Масштабы фазовой аберрации активного элемента и пути управления качеством изучения в лазерах на неодимовом стекле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.27.03, кандидат физико-математических наук Страхов, Сергей Юрьевич

• Страхов, Сергей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Страхов, Сергей Юрьевич

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Список сокращений и условных обозначений

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ В ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ЛАЗЕРАХ: СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧА ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Тепловыделение в активной среде твердотельных лазеров. Тепловое и напряженно-деформированное состояние активных элементов

1.2. Термооптические аберрации и их влияние на параметры излучения твердотельных лазеров

& .3. Подходы к компенсации термооптических искажений волнового фронта

Выводы по главе 1

2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПТИЧЕСКОГО КАЧЕСТВА АКТИВНЫХ СРЕД ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ЛАЗЕРОВ

2.1. Критерии качества излучения и оценка эффективности лазерной системы

2.2. Экспериментальная диагностика лазерной активной среды

2.2.1. Использование интерферометра бокового сдвига для исследования фазовых неоднородностей в активной среде

2.2.2. Поляризационно-оптический анализ термонапряженного состояния активных элементов

2.2.3. Особенности экспериментальной диагностики

2.3. Численное моделирование процессов в активной среде твердотельных лазе- , ров

2.3.1. Расчет распределения радиации накачки и структуры объемного тепловыделения в активной среде

чг

2.3 .2. Моделирование полей температуры и напряженно-

деформированного состояния активного элемента

2.3.3. Методика анализа многомасштабности фазовых возмущений волнового фронта и особенности решения дифракционной задачи

Выводы по главе 2.

¿7

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ОПТИЧЕСКИХ НЕОДНОРНОСТЕЙ АКТИВНОЙ СРЕДЫ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧНОГО ЛАЗЕРА НА НЕОДИМОВОМ СТЕКЛЕ

3.1. Структура фазовых искажений в активном элементе импульсного твердотельного лазера

3.2. Особенности формирования оптически неоднородной среды при ,;7 импульсно-периодической накачке

. 3.3. Эффект деполяризационной потери контраста интерференционного поля

при диагностике цилиндрических твердотельных матриц

3.4. Особенности термонапряженного и оптического состояния цилиндрических активных элементов при азимутальной неоднородности накачки

3.5. Масштабы фазовой аберрации активного элемента и их влияние на • характеристики излучения твердотельных лазеров

Выводы по главе 3

4. УЛУЧШЕНИЕ ОПТИЧЕСКОГО КАЧЕСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ И ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ЛАЗЕРОВ

4.1. Пассивная коррекция искажений волнового фронта

4.2. Практика пассивной коррекции фазовых неоднородностей активной среды твердотельных лазеров

4.2.1. Подходы к параметрической оптимизации лазера-усилителя на неодимовом стекле

4.2.2. Метод фазового сопряжения в задаче компенсации наведенного двулучепреломления и искажений волнового фронта в цилиндрических активных элементах

4.2.3. Апертур ное диафрагмирование - возможность повышения интенсивности излучения в зоне использования

\

4.3. Некоторые рекомендации по управлению оптическим качеством излучения твердотельных лазеров

Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Список сокращений и условных обозначений. Сокращения:

ТЛ - твердотельный лазер; АЭ - активный элемент; АС - активная среда; ВФ - волновой фронт;

ИР - режим одиночных импульсов (импульсный режим);

ИПР - импульсно-периодический режим;

ЛН - лампа накачки;

ФС - фазовое сопряжение;

АД - апертурное диафрагмирование;

/ЩИ - диаграмма направленности излучения.

Условные обозначения:

Д, - радиус активного элемента; /0 - длина активного элемента; Ш- число Био;

Лт - коэффициент теплопроводности;

ат - коэффициент температуропроводности;

ат - коэффициент линейного температурного расширения;

Е - модуль Юнга;

ц - коэффициент Пуассона;

{О / <90 )0 8 - нормированный угол расходимости;

А<ртз - среднеквадратичный разброс фазы;

5/г- число Штреля;

- полная энергия тепловыделения в активной среде за импульс накачки, отнесенная к массе активного элемента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Масштабы фазовой аберрации активного элемента и пути управления качеством изучения в лазерах на неодимовом стекле»

ВВЕДЕНИЕ.

Эффективность лазерной системы, как известно, в равной степени определяется двумя факторами: энергией (мощностью) и качеством излучения. Одним из основных показателей качества излучения является однородность ВФ, которая может характеризоваться, например, степенью отличия формы ВФ от плоской. Важность этого показателя особенно очевидна, если применение лазера сопряжено с транспортировкой излучения на значительные расстояния или его фокусировкой. И в том, и в другом случае использование излучения происходит в дифракционной зоне Фраунгофера, где плотность лучевой энергии определяется фурье-преобразованием фазора светового поля в апертуре лазера [1,2]. Возможные отклонения амплитудного и особенно фазового распределения от равномерного будут приводить к увеличению расходимости излучения по сравнению с дифракционным пределом и, в конечном счете, к уменьшению плотности лучевой энергии в зоне использования.

Одной из главных причин ухудшения качества излучения, т.е. возникновения искажений ВФ, являются оптические неоднородности АС [1]. В этом аспекте можно утверждать, что повышение эффективности лазера неразрывно связано и с решением проблемы оптического качества АС.

Широкое распространение в различных областях науки, техники и производства получили лазеры на неодимовом стекле [3,4,5,43]. К числу их несомненных достоинств следует отнести удобные для оптической накачки полосы поглощения, хорошие люминесцентные свойства, технологичность и, конечно, высокую оптическую однородность стеклянных матриц [3]. Современные технологии изготовления лазерных стекол позволяют получать АЭ с весьма низким градиентом показателя преломления. Поэтому основной причиной фазовых аберраций АЭ являются оптические неоднородности, проявляющиеся в процессе функционирования ТЛ и связанные с макроэнергетическим балансом и процессами перераспределения тепла в АС.

Основные причины и механизмы возникновения термооптических неоднородностей достаточно хорошо изучены [1,3,6]. Однако до сих пор мало исследованными остаются вопросы, касающиеся особенностей термонапряженного состояния и структуры фазовой аберрации АЭ, обусловленных пространственно-временной неоднородностью функции тепловыделения в АС. Особый интерес в этом плане представляют крупноразмерные АЭ, накачка которых осуществляется в многоламповых осветителях. В этом случае пространственное распределение радиации накачки и тепловыделения будет иметь достаточно сложный характер, обусловленный как зна-

чительной оптической толщиной АЭ, приводящей к существенной неоднородности тепловыделения в направлении "поверхность-центр" АЭ, так и неравномерностью засветки АЭ лампами накачки, что, в свою очередь, вызовет неоднородность тепловыделения вдоль поверхности АЭ.

На сегодняшний день существует достаточно широкий арсенал методов борьбы с термоволновыми аберрациями в ТЛ. К наиболее перспективным, активно развивающимся в настоящее время относятся методы, связанные с использованием дисковых АЭ [3,7,8], поиском новых АС с улучшенными термооптическими характеристиками [3,6], а также - обращение волнового фронта [1,9,10]. Естественно, что любой из существующих методов имеет свои достоинства и недостатки, поэтому целесообразность использования того или иного метода будет определяться в каждом конкретном случае. Для повышения эффективности лазерной системы остается актуальным и поиск новых путей улучшения качества излучения, которые должны базироваться на достоверных - подтвержденных экспериментально и в процессе численного моделирования -данных о структуре фазовой аберрации АЭ ТЛ.

Целью данной работы является детальное исследование структуры фазовой аберрации активного элемента, сформированной в многоламповом осветителе при импульсной и импульс-но-периодической накачке, для поиска новых эффективных путей управления качеством излучения ТЛ.

Из этой цели следуют конкретные задачи исследования.

1. Практическая реализация методик бесконтактной оптической диагностики применительно к задаче исследования уровня и структуры неоднородностей АС и качества излучения высокоэнергетичного ТЛ.

2. Развитие и реализация подходов математического моделирования как для корректного восстановления количественной информации в процессе экспериментальной диагностики, так и для численного исследования детальной структуры термоиапряженного состояния и фазовой аберрации АЭ ТЛ.

3. Выявление особенностей термонапряженного состояния АЭ, связанных, в частности, с пространственной неоднородностью функции внутреннего тепловыделения, и анализ структуры фазовой аберраций в зависимости от режимных параметров и конструктивных особенностей лазера.

4. Изучение влияния фазовой аберрации АЭ на расходимость лазерного излучения; определение условий применимости некоторых показателей оптического качества и комплексных критериев эффективности твердотельной лазерной установки в целом.

5. Выработка практических рекомендаций по совершенствованию (модификации) элементов конструкции и оптимизации режимных параметров работы ТЛ для обеспечения приемлемого качества генерируемого излучения и достижения максимальной плотности энергии излучения в зоне использования.

Научная новизна представленной работы состоит в следующем.

1. Впервые в рамках комплексного подхода для цилиндрического стеклянного АЭ проведен анализ детальной структуры фазовой аберрации, сформированной в многоламповом осветителе при импульсной и импульсно-периодической оптической накачке, в зависимости от основных режимных параметров и конструктивных особенностей лазера; исследовано влияние выделенных аберрационных составляющих на уровень расходимости лазерного излучения и распределение плотности энергии в дальней зоне.

2. В процессе многоканального интерферометрического и полярископического зондирования получены и систематизированы с единых методических позиций экспериментальные данные об уровне и структуре оптических неоднородностей в крупноразмерном АЭ высоко-энергетичного ТЛ. Определены экспериментальные зависимости оптического качества активного элемента от основных режимных параметров функционирования лазера.

3. Разработан оригинальный пакет прикладных программ для численного моделирования термонапряженного состояния АЭ, анализа искажений ВФ зондирующего излучения и особенностей распространения излучения в дифракционную зону Фраунгофера в зависимости от теп-лофизических и термооптических свойств АС, конфигурации осветителя и режимов функцио-'нирования лазера.

4. Для достижения максимальной плотности энергии излучения в зоне использования предложены оригинальные пути управления оптическим качеством лазерного излучения, основанные на специальной модификации конструкции лазера и выборе оппшальных режимных параметров его функционирования.

5. В процессе экспериментальной диагностики обнаружен и проанализирован эффект де-поляризационной потери контраста интерференционного поля при зондировании радиально нагруженных цилиндрических матриц поляризованным излучением.

К защите представляются:

• Результаты экспериментального исследования оптического качества АЭ высокоэнерге-тичного ТЛ.

• Результаты численного моделирования термонапряженного состояния и структуры фазовой аберрации стеклянных АЭ.

• Результаты исследования особенностей распространения излучения в дальнюю зону и характера поведения критериев оптического качества АС, расходимости лазерного излучения и комплексных критериев эффективности лазера в целом.

• Особенности экспериментальной диагностики радиально нагруженных твердотельных матриц, связанные с деполяризационной потерей контраста интерференционного поля.

• Практические рекомендации по управлению фазовой аберрацией АЭ и качеством излучения TJI.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- Научном семинаре победителей конкурса грантов среди студентов, аспирантов и молодых ученых Санкт-Петербурга (СПб, февраль 1998 г);

- Международной конференции "Nondestructive Testing and Computer Simulation in Science and Engineering" (СПб, 8-12 июня 1998);

- XII Международном симпозиуме по газовым и химическим лазерам и Конференции по высокоэнергегичным лазерам GCL/HPL (СПб, 31 августа - 5 сентября 1998 г);

- научном семинаре кафедры Лазерной техники Института лазерной техники и технологий БГТУ "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф.Устинова (16 декабря 1998 г);

- научном семинаре кафедры Плазмогазодинамических импульсных систем БГТУ "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф.Устинова (19 января 1999 г).

Основные результаты диссертации опубликованы (приняты к опубликованию) в 15 печатных работах (10 - в реферируемых журналах, 5 - в тезисах и сборниках трудов российских и международных научных конференций).

1. ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ В ТЛ: СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧА ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Тепловыделение в АС ТЛ. Тепловое и напряженно-деформированное состояние АЭ.

Известно, что внутреннее тепловыделение в АС является характерной особенностью ТЛ [3,6,11]. Можно выделить два основных канала тепловыделения: первый связан с нагревом основы АС за счет ультрафиолетового излучения, присутствующего в спектре ЛН; второй канал тепловыделения обусловлен безызлучательными переходами ионов активатора при преобразовании поглощенного излучения накачки в более длинноволновое излучение лазера - стоксовы-ми потерями. Причем, если стоксовы потери являются принципиально неустранимым источником тепла в АС ТЛ, то нагрев АЭ ультрафиолетовым излучением может быть значительно уменьшен, а то и сведен на нет за счет использования селективных источников накачки (полупроводниковых лазеров или диодов) [12,13] или реализации принципов "светового котла" для лампового осветителя, а именно - преобразования УФ излучения в видимое, использования специальных светофильтров или селективно-отражающих интерференционных покрытий отражателей из прозрачного стекла [3,6,14,42]. В последнем случае УФ и ИК излучение ЛН выходит за пределы осветителя и не вносит вклада в тепловыделение в АС, хотя и является причиной снижения энергетической эффективности лазера.

Тепловыделение в АС оказывает двойное влияние на эффективность ТЛ. С одной стороны, являясь одним из каналов потерь энергии, оно приводит к снижению энергетической эффективности (КПД) лазера. А с другой - как первопричина термооптических неоднородностей в АС - обуславливает ухудшение оптического качества излучения и снижение эффективности его транспортировки в зону использования (см. п. 1.2 и 2.1).

Точные соотношения для расчета тепловыделения в АС ТЛ представлены, в частности, в работе [11]. В упрощенном виде их можно записать следующим образом [6]:

Р° = Р

л т * п

' И

V

Ч пУ

' V

р =р

•* т л п

Е = Р° • т + Р • т

^ш гт 1з т т ''и»

(1.1)

где и Рт - мощность тепловыделения в АЭ без и во время генерации, соответственно; Рп - поглощенная в АЭ мощность излучения накачки; ц - общий квантовый выход люминесценции; Т)м - квантовый выход возбуждения на метастабильный уровень; Ул и -средние частоты люминесценции и накачки; Уи - частота генерации; т3 и та - время задержки и длительность генерации; Ет - общая энергия тепловыделения за импульс. Величину Рп для цилиндра, в свою очередь, можно определить следующим образом [6]:

(1.2)

где Яо - радиус стержня; п - показатель преломления; © - геометрическая эффективность отражателя; - элементарный спектральный интервал, которому соответствует спектральный коэффициент поглощения среды X, средняя относительная плотность потока излучения ЛН

и спектральный КПД лампы г);; Р„ - мощность накачки.

Из (1.1, 1.2) можно сделать вывод, что мощность (энергия) тепловыделения в каждой точке АС пропорциональна мощности (энергии) накачки.

Важную роль при анализе термонапряженного и оптического состояния АЭ играет не только абсолютный уровень, но и пространственное распределение мощности или энергии тепловыделения в объеме АС, которое связано с аналогичным распределением радиации накачки. Одной из первых работ, в которой представлены аналитические зависимости для расчета относительной плотности радиации накачки в цилиндрическом АЭ с полированной боковой поверхностью, является [15]. В ней рассматривалось полностью изотропное падение лучей на длинный цилиндр с постоянным по объему коэффициентом поглощения. Там же представлены и результаты расчета для АЭ из рубина и флюорита.

В работе [11] даны соотношения и результаты расчетов распределения радиации накачки по объему стержневых АЭ с полированной боковой поверхностью и различной формой поперечного сечения: круглой, прямоугольной, кольцевой и даже треугольной. Там же рассматривается цилиндрический АЭ с матовой боковой поверхностью. Все указанные соотношения выводятся с учетом поглощения радиации накачки в АС в соответствии с законом Бугера-Ламберта и возможной подфокусировки излучения на полированных поверхностях стержня.

Из анализа работ [11,15] можно сделать вывод, что распределение радиации накачки, а, следовательно, и тепловыделения по объему АС существенно неравномерно. При этом конкрет-

ный характер распределения зависит от формы, размеров, состояния боковой поверхности, физических свойств АЭ и общей мощности накачки.

Тепловое состояние АЭ с известными теплофизическими свойствами и геометрией в общем случае определяется двумя основными факторами: характером внутреннего тепловыделения и интенсивностью теплоотвода.

В соответствии с характером тепловыделения можно выделить четыре основных тепловых режима работы АЭ ТЛ: режим одиночных импульсов или импульсный режим (ИР), импульсно-периодический режим (ИПР), режим непрерывного функционирования и, наконец, режим серий импульсов.

Характеризуя ИР, следует отметить две важные особенности. Во-первых, в ИР каждый импульс производится после того, как температурное поле в АЭ окажется полностью выровненным. Во-вторых, длительность импульсов накачки значительно меньше, чем время тепловой релаксации. В этой связи можно сделать вывод, что характер и интенсивность теплообмена в ИР определяют лишь периодичность работы лазера и не влияют на тепловое состояние АЭ во время импульса. Единственным фактором, определяющим температурные поля в АЭ, является распределение и интенсивность внутренних источников тепла в объеме АС.

ИПР - наиболее распространенный режим функционирования ТЛ, т.к., с одной стороны, позволяет получить достаточно высокие показатели по средней мощности излучения, а с другой -обеспечить приемлемый тепловой режим работы лазера. ИПР характеризуется тем, что каждый последующий импульс накачки производится до того, как успеет произойти полное выравнивание температуры в АЭ. Таким образом, тепловое состояние АЭ будет определяться суперпозицией составляющих, обусловленных структурой релаксационного температурного поля и характером распределения внутренних источников тепла. При этом в отличие от ИР фактор тепловой релаксации (теплоотвода) оказывает оаред&шзиощее влияние на распределение температуры в АЭ.

Говоря о динамике теплового состояния АЭ в ИПР, следует выделить два основных этапа работы: переходный, когда температура АЭ изменяется во времени, и стационарный (квазистационарный), характеризующийся воспроизведением температурного поля от импульса к импульсу [3,6]. Продолжительность переходного периода зависит от геометрии, теплофизических свойств и режима охлаждения АЭ. Существуют аналитические соотношения, по которым можно произвести оценку времени, после которого температурное поле в АЭ будет отличаться от

стационарного уровня на величину 8Г, равную отношению среднеобъемной температуры в АЭ

в некоторый момент времени к аналогичной величине в стационарном режиме [6]. Например, для цилиндрического АЭ такое соотношение имеет вид

где ат - коэффициент температуропроводности материала.

В работе [16] произведен анализ динамики теплового состояния цилиндрического АЭ в течении переходного периода при параболическом распределении тепловыделения по радиусу. Показано, что температурное поле за это время претерпевает существенные изменения - вплоть до перемены знака температурного градиента внутри АЭ.

В переходном режиме характеристики лазерного излучения нестабильны из-за нестационарности процессов в АЭ. В частности, в работе [6] показано, что за время выхода на стационар для исследуемых АЭ из стекла ГЛС-2 и ГЛС-6 с размерами 08-80 мм происходит трехкратное увеличение расходимости и двукратное падение энергии луча. Естественно, что такие изменения нежелательны, особенно, при проведении операций, требующих стабильности лазерных параметров. В той же работе предложена методика сокращения длительности переходного периода за счет кратковременного усиленного нагрева АС при увеличении средней мощности накачки. В этом случае время выхода на стационар можно оценить по формуле [6]

где Рн и Рф - средние мощности накачки в номинальном и форсированном режимах, соответственно.

Следует отметить, что продолжительность переходного периода все-таки не очень велика и,

нию с периодом стационарного функционирования. Поэтому неудивительно, что именно последнему посвящено большинство исследований.

Непрерывный режим работы АЭ является предельным случаем ИПР при условии, что частота повторения импульсов стремится к бесконечности. В этой связи при непрерывном режиме структура температурных полей в АЭ близка к той, которая наблюдается в ИПР при эквивалентной средней мощности тепловыделения. Следует отметить, что реализация непрерывного режима для ТЛ связана с использованием кристаллических АЭ, обладающих высокой теплопроводностью и сравнительно небольшими размерами.

-к • (4 + Ш)!(ит • 2?/)]- 1п(1 -РН!РФ),

соответственно, его вклад в общую продолжительность работы лазера обычно мал гю сравне-

Режим серий импульсов заключается в функционировании лазера пакетами, состоящими из определенного количества импульсов. После каждого пакета выдерживается пауза, во время которой, в частности, происходит тепловая релаксация АЭ. Реализация такого режима связана с использованием методик теплоизоляции или охранного нагрева АЭ [6].

Другим фактором, определяющим наряду с внутренним тепловыделением тепловое состояние АС, как уже указывалось, является характер теплообмена между АЭ и окружающей средой. Можно выделить следующие режимы теплообмена АЭ с окружающей средой: тепловая изоляции АЭ, охлаждение АЭ при свободной конвекции, охлаждение за счет вынужденной конвекции при прокачке жидкости или газа, кондуктивный теплоотвод от АЭ.

Тепловая изоляция АЭ может быть использована, когда цикл работы лазера состоит из ограниченного числа импульсов, т.е. реализуется упоминавшийся выше режим серий импульсов. Очевидно, что в этом случае основное влияние на структуру температурных полей в АЭ оказывает распределение внутренних тепловых источников и в меньшей степени - релаксационные процессы в АС. При этом температурное поле качественно схоже с тем, которое реализуется в АЭ при ИР. Следует отметить, что в режиме тепловой изоляции средняя температура АС за каждый импульс возрастает на величину [3]

тср

где 7]Т - коэффициент преобразования энергии накачки Ен в тепло, ш и ср, соответственно,

масса и теплоемкость АС.

В работе [17] исследовалось функционирование лазера в ИПР при воздушной теплоизоляции АЭ. Цилиндрический АЭ радиусом 5 мм совместно с лампой был помещен в моноблочный посеребренный отражатель из кварца. Теплоизоляция достигалась за счет воздушного шестимиллиметрового зазора между отражателем и АЭ. Экспериментально моделировался ИПР с частотой 1 Гц. Величина &.Тср (1.3) при этом равнялась 1.5 К. В [17] показано, что за счет тепловой

изоляции обеспечиваются невысокие температурные перепады в исследуемом АЭ и достигается хорошее оптическое качество излучения.

Следует отметить, что по эффективности теплоотвода системы с теплоизолированным АЭ очень близки к системам с естественным охлаждением.

Наиболее распространенной, особенно, в технологических ТЛ [6,18] является организация охлаждения АЭ за счет вынужденной конвекции при прокачке жидкости. Такое охлаждение

позволяет обеспечить длительное функционирование лазера при высоких средних мощностях накачки. При жидкостном охлаждении эффективность передачи тепла хладагенту довольно велика - ат =10'-104 Вт/(м2К) [6]. Вследствие этого, а также из-за того, что в большинстве

конструктивных исполнений кванттрона АЭ экранируется охлаждающей жидкостью, тепловое состояние АЭ не зависит от температуры других элементов осветителя, в частности - ЛН.

Интересной вариацией систем с жидкостным охлаждением являются системы с охранным нагревом [6]. В таких системах производится нагрев хладагента в соответствии с ростом температуры АЭ, обусловленным внутренним тепловыделением. В лазерах с охранным нагревом обеспечивается квазиадиабатическое функционирование АЭ, за счет чего температурные перепады в нем существенно меньше, чем при охлаждении жидкостью с постоянной температурой. Нагрев хладагента в таких системах производится по линейному закону [6]

где Тп - начальная температура жидкости, Ь - скорость ее нагрева, определяемая из условия минимальности перепада температуры в АЭ.

Следует отметить, что охранный нагрев близок к рассмотренной выше методике теплоизоляции АЭ: в обоих случаях делается попытка устранить влияние теплоотвода на структуру теплового состояния активной матрицы.

Эффективность теплоотвода от АС в системах с принудительной конвекцией газа сравнительно невели? я по сравнению с жидкостным охлаждением; коэффициент теплоотдачи в этом случае составляет порядка 10-102Вт/(м2К) и значительное влияние на тепловое состояние АЭ оказывает температура других элементов осветителя и, особенно, ЛН [3].

Конструктивно системы с охлаждением за счет конвекции газа (как свободной так и вынужденной) обычно состоят из полого цилиндрического или эллиптического осветителя, содержащего цилиндрический АЭ и одну ЛН [3,18,19,20]. Следует выделить две основные особенности, присущие рассматриваемым системам. Во-первых, температурные поля в АЭ в общем случае формируются за счет двух факторов - нагрева по наружной поверхности от ЛН, температура которой может достигать несколько сотен градусов, и внутреннего тепловыделения. Во-вторых, градиент температуры практически не меняет направления на всем поперечном сечении АЭ и ориентирован по оси "ЛН - АЭ".

Реализация кондуктивного теплоотвода от АЭ осуществляется либо за счет контакта АЭ с металлическим теплоотводящим элементом [21], что не очень эффективно, либо при помеще-

нии АЭ в моноблочный охлаждаемый отражатель из материала с высокой теплопроводностью -лейкосапфира, кристаллического кварца и т.д. [3]. В [3] отмечено, что последние системы также нельзя назвать эффективными, т.к. нагрев АС в них достигает 200°. Такое повышение температуры неизбежно приводит к ухудшению спектрально-люминесцентных свойств АС, в частности, за счет заселения нижнего рабочего уровня в ионах активатора.

Схема тепловых режимов АЭ ТЛ показана на рис. 1.1.

Моделирование теплового состояния АЭ в общем случае осуществляется на основе уравнения теплопроводности с соответствующими граничными и начальными условиями [6,11,22], о чем более подробно речь пойдет в главе 2. Здесь же остановимся на основных направлениях и результатах такого моделирования, освещенных в многочисленных работах по этому вопросу.

В базовых монографиях [11,22], посвященных тепловым режимам ТЛ, представлены методики расчета температурных полей в АЭ при произвольном распределении внутренних источников тепла и для различных режимов работы лазера. Там же приведены некоторые результаты расчетов. В более поздних работах [1,3,6], основной акцент делается на исследование теплового состояния АЭ, работающего в непрерывном режиме и ИПР при интенсивном охлаждении. Это, очевидно, обусловлено тем, что, во-первых, такой режим является наиболее характерным для ТЛ технологического назначения и, во-вторых, при введении некоторых допущений структура температурного поля в этом случае легко поддается количественному описанию и моделированию. Основным допущением в большинстве работ является допущение о равномерном внутреннем тепловыделении, хотя, в частности, в работе [1] отмечено, что та или иная степень неоднородности тепловыделения имеет место всегда. Кроме того, тепловыделение считается непрерывным. Такое предположение, в свою очередь, фактически приравнивает ИПР к непрерывному, хотя в ИПР распределение температуры и, следовательно, оптическое состояние даже на стадии установившихся процессов квазистационарно, т.е. претерпевает изменения в течении импульса. Однако, как отмечено в [3,6], при достаточно высокой частоте следования импульсов эти изменения незначительны. Там же представлены выражения для допустимой частоты, при которой погрешность в определении температурных полей, вызванная заменой импульсного источника непрерывным, не превышает 10%. В частности, для цилиндра такая частота равна у = 20аг /[д02-(1+2Ш)].

Рис.1.1

При указанных допущениях уравнение теплопроводности на стадии установившихся процессов имеет простое аналитическое решение, описывающее, в частности, для цилиндрического АЭ параболическое распределение температуры по радиусу [3,6]:

T(rx) = Tœ+qT-Bl^ + 2IBi-rî)l(MT), (1.4)

где г, = г / Rq - относительная радиальная координата, цт - средняя по времени объемная плотность тепловыделения [Вт/м3], Тх - температура хладагента.

При интенсивном жидкостном охлаждении ( Bi > 10 ) температурное поле перестает зависеть от интенсивности теплоотвода и выражение (1.4) преобразуется к виду

Т(П г?)/(**т) ■ (1-5)

Простота выражений (1.4, 1.5) делает их весьма удобными при проведении оценочных расчетов. Однако следует отметить, что указанные зависимости не всегда адекватно описывают реальные температурные распределения в АЭ. Их объективность наиболее высока для малоразмерных АЭ с матовой боковой поверхностью и малой оптической плотностью, работающих в ИПР с высокой частотой следования импульсов. Распределение радиации накачки и, следовательно, тепловыделения в таких АЭ сравнительно однородно, а высокая частота следования импульсов делает правомочным допущение о непрерывности тепловыделения. И, соответственно, адекватность соотношений (1.4, 1.5) резко снижается при переходе к крупноразмерным стержням, малогабаритным АЭ с полированной боковой поверхностью или (и) изгот%ленным из оптически плотных сред [44,45].

Несмотря на то, что в большинстве работ принимается допущение о равномерном внутреннем тепловыделении, в ряде случаев рассматривается влияние возможной неоднородности внутренних источников тепла на температурные поля в АС. В частности, оценка такого влияния на примерах отдельных расчетов производится в [11]. В работе [б] представлено аналитическое выражение, характеризующее степень влияния неоднородности тепловыделения на тепловое состояние активной матрицы:

AT'

~Г = 1 + Яг l[6{\-BI2)\2qy-q2)],

где AT - температурный перепад по радиусу АЭ при неоднородном тепловыделении вида qT = ql+q2- rf, AT - аналогичная величина, но при равномерном тепловыделении, B=Bi/(2 + Bi).

В работе [23] численно исследуется тепловое состояние цилиндрического АЭ из иттрий алюминиевого граната с полированной боковой поверхностью при непрерывном пространственно неоднородном тепловыделении. Там же показано влияние неоднородности профиля тепловыделения на аберрации излучения, проходящего через АЭ.

Практически все работы, направленные на анализ теплового состояния АЭ ТЛ, в основе своей использовали линейную модель теплопроводности, т.е. коэффициент теплопроводности считался независящим от температуры. В этом аспекте определенный интерес представляет работа [24], где учтено реальное температурное изменение коэффициента теплопроводности в ИАГ:Ш и получены результаты, на основании которых автор объясняет имеющие место на практике аберрации тепловой линзы. Однако следует отметить, что автор работы [24] опять-таки исходит из предположения о равномерном тепловыделении, что, конечно же, снижает точность предложенной нелинейной модели.

Необходимо подчеркнуть, что в тех работах, где учитывается пространственная неоднородность тепловыделения в цилиндрических АЭ, имеется в виду радиальная неоднородность, т.е. рассматривается осесимметричная задача. Исключение составляют некоторые рабоп^ 19,20], посвященные анализу теплового состояния АЭ в системах с безжидкостным конвективным охлаждением. В этом случае, как уже указывалось, температурные поля, сформированные в АЭ, помещенном в одноламповый осветитель, несимметричны.

Неравномерное температурное поле в АЭ является причиной возникновения в нем механических напряжений и деформаций. В общем случае напряженно-деформированное состояние в каждой точке АС характеризуется шестью компонентами тензора напряжений и шестью компонентами тензора деформаций, которые могут быть определены из решения системы уравнений теории упругости с учетом механического и теплового нагружения исследуемого объекта [II]. Более подробно речь об этом пойдет в главе 2. Здесь же остановимся на наиболее часто используемых в литературе подходах к анализу напряженно-деформированного состояния АЭ.

В большинстве случаев АЭ ТЛ имеют несложную геометрическую форму - чаще всего цилиндрическую, реже - форму прямоугольной пластины. Для таких тел при соответствующих допущениях можно получить простые аналитические решения уравнений упругости. Среди допущений наиболее часто встречаются следующие [6,11]. Во-первых, т.к. боковая и торцевая поверхности АЭ обычно свободны, то в качестве граничных условий можно принять равенство нулю поверхностных сил. Во-вторых, может вводиться предположение о регулярности температурных распределений. Для цилиндрических АЭ это предположение чаще всего означает осе-

вую симметрию теплового состояния, т.е. зависимость температуры только от радиальной координаты. Однородность температурных полей вдоль оси стержня, в свою очередь, позволяет использовать гипотезу плоскодеформированного состояния, которая означает, что все поперечные сечения стержня остаются плоскими и после термической деформации, а напряженно-деформированное состояние не зависит от осевой координаты. Отклонения от плоскодеформированного состояния для стержней конечного размера наблюдается только вблизи торцов, а именно - на расстоянии, меньшем 2R^ (принцип Сен-Венана). При этом относительная деформация поперечного сечения стержня не будет превышать 2R0 • ат.

Указанные допущения позволяют записать, в частности, для напряжений в цилиндрическом АЭ при распределении температуры в нем по закону T(r)= const + Тк(г) следующие известные равенства [6,11]:

ат Е

о-г =

"И -м)

ат • Е

-2-0- -и)

ат ■Е

(т-Ш

r^.(T+TK(r)-2-TK(r)l (1-6)

где Тк(г) - координатно-зависимая часть температурного распределения,

9 ^> _ 2 г

А) о 'о

Если рассматривается параболическое распределение температуры вида ГуТ)« Тх + АТ- (1 - /¡2), то выражения (1.6) приводятся к виду [6]:

сгг

On =

4.(1- ■м)

ат Е ■АТ

4.(1- ■м)

ат Е- д т

-Ы-l), (1.7)

г-О-я)

где АТ -Цт • В^ /(4/^ ) - перепад температуры между центром и боковой поверхностью цилиндра при параболическом распределении температуры по радиусу (см{1.5))1

1.2. Термооптические аберрации и их влияние на параметры излучения ТЛ.

Тепловое и напряженно-деформированное состояние АЭ оказывает значительное влияние как на характеристики АС, так и на работу лазера в целом. Хорошо известны и основные механизмы такого влияния [6]: зависимость люминесцентных характеристик АС от температуры, механическое разрушение матрицы под действием термических напряжений и, наконец, возникновение в АС термооптических неоднородностей.

Первый из перечисленных механизмов обусловлен тем, что изменение температуры влияет на взаимодействие ионов активатора с решеткой [6]. Вследствие этого происходит деформация контуров линий поглощения и люминесценции - сдвиг по частоте максимумов этих линий, уменьшение поперечного сечения вынужденных переходов, изменение заселенности энергетических уровней и т.д. Указанные проявления отрицательно влияют на коэффициент усиления АС, на согласованность работы усилителя и генератора и, в конечном счете - на эффективность ТЛ. Если говорить о неодимовых стеклах, то влияние температуры на спектрально-люминесцентные параметры ионов Ш3+ при нагреве до 100°С не очень значительно, хотя и имеет место [3,6]. При этом основным каналом такого влияния является термическое заселение нижнего лазерного уровня.

При значительных температурных перепадах механические напряжения в активной матрице могут возрасти настолько, что произойдет ее разрушение. Наиболее уязвимой с этой точки зрения является боковая поверхность АЭ, т.к. на ней обычно сосредоточены максимальные растягивающие напряжения (см. (1.6)) и, кроме того, она имеет наибольшее число микродефектов -концентраторов напряжений [3].

Наиболее результативные методы повышения механической прочности активной матрицы реализуются на стадии ее изготовления. К таким методам: можно отнести получение АЭ с хорошими теплофизическими и упругими свойствами, а именно - высокой теплопроводностью и малыми коэффициентом термического расширения и модулем Юнга; химическое травление боковой поверхности АЭ для ликвидации микротрещин, предварительную закалку АЭ; выполнение специальных распилов в цилиндрических АЭ для снижения уровня механических напряжений [3,6,25] и т.д. О многих из этих методов более подробно речь пойдет в п. 1.3 в контексте снижения термооптических неоднородностей АС.

Механизмы температурного изменения спектрально-люминесцентных свойств активатора и термомеханического разрушения АЭ являются причинами, соответственно, параметрического и

конструкционного отказа лазерной установки и в этом отношении представляют собой ограничения в реализации предельных возможностей ТЛ. Однако, в подавляющем большинстве работ, посвященных ТЛ, во главу угла ставится другой механизм, а именно - возникновение термооптических неоднородностей в АС. Именно последние оказывают основное влияние на эффективность, энергетические характеристики, оптическое качество излучения ТЛ и, в конечном счете, являются определяющим ограничением при конструировании и эксплуатации таких систем.

К основным термооптическим искажениям относятся деформация АЭ и изменение показателя преломления АС. Оба этих фактора приводят к соответствующему изменению оптического пути для излучения, проходящего АЭ.

Изменение оптического пути в резонаторе в направлении его оси в элементарном объеме (IV АС, подвергнутой тепловой нагрузке, можно представить в виде [6]

где сИи «0 - протяженность элементарного объема вдоль оси г и его показатель преломления при начальной температуре; деформация. Первое слагаемое в (1.8) характеризует изменение оптического пути света, связанное с деформацией, а второе - определяет аберрации, обусловленные изменением показателя преломления АС.

Изменение показателя преломления в ТЛ происходит как за счет чисто температурного влияния, так и за счет фотоупругого эффекта [6].

Зависимость показателя преломления от температуры можно получить, дифференцируя какое-либо известное аналитическое выражение, например, формулу Зельмейера [26]:

где ак - коэффициент, пропорциональный плотности вещества и силе осцилятора на к-ой резонансной частоте ук. В результате получим [3]:

где укоэффициент объемного температурного расширения, р - плотность вещества. Первый член в полученном выражении определяет изменение величины /?г за счет температурного сдвига и изменения формы резонансных частот при постоянной плотности, а второй -

АЬ-й1- [(/!„ - \)-ег + Ал],

(1.8)

за счет уменьшения плотности вещества с ростом температуры. Абсолютное значение и знак величины Рт определяется соотношением указанных составляющих. Величина /?г для наиболее распространенных лазерных стекол приведена, например, в [3].

Фотоупругий (пьезооптический) эффект является характерным именно для АЭ ТЛ. Этот эффект, как известно, связан с изменением оптической индикатрисы АС под действием механических напряжений [27]. Пьезооптические явления могут быть описаны в рамках тензорного анализа или в матричной форме [6,27]. В последнем случае фотоупругие характеристики среды будут определяться матрицей пьезооптических коэффициентов. В общем случае число таких коэффициентов равно 36. Однако для изотропных сред или кубических кристаллов матрица пьезооптических коэффициентов имеет только три независимых компоненты и может быть представлена в виде [6,27]:

я„ ^12 Л12

Я,2 яи Я,2

^12 Я12 Я„

0 0 0

0 0 0

0 0 0

О О О

Яп-Я, 2

О О

о о о о

Яц~я

12

О

о о о о

яи я12.

(1.9)

Оптическая индикатриса изотропной среды, как известно, может быть описана уравнением сферы а0 • (х|2 + + 1, где а0 = 1 / п] - компонента тензора диэлектрической непроницаемости. При наличии механических напряжений индикатриса преобразуется к виду:

Коэффициенты я, находятся перемножением матрицы (1.9) на вектор столбец напряжений

[27].

Обычно направление распространения излучения в АЭ ТЛ совпадает с одним из главных напряжений или, что тоже самое - с одной из осей наведенного эллипсоида показателей преломления. Тогда быстрая и медленная оси анизотропной среды будут сонаправлены с двумя другими главными напряжениями [6]. Если, например, рассматривать распространение света вдоль главного напряжения <т3, то изменение оптического пути для составляющих излучения с орто-

гональными поляризациями запишется в виде:

'о

4.2 = 1 [СГ + С2 • (РЪ + 0-3,1)+ РТ'кТ+£ъ • (П0 ~ \)}И ,

(1.10)

где с, 2 - фотоупругие константы [1,3,6].

Выражение (1.10) записано в предположении о том, что направления главных напряжений в сходственных точках поперечного сечения АЭ не изменяются.

Последнее слагаемое в соотношении (1.10) характеризует изменение оптического пути за счет деформации АЭ. Как уже указывалось в п. 1.1, в протяженных в направлении г АЭ, например, цилиндрических выполняется гипотеза плоских сечений, и искажение формы, т.е. отклонение от плоскости, происходит лишь у прилежащих к торцам стержня сечений. При этом деформация ВФ за счет изменения формы АЭ не будет превышать величины где АТ -

перепад температуры по сечению АЭ [1,6]. Эта величина мала по сравнению с искажениями ВФ за счет вариации показателя преломления. Поэтому можно говорить о том, что термическая деформация не приводит к значимым аберрациям в цилиндрическом АЭ, а является лишь причиной одинакового по всей апертуре стержня приращения оптического пути [6]. Экспериментальные работы по исследованию торцевой деформации цилиндрических АЭ подтверждают такие выводы.

В ряде случаев при анализе термооптических неоднородностей в ТЛ целесообразно использовать так называемые термооптические коэффициенты, которые позволяют существенно сократить число независимых факторов, определяющих характер исследуемых процессов [1,3,6]. В этом аспекте термооптические коэффициенты представляют собой своеобразные критерии подобия. Следует отметить, что возможность использования таких коэффициентов ограничивается рядом допущений, в частности, для цилиндрических АЭ - об осевой симметрии тепловыделения в АС, о равномерности теплоотвода и т.д. Такие допущения не позволяют использовать термооптические коэффициенты, например, для описания фазовых искажений в цилиндрических АЭ с азимутальной неоднородностью накачки.

К основным термооптическим коэффициентам, используемым в практике ТЛ, относятся следующие [6]:

IV = рт + ат-(п-1) Р = Рт-атЕ-{с1+ Зсг )/[2 • (1 - //)] (1.11)

а = атЕ-{с1-с1)1Ы^-м)]

Выражение (1.10) для цилиндрического АЭ при осесимметричном распределении температуры с учетом (1.6), (1.11) можно записать в виде [6]:

/, • йм- (р+а)+т(1¥- р)-тр-а]

ац(г)=/0 • (р- е)+т- р)+ %{г). е]

(1.12)

Если ввести предположение о равномерном и непрерывном тепловыделении в АС, то распределение температуры по радиусу охлаждаемого АЭ является параболическим (см. формулы (1.5), (1.7)), и выражения (1.12) можно представить следующим образом:

в

В этом случае АЭ эквивалентен бифокальной термической линзе с различными фокусными расстояниями для собственных поляризаций [6]:

• «У

(р±е/2)

-1

(1.13)

где Рт - полная мощность тепловыделения в АС, площадь поперечного сечения АЭ. Термооптические аберрации оказывают значительное влияние на характеристики излучения ТЛ. Наиболее очевидно это влияние прослеживается при работе АЭ в качестве усилителя. В данном случае ВФ излучения, проходящего термонапряженный АЭ, накапливает фазовые искажения в соответствии с изменением оптического пути, и, кроме того, из-за наведенного дву-лучепреломления происходит изменение состояния поляризации излучения. Если воспользоваться аппаратом матричной оптики [28], то состояние поляризации излучения на выходе АЭ можно описать следующим образом:

К

ЕУ1

где

и

Е'

X

Е'

у.

- вектора Максвелла-Джонса на входе и выходе из АЭ, <7 - матрица Джонса

для АЭ. Если направления главных напряжений в сходственных точках поперечного сечения

АЭ не изменяются вдоль направления распространения излучения, то

"соз(5/2)+] • соф ф) } • 8т(20) • Бт(£/2) у • $\п(2ф) ■ 5т(<5/2) со8(^/2) - у • со&ф)

где 8 - набег фазы между ортогональными поляризациями, ф - угол ориентации главных

направлений фазовой пластины относительно осей координат [6].

Деформация ВФ, вызванная термооптическими неоднородностями АС, в свою очередь, приводит к увеличению расходимости и снижению интенсивности излучения в зоне использования.

Наиболее сильное влияние термооптические аберрации имеют при работе АЭ в составе генератора. В этом случае может происходить не только ухудшение оптического качества, но и снижение энергии лазерного излучения [3,6].

Для выявления характера влияния на параметры излучения оптические неоднородности в АС целесообразно разделить на две категории: чисто фазовые неоднородности, не изменяющие состояние поляризации излучения, и неоднородности, связанные с двулучепреломлением. В качестве основных типов фазовых объектов в практике ТЛ обычно рассматривают аберрации первого и второго порядка.

Аберрации первого порядка или оптический клин возникают при погрешностях юстировки резонатора - угловой разъюстировке зеркал [6], или наличии в АС несимметричной оптической неоднородности, особенно характерной для одноламповых осветителей [19,20].

Наиболее чувствительны к аберрациям первого порядка плоские резонаторы [1,6]. При клиновой деформации в них происходит значительное искажение полей отдельных мод и, особенно - мод низших порядков. Это является причиной роста расходимости излучения лазера. Углы перекоса, когда искажения мод в плоских резонаторах начинают вносить значительный вклад в

расходимость, очень малы [6]: а_ > —-—, где а - поперечный размер зеркала, Ыф - число

Аа-Нф

зон Френеля, X - длина волны излучения.

Кроме того, при разъюстировке плоского резонатора резко возрастают потери мод. Это обуславливает увеличение порога генерации и снижение энергии излучения лазера. В [6] приведена

эмпирическая формула для расчета энергетических потерь в плоском резонаторе с большим числом зон Френеля: п = 1 - ехр(- 2.3 • 10~2 • ар • ^Щ), где - длина резонатора.

Устойчивые резонаторы значительно менее чувствительны к аберрациям типа "оптический клин", чем плоские, т.к. в устойчивых резонаторах подфокусирующее действие зеркал удерживает оптическую ось внутри резонатора при не очень значительных углах разъюстировки ар [6].

Однако при дальнейшем увеличении ар ось резонатора перемещается по зеркалам и моды резонатора, начиная с самых высоких порядков, обрезаются на апертурной диафрагме и выбывают из генерации. Дольше всех присутствует нулевая мода, т.к. она имеет минимальный попе-

речный размер. В этом аспекте можно ввести граничный угол разъюстировки а'р устойчивого резонатора, после которого моды уже не удерживаются внутри резонаторной полости. В работе [6] отмечено, что при ар <а|, порог генерации и коэффициент усиления определяется профилем распределения радиации накачки в АЭ, т.к. ось резонатора при изменении ар движется по

поперечному сечению АЭ. Соответственно, при более или менее равномерной накачке эти параметры не изменяются в определенном диапазоне. Однако, несмотря на это, полная энергия излучения по мере разъюстировки снижается, что обусловлено реальным снижением используемого объема АС из-за виньетирования модовых каустик. Следует подчеркнуть, что энергетические потери за счет клиновой деформации в устойчивых резонаторах значительно меньше, чем в плоских.

Влияние крупномасштабных неоднородностей в неустойчивых резонаторах может быть определено с помощью аберрационных коэффициентов [1,3,6]. Если распределение показателя преломления в АС описывается соотношением п=п0+п/ + пгг2 + п3г3 +то изменение оптического пути излучения при однократном проходе АС протяженностью /0 будет равно

АЬ= /0]Гп/ . Накопление фазовых аберраций в неустойчивом резонаторе с коэффициентом

к

увеличения Мпроисходит в соответствии с соотношением: АЬ= 10^ак(М)- пкгк, где

к

Заключение диссертации по теме «Квантовая электроника», Страхов, Сергей Юрьевич

Выводы по главе 4.

1. Для частичной компенсации искажений ВФ могут использоваться методы пассивной коррекции, которые не связаны с активным воздействием на ВФ нелинейными или адаптивными элементами, а основаны на специальной подготовке АС конструктивными и режимно-параметрическими методами или на изменении структуры ВФ, прошедшего неоднородную среду, за счет простейших изменений оптической схемы.

2. При известных габаритах АЭ можно подобрать наилучшее сочетание режимных параметров - энергии накачки и частоты следования импульсов, которое обеспечит оптимальное соотношение "качество - энергия излучения" и, в конечном счете - максимальную интенсивность излучения в зоне использования.

3. Одним из способрв пассивной коррекции является методика ФС, основанная на взаимной компенсации искажений ВФ при прохождении излучением АС.

В цилиндрических АЭ с помощью методики ФС можно осуществлять компенсацию наведенного двулучепреломления и радиальных фазовых аберраций - сферического и остаточного непериодического искажений. Практически это достигается при прохождении излучением двух АЭ с противоположными по знаку температурными перепадами - полированного и матового АЭ в ИР или охлаждаемого и неохлаждаемого в ИПР.

Компенсация азимутальных возмущений (остаточной периодической составляющей фазовой аберрации) может быть достигнута в схемах многокаскадного усиления с конечным числом цилиндрических ЛН при угловом смещении каждого каскада относительно предыдущего.

4. Возможным методом ПК является АД, связанное с экранированием наиболее фазовозму-щенной части светового пучка, например, за счет разъюстировки оптической системы.

Методика АД в определенных случаях позволяет повысить интенсивности излучения в зоне использования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе изложены подходы и результаты исследования структуры и следствий фазовой аберрации цилиндрических АЭ из неодимового стекла. Сформулированы практические рекомендации по управлению качеством излучения и эффективностью лазера. По результатам раббты можно сделать следующие выводы.

1. Разработана и реализована схема многоканальной оптической диагностики применительно к задаче исследования термонапряженного состояния и фазовой аберрации крупноразмерного АЭ высокоэнергетичного ТЛ в зависимости от режимных параметров его работы. В качестве основных экспериментальных методов получения количественной информации о состоянии АЭ применялись сдвиговая интерферометрия и поляризационно-оптическая диагностика.

Используемая схема позволяла проводить диагностику непосредственно АС, а также - АС через резонатор для исследования степени теплового самовоздействия излучения в высокоэнер-гетичном лазере.

Кроме зондирования всего объема АС вдоль оптического пути излучения в резонаторе, проводилась и диагностики торцов крупноразмерного АЭ для выявления возможного влияния деформации стеклянной матрицы на искажения оптического пути света.

Для учета влияния на результаты экспериментального исследования дисперсионной зависимости показателя преломления наряду с диагностикой в видимом свете проводилась и диагностика на рабочей длине волны лазера.

2. Для численного исследования термонапряженного состояния и структуры фазовой аберрации цилиндрического АЭ, а также для моделирования процессов распространения излучения в зону использования разработан оригинальный программный комплекс, включающий в себя следующие основные модули.

- Расчет распределения радиации накачки и тепловыделения в объеме АС с учетом возможной неоднородности поля накачки в многоламповом осветителе.

- Численное решение нестационарного уравнения теплопроводности с граничными условиями третьего рода при заданной функции тепловыделения, а также - уравнений теории упругости.

- Восстановление фазовой аберрации АЭ с учетом температурного изменения показателя преломления и фотоупругого эффекта. Анализ структуры фазовой аберрации и выделение ее характерных составляющих - сферического искажения, оптического клина и остаточных аберраций. Расчет показателей оптического качества по структуре ВФ.

- Расчет дифракционного интеграла для определения структуры ДНИ и характеристик излучения: угла расходимости, числа Штреля.

Получено хорошее согласование результатов тестовых расчетов с имеющимися литературными данными, а также с результатами, полученными на базе некоторых аналитических моделей.

3. На основании экспериментального и численного моделирования проведен детальный анализ структуры фазовой аберрации АЭ, сформированной в многоламповом осветителе при одиночной и импульсно-периодической накачке, в зависимости от основных режимных и конструктивных параметров лазера.

В структуре фазовой аберрации АЭ для излучения, поляризация которого в каждой точке соответствует одному из главных направлений двулучепреломляющей АС, наряду с крупномасштабными составляющими типа сфера или оптический клин присутствует остаточная компонента, явно проявляющаяся после выделения из ВФ указанных составляющих. В остаточной аберрации ВФ выделяются две составляющие: остаточная непериодическая и остаточная периодическая. Первая локализована в радиальном направлении АЭ и не меняется по азимуту, т.е. осесимметрична. Эта составляющая обусловлена принципиально неустранимой радиальной неоднородностью тепловыделения, особенно сильно проявляющейся в крупноразмерных АЭ.

Вторая компонента остаточной аберрации ВФ азимутально зависима, поскольку обусловлена азимутальной неоднородностью распределения радиации накачки и тепловыделения в АЭ, помещенном в многоламповый осветитель. В отличие от остаточной непериодической составляющей периодическая компонента является принципиально устранимой, поскольку определяется конфигурацией осветителя и полностью отсутствует, в частности, если последняя осесимметрична.

Азимутальная неоднородность тепловыделения, а точнее обусловленная ею остаточная периодическая составляющая волновой аберрации оказывает значительное влияние на структуру ДНИ и, соответственно, на расходимость лазерного излучения. В широком диапазоне режимно-конструктивных параметров лазера азимутальная неоднородность термонапряженного состояния АЭ не приводит к изменению ориентации главных напряжений и, следовательно - к изменению направления собственных поляризаций АЭ.

Для импульсного и имульсно-периодического режимов работы лазера фазовая аберрация АС имеет нестационарный характер, что связано как с изменением термонапряженного состояния АЭ в течение импульса накачки, так и с наличием переходного процесса в ИПР. Вызванная этим нестационарность структуры ВФ снижает эффективность методов статической коррекции аберраций.

4. На абсолютный уровень каждой из аберрационных составляющих и, соответственно, на расходимость излучения оказывают определяющее влияние режимные и конструктивные параметры лазера - тепловыделение в АС (энергия накачки), частота следования импульсов, режим охлаждения, радиус и длина АЭ. Кроме указанных параметров на уровень разброса фазы остаточной периодической составляющей оказывают влияние факторы, связанные с конфигурацией многолампового осветителя: число ламп накачки, взаимное расположение ламп накачки и АЭ, эффективность отражателя.

Каждая фазовая аберрационная составляющая имеет оригинальную пространственную конфигурацию и, соответственно, по своему влияет на расходимость лазерного излучения. В процессе исследований показано наиболее сильное влияние остаточной непериодической аберрационной компоненты.

5. В процессе экспериментального и численного моделирования выявлен эффект деполяри-зационной потери контраста интерференционной картины, связанный с изменением поляризации зондирующего луча за счет наведенного двулучепреломления в АС. В этом случае в интерференционном поле появляются составляющие, обусловленные фотометрическим сложением световых пучков с ортогональными поляризациями.

Установлено, что степень и характер деполяризационной потери контраста зависят как от схемы интерферометра, так и от исходного состояния поляризации зондирующего пучка. Показано, что в наиболее распространенном случае, когда зондирующий пучок линейно поляризован, зоны потери контраста расположены под углами я/4-к, к=1,2,3,4 к направлению исходной поляризации. При этом наиболее устойчивым к деполяризации оказывался интерферометр с референтным пучком.

6. Во многих случаях для частичной компенсации искажений ВФ могут использоваться методы пассивной коррекции, не связанные с активным воздействием на ВФ нелинейными или адаптивными элементами, а основанные на специальной подготовке АС конструктивными и режимно-параметрическими методами или на изменении структуры ВФ, прошедшего неоднородную среду, за счет простейших модификаций оптической схемы.

Одним из механизмов пассивной коррекции является параметрическая оптимизация, заключающаяся в специальном выборе режимов функционирования лазерной системы с известными конструктивными особенностями или (и) параметров масштабирования АС для достижения экстремума некоторой целевой функции, характеризующей эффективность лазера. В частности, в работе представлен подход и результаты оптимизации однопроходного цилиндрического усилителя, а также - высокоэнергетичного ТЛ.

Подход пассивной коррекции включает и метод ФС, который позволяет существенно улучшить качество излучения взаимной компенсацией пространственно разнородных - противоположных по знаку - фазовых искажений при распространении света в АС. ФС может быть реализовано, когда излучение последовательно проходит два участка АС с различной структурой оптических неоднородностей. В частности для цилиндрических АЭ ТЛ с помощью ФС могут быть частично скомпенсированы радиальные фазовые искажения и даже наведенное двулучепреломление. Практически это достигается, когда в сопрягаемых АЭ создаются об-ратноградиентные температурные поля: при использовании в ИПР комбинации охлаждаемый - теплоизолированный стержень, а в ИР - комбинации полированный - матовый стержень. Оптимизируемой величиной при этом является соотношение длин сопрягаемых участков АС.

Возможным методом пассивной коррекции является АД, связанное с виньетированием наиболее фазовозмущенной части лазерного пучка. Виньетирующей диафрагмой может являться излучающая апертура - выходное зеркало или линза формирующей оптической системы - при условии, что падающий на нее пучок имеет большие поперечные размеры, чем она сама. Эффективность использования и оптимальные параметры диафрагмирования зависят от размеров АЭ и уровня тепловыделения в нем. При этом применение методики АД целесообразно лишь в определенном диапазоне режимно-конструкгивных параметров усилителя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Страхов, Сергей Юрьевич, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Ананьев Ю. А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения. -М„ Наука, 1979.-328 с.

2. Гудмен Д.У. Введение в Фурье-оптику. - М., Мир, 1970. - 364 с.

3. Мак А.А., Соме Л.Н., Фромзель В.А., Яшин В.Е. Лазеры на неодимовом стекле. - М., Наука, 1990. - 288 с.

4. Летохов B.C., Устинов Н.Д. Мощные лазеры и их применение. - М., Советское радио, 1980.- 112 с.

5. Григорьянц А.Г. Основы лазерной обработки материалов. - М., Машиностроение, 1989. -302 с.

6. Мечено в А.В., Соме Л.Н., Степанов А.И. Термооптика твердотельных лазеров. - Ленинград, Машиностроение, 1986. - 200 с.

7. Giesen A., Hugel Н., Voss A., Wittig К., Brauch U., Opower Н. Scalable concept for diode-pumped high-power solid-state lasers. // Appl. Phys. В 58, pp.365-372 (1994).

8. Prokhorov A.M., Manenkov A. A. History, current status and outlook to future of high power solid state lasers, (в сборнике High Power Lasers - Science and Engineering.) / edited by Ram Kossowsky, Miroslav Jelinek, Robert F. Walter. - NATO AS1 Series 3: High Technology, Vol.7, 1996.-c.585-601.

9. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов B.B. Обращение волнового фронта при вынужденном рассеянии света// Успехи физических наук, 1982, т. 138, вып.2, с.249-288.

10. Eichler Н. J., Haase A., Mehl О. High power solid state lasers with phase conjugation for applications with high beam (в сборнике High Power Lasers - Science and Engineering.) // edited by Ram Kossowsky, Miroslav Jelinek, Robert F. Walter. - NATO ASI Series 3: High Technology, Vol.7, 1996. - c.241-254.

11. Методы расчета оптических квантовых генераторов. В 2-х томах, т. 1 / Под ред. Степанова Б.И. - Минск, Наука и техника, 1968. - 654 с.

12. Куратев И.И., Цветков Ю.В. Неодимовые излучатели с лазерной диодной накачкой. // Известия академии наук СССР, серия физическая, 1990, т. 54, №10, с. 1994-2001.

13. Hiromitsu Kiriyama, Masanobu Yamanaka, Yasukazu Izawa, Tatsuhiko Yamanaka, Sadao Nakai,

and Chiyoe Yamanaka. High-sensitivity Two-Dimensional Observation of Thermal Birefringence in the Laser-Diode Pumped Solid-State Lasers. - SPIE vol.2873, pp. 13-15.

14. Мак А.А., Фромзель В. А., Щербаков А.А. и др. Влияние свойств "светового котла" на эффективность лазера. //ОМП, 1983, №l, с.58.

15. Ананьев Ю.А., Королев Е.А. Распределение плотности излучения накачки в кристалле оптического квантового генератора. // Оптика и спектроскопия, 1964, т. 16, вып.4, с. 702704.

16. Бученков В. А., Михайлов Ю.Н., Соме Л.Н. Исследование динамики теплового поля в переходном режиме твердотельного лазера // Журнал прикладной спектроскопии, 1981, т.34, вып.З, с.410-415.

17. Иванов Ю.П., Колесников Б.Н., Кузнецов В.М., Перлов Д.И. Исследование работы ОКГ на неодимовом стекле в нестационарном тепловом режиме при воздушной теплоизоляции активного элемента. // ЖПС, 1972, т. 16, вып. 5, с. 797-801.

18. Абильсиитов Г. А. - Технологические лазеры: Справочник. В 2-х т., т. 1. - М. Машиностроение, 1991.

19. Михайлов А.Е., Нагибин Ю.Т., Парфенов В.Г. Влияние конструктивного параметра кван-трона на термооптические искажения активного элемента. // Известия ВУЗов СССР, Приборостроение, 1983, т.30, N°7, с.92-95.

20. Дульнев Г.И., Михайлов А.Е., Парфенов В.Г., Савинцева Л. А. Влияние вида конструкции системы накачки лазера на его тепловой режим и рабочие характеристики. // Известия ВУЗов СССР, Приборостроение, 1986, т.29, №б, с.77-80.

21. Справочник по лазерам. / Под ред. Байбородина Ю.В., Криксунова Л.З., Литвиненко О.Н. - Киев, Техника, 1978. - 288 с.

22. Белостоцкий Б.Р., Рубанов А.С. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов. -М., Энергия, 1973. - 168 с.

23. Бутько Е.Ф., Дульнев Г.Н., Михайлов А.Е., Парфенов В.Г. Исследование термооптических искажений в активном элементе при произвольном радиальном распределении температуры. // Известия ВУЗов СССР, Приборостроение, 1983, т.26, №l, с.88-92.

24. Розанов А.Г. Нелинейная модель тепловых эффектов в лазерных кристаллах типа ИАГ:Ш. // Квантовая электроника, 1991, т. 18, N°10, с.1185-1188.

25. Гудков В.А., Раджабова З.Б. Влияние формы кристаллического активного элемента на

выходную мощность одномодового лазера. // Квантовая электроника, 1992, т. 19, N°7, с.646-647.

26. Борн М„ Вольф Э. Основы оптики. - М., Наука, 1970. - 856 с.

27. Москалев В. А. Теоретические основы оптико-физических исследований. - Ленинград, Машиностроение, 1987. -320 с.

28. Джеррард А., Берч Д. Введение в матричную оптику. - М., Мир, 1978. - 341 с.

29. Мак A.A., Степанов А.И. Четырехуровневые твердотельные ОКГ периодического действия. //ОМП, 1967, №10, с. 17-22.

30. Мак A.A., Соме Л.Н., Степанов А.И., Судаков А.Б. О влиянии наведенной анизотропии активного элемента на работу лазера на неодимовом стекле. // Оптика и спектроскопия, 1971, т.ЗО, вып. 1, с. 1081-1087.

31 • Мак A.A., Митькин В.М., Соме Л.Н. Возбуждение мод типа Ermnq и E%„q в резонаторах

оптического диапазона. // Оптика и спектроскопия, 1972, т.23, вып.5, с.996-997.

32. Мак A.A., Покровский В.П., Соме Л.Н., Тарасов A.A. Поляризация излучения твердотельных лазеров с пассивными затворами. // Квантовая электроника, 1983, т. 10, N°5, с.918-925.

33. Ананьев Ю.А., Мак A.A. Изменение характеристик резонатора оптического квантового генератора в процессе генерации. // Оптика и спектроскопия, 1964, т. 16, вып.6, с. 10651068.

34. Гаврилов О.Д., Малинин Б.Г., Степанов А.И. Исследование термической деформации активного элемента ОКГ в течение импульса накачки. // ЖПС, 1977, т.26, вып.2, с.351-352.

35. Митькин В.М. Особенности генерации термообработанных активных элементов. // Квантовая электроника, 1981, т.8, N°3, с.484-490.

36. Бученков В.А., Мак A.A., Малинин Б.Г., Соме Л.Н., Степанов А.И. Исследование ОКГ с дисковым активным элементом в периодическом режиме работы. // Квантовая электроника, 1975, т.2, №9, с.203 7-2040.

37. Данилов A.A., Привис Ю.С., Прохоров А.М., Щербаков И. А. Тепловая динамика волно-водных активных элементов мощных твердотельных лазеров. // Препринт № 127, АН СССР, Институт общей физики, 1987.

38. Godfried HP., Offerhaus H.L. Diode pumped 1 kHz high power Nd: YAG laser with excellent beam quality. / SPIE Vol. 3092,1996, c.29-32.

39. Балашов И.Ф., Березин Б.Г., Егоров Л.Н., Затуловский Л.Н., Кравецкий Д.Я., Письменный В. А., Поляков М.И., Ханков С И., Применение монокристаллических труб для выравнивания температуры в активной среде твердотельного лазера. // Известия АН СССР, серия Физическая, 1980, т.44, N°2, с.393-396.

40. Евдокимова В.Г., Мак A.A., Соме Л.Н., Шафаростов А.И. О компенсации наведенного двулучепреломления в лазерных системах пассивными анизотропными элементами. // Квантовая электроника, 1975, т.2, N°9, с. 1915-1922.

41. Дьяконов Г.И., Лян В.Г., Михайлов В.А., Пак С.К.,Щербаков И.А. Исследование лазеров на ИАГ: Nd с поляризационно-замкнутыми резонаторами. // Квантовая электроника, 1990, т. 17, N°12, с. 1637-1638.

42. Балашов И.Ф., Березин Б.Г., Крыжановский Б.П. и др. Твердотельный лазер с отражателем, пропускающим ИК и УФ излучение. // ОМП, 1982, N°8, с.28.

43. Алексеев Н Е., Гапонцев В Н., Жаботинский М.Е., Кравченко В.Б., Рудницкий Ю.П. Лазерные фосфатные стекла - М., Наука, 1980. - 352 с.

44. Данилов A.A., Никольский М.Ю., Щербаков И.А. Особенности тепловых и генерационных режимов твердотельных лазеров на основе оптически плотных активных сред. // Известия академии наук, серия физическая, 1987, т.51, N°8, с. 1431-1439.

45. Данилов A.A., Никольский М.Ю., Щербаков И.А. Особенности тепловых режимов цилиндрических активных элементов твердотельных лазеров. // Препринт №284, АН СССР, Институт общей физики, 1986.

46. Воронцов М.А., Корябин A.B., Полежаев В.И., Шмальгаузен В.И. Внутрирезонаторная адаптивная коррекция излучения импульсного ИАГ-лазера. // Известия академии наук, серия физическая, 1992, т.56, N°12, с.73-75.

47. Норенков И.П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. - М„ Высшая школа, 1986. - 304 с.

48. Akira Shiratori and Minoru Obara. Photorefractive phase-conjugator coupled-cavity diode laser for high spectral-brightness operation. / SP1E Vol. 3092, 1996, c.21-24.

49. Eichler H.J., Haase A., Menzel R. 100 -Watt Average Output Power 1.2 Diffraction Limited Beam from Pulsed Neodimium Singl-Rod Amplifier with SBS Phase Conjugation, IEEF J. Quantum Electron. 31, pp. 1265-1269

/¿о

50. Ionin A.A., Kotkov A.A., Seleznev L.V. Interacavity phase conjugation of pulsed CO2 laser radiation. / SPIE vol.3343,1999, pp.742-749.

51. Сокольский M.H. Допуски и качество оптического изображения. - JL, Машиностроение, 1989.-221 с.

52. Баскаев П.Ю., Иващенко A.B., Лобачев В.В., Страхов С.Ю. и др. Исследование оптического качества активных сред мощных лазеров. Отчет по НИР NP410-5513. - СПб., БГТУ "ВОЕНМЕХ", 1997.

53. Новоселов А.Г., Пустогаров A.A., Чернышев С.М. и др. О некоторых физических критериях оптической аттестации сверхзвуковых потоков активных сред. / в книге Физическая газодинамика: экспериментальное моделирование и диагностика. - Минск, Сборник научных трудов ЛКВП ИТМО АН БССР, 1985, с. 134-147.

54. Strakhov S.Y. Spatial Scales of Optical Heterogeneity's in Active Medium of Neodymium Glass Laser / в сборнике тезисов докладов на конференции "Nondestructive Testing and Computer Simulation in Science and Engineering" - СПб, 1998.

55. Васильев Л.А. Теневые методы. - M., Наука, 1968. - 400 с.

56. Москалев В.А., Нагибина И.М.,Полушина Н.А.,Рудин В.Л. Прикладная физическая оптика. - СПб, Политехника, 1995. - 528 с.

57. Оптический производственный контроль. / под ред. Д.Малакара (перевод с английского) -М., Машиностроение, 1985. - 400 с.

58. Коряковский A.C., Марченко В.М. Датчик светового поля на основе эффекта Тальбота. // ЖТФ, 1981, т.51, №7, с.1432-1438.

59. Баскаев П.Ю., Лавров A.B., Лобачев В.В. Особенности структуры фазовой неоднородности и неравновестности рабочей среды за сопловым аппаратом трехмерного расширения газодинамического лазера. // Квантовая электроника, 1998, т.25, №б, с.507-511.

60- Арсеньев СИ., Борейшо A.C., Венгерский ВВ., Милицын Ю.А. и др. Исследование теплонапряженных устройств в численном и физическом эксперименте. // Теплофизика высоких температур, 1988, т.26, N°5. -с.985-992.

61. Комиссарук В. А. Элементы прикладной теории интерферометров (в книге Оптические методы исследования в баллистическом эксперименте). - Ленинград, Наука, 1979, с.32-69.

62. Шехтман В.Н. Построение фронта световой волны по интерферограммам бокового сдвига. // ОМП, 1982, N°10, с. 1-4.

63. Зажигаев Л.С., Кишьян A.A., Романиков Ю.И. Методы планирования и обработки результатов физического эксперимента. - М., Атомиздат,1978. - 232 с.

64. Дюрелли А., Райли У. Введение в фотомеханику. - М., Мир, 1970. - 484 с.

65. Baskaev P.Y., Lavrov A.V., Lobachev V.V. Heterogeneity Structure of Active Medium Refraction for three-dimensional Pre-Mixing and Mixing Nozzle Banks of Gasdynamic Laser (в сборнике Optical Resonators - Science and Engineering.). / edited by Ram Kossowsky, Miroslav Jelinek, Robert F. Walter. - Kluwer Academic Publisher (Printed in the Netherlands), 1998,

pp.363-371.

66. Башкин A.C., Лобачев B.B., Федоров И.А. Анализ пространственных масштабов оптических неоднородностей в активных средах мощных проточных лазерных усилителей. // Квантовая электроника, 1997, т.24, N°2, с. 173-175.

67. Дубинин К.В., Лобачев В.В., Страхов С.Ю., Трилис A.B. Пространственно-временные масштабы оптических искажений в цилиндрическом активном элементе мощного твердотельного лазера. //ИФЖ, 1997, т.70, N°3, с.450-453.

68. Алексеев И.А., Забузов Н.В., Лобачев В.В., Шевченко Ю.И. Влияние оптического качества и усилительных характеристик активной среды электроразрядного усилителя с ВЧ-возбуждением на параметры излучения в зоне использования. // ИФЖ, 1994, т. 66, №l, с.56-60.

69. Лобачев В.В., Федоров И.А. Вопросы комплексной параметрической оптимизации сверхзвукового непрерывного химического HF-лазера. // Квантовая электроника, 1997, т.82, №l, с. 153-155.

70. Лобачев В.В., Мошков В.Л. Ограничения в реализации многокаскадных лазерных усилителей. // Инженерно-физический журнал, 1993, т.63, №l, с.63-66.

71. Борейшо A.C., Дуюнов С.И., Лобачев В.В., Морозов A.B., Попов А.Г. Оптическое качество потоков, формируемых блоками осесимметричных сопел. // Журнал прикладно] механики и технической физики, 1989, N°4, с.94-98.

72.

73.

74

75

76,

77,

78,

79,

80.

81.

82.

83.

84,

85.

86,

Карлов H.B. Лекции по квантовой электронике. - М., Наука, 1988. - 336 с. Афанасьев П.Н., Лобачев В.В., Страхов С.Ю., Трилис А.В. Некоторые дополнения к задаче оптимизации импульсно-периодических лазеров на неодимовом стекле. // Инженерно-физический журнал, 1998, т.71, №б, с. 1085-1091.

Лобачев В.В., Страхов С.Ю. Особенности линейного масштабирования цилиндрических стеклянных активных элементов твердотельных лазеров. // ЖПС, 1997, т. 64, N®6, с. 734737. .

Васильев Д.Н., Лобачев В.В., Страхов С.Ю. Об одной возможности компенсации двулучепреломления в цилиндрических активных элементах твердотельных лазеров // ЖПС, 1999, т.66, №4.

Vasiliev D.N., Lobachev V.V., Strakhov S. Y. Compensation of Birefringence of Isotropic SolidState Active Medium / SPIE vol.3574, 1998.

Иващенко A.B., Лобачев B.B., Страхов С.Ю., Трилис А.В. Термонапряженное состояние и оптическое качество стеклянного активного элемента мощного твердотельного лазера // ИФЖ, 1997, т.70, №б, с. 1020-1024.

Лобачев В.В., Страхов С.Ю., Трилис А.В. Особенности интерферометрии радиально нагруженных крупноразмерных стеклянных лазерных матриц. Лазера // ИФЖ, 1997, т.70, №5, с.783-786.

Баскаев П.Ю., Лобачев В.В., Страхов С.Ю. Деполяризационная потеря контраста интерференционного поля при зондировании радиально нагруженных лазерных цилиндрических матриц. //ЖПС, 1998, т.65, №l, с.62-66.

Прусаков Г.М. Математические модели и методы в расчетах на ЭВМ. - М., Физматлит, 1993. - 144 с.

Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М. Высшая школа, 1967. - 600 с. Сегерлинд Л.Д. Применение метода конечных элементов. - М., Мир, 1979. - 392 с. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М., Мир, 1984. - 428 с. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача. -М., Высшая школа, 1988. -480 с.

Тимошенко С.П., Гудьер Д. Теория упругости. - М., Наука, 1975, - 575 с. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей математике. - М., Наука, 1980. -976 с.

87. Залманзон Л. Преобразования Фурье, Уолша и Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. - М., Наука, 1989. - 494 с.

88. Баскаев П.Ю., Лавров А.В., Лобачев В.В. Особенности структуры фазовой неоднородности и неравновестности рабочей среды за сопловым аппаратом трехмерного расширения газодинамического лазера. // Квантовая электроника, 1998, т.25, №б, с. 507511.