Математическая модель и метод решения задачи размещения трехмерных многогранных объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Черноморец, Андрей Алексеевич

• Черноморец, Андрей Алексеевич
• кандидат технических наук
• 1993

Оглавление диссертации кандидат технических наук Черноморец, Андрей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И НЕКОТОРЫЕ

ЕЕ ОСОБЕННОСТИ

1.1. Постановка общей задачи размещения геометрических объектов

1.2. Формализация описания объектов в задаче размещения.

1.3. Математическая постановка задачи размещения трехмерных объектов с использованием теории Ф-функций.

Выводы по главе.

2. ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ В ЗАДАЧЕ РАЗМЕЩЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГОГРАННЫХ

ОБЪЕКТОВ.

2.1. Описание поверхности и О-уровня Ф-функщш с помощью набора "псевдограней"

2.1.1. Принцип построения поверхности и

2.1.2. Основные правила построения "псевдограней"

2.2. Правила определения избыточных "псевдограней"

2.3. Исследование "псевдограней" на принадлежность поверхности и.

2.3.1. Построение сечения объекта, ограниченного поверхностью ы

2.3.2. Алгоритмы нахождения внутренних контуров границы отдельной грани поверхности и.

2.4. Особенности построения поверхности О-уровня

Ф-функции многогранников с произвольными гранями.

Выводы по главе.

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО

РАЗМЕЩЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ В R

3.1. Двухэтапное решение задачи оптимального размещения многогранников в пространстве R3.

3.2. Математическая модель задачи размещения * 1 прямоугольных гиперпараллелепипедов пространства Rp.

3.3. Метод поиска глобального оптимума в задаче размещения прямоугольных гиперпараллелепипедов

3.4. Правила отсечения вершин дерева решений задачи [ оптимального размещения гиперпараллелепипедов . . • 84 . 3.4.1. Определение одинаковых вариантов размещения гиперпараллелепипедов.!

3.4.2. Определение симметрия на множестве 1 размещений

3.4.3. Вероятностное правило отсечения.^

3.5. Схема метода решения задачи размещения ! произвольных многогранников пространства R

Выводы по главе

ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИИ . . . 106 4.1. Комплекс программ "Поверхность" построения поверхности О-уровня Ф-функции произвольных ! многогранных объектов

4.2. Комплекс программ "Оптимум" поиска глобального оптимума в задаче размещения прямоугольных гиперпараллелепипедов.

4.3. Результаты решения тестовых примеров.

4.3.1. Примеры построения поверхности

Ф-функции.

4.3.2. Примеры размещения параллелепипедов . 114 Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель и метод решения задачи размещения трехмерных многогранных объектов»

Актуальность проблемы. Успехи в развитии современного программного и аппаратного обеспечения средств вычислительной техники позволяют в короткие сроки эффективно решать многие проблемы, возникающие при автоматизации проектно-конструктор-сжих работ. При решении многих задач проектирования необходимо учитывать их особенности, связанные с целенаправленным преобразованием геометрической информации в соответствии с некоторым критерием оптимальности, что позволяет выделить эти задачи в класс задач геометрического проектирования f1]. К числу задач геометрического проектирования относятся задачи оптимального размещения геометрических объектов, возникающие при компоновке радиоэлектронных плат [2-4], эскизном проектировании технических систем [5], разработке генеральных планов промышленных предприятий [6,73, оптимальном раскрое материалов [8-10], размещении грузов на судах и самолетах [11-13] и т.д.

Сложность задач оптимального размещения геометрических объектов потребовали для своего решения разработки специальных математических методов и алгоритмов [14-16].

Большое исследование в области геометрии было проведено Е.С.Федоровым при изучении кристаллов как природных многогранников [17,183. В работе [16] П.Л.Чебышев рассмотрел вопросы конструирования выкроек и разверток при производстве одежды.

Начало теоретическим исследованиям в области размещения геометрических тел было положено при решении наиболее простых задач, в которых отсутствует собственно система геометрических ограничений. Для области размещения, заданной в виде набора фиксированных позиций, рассматривалась дискретно-оптимизационная задача типа квадратичной задачи о назначениях, математические методы решения которой исследованы достаточно широко [191.

Одной из первых фундаментальных работ, посвященных изучению методов размещения геометрических тел с учетом их формы и размеров, является монография Л.В.Канторовича и В.А.Залгал-лера [20]. Изложенные в ней методы и алгоритмы построения оптимальных планов раскроя линейных материалов и прямоугольных листов на прямоугольные заготовки оснозаны на теории разрешающих множителей (индексов), предложенной Л.В.Канторовичем в работах [21-22]. Результаты этих и других работ [23-27] предвосхитили развитие теории линейного и динамического программирования [14,28,29].

Вопросы, связанные с определением плотнейших укладок и редчайших покрытий области (обычно всего пространства) трансляциями одной фигуры, были выделены в виде теории дискретной и комбинаторной геометрии [ 30-32]. Многие задачи комбинаторной геометрии не решены до настоящего времени, хотя их постановки известны давно (например задача плотнейшей упаковки равных шаров в R" при п>3). Постановки и решения некоторых основных задач комбинаторной геометрии приведены в [33-35], полученные для них схемы размещения являются регулярными.

Интенсивное развитие математических методов решения экстремальных задач [36-39] (методов линейного и динамического программирования, выпуклого анализа [40], дискретной оптимизации [31,41], а также численных методов синтеза оптимальных систем [19,42]) обусловили успехи в выборе оптимальных решений задач геометрического проектирования [43]. Разработка проблемы оптимального размещения геометрических объектов осуществляется по различным направлениям.

Алгоритмы регулярного размещения объектов сложной формы в прямоугольной области, в неограниченной полосе и в ограниченных областях пространства R2, а также алгоритмы фигурного раскроя описаны в работах [44-47].

Публикации [48-503 посвящены созданию методов прямоугольного раскроя, ориентированных на гильотинную технологию резки материала.

Важным направлением развития исследуемой проблемы яв7 ляется разработка методов решения задачи нерегулярного размещения, в которых производится поиск оптимального расположения объектов произвольной формы в некоторой области пространства при соблюдении ограничений на положение объектов. Данные ограничения задаются обычно в виде условий взаимного попарного непересечения, могут быть также заданы ограничения в виде минимальных или максимальных допустимых расстояний, областей запрета и т.д.

Фундаментальные исследования в этом направлении выполнены В.Л.Рвачевым [51-543. Разработанная им теория R-функций позволила автоматически описывать геометрические тела сложной формы. В работах [55-583 приведены основанные на данной теории методы формализации и решения некоторых задач размещения. Затем появляются работы Ю.Г.Стояна и его школы [15,59-653, в которых исследуются вопросы формализации и решения задач размещения на основе понятий векторной функции плотного размещения и ее годографа [15,643. В работах [66-683 приведены результаты, устанавливающие связь между суммой Минковского двух тел [691 и годографом их векторной функции плотного размещения. Дальнейшие исследования привели к разработке теории Ф-функций и ее поверхностей г-уровня [70,71]. Данные работы явились теоретической основой описанных в [72-74] алгоритмов и программ размещения на плоскости геометрических объектов сложной формы.

Особое место среди задач размещения занимают задачи оптимального размещения прямоугольных объектов в прямоугольной области со сторонами, параллельными сторонам размещаемых объектов. Это объясняется простотой задания условий взаимного нелересечения и условии размещения в области. Для случая пространства R2 для решения данной задачи разработаны точные методы решения [75,76], основанные на использовании схемы метода ветвей и границ [77].

Работ, посвященных вопросам размещения трехмерных объектов, опубликовано значительно меньше, чем для решения задачи размещения плоских объектов. Особое место -среди них занимают работы Ю.Г.Стояна и его учеников [67,78-83]. В данных работах рассмотрены проблемы размещения в основном простейших тел -параллелепипедов, цилиндров, шаров, а также составных тел, являющихся объединением перечисленных выше простейших тел. В то же время представляет интерес разработка эффективных методов размещения трехмерных тел произвольной формы.

Диссертационная работа продолжает исследования, проводимые в Институте проблем машиностроения АН Украины (ИПМаш АН Украины) под руководством члена-корреспондента АН Украины Ю.Г.Стояна.

Работа выполнялась в период с 1988 г. по 1992 г. в отделе математического моделирования и оптимального проектирования ИПМаш АН Украины в соответствии с планом научно-технических работ по:

- госбюджетной теме "Разработка математических методов геометрического проектирования" ГР 01860049704);

- госбюджетной теме "Математическое моделирование сложных технических систем модульного типа" (J6 ГР 01900009448);

- хоздоговорной теме "Развитие методов автоматического эскизного компоновочного проектирования автономной электрофизической установки" с Научно-исследовательским институтом электро-физической аппаратуры им. Д.В. Ефремова (Российская Федерация, № ГР 01910017869); : * и планом обучения в аспирантуре ИПМаш АН Украины.

Целью работы является разработка математической модели и метода решения задачи оптимального размещения трехмерных многогранных геометрических объектов в заданных многогранных областях пространства R3.

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем:

- разработана и исследована математическая модель рас*i сматриваемой задачи оптимального нерегулярного размещения многогранных объектов, основанная на использовании аппарата

Ф-функций. На основании проведенного анализа особенностей i i математической модели предложен метод решения данной задачи;

- предложен алгоритм реализации условий взаимного непересечения произвольных, невыпуклых многогранников простра^ 1 ства R3 на основе поверхностей 0-уровня Ф-функций;

- разработан алгоритм построения многосвязных граней поI верхности 0-уровня Ф-функции;

- разработан алгоритм точного решения задачи размещения прямоугольных гиперпараллелепипедов в прямоугольном гиперпараллелепипеде пространства Rp, р > 3. Сформулированы логические правила отсечения вариантов размещения, заведомо не определяющих экстремальные решения задачи.

Степень достоверности результатов проведенных исследований. Теоретические исследования, выполненные в диссертационной работе, основаны на фундаментальных положениях теории

Ф-функций и теории оптимизации. Математическая модель и метод решения поставленной задачи обоснованы исходя из известных, I апробированных теоретических и экспериментальных результатов, полученных ранее при разработке методов оптимальных размещений плоских и объемных объектов. Достоверность выводов и результатов диссертационных исследований основана на доказательствах приведенных в работе теорем, а также подтверждается их удовлетворительным сравнением с результатами экспериментов, выполненных на предприятии п/я А-7682, и сопоставлением с известными решениями ряда задач.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные метод, алгоритмы, а также комплексы программ: ' "Поверхность" - для построения поверхности 0-уровня Ф-функции произвольных многогранных объектов и "Оптимум" - для поиска глобального оптимума в задаче размещения прямоугольных гиперпараллелепипедов в дальнейшем можно использовать для решения различных задач оптимального размещения, возникающих в прот цессе автоматизации проектирования в машиностроении, строительстве, радиоэлектронной промышленности и на транспорте,' а также для решения задач оптимального распределения ресурсов, которые могут быть сведены к задачам размещения геометрических объектов. Эти программные комплексы могут быть применены, например, при компоновочном проектировании и построении схем загрузки транспортных средств (морских и воздушных судов, железнодорожных вагонов, контейнеров и т.п.), что позволит сократить время решения указанных выше задач, а также повысить эффективность использования соответствующих материалов и помещений.

Результаты, полученные в диссертации (алгоритм построения условий взаимного непересечения трехмерных объектов, ; логические правила отсечения вариантов размещения, не определяющих экстремальные решения задачи), были использованы при разработке комплекса программ трехмерных упаковок и внедрены . в 1988, 1989 гг. на предприятии п/я А-7682 с общим экономическим эффектом 37,8 тыс. руб."

Апробация работы. Основные положения работы докладываi лись и обсуждались на

- Всесоюзной конференции "Интегрированные системы автоматизированного проектирования" (г. Вологда, 1989 г.); ! г

- IV областной межотраслевой научно-технической конференции "Роботизация технологических процессов в машиностроении и приборостроении" (г. Житомир, 1991 г.);

- IV Всесоюзной конференции "Методы и средства обработки сложной графической информации" (г. Нижний Новгород, 1991г.);

- XV конференции молодых ученых и специалистов ИПМаш ;АН I

Украины (г. Харьков, 1987 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 работах [98,102,103,104,113,116,117,118]. I

Структура и объем диссертации. Работа содержит введение, четыре главы, заключение, список литературы из 118 наименований, 26 рисунков и 3 таблицы; всего - 135 страниц. j

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Черноморец, Андрей Алексеевич

Выводы по главе

1. Приведены основные характеристики комплексов про- ; грамм, реализующих разработанные методы и алгоритмы.

2. На основании проведенного тестирования разработанных программ определены основные факторы, влияющие на время ре1 шения задач. * !

3. Полученные результаты вычислительных экспериментов свидетельствуют о целесообразности применения разработанных : ' i методов для поиска точного решения задач размещения параллелепипедов, в которых рассматривается не более 30 объектов. i I

I »

1 ; , {

• • I f f Г I I t t t i \

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании полученных в работе результатов можно сделать следующие выводы:

1. Предложена математическая модель поставленной задачи оптимального размещения трехмерных многогранных объектов. На основании проведенного анализа особенностей этой математической модели разработан метод решения исследуемой задачи.

2. Разработан алгоритм реализации условий взаимного непересечения невыпуклых многогранных объектов пространства R3 на основе поверхностей 0-уровня Ф-функций. Описание данных поверхностей предложено осуществлять с помощью множества, так называемых, "псевдограней".

3. Предложен способ и алгоритм построения "псевдограt ней". Приведены основные правила определения подмножества ' "псевдограней", заведомо не содержащих точки искомой поверхности. 5

4. Разработан алгоритм построения многосвязных граней поверхности О-уровня Ф-функции. Приведены правила нахождения внешнего и внутреннего контуров границы этих граней.

5. Предложен и описан алгоритм поиска точного решения' задачи размещения прямоугольных гиперпараллелепипедов в области пространства Rp, р > 3. Сформулированы логические праf вила отсечения вариантов размещения, заведомо не определяющих j экстремальные решения задачи.

6. Разработанный алгоритм построения условий взаимного I непересечения трехмерных объектов, логические правила отселения вариантов размещения, не определяющих экстремальное реше-; ние задачи, были использованы при создании комплекса программ трехмерных упаковок и продемонстировали свою высокую эффективность при внедрении данного комплекса на предприятии и/я А-7682. t

7. На основании разработанных алгоритмов созданы комплексы программ: "Поверхность" - для построения поверхности О-уровня Ф-функции произвольных многогранных объектов и "Оптимум" - для поиска глобального оптимума в задаче размеще нкя прямоугольных гиперпараллелепипедов. С помощью проведенного тестирования программ определены основные факторы, влияющие на время решения задач. Так, полученные результаты вычислительных экспериментов свидетельствуют х что с помощью комплекса программ "Оптимум" можно решать задачи размещения до 30 объектов.

8. Разработанные комплексы программ можно использовать для решения различных задач оптимального размещения, возниi кающих в процессе автоматизации проектирования в машинострое нии, строительстве, радиоэлектронной промышленности и на транспорте. Их применение позволит сократить время решения' указанных выше задач, а также повысить эффективность использования соответствующих'материалов и помещений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Черноморец, Андрей Алексеевич, 1993 год

1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. - Киев: Наук, думка, 1986. - 268 с. |

2. Базилевич Р.П. Декомпозиционные и топологические методы автоматизированного конструирования электронныхустройств. Львов: Вища школа, 1981. - 168 с. jf

3. Автоматизация конструирования больших интегральных микросхем / А.И.Петренко, П.П.Сыпчук, А.Я.Тетельбаум и др. -Киев: Вища школа, 1983.312 с. j *

4. Абрайтис Л.Б., Шейнаускас Р.И., Жилевичус В.А. Автоматизация проектирования ЭВМ. М.: Сов. радио, 1978. -272 с.i

5. Программная система КТС автоматической компоновки 'iбокса сложной технической системы блочной конструкции / .f Ю.Г.Стоян, Л.Д.Пономаренко,' А.В.Панкратов, А.Ф.Лойко.

6. Харьков. 1987. - 34 с. - '(Препр./АН Украины. Ин-т пробл.!• . »машиностроения; № 264). « ;

7. Минаков Н.П. Решение компоновочных задач в автоматиiзированном проектированйи // Пром.стр-ю.-1973.-^4.-С. 17-19.I

8. Плужников Л.Н., Андреев В.О., Клименко Э.С. Применение метода случайного поиска при промышленном проектировании // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.-1971.-№2.- С. 26-33.: |

9. Белякова Л.Б. Об оптимальном раскрое листового металла. В кн.: Автоматизация технологического проектирования при помощи ЭВМ. - М.: Наука, 1966. - С. 105-115. • j

10. Мойжес Ю.Л. Геометрические основы рационального раскроя полосового и листового металла. М.: Машиностроение,1966. 108 с. • i f

11. Романовский И.В. Решение задачи гильотинного pacJкроя методом переработки списка состояний // Кибернетика. -1969. №. 1. - С. 102-103.

12. Гаврилов В.Н. Реализация проектных требований в задаче оптимальной компоновки приборного отсека // Автомат тизация проектирования авиационных конструкций. Куйбышев1, 1979. - С. 95-99.

13. СтоянЮ.Г., Кулиш Е.Н. Автоматизация проектирования компоновки оборудования летательных аппаратов. -М.: Машинои строение, 1984. -192 с.

14. ДЗ. Тихомиров В.А. Об автоматизации компоновки авиационного оборудования // Управляющие системы и машины. 1980J -J®2. - С. 126-128.

15. Данциг Д.Б. Линейное программирование, его применение и обобщение. М.: Прогресс, 1966. - 600 с. \

16. Стоян Ю.Г. Размещение геометрических объектов.-Киев:

17. Наук, думка, 1975. 237 с.' , j\

18. Чебышев П.Л. О кройке одежды: Полн. собр. соч. в s '5-ти т. M.-JL: Изд-во|АН СССР, 1951. - Т. 5. - 475 с.

19. Федоров Е.С. Начала учения о фигурах // Зап. минералогического общества, 2-ая сер. 1885. - Т. 21. - 410 с. ;

20. Федоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов. М.:

21. Изд-во АН УССР, 1949. 631' с. • i1.!

22. Вычислительные методы выбора оптимальных проектныхIрешений / Михалевич B.C., Шор И.З., Тамустова Л.А. и др.,

23. Киев: Наук, думка, 1977. 178 с. .|

24. Канторович Л.В., Залгаллер В.А. Расчет рациональногораскроя промышленных материалов. Л.; Лениздат, 1957.-197 с.

25. Канторович Л.В. Математические методы в организацииIи планировании производства. Л.: Изд-во при ЛГУ, 1939. -}250 с.

26. Канторович Л.В. 00 одном эффективном методе решения некоторых классов экстремальных задач // Докл. АН СССР. : 1940. - Т. 23, J6 3. - С. 212-215. !

27. Залгаллер В.А. Об одном необходимом признаке плот1i нейшего расположения фигур // Успехи мат. наук. - 1953. - г1. Т. 8, М. С. 153-162. ;

28. Залгаллер В.А. Применение математических методов !вsпланировании раскроя материалов // Математические методы Bfтехнико-экономических .расчетах: Материалы науч. совещ., М.чIапр. 1960 г. М., 1961. - Т. 6. - С. 80-91. !I

29. Залгаллер В.А. Рациональный раскрой как средство ! экономии материалов // Использование методов оптимизации в текущем планировании и оперативное управление производством: Материалы всесоюз. конф., М., окт. 1979 г. М., 1980. - :j1. С. 44-47. ! :

30. Залгаллер В.А. , Круглов А.И. Рулонный принцип pacj-кроя // Материалы всесоюз. науч. семинара, Уфа, июнь 198оА -Уфа, 1981. С. 70-76.

31. Канторович Л.В., Залгаллер В.А. Рациональный раскрой1 iпромышленных материалов. Новосибирск: Наука, 1971. - 299: с.

32. Беллман Д. Динамическое программирование. М.: Цздfво иностр. лит., 1960. 400 с. j

33. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2-х т. М.': Мир, 1991. - Т. 1. - 360 с. 1

34. Теория и методы автоматизации проектирования вычислительных систем / Под ред. М.' Брейера. М.: Мир, 1977. -283 с.f

35. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование.- М.: Наука, 1969.-386 с.

36. Сергиенко И.В., Лебедева Т.Т., Рощик В.А. Приближенные методы решения задач дискретной оптимизации.-Киев: Наук, думка, 1980. 172 с.

37. Тот Фейеш Л. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве.- М.: Физматгиз, 1958. -363 с. >

38. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. М.: Наука, 1974. - 383 с.

39. Роджерс К. Укладки и покрытия.-М.: Мир, 1968.-134 с.

40. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.- -М.: Наука,'1981. 400 с. 1

41. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методыiоптимизации.- М.: Наука, 1978.-352 с. jJ

42. Карманов В.Г. Математическое программирование.- М.: Наука, 1980.-352 с.

43. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгЪ« ? ритмы решения задач оптимизации. - Киев: Вица школа, 1983.' 512 с. '

44. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные зада1 Iчи.- М.: Наука, 1980.-320 с. '

45. Сергиенко И.В.; Математические модели и методы реше■ ' ' • ' • - jния задач дискретной оптимизации.- Киев:: Наук, думка, 1985;. i . . > • '. ' -384 с. ! i ;

46. Моисеев Н.Н. Численные методы^в теории оптимальных систем.- M.: Наука, 1971.-424 с. . , j

47. Stoyan Yu.G. Mathematical methods: for'geometric de-sign.-In: Advances in CAD/CAM:. Proc. of PROLAMA? 82 (Leningrad, USSR, 16-18 may 1982^.-jAmsterdam--':n.y.- Cbcford, 198$.p. 67-86.

48. Белякова JI.Б. Вопросы оптимального расположения конгруэнтных фигур на плоскости: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Горький, 1970. - 13 с.

49. Белякова Л.Б., Рябина Н.О. Об алгоритмическом обеспечении геометрических расчетов при проектировании на ЭВМ Ьп-тимального раскроя сложных форм // Математическое обеспечение расчетов линейного и прямоугольного раскроя. Уфа, 1981.1. С. 142-145. 1

50. Стоян Ю.Г., Винарский В.Я., Абаляев В.Н. Регулярноеразмещение' геометрических объектов в ограниченных областях?! R . Харьков. - 1990. - 24 с. - (Препр./АН Украины. Ин-т !пробл. машиностроения; $ 282).

51. Винарский В.Я.Дубро Г.В. Оптимальное двухрядное периодическое размещение многоугольников.-Харьков.-1987.-20 |с.1. I . 1

52. Препр. /АН Украины. Ин-т пробл. машиностроения; JG 247).

53. Мухачева Э.А. Алгоритм решения задачи рациональногоiраскроя прямоугольных листов на прямоугольные заготовки //

54. Математические методы решения экономических задач. 1969.»1. J6 1. С. 23-26. |

55. Мухачева Э.А. Расчет рациональных раскроев в системе автоматизированного проектирования технологической подготовки гильотинного раскроя // Кузнечно-штамповочное производство;. -1982. $ 7. - С. 31-37. • !

56. Мухачева Э.А. Рациональный раскрой промышленных материалов. Применение АСУ. М.: Машиностроение, 1984.-176 с.I

57. Рвачев В.Л., Ющенко Е.Л. О классе функций, удобныхг *для аналитического описания некоторых геометрических образов // Кибернетика и техника вычислений. Киев: Наук, думка, ;I