Лоренц-ковариантный анализ свойств квантовых солитонов в нелтнейных киральных бета-моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Дубиковский, Андрей Игоревич

• Дубиковский, Андрей Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дубиковский, Андрей Игоревич

Оглавление

Введение

1 Обобщенные вириальные соотношения для частице-подобных классических решений

1.1 Обобщенные вириальные соотношения

1.2 Обобщенные вириальные соотношения и нулевые моды

1.3 Диагональность гамильтониана в групповых переменных

1.4 Частицеподобные кластеры

1.5 Выводы и гипотезы

2 Спиновые свойства квантовых солитонов

2.1 Одночастичное представление группы Пуанкаре для классического решения

2.2 Спиновые свойства частицеподобных кластеров

2.3 Выводы

3 Существенно квантовые решения скирмовского типа в нелинейных а-моделях

3.1 Природа квантовых копий

3.2 Квантовые копии в 0(3) сг-моделях

3.3 Квантовые копии в вариационном подходе

3.4 Квантовые копии в модели Скирма

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Лоренц-ковариантный анализ свойств квантовых солитонов в нелтнейных киральных бета-моделях»

Введение

В последнее время в квантовой теории поля все большее внимание привлекают к себе существенно нелинейные полевые теории, имеющие решения с нетривиальными классическими составляющими. Обладая богатой квантово-полевой и топологической структурой, такие решения представляют интерес как с чисто теоретической точки зрения, так и практической. Действительно, достаточно вспомнить роль "инстантонной" физики в проблеме конфайнмен-та кварков, или проблему монополя в космологических теориях, чтобы видеть, что классические составляющие приводят, по существу, к новой физике. С другой стороны, рассмотрение в рамках квантово-полевой теории полей материи как точечных объектов, приводящее к неприятным трудностям в виде появления бесконечностей, наводит на мысль о построении теории частиц (скажем, барионов) как протяженных объектов с соответствующими квантовыми, симметрийными и структурными свойствами, описывающей всю иерархию наблюдаемых частиц.

Большинство решений с классическими составляющими имеют непертурбативную природу. Это означает, что, во-первых, классические составляющие не могут быть получены, если начинать с решения линейной части уравнений поля и рассматривать нелинейные члены по теории возмущений, и, во-вторых, возмущения около вакуумного состояния из одного гомотопического клас-

Г»р ио "\/ГО"РЛ/'гТл ГТГЛТЛ"ОРГ,гГТД ЪГ 7ТРТ4Т/Гал/Г Т/ГЧ ТТ"ПЛ/"ТПТП ТПА/ГПТ^ПТТТДХТРГТ^ПТ^П

11\_/ ХУЛ. VЛ V Л. И^Ш-»-I- Хк ^ ХА^ ^ ^ •** ^ А V

класса [1]. Таким образом, описание динамики квантовых полей в окрестности нетривиальной классической составляющей, соответствующей протяженному объекту, требует непертурбативного подхода, отличного от стандартной теории возмущений: с одной стороны, наличие классической составляющей требует для ее описания введения дополнительных переменных, соответствующих ее кинематическим степеням свободы, а с другой стороны, динамика и групповые свойства этих степеней свободы должны следовать из динамики квантовых полей, поскольку классическую составляющую можно рассматривать как конденсат из элементарных квантовых возбуждений [2]. Единственно правильным подходом в такой проблеме оказывается метод групповых переменных, когда из динамических переменных выделяются параметры группы симметрии системы [3]-[7]. Такие переменные отличаются от переменных классического решения на поправки, обусловленные наличием квантованного поля [8].

Следствием введения групповых переменных, восстанавливающих ковариантность теории относительно группы Пуанкаре, является появление специфичных решений, так называемых "квантовых копий", топологически идентичных исходному решению. Эти решения открыты и подробно обсуждены в цикле работ [9]-[11]. Такие решения имеют чисто квантовую природу и исчезают, если эффективная планковская постоянная теории % стремится к нулю.

ТТ у У ^

Причинои появления квантовых копии является точный учет квантовых свойств групповых переменных в сочетании с условием релятивистской ковариантности, приводящий к эффективной нелокальной теории в том смысле, что все дифференциальные операторы

теории заменяются на конечные разности с шагом 1%, Подобные разностные операторы возникают в КТП при формулировке квазипотенциального подхода на массовом гиперболоиде в импульсном пространстве [12].

В результате планковская постоянная входит в теорию не только через коммутационные соотношения, но и как динамический параметр через разностные операторы. Как следствие, такая эффективная теория допускает существование квантовых копий, которые характеризуются дополнительным целым числом АГ, приобретающим смысл дополнительного квантового числа, нумерующего соответствующие секторы в полном гильбертовом пространстве. Такие неклассические протяженные объекты занимают промежуточное положение между чисто классической составляющей с амплитудой и массой порядка 0( 1) и О (у/К) соответственно и вторично квантованными возбуждениями поля с амплитудами порядка О (у/К) и энергиями 0(7г), и должны быть включены в спектр возбуждений на равных основаниях.

Решения с классическими составляющими проявляют глубокие топологические свойства. Это позволяет рассматривать кван-тово-полевые теории с такими решениями (например, калибровочные теории) как более богатые структуры, нежели представлялось до открытия топологически нетривиальных объектов, таких как вихри, магнитные монополи, инстантоны. В типичном случае классические решения несут топологический заряд, обеспечивающий их стабильность. В квантовом варианте теории топологический заряд приобретает смысл дополнительного квантового числа [13], и, более того, может быть определен как квантовый оператор.

ТЛл/ГРТГУГТТТТРГСГ Т* ГТГ)И™П7ТР ^ПРЛ/ГРТ^НГЯ.ПЯ"Ы"Р Ч'Я.СТИТТКТ ПО С^ТТРГ.ТЯЛЛ

являются возбуждениями нетривиально устроенной среды - вакуума. Вопрос о детальной структуре вакуума остается все еще открытым, однако выяснены многие свойства низкоэнергетических возбуждений. Для описания таких возбуждений можно брать соответствующие удобные квантово-полевые модели, обладающие нужными свойствами при низких энергиях.

Наиболее интересными такими моделями, имеющими части-цеподобные решения, в настоящее время авляются модель Скир-ма, СРдг-модели и калибровочные янг-миллсовские теории. Интерес к модели Скирма (по имени английского физика Тони Скирма (Т. Н. Ы. Бкугте), предложившего еще в 60-х годах модель барионов как топологических солитонов) [14]—[19] обусловлен тем, что она претендует на описание барионов как солитонных решений нелинейной теории поля и может рассматриваться как А^ —> оо -предел квантовой хромодинамики [20, 21]. В КХД число цветов ЛГС равно трем, но теория упрощается, если число цветов устремить к бесконечности [22]. Оказывается, что в этом пределе основные свойства теории сохраняются, а поправки 0(1/АГс) малы. Хотя поправки высших порядков малости по 1/АГС5 вообще говоря, не могут быть просто отброшены и не приняты во внимание, тем не менее —У оо -предел не является бесполезным, он проливает некоторый свет на и(1)-проблему, возможно, имеет отношение к проблеме конфайнмента и, что особенно важно, весьма хорошо работает в феноменологии низкоэнергетической физики адронов [23, 24]. В частности, на качественном уровне можно понять вырождение по массам р- и ы-мезонов и отсутствие связанных состояний в спектре 7г7т-системы. Квазиклассическое квантование модели Скирма

методом коллективных координат позволяет получить правильные квантовые числа и основные статические параметры низколежа-щих барионов [17, 25]. Скирмовская модель привлекается также для решения так называемой мультибарионной проблемы, поскольку способна описывать структуру бариона и мезон-барионную и барион-барионную динамику одновременно [26]—[28].

Попытки объяснения явления высокотемпературной сверхпроводимости и квантового эффекта Холла активно стимулируют интерес к изучению различных моделей 2+1-мерной теории поля [29]. Основные объекты исследования здесь - это CPjy-модели и 2+1-мерная квантовая электродинамика. Введение в 2+1-мерные теории топологически нетривиального члена Черна-Саймонса [30] приводит к такому интересному результату, как появление дробного (не целого и не полуцелого) спина [31], и, как следствие этого, к ферми-бозе трансмутациям [32]. Есть основания считать, что частицы, обладающие дробным спином, называемые анионами (англ. - anyone), имеют отношение к ВТСП. Имеются также попытки привлечь монопольные решения 2+1-мерной КЭД с черн-саймоновским членом для объяснения явления ВТСП [33]. Добавление к CPi-модели (являющейся 2+1-мерной 0(3) а-моделью) так называемого члена Хопфа также приводит к дробному спину и статистике [34].

Монопольные решения типа монополя т'Хофта-Полякова возникают в любых калибровочных теориях, где простая калибровочная группа нарушается до меньшей группы, явно содержащей в качестве множителя группу U(l) [35]. Устойчивость таких монопольных решений основана на топологических рассуждениях. Так,

известная 8и(5)-модель теории великого объединения, нарушаемая сначала до группы 8и(3)сх811(2)ь х11(1), а затем-до 811(3)схи(1), имеет монополь типа монополя т'Хофта-Полякова с очень большой массой тм ~ Меи/а , определяемой масштабом энергии великого объединения и ~ 1015СеУ. Такая большая масса означает, что монополь теории великого объединеия находится вне пределов досягаемости при работе на ускорителях, и, более того, почти не может возникнуть во Вселенной на современном этапе ее развития. Таким образом, единственный источник монополей - это Большой взрыв. В масштабах времени Большого взрыва, то есть на очень ранней стадии развития Вселенной, монополь играл существенную роль. Фактически попытки подавить избыток монополей в обычной космологии и привел первоначально к сценарию "раздувающейся" Вселенной и последующему его усовершенствованию, что оказалось весьма многообещающим при решении различных фундаментальных проблем космологии.

Среди известных топологических солитонных решений упомянутых моделей наибольший интерес представляют решения с топологически нетривиальным анзацем вида

9"{х) = £/(г) для скалярного триплета, и

гз

А{а(х) = £аЦ—д(г), А0а(х) = О

для триплета калибровочных векторных полей, где индекс а у полей (р и Аца относится к внутренней группе симметрии, а индекс а у радиус-вектора г является пространственным. Этот "непричесанный" анзац известен также как "кейдеНод", или "еж", "дикобраз", в связи с тем, что направление изотопического спина этих

ГТПТТОТЛ- та ТДЧГ^ПТТТ/ГГГРГ'ТГПЪ/Г ПППГТПЯТЧТ'ТТЗР ?тТТЯ'РгГëà Жл/'ТТ'К'ТТТ/ГРИ ТГППП ГГТ/Т-

XXV/»' Л/ х_/ л. К-/Л.Л. Л4. х V V V ж V а. V «а« -1- ^ J ллхъи,^« ^¿д. а»-1-'

нат обычного пространства. При этом изотопический вектор скалярного поля направлен в изотопическом простпанстве туда же, куда и радиус-вектор в обычном пространстве, а изотопический вектор векторного поля ортогонален радиус-вектору. Такое смешение внутренних и пространственных индексов приводит к соли-тонным состояниям со сложной внутренней структурой. В частности, квантовый гамильтониан, описывающий такие состояния, будет в общем случае перемешивать спиновые и изоспиновые степени свободы. Это является типичным эффектом, возникающим при квантовании нетривиальных классических решений, когда соответствующий квантовый гамильтониан содержит общую квадратичную форму по всем степеням свободы [6, 7]. С другой стороны, наличие локализованной плотности энергии в системе центра масс показывает, что мы имеем дело с протяженной частицей. От того, каким образом частицеподобность такого классического решения проявляется в кинематике и динамике системы, зависит и общее понимание теории, и пути экспериментальных поисков.

Настоящая диссертационная работа посвящена лоренц-кова-риантному анализу свойств частицеподобных кластеров и квантовых солитонов в нелинейных киральных сг-моделях.

В настоящей работе получены следующие результаты.

1. Исходя из требования ковариантности теории получено обобщение вириальных соотношений Хобарта-Деррика для классических солитонных решений в квантовой теории поля.

По существу, обобщенные вириальные соотношения являются

следствием частицеподобности решения. Эти соотношения естественным образом возникают в контексте квантования флуктуаций в окрестности протяженного объекта в коллективных переменных. Именно, следствием частицеподобности решения является корректный вид гамильтониана с аддитивными вкладами кинетических и центробежных слагаемых, что означает отсутствие корреляций между трансляционными и вращательными нулевыми модами.

2. Исходя из одночастичного представления группы Пуанкаре получены соотношения на классическую конфигурацию, описывающую частицу со спином, и, тем самым, установлены спиновые свойства квантованных классических решений в общем виде.

3. Рассмотрена реализация полученных соотношений для конкретных классических солитоноподобных решений наиболее интересных моделей теории поля, а именно, для кинковых решений 1+1-мерной теории, для скирмовских решений 2+1-мерной СР1-модели (так называемых "6а6?/-скирмионов"), для 8и(2)-скирмионов и для монопольного решения т'Хофта-Полякова 811(2)-теории Янга-Миллса-Хиггса.

4. Исследовано условие ортогональности системы нулевых мод в конкретных моделях теории поля.

5. Установлена связь между обобщенными вириальными соотношениями и условием "стабильности", следующим из соображений устойчивости.

6. Построены квантовые копии солитонных решений 0(3) о-модели в случае двух пространственных измерений. Исследованы их свойства. Найдены функции профиля, массы, характерные раз-

л/гаг>т~т т/г т^лггпттпттл-хтргтсир чя.пстптл1 7ТТГ5Г чтт/гк" т^т^яттт^овьчтх КОТТТ/гЙ

7. Исследованы свойства квантовых копий в моделях Скир-ма в случае двух и трех пространственных измерений. Найдены характерные величины для таких решений.

Основные результаты диссертационной работы изложены в работах [52]-[55] и представлены на Международном семинаре по физике высоких энергий и теории поля (Протвино).

Структура диссертационной работы следующая. В Главе 1 выводятся обобщенные вириальные соотношения для классических решений в теории поля в общем виде. Устанавливается их связь с задачей квантования частицеподобных кластеров методом групповых переменных. Рассматривается реализация полученных соотношений в наиболее интересных моделях теории поля. В Главе 2 получены соотношения на классическую конфигурацию, описывающую частицу со спином и тем самым установленны спиновые свойства квантованных классических решений в общем виде. Рассмотрены конкретные модели. В Главе 3 излагается построение квантовых копий в нелинейных киральных сг-моделях и изучаются их свойства. В Заключении кратко формулируются результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Дубиковский, Андрей Игоревич

Основные результаты диссертационной работы изложены в работах [52]—[55]. и представлены на Международном семинаре по физике высоких энергий и теории поля (Протвино).

Я считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность Константину Алексеевичу Свешникову за внимательное научное руководство и формирование моего физического мировоззрения. Я благодарен Петру Константиновичу Силаеву за интерес к работе и искреннюю помощь. Я признателен всему коллективу кафедры квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета МГУ за создание доброжелательной атмосферы.

Заключение

Важно отметить, что предлагаемый анализ легко обобщается для других солитонных моделей, включающих векторные поля и т. д. С другой стороны, соотношения (1.6), (1.10) и (2.11)—(2.13), не связанные с уравнениями движения, могут быть весьма важными в качестве дополнительных условий в приближенных вычислениях. Например, они могут использоваться для проверки различных ап-проксимационных функций, описывающих профиль киралного угла скирмиона [17]-[19],[47]. В отношении к модели Скирма изложенный анализ согласуется с хорошо известным результатом [48, 49], согласно котрому спин БИ (2)-скирмиона может быть произвольным.

Кратко сформулируем полученные в настоящей работе результаты.

1. Исходя из требования ковариантности теории получено обобщение вириальных соотношений Хобарта-Деррика для классических солитонных решений в квантовой теории поля.

По существу, обобщенные вириальные соотношения являются следствием частицеподобности решения. Эти соотношения естественным образом возникают в контексте квантования флуктуаций в окрестности протяженного объекта в коллективных переменных. Именно, следствием частицеподобности решения является корректный вид гамильтониана с аддитивными вкладами кинетических и центробежных слагаемых, что означает отсутствие корреляций между трансляционными и вращательными нулевыми модами.

2. Исходя из одночастичного представления группы Пуанкаре получены соотношения на классическую конфигурацию, описывающую частицу со спином, и, тем самым, установлены спиновые свойства квантованных классических решений в общем виде.

3. Рассмотрена реализация полученных соотношений для конкретных классических солитоноподобных решений наиболее интересных моделей теории поля, а именно, для кинковых решений 1+1-мерной теории, для скирмовских решений 2+1-мерной СРх-моде-ли (так называемых "бабу-скирмионов"), для 811(2)-скирмионов и для монопольного решения т'Хофта-Полякова 811(2)-теории Янга-Миллса-Хиггса.

4. Исследовано условие ортогональности системы нулевых мод в конкретных моделях теории поля.

5. Установлена связь между обобщенными вириальными соотношениями и условием "стабильности", следующим из соображений устойчивости.

6. Построены квантовые копии солитонных решений 0(3) а-модели в случае двух пространственных измерений. Исследованы их свойства. Найдены функции профиля, массы, характерные размеры и топологические заряды для этих квантовых копий.

7. Исследованы свойства квантовых копий в моделях Скир-ма в случае двух и трех пространственных измерений. Найдены характерные величины для таких решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дубиковский, Андрей Игоревич, 1998 год

Литература

[1] R. Jackiw. Quantum meaning of classical field theory. Rev. Mod. Phys., Vol. 49, No. 3 (1977) p. 681-706.

[2] К. А. Свешников. Квантовая динамика протяженного объекта в групповых переменных H. Н. Боголюбова. ТМФ, т. 74, No. 3 (1988) р. 373-391.

[3] J.-L. Gervais, A. Jevicki and В. Sakita. Perturbation expansion around extended-particle states in quantum field theory. Phys. Rev., Vol. D12, No.4 (1975) p. 1038-1051.

[4] E. Tomboulis. Canonical quantization of nonlinear waves. Phys. Rev., Vol. D12, No. 6 (1975) p. 1678-1627.

[5] N. П. Christ and T. D. Lee. Quantum expansion of soliton solution. Phys. Rev., Vol. D12, No. 6 (1975) p. 1606-1627.

[6] E. Tomboulis and G. Woo. Dirac quantization of N-solitons. Ann. Phys. (N. Y.), Vol. 98 (1976) p. 1.

[7] O. A. Khrustalev, A. V. Razumov and A. Yu. Taranov. Collective coordinate method in the canonical formalism: Bogoljubov's transformation. Nucl. Phys., Vol. В172 (1980) p. 44-58.

[8] К. А. Свешников. Диссертация доктора физ.-мат. наук. M.: МГУ, 1990.

[9] К. Sveshnikov. Quantum reduplication of classical solitons. Nu-cl. Phys., Vol. B405 (1993) p. 451.

[10] K. A. Sveshnikov. Nonclassical analogs of classical soliton solutions. Int. Journ. of Mod. Phys., Vol. A9, No.15 (1994) p. 25832602.

[11] К. А. Свешников. Неклассические аналоги солитонов в квантовой теории полл. ТМФ, т.94, No.l (1993), с.52-65.

[12] В. Г. Кадышевский, Р. М. Мир-касимов, Н. Б. Скачков. Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел. ЭЧАЯ, т. 2 (1972), с. 3637-3696.

[13] С. Rebbi and P. Soliani. "Solitons and ParticlesWorld Scientist, Singapore, 1984.

[14] T. H. R. Skyrme. A non-linear theory of strong interactions. Proc. Roy. Soc., Vol. A427, No. 1249 (1958) p. 260-278.

[15] T. H. R. Skyrme. A non-linear field theory. Proc. Roy. Soc., Vol. A260, No. 1300 (1961) p. 127-146.

[16] T. H. R. Skyrme. Particle states of a quantized meson field. Proc. Roy. Soc., Vol. A262, No. 1309 (1961) p. 237-245.

[17] I. Zahed and G. E. Brown. The Skyrme model. Phys. Rep., Vol. 142 No. 1,2 (1986) p. 1-102.

[18] G. Holzwarth and B. Schwesinger. The Skyrme model. Rep. Prog. Phys., Vol. 49 (1986) p. 825.

[19] В. Г. Маханьков, Ю. П. Рыбаков, В. И. Санюк. Модель Скирма и сильные взаимодействия. УФН, т. 162 (1992) с. 1.

[20] E. Witten. Global aspects of current algebra. Nucl. Phys., Vol. B223 (1983) p. 422-432.

[21] E. Witten. Current algebra, baryons, and quark confinement. Nucl. Phys., Vol. B223 (1983) p. 433-444.

[22] G. 't Hooft. Magnetic monopoles in unified gauge theories. Nucl. Phys., Vol. B72 (1974) p. 461.

[23] G. S. Adkins, C. R. Nappi and E. Witten. Static properties of nucleons in the Skyrme model. Nucl. Phys., Vol. B228 (1983) p. 552-566.

[24] G. S. Adkins and C. R. Nappi. Model independent relations for barions as solitons in mesonic theories. Nucl. Phys., Vol. B233 (1984) p. 109.

[25] J. A. Mignaco and S. Wulck. On the physical content of the SU(2) Skyrme model. J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., Vol. 18 (1992) p. 1309-1334.

[26] R. D. Amado, H. Liu, M. Oka and E. Wong. Quantum one-mezon exchange in soliton models. Phys. Rev. Lett., Vol. 63, No. 8 (1989) p. 852-855.

[27] H. Yamagichi and I. Zahed. Nucleon-nucleon Hamiltonian from Skyrmions. Phys. Rev., Vol. D43, No. 3 (1991) p. 891-903.

[28] N. R. Walet and R. D. Amado. Skyrmions and the nuclear force. Phys. Rev., Vol. C47, No. 2 (1993) p. 498-511.

[29] A. M. J. Schakel. Superconductivity in the 2+1 -dimensional nonlinear a-model. Phys. Rev., Vol. D44 (1991) p. 1198.

[30] J.Schonfeld. Mass term for three-dimansional gauge fields. Nu-cl. Phys. Vol., B185 (1981) p. 157.

[31] R. MacKenzie and F. Wilczek. Partial spin and statistics in two space dimensions. Int. Journ. Mod. Phys., Vol. A3 (1988) p. 2827.

[32] A. M. Polyakov. Mod. Phys. Lett., Vol. A3 (1988) p. 325.

[33] I. Affleck, J. Harvey, L. Palla and G. Semenoff. The Chern-Simons term versus the monopole. Nucl. Phys., Vol. B328 (1989) p. 575.

[34] N. К. Рак and R. Percacci. Multi-vortex solutions of the abelian Chern-Simons-Higgs theory. Phys. Rev., Vol. D43 (1991) p. 1375.

[35] V. A. Rubakov. Monopole catalysis of proton decay. Rep. Prog. Phys., Vol. 51 (1988) p. 189-241.

[36] P. Раджараман. Солитоны и инстантоны. М.: Мир, 1985.

[37] D. P. Cebula, A. Klein and N. R. Walet. Recoil effects in a quantum theory of the Skyrmion. J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., Vol. 18 (1992) p. 499-520.

[38] Ф. И. Федоров. Группа Лоренца. M.: Наука, 1979.

[39] R. Н. Hobart. Proc. Roy. Soc., Vol. 82 (1963) p. 201.

[40] G. H. Derrick. Comments of non-linear wave equation as models for elementary particles. J. Math. Phys., Vol. 5 (1964) p. 1252.

[41] A. M. Polyakov. Gauge Fields and Strings. Chap. 8. Harwood, New York, 1987.

[42] А. А. Белавин, A. M. Поляков. Метастабилъные состояния двумерных изотропных ферромагнетиков. Письма в ЖЭТФ, т. 22, No. 10 (1975) р. 503-506.

[43] H. Verschelde and H. Verbeke. Nonrigid quantization of the skyrmions. Nucl. Phys., Vol. A495 (1989) p. 523.

[44] H. Liu and M. Oka. Pion fluctuations around a moving and rotating skyrmion. Phys. Rev., Vol. D40 (1989) p. 883.

[45] A. Hayashi, S. Saito and M. Uehara. Pion-nucleon scattering in the Skyrme model and the Tl-wave Born amplitudes. Phys. Rev., Vol. D43 (1991) p. 1520.

[46] Ю. Швингер. Частицы, источники, поля. М.: Мир, 1973.

[47] P. Sutcliffe. Skyrmions from kinks. Phys. Lett., Vol. B292 (1992) p. 104-106.

[48] A. Balachandran. TASI Lectures at Yale University. 1985.

[49] I. J. R. Aitchison. Berry phases, magnetic monopoles, and Wess-Zumino terms or how the skyrmion got its spin. Acta Phys. Pol., Vol. B18, No. 3 (1987) p. 207-235.

[50] K. A. Sveshnikov. Finite-difference effects and quantization of classical solutions. Phys. Lett., Vol. A136, No. 1 (1988) p. 1-5.

[51] К. А. Свешников. Конечно-разностные эффекты в квантовой теории полл и квантование классических решений. ТМФ, т. 82, No. 1 (1990) с. 55-65.

[52] A. Dubikovsky and К. Sveshnikov. Decoupling of translational and rotational modes for a quantum soliton. Phys. Lett., Vol. B317 (1993) p. 581-589.

[53] A. Dubikovsky and K. Sveshnikov. Spin content of the quantum soliton. Phys. Lett., Vol. B321 (1994) p. 80-87.

[54] A. Dubikovsky. Lorevdz-Covariant Analysis of a Quantum Soliton. Proceedings of the XVIII Workshop on High Energy Physics and Field Theory "Quanta. Relativity. Gravitation." Protvino, 1996. P. 303.

[55] А. И. Дубиковский. Существенно квантовые решения скир-мовского типа в нелинейных а-моделях. Препринт ITPM-PRE/98-5, Москва, 1998 г.