Квазиизометрии, теория предконцов и геометрия пространственных областей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Кармазин, Александр Петрович

• Кармазин, Александр Петрович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кармазин, Александр Петрович

Приведём сначала общую постановку задачи, решаемой в данной работе. Пусть А есть некоторый класс отображений, заданных, например, на некотором семействе {Б} областей из евклидова пространства Я11, п>2, образы которых О = £ (Б) есть также области из . В наиболее общем случае отображения £ е А задаются на областях из некоторого метрического пространства (Х,г), а их образы при отображениях из А есть области метрического пространства (У,А). Тогда каждое £ е А удовлетворяет некоторым условиям, которые являются инвариантными или квазиинвариантными для отображений из этого класса. Следовательно, в общем случае изучение поведения отображений из А сводится к изучению строения областей Б, й = =1Щ), Г е А с помощью инвариантов данного класса отображений А. При этом чем большее число различных инвариантов класса А мы обнаружим, и опишем всевозможные взаимосвязи между ними, тем более детально мы изучим геометрию областей задания отображений из А и их образы, а значит, и поведение отображений из А, рассматриваемых на заданном семействе {Б} областей из Я" (или (X,г)).

Следующие две проблемы являются одними из основных в теории функций.

I. Граничное поведение отображений из А.

II. Теоремы существования для отображений из А.

Проблема I сводится к нахождению с помощью инвариантов класса А граничных элементов областей, инвариантных при отображениях из А. При этом, изучая строение этих элементов и взаимосвязи между ними, мы некоторым образом описываем геометрию, то есть строение областей, на которых задаются отображения из А, а также их образы. Естественно, желательно получить как можно более полное описание строения областей из заданного семейства {О}, и этот класс {Б} должен быть достаточно широк. Например, за {Б} можно взять класс областей из Я11 (или (Х,г)), гомеоморфных шару, либо, более обще, односвязных областей. Далее, желательно с помощью инвариантов класса А построить такое множество Г [Б] граничных элементов области Б, чтобы множество Б и ЦБ] было компактно (или чтобы область Б была секвенциально предкомпактна в Б и Г[Б], чего уже хватило бы для нужд теории функций) и, кроме того, хаусдорфово. При этом, если отображения из А являются гомеоморфными, естественно потребовать ещё, чтобы любое £ £ А продолжалось до гомеоморфизма

Г[Б] О и Г[0], *|Б = £, где в = Г (Б), Б е {Б}. Тогда вопросы граничного поведения отображений из А решались бы почти автоматически. Основные трудности здесь возникают при построении такого множества Г[Б] и при изучении строения элементов из Г [Б].

Проблема II заключается в нахождении условий на области Б,в из Яп (или Б с (X, г), в с (У, (1) соответственно в более общем случае) с использованием инвариантов класса А, при которых Б можно или нельзя отобразить на в отображением £ из А. Таким образом, мы снова приходим к основной проблеме: научиться описывать строение областей из заданного семейства {Б} с помощью инвариантов рассматриваемого класса А отображений этих областей.

Исходя из предыдущего, мы в данной работе будем придерживаться следующей общей концепции: используя всевозможные инварианты рассматриваемого класса отображений (предварительно описав их), как можно более детально изучить строение областей, на которых заданы отображения из этого класса, а также их образы. В частности, при этом мы изучим и поведение отображений рассматриваемого класса.

Перейдём к истории вопроса. В 1913 г. Каратеодори в работе [30] построил теорию простых концов плоских односвязных областей, и показал, что любой конформный гомеоморфизм : Б ->■ в односвязных областей Б,О из Я продолжается до гомеоморфизма *: Б и Е[Б] -> й и Е[в], £ = где Ер],Е[0] есть множества простых концов соответственно областей Б,в. Причём пополнение Б и Е[Б] любой плоской ограниченной односвязной области Б по её простым концам является компактным и хаусдорфовым топологическим пространством. Таким образом, простые концы по Каратеодори оказались граничными элементами плоских областей, инвариантными при конформных отображениях, и с их помощью удаётся достаточно детально описать геометрию плоских областей. Эта изначальная работа Каратеодори оказалась эталонной и послужила моделью для многочисленных дальнейших рассмотрений при изучении граничных вопросов различных классов отображений, как плоских, так и пространственных.

Позднее было показано, что элементы из Е[Е)] инвариантны и для более общих классов квазиконформных и с ограниченным интегралом Дирихле плоских гомеоморфизмов (см. по этому поводу, например, монографии Г.Д.Суворова [25], [26]). Таким образом, в плоском случае Каратеодори был полностью решён вопрос о граничном соответствии, а Риманом доказана теорема существования для конформных отображений.

Пространственный случай оказался намного сложнее. Теория простых концов пространственных областей началась разрабатываться в работах Кауфмана (1930 г.), см. [36], Мазуркевича (1936 г.), см. [38] и Фрейденталя (1952 г.), см. [31], а также в работах А.Д.Мышкиса, см. его основополагающую работу [22], 1949 г. Их построения основывались на схеме Каратеодори, не использовали существенно инварианты никаких классов отображений, то есть имели общий характер, были достаточно сложными и не нашли применения в теории функций.

В 60-х г. в работах [8] - [10] В.А.Зорич построил теорию простых концов областей из евклидова пространства К11, п > 3, и установил теорему о соответствии по простым концам для квазиконформных отображений шара. В работах И.С.Овчинникова и Г.Д.Суворова, см. [23], [24], [27], выделены классы пространственных областей, для которых имеет место теория простых концов по Каратеодори, и установлена теорема о соответствии по этим граничным элементам для отображений с ограниченным интегралом Дирихле, заданных на шаре. В работе [43] Р.Някки построил теорию простых концов областей из

Яп, п>3 при помощи свойств, инвариантных при квазиконформных отображениях, и получил теорему о соответствии границ при квазиконформных отображениях воротниковых областей. В перечисленных выше работах пополнения областей, там рассматриваемых, образуют хаусдорфовые топологические пространства, и сами области секвенциально предкомпактны в этих пространствах. Однако семейства областей, на которых изучается граничное поведение рассматриваемых там классов отображений, образуют узкие подсемейства на множестве всех областей из К.п, п > 3, гомеоморфных шару (см. по этому поводу, например, работы А.П.Копылова [14] и В.В.Асеева [2]), и в этом общем случае все эти пополнения уже не являются хаусдорфовыми, а сами области не будут секвенциально предкомпактными в пополненных пространствах. Таким образом, схема Каратеодори построения граничных элементов, использованная в перечисленных выше работах, в общем случае не позволяет достаточно подробно изучить строение пространственных областей, и соответственно граничное поведение отображений из рассматриваемых классов.

В работе [6] С.К.Водопьянов, В.М.Гольдштейн (1978 г.) при помощи конформной ёмкости, инвариантной при квазиконформных отображениях, построили метрику в произвольных областях из К", п>3, пополнение по которой даёт граничные элементы этих областей, инвариантные при квазиконформных гомеоморфизмах. Очевидно, это пополнение любой области из Яп, п > 3 всегда хаусдорфово, однако в общем случае сама эта область не будет секвенциально предкомпактна в пополненном по ёмкостному расстоянию пространстве. В работах автора [12], [50], [51] в 80-х г. на основе внутренних метрик А.Д.Александрова-Римана р0 и Мазуркевича 80 были построены теории простых р- и 5-концов областей из Яп, п > 2, гомеоморфных шару, и установлено соответствие по этим простым концам соответственно при р- и 8-квазиизомет-риях таких областей. В общем случае полученные там пополнения областей из

11п,п>3 не являются хаусдорфовыми, и сами области не секвенциально предкомпактны в этих пополнениях. Отметим, что простые концы в этих работах строились по схеме Каратеодори. В этих же двух работах рассмотрены пополнения областей из II , п > 2 по метрикам р ^ и о^, проведенные по классической схеме Коши-Кантора. Очевидно, оба эти пополнения хаусдорфовы для любой области из 11п, п > 2, однако при этих пополнениях к области Б присоединяются граничные элементы этой области, носителями которых являются только точки евклидовой границы области Б, достижимые кривыми из Б. В работах [15], [16] конца 80-х г. В.И.Кругликовым строится теория простых концов областей из Я", п > 3 на основе понятия конформной ёмкости конденсатора и изучается строение этих граничных элементов областей из Яп. Пожалуй, В.И.Кругликовым были получены окончательные результаты в направлении реализации схемы Каратеодори построения граничных элементов областей из К.11, п > 3. В частности, им дана полная классификация простых концов по

Каратеодори - выделено 9 типов простых концов. Однако в общем случае по-" полнение областей по этим простым концам не является хаусдорфовым, а сами области не секвенциально предкомпактны в этом пополнении. Таким образом, до сих пор полного аналога теоремы Каратеодори о граничном соответствии для случая общих классов пространственных областей не было установлено ни для одного нетривиального класса гомеоморфизмов.

Отметим особую роль в изучении вопросов граничного расширения областей из Я", п>3 работы А.Д.Мышкиса [22], опубликованную в 1949 г. В данной работе в наиболее общей форме описана схема Каратеодори построения граничных элементов произвольного топологического пространства, приведены другие схемы построения пополнений топологических пространств и рассмотрены взаимосвязи между ними. Например, приведена схема пополнения по Коши-Кантору с использованием понятия направленного множества (в частности, и при помощи последовательностей), и схема Фрейденталя пополнения топологических пространств с помощью понятия подчинения. В работе указаны условия на топологические пространства, при которых различные схемы их пополнений оказываются эквивалентными, а также рассмотрены случаи, когда эти схемы не равносильны друг другу. Одной из наиболее важной и удобной при применениях в теории функций и в некоторых других областях математики А.Д.Мышкис считает схему Каратеодори построения граничных элементов топологических пространств. Она заключается в следующем.

Пусть X есть некоторое топологическое пространство. Тогда под граничным элементом пространства X понимается некоторая совокупность открытых подмножеств из X, удовлетворяющая некоторым определённым требованиям. Каждую такую совокупность будем обозначать буквой Р и называть граничным элементом пространства X. Пусть, далее, дано некоторое множество Г[Х] граничных элементов X. На множестве X и Г[Х] вводится топология следующим образом: пусть множество Н открыто в X; тогда под Н* понимается объединение Н с совокупностью всех элементов Р из Г[Х], для которых при некотором и е Р будет и с Н. Считаем каждое такое Н* окрестностью любого своего элемента. Тогда X и Г[Х] становится общим топологическим пространством. В работе найдены условия на множество Г[Х] и на само пространство X, при которых X и Г[Х] является хаусдорфовым и секвенциально компактным пространством. В частности, если роль X выполняет область Б из евклидова пространства Яп, п > 3, то семейство областей, для которых пространство Б и Г [Б] хаусдорфово и секвенциально компактно, как следует из результатов работы, составляет очень узкий подкласс в классе всех областей из Яп, п>3, гомеоморфных шару.

Таким образом, схема Каратеодори построения граничных элементов областей из Я11, п > 3 в принципе не может решить задачу о "хорошем" и достаточном" пополнении области из Я", п>3, если она принадлежит, например, семейству гомеоморфных шару областей. Следовательно, для этого класса областей из И", п >3 необходим принципиально новый подход для решения поставленной нами задачи о "хорошем" пополнении любой такой области. При этом нужно учитывать, что наша задача усложняется ещё тем, что элементы из Г [Б] должны быть инвариантными для отображений рассматриваемого класса гомеоморфизмов таких областей. Целью данной работы и является предложить новый подход к решению описанной выше проблемы при изучении некоторых классов гомеоморфизмов. В основном, мы будем изучать граничное поведение так называемых квазиизометрических отображений областей из

IIп, п > 3, гомеоморфных шару.

Конкретно поставленную выше проблему мы будем решать для следующего модельного случая. Под областью из Я" всюду в работе понимается ограниченный гомеоморф шара из Яп. Сразу отметим, что свойство ограниченности области не принципиально. Мы всегда можем подкорректировать метрику в основном пространстве, превратив это пространство известным способом в ограниченное множество. Пусть 6. (х,у) есть евклидова метрика в Я11. В области Б зададим одну из следующих двух внутренних метрик: либо метрику Мазур-кевича б0(х,у), равную М евклидовых диаметров связных множеств из Б, содержащих точки х, у <е Б; либо метрику Римана-А.Д.Александрова р0(х,у), равную М длин кривых из Б, соединяющих точки х, у е Б. Наиболее подробно мы рассмотрим вариант, использующий метрику Мазуркевича б0. Это связано с тем, что при использовании этой метрики удаётся более детально описать строение области, то есть из эстетических соображений. В общем случае этот выбор метрики не принципиален. Соответственно мы будем изучать граничные и метрические свойства 8-квазиизометрических гомеоморфизмов, заданных на областях из Я11, гомеоморфных шару. Гомеоморфизм : Б —> в областей Б,в из Яп, при котором метрики 80, 8С квазиинвариантны, будем называть 5-квазиизометрией. Таким образом, наша конкретная задача - дать наиболее детальное описание строения областей из Яп, гомеоморфных шару, с помощью инвариантов 5-квазиизометрических гомеоморфизмов (в частности, найти как можно больше инвариантов 8-квазиизометрий и изучить взаимосвязи между ними), а также рассмотреть граничные и метрические свойства этого класса гомеоморфизмов областей из К" . Например, установить аналог теоремы Карате-одори для случая 5-квазиизометрий в наиболее полном виде. Отметим, что свойство области быть ограниченной является инвариантом класса 5-квазиизометрических гомеоморфизмов.

Следуя принятой нами общей концепции о построении граничных элементов с помощью только инвариантов рассматриваемого класса отображений, мы приведём две общие конструкции, первая из которых позволяет компактифицировать любую область из Яп, гомеоморфную шару, а с помощью второй конструкции мы получим пополнение любой такой области, которое будет ещё и хаусдорфовым. В виде следствий этих построений мы получим наиболее полный аналог теоремы Каратеодори о граничном соответствии 5-квазиизометри-ческих гомеоморфизмов, заданных на классе ограниченных гомеоморфных шару областей из , а также получим ряд результатов типа теорем "несуществования" для этого класса гомеоморфизмов.

Приведём более подробные формулировки. Сначала мы вводим в рассмотрение новые граничные элементы области Б из Я", п > 2, названные нами предконцами области Б, построенные по схеме Каратеодори на основе метрики 50, инвариантные при 5-квазиизометрических отображениях. А именно, последовательность {Ут} открытых связных подмножеств из Б есть предцепь в Б, если Ут, 1) Ут+1 сУш;2) 50 (д-0'Чт,дв\т+1) > 0. Две предцепи эквивалентны, если они входят друг в друга. Класс эквивалентных предцепей из Б образует предконец области Б. На множестве У[Б] предконцов области Б введём отношение частичного порядка: V < УМ, если предконец V входит в предконец У0 [Б] - множество минимальных элементов из У[Б], названных нами простыми предконцами области Б. Очевидно, простые предконцы инвариантны при 5-квазиизометриях и любая 6-квазиизометрия Г: Б —► в областей Б,О продолжается до гомеоморфизма

Р:ОиУ0[Б]->ОиУ0[О]Д =

Простые предконцы области являются более мелкими граничными элементами, чем её простые концы, построенные на основе метрики 80 в точности по Каратеодори, и тесно связаны с ними. Оказывается, что понятие предконца намного удобнее в работе и оно проще, чем понятие конца. Кроме того, с помощью понятия предконца можно более подробно и точнее описать строение области из Я11. То есть введение понятия предконца было необходимо в связи с методологическими причинами; это позволяет нам продвинуться намного дальше в вопросах изучения геометрии пространственной области, чем если бы мы это делали с помощью классического понятия простого конца по Каратеодори области из Я". Кроме того, использование внутренней метрики области при определении граничного элемента области (у нас это метрика Мазуркевича 50) даёт дополнительные возможности при изучении геометрии области. Сама эта метрика уже некоторым образом описывает строение области.

Таким образом, использование понятия предконца даёт ряд преимуществ при изучении строения области из Яп по сравнению с известным способом введения граничного элемента области в точности по Каратеодори. Однако топологическое пространство Б и У0[Б] в общем случае области Б из Я", п > 3, гомеоморфной шару, не является хаусдорфовым, а сама область Б не секвенциально предкомпактна в Б и У0 [Б]. Приведём в общем виде две конструкции, позволяющие освободиться от этих недостатков для любой ограниченной гомеоморфной шару области из Яп, п > 3.

Первая наша конструкция основана на идее факторизации множества У[Б]. Имеет место следующее простое утверждение: любой предконец области Б всегда минимизируется хотя бы одним её простым предконцом. Отметим, что в общем виде этот результат был доказан ещё А.Д.Мышкисом, см. лемму 2 из

22]. Множество Ц [V] = {и<= У0[Б], и < V} назовём цоколем предконца V из У[Б]. Это множество всегда непусто и замкнуто в БиУ0Р]. В У[Б] введём отношение эквивалентности: предконцы УЛ¥ эквивалентны, если их цоколи совпадают. Полученное факторпространство обозначим через Ф[Б]. Введём в нём отношение частичного порядка следующим образом: ф < лфг о \ZWe\y, ЗУ е ф, V < W в У[Б]. Множество минимальных элементов из Ф[Б] обозначим через Ф0[Б].

Элементы из Ф0[О] являются некоторыми граничными элементами области Б, инвариантными при 5-квазиизометрических гомеоморфизмах. Показывается, что любая область из IIп, гомеоморфная шару, всегда секвенциально предкомпактна в пространстве ВиФ0[Б]. Таким образом, факторизация множества У[Б] позволила нам компактифицировать область Б. Этот результат является первой основной теоремой теории предконцов, и он очень важен в этой теории. Введения элементов из Ф0[Б] уже достаточно, чтобы дать подробное описание геометрии области Б для нужд теории 8-квазиизометрических отображений. Однако в общем случае пространство БиФ0[Б] не является хаусдорфовым.

Вторая наша конструкция позволяет решить вопрос о хаусдорфовости пополнения области Б. Эта конструкция построена на основе понятия полного бруска, специальных элементов из Ф[Б], позволяющих затем определить множество М[Б] граничных элементов области Б, названных нами молекулами области Б. Присоединение к Б множества М[Б] даёт нам топологическое пространство, в котором Б секвенциально предкомпактна, и которое всегда ещё и хаусдорфово. Суть этой конструкции состоит в следующем.

Скажем, что два элемента из Ф0[Б] сцеплены, если они имеют общую последовательность точек из Б. Множество П из Ф0[Б] назовём полным бруском, если любые два элемента из П сцеплены, а любой элемент из Ф0[Б]\П не сцеплен одновременно со всеми элементами из П. Показывается, что для любого полного бруска П из Ф0[Б] всегда найдётся элемент ср е Ф[Б] такой, что его Ф-цоколь = {\|/ е Ф0[Б],\|/ < ср} совпадает с П. Этот элемент ф мы также называем полным бруском в Б. Далее устанавливается, что цоколь Ц[ф] = {Ц[У], V е ф} любого полного бруска ф е Ф[Б] всегда связен и замкнут в БиУоР]. Совокупность ш полных брусков из Ф0[Б] образует молекулу области Б, если элементы из ш последовательно граничат друг с другом, и в Ф0[Б]\ т нет полных брусков, пересекающихся хотя бы с одним элементом из т. Множество М[Б] молекул области Б обладает следующими свойствами: любые две молекулы области Б не контактируют друг с другом, то есть не имеют общих последовательностей точек из Б; из любой последовательности точек из Б всегда можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой молекуле области Б. Таким образом, Б и М[Б] хаусдорфово и Б секвенциально предкомпактна в Б и М[Б]. Этот результат составляет содержание второй основной теоремы теории предконцов. Геометрически его можно интерпретировать следующим образом. Любую область из Яп, гомеоморфную шару, можно представлять себе в виде объединения не контактирующих между собой молекул.

Так как молекулы построены только с помощью инвариантов 5-квазиизо-метрических гомеоморфизмов, то любая 8-квазиизометрия £ : Б —> О областей

Б, О из Я" всегда продолжается до гомеоморфизма

М[Б] в и М[в], Г * |Б = £.

Таким образом, как следствие теории предконцов, нами получен наиболее полный аналог теоремы Каратеодори о граничном соответствии 5-квазиизометри-ческих гомеоморфизмов, заданных на областях из Я", гомеоморфных шару. Более того, показывается, что если £: Б —» О есть 6-квазиизометрия областей Б,в из Я", то области Б и в с точки зрения теории предконцов устроены совершенно одинаково. То есть если ш есть молекула области Б, т* = Р(т) есть её образ при отображении то т и т* имеют в точности одинаковое строение с точки зрения классификации множества молекул области, описанной нами в настоящей работе.

Далее, если область Б плоская, ограниченная и односвязная, то показывается, что Ф0(Т>] = М[Б], и любая молекула области Б "совпадает" с некоторым простым концом в точности по Каратеодори этой области, причём это соответствие между множествами М[Б] и Е[Б] является взаимно однозначным. Таким образом, для случая пространственных областей нами получено естественное развитие теории простых концов по Каратеодори.

В работе подробно изучены свойства различных граничных элементов областей из Ып, определяемых с помощью инвариантов 8-квазиизометрий. Мы начинаем с рассмотрения элементов из множеств [Б]р и [Б]6, то есть пополнений области Б по метрикам р0 и 50. Затем находим условия на евклидовы границы областей Б,в, при которых 8-квазиизометрия Г: Б ^ О имеет непрерывное, гомеоморфное либо билипшицево продолжение до отображения

Г: Б -» в евклидовых замыканий областей Б и в. В частности, мы здесь выявляем несколько важных инвариантов 5-квазиизометрий, постоянно используемых в дальнейшем. Например, оказывается, что свойства кривой из области Б быть спрямляемой или оканчиваться в единственной точке евклидовой границы области Б сохраняются при 8-квазиизометриях. Следующим важным инвариантом 8-квазиизометрий является простой конец области Б, определённый по схеме Каратеодори на основе метрики 80. А затем уже вводятся в рассмотрение основные изучаемые нами инварианты 8-квазиизометрий, элементы из пространств У[Б], У0[Б],Ф[Б],Ф0[Б] и М[Б]. Подробно изучаются свойства этих элементов, взаимосвязи между ними, даётся естественная классификация этих элементов и изучаются различные типы сходимости к этим элементам последовательностей точек из Б. По существу, основным результатом работы является достаточно подробное описание геометрии пространственных областей только с помощью свойств и понятий, сохраняющихся при 8-квазиизометричес-ких гомеоморфизмах. В виде следствий этих рассмотрений фактически автоматически получаются результаты о граничных и метрических свойствах рассматриваемого нами класса б-квазиизометрий.

Отметим, что выбор в качестве конкретной модели именно класса квазиизометрических гомеоморфизмов и семейства гомеоморфных шару областей из Яп и внутренних метрик на них удачен ещё и потому, что в этом случае мы получаем достаточно содержательную теорию, позволяющую получить довольно много интересных результатов, описывающих строение областей из рассматриваемого семейства, а также граничное поведение и метрические свойства 8-квазиизометрий. В частности, понятие связности оказывается очень важным инвариантом, позволяющим получить ряд дополнительных важных свойств элементов из У[Б], Ф[Б] и М[Б].

Исследование различных свойств класса квазиизометрических гомеоморфизмов актуален и важен по многим причинам. Впервые явно класс ква-зиизометрий, а именно р-квазиизометрий, или иначе класс локально билипши-цевых гомеоморфизмов, был введён в рассмотрение в работах американского математика Ф.Джона, см. [33] - [35], в 60-х г. Он использовал квазиизометрии при изучении некоторых вопросов теории деформаций, кручений и напряжений. В работе 1971 г., см. [40], японский математик М.Накаи показал, что класс локально билишшщевых относительно евклидовой метрики гомеоморфизмов совпадает для любой области из с классом р-квазиизометрических гомеоморфизмов, то есть с классом гомеоморфизмов областей из Яп, для которых метрика Римана-А.Д.Александрова р0 оказывается квазиинвариантной. Этот результат позволил значительно расширить возможности исследования различных свойств отображений этого класса. В частности, на основе метрики р0 автором в начале 80-х г., см. работу [12], было введено понятие р-конца, построенного по схеме Каратеодори, что позволило достаточно подробно изучить вопросы граничного поведения этих отображений и некоторые их важные метрические свойства. Класс 6-квазиизометрий уже класса р-квазиизометрий, и составляет его важный подкласс. Необходимость изучения свойств'этих двух классов квазиизометрий возникает ещё и потому, что они образуют важные подклассы известного класса квазиконформных гомеоморфизмов. Многие вопросы, возникающие для случая квазиконформных отображений, предварительно решались в классе именно квазиизометрических гомеоморфизмов. См. по этому поводу многочисленные работы учёных финской школы под руководством Ю.Вяйсяля и американской школы под руководством Ф.Геринга, а также работы математиков нашей и других стран, в том числе учёных Новосибирска, Москвы, Томска, Донецка, Волгограда, Тюмени и других городов у нас в России. Отметим, что билишшщевы отображения являются часто используемым классом отображений при исследовании свойств решений различных классов дифференциальных и интегральных уравнений. Поэтому изучение свойств квазиизометрий важно для нужд как теории дифференциальных уравнений, так и теории функций.

В частности, отметим, что квазиизометрии использовались в теории устойчивости, например, А.П.Копыловым и его учениками. В последнее время квазиизометрии часто применяются в различных вопросах теории минимальных поверхностей, см. библиографию в монографии [29], в частности, работы В.М.Миклюкова и его учеников, а также при изучении вопросов отображений на различных типах топологических многообразий и поверхностей. Таким образом, мы видим, что исследование свойств различных классов квазиизометрий важно в различных областях математики, и в последнее время эти классы отображений достаточно интенсивно применяются.

Исходя из основной концепции исследования, принятой нами в наших рассмотрениях, а также исходя из нужд рассматриваемой нами конкретной модели (класс квазиизометрических гомеоморфизмов и класс областей, гомео-морфных шару), мы в наших построениях применяем следующий основной метод исследования: находятся различные понятия и свойства, являющиеся инвариантами класса квазиизометрических гомеоморфизмов, и с их помощью изучается строение областей из Ып и исследуются граничные и метрические свойства квазиизометрий. Так как мы используем многие топологические инварианты, то в наших рассмотрениях широко применяются различные методы общей топологии и теории множеств. Одними из основных характеристик, часто используемых нами, являются различные внутренние метрики областей и всевозможные понятия, связанные с ними. Поэтому в работе используются различные методы анализа и функционального анализа, например, различные схемы пополнений областей, фактормножества, понятия отношений эквивалентности, частичного порядка и тому подобное. Одной из особенностей наших рассмотрений является изучение различных типов сходимостей последовательностей точек области к различным граничным элементам области, и изучение взаимосвязей между этими типами сходимостей.

Несколько слов о применениях и обобщениях полученных нами результатов. Как мы отмечали, случай 8-квазиизометрий, заданных на областях из IIгомеоморфных шару, с заданной на каждой из них внутренней метрикой Мазуркевича 50, является модельным. Основные результаты и схемы различных построений, полученные нами и используемые для данного конкретного случая, без особого труда переносятся на случаи более общих классов областей как из И.", так и из любого метрического пространства (Х,г), а также при использовании других внутренних метрик этих областей, отличных от метрики 80. Соответственно при этом изучаются свойства классов квазиизометрий, при которых квазиинвариантны именно эти метрики. Наиболее часто в различных областях математики, кроме метрики Мазуркевича 5С, используются метрика Римана-А.Д.Александрова р0, емкостное расстояние г0, определённое в работе С.К.Водопьянова, В.М.Гольдштейна [6], а также получившая в последнее время известность квазигиперболическая метрика к0 (см., например, работу Т.Г.Латфуллина [20]). Класс г-квазиизометрий, при отображениях из которого квазиинвариантно емкостное расстояние г0, содержит известный класс квазиконформных отображений. Распространение полученных нами результатов для случая г-квазиизометрий и семейства областей из 11п, гомеоморфных шару, с введённым на них емкостным расстоянием, позволяет существенно дополнить м, БИБЛИОТЕКА лп тУш'Института математики $ им. С.Л.Соболева теорию квазиконформных отображений и полупить р^ оущ ственных результатов об их граничном поведении. Большой интерес представляет изучение свойств к-квазиизометрий, или так называемых квазигиперболических ква-зиизометрий. Этот класс достаточно широк и не входит в класс квазиконформных отображений. С другой стороны, р- и 8-квазиизометрии образуют подклассы класса к-квазиизометрий. Наши схемы исследования вопросов 5-квазиизо-метрий полностью переносятся на случай к-квазиизометрий и, таким образом, можно построить теорию к-предконцов, позволяющую достаточно подробно изучить вопросы граничного поведения к-квазиизометрий. Отметим, что пополнение области Б по метрике к0 всегда пусто и теория к-предконцов даёт набор граничных элементов любой области из Я", построенных на основе метрики кс, инвариантных при к-квазиизометриях, и позволяет эффективно и достаточно детально изучить строение областей с помощью этих граничных элементов. Мы все эти вопросы кратко рассмотрим в приложении к данной работе.

Кроме того, разработанная нами теория предконцов достаточно просто переносится на случай различных типов поверхностей и топологических многообразий без края с различными внутренними метриками на них (с теми же внутренними метриками Римана, Мазуркевича или емкостным расстоянием), и позволяют эффективно исследовать строение граничных элементов этих поверхностей и многообразий, которые при этом будут ещё инвариантны для соответствующих классов квазиизометрий этих объектов. Таким образом, мы можем развивать теорию отображений различных поверхностей и многообразий без края, что в последнее время становится достаточно актуально. Кроме того, теория предконцов позволяет изучать и классифицировать различные особенности на этих поверхностях и многообразиях, что важно, например, в математической физике.

Таким образом, в настоящей работе предлагается новый подход к решению фундаментальной задачи пополнения областей из 11п, а также различных типов поверхностей и топологических многообразий без края, основанный на идее факторизации множества граничных элементов этих областей (соответственно поверхностей или многообразий), построенных по схеме Каратеодори на основе какой-либо внутренней метрики области, и позволяющий впервые компактифицировать любую область (поверхность, многообразие) из достаточно широкого семейства, а также эффективно изучать граничное поведение различных классов квазиизометрий этих областей (соответственно поверхностей или многообразий). При этом при различных рассмотрениях мы используем общую концепцию о применении при всевозможных построениях в основном только инвариантов рассматриваемого класса отображений. Набор этих инвариантов достаточно широк, и полученная нами теория предконцов областей (поверхностей, многообразий) получается достаточно содержательной. Ещё раз подчеркнём важное значение использования внутренних метрик областей (поверхностей, многообразий) при изучении строения этих объектов. По существу, работа в основном посвящена изучению геометрии областей из Я", то есть областей задания и областей значения отображений из рассматриваемых классов гомеоморфизмов, что имеет основополагающее значение в теории функций.

Полученные результаты имеют важное теоретическое значение и могут быть использованы при изучении многих вопросов теории функций, анализа, а также математической физики и в различных вопросах теории поверхностей и топологических многообразий. Ясно, что приведённые в работе разработки могут быть применены и в прикладных вопросах, где используются различные классы отображений, и где необходимо рассматривать вопросы граничных расширений, различных пополнений областей задания и значения этих отображений, и где важно знание строения этих областей. Приведённые нами разработки и общие построения имеют также важное методологическое значение и могут быть использованы при чтении спецкурсов и в различных учебных пособиях по теории функций и анализу. Автор надеется, что данная работа послужит стимулом для дальнейших исследований в данном направлении.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Сразу отметим, что для удобства все области и соответственно отображения этих областей, рассматриваемые далее в работе, предполагаются ограниченными.

В главе 1 изучается строение граничных элементов областей из евклидова пространства Я", полученных при их пополнении по внутренней метрике б0 Мазуркевича или по внутренней метрике А.Д.Александрова-Римана Р]} ^ а затем находятся условия на евклидовы замыкания областей Б,в из Я11, при которых 5-квазиизометрия { : Б —> О имеет непрерывное, гомеоморфное либо би~ липшицевое продолжение до отображения : Б в.

В § 1.1 вводятся основные обозначения, терминология, даются определения квазиизометрических отображений и указываются на их связи с другими классами отображений.

Пусть Б есть область из евклидова пространства Яп, с1 (х,у) - евклидова метрика в Яп. Через р0(х,у) и 50(х,у) обозначим соответственно внутренние метрики А.Д.Александрова-Римана и Мазуркевича области Б.

Гомеоморфизм Г: Б —» в областей Б,в из Яп называется 8-квазиизомет-рией, если 3 К е [1, оо) такое, что V х, у е Б,

К4 60 (х, у) < б0 ^(х), £ (у)) < К 50 (х, у).

Если при отображении Г квазиинвариантны метрики р0 и р0, то гомеоморфизм £ называют р-квазиизометрией областей Б,в.

В силу результатов работы [40], класс р-квазиизометрий совпадает с классом локально билипшицевых (относительно метрики с1(х,у)) гомеоморфизмов. Очевидно, любая б-квазиизометрия локально билипшицева относительно метрики с1(х,у), и поэтому она одновременно является и р-квазиизометрией.

В п. 1.1.4 даны различные обобщения понятия квазиизометричности.

Лемма 1.1.5 утверждает, что если Г удовлетворяет локальному условию Липшица по метрике с1, то при отображении £: Б О спрямляемый путь Ь из

D переходит в спрямляемый путь f (L) области G, и для их длин имеет место соотношение: 1 (f (L)) < Ki (L).

Это известный результат из анализа. В часности, отсюда следует, что свойство кривой быть спрямляемой является инвариантным для класса р-квазиизометрий, а следовательно, также и для класса 5-квазиизометрий.

В § 1.2 определяются различные типы точек евклидовой границы области D из R" с помощью свойств и понятий, инвариантных при р- и 8-квазиизометриях, и изучаются взаимосвязи между ними. Здесь используются в основном идеи работ Ю.Вяйсяля, Р.Някки (см. [41] - [44]). Например, даются понятия локальной и конечной связности , достижимости, сильной достижимости, R-достижимости, 5- и R-гладкости и 8- и R-связности области D в точке b е 5D, а затем подробно изучаются взаимосвязи между этими понятиями.

Например, в силу 1.2.2, область D конечно связна на границе <=> она сильно достижима на границе. В силу 1.2.5, из локальной связности D в точке bedD следует её 8-гладкость в этой точке. В частности, жорданова область всегда 8-гладка на границе.

В § 1.3 изучаются пополнения [D]p и [D

§ областей из Rn по метрикам pD и 8D. Так как р- и 8-квазиизометрии билипшицевы относительно метрик pD и 5d соответственно, то они всегда продолжаются до гомеоморфизмов пополнений областей по соответствующим метрикам pD и 80. Следовательно, главным здесь является вопрос о строении множеств [D]p и [D

§. Строение множества [D]p подробно рассмотрено в работе [12]. Приведём соответствующие результаты о строении множества [D]s.

Лемма 1.3.5. Последовательность точек {хт} из области D фундаментальна по метрике 80 она лежит на некотором пути L:[0,1)-»D, оканчивающемся в точке из D.

Теорема 1.3.7. [D]5= D о D локально связна на границе.

Теорема 1.3.8. [D]5 компактно D конечно связна на границе.

Лемма 1.3.9 утверждает, что свойство кривой оканчиваться в точке ЭБ является инвариантным при 5-квазиизометриях.

Это утверждение очень важно и часто используется в дальнейшем. Заметим, что для р-квазиизометрий это утверждение в общем случае неверно.

В § 1.4 в духе работ [41] - [44], а также [12], изучаются условия на дБ, при которых 8-квазиизометрия : Б —> О продолжается до непрерывного, гомеоморфного либо билипшицева отображения £ :Б-»0. Приведём типичные результаты для 6-квазиизометрий.

1.4.7. Если область Б локально связна в точке Ь е д Б, то 8-квазиизомет-рия f: Б —» в имеет предел в точке Ь.

Отсюда, например, следует, что если области Б,О жордановы, то Г всегда продолжается до гомеоморфизма Г: Б -> О. Отметим, что для случая р-квазиизометрий этот результат в общем случае неверен.

1.4.13. Пусть область Б 5-связна на границе и f : Б —> в есть 8-квазиизо-метрия. Отображение Г продолжается до билипшицева гомеоморфизма Б -» О <=> О также 8-связна на границе.

В главе 1 граничное поведение квазиизометрий изучается в точках дБ, в окрестности которых область Б довольно просто устроена. В главе 2 с помощью инвариантов 8-квазиизометрий даётся понятие простого конца области, позволяющее изучать строение достаточно сложных областей. В рассмотрениях, проводимых здесь, используются в основном идеи работ И.С.Овчинникова, Г.Д.Суворова и Р.Някки (см. [22], [23], [25] - [27], [43]), а также во многом используются результаты теории р-концов, разработанной нами в работе [12].

В § 2.1 даётся определение простого конца области из Яп на основе внутренней метрики 80 Мазуркевича, и рассматриваются общие свойства этих граничных элементов. Даётся первичная классификация этих элементов.

Множество концов области Б обозначим через [Б], а множество минимальных элементов из [Б], называемых простыми концами области Б, будем обозначать через [Б]0.

Говорим, что цепь {дк} сечений области Б регулярна, если с1^к) -> О при к —со. Лемма 2.1.4 утверждает, что если цепь {дк} регулярна, то она является простой, то есть эта цепь является представителем некоторого простого конца области Б.

В п. 2.1.7 даётся определение функции 5(х,Р), часто используемой в дальнейшем при изучении различных метрических характеристик области из Я" . В этом же пункте даются понятия регулярного и нормального простого конца области Б.

Простой конец Р области Б назовём регулярным, если V точка Ь, принадлежащая множеству П(Р) главных точек Р, и Vхк->Ъ, 3 регулярная цепь сечений {с1к} еР, хк е сходящаяся к точке Ь. Простой конец Р нормален, если существует хотя бы одна регулярная цепь, принадлежащая Р, Е[Б] -множество всех нормальных простых концов области Б.

В утверждениях 2.1.8 - 2.1.24 приводятся некоторые основные свойства нормальных и регулярных простых концов области из Яп. Например, в теореме 2.1.14 утверждается, что любой путь Ь:[0,1) ->Б, оканчивающийся в точке ЬеЭБ, определяет нормальный простой конец Р области Б, для которого П(Р)=Ь и Ь есть его главный путь. В частности, тогда любой достижимый простой конец области Б нормален. Предложение 2.1.19 утверждает, что если С)еЕ[Б], Ре [Б] и существует последовательность точек из Б, сходящаяся одновременно к Р и С>, то С) входит в Р. В теореме 2.1.23 даётся следующая характеристика нормальных простых концов области Б: если Р еЕ[Б], то найдётся цепь сечений еР, лежащая на последовательности концентрических сфер, сходящихся к точке сЮ.

В § 2.2 изучаются общие свойства элементов из [Б]. В п. 2.2.2 показано, что область Б всегда секвенциально предкомпактна в пространстве Б и [Б] всех концов области Б, то есть из любой последовательности точек из Б всегда можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому концу области Б. Отсюда понятна важность знания строения всего множества [Б].

В п. 2.2.1 приведена конструкция построения конца Р(Ь) области Б, минимального элемента из [Б], содержащего заранее заданный путь Ь :[0Д) Б. На основе этого построения и доказывается свойство секвенциальной предком-пактности области Б в пространстве Б и [Б].

В п. 2.2.3 введено в рассмотрение множество путей {Ь:[ОД) -» Б} из области Б таких, что их предельные множества С(Ь,1) лежат на <ЗБ. Это множество факторизуется следующим образом: два таких пути Ц,Ь2 эквивалентны, если Р(Ь1) = Р(Ь2)- Обозначим полученное факторпространство через ЦБ]. На ЦБ] вводится естественное отношение частичного порядка, а множество его минимальных элементов обозначается через Ь0[Б]. Оказывается, что элемент со е Ь0[Б] о Р(ю) е [Б]0 (здесь Р(со) совпадает с Р(Ь) для любого представителя Ь из ю), и между множествами Ь0[Б] и [Б]0 устанавливается естественное взаимно однозначное соответствие.

В п. 2.2.4 - 2.2.10 приводятся несколько утверждений о взаимосвязях между элементами из ЦБ] и [Б]. Путь Ь:[ОД) ->Б называется образующим для конца Р, если Р(Ь) = Р. Теорема 2.2.8, например, утверждает, что Ре[Б]0<^> любой путь, сходящийся к Р, является образующим для Р.

В п. 2.2.12 доказана важная методологически для всех последующих построений теорема.

Теорема 2.2.12. Любой конец Р области Б минимизируется некоторым хотя бы одним простым концом С) области Б.

Аналогичная этой теореме теорема в теории предконцов, которая будет построена нами в последующих

главах работы, даёт идею факторизации множества предконцов, что затем позволяет значительно дальше продвинуться в изучении вопросов граничного поведения квазиизометрических отображений.

В п. 2.2.11 множество [Б] разбито на два подкласса 0[Б] и ]\Г[Б] концов области Б, свойства которых затем изучаются в п. 2.2.15 - 2.2.17.

В § 2.3, следуя идеям работ С.Мазуркевича [38], Р.Някки [43] и И.С.Овчинникова [22], [23], мы даём определение относительного расстояния Хи области D, см. п. 2.3.1 - 2.3.3, изучаем его свойства в п. 2.3.4, 2.3.5 и показываем в теореме 2.3.6, что пополнение области D по метрике X,D даёт граничные элементы области D, "совпадающие" с нормальными простыми концами области D. В виде следствия этого результата мы получаем два следующих утверждения.

Скажем, что область D нормальна, если она секвенциально предкомпакт-на в пространстве D u[D]0 и [D]0= E[D]. Тогда, см. 2.3.8, область D нормальна о она секвенциально предкомпактна в пространстве D и[D]^. А в силу 2.3.9 область D нормальна и E[D] = E,[D] о D конечно связна на границе (Ej [D] есть множество простых концов первого типа по Каратеодори области D).

В § 2.4, следуя идеям работы К.Каратеодори [30], множество [D]0 простых концов области D разбивается на четыре типа простых концов в точности по К.Каратеодори плюс простые концы пятого типа (см. работу И.С.Овчинникова [23]), имеющих несвязное множество П(Р) главных точек.

Так как, по определению, главные точки могут иметь только нормальные простые концы области D, то E[D] = и Ej [D]. Кроме того, Е5[D] Ф& только для областей D из Rn, п > 3, и области из Rn, п > 3 могут ещё иметь простые концы, не имеющие главных точек. Они образуют множество [D]0\ E[D] простых концов области D, не являющихся нормальными.

Затем простые концы i-ro типа при каждом i = 1,2,3,4,5 разбиваются на два подмножества E^fD] нормальных простых концов, являющихся регулярными, и Ei2[D] = E;[D] \EU[D]. В свою очередь, множество E[D] нормальных простых концов разбивается на два следующих непересекающихся подмножества: Ре SE[D], если существует регулярная цепь {qk} еР такая, что к -» оо;

WE[D]=E[D]\ SE[D].

В пунктах 2.4.3 - 2.4.17 изучаются свойства простых концов различных типов и рассматриваются взаимосвязи между ними. В п. 2.4.3 утверждается, что если Ре SE[D], то множество П(Р) главных точек простого конца Р всегда связно и Р обладает главным путём. В силу 2.4.5, если простой конец Р регулярен и обладает главным путём, то PeSE[D]. В силу 2.4.7, множество A[D] достижимых простых концов области D входит в SE[D]. В п. 2.4.8 замечено, что если область D из R односвязна, то для неё [D]0= SE[D], и, таким образом, для пространственной области D простые концы из SE[D] представляют собой полную аналогию с простыми концами по К.Каратеодори плоских односвязных областей. В частности, SE5[D]= 0 и E5[D] лежит в WE[D] для любой области

D из R11, п > 3. В п. 2.4.9 - 2.4.17 даётся классификация элементов из WE[D] и изучаются свойства этих элементов. Таким образом, результаты

§ 2.4 показывают, что пространственные области с точки зрения теории простых концов имеют существенно более сложное строение по сравнению с плоскими областями.

В § 2.5 изучается соответствие по простым концам при 8-квазиизометри-ческих гомеоморфизмах. В п. 2.5.1 доказывается следующий аналог теоремы Каратеодори о соответствии по простым концам при 8-квазиизометрическом отображении.

2.5.1. Теорема. При S-квазиизометрии f: D —» G областей D,G из Rn простая цепь {Як)из D всегда переходит в простую цепь (f(qk)} области G и f продолжается до гомеоморфизма

Р : D u[D]0—> Gu[G]0, P|D =f.

К сожалению, в отличие от случая плоских односвязных областей, пространство Du[D]0 в общем случае не хаусдорфово и область D не секвенциально предкомпактна в Du[D]0. Поэтому теорема 2.5.1 не является в этом случае полным аналогом теоремы Каратеодори (см., например, её формулировку в [23], гл. 9).

В последних пунктах

§ 2.5 изучается поведение 8-квазиизометрий на различных типах простых концов, определённых в

§ 2.4.

В теореме 2.5.3 приведены 9 подмножеств из [Б]0, которые при отображении ^ могут переходить только в эти подмножества. Причём объединение всех этих 9-ти подмножеств даёт всё множество [Б]0 • В теореме 2.5.4 множество БЕ [Б] разбивается на 6 непересекающихся подмножеств, сохраняющихся при отображении Кроме того, показывается, что Р(\¥Е[Б]) = и

Е[Б]) = [О]0\ Е[0]. В п. 2.5.6 - 2.5.9 изучается поведение 5-квазиизо-метрий на различных типах простых концов из \¥Е[Б], с учётом их классификации из

§ 2.4. В виде следствий результатов

§ 2.5 сформулировано несколько утверждений типа теорем несуществования и теорем о замкнутости различных классов областей для 8-квазиизометрических отображений. Например, по теореме 2.5.11, если область Б секвенциально предкомпактна в пространстве Б и [Б]0, то при 6-квазиизометрии Г : Б —» О область О также секвенциально предкомпактна в Ои[О]0. В силу 2.5.13, если Б нормальна, то нормальна и область в, а в силу 2.5.14 если Б секвенциально предкомпактна в Б и[Б]0 и [Г)]о — Е] [Б], то такими же свойствами обладает и область в.

Вообще говоря, с понятием простого конца не очень удобно работать, и эти граничные элементы области из Яп не достаточно подробно описывают её строение. В главе 3 вводятся в рассмотрение понятия предконцов и простых предконцов областей из Я", с которыми намного проще работать и которые позволяют точнее описывать геометрию области. Эти новые граничные элементы областей из Я" тесно связаны с концами и простыми концами этих областей и в общем случае являются более мелкими граничными элементами рассматриваемой области. Сама идея понятия предконца возникла из рассмотрений, проведённых в

§ 2.4 при изучении общих свойств концов областей из Яп.

В § 3.1 даётся определение понятий предконца и простого предконца области Б из Я", образующих этих граничных элементов, изучаются связи этих новых элементов с концами и простыми концами областей из Яп, приводится несколько общих свойств этих элементов.

3.1.2. Определение. Последовательность {Ук} связных открытых подмножеств области Б образует предцепь в Б, если V к,

1)Ук+1сУк;2) 5о(ЭоУк,ЗоУк+1)>0. Две предцепи эквивалентны, если они входят друг в друга. Всякий класс эквивалентных предцепей из Б назовём предконцом области Б; У[Б] - множество предконцов Б. Скажем, что предконцы У^ сравнимы и V < \У, если V входит в Уо[Б] - множество минимальных элементов из У[Б], названных нами простыми предконцами области Б.

Последовательность {Бк} связных замкнутых относительно Б подмножеств Б назовём образующей цепью в Б, если V к, Рк+1 сРк. Каждая образующая цепь {Бк} индуцирует предцепь {Ук =Уо(Рк»8к)} в Д где ек О при к —> оо,

Уо(рк>ек) = {УеЕ)>5в(рк'У)<ек}

Пусть У({Рк}) есть предконец, представителем которого является предцепь {Ук}. Две образующие цепи {}, {} эквивалентны, если У( {Бк} )=У( {Бк }). Класс эквивалентных образующих цепей назовём образующей в Б, Б [Б] - множество всех образующих из Б. Пусть РеБ[Б] и У(Р) - предконец из Б, индуцированный любым представителем {Рк} б Р. Говорим, что тогда Р является образующей предконца У(Р). Кривую у:[0,1)—>Б назовём образующей кривой предконца V, если

Ук =У0№кЛ),бк)}еУ, ->1, ск ->• 0, к оо; при этом V будем обозначать через У(у).

Понятия образующей и образующей кривой предконца очень важны методологически, с их помощью очень удобно проводить различные построения. Например, при доказательствах можно широко использовать теорию кривых, применяя понятие образующей кривой предконца.

В п. 3.1.4 показывается, что любой конец области Б является одновременно и её предконцом. Обратное в общем случае неверно, и предконцы являются более мелкими граничными элементами области Б, чем концы этой области. Для элемента Уе У[Б] через Р(У) обозначим минимальный конец области Б, содержащий V. Если V е У0[Б], то всегда Р(У) е [Б]0. Однако элемент Ре [Б]о может содержать в себе бесконечно много элементов V е У0[Б], для которых Р(У) = Р.

В предложении 3.1.7 утверждается, что элемент и е Уо[Б] <=> У (у) = и, какова бы ни была кривая у: [0,1) -» Б, сходящаяся к и. Из этого утверждения и следует важность понятия образующей кривой простого предконца.

Следующая теорема по своему значению чрезвычайно важна в теории предконцов.

3.1.8. Теорема. Любой предконец У области Б всегда минимизируется некоторым, хотя бы одним, простым предконцом области Б.

В связи с этой теоремой в п. 3.1.9 даётся понятие цоколя предконца. Пусть Уе У[Б]. Множество

Ц [V] = {и е У0 [Б], и < V} назовём цоколем предконца V. Элемент

Ок[У] = и14, }еи!, и' е Ц [ V]}, к = 1,2,. определяет цокольный предконец 0[У] предконца V. Вообще говоря, в[У] не является предконцом области Б. Если вк[У] связно при каждом к, то 0[У] есть предконец в Б и является минимальным элементом из У[Б], цоколь которого совпадает с цоколем V.

В п. 3.1.10 доказано, что множество Ц[У] есть замкнутое подмножество в топологическом пространстве Б и У0[Б] для любого элемента УеУ[Б].

В п. 3.1.12 вводятся понятия множеств У[{хт}] и У0[{хт}]. Пусть {хт} есть последовательность точек из области Б. Через У[{хт}] обозначается совокупность всех предконцов из Б, содержащих {хт}, Уо [{хт}]' - множество минимальных элементов из У[{хт}]. В п. 3.1.13 доказывается, что если

Ue V0[{xm}], то любой путь из D, лежащий в U и проходящий через {хт}, является образующим для U.

В утверждениях 3.1.14 и 3.1.15 устанавливаются связи между элементами V,WeV[D] и концами P(V),P(W), когда V и W не имеют общих последовательностей точек из D. Тогда этим же свойством обладают и концы P(V) и P(W).

В п. 3.1.16 вводятся в рассмотрение множества <D[D] и O0[D] новых граничных элементов области D. Они получаются факторизацией элементов из V[D] по их общему цоколю. Два предконца из D эквивалентны, если их цоколи совпадают. Классы эквивалентных предконцов и образуют элементы множества 0[D]. Для элемента ср e<D[D] через Ц[ф] обозначается общий цоколь любого представителя Vecp. Элементы ф, у e<D[D] сравнимы и ф < у <t> VWei\f, 3 Уеф, V < W в V[D]; Ф0[О] - множество минимальных элементов из Ф[Б]. Через ф(У) обозначается элемент 0[D], представителем которого является предконец V. Показывается, что

Ф о [D] = {Ф е Ф [D], Ц [Ф] = {U}, U е V0 [D]}. Множество ¥ [ф] = {\|/ £ Ф о [D], у < ф} называется Ф-цоколем элемента ф.

В п. 3.1.17 даётся понятие сходимости к элементам из Ф[Б]. Скажем, что последовательность точек {хт} из D сходится к элементу ф еФ[Б], если найдётся представитель Уеф, к которому сходится {хт}. Далее, говорим, что элементы ф, \|/ еФЦ)] сцеплены, если найдётся последовательность точек из D, сходящаяся одновременно к ф и \|/.

В § 3.2 на множестве V[D] определяется метрика г (V,W) следующим образом. Пусть гн есть отклонение по Хаусдорфу между замкнутыми относительно D подмножествами области D, определённое на основе метрики 50. Пусть V,WgV[D], {Fk} еF(V), {Mk}eF(W). Тогда величина r(V, W) ^ r(F(V), F(W)) = inf lim rH (Fk, Mk), k-»co где inf берётся по всевозможным представителям {Fk}6F(V), {Mk}eF(W), определяет метрику на множестве V[D]. Если L, у : [0,1) —»D есть образующие кривые предконцов V,W соответственно, то r(V,W) = r(L,у) = inf lim rH(L[tk,l),y[xk,l)), k-»oo где inf берётся по всем tk,xk -»1, k ->• со.

В силу предложения 3.2.5, U eV0[D] <£> Vкривые L, у : [0,1) —> D, сходящиеся к U, всегда г (L, у) = 0.

В п. 3.2.10 отмечается, что, вообще говоря, метрика г (V,W) не метризует топологию пространства DuVö[D], Из сходимости последовательности {Uk} элементов из V0 [D] в метрике г к элементу U € V0 [D] всегда следует сходимость {Uk} к U в топологии DuV0[D], но обратное не всегда верно. Это связано с тем, что в общем случае область D не является секвенциально предкомпактной в пространстве D u V0[D]h D и V0[D] не хаусдорфово. Отметим, что DuV0[D] всегда является в случае областей из Rn топологическим Tj -пространством с первой аксиомой счётности.

В § 3.3 приводятся различные обобщения понятия предконца. Перечислим направления, по которым осуществляются эти обобщения. В п. 3.3.1 рассматривается случай произвольных областей из R", в частности, ко-нечносвязных областей. В п. 3.3.2 рассматривается вопрос об использовании в определении понятия предконца других метрик вместо метрики 50. В п. 3.3.3 рассмотрен наиболее общий случай областей из произвольного линейно связного метрического пространства, для которого остаётся содержательной теория предконцов. В п. 3.3.4 ставится вопрос об определении граничных элементов типа предконцов, которые были бы инвариантны для более общих классов отображений, чем квазиизометрии. Пункт 3.3.5 посвящён случаю поверхностей, где рассматривается, каким образом можно ввести понятие граничного элемента типа предконца для различных поверхностей без края из Rn+1, заданных над областями из Rn.

Целью

§ 3.4 является найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы кривая у из D была образующей кривой простого предконца области D. Основным результатом здесь является следующая теорема.

Теорема 3.4.5. Кривая у: [0,1) D является образующей кривой элемента UeV0[D]o эта кривая удовлетворяет следующему V0-условию в D: V tk,tk -»1, к со такие, что 5D (y(tk),y(xk)) 0, k —> оо, всегда либо d (yk) 0, к ->• оо, либо иначе sup 8d (х, у\( и ук ))->0, к^-со, хеГк кгде ук =y[tk,tk], у = у [ОД).

В частности, любая кривая, оканчивающаяся в точке д D, удовлетворяет V0 -условию в D и индуцирует простой предконец V(y) области D. Таким образом, найдено необходимое и достаточное метрическое условие на кривую из D, при котором она является образующей кривой простого предконца области D.

В виде следствий теоремы 3.4.5 получены теоремы 3.4.8 и 3.4.9, уточняющие теорему Линделёфа о поведении конформного отображения круга вдоль некасательных путей, оканчивающихся в точках границы круга, а также её аналог для случая пространственных гомеоморфизмов с ограниченным интегралом Дирихле, доказанный И.С.Овчинниковым в [24].

В § 3.5 в п. 3.5.1 даются понятия отделимого и неотделимого простого предконца области D и затем находятся условия на кривую у из D, при которых она является образующей кривой отделимого или соответственно неотделимого простого предконца.

В силу теоремы 3.5.5, предконец V принадлежит множеству OV0[D] отделимых элементов из V0 [D] lim 8 (у (t), Р (у)) = 0, где у: [0,1) D есть образующая кривая предконца V, Р(у) - индуцированный кривой у простой конец области D.

По теореме 3.5.7, V неотделим в V0[D], то есть VeNV0[D], тогда и только тогда, когда lim 8 (у (t), Р (у)) = а > 0. t->i

В § 3.6 изучаются свойства элементов из OV0[D] и NV0[D]. По теореме 3.6.1, если U отделим в V0[D] и U связан, то есть имеет общую последовательность точек из D, с некоторым элементом VeV[D], то обязательно U < V. В теореме 3.6.4 доказано следующее свойство элементов из NV0[D]. Если элементы V,WeNV0[D] не связаны друг с другом, но элементы cp(V), cp(W) сцеплены между собой, то всегда найдётся элемент UeNV0[D], связанный одновременно с V и W.

В § 3.7 изучается поведение 8-квазиизометрий на множестве V0[D].

Теорема 3.7.1. При 8-квазиизометрии f: D —» G предконцы области D переходят в предконцы области G и f продолжается до гомеоморфизма

Р : DиV0[D] GuV0[G],P|D = f.

В последующих утверждениях параграфа изучается поведение различных подмножеств из V0[D] при отображении Р. Например, в силу 3.7.3, Р(0 V0 [D]) = О V0 [G] и Р (NV0 [D]) = NV0 [G].

В главе 4 изучаются общие свойства элементов из 0[D] и O0[D]. В

§ 4.1 даётся основная классификация элементов 0[D] и Ф0 [D].

В п. 4.1.1 множество 0[D] разбивается на два следующих подмножества: ф е Ф2 [D], если ф обладает единственным представителем; в противном случае феФ2|Р].

В п. 4.1.2 вводятся понятия брусков и полных брусков из D. Подмножество П из Ф0[В] назовём бруском, если любые два его элемента сцеплены; брусок П полный, если Vф е Ф0[D] \П, 3vj/ е П, не сцепленный с ф. Соответственно элемент ф eO[D] есть брусок или полный брусок в D, если таковым является его Ф-цоколь ¥[ф]. Полный брусок ф eO[D] есть атом, если он не контактирует ни с каким элементом из Ф0[Б]\Ч/[ф]. Атом ср является элементарным, если феФ0[В].

В п. 4.1.3 вводятся понятия граничного и внутреннего элемента полного бруска П из Ф0[Б]: ф0еРгП, если ф0 сцеплен с некоторым элементом ц/0 е Ф0[Б] \ П; в противном случае ф0 есть внутренний элемент П. Полный брусок ф е Ф[Б] внутренне замкнут, если Бг ^[ф] = 0.

В п. 4.1.4 определяются множества ОФ0[Б] отделимых и МФ0[Б] неотделимых элементов из Ф0р]: ф£ОФ0[Б], если он не сцеплен ни с каким другим элементом из Ф0[О]; в противном случае феКФ0рО].

В силу 4.1.5, ф еФ0[Б] есть элементарный атом вО о феОФ0[Б]. При этом Ц[ф] всегда лежит в О У0 [Г)]. В п. 4.1.6 даётся одно необходимое условие принадлежности элемента ф множеству Ф2|Т)] •

В § 4.2 рассматриваются общие свойства элементов из Ф2[Б]. В силу 4.2.1 и 4.2.5, любой элемент ф е Ф2рЭ] имеет несравнимые представители. Утверждения 4.2.6 и 4.2.7 дают, что любой элемент ф е Ф2[0] может иметь не более одного максимального представителя. В п. 4.2.8 указывается, что существуют примеры областей из II , имеющие элементы из Ф2|Т)], не обладающие максимальным или минимальным представителем, или не имеющие одновременно ни того, ни другого представителя.

Следующий

§ 4.3 посвящен изучению свойств последовательностей точек из Б, сходящихся к элементу ф е Ф2[Б], но не сходящихся к его цокольному предконцу в[ф]. В п. 4.3.1 дано понятие У0-условия для кривой из области В относительно последовательности точек из Б, лежащей на этой кривой. Теорема 4.3.3 утверждает, что если кривая Г из Б удовлетворяет У0 -условию относительно последовательности точек {ук} с Г, а кривая у удовлетворят У0-условию в Б и у < Г, то у обязательно проходит через {ук}- В теореме 4.3.4 рассматривается общий случай: ф е Ф2[Т>], последовательность точек {хк} из Б сходится к ф и лежит вне 0[ср]. Описаны свойства кривой Г:[0,1) —>Б, сходящейся к ф и проходящей через {хк}.

В п. 4.3.6 определены понятия жёсткого и свободного элемента из Ф[Б]: элемент ф еФ[Б] свободен, если У{хт} сБ, хт -» ф, {хт} лежит вне в[ф], и \/Уеф,У содержит {хт}, 3\¥еф, ¥<Уи ¥не содержит {хт}. В противном случае элемент ф называется жёстким.

Теорема 4.3.6 утверждает, что если последовательность точек {хт} из Б сходится к элементу ф еФ[Б], но лежит вне 0[ф], то всегда существует представитель \Уеф, не содержащий {хт}. В силу теоремы 4.3.7, если дополнительно {хт} сходится к элементу Уеф, то всегда 3 е ф, < V, ^^ ^ V и W содержит некоторую подпоследовательность из {хт}. Из 4.3.7 следует, что любой элемент ф е Ф2[Б] может иметь не более одного минимального представителя.

В § 4.4 полученные в предыдущих параграфах главы результаты используются для получения некоторых утверждений о строении элементов из Ф^Б] и Ф2[0].

Теорема 4.4.2. ф е Ф! [Б] <=> ф компактен по множеству Ц[ф].

Теорема 4.4.4. ф е Ф2И о 3{хт}сБ, хт ->ф, {хт} лежит вне в[ф] и од (хк,хт) >Р>0, Ук^т.

В силу 4.4.8, элемент ф является жёстким <=> ф не имеет минимальных представителей. При этом его цокольный предконец в[ф] несвязен и фе Ф2[Б]. Элемент ф свободен ф обладает минимальным представителем У0. При этом У0 = в[ф] и 0[ф] всегда связен и является предконцом в Б.

Предложение 4.4.10 утверждает, что Ф^РО]сОФ:[Б].

Последующий

§ 4.5 посвящён доказательству следующей основной теоремы теории предконцов.

Теорема 4.5.1. Пусть область Б из IIп, п > 2, гомеоморфна шару и ограничена. Тогда она секвенциально предкомпактна в пространстве Б и Ф0 [Б].

В § 4.6 изучается поведение 5-квазиизометрий на элементах из Ф[Б] и Ф0[Б]. Все понятия и свойства, рассматриваемые при изучении строения элементов из этих множеств, определены только с помощью инвариантов 8-ква-зиизометрий. Поэтому при 5-квазиизометрии £ : Б —> в элементы из Ф[Б] взаимно однозначным образом переходят в элементы из Ф[в], f продолжается до гомеоморфизма

Р : БиФ0[Б] ОиФо^^Б^, и при отображении Р все типы элементов из Ф[Б] и Ф0[Б] не изменяются. Например, Р (Ф^Б]) = Ф^в], Р (Ф2[0]) = Ф2[0] и т. д.

Глава 5 посвящена изучению свойств полных брусков областей из Я" и их взаимосвязей между собой. Результаты этой главы очень важны при построении новых граничных элементов области из , которые мы назовём молекулами этой области, и присоединение которых к области позволяют получить хаусдорфово пополнение этой области.

В § 5.1 рассматриваются общие свойства полных брусков из Ф[Б]. В п. 5.1.1 замечено, что если ф есть брусок, Ц[ф] лежит в 1чГУ0 [Б], \|/ е ФоР] сцеплен с некоторым элементом из *Р[ф], то он сцеплен и с любым элементом из *Р[ф]. Отсюда следует, см. 5.1.4, что если ф есть полный брусок и Ц[ф] лежит в N У0 [Б], то элемент ф внутренне замкнут и ф есть атом в Б.

В силу 5.1.8, если ф есть полный брусок и последовательность точек {хт} из Б сходится одновременно к любому элементу из *Р[ф], то {хт} не может сходиться ни к какому элементу из Ф0[Б]\ ^[ф].

В силу 5.1.9, если ф е Ф][Б] есть полный брусок и Ц[ф]П КУ0 [Б] = 0, то тогда Ц[ф] = {И} состоит из единственного элемента, 11еОУ0 [Б] и ф есть элементарный атом в Б.

В § 5.2 вводится понятие однородных относительно элементов из Ф[Б] последовательностей точек из Б и рассматриваются их свойства. Пусть последовательность точек {хт} из Б сходится к элементу ф. Множество

0[{хт}] = {х|/е¥[ф],хт -»V) называется гнездом {хт} в ф. Говорим, что {хт} однородна для ф относительно подмножества 0 из ^[ф], если 0 является гнездом {хт} в ф, и не найдётся подпоследовательности из {хт}, сходящейся к какому-либо элементу из ¥[<р]\ 0.

Теорема 5.2.2. Из любой последовательности точек {хт} из Б, сходящейся к элементу ф, всегда можно выделить подпоследовательность, однородную для ф относительно некоторого подмножества 0 из ¥[ф].

В п. 5.2.3 проведена факторизация всех однородных для ф последовательностей точек из Б. Скажем, что две однородные для ф последовательности точек из Б эквивалентны, если их гнёзда из ¥[ф] совпадают. Полученное факторпространство обозначим через П[ф]. В нём вводится отношение частичного порядка: Ш] <со2> если 9(0^)^0(са2). При этом мы получаем, что если элемент соеП[ф] максимален в Г![ф], то его гнездо 0 (со) является полным бруском в ^[ф]. Таким образом, максимальные элементы из £2[ф] "выявляют" все полные бруски из ^Р[ф]. Следствием рассмотрений из п. 5.2.3 является следующий важный результат.

Теорема 5.2.4. Если элемент феФ[Б] есть полный брусок, то всегда существует последовательность точек из Б, сходящаяся к ф и одновременно ко всем элементам из ¥[ф].

В п. 5.2.6 по аналогии с теорией простых концов проведена классификация точек носителя элемента из Ф[Б].

В § 5.3 доказана следующая важная в теории предконцов теорема.

Теорема 5.3.1. Пусть элемент феФ[Б] есть полный брусок. Тогда его цокольный предконец 0[ф] всегда связен и является минимальным представителем ф.

В § 5.4 показано, что любой полный брусок 0 из Ф0[Б] является Ф-цоко-лем некоторого, причём единственного, полного бруска ф еФ[Б]. Приведено подробное построение, показывающее, как, исходя из фиксированных одного или двух элементов (p0,i|/0 е<D0[D], сцепленных друг с другом, можно построить некоторый полный брусок ср eO[D], в Ф-цоколе которого они лежат. При этом, в частности, проясняются некоторые подробности строения полных брусков различных типов.

В завершающей работу главе 6 на основе понятия полного бруска введены в рассмотрение новые граничные элементы областей из Rn, которые мы назвали молекулами области. В частности, атомы и элементарные атомы области есть частные случаи молекулы области.

В § 6.1 подробно рассмотрены взаимосвязи между различными полными брусками из Ф о [D]. Выяснено, что контактировать друг с другом могут только невырожденные полные бруски из Ф0И, состоящие из континуума элементов из Ф0[Б]. Причём если два полных бруска контактируют друг с другом, то сцепленными между собой могут быть только граничные элементы этих полных брусков, и цоколи этих граничных элементов лежат всегда в AV0 [D]. В п. 6.1.2 подробно рассматривается строение граничного множества полного бруска из Ф0[Б]. Оказывается, что это множество, всегда лежащее в AV0 [D], может иметь довольно сложное строение, а мощность его может быть равна даже "континуууму". В п. 6.1.3 показано, что любой полный брусок из Ф0РО] может пересекаться не более чем со счётным множеством других полных брусков из O0[D].

В § 6.2 определено и изучается множество M[D] молекул области D. Определение молекулы дано в п. 6.2.1. Скажем, что система (П1? ., Пт) полных брусков из Ф0[D] соединяет nj и Пт, если Пк пПк+] Ф 0, к= 1, ., т-1. Совокупность с полных брусков из Ф0[Б] назовём звеном, если любые два элемента из с можно соединить конечной системой элементов из с; C[D] -множество всех звеньев из D. Два звена cl5c2 сравнимы и Cj < с2, если Cj лежит в с2. Максимальные элементы из C[D] будем называть молекулами области D, а множество всех молекул из D обозначаем через M[D]. Аналогично совокупность {ф} полных брусков из Ф[Б] назовём молекулой в Б, если множество их Ф-цоколей {^[ф]} образует максимальное звено в С[Б]. Ясно, что в общем случае, когда множество {ф} состоит из бесконечного числа полных брусков из Ф[Б], молекула не является элементом из Ф[Б]. По определению, любой атом или элементарный атом из Б образует молекулу области Б. В п. 6.2.2 введено понятие сходимости к молекуле. Говорим, что последовательность точек из Б сходится к молекуле ш еМ[Б], если она сходится к некоторому полному бруску ф е т.

В п. 6.2.3 доказана ещё одна основная теорема теории предконцов.

Теорема 6.2.3. Любой полный брусок ф области Б лежит в некоторой её молекуле, причём эта молекула единственна. Любые две различные молекулы области Б не контактируют друг с другом.

Из этой теоремы и теоремы 4.5.1 следует, что любая область Б из Ып секвенциально предкомпактна в топологическом пространстве Б и М[Б], а само это пространство ещё и хаусдорфово. Таким образом, любую пополненную по элементам из М[Б] область Б можно представлять себе в виде объединения не контактирующих между собой молекул, и она образует некий цельный геометрический объект в Яп.

В § 6.3 рассматриваются свойства молекул области Б и даётся некоторая классификация этих элементов. В п. 6.3.1 рассматриваются только элементарные атомы области Б и даётся общая классификация этих элементов из М[Б].

В п. 6.3.2 рассматривается множество атомов из М[Б] и также даётся классификация этих элементов.

В п. 6.3.3 изучаются молекулы области Б, состоящие из конечного числа полных брусков, то есть представляющие собой тем самым элементы из Ф[Б], и даётся их общая классификация. При этом показывается, как, исходя из произвольно выбранного полного бруска молекулы т, можно построить, восстановить эту молекулу. Тем самым мы более подробно изучаем структуру молекулы области Б.

В п. 6.3.4 все эти вопросы обсуждаются относительно молекул, состоящих из бесконечного, то есть счётного числа различных полных брусков. Даётся общая классификация таких элементов из М[Б].

В п. 6.3.6 изучается, каким образом различные молекулы из Б могут взаимодействовать друг с другом. Оказывается, что хотя любые две молекулы из М[Б] не контактируют друг с другом, но одна из них может в некотором смысле быть "граничной" для другой. Рассматривается, каким образом молекулы могут "граничить" друг с другом. Например, "граница" молекулы может состоять из континуума различных молекул из М[Б] и иметь достаточно сложное строение.

В виде следствия теории молекул в п. 6.3.8 показано, что если элемент феФ[Б] обладает максимальным представителем, то он обязательно тогда имеет и минимальный представитель.

В § 6.4 рассмотрено поведение 8-квазиизометрий на множестве М[Б] молекул области Б. Так как любая молекула определена только с помощью свойств, сохраняющихся при 5-квазиизометриях (например, полный брусок из Б может перейти при 5-квазиизометрии : Б —> в только в полный брусок области О), то имеет место следующий полный аналог теоремы Каратеодори о граничном соответствии для класса 5-квазиизометрических гомеоморфизмов.

Теорема 6.4.1. Любая 8-квазиизометрия : Б —> в областей Б,в из Я" всегда продолжается до гомеоморфизма

Р : БиМ[Б]->0иМ[0],:Р |Б = Г.

При этом любая область Б из Яп секвенциально предкомпактна в топологическом пространстве Б и М[Б], а пространство Б и М[Б] всегда ещё и хаусдор-фово.

Кроме того, при отображении Р полностью сохраняются все типы молекул из Б, определённых в

§ 6.3. Таким образом, если : Б —» в есть 5-квазиизо-метрия, то геометрия областей Б и £ (Б) = в, с точки зрения построенной нами теории предконцов, полностью совпадает друг с другом, то есть квазиизометрически эквивалентные области из Яп имеют совершенно одинаковое строение, множества М[Б] и М[в] их молекул идентичны друг другу.

Отметим в заключение, что на протяжении всей работы ко всем основным результатам работы были сделаны замечания о возможности распространения этих результатов на более общие случаи областей из линейно связных метрических пространств и поверхностей над областями из Яп, погружённых в п+1)-мерное пространство Я

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кармазин, Александр Петрович, 2000 год

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир. 1969. 134 с.

2. Асеев В.В. О метризации пространства областей с помощью коэффициентов искажения // В сб.: Групповые и метрические свойства отображений. Новосибирск: изд. Новосибирского ун-та. 1995. С. 97 104.

3. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М. Функциональные характеристики квазиизометрических отображений // Сиб. матем. журн. 1976. Т. 17, № 4. С. 768-773.

4. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М. Устранимость множеств для пространствквазиконформных и квазиизометрических отображений // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220, №4. С. 769-771.

5. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М. Критерий устранимости множеств для пространств Ьр, квазиконформных и квазиизометрических отображений // Сиб. матем. журн. 1977. Т. 18, № 1. С. 48 68.

6. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М. Метрическое пополнение области при помощи конформной ёмкости, инвариантное при квазиконформных отображениях // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 5. С. 1042 1044.

7. Иванов О.В., Суворов Г.Д. Полные решётки конформно-инвариантных ком-пактификаций области. Киев: Наукова думка. 1982. 200 с.

8. Зорич В.А. О соответствии границ при (^-квазиконформных отображениях шара // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 6. С. 1209 1212.

9. Зорич В.А. Граничные свойства одного класса отображений в пространстве // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 1.С. 23-26.

10. Зорич В.А. Определение граничных элементов посредством сечений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164, № 4. С. 736 739.

11. Луференко В.П., Суворов Г.Д. Семейства гомеоморфизмов, относительные метрики и теоремы Каратеодори // Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13, № 2. С. 368-393.

12. Кармазин А.П. Граничное поведение квазиизометрических отображений. Диссертация. Томск. 1982. 149 с.

13. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. М.: Мир. 1971. 312 с.

14. Копылов А.П. О богатстве класса квазиконформных отображений областей в трёхмерном пространстве Евклида // Докл. АН СССР. 1967. Т. 172, № 3. С. 527-528.

15. Крутиков В.И. Структура носителя простого конца пространственной области // Докл. АН УССР. Сер.А. 1987, № 3. С. 19 22.

16. Кругликов В.И., Пайков В.И. Ёмкости и простые концы пространственной области // Докл. АН УССР. Сер А. 1987, № 5. С. 10 13.

17. Куратовский К. Топология. В 2-х т. Т. 1. М.: Мир. 1966. 595 с. Т.2. М.: Мир. 1969. 624 с.

18. Латфуллин Т.Г. О существовании квазиизометрических отображений // Тюменский ун-т. 1982. Деп. в ВИНИТИ. № 3684-82. 4с.

19. Латфуллин Т.Г. О продолжении квазиизометрических отображений // Сиб. матем. журн. 1983. Т.24, № 4. С. 212 -216.

20. Латфуллин Т.Г. Критерий квазигиперболичности отображений // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, № 5. С. 610 615.

21. Миклюков В.М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60, № 4. С. 111-158.

22. Мышкис А.Д. К понятию границы // Мат. сб. 1949. Т.25 (67), № 3. С. 384-414.

23. Овчинников И.С. Простые концы одного класса пространственных областей //Вопр. геом. теории функций. Труды. Томск: изд. Томского ун-та. 1966. Т. 189, вып. 4. С. 96- 103.

24. Овчинников И.С. Об одном аналоге теоремы Линделёфа для пространственных областей // Метрич. вопросы теории функций и отображений. Киев: Наукова думка. 1968. Вып. 1. С. 184-201.

25. Суворов Г.Д. Семейства плоских топологических отображений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1965. 264 с.

26. Суворов Г.Д. Метрическая теория простых концов и граничные свойства плоских отображений с ограниченными интегралами Дирихле. Киев: Наукова думка. 1981. 166 с.

27. Суворов Г.Д. Обобщённый "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев: Наукова думка. 1985. 280 с.

28. Сычёв А.В. Пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: изд. Новосибирского ун-та. 1975. 99 с.

29. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М.: Наука. 1987.312 с.

30. Caratheodory С. Uber die Begrenzung einfach zucammenhander Gebiete // Math. Ann. 1913. V. 73. P. 323-370.

31. Freidenthal H. Enden und Primenden // Fund. Math. 1952. V. 39. P. 189 210.

32. Gehring F.W. Lipschits mappings and the p-Capacity of rings in n-space // Proc. Sympos. Pure Math. V. 20. Providens: Amer. Math. Sos. 1971. P. 175 195.

33. Jonh F. Rotation and strain // Comm. Pure and Applied Math. 1961. Y. 14. P. 391-413.

34. John F. On quasi-isometric mappings. 1 // Comm. Pure and Applied Math. 1968. V.21.P. 77-110.

35. John F. On quasi-isometric mappings. 2 // Comm. Pure and Applied Math. 1969. V. 22. P. 265-278.

36. Kaufmann B. Uber die Btrandung ebener und raumlicher Gebiete // Math. Ann. 1930. V. 103. P. 70-144.

37. Luukainen J, Vaisala J. Elements of Lipshits topology // Ann. Acad. Fenn. Ser. A. 1. Math. 1977. V. 3. P. 85 122.

38. Mazurkiewicz S. Uber die Definition der Primenden // Fund. Math. 1936. V. 26. P. 272 -279.

39. Mazurkiewicz S. Rechercher sur la theorie bacts premiers // Fund. Math. 1945. V. 33. P. 177-228.

40. Nakai M. Radon-Nicodim densities and Jacobians // Pacific J. of Math. 1972. V. 40, № 2. P. 375 396.

41. Nakki R. Boundary behavior of quasiconformal mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1. Math. 1970, № 484. P. 1 50.

42. Nakki R. Continuous boundary extensions of quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1. Math. 1972, № 511. P. 1 10.

43. Nakki R. Prime ends and quasiconformal mappings // J. d-analyse Math. 1979. V. 35. P. 13-40.

44. Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings. Berlin, Heidelberg, New York: Sprinder-Verlag. Ser. Lecture Nots in Mathematics. V. 229. 1971. 144 p.

45. Vaisala J. Piecerwise linear approximation of lipeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. l.Math. 1977. V. 3. P. 377-383.

46. Vuorinen M. Exteptional sets and boundary behavior of quasiconformal mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1. Math. Dissertations. 1976. P. 1 44.Работы автора по теме диссертации.

47. Кармазин А.П. О граничном поведении квазиизометрических отображений // Сиб. матем. журн. 1980. Т. 21, № 1. С. 82 85.

48. Кармазин А.П. О непрерывном продолжении квазиизометрических отображений на границу // Экстремальные задачи теории функций. Томск: изд. Томского ун-та. 1980. С. 52-61.

49. Кармазин А.П. Плоские квазиизометрии и простые концы // Экстремальные задачи теории функций. Томск: изд. Томского ун-та. 1983. С. 15-35.

50. Кармазин А.П. Простые концы и пространственные квазиизометрии // Экстремальные задачи теории функций. Томск: изд. Томского ун-та. 1985. С. 12-49.

51. Кармазин А.П. Граничное поведение 8-квазиизометрических отображений // Экстремальные задачи теории функций. Томск: изд. Томского ун-та. 1988. С. 23-51.

52. Кармазин А.П. К теории простых концов пространственных областей: общие вопросы // Томский ун-т. Деп. в ВИНИТИ. № 6678-В88. 1988. 49 с.

53. Кармазин А.П. Простые предконцы пространственных областей // Томский ун-т. Деп. в ВИНИТИ. № 2220-В92. 1992. 55 с.

54. Кармазин А.П. Теория предконцов пространственных областей: факторизация предконцов по их общему цоколю // Ред. Сиб. матем. журн. Деп. в ВИНИТИ. № 1102-В95. 1995. 60 с.

55. Кармазин А.П. Факторизация множества предконцов пространственных областей // Второй Сиб. Конгресс по Прикл. и Индуст-ной математике. Тез. докл. Новосибирск. 1996. С. 73.

56. Кармазин А.П. О соответствии по предконцам при 5-квазиизометрических отображениях // Сб. научных трудов. 2. Сургут: изд. Сургутского ун-та. 1997. С. 24-34.

57. Кармазин А.П. Основные теоремы теории предконцов пространственных областей // Ред. Сиб. матем. журн. Деп. в ВИНИТИ. № 23-В98. 1998. 112 с.

58. Кармазин А.П. Основные теоремы теории предконцов пространственных областей // Математические труды. Новосибирск: изд. ИМ СО РАН. 1998. Т.1, вып. 2. С. 79-110.

59. Кармазин А.П. Уточнение теоремы Линделёфа и другие применения теории предконцов // Матем. заметки. 1999. Т. 65, вып. 5. С. 787 790.

60. Кармазин А.П. Множество молекул пространственных областей // Третий Сиб. Конгресс по Прикл. и Индуст-ной математике. Тез. докл. Часть 1. Новосибирск. 1998. С. 73.

61. Кармазин А.П. О метрических структурах пространственных областей // Международная конференция по анализу и геометрии. Тез. докл. Новосибирск: изд. ИМ СО РАН. 1999. С. 35.

62. Кармазин А.П. Метрические структуры пространственных областей и граничное поведение квазиизометрий / Ред. Сиб. мат. журн. Деп. в ВИНИТИ. № 3244-В99. 1999. 74 с.

63. Karmazin А.Р. Basic theorem of the theory of pre-ends for space domains // Siberian Advances in Mathematics. 1999. Vol. 9. № 3. P. 86 114.