Масштабирующие функции и вейвлеты с коэффициентом масштабирования N>2 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Подкур, Полина Николаевна

• Подкур, Полина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Подкур, Полина Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАСШТАБИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ.

1.1. Масштабирующие функции с коэффициентом N>2.

1.1.1. Построение масштабирующей функции.

1.1.2. Л^-кратномасштабное разложение.

1.1.3. Кратные коэффициенты масштабирования.

1.2. Примеры ^масштабирующих функций.

1.2.1. Масштабирующие функции Хаара.

1.2.2. Масштабирующие функции Котельникова-Шеннона.

1.2.3. Масштабирующие функции Мейера.

1.2.4. Вырожденные масштабирующие функции Кантора.

1.2.5. Сплайновые масштабирующие функции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Масштабирующие функции и вейвлеты с коэффициентом масштабирования N>2»

В последние десятилетия функции с графиком типа небольшой волны (вейв-леты) успешно используются для изучения сигналов вместо традиционных (длинных) синусоидальных волн. Теория вейвлетов дает новую более гибкую технику обработки сигналов. Одно из основных преимуществ вейвлет-анализа заключается в том, что он позволяет заметить хорошо локализованные изменения сигнала, тогда как анализ Фурье этого не дает - в коэффициентах Фурье отражается поведение сигнала за все время его существования. Хотя понятия вейвлета и вейвлет-разложения являются сравнительно новыми, они уже нашли широкие применения в обработке сигналов [2] и [7]. На русском языке изданы переводы трех монографий классиков теории вейвлетов, И. Добеши, К.Чуи и С. Малла [6], [10], [33]. В последние годы издано несколько книг отечественных авторов по теории вейвлетов [3]\, [8], [11], [12], [13], [28].

В теории вейвлетов основную роль играют, так называемые, масштабирующие функции [6], [28], [33]. Для коэффициента масштабирования 2 известно достаточно много примеров масштабирующих функций, имеются методы их построения [6], [28], [33]. Ситуация значительно сложнее в случае произвольного целочисленного коэффициента масштабирования N>2. Теория вейвлетов для коэффициента масштабирования N>2 не получила должного развития, хотя некоторые результаты о масштабирующих функциях и вейвлетах получены в работах [6], [34], [35], [39], [43]. Недостаточный прогресс в данном направлении связан с недостаточным числом построенных масштабирующих функций с коэффициентом масштабирования N>2. Однако необходимость в такой теории имеется. В задачах экономического происхождения, где отсчеты времени обладают определенной периодичностью, требуются вейвлеты именно с коэффициентом масштабирования N>2.

Диссертация посвящена построению масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2 и разработке методов их использования для вейвлет-анализа временных рядов с периодичностью по времени. Классическими примерами таких рядов являются массивы данных об объемах, или ценах продаж товарного или фондового рынка. Например, при анализе 15-минутных данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с параметром масштабирования iV=4 (поскольку в часе таких периодов - 4). Далее, при анализе часовых данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с параметром N= 8 (поскольку рабочий день состоит из 8 часов). При анализе дневных данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с коэффициентом N=5 (поскольку неделя работы рынка содержит 5 рабочих дней). Кроме того, при анализе дневных показателей продаж (не обязательно фондового рынка) естественно использовать вейвлеты с параметром N-7 (недельный цикл), с отдельной выборкой данных за выходные дни. Таким образом, тема работы является современной и актуальной.

Основные результаты.

1. Построены новые примеры А'-масштабируемых функций. Показана N-масштабируемость 5-сплайнов.

2. Построены новые примеры вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2.

3. Для любого натурального параметра N предложены новые методы построения неортогональных вейвлетов (фильтров разложения) и дуальных вейвлетов (фильтров восстановления) на основе В-сплайнов. Для нахождения фильтров разложения и фильтров восстановления разработана программа в среде Maple. Используя эту программу вычислена большая серия фильтров вейвлетов на основе 5-сплайнов и фильтров восстановления для разных значений N и степени спояйна р.

4. Найдены новые методы построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем для любого натурального параметра N>2. Используя эти методы построено однопара метрическое семейство масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N=3. Для нахождения масштабирующих фильтров разработана программа в среде Maple. Для построения вейвлетов написана программа на m-языке MATLAB.

5. Разработаны методы использования вейвлет-анализа с коэффициентом масштабирования N>2 для исследования временных рядов, возникающих в экономике.

6. На основе пакетного вейвлет-анализа предложены новые числовые характеристики кардиосигналов, которые существенно отличаются от традиционных (диагностическая значимость этих числовых характеристик требует дополнительных медицинских исследований). Создана автономная программа в среде Borland С++ Builder, реализующая данные методы.

7. Для создания приложения на Borland С++ Builder развиты методы MATLAB использования математических библиотек MATLAB при программировании на Borland С++ Builder.

Новизна результатов. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми и получены лично автором, либо в соавторстве с научным руководителем.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование", Анжеро-Судженск, 2004; на V Международной научно-практической конференции "Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике", Новочеркасск, 2005 г.; на IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса", Кемерово, 2005 г.; на седьмой Всероссийской научно-практической конференции "Новые достижения в развитии электрокардиографии", ГУ НИИ кардиологии Томского научного центра СО РАМН «Тюменский кардиологический центр», Тюмень, 2005 г. (тезисы, стендовый доклад); на региональной конференции по математическому образованию на Алтае, Барнаул, 2006 г.; на Всероссийской научно-технической конференции "Новые материалы и технологии в машиностроении", Рубцовск, Алтайского края, 2006 г. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре кафедры математического анализа КемГУ, на семинаре кафедры высшей и прикладной математики РГТЭУ (Кемеровский институт), на семинарах БГПУ (Барнаул) и ТГУ (Томск).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 7 статьях (из них 1 -в журнале, рекомендованном ВАК, 2 - в электронном журнале, рекомендованном ВАК и 2 - в зарубежном электронном журнале) и в 6 тезисах и материалах конференций. Часть результатов опубликована в монографии [18]. Общее количество публикаций по теме диссертации - 14.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложений. Объем диссертации - 233 стр.: 187 стр. основного текста и приложений на 46 стр. Список литературы - 43 наим.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Подкур, Полина Николаевна

Основные результаты данной главы:

1. Развиты методы получения числовых характеристик кардиосигнала на основе анализа высокочастотных компонент кардиосигнала, предложенные в работе [28].

2. Разработан ряд программ, написанных в среде MATLAB, на Borland С++ Builder создана автономная программа, в которой реализованы данные методы. Для написания программы на Borland С++ Builder развиты методы MATLAB использования математических библиотек MATLAB при программировании на Borland С++ Builder.

3. Проанализировано 76 записей кардиосигналов. Полученные числовые характеристики показывают их зависимость от состояния больного. Поэтому они могут быть использованы как дополнительные характеристики электрической активности сердца.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Подкур, Полина Николаевна, 2007 год

1. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 2000.

2. Астафьева H. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН. 1996. - Т. 166. - № 11. - С. 1145-1170 (электронный вариант: http://www.ufn.ru/ ufn96/ufn96l l/Russian/r961 la.pdf).

3. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. -273 с.

4. Воробьев А. С. Электрокардиография. Новейший справочник. М.: Изд-во Эксмо; СПб.: Сова, 2003. - 560 с.

5. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. - 208 с.

6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М.; Ижевск: РХД, 2001.

7. Дремин И. М., Иванов О.В.,Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН. 2001. - Т. 171. - № 5. - С. 465-501 (электронный вариант: http://www.ufn.ru/ufn01 /ufn015/Russian/r015a.pdf).

8. Истомина Т.В., Чувыкин Б.В, Щеголев В.Е. Применение теории Wavelets в задачах обработки информации. Пенза, Изд-во Пензенского госуниверситета, 2000. - 188 с.

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

10. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005.

11. Новиков JL В. Основы вейвлет-анализа сигналов: Учебное пособие. -СПб.: Изд-во ООО "МОДУС+", 1999. 152 с. (электронный вариант доступен по адресу http://gamma.niimm.spb.su/user/dmp/BookNovikov.html).

12. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. -М.:Физматлит, 2005. 616 С.

13. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков: Учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. 132 с. (электронный вариант: http://gamma.niimm.spb.su/user/dmp/Petukhov/Papers/book.ps.gz).

14. Подкур П.Н. О высокочастотных компонентах кардиосигнала // Материалы V Международной научно-практической конференции "Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике". Новочеркасск, 21 января 2005. - С. 19-26.

15. Подкур П.Н. Пакетные вейвлет-коэффициенты кардиосигнала // Труды IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса". Кемерово, 3-4 февраля 2005. - С. 221-222.

16. Подкур МЛ., Подкур П.Н., Смоленцев Н.К. Программирование в среде Borland С++ Builder с математическими библиотеками MATLAB C/C++. Москва, ДМК Пресс, 2006. - 496 е.: ил., CD

17. Подкур П.Н. О некоторых типах вейвлетов с параметром масштабирования 3 // Вестник КемГУ. 2006, - № 3(27). - С. 21-25

18. Подкур П.Н. Об //-масштабируемости 5-сплайнов // Вестник КузГТУ. -2006,-№6(57).- С. 8-10.

19. Подкур П.Н. JV-масштабируемость 5-сплайнов // Тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае. Барнаул, 24 ноября 2006. - С. 24-27.

20. Подкур П.Н. О построении вейвлетов с коэффициентом масштабирования N на основе В-сплайнов. // Электронный научный журнал "Исследовано в России", 014, 128-138, 2007. (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/ 014.pdf)

21. Подкур П.Н. Построение вейвлетов с коэффициентом масштабирования N на основе В-сплайнов // Вестник КемГУ. 2006. - № 4(28). - С. 19-24

22. Подкур П.Н. О построении некоторых типов вейвлетов с коэффициентом масштабирования N // Электронный научный журнал "Исследовано в России", 093, 965-974, 2007. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/093.pdf

23. Подкур П.Н. Использование iV-канального вейвлет-разложения для анализа экономических данных // Вестник КемГУ. 2007. - № 2(30). - 6 С. (в печати).

24. Подкур П.Н. О построении некоторых типов вейвлетов с коэффициентом масштабирования NU Вестник НГУ. 2007. - №4. - 15 С. (в печати).

25. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. -М.,ДМК Пресс, 2005,303 с.

26. Смоленцев Н.К., Цыганкова Т.И. О высокочастотных компонентах кардиосигнала. // Труды IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса". Кемерово, 3-4 февраля 2005. - С. 231-232.

27. Попечителев Е.П., Кореневский Н.А. Электрофизиологическая и фотометрическая медицинская техника. М.: Высшая школа, 2002. - 303 с.

28. Чуй К. Введение в вэйвлеты. -М.: Мир, 2001.

29. Bratteli О., Jorgensen P. E. T. Wavelet filters and infinite-dimensional unitary groups // Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA. arXiv.org: math.FA/0001171,2000. 30 P.

30. Davidson R., Labys W.C., Lesourd J.-B. Wavelet Analysis of Commodity Price Behavior // Comput. Economics. 1998. -V. 11. - P. 103-128.

31. Ishikawa Y., Mochimaru F. Wavelet Theory-Based Analysis of High-Frequency, High- Resolution Electrocardiograms: A New Concept for Clinical Uses // Progress in Biomedical Research. 2002. - Vol. 7, No. 3. - P. 179-184.

32. Ishikawa Y. Wavelet Analysis for Clinicial Medicine. Chapter 6 : SAECG (Signal Averaged ECG) which was seen from Wavelet Analysis -Supplement -original color images, http://www.uinet.or.jp/~ishiyasu/ch6/index.html

33. Jorgensen P.E.T. Matrix Factorizations, Algorithms, Wavelets // Notices Amer. Math. Soc. 2003. - Vol. 50., no. 8. - 880-894 P. (Электронный вариант статьи: http://www.math.uiowa.edu/ ~jorgen/fea-jorgensen.pdf)

34. Mochimaru F., Fujimoto Y. Detecting the Fetal Electrocardiogram by-Wavelet Theory-Based Methods // Progress in Biomedical Research. 2002. -Vol. 7, No. 3. - P. 185-193

35. Podkur P.N., Smolentsev N.K. Construction of some types wavelets with coefficient of scaling N // Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA.: arXiv.org: math.FA/0612573, 2006. 19 P.

36. Podkur P.N., Smolentsev N.K About construction of orthogonal wavelets with compact support and with scaling coefficient N // Международный электронный научный журнал arXiv.org, USA. arXiv:0705.4150vl math.FA], 2007,15 P.

37. Vaidyanathan, P. P. Multirate Digital Filters, Filter Banks, Polyphase Networks, and Applications: A Tutorial // Proceedings of the IEEE. 1990. - Vol. 78, No. 1 - P. 65-93

38. В этом разделе приведены листинги и описание программ, используемых в диссертации.