Локализованные хиральные состояния в жидких кристаллах и магнетиках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Тамбовцев Иван Михайлович

• Тамбовцев Иван Михайлович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Тамбовцев Иван Михайлович

Введение

Глава 1. Энергетические поверхности хиральных магнитных и

жидкокристаллических систем

1.1. Свободная энергия хиральных магнетиков и жидких кристаллов

1.2. Основное и метастабильные состояния магнетиков и жидкокристаллических систем в тонких пленках

1.3. Определение модулей Франка жидких кристаллов содержащих комплексы лантаноидов

Глава 2. Переходы между локально устойчивыми состояниями в

хиральных системах

2.1. Энергетическая поверхность и локально устойчивые спиральные состояния в пленках ХЖК различной толщины

2.2. Пути с наименьшим перепадом энергии между состояниями с разным числом витков спирали в холестерических жидких кристаллах

2.3. Эффекты гистерезиса при изменении электрического поля в холестерических жидких кристаллах

Глава 3. Топологические ЖК и магнитные структуры в условиях

ограниченной геометрии

3.1. Спиральные и конические хиральные структуры во внешнем поле

3.2. Состояние наклонной спирали в тонких хиральных пленках

3.3. Фазовая диаграмма хиральных магнетиков и жидких кристаллов

в тонких пленках

3.4. Локализованные состояния в хиральных жидких кристаллах и

магнетиках

Глава 4. Скирмионные состояния тонких пленок кубических ге-

лимагнетиков

4.1. Фазовая диаграмма пленки гелимагнетика. Состояния в магнитном поле в плоскости

4.2. Магнитные состояния скирмионного типа в пленке гелимагнети-

ка в магнитном поле

Заключение

Благодарности

Список литературы

Приложение

Энергия и ее вариация для жидкокристаллических систем

Вычисление энергии

Вычисление вариации энергии

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локализованные хиральные состояния в жидких кристаллах и магнетиках»

Введение

Развитие современных технологий хранения обработки и отображения информации поставили ряд принципиальных задач, связанных с уменьшением характерного размера, реализации быстрой динамики и энергоэффективного управления локализованными магнитными и жидкокристаллическими (ЖК) структурами. Проблема устойчивости таких структур относительно тепловых флуктуаций и случайных возмущений должна решаться одновременно с возможностью контроля и управления соответствующими состояниями путем малых направленных воздействий. Наноразмерные магнитные системы рассматриваются сейчас, как кандидаты на роль битов информации в системах беговой магнитной памяти [1]. Локализованные структуры в ЖК могут служить миниатюрными, управляемыми и перестраиваемыми оптическими элементами. Их можно использовать для преобразования световых пучков [2], создания уникальных дифракционных решеток, а в случае образования устойчивых структур и для хранения и преобразования информации, закодированной в конфигурации директора [3]. Поэтому проблема описания устойчивости и динамики локализованных магнитных и ЖК структур, наряду с важностью для фундаментальной науки, очень актуальна и для практических приложений. При уменьшении характерных размеров структуры обеспечение ее устойчивости относительно случайных внешних воздействий становится все более сложным. Один из возможных путей заключается в использовании так называемой топологической защиты. У ряда локализованных неколлинеарных структур в магнетиках и ЖК можно ввести топологические индексы, которые представляют собой целые числа, сохраняющиеся при непрерывном изменении намагниченности/ директора ЖК. В этом случае непрерывная трансформация не меняет топологических индексов, и такие структура оказывается устойчивой относительно переходов, при которых индексы должны измениться. Соответствующие локализованные

неколлинеарные структуры в магнетиках/ЖК , имеющие индекс, отличный от однородного состояния, называют «топологическими солитонами». К ним относятся квазидвумерные скирмионы, антискирмионы, мероны, трехмерные тороны, хопфионы, геликнотоны и другие [4,5]. Для магнитных моментов, заданных в узлах дискретной кристаллической решетки, топологическая защита, строго говоря, не действует. Однако, она должна проявляться косвенно, через величины активационных барьеров, которые необходимо преодолеть для магнитного перехода и в предельном случае, когда постоянная решетки мала по сравнению с размером структуры, соответствующие времена жизни состояний должны существенно увеличиваться [6,7].

Часто за формирование и устойчивость топологических солитонов ответственны хиральные взаимодействия. Это относится и к магнитным структурам, в которых такие взаимодействия появляются при учете спин-орбитального вклада в энергию, и к ЖК системам холестерического типа. В приближении, одинаковых модулей Франка функционал энергии холестерического ЖК выглядит также, как и для микромагнитных систем с взаимодействием Дзяло-шинского-Мории. И в магнетиках, и в ЖК могут формироваться одинаковые локализованные топологические структуры. Для магнетиков одним из ключевых вопросов является оценка времен жизни топологических солитонов, являющейся количественной мерой их устойчивости. Такую оценку можно сделать в рамках теории переходного состояния, которая предполагает построение энергетической поверхности системы и путей с минимальным перепадом энергии между локальными минимумами, соответствующими разным состояниям [8]. В гармоническом приближении для формы энергетической поверхности в начальном минимуме и вблизи седловой точки на энергетической поверхности можно получить времена жизни состояний при произвольных температурах [9]. Для ЖК систем вопрос о температурной зависимости устойчивости локализованных состояний менее важен. Эти структуры существуют в относительно узком

интервале температур и можно считать, что их устойчивость в этом интервале не меняется. Однако и здесь анализ энергетической поверхности системы остается полезным подходом для описания равновесных свойств и переходов между топологически различными состояниями [10]. В ЖК трансформацию энергетической поверхности, рождение и исчезновение новых минимумов, приводящих к переходам между состояниями, вызывают обычно внешние факторы, такие как электромагнитное поле и условия сцепления ЖК директора с поверхностью [11]. Целью работы является исследование хиральных топологических состояний в ЖК и магнитных пленках заданной толщины на основе анализа многомерной энергетической поверхности системы. Будет показано влияние внешних полей, конечных размеров образца и граничных условий на пространственную структуру локально устойчивых состояний и рассчитаны наиболее вероятные сценарии переходов между ними. Будут представлены расчеты топологических солитонов, существующих в разных частях диаграммы состояний пленки холестерического жидкого кристалла/ хирального магнетика.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, благодарностей, списка литературы и приложения. Работа включает 121 страницу, 38 рисунков. Список литературы состоит из 82 наименований.

Достоверность полученных в диссертации результатов определяется с одной стороны тем, что в основе теоретического подхода лежат хорошо апробированные принципы статистической физики, а расчеты выполнены с использованием современных алгоритмов и методов вычислительной физики. С другой стороны, полученные результаты согласуются с теоретическими расчетами, полученными в рамках альтернативных моделей и результатами прецизионных экспериментов. Например, предложенный в работе метод поиска модулей Франка для лантонидомезогенов был проверен на жидком кристалле 50Б, для которого модули Франка уже известны, двумерные структуры типа наклонной спирали близки к экспериментальным, представленным в работе [12]. Все ос-

новные результаты диссертационного исследования были опубликованы в ведущих рецензируемых журналах, докладывались на научных семинарах СПбГУ, университета ИТМО, на Российских и международных конференциях. Апробация работы

Результаты работы были представлены на следующих конференциях:

1. Международная конференция

"Mathematical challenge of quantum transport in nanosystems - Pierre Duclos workshop", Санкт-Петербург, 14-16 сентября, 2020 г.

2. Всероссийская конференция "Наука СПбГУ - 2020", Санкт-Петербург, 24 декабря, 2020 г.

3. Международная конференция

"Promising element base of micro- and nanoelectronics using modern achievements of theoretical physics", Москва, 20-23 апреля, 2020 г.

4. Международная конференция

"15th European Conference on Liquid Crystals", Вроцлав, 30 Июня - 5 Июля, 2019 г.

Список публикаций по теме диссертации

1. Tambovtsev, I.M. Topological structures in chiral media: Effects of confined geometry / I. M. Tambovtsev, A. O. Leonov, I.S. Lobanov, et al. // Physical Review B. — 2022. — Vol. 105, no. 3. — P. 034701. WOS, Scopus.

2. Tambovtcev, I.M. Hysteresis and Freedericksz thresholds for twisted states in chiral nematic liquid crystals: Minimum-energy path approach / S.S. Tenishchev, I.M. Tambovtcev, A.D. Kiselev, V.M. Uzdin // Journal of Molecular Liquids — 2021. — Vol. 325 — P. 115242. WOS, Scopus.

3. Тамбовцев, И.М. МЕТОД РАСЧЁТА МОДУЛЕЙ ФРАНКА ЖИДКОКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА НА ОСНОВЕ ЭРБИЯ / И.М. Тамбовцев, Л.А. Добрун, А.П. Ковшик, Е.В. Аксенова, Е.И.Рюмцев // Вестник МГОУ. — 2020. — Vol. 3. — P. 6-12. ВАК.

4. Tambovtcev, I.M. Magnetic field-induced macroscopic alignment of liquid-crystalline lanthanide complexes / E.V. Aksenova, L.A. Dobrun, A.P. Kovshik, E.I. Ryumtsev, I.M. Tambovtcev // Crystals — 2019. — Vol. 9, no. 10 — P. 499. WOS, Scopus.

5. Tambovtcev, I.M. Stability of in-plane and out-of-plane chiral skyrmions in epitaxial MnSi (111)/Si (111) thin films: Surface twists versus easy-plane anisotropy / A.O. Leonov, I.M. Tambovtcev, I.S. Lobanov, V.M. Uzdin, // Physical Review B — 2020. — Vol. 102, no. 17 — P. 174415. WOS, Scopus.

Российские и международные гранты, поддержавшие исследования выполненные в диссертации:

1. «Исследование топологических магнитных текстур как основы для искусственных нейронных сетей», РНФ, 19-42-06302.

2. «Природа топологической устойчивости киральных магнитных и жидкокристаллических систем», фонд развития теоретической физики и математики «БАЗИС», 19-1-1-12-2.

Основные научные результаты

1. Проведён анализ диаграммы состояний тонких пленок холестерического жидкого кристалла. Определены основное и метастабильные состояния системы для различных значений сцепления на границах ячейки и внешнего магнитного поля (работа [13], стр. 4-8, личный вклад 80%).

2. Показано, как локализованные хиральные структуры в пленках магнетиков и жидких кристаллов, включающие тороны, личи и скирмионные трубки, трансформируются под воздействием внешних магнитных и электрических полей (работа [13], стр. 8 - 10, личный вклад 90%).

3. Проведён анализ фазовой диаграммы тонких пленок кубических гелимаг-нетиков. Показано, что стабилизация скирмионных и спиральных структур зависит от анизотропии и ориентации магнитного поля (работа [14], стр. 1-7, личный вклад 60%).

4. В тонких плёнках холестерических жидких кристаллов и слоистых магнитных наносистемах выявлены переходы между локально устойчивыми спиральными состояниями с различным числом витков спирали. Барьеры этих переходов зависят от напряжения и параметров сцепления с подложками (работа [15], стр. 1-3, личный вклад 60%).

5. Разработан метод определения модулей Франка для жидких кристаллов на основе лантанидов, позволяющий рассчитывать их упругие свойства на основе анализа воздействия магнитного поля (работа [16], стр. 3, личный вклад 80%).

6. Выявлены эффекты гистерезиса при изменении внешнего электрического поля в холестерических жидких кристаллах, что позволяет улучшить

управление такими системами в практических приложениях (работа [15], стр. 5-7, личный вклад 60%).

7. Проведены исследования жидкокристаллических комплексов на основе гадолиния и эрбия. Определены модули Франка для таких комплексов с учётом их высокой анизотропии магнитной восприимчивости (работа [16], стр. 8-12, личный вклад 80%, работа [17], стр. 3, личный вклад 90% и [18], стр. 4-5, личный вклад 90%).

Положения, выносимые на защиту.

1. В рамках развитой методики обработки и интерпретации экспериментальных данных о зависимости диэлектрической проницаемости ячейки жидкого кристалла на основе лантанидомезогена от приложенного к нему магнитного поля в направлениях параллельно и перпендикулярно обкладкам ячейки можно определить модули Франка жидкого кристалла, что затруднено сделать другими методами.

2. В тонких пленках холестерических жидких кристаллов (и слоистых магнитных наносистемах сходных с ними) с планарным сцеплением на поверхности возможны переходы между локально устойчивыми спиральными состояниями с различным числом витков спирали. В зависимости от напряжения и параметров сцепления с подложками энергетический барьер между этими состояниями может существенно изменяться. В холестерических жидких кристаллах наблюдается гистерезис изменения энергетического барьера в зависимости от предыстории изменения приложенного напряжения.

3. В пленках холестерических жидких кристаллах (и слоистых магнитных наносистемах сходных с ними) с планарным сцеплением на поверхности

возможно формирование различных равновесных и метастабильных фаз, включая спиральные, и конические структуры, наклонные спиральные состояния, а также локализованные топологические солитоны: скирмионные трубки, тороны, пиявки. Топологические солитоны могут встраиваться в более крупные доменные узоры и трансформироваться из одного вида в другой при изменении внешних условий и параметров системы.

4. В тонких пленках кубических гелимагнетиков стабилизация скирмионных и спиральных структур зависит от анизотропии и ориентации магнитного поля. Для полей в плоскости пленки скирмионы демонстрируют эллиптическую неустойчивость и существуют только в узком диапазоне параметров. При ориентации поля перпендикулярно поверхности возможно существование различных магнитных структур, включающих скирмион-ные трубки с осью, выходящей из плоскости, при значительно больших толщинах пленки.

Глава 1

Энергетические поверхности хиральных магнитных и жидкокристаллических систем

Холестерические жидкие кристаллы (ЖК) и магнитные системы с взаимодействием Дзялошинского-Мории могут быть описаны формально одинаковым функционалами свободной энергии. Это приводит к возможности формирования в них одинаковых локализованных хиральных состояний, некоторые из которых относятся к «топологическим солитонам». В этой главе вводится функционал свободной энергии таких систем, описывается процедура построения соответствующих многомерных энергетических поверхностей, которые можно использовать для определения энергетических барьеров между состояниями. В заключении главы приводится метод определения модулей Франка для ЖК комплексов на основе лантаноидов на основе экспериментальных данных по зависимости диэликтрической проницаемости от внешнего электрического поля.

1.1. Свободная энергия хиральных магнетиков и жидких кристаллов.

Магнитные и жидкокристаллические структуры представляют собой конфигурации магнитных моментов или директора в конденсированных (твердых или жидких) средах с дальним порядком. Параметр порядка в магнетиках - векторное поле намагниченности. Магнитные моменты могут быть локализованы на узлах кристаллической решетки или распределены непрерывно по объему системы. В жидком кристалле упорядоченное состояние задается распределением поля директора, определяющего направление ориентации молекул относительно выделенного направления. Можно говорить о непрерывном распределении

директора в среде или о директоре, относящемся к отдельным элементам, на которые разбивается весь объем жидкого кристалла. Хотя магнитоупорядоченное и жидкокристаллическое состояния имеют много принципиальных различий, часто возникающие в них упорядоченные структуры похожи, и формально, в определенном приближении, они могут быть описаны одинаковыми функционалами энергии. И в ЖК и в магнетиках, могут присутствовать взаимодействия, приводящие к образованию хиральных состояний и топологических солитонов, представляющих большой интерес для фундаментальной физики и приложений.

Рассмотрим сначала континуальную модель, описывающую тонкую пленку хирального магнетика / ЖК. Функционал энергии запишем в виде:

здесь первый интеграл берется по объему системы V, второй по ограничивающей поверхности $, которая представляет собой две плоскости, нормальные к оси х; параметр порядка задается векторным полем ш(г). Для магнитных систем ш(г) - единичный вектор вдоль намагниченности в точке г, для жидкокристаллических - директор ЖК в этой точке. ъ - единичный вектор вдоль оси анизотропии, который предполагается ортогональным к поверхностям Б.

В магнитных системах первый член в ((1.1)) описывает обменное взаимодействие с параметром обменной жесткости Л, который будем считать одинаковым во всем объеме пленки. Второй член соответствует хиральному взаимодействию Дзялошинского-Мории (ВДМ), интенсивность которого определяется параметром Т>. Третий вклад в первом интеграле и второй интеграл представляют

^[ш] = [ (Л(Уш(г))2 - Vш(г) • [V х ш(г)] - К,ь(ш(г) • ъ)2) сIV

Jv

V

собой энергии магнитной анизотропии. Значения анизотропии внутри пленки Къ и на ее границах могут отличаться: = Къ.

Для жидкокристаллических систем, значение Л и постоянная хирального взаимодействия V выражаются через модули упругости Франка [19] К\, К2, В одноконстантном приближении, когда все упругие константы предполагаются равными, К1 = К2 = К3 = К: Л = К/2 и V = Кд0, где д0 - волновое число спирального состояния в неограниченном ЖК. В жидкокристаллических системах, 1Съ играет роль константы взаимодействия с внешним магнитным полем, в то время как определяется сцеплением с поверхностью жидкокристаллической ячейки (условия сцепления предполагаются гомеотропными, если это не указано специально).

Для определения основного и метастабильных состояний, соответствующих локальным минимумам энергии, от непрерывной удобно перейти к дискретной решеточной модели на трехмерной кубической сетке х Ыу х и использовать метод нелинейных сопряженных градиентов в декартовых координатах с ограничениями, фиксирующими единичную длину векторов т на узлах решетки.

Если рассматриваемая система представляет собой тонкую пленку, используются периодические граничные условия в плоскости ху.

Получающаяся при дискретизации модель соответствует обобщенной модели Гейзенберга, используемой в теории магнетизма, в частности, для описания топологических магнитных структур [20].

Отметим, что часто на наномасштабе магнитные моменты локализованы на атомах в узлах кристаллографической решетки. В этом случае непрерывную модель можно рассматривать, как предельный случай реальной дискретной модели, когда постоянная решетки мала по сравнению с характерными размерами магнитных структур. Заметим, что структуры с различными кристаллическими решетками и параметрами обменных взаимодействий могут соответствовать

одной и той же континуальной модели.

Запишем энергию для дискретной решеточной модели в виде

Е[8] = - J8, • 8, + Б,, • [Б* х 8,]) - £ К^)2, (1.2)

{ьз) *

здесь 8, = ш^ - единичные вектора вдоль магнитного момента / директора ЖК на узле г. В дальнейшем, для краткости будем иногда называть эти вектора спинами. Суммирование {1,]) в ((1.2)) выполняется по узлам - ближайшим соседям. Через 3 обозначен параметр Гейзенберговского обмена, а через Б^ - вектор Дзялошинского-Мории, описывающие симметричное и антисимметричное взаимодействие между спинами, локализованными на узлах г и ]. Вектор Б^ будем считать направленным вдоль отрезка, соединяющего узлы г и ], что способствует стабилизации спиральных структур и доменных стенок Блоховского типа. Величина вектора | = И и параметра 3 предполагаются одинаковыми для всех соседних пар узлов.

Последний член в выражении для энергии ((1.2)) представляет собой вклад от одноосной магнитной анизотропии с осью анизотропии, нормальной к плоскости подложек (ось ^). В рассматриваемых далее системах предполагается, что значения параметра анизотропии К^ на границах и для внутренних узлов образца могут отличаться. Будем предполагать, что параметр анизотропии содержит вклад Кь, одинаковый для всех слоев решетки, но на границе к нему добавляется поверхностный вклад Кв. Таким образом, = Кь для внутренних слоев и К{ = Кь + Кв для поверхностных.

В магнитных системах для описания взаимодействия с магнитным полем в объмную часть (1.1) добавляется дополнительный вклад Зеемановского взаимодействия:

= -^0Мш(г) • Н. (1.3)

Между параметрами непрерывной модели ((1.1)) и моделью на дискретной решетке ((1.2)) имеется соответствие [7] . Для простой кубической решетки оно имеет вид:

2аЛ = 3, а2V = Д а3ОД = Кг, (1.4)

где а - постоянная решетки.

Для ЖК параметры дискретной модели 3 и И определяются модулями Франка, причем выражение ((1.2)) выводится в одноконстантном приближении. Параметры анизотропии связаны с внешними полями и взаимодействием ЖК с границами ячейки, в которую он помещен.

Анизотропия типа "легкая плоскость" в объеме соответствует энергии взаимодействия ЖК, имеющего отрицательную анизотропию магнитной восприимчивости Ах < 0, с магнитным полем, приложенным перпендикулярно обкладкам ячейки.

Анизотропия типа легкая ось в объеме описывает взаимодействие с магнитным полем ЖК, имеющего А^ > 0.

Поверхностная анизотропия > 0 отвечает гомеотропным условиям сцепления, а 1С8 < 0 - планарным. Отдельно стоит отметить модель жесткого сцепления, где ориентация жидкого кристалла на поверхности фиксируется в согласии с начальной ориентацией.

Хиральность ЖК характеризуется равновесным шагом спиральной структуры, представляющей основное состояние в неограниченном образце р0 и соответствующим волновым числом д0 = 2п/р0 = агС;ап(Д/^. В нематическом жидком кристалле И = 0 и, следовательно, р0 = 0.

Задание функционала энергии позволяет найти не только равновесное состояние системы, но и ее динамику. В случае магнитных систем динамика определяется уравнением Ландау-Лифшица-Гильберта, в котором эффективное магнитное поле, действующее на каждый магнитный момент определяется произ-

водной от энергии по намагниченности.

Для жидкокристаллических систем, при описании динамики локализованных структур, например, в случае неоднородного распределения И в системе, одноконстантное приближение может оказаться недостаточным. В этом случае необходимо использовать более общее выражение для энергии ЖК. Остановимся на этом вопросе более подробно.

Плотность свободной энергии Франка ш жидкого кристалла в предположении различных значений модулей Франка задается [19]:

Чп]=2

п)2 + К2(п • гО п + д0)2+

+ К3(п х го1 п)2 - Ах(п • Н)2

, (1.5)

где К1, К2, Кз - константы Франка, д0 = 2-к/Р - волновое число, Р - период холестерической спирали, Н - внешнее магнитное поле, и А^ = Х|| — Х± -разность магнитной восприимчивости Ац в направлении пи А^ в перпендикулярном направлении [21]. Типичные значения констант Франка [22-26]:

К2 К3

0.5 <—2 < 0.8, 0.5 <—3 < 3.0. (1.6)

Л1 К\

Волновое число д0 (функция от х) может быть положительным, отрицательным или равным нулю, д0 > 0(д0 < 0) соответствует правовинтовой (левовинтовой) спирали. Значение А^ зависит от свойств ЖК и может быть положительным или отрицательным.

Как отмечалось ранее, выражение для плотности энергии можно значительно упростить, если все константы Франка одинаковы. Представим плотность энергии, соответствующую этому приближению в явном виде, рассматри-

вая другие вклады (1.3) как возмущение. Для этого используем тождество:

(divn)2 + (rot n)2 + V • ((V • n)n - n(V • n)) = (grad n)2. (1.7)

Последнее слагаемое слева описывает поверхностное взаимодействие и при жестких граничных условиях не будет входить в ответ вследствие теоремы о дивергенции. Оставшаяся часть, при использовании явных индексов и обозначая Uij = dni/dxj, записывается следующим образом:

nbi) + Пкл) = )2.

i г 4 j,k ' i,j

(1.8)

Используем еще одно тождество, представляющее собой теорему Пифагора для rot n:

n2(V х n)2 = (n • (V х n))2 + (n x (V x n))2, (1.9)

где слагаемые справа - это квадраты проекций rot n на направление п(ж) и ортогональное направление п(ж)^. Учитывая (1.8), (1.9) и условие n(x)2 = 1, запишем плотность энергии следующим образом:

1

w = 2

Кг(Vn)2 - K1(V х n)2 + K2(n • V x n)2 + 2^o(n • V x n) +

+ K3(V x n)2 - K3(n • (V x n))2 - Ax(n • H)2

. (1.10)

Постоянное слагаемое может быть опущено. Собирая подобные члены, можно получить для плотности энергии следующее выражение:

1

W = 2

Ki (Vn)2 + (Kz - Ki)(V x n)2 + (K2 - tfs)(n • V x n)2+

+ 2K2Q0(n • V x n) - Ax(n • H)2

. (1.11)

Последнее слагаемое появляется, если ЖК находится во внешнем магнитном поле [27,28]. За хиральное упорядочение отвечает предпоследний член, содержащий д0. Второе и третье слагаемые в (1.11) отличны от нуля только если соответствующие константы Франка различны. Отметим, что все слагаемые в выражении для плотности энергии за исключением (п •Ух п)2 квадратичны относительно п . Если интерес представляет только процессы типа сжатия холестерических пальцев [29-31], которые контролируется параметром Кз, то можно упростить выражение, положив К2 = Кз , и считать энергию квадратичной. Если, кроме того, К1 = Кз (одноконстантное приближение) то выражение сводится к подынтегральной части уравнения (1.1).

1.2. Основное и метастабильные состояния магнетиков и жидкокристаллических систем в тонких пленках.

Локально устойчивым состояниям соответствуют минимумы на энергетической поверхности системы. Их можно определить численно, начиная с произвольной магнитной конфигурации путем смещения состояния на энергетической поверхности в направлении, противоположном градиенту энергии. На поверхности возможно существование несколько локальных минимумов с различной энергией, каждый из которых соответствует своей магнитной конфигурации. При этом неколлинеарная магнитная структура может быть локализована в небольшой области пространства, а может занимать весь образец.

Для магнитных систем, в достаточно большом магнитном поле, основное состояние соответствует однородному ферромагнитному состоянию. При наличии антисимметричного обменного взаимодействия в небольших магнитных полях минимуму энергии соответствует спиральная магнитная структура. На фоне этих делокализованных состояний возможно формирование компактных метастабильных структур, которым соответствуют менее глубокие минимумы

на энергетической поверхности.

В ограниченных образцах на форму энергетической поверхности существенное влияние могут оказывать граничные условия. Периодические граничные условия позволяют моделировать структуры, повторяющиеся в пространстве в одном, двух или трех направлениях. Однако, пространственный размер таких структур не превосходит размера рассматриваемой ячейки.

На границах рассматриваемого расчетного домена возможно изменение параметров системы, что позволяет описывать интерфейсы и свободные поверхности в магнитных системах или взаимодействие с поверхностью ячейки в жидких кристаллах. В последнем случае, как правило, для пограничных слоев в функционал энергии вводится добавочный член имеющий вид одноосной анизотропии [13].

Рассмотрим в качестве примера структуру, основное состояние которой неколлинеарно, неоднородно в одном из направлений, но соответствующий минимум на энергетической поверхности может быть найден аналитически.

Рассмотрим магнетик/ЖК в полубесконечном пространстве z ^ 0 с жесткими граничными условиями на поверхности, при которых магнитные моменты/директор зафиксированы ортогонально плоскости границы. Ось z выберем в этом же направлении. Будем искать равновесную конфигурацию, однородную в плоскости ху.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тамбовцев Иван Михайлович, 2025 год

Используя

dg dq dg dq , vU, ( .

= ПрЧЛ ^ = ^Пр£рл = (n xV)i> (4.33)

duij p Pjl dxj duijj dxj p Pj

имеем:

5 / q(n• (Vxn)) dx = q5 / (n-(Vxn))dx—nxVq = 2g(Vxn) — nxVq. (4.34)

v v

Наконец, для полной вариации энергии получаем:

6Е — -К^п - (К3 - К1)[Дп - У(У • п)] +

+ (К2 - Кз)[2(п • (У х п))(У х п) - п х У(п • (У х п))] + + К2 [2д(У х п) - п х Уд] — -КхУ(У • п) - Кз[Дп - У (У • п)] + + (К2 - Кз)[2(п • (У х п))(У х п) - п х У(п • (У х п))] +

+ К2[2д(У х п) - п х Уд]. (4.35)

Для численных расчетов используем дискретную квадратную решетку с энергией, включающей суммирование по всем узлам:

Е —I 2

а {'з

:'Зк}

г'3'к

К1(Уп{у'к})2 + (К3 - Кх)(У х п{у'к})2+

+ ( К2 - Кз)(п{у'к} • (У х п{у'к}))2+ + 2 К2д0(п{у'к} • (У х п{у'к})) - Дх(п{у'к} • И{у'к})2

(4.36)

Индексы {г]к} соответствуют позициям ячеек вдоль осей х, у, х соответственно. Для введения дифференциальных операций используем локальную индексацию внутри каждого куба {г ]к} (см. Рисунок 4.5).

011

001 Пх 101

0.5.5 Пт

У 00.5 ' Пт 010 .5.5.5 Пт

ПУ Пх

х , ' и.50

111

110

000 .500 100

Пх

Рис. 4.5. Локальное индексирование

Для упрощения численных расчетов вводится следующая индексация:

П

х

П

т

п{+ 2 = п{цк}

Пг

-2*

= пу ,

п

ъ,3 2 _ ^{у^}

- I V ~ ,

(4.37)

п{'2= [п{'°'° + п°х'1'° + п{'0'1 + п0/'1 + п{'°'° + пО'1^ + п^1 + пХ'1'1] /8, (4.38)

и обозначения:

ду'2 'V = п°'1'2 - п°'°'2, (4.39)

при этом остальные компоненты определяются аналогичными преобразованиями.

Объем системы задается как:

У = [0,1ХЯ{] х [0,1уЫу] х [0, /л]. (4.40)

Рассмотрим вопрос о погрешности, связанной с размещением сеток п в различных точках для каждой из компонент энергии.

Если заменить интеграл по переменной х соответствующей конечной суммой с коэффициентами, соответствующими методу трапеций, получаем:

/(х)Зх = ^си (* ) + 0( ),

Сг] (г ьх ) ьх + ^

1Х ^ 0, 1Х№Х = Ьх = const,

С° = С^ = 2, С = 1 для 3 = 0,М{. (4.41)

1хЯх

°

Аналогично для метода прямоугольников:

f(х)dх — ^Сгг/( ^ + 0 + 0( 1Х), Сгг — 1. (4.42)

г=о

Повторяем процедуру для интегрирования по трехмерному пространству:

N N N

: е I:

=0 =0 =0

I / / ¡(х, у, х)АхАу Ах — ^ ^ ^ ¡(г 1х,]1у, к 1г)С1С1Ск1х1у1г+

«/ «/ V „•_А „•_А 7__А

+ 0(^) + 0(ф + 0(/2). (4.43)

Таким образом, погрешность этой замены не превышает квадрата разбиения вдоль каждой из осей. Проверим, что операции дифференцирования не ухудшают точность аппроксимации:

(дхпх) г'3'к — ^--+ 0( 12Х), (4.44)

Х

№

/ (дхпх)2 Ау Ах —

'V

N N N

— X 1 7-2(пг+0.5,.7,к пг-0.5,^к)2СгССк] ] ] +

=0 =0 к=0

+ 0(^) + 0(ф + 0((4.45)

Можно показать, что такой порядок погрешности сохраняется для всех подобных замен. Эта процедура была применена ко всем компонентам энергии. Вклад (Уп)2 может быть представлен в виде суммы:

N N

(Уп)2 ЗУ = ^ ^ ^ С?С'С* [(дхПх)2 + (дуПу)2 + (дгпг)2]ф 1{1у1г+ г=° з=° к=°

•х-1-у-1 N

+ Е Е Е^С^ [(дХПу)2 + (<9у^х)Т+ ^ Шг +

г=° .7=°

•х-1 Nу -1

+ Е Е Е ССС [(дхПг)2 + (дгПх)2]г+ 22 1х1у1г +

г=° з=° к=°

Nх N-1-г-1 2 2

+ Е Е Е С^С [(дуПг)2 + (дгПу)2+22 1х1у1г. (4.46)

г=° з=° к=°

Операция п • (Ух п) для каждой ячейки решетки выражается как:

п • (Ух п) = Пх (дуПг - дгПу,

Пу (дгПх - дхПг) + Пг (дхПу - дуПх) . (4.47)

Таким образом, вклад в энергию, содержащий п • (Ух п) представляется в виде суммы:

, N N N.

п • (Ух п) ЗУ ^^^[п • (Ух п)р С1С}фх1у1г. (4.48)

г=0 j=0 к=°

Вклад в энергию, пропорциональный (п • Н)2 может быть выражен следующим образом:

р Nх N

/ (п • Н)2ЗУ = ЕЕЕ[(п • Н)2]1зк С*С{фх1у1г. (4.49)

1=0 3=0 к=0

Вычисление вариации энергии

В решеточной модели градиент по п аналогичен вариации энергии в непрерывной модели. Для записи соответствующего выражения вычислим градиент каждой компоненты энергии в решеточной модели в направлении п.

(VI.!) Рассмотрим градиент компоненты (Уп)2 в узле решетки {ijк}:

дп{г]к}

Nу N

С\С\Ск1 (п^к] - п^"1^)2 + (п^} - п^'"1А})2+

.7=0 к=0

+ (пР} - пР"1})2

—2

С'С^Ск(п{хт - пх- С;+1С^'Ск(пГуК} - пхуя})

,{г-1з к}4

,{г +13 к}

,{гЗк}>

С\С1Ск(п{у'к} - п{у"1к}) - С'С'+С(п{у'+1к} - п{у'к})

С1С}Ск (п

к

{гЗк}

_ п{гзк-1} - п г

)- С

Шк+1}

Шк}

- п{

4.50)

)

Е Е Е сгс!-с (пУ+Цк} - пУг« )2 + (4«+"'! - п^)2

=0 =0 к=0

—2

с'С?-1 с к (пху'к} - пху-1к}) - С^Ск (пху'+1к}

Шк}

-пх }

)

с;-1с?ск (пУу'к} - п{г"ъ'к}) - с^ск (пУг+ъ'к} - пУу'к})

0

4.51)

•х-1 N N.-1

^ ^ ^ С^Ск (п{;+^к} - пР})2 + (пР+1} - п =0 =0 к=0

пгпЗПк-1(г, {гЗк} г,{гЭк~1}\ ГгГ^Гк(^ {Ук+1} ,К1{г.?'к}А Сг (Их -Их ) - С? (Их - Их )

—2

0

с? 1 с С (п

{г^к} ^{г-Ъ'к}

уг (пг пг ) \<ьг

) - с;с^сгк (п{+ъ'к} - пР})

4.52)

дп{г]к}

N N1

Чх

£ £ £ ссс[(п{«+»'> - п

2 + (п<да+1}п<^>)2]

¿=0 .7=0 &=0

= 2

0

С^С?-1^к} - пуг'к-1}) - (п{^+1} - п^к}) с{сг]ск(п{т - п¥-1к}) - с^С(п!У'+1"} - пР})

. (4.53)

(У1.2) Рассмотрим градиент каждой компоненты (У х п)2 в узле решетки

{1]к}:

дп{г]к}

N N—1NZ-1

Е Е Е (

¡=0 3=0 к=0

к (п{'^+1к} — п ! (пг пг

- (п.

=2

{гзк+1} _ ^{г -

0

к - 1 -В1^зк + з-1к

, (4.54)

2

дп{^ку

Nx — 1 N N.-1

Е Е Е с!с(сг ' -п %=0 3=0 к=0

Мзк+1} _

- (п{г-

П

=2

В2'%зк + В2^к-1 0

В2^к + -Цк

, (4.55)

2

dn{ijkj

nx—ln-1 nz

EEECiC^Ck (n.

=0 =0 k=0

{i+ljk}

— П.

— (n

' ij+1k} — np

=2

D3,ij k — D3,i j-lk — D3 ,ijk + D3 ,i-ljk

О

, (4.56)

dn{ijk}

Nx-l N Nz-1

E E E C'rCtCr ' —n

=0 =0 k=0

Mjk+l} _

— (п{г+1jk} —

n

=2

— D4,ijk + D4,ijk—1

О

D4,ijk + D4,í—ljk

, (4.57)

2

где:

г з г^к С- С? С?

( п

{гз+1к} _

п

- (п{гУк+1} -

п

к-1 С- С? С?

(п{г 1+1 к-1} - п{у'к-1}) - (пУ— - п,

■ {г.?к} У

{'зк~

1})"

-1 к С- С? С ?

(п{

{'3к} _ п[гЗ~1к}) _ (г,{гЗ-1к+1} _ п{'^-1к})

"1Ч) - (

п

п

)

гч г з к

( п

{г к+1} _

п

- (п{г+ъ'к} -

п

к-1

и2,'зк-1 — Сг

г-1?к

(п\

{гз к} _ п{гiк-1}) _ (п{г+Ъ'к-1} _ ^у^-

-> }) - (п{

пг

-1 к С? С- С?

(пхг"ъ'к+1} - пхг"ъ'к}) - (п

{ук} - п{г_1^к})

^з'зк —

' г^чк С? С-

( п

{г+Ъ'к}

п

- (п

{г :?+1к}

п

Ез,г з-1к Ез,г ~1]к

Е^к —

-1 к с ? С-

( п

{г+1?-1к} _ п{г.?-1к}) _ (г,{гЗк} _ г,{г3-

)

№

п

-1к})"

-1 к С ? С ? С-

пУ 1 к}) - (пхг"ъ'+1к}-пхг"^к})

( пу ' "У

Е2гзк, — Е2^к-1, Е4,г-1]к — Е2,г-1? к.

(VI.3) Рассмотрим каждую из компонент градиента каждой компоненты п • (Ух п) в узле решетки {ijк}:

dujk}

nx

Nx N — 1NX — 1

S

EEE CICICk nP} + n^+1k} + n^k+1} + n^+1k+1}+

=0 =0 =0

+ n'—1jk} + n{t—1j+1k} + n{« —ljk+1} + п{г—lj+lk+1}

(nz y+1k} — nO

— (n,

{ijk+1} _ —

l

8

C, Cr Cr

(n

{г j+lk}

— П

— (n.

{ijk+1}

— n.

+

—1 k + C, Cr Cr

k—1 + C, Cr Cr

i rii ri j — 1 rik—1 + C, Cr Cr

(n{y'k} — n{«i —1k}) — (пУу —1k+1} — n{ij — 1k})

y

{ij+lk—1} — n{iJk—1}) — (ny^k} — n{i^k—

+ +

{y'k—1} _ n{ij — 1k—1})_ (r{j — 1k} _ n{ij — 1k—

-iy) — (

n

+1 k + C, Cr Cr

+1 —1 k + C, Cr Cr

n{;+1H1k} — n{;

— (n.

{i+1jk+1}

n}

— n.

-1})

+

+

{i+ljk} — t+lj — lk}) — (n{ г+Ъ — lk+1} — ri{ i+lj —

-lk})

+1 —1 + C, Cr Cr

+1 —1 k—1 + C, Cr Cr

nz J — nz J J ) — 1 J — n;

(n{ «+1j+1k—1} — n{ i+lj k—1} ) — (n{ í+lj k} — nyi+1ik—1})

+ +

(4.5S)

д {i

{ijk}

Nx Ny — 1N, — 1

s

j2j2j2 WC k}+n^+lk}+np+l}+n^+lk+l}+

=0 =0 =0

+ nX—ljk} + nX'—lj+lk} + nX'—ljk+l} + n{i—lj+lk+l}

(n

{ij+Щ — n\i

— (n,

{ijk+1} _ y —

1

8

n

1 Wk—1} + nXlJ+1 k—1} + nP} + nXlJ+1 k} +

{i-ljk—1} I r {i-lj+lk—1} I r {i-ljk} I -lj+lk}] _

X I ' ^x I ' ^x I '^x

— C¡CJrCkr [nX'jk} + nXy'+1k} + nP+1} + nXy'+1k+1} +

ljfc} + n{i-lj+lk} + ljk+l} + lj+lfc+l}j

, (4.59)

д

{ijk}

Nx Ny — 1NX-1

8

i=0 j=0 k=0

E E E cictC; nXijk}+n^+lk}+np+1}+nXy'+1k+1}+

+ n{i—ljk} + n{«—lj+1 k} + n{í — ljfc+l} + n{i—1j+1k+1}

(n

z ij+lk} — nzi.

Г^ ^ Г^З — l^k Ct C r C r

n

{ij — 1k} i n{ijk} i ^{ij — 1k+1} i i ™ I / I / I I V rr I

П

{г—Ъ — 1Л} + „{г — b — 1Л} + „{г—Ъ —lfc+1} + „{г—1^+1}

™ I / I / I /

- cidd + п!у'+1к} + п^ к+1} + п^+1к+1}+

n

{г—ljfc} + Ъ+1 + „{« — ljk+l} + ^{¿—1^+1^+1}

™ I / V I / Vrr I / V

, (4.60)

n

1

dujk}

nx

Nr-1 Nv Nx-1

S

EEE C^CÍCk nyijk} + n{^'k} + r^k+1} + r^k+1} +

=0 =0 =0

+ n{y — lk} + n{i+1j — 1k} + n{tj — 1k+1} + n{ г+lj —lk+1}

(n

{ y'k+1} — nx

— n

l

s

n,

CrC, Cr

{ ij — l k—1} + n{i+1j — lk—1} + п{^ — 1 k} + n{i+1j — lk} J

— cicicf [n{;jk} + n{+yk} + n{;jk+1} +

n{y —1k} + n{i+1J — 1k} + n{y —1k+1} +

, (4.61)

д {i

{ijk}

Nr. — 1 N M-1

S

E E E CrCíck nyijk}+n{i+^k}+n{^k+l}+п^+'ч

=0 =0 =0

+ n{y — lk} + n^+lj — l k} + n{j — 1k+1} + n{ г+ъ — lk+1}

(n

{ijk+1} — nx

— n

C^ i Г^З fik Cr C, Cr

_ l

= 8 —1

+ cr c.

(nxijk+1} — k}) — (n