М количество ребер в противоположном направлении. Суммарный коэффициент это равен аМ = — ш или а_М = — ш_1 в зависимости от ориентации. Поэтому каждый нестягиваемый цикл с заданной ориентацией учитывается дважды, однако с разным весом - как только он входит в определительное разложение с единичным весом, порождаемое диагональными элементами матрицы Д(0'0), а во второй раз он

входит с множителем ш или ш-1 (в зависимости от ориентации), порожденным недиагональными элементами этой матрицы. Таким образом, общее количество нестягиваемых циклов, независимо от их происхождения и ориентации, определяется коэффициентом при соответствующей степени ш + ш-1 + 2 " £ в разложение статистической суммы в ряд. Степень £ - это «хорошее квантовое число», которое является четко определенной и сохраняющейся величиной под действием матрицы переноса вдоль цилиндра. Однако, как мы увидим ниже, более удобные разложения статистической суммы, которые можно непосредственно сравнить с характерами модулей Вирасоро, даются степенным рядом в самом ш или в виде комбинаций типа (ш + ш-1)5 и X11=о ш^ ^. В общем случае, помимо нестягиваемых циклов, остовный орграф содержит связанные с ними древесные подграфы. Все ветви деревьев могут быть порождены только диагональными элементами Д(°>°) и, следовательно, иметь единичный вес.

Цилиндр с одной закрытой и одной открытой границей

Матрица Лапласа А* для графа 0', соответствующего ) = (0,1) граничным условиям, представляет собой (п + 1) х (п + 1)-матрицу того же вида (1.327), поскольку понятия степени вершины и смежности понимаются в контексте 0'. Однако, чтобы сделать очевидными сходства и различия с первым случаем, мы сохраним обозначение ^ для степени вершины г, г = 1,... ,п, относительно 0, и явно ввести метку д для корня степени М в см. рис. (1.10) б. Таким образом, для матричных элементов А* имеем

А* . =

ч

Zi, г = 2 р у\В,

+1, г = 3 е в,

М, г = 3 = 9,

-1, %,з е V д,

-1, г е В, ] = д г = д, з е В,

0,

'1.334)

Здесь В - множество нижних граничных вершин, смежных с корнем д в 0'. Воспользовавшись теперь тем, что по теореме Кирхгофа число остовных деревьев на 0' равно любому сомножителю А*, мы выбрали для удобства сомножитель Сдд элемента А*д. Тогда = Сдд = А1, где А1 - матрица п х п с элементами (г,] = 1,... ,п):

А'а =

Zi, +1, -1, 0,

г = 3 е У\В, г = 3 е В, ЬЗ е V ,

'1.335)

Рисунок 1.10 — Остовные орграфы на цилиндре высотой N = 6 и периметром М = 10 при: (а) Закрытых граничных условиях. Два замкнутых пути х — х и у — у представляют собой нестягиваемые циклы. (Ь) Открытые граничные условия внизу и закрытые вверху. Три ребра, инцидентные корню, порождают граничные деревья.

А(0Д) = <!

Сравнивая приведенное выше выражение с (1.327), можно увидеть, что единственная разница заключается в диагональных элементах: порядок вершин, принадлежащих открытой границе, увеличился на единицу. Следовательно, те же рассуждения, что и в предыдущем разделе, приводят нас к матрице Д(0,1) с элементами

хг, если г = ] е V\В,

г +

1, если е В,

— 1, если г,] - вертикальные соседи, (1.336)

— , если - левый сосед , —а_1, если I - правый сосед

0, иначе.

где, как и раньше, а = ш1/Ме_ш/М. По построению в разложении det Д(0,1) все стрелочные конфигурации со стягиваемыми циклами сокращаются. Таким образом, det Д(0,1) является производящей функцией всех остовных орграфов, которые либо являются остовными лесами деревьев с корнями на открытой нижней границе, либо содержат нестягиваемые циклы, обертывающие цилиндрические и древесные подграфы с корнями на этих циклах или на открытой границе. Как и в случае с замкнутыми границами, каждый нестягиваемый цикл заданной ориентации учитывается дважды с разными весами: один раз с единичным весом, порожденным диагональными элементами матрицы Д(0,1), и второй раз с множителем ш или ш_1 (в зависимости от ориентации), порожденным недиагональными элементами этой матрицы.

Случай открытых-открытых граничных условий (р, и) = (1,1) можно рассматривать аналогично предыдущим двум случаям и мы не описываем его отдельно.

Статистическая сумма, рассчитанная как определитель лапласиана, " det

может быть разбита на произведение две части,

4^= "Хч ,ш) (1.337)

где е 1хм - неуниверсальная часть статистической суммы, включая объемную и граничную свободную энергию ^мМ™^, а ,ш) - это универсальная часть, которая является много-

членом от параметра соотношения сторон д = е _ тм и полинома Лорана от ш. Универсальную часть статистической суммы можно разложить на различные комбинации ш, например,

N

«ш) = ....._1)^

,ш) = ^сЙ-ВД^Хш + ш_1)5, (1.338)

■5-0

N

4^,ш) " 2 c2^;")[N](д)ш^, (1.339)

N 8

,ш) = £ С^ТЛ^) £У_2к, (1.340)

8=0 к=0

справедливо для всех рассматриваемых граничных условий, р,и = 0,1. Заметим, что второй

и третий полиномы можно получить из первого, используя соотношения:

[ ^ ]

С2Г)[^ = Ф^] " 2 (^^СЙ^], 8 = 0,... ,N, (1.341)

р=0 V Р '

С^/^] = [N] — с2^'+2 [N], 5 = 0,... N — 2, (1.342)

С^/^] = С2Т)№ S = N — 1, N. (1.343)

Каждый из многочленов ), 2 = 1,2,3, имеет вполне определенный статистический смысл. Например, С](д) - универсальный факто статистической суммы, пропорциональный количеству конфигураций, содержащих нестягиваемых циклов любой ориентации, порожденных недиагональными элементами матрицы эти конфигурации

могут также иметь любое разрешенное (по размеру цилиндра) количество нестягиваемых циклов обеих ориентаций, порожденных диагональными элементами этой матрицы. С другой стороны, универсальный множитель ](д) пропорционален числу конфигураций с фиксированной в разницей в числах нестягиваемых циклов положительной и отрицательной ориентации, порожденных недиагональными элементами матрицы общее число таких циклов, а также количество нестягиваемых циклов любой ориентации, порожденных диагональными элементами одной и той же матрицы, может принимать любые разрешенные значения.

В следующем разделе мы оценим асимптотику коэффициентов ], г = 2,3, для

М ^ 8, N ^ 8 и раскроем их связь с финитизированными характерами логарифмических модулей Вирасоро.

1.3.2 Расчёт статистической суммы

Матрицы весов ребер ^ можно записать в виде суммы прямых произведений простых N х N и М х М матриц:

D^ = (2En - qN'v)) b Ем + En b (2EM + aGM + a-lGTM)

'1.344)

где Ем (Ем) - единичная матрица N х Ж (М х М), ^ = - трёхдиагональная

матрица, элементы которой зависят от граничных условий (г,] = 1,... ,Ы):

д(0'0)

чг,3

д(0,1)

чг,3 (1,1)

= дг(1'0) = Ói,1$j,1 + ¿í-1j + ^ J-1, = $i-1,j + ^J-1-

1.345) ;i.346) '1.347)

Заметим, что 2Е^ — лишь знаком отличается от одномерного дискретного ла-

пласиана на цепочке из N узлов с аналогами Неймана-Неймана (р = v = 0), Неймана-Дирихле (р = 0,^ = 1 или р = 1,^ = 0)и Дирихле-Дирихле (^ = 1,^ = 1) граничных условий. Следовательно, собственные значения 2Е^ — Q^'^ равны Л ^°'0)(р) "2 — 2 cos ^, Aj0'1)(p) = А^'0)(р) = 2 — 2 cos и А^Д)(р) = 2 — 2 cos ^^, где р = 0,... , N — 1. Матрица

М х М GM = {_9т,п} в (1.344) имеет элементы дтп = 8т-1п + 8т,м8п,1, где т,п = 1,... ,М и GM - транспонированное выражение Gm. Их собственные значения рм(к) = exp(i2^fc/M) и Дм(fc) = exp(—i2nk/M) соответственно, где fc = 0,... ,М — 1. Таким образом, для соответствующих статистических сумм Z^fM^ = det D^'M получаем:

N-1 M-1

= П П[^(р) + 2 - -1

Р"0 к=0

+ 2 - ш"{MeM2fc+1)/M - ш-1/мe-i^(2fc+1)/M

Путем аналитического продолжения тождества

M-1

П

к-0

Q2 + Q-2 - 2 cos

/ \ U+V

-Q2M + Q-2M - 2 cos (Ma),

2M

'1.348)

'1.349)

Q " QN^(p) = V1 + sin2 ЙГ^р) + sin )(p), Л0,0)f^ ^ Л0,1)fv) = Л 1,0)f^ n(2p + 1) Л 1>1VЫ = + 1)

(P) 2Ж' (P) (P) 2(2N + 1)' (P) 2(N + 1):

от вещественного а к комплексному a = (^ — i ln ш)/М получим

'1.350)

Z

N -1

NM

п [Q(n'u)(P)]2m{ 1 + (" + ^-1)[qn"'^)(p)]-2m + [Qnv )(p)]-4^. (1.351)

P"0

с

Вышеупомянутая точная статистическая сумма представляет собой полином от х = ш + ш-1 степени N, см. (1.338).

При М^ 8, так что М/Ы = 0(1), стандартный асимптотический анализ вклада в свободную энергию от ^-независимого множителя в статистической сумме дает асимптотическое разложение

N -1

ьП ГЯ^\р)]2М р= 0

40

—ММ + м

ж

где О - константа Каталана.

20

— (р + V) — 1п(1 + У2)

ж

жМ

1 12

(» - ")2

'1.352)

Рисунок 1.11 — Соответствие между остовными сетями и плотными полимерами. (а) Цикл х — х окружен двумя полимерами 1 — 1 и 2 — 2, а цикл у — у ещё двумя полимерами 3 — 3 и 4 — 4, которые считаются дефектными. строк в классификации [38; 169]. (Ь) Помимо четырех линий дефектного полимера, существует пятая линия 5 — 5, отделяющая граничные деревья от остальной части решетки.

Асимптотика главного порядка ^-зависимого множителя статистической суммы следует из аппроксимации » 1 + ф^'^(р). Таким образом мы получаем

N-1

N-1

П {1 + хГЯм'^Ш-™ + [Я^(р)]-4М} » П {1 + же-^(2Р+М+гУ) + е-^(2Р+М+^} , (1.353

Р"0

Р"0

где х = ш + ш-1.

При больших N и М и фиксированном N/М перепишем (1.351) в виде (1.337) со свободной энергией

рМр = —ММ + м

ж

20

-(р + и)— 1п( 1 + л/2)

ж

'1.354)

и универсальная часть статистической суммы

N-1 _

)/ \ — - 11 '".ш) = а 12

)(д,ш) = д 12-8[1 + (ш + )д'+2) + д2^+"

3=0

'1.355)

В следующем разделе мы покажем, что (1.355) сходится при N ^ 8 к характерам симплек-тических фермионов [187] или, что то же самое, к характерам дублетной алгебры Д(2) [257] в логарифмической модели р = 2. Как известно, характеры содержат полную информацию о конформных размерностях и их кратностях в модели.

Прежде чем рассматривать симплектические фермионы, вычислим коэффициенты С2^[Щ(д) (1.342) и С^^ГЩРд) (1.343) явно. Универсальную часть статистической суммы (1.355) можно переписать, используя ^-биномиальную формулу Ньютона

N-1 N _

П(1 = 2 ^ У", (1.356)

р-0 в"0 V 5 / д

с -биномиальными коэффициентами

С)

(1 )-(1 -"+1) when 0 ^^,

з)я (1 "(?)••• (1 "Я") N \

^ ) = 0, when ^ < 0 ог в> N, (1.357)

в виде (1.339) с

сАГ]т{0) = ^ - ^+»^М*-1^)^ ( , 0 (1.358)

' к=О \к / а V5 + Ч С

и С^](д) = ](д).

Для закрытых-закрытых и открытых-закрытых граничных условий суммирование может быть выполнено явно, и приведенное выше выражение упрощается до

С£0)^ ](д)= + ^

/ 2^ \ 2N \

и+8-о,+*и+ .)

'1.359)

и

„2

[^(^"^^О^), (1.360)

соответственно.

Теперь мы дадим явные выражения для С^"'^ ^](,), которые, как показано в следующем разделе, сходятся к характерам Вирасоро при N ^ 8. Используя (1.342), для 0 < 5 < N " 2 получаем:

С3Г )[N ](д) = СГ^ ](д)"С2Й^ ](д)

= ^-+д(-1+^> 1 у дк2+к(з-1+^+и)

У к2 + к("-1+^+и){^ ( N \ к \к)\8 + к)(1

" Х|>+к"(к"^С+к+ О.}- (^

Заметим, что

С3Тт(д) " д

.(.-1) ( 2М — 1 \ £(£±^/ 2Ж — 1\

9 2 и+.+0,+9 2 и+.),

(з±1)(з±2) / 2Ж — 1 \ (з±2)(з±3) / 2М — 1

2 и + я + 1)ч 4 2 и + я + 2/д

- х22Й-^) + х22+з-1)(^),(1.362)

где х^Хя) - финитизированные характеры логарифмических модулей Вирасоро, заданные уравнением (5.5) в работе [169] для нечетного з. Следует отметить, что (1.362) напоминает уравнение (7.25) в работе [169] для финитизированного характера логарифмического модуля Вирасоро.

Сходным образом,

ОЙ1^ Ш = Я 24 + .

( Ш ) — ^ V и + Д и + я + 2)я

= х22+2+1) (я) (1.363)

совпадает с финитизированными характерами Вирасоро х2в221) , заданными уравнением (5.5) в работе [169] для четного в.

С другой стороны, при замене (Ж,в) ^ (2И + 1,2$ + 1) в уравнении (5.5) в работе [169] для нечетного в получаем соотношение

х^Хя) = сй-^эд + ^Й1^)- (1.364)

Это соотношение соответствует тому факту, что Х^Л+^Хя) является финитизированным характером неразложимого модуля Вирасоро ранга 1 с двумя неприводимыми подфакторами, финитизированные характеры которых задаются выражением С'ЙЙ^К?) и С'ЙЙ^К?). Далее, уравнение (1.355) подразумевает

2№+°1(М = (и + 2 + ^-1)4М) (я,")- (1.365)

Следовательно, коэффициенты ОЙ0)[^] и ОЙЙ^ — 1] связаны соотношением равенства

СЙ0)[Щ(я) = — 1](5) + 2С31;1)[М — 1](д) + С^^ — 1](д), (1.366)

который повторяет соотношения между характерами логарифмического и неприводимого модулей Вирасоро.

Наконец, из уравнений (1.359) и (1.360) следует, что конформные веса для открытых-открытых и открытых-закрытых граничных условий равны

Д(0>0) = ^^, в = 0,1,2,... (1.367)

и

4*2 _ 1

Д(0'1) = ^^, в = 0,1,2,... (1.368)

Эти две последовательности можно расположить в первом столбце расширенной таблицы Каца так, чтобы ее нечетные записи соответствовали (1.367), а четные - (1.368).

Полезно сравнить полученные результаты с результатами Пирса и Расмуссена [169]. Статистическая сумма плотных полимеров, оцененная в [169], является функцией количества линий дефектов I = 0,1,2,... в полимерной системе, так что расширенная метка Каца в = I + 1 пробегает все записи в первом столбце таблицы конформных весов. Легко заметить, что четные ячейки отличаются от нечетных на фиксированную величину —1/8. Этому значению можно сопоставить конформный вес ктгП оператора с наименьшей масштабирующей размерностью, присутствующий в спектре гамильтониана, который зависит от граничных условий (см., например, [224], где показано что кт{п = 0 для открытых-открытых граничных условий и кт-т = —1/8 для открытых-закрытых граничных условий). Однако для модели плотных полимеров граничные условия по обе стороны бесконечной полосы одинаковы при четных и нечетных значениях в. Сравнение с моделью остовных сетей разрешает это иллюзорное противоречие. Соответствие нашей модели остовной сети и модели критически плотных полимеров показано на рис. 1.11. На левом рисунке показана остовная сеть для закрытых граничных условий. Полимерные линии охватывают ветви и циклы остовной сети так, что каждый цикл окружен двумя полимерными линиями. Тогда для закрытых граничных условий число линий дефектов, соответствующих полимерам, окружающим циклы, всегда четно. Ситуация для открытых граничных условий показана на правом рисунке. Ребра остовного графа, идущие к корню, можно отделить от остальной части сети дополнительной полимерной линией (отмечена цифрой 5 на рис. 1.11). Таким образом, общее количество дефектных линий становится нечетным и получается набор четных записей таблицы Каца.

1.3.3 Конформная теория поля остовных сетей

Статистическая сумма (1.355) интерпретируется в терминах симплектических фермио-нов [187]. Симплектические фермионы представляют собой фермионные поля 9-(г) с операторным разложением по произведению

О+^О-^) „ — т). (1.369)

Эти поля допускают периодические и антипериодические граничные условия, при которых они разлагаются на целые б1-, п е Z и полуцелые б1- , п е Z + 1, моды соответственно. Эти режимы удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

К2,^т]+ = Пбп+т,0- (1.370)

Пусть Л(2) обозначает эту бесконечномерную алгебру Клиффорда. Строго говоря, Л(2) не является алгеброй или вертекс-операторной алгеброй, поскольку умножение между целыми и полуцелыми режимами не определено, но Д(2) очень похож на для нее могут быть определены обычные вертекс-операторные алгебры и многие стандартные понятия (см. обсуждение этой темы в [256]).

Алгебра Л(2) содержит подалгебру Вирасоро, порождённую тензором энергии-импульса

Т(г) =: дв+(г)дв-(г) : (1.371)

с центральным зарядом "2.

Алгебра Д(2) имеет два неприводимых модуля Х1 и Х2 (подробности см. в [256; 257]). Модули Х1 и Х2 являются циклическими с циклическими (вакуумными) векторами |11), удовлетворяющими 6^|11) = 0 для п ^ 0 и 101), удовлетворяющий 6^|01) = 0 для п ^ 1 соответственно. Модуль Х1 порождается целочисленными модами с п < " 1 из вакуумного вектора 111). Модуль Х2 порождается полуцелыми модами с п < — 1 из вакуумного вектора 101). Алгебра Д(2) имеет два проективных модуля Р1 и Р2 = Х2. Модуль Р1 содержит 4 неприводимых подфактора, изоморфных Х1 [256]. Модуль Р1 является циклическим с вакуумным вектором 100), удовлетворяющим #^|00) = 0 для п ^ 1, и образуется из 100) с помощью целочисленных мод б1^ с п < 0.

Для Л(2)-модуля Х определим характер

Х(д, г) = ТгхЯЬо-(1.372)

где Ь0 = § (г)йг и Н - оператор, вычисляющий разницу между числами 9+ и в- модами в состоянии.

Характер Х

х(1Д)(М " пИ^ЕЕ^У*^(1 — О- (1.373)

Характер Х2

Характер Р1

1

Х<01)(9.-) - П8_ 1(1"— ^ Е Ю ^ (1 — <?)- (1-374)

!га=1( у ) геМ 3=0

Х{0'0)(д ,и) = (2 + и + ^-1)Х( м)(д ,и). (1.375)

Те же характеры можно записать через характеры Вирасоро в виде

Х< 1'1)(д = -2зхп(д) (1.376)

геМ

и

х(01)(д ,ш) = ^¿^хМд) (1.377)

геМ .7=0

где

аА™-24 (1- пгз) Хг.(4) " * ( \ ) (1.378)

Пп=1(1 — 1П)

являются характерами Роча-Кариди неприводимых представлений Вирасоро с конформными размерностями

Дг. = (2 Г — I)2 — 1 (1.379)

8

и с = — 2.

Теперь мы намерены отождествить (1.355) с характерами некоторых коинвариантов, рассчитанных в Х1, Х2 и Р1. (По определению, коинвариантом в А-модуле X относительно подалгебры В с А является фактор X/ВХ). Фиксируем подалгебру Л(2)[Ж] в Л(2) для Же N

{

{9-„, п ^ N} periodic

А(2)[Щ = Д ' р . ,, (1.380)

1 т- 1, п ^ 1\} antiperiodic

" 2

и рассмотрим характеры х(1,1)[Щ(Ч,ш), Х(0,1)[^](ч,ш) и сЫ(0,0)[Ж](д,ш) коинвариантов относительно Д(2)[Ж] в модулях Х1, Х2 и Р1 соответственно. Эти характеры совпадают с (1.355)

ХМ[Щ(д ,ш) = 2^ (д ,ш). (1.381)

Для N —> 8 имеется

ХМ[Щ(д ,^)—хМ(я ,Ш). (1.382)

Полиномы ](д) и с30;1)[^](д) сходятся к характерам неприводимых модулей

Вирасоро

СЙ1^) — хч(я), С'30;1)[^](9) — Х,2(д), (1.383)

и с3Т[Х](д) сходится к характерам логарифмических модулей Вирасоро для модели £^(1,2) [38], поскольку N стремится к бесконечности. Также отметим, что характеры (1.381) можно выразить через многочлены типа Костки К^ N (я ,ш) из [256] следующим образом

Х(1'1)[Х](д ,ш) = дъК1% (д ,Ш), Х(0'1)[М](д ,ш) = д-24 +1(д ,ш). (1.384)

Теперь мы можем отождествить открытые и замкнутые граничные условия модели остовной сети с неприводимыми модулями алгебры А(2). В конформной теории поля граничные условия находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми модулями киральной алгебры [251]. Для статистической суммы

на цилиндре с граничными

условиями р и V конформная теория поля предсказывает

^(д)-^^ (д),

7

(1.385)

где N'jv - структурные константы при слиянии модулей, отмеченных р и и, а Xj(о) - характеры модулей, появляющихся в этом слиянии. Слияние модулей Д(2) есть

Х1ФХ1 = Хъ Х1ФХ2 = Х2, Х2ФХ2 = Pb (1.386)

Слияние с отождествлением (1.381) приводит к соотношению

open b.c. 0 Х1 closed b.c. 0 Х2. (1.387)

Идентификация триплетной W-алгебры или граничных условий Вирасоро [192] более тонка из-за их нелокальной природы. Начнем рассмотрение с W граничных условий. Каждый Д(2)-модуль распадается в прямую сумму двух W-модулей, помеченных одним и тем же характером с дополнительным индексом +.

Xi = Х+ ф Xf, Х2 = Х+ ф Х2-, Pi = Pf ф Pf. (1.388)

Характеры модулей W получаются из характеров модулей Д(2) путём взятия нечётной и четной частей из ш. Например

xf(?) = 2 [X1,1 ,i)±X1,1 , -1)], (1.389)

где xf (о) - характеры Хf. Мы можем интерпретировать это в терминах решетки как принятие только конфигураций с четными или нечетными разностями между количеством нестя-гиваемых петель разных ориентаций (см. абзац после уравнения (1.343)). Однако неясно, как сформулировать такие условия как локальные граничные условия без привязки к объему.

Чтобы установить связь с граничными условиями, соответствующими представлениям Вирасоро, заметим, что алгебра Л(2) допускает действие s 1(2) такое, что 6+(z) и в f (z) -векторы старшего и младшего весов дублета. Это действие s 1(2) коммутирует с подалгеброй Вирасоро (1.371), поэтому неприводимые модули Д(2) распадаются как

Х = ФгeN^r Ф Уп, Х2 = фгeNnr ф Yr2, (1.390)

где жг - r-мерное неприводимое si (2)-представление, а Yrs - неприводимое представление Вирасоро с конформной размерностью (1.379). Характером жг является Xjj=o wr ^^ что объясняет разложения (1.376), (1.377) и наше определение многочленов c3^q[N](g) в (1.340). Решеточная интерпретация С^'^ [N](g) очень громоздка и апеллирует к условиям нестягиваемости петель в объеме, как в W случае.

2. Логарифмические деформации конформной теории поля

2.1 Логарифмические конформные теории поля посредством

логарифмических деформаций

В своей простейшей форме наш подход предполагает деформацию тензора энергии-импульса, что в конечном итоге приводит к построению неразложимых представлений. Эта деформация описана в разделе 2.1.1. Деформация общих киральных алгебр рассматривается в разделе 2.1.2. В 2.1.2 в подразделе «Деформации алгебр операторных произведений» мы сначала напомним некоторые основные факты об алгебрах операторного произведения (АОП). Затем мы приступаем к построению вывода АОП и используем его для выполнения деформации (см. Теорему 2.1). Представление об этом (внешнем) выводе как о внутреннем, порожденном полюсом первого порядка с некоторым новым оператором, приводит к расширению киральной алгебры. В 2.1.2 в подразделе «Расширение пространства состояний» мы показываем, как соответствующее пространство состояний расширяется так, что сохраняется соответствие оператор-состояние. Полученное пространство состояний несет в себе неразложимое представление киральной алгебры. Конструкция переформулирована и обобщена в терминах алгебр вершинных операторов. Тождества Уорда для тензора энергии-импульса в логарифмических теориях, построенных с помощью фермионного экранирующего оператора, представлены в 2.1.2 в подразделе «Тождества Уорда». В статье [43] также изучаются конкретные примеры общей конструкции и обсуждается, как наши результаты вписываются в поиск более глубокого понимания логарифмической КТП.

2.1.1 Деформация тензора энергии-импульса

Как уже говорилось, логарифмические КТП естественным образом связаны с наличием жордановых клеток в модулях Вирасоро. В этом разделе мы представляем простой рецепт деформации тензора энергии-импульса, приводящий к появлению жордановых клеток.

Для начала рассмотрим простую задачу нахождения тензора энергии-импульса вида

Т(г)=Т(г)+Т1 (г) , (2.1)

где Т - тензор энергии-импульса (стандартной) конформной теории поля, а Т1 - «улучшенный» член, который в конечном итоге приводит к жордановым клеткам. Позже мы будем строить неразложимые представления Вирасоро, позволяя Т1 действовать во вспомогательном векторном пространстве, но на данном этапе мы сначала проверяем, что Т имеет пра-

вильное операторное разложение, которое должно быть тензором энергии-импульса. Простой анзац состоит в том, что Т1 имеет регулярное операторное разложение с самим собой и является примарным полем некоторого веса Ы относительно Т. В этом случае мы имеем

Т(г) Т(ь>) = (Т(г) + Т1(г)) (Т(ь>) + ВД) = 2Т+ 2Ы ^М + ... , (2.2)

(г — и>)2

откуда следует Ы = 1. Поэтому, чтобы обеспечить совместимость градуировки лорановских мод, мы записываем Т1 в виде

ад- \Е (г), (2.3)

где Е(г) - примарное поле конформной размерности один. Возможны и более общие решения, для которых Т1(г)Т1(т) имеет особую часть. Общий случай мы далее анализируем в разделе 2.1.2. Здесь мы продолжаем нашу конструкцию с конкретной деформацией (2.3) для частного случая одиночного свободного бозона с фоновым зарядом. Мы показываем, что анзац (2.3) приводит к выбору минимальных моделей (1,п) и (2,п) и фактически предлагает конструкцию их логарифмического расширения.

Пусть <р - канонически нормированный свободный бозон, ^(г) (р('ш) = \og(z—w). Тогда тензор энергии-импульса

Т(г) = 2 :дф)дф): + Я д2ф) (2.4)

имеет центральный заряд с= 1 — 12^2. Конформный вес вершинного оператора :е7^(г): в этой модели равен (двоеточие, обозначающее нормальный порядок, в дальнейшем опускается)

Ке~П = 212 — Я1 - (2.5)

Теперь мы специализируем анзац (2.3) для Т1(х) как

ВД = е™ . (2.6)

Здесь 7 - число, а точный смысл величины [3 мы оставляем пока неопределённым. Это может быть константа или оператор в конечномерном векторном пространстве, и в этом случае он учитывает наличие вспомогательного пространства, с помощью которого должны быть расширены пространства представлений исходной теории ([ тогда можно рассматривать как своего рода оператор нулевой моды, аналогичный координате центра масс свободного бозона или гамма-матрицам в секторе Рамона для фермионов). Теперь мы определим наиболее общее значение 7, чтобы этот анзац работал. Чтобы Т1 имел регулярное операторное разложение сам с собой, т.е. 1

Т^) Т^) = — [2 (г — ыу2е^Н^» = 0 , (2.7)

1 Как обычно, А(г)В(ы) в левой части операторного произведения обозначает сингулярную часть ради-ально упорядоченного операторного произведения А(г) и В(и>).

мы должны потребовать, чтобы 72 = р е {0,1,2,...} или чтобы /2 = 0.

Начнем с первого варианта и возьмем 7 = ^р. Тогда требование, чтобы был оператором веса один, дает

f(28)

и, следовательно, с = 13 — 3р — ^. Очевидно, что для того, чтобы Т\ был бозонным, / должен быть бозонным (фермионным) тогда и только тогда, когда elv бозонный (фермионный). Поэтому мы должны различать два случая:

1. / является бозонным, ар = 2q с q = 1,2,3,.... Тогда (2.8) дает (1,q) минимальный ряд

? — ?q (2-9)

с центральным зарядом

с =13 — 6q — 6 . (2.10)

В этом случае / может быть просто константой.

2. / является фермионным и р = 2г+1 с г = 0,1,2,.... Это дает (2;р) минимальный ряд с центральным зарядом

с =10 — 6г — ^ . (2.11)

Обратим внимание, что значение с =—2 содержится в обеих сериях. В первой серии это соответствует использованию вершинного оператора с 72 = 4 («длинное экранирование»), а во втором случае - 72 = 1 («короткое экранирование»).

Второй вариант, следующий из (2.7), - это /2 = 0. Ситуация, когда / является нильпо-тентным бозоном, не приводит к каким-либо ограничениям на центральный заряд и мы здесь ее не рассматриваем. Более естественным является случай фермиона /, который возвращает нас к рассмотренному выше случаю 2.

Подводя итог, анзац (2.6) для Т(z) приводит к двум возможным сериям решений: (1,q) минимальный ряд и (2, ) ряд с нечетным .

Идея о том, как эта деформация приводит к логарифмическому расширению, состоит в том, чтобы позволить / быть оператором, действующим на подходящем вспомогательном пространстве К, таком, что Т дает неразложимое представление алгебры Вирасоро. Тогда построение пространства состояний зависит от представления, выбранного для /. В частности, для / е End К с dim К > 2 в общем случае приходится иметь дело с жордановыми клетками, размер которых может быть больше двух. (Соответственно, в операторных произведениях встречаются высшие степени логарифмов.) Напротив, в фермионном случае мы встречаем только жордановые клетки размера два.

2.1.2 Деформация общей киральной алгебры

В предыдущем разделе мы построили частную деформацию конкретного конформного поля —тензора энергии-импульса Т — в специальном классе моделей. Теперь мы расширим конструкцию за пределы случая одного бозона, не полагаясь на наличие реализации свободного поля и деформируя все поля в киральной алгебре. Это делается таким образом, что операторное разложение сохраняется, но [3 встраивается в деформированные операторы так, что новые неразложимые представления получаются тензорным умножением на вспомогательное векторное пространство К и взятием [3 е End К. Два основных ингредиента конструкции - деформация и расширение пространства состояний - описаны в подразделах «Деформации алгебр операторных произведений» и «Расширение пространства состояний» соответственно.

Деформации алгебр операторных произведений

Вместо работы с операторными разложениями формы

А(г)ву l^kM

w v 1 ¿J (z-w)n

(2.12)

n >:

мы используем алгебры операторных произведений (АОП) в форме, представленной в [381]. Это представляет собой удобную формулировку свойств операторных произведений, которая облегчает явные вычисления и может рассматриваться как адаптация (части) аксиом вертекс-операторных алгебр [382-384].

Основные составляющие АОП в [381] следующие. Операторы (или поля) А образуют (супер)векторное пространство V, градуированное над Z. Структура АОП на V задается набором билинейных операций.

[ , ]n : V х V ^ V , п е Z ,

(2.13)

которые совместимы с градуировкой по конформному весу2 и удовлетворяем условию "ассоциативности- [381, Eq. (2.3.21)]

АВ

А,[В,С]р =(-1)АВ В,[А,С]

>+Ж' - О

[[АВ], С ]

I ' ]p+q-l

(2.14)

2 То есть, когда А имеет вес К а и В вес К в, то поле [А,В]„ имеет вес К а + К в — п. Здесь понимается существование тензора энергии-импульса Т е V; мы опускаем очевидные детали.

(Знаковый множитель (—1)АВ равен —1, если А и В оба фермионные, и +1 в противном случае.) Существует также отмеченный элемент 1 е V такой, что

[1,А]га = 5п,0 А (2.15)

для всех А е V и четного линейного отображения д : V ^ V такого, что свойство «коммутативности» [381, Eq. (2.3.16)]

[В,А]п = (—1)АВ 2 1~~А\ д-п [А,В]г (2.16)

(г п).

i > п

выполняется. Для любых двух операторов А и В их операторные разложения затем восстанавливается из произведений [ , ]п, как в (2.12). Другими словами, оператор разложение (2.12) следует рассматривать как линейное отображение