Квазиклассические методы в задачах взаимодействия атомных систем с лазерным излучением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Смирнова, Ольга Владимировна

• Смирнова, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнова, Ольга Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СТАБИЛИЗАЦИЯ АТОМА В СИЛЬНОМ ПОЛЕ И МЕТОД КРАМЕРСА-ХЕННЕБЕРГЕРА (КХ)

1.1 Обзор литературы: Адиабатическая стабилизация и метод КХ

1.1.1 Формализм КХ

1.1.2 Основные параметры

1.1.3 Классические модели: хаотическая динамика и стабилизация

1.1.4 Эксперимент по стабилизации

1.2 Конечная длительность фронта импульса: стабилизация КХ "адиабатическая" или "внезапная"?

1.3 Границы применимости метода КХ и пороги стабилизации.

1.3.1 Метод осреднения

1.3.2 Грашпщ применимости приближения КХ для существенно квантовых систем

1.3.3 Границы применимости приближения КХ для квазиклассических систем

1.3.3 Оценки по теореме Боголюбова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиклассические методы в задачах взаимодействия атомных систем с лазерным излучением»

В последнее время наиболее заметные сдвиги в экспериментальном исследовании взаимодействия атомных систем с электромагнитным полем произошли, во-первых, в связи с возможностью генерации импульсов

1 /Г А сверхвысокой интенсивности (10 Вт/см ) и сверхкороткой длительности (1014 с) и, во-вторых, в связи с возможностью получения и исследования свойств высоковозбужденных состояний атомов и молекул. Это привело к обнаружению ряда новых эффектов (например, надпороговая ионизация атомов [1], диффузионная ионизация [2-4], генерация гармоник высокого порядка на атомах, молекулах, ионах [5], стабилизация [6-8]) и закономерностей (например, вигнеровская статистика спектров высоковозбуждённых состояний атомов и молекул [9], динамическая локализация [3,10]). В теории освоение новых областей параметров поля (сверхвысоких шлей) и системы (высоковозбуждённых состояний) потребовало привлечения новых методов описания динамики атомных систем (например, метод Крамерса-Хеннебергера (КХ) [7,8], методы теории квантового и классического хаоса [2,9,11].) Широкое использование классических моделей атомных и молекулярных систем, часто обладающих хаотическим движением, стимулировало вопрос о корректной формулировке и применимости принципа соответствия.

С учётом перечисленных обстоятельств большой интерес представляет развитие квантово-классической аналогии с целью обогащения аппарата квантовой механики хорошо разработанными методами классической механики для решения квантовомеханических задач в квазиклассической области. В рамках этой программы в данной работе квазиклассические методы использованы для 5

• установления границ применимости метода КХ, позволяющего оценить область параметров поля, в которой может наблюдаться эффект адиабатической стабилизации;

• построения высших поправок к приближению КХ;

• построения выражения для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости, пригодного для вычисления отклика хаотических систем.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Установлена формальная аналогия метода Крамерса-Хеннебергера и классического метода осреднения. На основе формальной аналогии метода КХ и метода осреднения определены границы применимости метода КХ и получен явный вид эффективного потенциала, описывающего квадратичный штарковский сдвиг невырожденного уровня в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до ш6 включительно. Показано, что эффективный потенциал, полученный в рамках квантового рассмотрения, совпадает с классическим, ранее установленным (Карапетян, 1999) в рамках метода Капицы.

2. В широком диапазоне значений параметров поля и системы определены области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области вдзкйх частот не зависит от интенсивности. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

3. Построен квазиклассический предел квадратичной восприимчивости, пригодный для вычисления отклика микроканонического ансамбля хаотических систем.

4. Для построения квазиклассического предела квадратичной восприимчивости предложен основанный на соотношениях симметрии и прави6 лах сумм метод й- разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода, реализованный до членов порядка Н2 включительно.

5. Показано, что члены второго порядка по /г в Й- разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости.

На защиту выносятся следующие положения.

1. В условиях справедливости дипольного приближения приближение КХ является асимптотически точным в пределе сверхатомных полей при больших значениях параметра Риса.

2. Эффект адиабатической стабилизации существует в области низких частот. Порог эффекта адиабатической стабилизации в этой области степи не зависит от интенсивности поля.

3. Гамильтониан КХ допускает представление в виде асимптотического ряда по параметрам, контролирующим применимость приближения КХ. Учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру 8Ю, где 8Ю - отношение характерной атомной частоты к частоте поля ш, в случае 8 »1, где 5 - отношение характерного размера атома к амплитуде осцилляций свободного электрона в поле волны, определяет модифицированный потенциал КХ, положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного пггарков-ского сдвига невырожденных уровней в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до ю"6 включительно.

4. Квазиклассический предел квадратичной восприимчивости может быть выражен через классические характеристики движения и использован для вычисления отклика хаотических систем. 7

5. Члены второго порядка по Н в Й - разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости.

Работа имеет следующую структуру.

• В главе 1 рассмотрены особенности эффекта адиабатической стабилизации. Обсуждаются эффекты, связанные с включением поля. Определяются границы применимости приближения КХ для существенно квантовых и квазиклассических систем на основе формальной аналогии с классическим методом осреднения, четкие границы применимости которого устанавливает теорема Боголюбова. Результаты сопоставляются с данными численных и лабораторных экспериментов и с ранее полученными условиями применимости приближения ЮС. В широком диапазоне значений поля и системы определяются области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области низких частот не зависит от интенсивности поля. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

• В главе 2 рассмотрена задача о построении высших поправок к приближению КХ. Показано, что в случае поля линейной поляризации учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру ей = {р./со) , П = а - характерные параметры потенциала) при 8 »1 определяет модифицированный потенциал КХ, положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного пггарковского сдвига невырожденных уровней в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до о-6 включительно.

• В главе 3 рассматривается квазиклассический предел % -> 0 квадратичной восприимчивости автономных гамильтоновых систем к гармо8 нически зависящему от времени внешнему полю. Для вычисления предела предложен основанный на соотношениях: симметрии и правилах сумм метод %- разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода, реализованный до членов порядка ft2 включительно. Квазиклассический предел квадратичной восприимчивости выражен через классические характеристики движения и пригоден для определения отклика хаотических систем.

• В разделе заключение сформулированы основные выводы. Расширенная формулировка выводов содержится в последнем разделе каждой главы.

• Общий объём диссертации составляет 101 страницу, включая 9 рисунков и список литературы из 125 наименований.

Результаты работы сопоставляются с данными компьютерных экспериментов, любезно предоставленных автору сотрудником ОМЭ НИИЯФ

МГУ к.ф.м.н. Е. А. Волковой.

Результаты работы доложены на

• конференции SILAPIV (Super-Intense Laser-Atom Physics), Россия, 1995;

• конференции ICONO XVI (International Conference on Coherent and Nonlinear Optics), Москва, Россия, 1998;

• конференции ФЛС-XVI (Фундаментальная атомная спектроскопия), Звенигород, Россия, 1998;

• научной сессии МИФИ-2000, Москва, Россия, 2000,

• семинаре "Многофотонные процессы" ИОФРАН.

• семинаре ОМЭ НИИЯФ МГУ.

По материалам диссертации опубликованы статьи [31, 34, 39, 40, 59, 124,

125] 9

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Смирнова, Ольга Владимировна

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Границы применимости метода Крамерса-Хеннебергера (КХ) определены для квантовых (при больших значениях параметра Риса) и квазиклассических систем на основе формальной аналогии этого метода с классическим методом осреднения, В рамках единого подхода показано, что в условиях справедливости дипольного приближения приближение КХ является асимптотически точным в пределе Сверхатомных полей при больших значениях параметра Риса и в пределе высоких частот.

2. В широком диапазоне значений поля и системы определены области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области низких частот не зависит от интенсивности. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

3. Предложен метод построения высших поправок к приближению КХ, Показано, что учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру ею, где еа - отношение характерной атомной частоты к частоте поля са, в случае 6 »1, где 5 - отношение характерного размера атома к амплитуде осцилляций свободного электрона в поле волны, определяет модифицированный потенциал КХ, положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного штарковского сдвига невырожденных уровней в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до ш-6 включительно. Предложенный метод также позволяет вычислять сдвиги уровней или поляризуемости потенциала КХ в сверхатомных полях в случае <5 «1.

80

4. Квазиклассический предел квадратичной восприимчивости выражен через классические характеристики движения и пригоден для определения отклика хаотических систем.

5. Для вычисления квазиклассического предела квадратичной восприимчивости предложен основанный на соотношениях симметрии и правилах сумм метод Н - разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода, реализованный до членов порядка Н2 включительно. Показано, что члены второго порядка по Й в Й- разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости.

81

Автор выражает глубокую благодарность А. М. Попову за то, что он обратил его внимание па интересный и допускающий дальнейшее развитие метод Крамерса-Хеннебергера, указал на отсутствие ясности в вопросе о границах применимости этого метода, за огромную поддержку и постоянное внимание к работе, О. В. Тихоновой за плодотворное сотрудничество и полезные обсуждения, Е. А. Волковой за предоставленную возможность сопоставить результаты аналитических оценок с численным экспериментом. Автор также благодарит П. В. Елютина за постановку задачи о квадратичной восприимчивости квазиклассических систем, многочисленные консультации и критические замечания, участников семинара по многофотонным процессам института общей физики РАН за многочисленные полезные обсуждения. Автор выражает глубокую признательность Д. Н. Трубникову, предоставившему возможность завершить написание диссертации по этой теме.

83

Рис.2. Положение основного и первого возбуждённого состояний в потенциале КХ в зависимости от интенсивности излучения (модельный потенциал: прямоугольная потенциальная яма У0- 5 эВ, а =0.1 нм, частота кванта поля Йю =2.5 эВ).

84

Рис.3. Пространственные распределения плотности вероятности в стационарных состояниях 1,2,3,4,5 КХ потенциала для интенсивности излу

16 2 чения Р = 10 Вт/см (модельный потенциал: прямоугольная потенциальная яма ¥0= 5 эВ, а = 0.1 нм, частота кванта поля Но = 2.5 эВ).

86 о 10 20 за 40 г, фс

Рис.5. Временная динамика заселения трёх нижних состояний КХ-потенциала при изменении электрического поля по формуле (1.5) для tj■=6Г (а) и *у=14Г(б). Интенсивность излучения Р = 1016 Вт/см2. модельный потенциал: прямоугольная потенциальная яма Ув = 5 эВ, а =0:1 нм, частота кванта поля Йо> =2.5 эВ).

87

88

Рис. 7. Область параметров поля (ограничена жирными линиями), в которой справедливо приближение Крамерса-Хеннебергера в квантовом случае В~ 1 (Р0 = 2.5эВ, а - 0.1нм). Звёздочками отмечены значения параметров поля (й© = 2.5эВ, Р = 3 -1015,1016Вт/см 2), при которых наблюдалась стабилизация в численных экспериментах [31]. Обозначения: 1- условие отсутствия релятивистского дрейфа К0/я = , 2 - условие £ = I (К0/а = F), 3 - условие В = 1, 4 - условие ¿' = 1,5- условие со = €1,6- условие Гаврилы-Каминского Еш/Н& = 1.

90

Рис, 9, Границы применимости метода Крамерса-Хеннебергера в квазиклассическом случае В »1 (У0 = 0.54эВ, а = 1.25нм). Звёздочкой отмечены параметры поля (Иа> = 2 эВ, Р = 1014Вт/см2), при которых наблюдалась стабилизация в эксперименте [17].

Буквами БР обозначена область (ограничена прямыми 1,2,3,4) параметров поля, в которой приближение КХ применимо в пределе сильных полей (F»F0/a). Буквами Ш7 обозначена область (ограничена прямыми 1,2) параметров поля, в которой приближение КХ применимо в пределе высоких частот (со » П).

Другие обозначения: 1- условие со-О. (е = 1 для НБ), 2 - условие отсутствия релятивистского дрейфа У0/а = , 3 - условие (■£ = 1 для ББ), 4 - условие ¿> = 1,5- условие = 1.

91

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнова, Ольга Владимировна, 2000 год

1. Н. Б. Делоне, М. В. Фёдоров Многофотонная ионизация атомов: новые эффекты / / УФН, 1989,158(2), 215-253

2. G. Casati, В. V. Chiricov, D. L. Shepelyansky, I. Guarneri Relevance of classical chaos in quantum mechanics: hydrogen atom in monochromatic field / / Phys. Rep., 1987, 154(2), 78-123

3. R. V. Jensen, S. M. Susskind, M. M. Sanders Chaotic ionization of highly excited hydrogen atoms: comparison of quantum and classical theory with experiment //Phys. Rep., 1991,201(4), 1-56

4. H. Б. Делоне, В. П. Крайнев, Д. Л. Шепелянский Высоковозбужденный атом в электромагнитном поле / / УФН, 1983,140(3), 355-392

5. В. Т. Платоненко, В. В. Стрелков Генерация гармоник высокого порядка в поле интенсивного лазерого излучения / / Квантовая электроника, 1998, 25(7), 582-600

6. М.В. Федоров, Электрой в сильном световом поле, М.: Наука, 199L

7. К. Burnnett, V. С. Reed and P. L. Knight Atoms in ultra-intense laser fields // J. Phys. B, 1993, 26, 561-598

8. Н.Б. Делоне, В.П. Крайнов Стабилизация атома в поле лазерного излучения // УФН, 1995,165(11), 1295-1321

9. П. В. Елютин Проблема квантового хаоса / / УФН, 1988,155(3), 397442

10. G. Casati, I. Guarneri, D. L. Shepelyansky Hydrogen atom in monochromatic field: chaos and dynamical photonic localization / / IEEE J. Quantum Electronics, 1988, 24(7), 1420-1444

11. А. Лихтенберг, M Либерман Регулярная и стохастическая динамика, М.: Мир, 1984.92

12. H. A. Kramers, Les Particles Elémentaires, Report to the Eighth Solvay Conference, Brussels: Editions Stoops (1950).

13. W. C. Henneberger, Perturbation method for atoms in intense laser field / / Phys.Rev.Lett.,1968, 21(12), 838-841

14. M. Pont, N. R. Walet, M. Gavrila, C. W. McCrudy Dihotomy of hydogen atom in superintense, high-frequency laser fields / / Phys. Rev. Lett., 1988, 61(8), 939-942

15. M. Pont and M. Gavrila Stabilization of atomic hydrogen in superintense, high-frequency laser fields of circular polarization / / Phys. Rev. Lett, 1990, 65(19), 2362-2365

16. M. P. de Boer, J. H. Hoogenraad, R. B. Vrijen et al. Adiabatic stabilization against ionization: an experimental study / / Phys. Rev. A, 1994, 50(5), 4085-4098

17. N. J. van Druten, R. S. Constantinescu, J. M. Schins et al. Adiabatic stabilization: observation of the surviving population / / Phys. Rev. A, 1997, 55(1), 622-629

18. M. Pont, M. Gavrila The levels of atomic hydrogen in intense, high-frequency, laser fields // Phys. Lett. A, 1987,123(9), 469-474

19. M. Pont Atomic distortion and ac-Starc shifts of H under extreme radiation conditions / / Phys. Rev. A, 1989, 40(10), 5659-5672

20. M. Pont, N. R. Walet, M. Gavrila Radiative distortion of the hydrogen atom in superintense, high-frequency fields of linear polarization / / Phys. Rev. A, 1990, 41(1), 477-494

21. Q. Su, J. H. Eberly Suppression of ionization and atomic electron localization by short, intense laser pulses / / Phys. Rev. A, 1991,43(5), 2474-247993

22. К. С. Kulander, К. J. Shafer, J. L. Krause Dynamic stabilization of hydrogen in an intense high-frequency, pulsed laser field / / Phys. Rev. Lett., 1991,66(20), 2601-2604

23. R. Grobe, M. V. Fedorov Packet spreading, stabilization, and localization in superstrong fields / / Phys. Rev. Lett., 1992,20(17), 2592-2595

24. E.A. Волкова, A.M. Попов Стабилизация отрицательных ионов в сверхсильных световых полях / / ЖЭТФ, 1994,105(3), 592-600

25. Е.А. Волкова, A.M. Попов, О.В. Тихонова Исследование структуры энергетического спектра в системе "атом + сильное внешнее электромагнитное поле" и ЖЭТФ, 1996,109(5), 1586-1598

26. R. J. Vos, М. Gavrila Effective stabilization of Rydberg states at current laser performances // Phys. Rev. Lett., 1992,68(2), 170-173

27. M. Gavrila and J. Z. Kaminski Free-free tranzitions in intense high-frequency laser field / / Phys. Rev. Lett, 1984,52(8), 613-616

28. J. I. Gersten and M. N. Mittleman The shift of atomic states by laser field / / J. Phys. B, 1976, 9(15), 2561-2572

29. A. M. Popov, O.V. Tikhonova and E. A. Volkova Hydrogen atom in a strong laser field / / Laser Phys., 2000,10(1) (в печати)

30. H. Б. Делоне, В. П. Крайнов, Атом в сильном световом поле, М.: Энергоатомиздат, 1984

31. Е.А. Волкова, А.М. Попов, О.В. Смирнова Стабилизация атомов в сильном поле и приближение Крамерса Хеннебергера / / ЖЭТФ, 1994,106(5), 1360-1372

32. М. Pont, R. Shakeshaft Observability of atomic stabilization in an intense short pulse of radiation // Phys. Rev. A, 1991, 44(7), R4110-411394

33. R.M. Potvliege, P.H.G. Smith Adiabatic stabilization of excited states of H in an intense linearly polarized laser field /1 Phys. Rev. A, 1993, 48(1), R46-R49

34. E.A. Волкова, A.M. Попов, O.B. Смирнова, О.В. Тихонова Возникновение режима стабилизации в сильном лазерном поле и приближение Крамерса-Хеннебергера // ЖЭТФ, 1997,111(4), 1194-1206

35. R. Bhatt, В. Piraux, К Burnett Potential scattering of electrons in the presence of intense laser fields using KH transformation / / Phys. Rev. A, 1988, 37(1), 98-105

36. J. van de Ree, J. Z. Kaminski, M. Gavrila Modified Coulomb scattering in intense, high-frequency laser fields Phys. Rev. A, 1988, 37(11), 4536-4539

37. I. Rabadan, L. Mendez, A. S. Dickinson Elctron scattering in a Yukawa potential in the presence of a high-frequency laser field I I J. Phys. B, 1994, 27(10), 2089-2102

38. M. Gavrila, M. J. Offerhaus, J. Z. Kaminski Elastic scattering from a Yukawa potential in intense, high-frequency laser fields / / Phys. Lett. A, 1986,118(7), 331-335

39. E. A. Volkova, A. M. Popov, and О. V. Smirnova Numerical simulation of electron scattering in a superatomic laser field / / Laser Phys., 1995, 5(4), 883-887

40. E.A. Волкова, A.M. Попов, O.B. Смирнова. Вынужденный тормозной эффект в сверхатомном лазерном поле // ЖЭТФ, 1996,109, 138-150

41. J. Grochmalicki, М. Lewenstein, К. Rzazewski Stabilization of atoms in superintense laser fields: is it real? / / Phys. Rev. Lett., 1991, 66(8), 10381041

42. R. Grobe, С. K. Law Stabilization in superintense fields: a classical interpretation / / Phys. Rev. A, 1991, 44(7), R4U4- R411795

43. В. Sundaram, R. V. Jensen "Scarring" and suppression of ionization in very intense radiation fields / / Phys. Rev. A, 1993, 47(2), 1415-1430

44. F. Benvenuto, G. Casati, D. L. Shepelyansky Classical stabilization of the hydrogen atom in a monochromatic field / / Phys. Rev. A, 1993, 47(2), R786-R789

45. G. Casati, I. Guarneri, G. Mantica Classical stabilization of periodically kicked hydrogen atom / / Phys. Rev. A, 1994, 50(6), 5018-5024

46. R. V. Karapetyan Motion of an atomic electron in a strong laser field / / Laser Phys., 2000,10, (в печати)

47. К. A. H. van Leeuwen, G. van Oppen, S. Renwick, et ai Microvave ionization of hydrogen atoms: experiment versus classical dynamics / / Phys. Rev. Lett, 1985,55(21), 2231-2238

48. J. Grochmaiicki, J. Mostovski, M. Trippenbach Above-threshold ionization of classical atom / / J. Phys. B, 1976,21(9), 1673-1680

49. A. JT. Нефёдов Стабилизация классического атома в сильном переменном поле // ЖЭТФ, 1991,100(3), 803-813

50. J. I. Gersten and М. N. Mittieman Atomic transitions in ultrastrong laser fields / / Phys. Rev. A, 1974,10(1), 74-80

51. С. K. Choi, W. C. Henneberger, F. C. Sanders Intensity dependent ionization potential for H and He in intense laser beams / / Phys. Rev. A, 1974, 9(5), 1895-1897

52. M. В. Федоров, A. M. Мовсесян Интерференционные явления в процессах типа фотоионизации группы когерентно-заселенных ридберговских уровней //ЖЭТФ, 1988,94(3), 51-65

53. J. Н. Hoogenraad, R. В. Vrijen, D. L. Noordam Ionization suppression of Rydberg atoms by short laser pulses / / Phys. Rev. A, 1974, 50(5), 4133413896

54. А. М. Popov, О. V. Tikhonova and Е. A. Volkova Ionization of circular hydrogen-like atomic states in a laser field: comparison of the results of computer simulations and experimental data / / Laser Phys., 1999, 9(5), 1053-1059

55. H. H. Боголюбов, Ю. А. Митропольский Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М.: Наука, 1974

56. А. X. Найфе Методы возмущений, М.: Мир, 1988

57. В. Ф. Журавлёв, Д. М. Климов Прикладные методы в теории колебаний, М.: Наука, 1988

58. А. М. Popov, О. V. Tikhonova and Е. A. Volkova Applicability of the Kramers-Henneberger approximation in the theory of strong-field ionization // J. Phys. B, 1999, 32(15), 3331-3345

59. П. В. Елютин, О. В. Смирнова О квазиклассическом пределе квадратичной восприимчивости / / ТМФ, 1999,119(1), 93-104

60. P. V. Elyutin Classical susceptibilities of chaotic systems / / Phys. Lett. A, 1997, 233(3), 175-180

61. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц Механика М.:Наука, 1988f>

62. Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц Статистическая физика М.: Наука, 1989

63. П. В. Елютин, частное обсуждение

64. А.А. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo Quadratic Stare effect and dipole dynamic polarizabilities of hydrogen-like levels / / Laser Phys., 1997, 7(3), 781-796

65. H. Бломберген Нелинейная оптика, M.: Мир, 1965

66. R. E. Smalley, L. Wharton, D. H. Levy The fluorescence excitation spectrum of rotationally cooled N02 / / J. Chem. Phys. 1975,63,4977-498997

67. H. Koppel, L. S. Cederbaum, W. Domcke Strong nonadiabatic effects and conical intersections in molecular spectroscopy and unimolecular decay: C2#4+ // J. Chem. Phys. 1982, 77(4), 2014-2022

68. E. Haller, H. Koppel, L. S. Cederbaum On the statistical behavior of molecular vibronic energy levels // Chem. Phys. Lett., 1983,101(3), 215-220

69. E. Haller, H. Koppel, L. S. Cederbaum Uncovering the transition from regularity to irregularity in a quantum system / / Phys. Rev. Lett, 1984, 52(12), 1665-1667

70. G. Wunner, U. Woelk, I. Zech Rydberg atoms in uniform magnetic fields: uncivering the transition from regularity to irregularity in a quantum system //Phys. Rev. Lett, 1984, 57(26), 3261-3264

71. I. S. Percival, D. Richards Classical collisions and the correspondence principle / / J. Phys. B, 1970,3, 315-327

72. S. Percival, D. Richards A correspondence principle for strongly coupled states // J. Phys. B, 1970,3,1035-1046

73. Клышко Д.Н. Физические основы квантовой электроники. М.:Наука, 1986

74. P. F. Naccache Matrix elements and correspondence principles / / J. Phys. B, 1972,5,1308-1319

75. H. Б. Делоне, В. П. Крайнов Динамическая поляризуемость высоковозбуждённых водородоподобных состояний / / ЖЭТФ, 1982, 83(6), 2021-2026

76. А. В. Талонов, М. И. Петелин, В. К. Юлпатов Индуцированное возбуждение классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электронике // Изв. ВУЗ'ов Радиофизика, 1967,10(9-10), 1414 -145398

77. Э. С. Медведев Формула Ландау-Лившица и принцип соответствиядля квазиклассических матричных элементов / / ТМФ, 1992, 90(2),218.225

78. Физический Энциклопедический Словарь. /Гл. ред.: Б.А. Введенский, Б.М. Вул. Т. 4. М.: Сов. энциклопедия, 1965

79. Квантовая механика. Терминология. (Сборники рекомендуемых терминов; вып. 104). Отв. ред. Н. П. Клепиков М.: Наука, 1985

80. Физическая энциклопедия. /Гл. ред. A.M. Прохоров; т. 4., с. 599. М.: Научн. изд-во "Большая Российская Энциклопедия", 1994

81. А. Б. Мигдал Качественные методы в квантовой теории М.: Наука, 1975

82. Мае лов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики М.: Наука, 1976.

83. В. П. Маслов Асимптотика собственных значений для уравнения Шредингера в одномерном и радиально симметричном случае / / УМН, 1960,15,4(94), 220-221.

84. М. В. Федорюк Асимптотика дискретного спектра оператора w"(x)-k2p(x)w(x) Матем. сб., 1965,68(110): 1, 81-110.

85. J. L. Dunham The Wentzel- Brillouin-Kramers method of solving the wave equation / / Phys. Rev., 1932, 41(6), 713-720

86. P.N. Argyres The Bohr Zommerfeld quantization rule and the Weyl cor-respondense / / Physics, 1965,2(3), 131-139

87. R.N. Kesarvani, Y.P. Varshni Five term WKBJ - approximation / / J. Math. Phys, 1980,21(1), 90-92

88. С. M. Bender, K. Olaussen, P. S. Wang Numerological analysis of the WKB approximation in large order / / Phys. Rev. D, 1977, 16(6), 1740174899

89. А. Эйнштейн Собрание научных трудов, т.З, с.407, М.: Наука, 1966

90. Langmuir The structure of the helium atom / / Phys. Rev., 1921,17(3), 339-353о

91. JI. Д. Ландау, Е. M. Лш&ииц Квантовая механика. Нерелятивистская теория, М.: Наука, 1989

92. J. J. Morehead Semiclassical integrable matrix elements Phys. Rev. A, 1996,53(3), 1285-1294

93. Г. Вейль Квантовая механика и теория групп М.: Наука, 1986

94. С. П. Гореславский, Н. Б. Делоне, В. П. Крайнов Вероятности радиационных переходов между высоковозбуждёнными атомными состояниями // ЖЭТФ, 1982, 82(6), 1789-1796

95. M. G. Gutzwiller Periodic orbits and classical quantization conditions / / J.Math.Phys, 1971,12(3), 343-358

96. A. Yoros Unstable periodic orbits and semiclassical quantization / / J.Phys. A, 1988,21(3), 685-692

97. D. Wintgen Semiclassical path-integral quantization of nonintegrable hamiltonian systems // Phys. Rev. Lett, 1988,61(16), 1803-1806

98. M. G. Gutzwiller The quantization of a classically ergodic system / / Physica D, 1982,5(2-3), 183-207

99. Ф. Дайсон Статистическая теория энергетических уровней сложных систем М.: Иностранная литература, 1963

100. С. Смейл Дифференцируемые динамические системы / / УМН, 1970,25(1), 113-185101. 3. Нитецки Введение в дифференциальную динамику М.: Мир, 1975

101. S. Tomsovic, Е. J. Heller Semiclassical construction of chaotic eigenstates // Phys. Rev. Lett, 1993, 70(10), 1405-1412100

102. S. Tomsovic, E. J. Heller Long-time semiclassicai dynamics of chaos: the stadium billiard // Phys. Rev. E, 1993, 70(1), 282-299

103. W. McDonald, A. N. Kaufman Spectrum and egenfunctions for a hamil-tonian with stochastic trajectories If Phys. Rev. Lett, 1979, 42(18), 11891191

104. E. J. Heller Bound-state egenfanctions of classically chaotic hamiltonian systems: scars of periodic orbits / / Phys. Rev. Lett, 1984, 53(16), 15151518

105. Г. M. Заславский Стохастичность динамических систем М.: Наука, 1984

106. М. Feingold, A. Peres Distribution of matrix elements of chaotic systems 11 Phys. Rev. A, 1986, 34(1), 591-595

107. M. Wilkinson A semiclassicai sum rule for matrix elements of classically chaotic systems / / J. Phys. A, 1987, 20(9), 2415-2423

108. P. V. Elyutin, J. Shan Susceptibility of chaotic systems to perturbations / / Phys. Rev. Lett, 1996, 77(25), 5043-5045

109. G. P. Berman, G. M. Zaslavsky Condition of stochasticity in quantum system // Physica A, 1978, 91(4-5), 450-460

110. G. M. Zaslavsky Stochasticity in quantum systems / / Phys. Rep., 1981, 80(3), 157-250

111. G. Casati, В. V. Chirikov, О. V. Zhirov Existence о a long time scale in quantum chaos / / Phys. Rev. E, 1997, 55(6), 7757-7758101

112. W. H. Zurek Pointer basis of quantum apparatus: into what mixsture does the wave packet collapse? // Phys. Rev. D, 1981,24(6), 1516-1525

113. W. H. Zurek, J. P. Paz Decoherence, chaos and the second law / / Phys. Rev. Lett, 1994, 72(16), 2508-2511

114. A. R. Kolovsky Condition of correspondence between quantum and classical dynamics for a chaotic system / / Phys. Rev. Lett, 1996, 76(3), 340343

115. В. И. Татарский Вигнеровское представление квантовой механики / / УФН, 1983,139(4), 578-619

116. А. С. Давыдов Квантовая механика М.: Наука, 1973

117. Г. А. Бете Квантовая механика М.: Мир, 1965

118. S. Scandolo, F. Bassani Kramers-Kronig relations and sum rules for the second harmonic susceptibility // Phys. Rev. B, 1995, 51(11), 6925-6927.

119. M. Bianucci, R. Mannela, B. J. West, P. Grigolini Chaos and linear response: analysis of the short, intermediate and long-time regime / / Phys. Rev. E, 1994, 50(4), 2630-2638

120. Sh. Mukamel, V. Khidekel, V. Chemyak Classical chaos and fluctuation-dissipation relations for nonlinear response // Phys. Rev. E, 1996, 53(1A), R1-R4

121. В. П. Mac лов Асимптотические методы и теория возмущений М.: Наука, 1988.

122. O.V. Smirnova Applicability Boundaries of the Kramers-Henneberger Approximation in the Quasi-Classical Region / / Laser Physycs, 2000, 10(2).

123. О. В. Смирнова О применимости приближения Крамерса-Хеннебергера // ЖЭТФ, 2000,117(4), 702-709