Квантовые вычисления на многоуровневых ядерных спин-системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Яковлева, Наталья Михайловна

• Яковлева, Наталья Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Яковлева, Наталья Михайловна

Введение 1 Квантовые вычисления

1.1 Квантовые биты и квантовые регистры.

1.2 Квантовые гейты и квантовые схемы

1.3 Квантовые алгоритмы.

1.3.1 Квантовый алгоритм Дойча-Джозса.

1.3.2 Квантовый алгоритм Гровера.

2 Схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов на состояниях ядерного спина I = 3/2 в представлении виртуального спина

2.1 Кодирование кубитов на состояниях ядерного спина 3/

2.2 Схемы реализации квантовых гейтов

2.3 Приготовление начального состояния и считывание результатов вычислений.

2.4 Схемы реализации двухкубитного квантового алгоритма Дойча-Джозса

2.4.1 Псевдочистое начальное состояние.

2.4.2 Пара псевдочистых состояний

2.4.3 Термодинамически равновесное начальное состояние

2.5 Схемы реализации двухкубитного квантового алгоритма Гровера.

Псевдочистое начальное состояние.

Пара псевдочистых состояний

Термодинамически равновесное начальное состояние

Схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов на состояниях ядерного спина / = 7/2 в представлении виртуального спина

3.1 Кодирование кубитов на состояниях ядерного спина 7/

3.2 Схемы реализации квантовых гейтов

3.3 Схемы реализации трехкубитного квантового алгоритма Дойча-Джозса

3.3.1 Псевдочистое начальное состояние.

3.3.2 Пара псевдочистых состояний

3.3.3 Термодинамически равновесное начальное состояние

3.4 Схемы реализации трехкубитного квантового алгоритма Гровера.

3.4.1 Псевдочистое начальное состояние.

3.4.2 Пара псевдочистых состояний

3.4.3 Термодинамически равновесное начальное состояние

3.5 Представление виртуального спина для случая произвольной многоуровневой системы.

Квантовые вычисления на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий

4.1 Многочастичная проблема спин-спиновых взаимодействий

4.2 Собственные значения и собственные состояния гамильтониана модели равных спин-спиновых взаимодействий

4.3 Вероятности резонансных переходов между состояниями модели равных спин-спиновых взаимодействий.

4.4 Кодирование кубитов на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий в представлении виртуального спина.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые вычисления на многоуровневых ядерных спин-системах»

Квантовая информатика на протяжении более двух десятков лет является одной из самых бурно развивающихся наук. Такой интерес к квантовой информатике можно объяснить двумя причинами. Во-первых, квантовые вычисления предоставляют новые возможности для кодирования, обработки и передачи информации [1-3]. К ним можно отнести потенциальное ускорение вычислений и возможность решать ряд вычислительных задач, недоступных классическому компьютеру [4-10], моделирование квантовых систем [11-13], квантовую криптографию [14-16], квантовую плотную кодировку [17], квантовую телепортацию [18, 19]. Вторая причина [2, 3] - это миниатюризация элементов интегральных схем классических компьютеров. Успехи современной компьютерной индустрии (увеличение быстродействия и объемов памяти вычислительных машин) основаны на увеличении количества и уменьшении размера элементов микросхем. Согласно закону Мура число транзисторов на один квадратный дюйм в микросхемах классических компьютеров увеличивается со временем по экспоненциальному закону, а именно удваивается каждые 18-24 месяца [3,20-22] (Рис. 1). Вместе с тем, число атомов, необходимых для представления одного бита информации, экспоненциально уменьшается со временем [3, 23] (Рис. 2). Если экстраполировать эти закономерности, то можно видеть, что в скором будущем один бит информации будет кодироваться на отдельном атоме. Отсюда следует, что даже если ничего не менять в идеологии проектирования вычислительных машин и алгоритмов, неизts ьо

JO « о о. о н и S со Я 03 о

4 о 5 Г

18 16 14 12 -10 -8 -6 -4 -2 Pentium 4 ■ Pentium III ■ Pentium II ■ Pentium '486 DX

286

386 8086 ш>

8080

4004

8008

1960

1970

1980 Год

1990

2000

Рис. 1. Число транзисторов на один квадратный дюйм в микросхемах классических компьютеров.

62 гч 00 О

49

36 ю о s о

Й 23 о 4 о

5 ЕГ

10

-3 ч ч ч

1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

Год

Рис. 2. Число атомов, которые используются для записи одного бита информации в классических компьютерах. бежно при разработке вычислительной техники придется учитывать законы квантовой механики.

Актуальность исследования. В качестве основы для построения квантовых компьютеров было предложено большое количество различных двухуровневых физических систем, включая ядерные спины 1/2. Кодирование кубитов в этом случае осуществляется по принципу «одна двухуровневая физическая система - один кубит». В рамках такого кодирования кубитов экспериментально реализован ряд квантовых гейтов и квантовых алгоритмов. В частности, на семикубитном ЯМР квантовом компьютере, работающем на ядерных спинах 1/2, был реализован квантовый алгоритм Шора, осуществляющий факторизацию числа 15 [24].

Кодирование кубитов по принципу «один ядерный спин 1/2 - один кубит» имеет ряд недостатков [1,25-27]. Для срабатывания двухкубит-ных квантовых гейтов требуется «включать» в определенный момент на заданную длительность взаимодействие между спинами и подавлять его на все оставшееся время. Для этого необходимо воздействовать на систему сложными импульсными последовательностями. Существует тенденция к убыванию интервалов между отдельными резонансными частотами по мере увеличения числа взаимодействующих спинов в системе, что затрудняет селективное возбуждение отдельных переходов в больших коллективах спинов.

Эти недостатки могут быть устранены посредством перехода к твердотельным спиновым системам, содержащим квадрупольные ядра со спинами I > 1/2 или к другим многоуровневым квантовым системам с дискретным неэквидистантным спектром и применению нового подхода «многоуровневость вместо многочастичности». Суть этого подхода состоит в том, что кубиты вводятся не на состояниях отдельных двухуровневых частиц, а на состояниях многоуровневых систем, например, на состояниях ядерных спинов I > 1/2 или на коллективных состояниях взаимодействующих спинов, то есть собственных состояниях гамильтониана с учетом взаимодействия между спинами.

Цель и задачи исследования. Целью работы является развитие, в рамках парадигмы «многоуровневость вместо многочастичности», нового подхода к кодированию кубитов на многоуровневых квантовых системах - представления виртуального спина. В связи с этим были поставлены следующие задачи: разработка схем реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов на состояниях ядерных спинов 3/2, 7/2 и на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий в представлении виртуального спина, обобщение понятия виртуального спина на случай квантовой системы с произвольным числом уровней.

Научная новизна. Применительно к многоуровневым системам впервые разработаны точные схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов в представлении виртуального спина. Понятие виртуального спина обобщено на случай произвольной многоуровневой квантовой системы и предложены схемы реализации квантовых гейтов, составляющих универсальный набор.

Исследована математическая модель равных спин-спиновых взаимодействий. На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий осуществлено кодирование кубитов в представлении виртуального спина.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задачи и применения математического аппарата, согласованностью результатов численных расчетов и выражений полученных аналитически.

Практическая значимость. Разработанный подход к кодированию кубитов - представление виртуального спина, позволяет существенно расширить круг систем, которые могут быть использованы в качестве основы для построения квантовых компьютеров, включив в их число многоуровневые квантовые системы, в частности, ядерные спины

I > 1/2.

Содержание работы. Работа состоит из четырех глав. Первая глава содержит обзор основных понятий квантовых вычислений и квантовых алгоритмов. Во второй и третьей главах вводится понятие виртуального спина и даются схемы реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера на состояниях ядерных спинов 3/2 и 7/2, соответственно. В четвертой главе исследуется модель равных спин-спиновых взаимодействий и дается один из возможных вариантов кодирования кубитов на состояниях этой модели.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. В представлении виртуального спина впервые разработаны точные схемы реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера с различными начальными состояниями на состояниях ядерных спинов I > 1/2.

2. Обобщено понятие виртуального спина на случай произвольной многоуровневой квантовой системы.

3. Квантовые вычисления на многоуровневой квантовой системе с использованием представления виртуального спина осуществлены для модели равных спин-спиновых взаимодействий.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих конференциях: V International Congress on Mathematical Modelling (Дубна, 2002), Workshop «Modern Development of Magnetic Resonance» (Казань, 2002), Конференция молодых ученых КФТИ КазНЦ РАН (Казань, 2003), V Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика-2003» (Москва, 2003), Итоговая научная конференция 2002 года КазНЦ РАН (Казань, 2003), Международная конференция «New Geometry of Nature» (Казань, 2003), IX Международные Чтения по квантовой оптике (Санкт-Петербург, 2003), VII Российская молодежная научная школа «Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений» (Казань, 2003), VII Всероссийская молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2003), Итоговая научная конференция 2003 года КазНЦ РАН (Казань, 2004), VIII Международная молодежная научная школа «Actual Problems of Magnetic Resonance and Its Application» (Казань, 2004).

Полученные результаты были включены в отчеты по грантам РФФИ (грант 03-01-00789) и НИОКР РТ (грант 06-6.1-158).

По теме диссертации опубликовано 11 статей и тезисов в международных и российских журналах, сборниках статей и тезисов докладов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Яковлева, Наталья Михайловна

Выводы

Приведем основные результаты работы:

1. Показано, что двух- и трехкубитный квантовые компьютеры (в рамках математической модели квантового компьютера - модели квантовых схем) могут быть построены на квадрупольных ядрах со спином 3/2 и 7/2, соответственно. Предложены схемы реализации одно, двух- и трехкубитных квантовых гейтов в представлении виртуального спина. Предложенные схемы реализуют квантовые гейты точно (с точностью до фазового множителя). Разработаны схемы реализации квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера с псевдочистым, парой псевдочистых и термодинамически равновесным начальными состояниями.

2. Обобщено понятие виртуального спина на случай квантовой системы с произвольным числом уровней энергии и предложены схемы реализации универсального набора квантовых гейтов.

3. Исследована математическая модель равных спин-спиновых взаимодействий. Найдены энергетический спектр гамильтониана модели и относительные вероятности резонансных переходов между его уровнями под влиянием резонансного магнитного поля без ограничения числа спинов и значений параметров модели.

4. На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий осуществлено кодирование кубитов в представлении виртуального спина.

Заключение

В рамках данной работы разработаны схемы реализации (посредством последовательностей резонансных радиочастотных импульсов) квантовых гейтов и квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера на квадру-польных ядрах со спином I > 1/2 в представлении виртуального спина. Предложенные схемы реализуют квантовые гейты точно (с точностью до фазового множителя). В качестве начальных состояний для алгоритмов использовались псевдочистое состояние, пара псевдочистых состояний и термодинамически равновесное состояние. Использование таких начальных состояний не требует модификации квантового алгоритма и позволяет однозначно определить тип функции в алгоритме Дойча-Джозса или искомое состояние в алгоритме Гровера.

Кодирование кубитов в представлении виртуального спина на квадрупольных ядрах со спином I > 1/2 имеет ряд преимуществ: более плотная запись информации (на одной квантовой частице можно записать два и три кубита), отсутствие необходимости постоянного облучения спин-системы сложными последовательностями импульсов радиочастотного поля для подавления взаимодействия между спинами, разница частот различных резонансных переходов, обусловленная квадрупольны-ми взаимодействиями, позволяет осуществить селективную адресацию к отдельному виртуальному спину. К недостаткам использования квадрупольных ядер можно отнести более редкую по сравнению с ядрами и 13С распространенность ядер со спином I > 1/2.

Представление виртуального спина обобщено на случай произвольной многоуровневой квантовой системы и предложены схемы реализации универсального набора квантовых гейтов.

Разработанный подход к кодированию кубитов - представление виртуального спина, позволяет существенно расширить круг систем, которые могут быть использованы в качестве основы для построения квантовых компьютеров, включив в их число произвольные квантовые системах с большим количеством дискретных неэквидистантных уровней энергии.

Предложена теоретическая модель, получившая название модели равных спин-спиновых взаимодействий, которая упрощает изучение спин-спиновых взаимодействий в мезоскопических системах. Суть модели состоит в том, что двухчастичный потенциал взаимодействия между частицами заменен средним. Для модели равных спин-спиновых взаимодействий были найдены энергетический спектр гамильтониана модели и вероятности резонансных переходов между его уровнями под влиянием резонансного магнитного поля без ограничения числа спинов и значений параметров модели. На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий был осуществлен один из вариантов кодирования кубитов в представлении виртуального спина.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю проф. Александру Рахмиэлевичу Кесселю за постановку задачи и научную школу и научному консультанту чл.-корр. РАН Кеву Минуллино-вичу Салихову за ценные советы и помощь в обсуждении результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Яковлева, Наталья Михайловна, 2005 год

1. Валиев, К. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К.А. Валиев, А.А. Кокин. — Ижевск: РХД, 2001. — 352 с.

2. Физика квантовой информации / Под ред. Д. Боумейстер, А. Экерт, A.M. Цайлингер. — М.: Постмаркет, 2002. — 376 с.

3. Williams, С.P. Explorations in quantum computing / С.P. Williams, S.H. Clearwater.— New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. 308 pp.

4. Deutsch, D. Rapid solution of problems by quantum computation / D. Deutsch, R. Jozsa // Proc. Roy. Soc. bond. A. — 1992. Vol. 439. -Pp. 553-558.

5. Quantum algorithms revisited / R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca // Proc. Roy. Soc. bond. A. 1998. - Vol. 454. - Pp. 339354.

6. Shor, P.W. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer / P.W. Shor // SI AM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, no. 5. — Pp. 1484-1509.

7. Ekert, A. Quantum computation and Shor's factoring algorithm / A. Ekert, R. Jozsa // Reviews of Modern Physics. — 1996. — Vol. 68, no. 3. Pp. 733-753.

8. Grover, L.K. Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack / L.K. Grover // Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 79, no. 2. Pp. 325-328.

9. Simon, D.R. On the power of quantum computation / D.R. Simon // SI AM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, no. 5. — Pp. 14741483.

10. Bernstein, E. Quantum complexity theory / E. Bernstein, U. Vazirani // SIAM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, no. 5. Pp. 1411-1473.

11. Abrams, D.S. Simulation of many-body Fermi systems on a universal quantum computer / D.S. Abrams, S. Lloyd // Physical Review Letters.- 1997.-Vol. 79, no. 13.- Pp. 2586-2589.

12. Zalka, C. Efficient simulation of quantum systems by quantum computers / C. Zalka // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 1998. — Vol. 454.-Pp. 313-322.

13. Boghosian, B.M. Simulating quantum mechanics on a quantum computer / B.M. Boghosian, W. Taylor IV // Physica D. — 1999. — Vol. 120.-Pp. 30-42.

14. Ekert, A.K. Quantum cryptography based on Bell's theorem / A.K. Ekert j I Physical Review Letters. — 1991. — Vol. 67, no. 6. — Pp. 661663.

15. Experimental quantum cryptography / C.H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard et al. // Journal of Cryptology. — 1992. — Vol. 5. — Pp. 328.

16. Quantum cryptography / N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel, H. Zbinden // Reviews of Modern Physics.— 2002.— Vol. 74.— Pp. 145-195.

17. Dense coding in experimental quantum communication / K. Mattle, H. Weinfurter, P.G. Kwait, A. Zeilinger // Physical Review Letters. — 1996. Vol. 76, no. 25. - Pp. 4656-4659.

18. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels / C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau et al. // Physical Review Letters. — 1993. — Vol. 70, no. 13. Pp. 18951899.

19. Experimental quantum teleportation / D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle et al. // Nature. 1997. - Vol. 390. - Pp. 575-579.

20. Moore, G.E. Cramming more components onto integrated curcuits / G.E. Moore // Electronics. 1965. - Vol. 38, no. 8. - Pp. 114-117.

21. Hutcheson, G.D. Technology and economics in the semiconductor industry / G.D. Hutcheson, J.D. Hutcheson // Scientific American. — 01.1996.-Pp. 54-62.

22. Galindo, A. Information and computation: classical and quantum aspects / A. Galindo, M.A. Martin-Delgado // Reviews of Modern Physics. 2002. - Vol. 74, no. 2. - Pp. 347-423.

23. Keyes, R.W. Miniaturization of electronics and its limits / R.W. Keyes // IBM Journal of Research and Development. — 1988. — Vol. 32. Pp. 24-28.

24. Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance / L.M.K. Vandersypen, M. Steffen, G. Breyta et al. // Nature. 2001. - Vol. 414. - Pp. 883-887.

25. Валиев, К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления / К.А. Валиев // УФН. 2005. - Т. 175, № 1. - С. 3-39.

26. Vandersypen, L.M.K. NMR techniques for quantum control and computation / L.M.K. Vandersypen, I.L. Chuang // Reviews of Modern Physics. 2004. - Vol. 76, no. 4. - Pp. 1037-1069.

27. NMR based quantum information processing: achievements and prospects / D.G. Cory, R. Laflamme, E. Knill et al. // Fortschr. Phys. — 2000. Vol. 48. - P. 875.

28. Schumacher, B. Quantum coding / B. Schumacher // Physical Review A. 1995. - Vol. 51, no. 4. - Pp. 2738-2747.

29. Nielsen, M.A. Quantum computation and quantum information / M.A. Nielsen, I.L. Chuang. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 676 pp.

30. What is quantum computation? / A. Ekert, P. Hayden, H. Inamori, D.K. Li Oi // International Journal of Modern Physics A. — 2001.— Vol. 16, no. 20. Pp. 3335-3363.

31. Кадомцев, Б.Б. Динамика и информация / Б.Б. Кадомцев. — М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1999. — 400 с.

32. Берлекэмп, Э. Алгебраическая теория кодирования / Э. Берлек-эмп. М: Мир, 1971. - 478 с.

33. Toffoli, Т. Bicontinuous extensions of invertible combinatorial functions / T. Toffoli // Mathematical Systems Theory.— 1981. — Vol. 14. Pp. 13-23.

34. Fredkin, E. Conservative logic / E. Fredkin, T. Toffoli // International Journal of Theoretical Physics. 1982. — Vol. 21, no. 12. — Pp. 219253.

35. Elementary gates for quantum computation / A. Barenco, C.H. Bennett, R. Cleve et al. // Physical Review A.— 1995.— Vol. 52, no. 5. Pp. 3457-3467.

36. Deutsch, D. Universality in quantum computation / D. Deutsch, A. Barenco, A. Ekert // Proc. Roy. Soc. bond. A. — 1995. — Vol. 449. — P. 669.

37. DiVincenzo, D.P. Quantum computation / D.P. DiVincenzo // Science. 1995. - Vol. 270. - P. 346.

38. Deutsch, D. Quantum computational networks / D. Deutsch // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1989. - Vol. 425. - Pp. 73-90.

39. Ekert, A. Introduction to quantum computation / A. Ekert // Lecture Notes on Computer Science. — 2002. — Vol. 587. — Pp. 47-76.

40. Benioff, P. Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing machines / P. Benioff // Journal of Statistical Physics. — 1982. — Vol. 29. Pp. 515-546.

41. Deutsch, D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer / D. Deutsch // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1985. - Vol. 400. - Pp. 97-117.

42. Margolus, N.H. Parallel quantum computation / N.H. Margolus // Complexity, Entropy, and the Physics of Information / Ed. by W. H. Zurek. Addison-Wesley, 1990. - Vol. VIII.

43. Cory, D.G. Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy / D.G. Cory, A.F. Fahmy, T.F. Havel // Proc. Natl. Acad. Sci. USA.-1997. Vol. 94. - Pp. 1634-1639.

44. Bulk quantum computation with nuclear magnetic resonance: theory and experiment / I.L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec, D.W.1.ung // Proc. Roy. Soc. Lond. A.— 1998.— Vol. 454.- Pp. 447467.

45. Cirac, J.I. Quantum computations with cold trapped ions / J.I. Cirac, P. Zoller // Physical Review Letters.— 1995.— Vol. 74, no. 20.— Pp. 4091-4094.

46. Jones, J.A. NMR quantum computation / J.A. Jones // Progress in Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy. — 2001. — Vol. 38. — Pp. 325-360.

47. Steane, A. Quantum computing / A. Steane // Rep. Prog. Phys.— 1998. Vol. 61. - Pp. 117-173.

48. Kane, B.E. A silicon-based nuclear spin quantum computer / B.E. Kane // Nature. 1998. - Vol. 393, no. 5. - Pp. 133-137.

49. Towards the fabrication of phosphorus qubits for a silicon quantum computer / J.L. O'Brien, S.R. Schofield, M.Y. Simmons et al. // Physical Review B. 2001. - Vol. 64, no. 16. - P. 161401.

50. Hoyer, P. Introduction to recent quantum algorithms / P. Hoyer // Lecture Notes in Computer Science. — 2001. — Vol. 2136. — Pp. 62-74.

51. Rieffel, E. An introduction to quantum computing for non-physicists / E. Rieffel, W. Polak // ACM Computing Serveys. — 2000.- Vol. 32, no. 3. Pp. 300-335.

52. Shor, P. W. Progress in quantum algorithms / P. W. Shor // Quantum Information Processing. — 2004. — Vol. 3, no. 1-5. — Pp. 5-13.

53. Experimental realization of a quantum algorithm / I.L. Chuang, L.M.K. Vandersypen, X. Zhou et al. // Nature. — 1998. — Vol. 393. Pp. 143146.

54. Jones, J.A. Implementation of a quantum algorithm on a nuclear magnetic resonance quantum computer / J.A. Jones, M. Mosca // Journal of Chemical Physics. — 1998. — Vol. 109, no. 5. — Pp. 16481653.

55. Dorai, K. Implementing quantum-logic operations, pseudopure states, and the Deutsch-Jozsa algorithm using noncommuting selective pulses in NMR / K. Dorai, Arvind, A. Kumar // Physical Review A. — 2000. — Vol. 61.-P. 042306.

56. Linden, N. An implementation of the Deutsch-Jozsa algorithm on a three-qubit NMR quantum computer / N. Linden, H. Barjat, R. Freeman // Chemical Physics Letters. — 1998. — Vol. 296. — P. 61.

57. Ermakov, V.L. Nuclear magnetic resonance implementation of the Deutsch-Jozsa algorithm using different initial states / V.L. Ermakov, B.M. Fung // Journal of Chemical Physics.— 2003.— Vol. 118. — Pp. 10376-10381.

58. Approaching five-bit NMR quantum computing / R. Marx, A.F. Fahmy, J.M. Myers et al. // Physical Review A. — 2000. — Vol. 62, no. l.-P. 012310.

59. Кнут, Д. Искусство программирования. Т.З. Сортировка и поиск / Д. Кнут. — М.: Вильяме, 2000. — 832 с.

60. Brassard, G. Searching a quantum phone book / G. Brassard // Science. 1997. - Vol. 275. - Pp. 627-628.

61. Tools for quantum algorithms / T. Hogg, C. Mochon, W. Polak, E. Rieffel // International Journal of Modern Physics C. — 1999. — Vol. 10, no. 7.- Pp. 1347-1361.

62. Tight bounds on quantum search / M. Boyer, G. Brassard, P. Hoyer, A. Tapp // Fortsch. Phys. 1998. - Vol. 46. - P. 493.

63. Brassard, G. Quantum counting / G. Brassard, P. Hoyer, A. Tapp // Lecture Notes in Computer Science. — 1998. — Vol. 1443. — Pp. 820831.

64. Strengths and weaknesses of quantum computing / G. Bennett, E. Bernstein, G. Brassard, U. Vazirani // SIAM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, no. 5. — Pp. 1510-1523.

65. Zalka, C. Grover's quantum search algorithm is optimal / C. Zalka // Physical Review A. 1999. - Vol. 60, no. 4. - Pp. 2746-2751.

66. Zalka, C. Using Grover's quantum algorithm for searching actual databases / C. Zalka // Physical Review A. — 2000. — Vol. 62, no. 5. — P. 052305.

67. Ventura, D. Initializing the amplitude distribution of a quantum state / D. Ventura, T. Martinez // Foundations of Physics Letters. — 1999. — Vol. 12, no. 6. Pp. 547-559.

68. Andrecut, M. Efficient algorithm for initializing the amplitude distribution of a quantum register / M. Andrecut, M.K. Ali // Modern Physics Letters B. 2001. - Vol. 15, no. 27. - Pp. 1259-1264.

69. Long, G.-L. Efficient scheme for initializing a quantum register with an arbitrary superposed state / G.-L. Long, Y. Sun // Physical Review A. 2001. - Vol. 64. - P. 014303.

70. Chuang, I.L. Experimental implementation of fast quantum searching / I.L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec // Physical Review Letters. — 1998.-Vol. 80, no. 15.- Pp. 3408-3411.

71. Jones, J.A. Implementation of a quantum search algorithm on a quantum computer / J.A. Jones, M. Mosca, R.H. Hansen // Nature.— 1998. Vol. 393. - Pp. 344-346.

72. Das, R. Experimental implementation of Grover's search algorithm using efficient quantum state tomography / R. Das, T.S. Mahesh, A. Kumar // Chemical Physics Letters. — 2003. — Vol. 369. — Pp. 8-15.

73. Implementation of a three-quantum-bit search algorithm / L.M.K. Vandersypen, M. Steffen, M.H. Sherwood et al. // Applied Physics Letters. 2000. - Vol. 76, no. 5. - P. 646.

74. Das, T.P. / T.P. Das, E.L. Hahn // Solid state physics. Supplement 1 / Ed. by F. Seitz, D. Turnbull. — New York: Academic Press, 1958.

75. Gershenfeld, N.A. Bulk spin-resonance quantum computation / N.A. Gershenfeld, I.L. Chuang // Science. 1997.- Vol. 275.- Pp. 350356.

76. Cory, D.G. Nuclear magnetic resonance spectroscopy: an experimentally sccessible paradigm for quantum computing / D.G. Cory, M.D. Price, T.F. Havel // Physica D. — 1998.- Vol. 120.-P. 82.

77. Knill, E. Effective pure states for bulk quantum computation / E. Knill, I. Chuang, R. Laflamme // Physical Review A.— 1998.— Vol. 57, no. 5.-P. 3348.

78. Кесселъ, A.P. Многокубитный спин / A.P. Кессель, В.JI. Ермаков // Письма в ЖЭТФ. 1999. - Т. 70, № 1. - С. 59-63.

79. Кессель, А.Р. Виртуальные кубиты многоуровневость вместо мно-гочастичности / А.Р. Кессель, B.J1. Ермаков // ЖЭТФ. — 2000. — Т. 117, № 3. - С. 517-525.

80. Kessel, A.R. Implementation schemes in NMR of quantum processors and the Deutsch-Jozsa algorithm by using virtual spin representation / A.R. Kessel, N.M. Yakovleva // Physical Review A. — 2002. — Vol. 66, no. 6. Pp. 062322-1-062322-7.

81. Кессель, A.P. Схемы реализации в ЯМР квантовых процессоров в представлении виртуального спина / А.Р. Кессель, Н.М. Яковлева // Казанский физико-технический институт им. Е. К. Завойско-го 2002. Ежегодник. — Казань: ФизтехПресс, 2003. — С. 76-81.

82. Кессель, А.Р. Реализация алгоритма квантового поиска на ядерном спине 3/2 / А.Р. Кессель, Н.М. Яковлева //V Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинорматика-2003». Сборник научных трудов. — Москва, 2003. — Т. 2. — С. 63-70.

83. Kampermann, H. Quantum computing using quadrupolar spins in solid state NMR / H. Kampermann, W.S. Veeman // Quantum Information Processing. 2002. - Vol. 1, no. 5. - Pp. 327-344.

84. Ermakov, V.L. Four atomic optical energy levels as a two-qubit quantum computer register / V.L. Ermakov, A.R. Kessel, V.V. Samartsev // Proc. SPIE. 1999. - Vol. 4061. - Pp. 79-84.

85. Two qubit in pure nuclear quadrupole resonance / G.B. Furman, S.D. Goren, V.M. Meerovich, V.L. Sokolovsky // Journal of Physics: Condensed Matter. 2002. - Vol. 14. - Pp. 8715-8723.

86. Khitrin, A.K. Nuclear magnetic resonance quantum logic gates using quadrupolar nuclei / A.K. Khitrin, B.M. Fung // Journal of Chemical Physics. 2000. - Vol. 112. - P. 6963.

87. Realization of logically labeled effective pure states for bulk quantum computation / L.M.K. Vandersypen, C.S. Yannoni, M.H. Sherwood, I.L. Chuang // Physical Review Letters. — 1999. — Vol. 83, no. 15. — Pp. 3085-3088.

88. Khitrin, A.K. Method of multifrequency excitation for creating pseudopure states for NMR quantum computing / A.K. Khitrin, H. Sun, B.M. Fung // Physical Review A.— 2001.- Vol. 63.-P. 020301.

89. Fung, B.M. Use of pairs of pseudopure states for NMR quantum computing / B.M. Fung // Physical Review A.~ 2001.— Vol. 63.— P. 022304.

90. Mehring, M. Consepts of spin quantum computing / M. Mehring // Applied Magnetic Resonance. — 1999. — Vol. 17. — Pp. 141-172.

91. Das, R. Use of quadrupolar nuclei for quantum-information processing by nuclear magnetic resonance: implementation of a quantum algorithm / R. Das, A. Kumar // Physical Review A. — 2003. — Vol. 68, no. 3. P. 032304.

92. Кесселъ, A.P. Физическая реализация трехкубитных вентилей на отдельной квантовой частице / А.Р. Кессель, B.JI. Ермаков // Письма в ЖЭТФ. 2000. - Т. 71, № 7. - С. 443-447.

93. Яковлева, Н.М. Схемы реализации в ЯМР алгортма квантового поиска в представлении виртуального спина / Н.М. Яковлева // Конференция молодых ученых КФТИ КазНЦ РАН. Сборник трудов. — Казань, 2003. — С. 52-57.

94. Яковлева, Н.М. Схемы реализации в ЯМР трехкубитного алгоритма Гровера / Н.М. Яковлева // VII Российская молодежная научная школа «Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений». Сборник трудов. — Казань, 2003. — С. 206-209.

95. Yakovleva, N.M. Implementation schemes of quantum gates on the states of discrete quantum system / N.M. Yakovleva, E.A. Tereshin // Proc. SPIE. 2004. - Vol. 5402. - Pp. 140-144.

96. Search for optimum labeling schemes in qubit systems for quantum-information processing by nuclear magnetic resonance / R. Das, S. Chakraborty, K. Rukmani, A. Kumar // Physical Review A.— 2004. Vol. 70, no. 1. - R 012314.

97. Абрагам, А. Ядерный магнетизм / А. Абрагам. — M.: ИИЛ, 1963. — 552 с.

98. Ацаркин, В.А. Динамическая поляризация ядер в твердых диэлектриках / В.А. Ацаркин. — М.: Наука, 1980.

99. Ацаркин, В.А. Температура спин-спиновых взаимодействий в электронном парамагнитном резонансе / В.А. Ацаркин, М.И. Родак // УФЕ. 1972. - Т. 107, № 1. - С. 3-27.

100. Голъдман, М. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах / М. Гольдман. М.: Мир, 1972. - 342 с.

101. Khitrin, А.К. Information storage using a cluster of dipolar-coupled spins / A.K. Khitrin, V.L. Ermakov, B.M. Fung // Chemical Physics Letters. 2002. - Vol. 360. - Pp. 161-166.

102. Khitrin, A.K. Nuclear magnetic resonance molecular photography / A.K. Khitrin, V.L. Ermakov, B.M. Fung // Journal of Chemical Physics. 2002. - Vol. 117, no. 15. - Pp. 6903-6906.

103. Fung, B.M. A simple method for NMR photography / B.M. Fung, V.L. Ermakov // Journal of Magnetic Resonance. — 2004. — Vol. 166. — Pp. 147-151.

104. Рудавец, М.Г. Неэргодическая динамика системы ядерных спинов 1/2 с равными константами спин-спинового взаимодействия / М.Г. Рудавец, Э.Б. Фельдман // Письма в ЖЭТФ.— 2002.— Т. 75, № 12. С. 760-762.

105. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. — М.: Физ-матлит, 2002. — 808 с.

106. Kessel, A.R. Elements of quantum informatics on the states of equal spin-spin interactions model / A.R. Kessel, N.M. Yakovleva // Proc. SPIE. 2004. - Vol. 5402. - Pp. 145-149.