Линейные группы над телами, содержащие подгруппы квадратичных унипотентных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Башкиров, Евгений Леонидович

• Башкиров, Евгений Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Башкиров, Евгений Леонидович

Список основных нестандартных обозначений, используемых в диссертации

Введение

1 Обзор литературы

2 Неприводимые линейные группы над некоммутативными телами

2.1 Обозначения. Некоторые с воис гва неприводимых пинейных групп . . . . '

2.2 Линейные группы над пеком м,\ шинными ie ыми, содержащие специа ii)iiyio линейную I рмш>

2.3 Линейные группы над те юм кватернионов, (одержащие i руппу

Тп над пекомм\ мшвным поди1 юм

3 Подгруппы полной линейной группы над телом кватернионов, содержащие классическую подгруппу над подиолем

3.1 Линейные группы над kviom кватернионов, содержащие сиециа 1ьную унитарную группу

3.2 ,Чиненные группы степени 1 над ie юм кватернионов, содержащие сиециа 1ьную з ни гарную группу индекса

3.3 Линейные группы с гепепи 1 над и1 юм кватернионов, содержащие специа 1ьн\ю уни iapn\ ю i р\ пн\ индекса

3.1 Группы У'(2) как под1 р\ ппы i р\ nin>i Spm

3.5 Линейные группы над гечом кватернионов, содержащие еи.мпчектическ} ю I руппу.

4 Линейные группы над телом кватернионов, содержащие корневую подгруппу

4.1 Линейные i рупиы с гепени п над ге юм кватернионов, содержащие4 {п — 1)-мерпую под! руппу

4.2 Подгруппы потной .пшенной группы иенени 4 над гелом квагергиюпов, содержащие под1 руину diag(T3(A', Фу), 1) • • •

4.3 Линейные группы с lenenn п над ie юм кватернионов, содержащие п — 2)-мерную под1 р) пиу.1()G

1.4 Неприводимые и нпоше приводимые шпейиые группы над телом кватернионов, содержащие корневую подгрупп)

5 Некоторые линейные группы над полями, содержащие квадратичные унипотентные элементы вычета два

5.1 Линейные i р\ ппы над по ie\i, по1)()/КД(чнп>1е дв\ мя д шнными корневыми нодг р\ ппами

5.2 Линейные группы, содержащие под1р\пп) Qu opiогонатьной группы индекса бспыпе 1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные группы над телами, содержащие подгруппы квадратичных унипотентных элементов»

Актуальность темы диссертации. Теория пшенных i рупп ян шок я одним in о( ионных паправ кмшй н (овременной апебре, чрезвычайно обширным, ишенсивпо ра лишающим* я и имеющем мноючис юнные ючки соприкосновения с раличными j)a мелями как ма1емагики. 1ак и спепвознания н це юм. Сердцевину зюй :еории состав 1жм изучение подгруппового строения линейных ipynn над ассоциативными кочьцами разчичной с гепени общноыи. Возникнув в XIX веке как час тая задача о конечных матричных ip>imax, исходящая из потребное юй кюрии Tai\a, пробчема описания и классификации подгрупп в заданных линейных Iруппах, пройдя через многие Э1лпы своего сынов 1ения и развшия, нреврагичаеь в обширную ветвь матемашчес кого знания, об ыдлкищ ю своим собственным яичком и пробчемлшкой Ее iec тенно, чю получение описания всех мыечимых чинейных i j>\1111 над рлзшчнымп кочьцами ма юверояino, и поюму постановка проб 1емы в такой чрезвычайно ШИ1ЮК0Й общнопи представ шегся совершенно непрод\мивной. В связи с 91им дчя получения с ущес i веянных рез\ платов па изучаемые мафичные 1р)нпы и на асс оциаптпые ко п.ца, над коюрыми -ни ip>niibi опродо. ieiiFii, приходи к я naiaiaib разчичные \с ювня, харям еризующие эти группы и ко шца с разчичных сюрон. Начожение 1аких ограничений приводит к расщеплению иредмеча изучения под1 pviinoBOiо строения на множесчво разделов и огветв 1ений, юсио между собой перепчекчшых и в заимодейс i вующпх.

Одним из наибо iee важных обе юяк1 и>с из, с нос обе i вовавших с ыиовчеиию и ра зви i ию > чения о под1 р\ пповом с i роении шжч'шых групп, явичось обнаружение юю фама, чю -но с iрсхмик^ в значите пшой мс^рс^ определяемся некоюрыми лемечпами сиециа пшою вида, содержащимися в рлеечкириваемых ij)Minax Первым примером подобного рода бычо, вероятно, осознание значения на шчия и])ос1ейших унипо1ентных элементов (фансвекций), в ночной чиненной ipyniie конечной с юпени над почем при описании норма п>ных дешкмей ж)й iруптл (ieope\ia Жордана-Диксопа). Указанное выше обе юяк1 же изо cihm\ шрова ю ак1ивные поиски в мафичных группах iex млфиц, кснорые в той и ш иной счепени енвечегвенны за с iроение yinx групп. С Д1)уюй стороны, наличие в некоюрых важш>1х (в юм числе и дчя при южений) и нредсыв 1яющих ингерсч-дчя исечедований линейных iрупиях )чеменк)в, определяющих свойспзл и с rj)oeiine )inx 1рмш, еекчпзенно приводиi к rioc 1лиовке до некоюроп с кчкчш o6iwnioii iij)of) юмы к iacc пфнкацни линейных грмш, кою|)Ысм одержлi -эiи -мемешы и ш ими порождаю кя.

Данная пробчема очень трудна, и рсч\лыагы. идущие в нанрав кчши ее решения, помечены точько ири весьма ма ioii общности рассматриваемых 11>>пп и эчеметпов. Ишестно, что мнение напбочее важные .пшенные ipyinibi (например, к час с ические) порождаются содержащимися в них унинокчппыми •) к'ментамп Псжом\ Kiacc шнейных групп, содержащих и in порожденных с\ нигкшч-пными )1ем(чпами. особенно шиересеп и нуждаен'я в и зучении. Этсп к час с, а 1акже i р> ппы Шевачче, по1)ожденные ратчичными содержащимися в них подтипами унипотенпгых -пеменюв, привчекали к себе в течение дшкчьною времени внимание многих авюров (см., например, [19], [21], |43], [50], [87], [91], [106]-[108], [120], [145], [163], [166], [183], [190], [192], [229], [230], [237]) Однако резу штаты этих и др>ч их работ, посвященных эти 1ема]ике. бычи иочучены при весьма жестких ограничениях Поэтому о чиненных группах, содержащих некоторую фиксированною группу унипогешпых матриц известно в общем счучае сравнительно немного, и кроме юг о, okjk ib\(4 связное и нос чедоватечыюе из южеиие данного предмета 9шм данное1 наирав кчше геории .шнейн1)1\ i j>\ 1111 огличасчся or нанрав гения, рас с магривающег о линейные iр\ппыт которые содержат иодгрмшы, сосюящие тошко из но гуирос П)1х немеиюв, где за носчедние 30 чет трэдами 3 II Боревича и его носледоваге гей Н. А Вавилова, В. А. Койбаева, Е. В. Дыбковой и др. бы га рачрабогана г цбокая и весьма развечв генная геория чиненных групп, содержащих подгрупп} диатопачьпых матриц. Именно в сиг\ этого обстоите гьства в фокусе данной диссертационной р^бо i ы находя гея вопросы теории шнейных ipyrin, связанные с пачичием в этих группах унипотентных эчеменюв. В диссертации создана гехиика обращения с гакими зчеменгами, и на основе )юй техники нос г роены меч оды изучения шнейных ip\nn над разшчными аееоциагивными кчами Разработка такой гехиики и методов, относящихся ко всей еовокмгносги унипотеш ных мат])иц, сч геч гвенно, маю рем гыга, и )io обе юяге гьс гво вынуждаем с пециачи зировагь рас( магриваемые \ нипогенг ные немеиты. Один из способов гакой снещга шзацин. дающий возможное п> проникн\ п> в предмет достаточно м\боко, и ie\i самым онреде шющий нанравчение исследований, содержащихся в диссертации, сое юн г в сле\д\ ющем.

Пусть И ассоциативное те ю, п, г — цечые чис ча такие, что п > 2,0 < г < [|], и пусть к - нодг ело тела /?. Квадратичной унипотентиой к-нод1 руиной вычета г группы GLn(R) будем называть любую подгруппу группы G'L,,(/?), сопряжению в GLn[R) с грчиюй, сое юящей п з всех матриц

ЧС 'О—С --v-' г |м)

Всякий 9ЮМРН1 и з GLn(Ii), содержащийся и пекотрой квадра1ичной унипотгнтой А'-под1 руппе вычсма г ipvinibi GLn{R), б>дем называп> квадратичным унипо1енiпым -неметом вычсма г группы G'L,,(/?). Квадратичный \нипо1счиный -немет вычсма 1 (соответственно 2) называется транс векцией (соотвек пзетшо дчинным корневым -леменгом), а соответствующая ем) квадратичная унипотентая под1 р>ппа называемся корневой А'-под1 руппой (соответственно дтинной корневой /.•-подгруппой). Трансвекции явчяются, по-видимому, наибочее изученными из всех унипотентных цементов, что, впрочем, весьма ее iec твепнпо, ибо кчасс линейных ipynii. содержащих гране векиии включает в себя наибочее важные к ыссические гр>тппы.

Основная проб ie\ia, рсчпаемая тз диссертации )io nj)o6 ie\ia описания линейных ipynn, содержащих К1зад1)а1пчные vhhiioich i ные ) к'мепты. Дчя чинейных I руин над конечными п'чамн (по тми) оизеч бы i дан в и шестпой работе Д/к. Томпсона [216|. Сш^ацпя. связанная с рассмо1|)еиием произвольных, I. е. не обязан* 1ьно конечных ночей, ока зачась значи 1ечьно более счожпой, так как при изучении линейных ipynn, содержащих квадратичные унигютенгные А'-нод1 р.\ ппы Bi>i4eia г > 1 во шикает необходимость рассмотрения матричных ipynii над некомм\ i<uивными течами, имеющими конечную размерное п> над своим ценiром. Так, поскочьку любое тело кватернионов реализ>е1ся матрицами степени 2 над своим максима 1ьным подпо тем, ю при г = 2 мы стачкиваемся с задачей исследования матричных ip\nn над темами кваюрнионов. Этим обстоятечьсчвом мотивир\oiея одно из направчений диссертации — изучение подтруни нотой пшейной iруины с ieneini п > 2 над гечом кватернионов D, содержащих корпев\ю A'-ikui р\ пп\, где к нодпоче цешра ieia D, 1акое, чю D апебраично над к Замемим, что 1акое изучение имеем самостоятельный интерес, явчяясь одной из давно поечавченных пробчем теории линейных ipynn, восходящей к павшей классической с гатье Ж. Дьедонне [111].

Итогом применения созданных в диссертации меюдов являемся снятие многих ограничений, при с обчюдении которых доказывачись ранее результаты, касающиеся подгрупповсло строения линейных ip\nn, содержащих унипотешные ^чеметпы. 3ia менее oi ранпчи 1ельная ситуация, в конечном с чече, приводи! к бо iee яс ному и четкому пониманию ieopeiиксырупповой пр>к1>ры и природы мноптх важных (в юм числе классических) шнейных ip\nn Все -но показываем как необходимое iь исследования, проведенною в диссертации, гак и актуальное ib гемы -этою исследования.

Цель работы и задачи исследования Целью рабсмы являемся описание подгрупповой с iрукiуры ночной линейной ipynnw над кмами. Эia цель реачиз\смся решением задачи описания под1рмш по тых линейных гр(\нп над кмами кватернионов, содержащих корневмо подгруппу, a iaK/KC подгрупп но тых шнейных ipynn над пенями, содержащих коммутант орююна п.ной фуппы индекса бо нлпе 1

Объект и предмет исследования Обьектом исследования яв шекя подгр)пповая (ткi\pa мафичных ip\mi над те ыми, а ею предмет с ос тоит в выявтении связей между вн\ фепним строением асс оциат ивных алгебр с дечением и с iроением матричных ip}im над )1ими атюбрами.

Методология и методы проведенного иследования. В своей части, относящейся к линейным группам над ieia\m кватернионов, настоящая диссертация органично связана с исс гедованнем чинейных групп над пекомм\ iaiивными (ассоциапгвнымн) кмами, проводившимся Д. Л. Супрунепко ir А Е. Зачесть им ([37] [39], |(17]). В ходе1 шно исследования бы ш ггриг}одош>г примеры, иоказывющие, чю хотя ])яд результатов о линейных группах над по гями ечкчгвенно обобгцаегся на с чучай некомм\ гапггзных км, некоюрые важные1 i(ч>рс»мы в -пом счучае 1е])яют спчу. Другие факты подобного рода можно наЙ1и в книге [202], где сис гемати зированы некоторые рез> чьтагы, кас ающиеся линейных групп над некоммутативными кмами Вышесказанное показывает, что дчя изучения подгруппового строения линейных i рупп над некомм) гатившими телами должны разрабатываться и применяться меюды. радика п.по отличающиеся ог мегодов, созданных д 1Я исследования чинейных ip\nn над почями. Методы такою исс тсмоваиия, созданные в настоящей работе, базируются на результатах Ж. Дьедонне и А. Ачберга о ieiax квагернионов. В своей работе [111] (см также [31]) Ж. Дьедонне обнаружит с ущес гвованне гомоморе|)н зма межд\, с одной с троны, унитарной I репной степени 3 над кмом кватернионов, опредетенной с помощт.ю кос о-эрмитовой формы индекса 1 опюсикмыю единственной ипвочюции симп ieKiического типа пою геча, и, с другой ciopoHi.i, унитарной группой степени 1 над максима п.пым подпо ie\i этою км а Э i о i гомоморфизм лежиг в основе дока за км ьс из данной ])аботы, носкотьк\ OIT дасч возможность не по п> зоваi т. доказанные ранее автром ([3], [4]) результат о линейных группах над почями, содержащих корневою подгруппу, дчя исследования линейных групп над кмами кватернионов.

В диссертации создан метод исследования неприводимых линейных групп над апебрами с делением, основывающийся на свойствах понятия множества параметров транс векций, введенного в диссертации. Хотя упомянутые ачгебры с делением могут быть комм\ гативными, сам эют метод может бьпь создан лишь при исследовании линейных групп над некоммутативными юлами, коюрые до ькиы п])и этом рассма!рива1ься не с ючки зрения их чис ю внешней структуры, а как атнебры над подпо 1ями своих цен I ров. Такой подход ведем к сущее гвенпым грустное 1ям, связанным со с южное 1ыо и разнообразием с ipvi\i\ры пекомм\ raiивпых апебр, и ipe6yei новой юхппки обращения с -немец ыми линейных ipynii над этими алтебрами Такая юхиика создана в диссертации. и на ее1 основе удается выявип> и распознай, мкие rio;nруины линейных групп над юлами кваюрнионов, коюрые в принципе не могу i бьпь обнару/кены применявшимися ранее чис ю внешними меюдами

Доклзаю 1ьс та пракшчески вееч i чавных резучыаюв диссерыции базирукжя на рассмо1рении содержащихся в иссчед\емых группах подг1)упи унипоюншых племенЮ1,. по возможное in, бо iee просюю вида (в основном подгрупп квадра1ичных упипогентных эчементов вычетов 1 и 2). Однако в некоторых си1\ациях испочь зование П1юс гейших квадратичных \ пипоюш пых )1емсчпов приводиi к чрезвычайно громоздким вычис кчшям. В )юмс iy чае удобно ис но п> зов.и ь унинс)1ентные -леменш бо iee г южною вида, i. е. ie, минимачьпые по 1Иномы коюрых имею1 с ieiMMib бб1ып\ю чем 2. Обьяспепие зюю с|)еномена, по-видимому, coctohi в юм, чю но iy чеппые памп резучыаш, касающиеся гюд1 руиповою с iро(М1ия чипейпых ip\nn. имеют, строго юворя, абс фактно-i рупповой харакюр и ipe6yioi разработки именно ieopeiHKO-i ру пповой техники обращения с унипоюнiными цементами, не зависящей 01 их ма1ричной природы В диеермции за южсч1а разработка методов доказательств, основанных на уче1е этю обе юяючьс 1ва.

Кроме зтих, созданных автором мемодов, в pa6oie испочь зу юте я общие чрадиционные меч оды теории ipynn и линейной апебры, а также белее1 специальные меч оды теории пшейных ipynn и юории конечномерных алгебр с де нчшем.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все результаты в дпссерьщии явшюкя новыми. В дне с е^р 1ацнм впервые иочучепо описание широкою Kiaeca no,ui)\iin потоп линейной iруппы над телом, определяемым шшь подпочем ценipa -жно тела, а не всем ценIром. Эю проясняем под1 рупповую счруктуру по той шнейной труппы и яв чяе I с я основой дчя дальнейших исследований в зтй обчасчи.

Практическая значимость полученных результатов. Рез\лыа1ы диссертации имеют leopei нческии характер.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Нд защиту вынос як я:

1) кчассификация под! р\им по шои шнейиой 1р\ппы над нмом кватернионов, содержащих классическою под1р\пиу над подтелом;

2) классификация неприводимых подкупи нотой чинейпой iруины над телом кватернионов, содержащих корневую подгруппу.

3) подгрупповое с iроение по той чинейпой ipynrn.i с ieiieim 4 над чечом кватернионов;

4) классификация подгрупп полной жнейной группы над алюброй с дечением, содержащих специа 1ьн> ю чинейнмо гр>пи> над пода пеброн;

5) кчассификация ио.црмш ночной пшейпой группы над шлем, содержащих комм\ iaHi 0])40iоначьной ipyinibi.

Личный вклад соискателя. Pa6oia выношена соискатечем лично Совмес Iных работ нем.

Апробация результатов диссертации. Рез> лыаш дисссрыции изчагались на Международной ал1 ебраической конференции иамя1и М. И. Карыпочова (К])асноярск, 1993), конференции „Алюбра и аначиз'" (Казань, 1994), Бечорусских маюмачических конференциях (Минск, 1996, 2000), Международной л шебраической конференции намят Д. К Фаддеева (Санк1-Псчербург, 1997). Межд>народной \iaie\iaiической конференции памяти Л. С. Пошряпша (Москва, 1998), Международной ал1 ебраической конференции памяш 1. II. Боревича (Санк1-Печербург. 2002), конференции „Группы и грошовые ко п.ца" (Усфонь, 2003), конс})еренцпи по общей апебре (Дрезден, 2004). а ыкже па заседаниях а.н ебраическою семинара IIncini>ia маичшикп Академии на\к Белар>си, CanKi-IIeiep6yprckoiо юродскою ачюбраичекою семинара, семинара по 1еории групп универсикма провинции Маниюба

Опубликованность результатов диссертации. Резульгаш диссертации оп\бчико*/ШЫ в 13 сьпьях и 9 ичисах конференций

Структура и объем диссертации. Диссерыция с ос юш и з введения, пяти глав основной часчи (вк шчая лшерап'рный об юр), заключения и списка испо 1ьзованных исючников. Работ изчожепа на 270 ираницах, включая список испочьзованных ис iочников из 216 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Башкиров, Евгений Леонидович

Заключение

1) Проведенное в диссертационной работе исследование вносит ясность в понимание структуры подгрупп полной линейной ipynnbi над различными телами. В первую очередь это касается тет кватернионов, дтя которых иотучено описание неприводимых, а также вио ше приводимых линейных групп, содержащих корневую под1 р> ппу ([250], [257], [259], [261], [262]).

2) В ходе изучения подгруппового строения полной линейной группы над телом кватернионов получены преде 1ав ппощие самостоятельный интерее' описания подтруни этой группы, содержащих одну из слсугующих ipynii над подтелом -ною юла1 специальную линейную ([249]), специальную унитарную ([251], [252], [253], [254], [255], [256]), симплектическую ([258]).

3) Получены результаты, показывающие особый характер подгрупповою строения ночной группы степени 4 над юлом кватернионов ([252], [253], [254], [255], [260], [263]). Возникающие в ходе такого описания группы оказывются формами линейных алгебраических групп типа £>4, а методы, созданные для такого описания позволяют распознавать эти формы.

4) Метод увязывания под1 рупповой структуры линейных групп над некоммутативными телами с структурой этих тел, как алгебр над их центральными подполями, можем бып, использован на основе разработанных в диссертации технических приемов для изучения линейных ipynii над другими ассоциативными ал1ебрами с делением, более общею вида чем тела кватернионов. В диссертации на основании такого метода проводится классификация групп G, удовлетворяющих одному из следующих условий: SLn(k) < G < GLn(K) (п > 3) или cliag(SXni(/c), 1) < G < GLn(K) (п > 4, группа G неприводима), где К — тело характеристики ф 2, к ею подтело, причем К и к являются алгебраическими алюбрами над некоторым подполем центра тела К ([249]).В основе метода лежит установленная в диссертации инвариантность множества параметров трансвекций в неприводимых линейных группах над течами, а 1акже наличие па этих множес 1вах параметров с iрукiуры епециа 1ьной йордаповой а'небры.

5) В диссертации описаны подгруппы группы GLn{K) eienenn п > 4 над почем К, содержащие подгруппу iln{k,Q), соответствующую квадратичной скорме Q индекса больше 1 над подполем к таким, что расширение К/к алтебраично ([217], [248]). Для получения такого описания создается техника работы с квадратичными унипотентными элементами вычета 2, принадлежащими, вообще» говоря, линейным группам раз шчиых лиевских пшов.

G) Предполагается, что меюды и результаты, созданные и полученные в диссертационной работе, послужат основой для последующего изучения линейных групп, не содержащих трансвекций, но содержащих квадратичные унипотешные э тементы вычета 2 над произвольными нолями.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Башкиров, Евгений Леонидович, 2006 год

1. Автоморфизмы классических групп: Сб. пер. /Под ред. Ю. И. Мерзлякова.- М.: Мир, 197G. - 264 с

2. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969. 283 с.

3. Башкиров Е. Л. О подгруппах специальной линейной группы степени 2 над бесконечным полем Магем. сб. - 1996. Т. 187, N 2.— С. 19 -36.

4. Башкиров Е. Л. Линейные группы, содержащие корневую подгруппу // Сиб. мак журна i. 1996. Т 37, N 6. С. 1238 1255

5. Бондаренко А. А. Расположение по/ц рупп, содержащих неразвечвченный квадратичный юр в нотой матричной ipyime степени 2 над локатьным чистовым почем (р ф 2) Зап. научн. семин. ПОМП.- 1994. Т. 221. С. 67- 79.

6. Бондаренко А. А. Расположение подгрупп, содержащих неразветвченный квадратичный юр в нотой чинейной группе степени 2 над локальным числовым нолем (р = 2) /' Зап. научи, семин. ПОМИ.- 1994.- Т. 221.- С. 80 -90.

7. Бондаренко А. А. О промежуточных подгруппах полной линейной группы, содержащих группу кватернионов // Зап. научн. семин. ПОМП,- 1997. Т. 236. С. 13- 28.

8. Боревич 3. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных мафиц // Зап. научн. семин. ЛОМИ 1976.- Т. 64.- С. 12 29

9. Боревич 3. И. О раепоюжении подгрупп Зап на\чп. семин ЛОМИ. 1979. Т 94 - С. 5 19

10. Боревич 3. И., Койбаев В. А. О ко п>цах мпожиюлей, связанных с промежуточными подгруппами дня квадратичною юра Вестник СПбГУ. Сер. 1 1993.- N 2. С. 5-10.

11. Боревич 3. И., Койбаев В А., Чан Нгок Хой. Peine г ки подгрупп в GL(2,Q), содержащих пераещепимый тор Зап. научн. семин. ЛОМИ.- 1991.- Т. 191. С. 24-43.

12. Боревич 3 И., Мацедонская О. Н. О решетке подгрупп // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980.- Т. 103. С. 13 -19.

13. Боревич 3 И., Мысовских В И. Бесконечные цепи пос ледоваюлыгых нормачизаюров в полной линейной группе над нолем / Зап. научн. семин. ЛОМИ.- 1991.- 'Г. 191- С. 44 48.

14. Боревич 3 И., Панин А. А О максимальном юре в подгруппах полной линейной группы Зап. научн. семин. ПОМИ.— 1995. -Т. 227.- С. 15- 22.

15. Брюханов О. В. Генетика универсальных групп Шевалле над некоюрыми коммугагивными кольцами // Mai. заметки.— 1995.— Т. 57, N 6. С. 614-626.

16. Буй Ксуан Хай. Подгруппы специальной линейной группы над телом, содержащие группу диагональных малриц ,/ Зап. научи, семин. ПОМИ,- 1994 Т. 211. С. 91-103.

17. Вавилов Н. А. Линейные группы, порожденные однопарамегричес кими подгруппами одномерных преобразований '' Успехи маг. паук 1988.- Т. 44, вып. 1- С. 189-190.

18. Вавилов Н. А. О геометрии длинных корневых подгрупп в группах Шевалле ' Вестник Ленипгр. ун-та. Сер 1. 1988.- Выи. 1.— С. 811.

19. Вавилов Н. А. Унипотептные элементы в подгруппах расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный лор // ДАН.— 1993. -Т. 328, N 5.- С. 536-539.23 24 [25 [2627