Математическая теория электрического пробоя тонких диэлектрических пленок с воздушными включениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Теволде Амануэль Мехари

• Теволде Амануэль Мехари
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Теволде Амануэль Мехари

Введение

Глава 1 Экстенсивные энергетические функционалы в задачах

статистической математической физики

1.1 Случайные процессы с дискретным временем и экстенсивные функционалы

1.2 Обобщенная бернуллневская случайная последовательность

1.3 Бифуркационное изменение плотностей распределения вероятностей экстенсивного функционала

1.4 Итоги первой главы

Глава 2 Теория одновершинности распределений сумм независимых

случайных величин

2.1 Одновершинные распределения

2.2 Свойства одновершинных распределений

2.3 Теория сильно одновершинных распределений па К

2.4 Критерий сильной одновершинности

2.5 Сильно одновершинные распределения для неотрицательных

случайных величин

2.6 Достаточный признак сильной одновершинности распределения на + )

2.7 Итоги второй главы

Глава 3 Сглаживающие функции и анализ одновершинности

распределений

3.1 Сглаживание неотрицательных кусочно-непрерывных функций

3.2 Описание класса 6(Е+)

3.3 Итоги третьей главы

Глава 4 Анализ одновершинности распределений значений экстенсивных

функционалов для моделей бернуллиевских последовательностей ,,

4.1 Общая постановка задачи

4.2 Вычисление функций

4.3 Плотности распределения д^(ж) и д(х)

4.4 Итоги четвертой главы

Глава 5 Исследование теоретической модели электропробоя слоя

диэлектрика с воздушными включениями

5.1 Физическое обоснование постановки задачи

5.2 Феноменологическая картина электрического пробоя слоя диэлектрика

5.3 Теоретическая модель электропробоя слоя диэлектрика

5.4 Нарушение одновершинности распределения электрической прочности

5.5 Задача о распределении электрической прочности многослойной полимерной пленки

5.6 Статистическая математическая модель

5.7 Анализ статистической модели

5.8 Итоги пятой главы

Заключение

Список литературы

Список сокращений и условных обозначений

Приложение А Свойства выпуклых функций

Приложение Б Слабая сходимость функций распределения

Приложение В Кусочно-непрерывные функции

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая теория электрического пробоя тонких диэлектрических пленок с воздушными включениями»

Введение

Актуальность темы исследования. Особое место в задачах математической статистической физики и, более общо, в задачах математического моделирования различных природных, социальных и техногенных процессов, в которых приходится использовать модели, основанные на представлениях теории вероятностей, занимают распределения вероятностей случайных величин, которые представляют собой суммы

N

)[х] = ^ х3, N е N (0.1)

3 = 1

большого числа N одинаково распределенных с какой-то плотностью распределения f случайных величин х^,] = 1 ^ N. Эти случайные величины, в частности, могут быть статистически независимы и в этом случае, как известно, распределения вероятностей для таких сумм, называемые устойчивыми распределениями [1], универсальны. Класс всех таких распределений полностью описывается тремя параметрами, один из которых определяет максимальный порядок того статистического момента, который остается конечным для рассматриваемого распределения, В частности, при в = 2 устойчивое распределение представляет собой так называемое нормальное распределение, которое определяет плотностью [2]

' (1) = т2Ьехр (- ^) • е «• (0.2)

Факт универсальности при описании распределений сумм )[х] независимых, одинаково распределенных случайных величин каждого из устойчивых распределений формулируется так называемыми предельными теоремами для центра распределения таких сумм, В частности, при в = 2 соответствующее утверждение называется центральной предельной теоремой (см., например, [3]), Эти теоремы доказываются в рамках минимального набора предположений о характере суммируемых величин, которые, практически, не обуелавлива-ют тот конкретный стохастический механизм, который приводит к формированию каждого из них. По этой причине, в частности, распределение вероятностей с плотностью (0,2) молчаливо полагается, с точки зрения своего качественного устройства, в качестве некоего эталона распределения вероятностей в ситуации, когда формирование распределения случайной величины происходит в отсутствии каких-либо дополнительных обстоятельств, которые бы повлияли на его форму, в частности, в отсутствие какого-либо внешнего влияния, которое носит регулярный характер.

Каждое из устойчивых распределений обладает одной вершинной точкой [1]. В частности, таковым является распределение с плотностью (0,1), Такого типа распределения называются одновершинными или, что то же самое, унимодальными. Они играют особую роль в математическом моделировании, где используются вероятностные представления. Заметим, что унимодальными (одновершинными) являются распределения, используемые в математической статистике [2].

Появление у плотности распределения вероятностей случайной величины х более одного максимума означает, что, наряду со стохастическим механизмом, имеется какой-то регулярный специфический «физический» механизм, который приводит к появлению у него дополнительных максимумов. Например, такое положение имеет место в статистической

физике при описании фазовых переходов (см., например, [4])), Оно проявляется в процессе обработки статистических данных и может оказаться довольно неожиданным сюрпризом при их анализе, так как подлежит теоретическому осмыслению.

Вообще говоря, на наличие дополнительных причин, которые могут иметь физическую природу и которые влияют на форму плотности распределения, в смысле отклонения от того эталона ее качественного вида, который определяется плотностью нормального распределения (0,2), указывает не только нарушение ее одновершинности, но также более тонкие искажения формы плотности при наличии одного максимума, например, появление у нее асимметрии или появление у нее дополнительных точек перегиба (более одной по различные стороны от вершинной точки). Последнее означает нарушение так называемой точной одновершинности (см., поэтому поводу, [5] - [7]),

Использование устойчивых распределений в математическом моделировании, вследствие их универсальности, приводит к тому, что, при обработке гистограмм статистических данных, связанных с соответствующими наблюдаемыми случайными величинами, определение значений параметров, характеризующих эти распределения, производится с большой точностью. Однако, универсальность этих распределений имеет и негативный характер. Она ограничивает возможности получения ббшей информации о соответствующих случайных величинах. Тогда для преодоления этой неприятности необходимо экспериментальное определение доступных наблюдению значений каких-то функционалов от набора х случайных величин х^,] = отличных от (0,1), и определение их распределений вероятностей, В частности, для этого можно использовать и суммы (0,1) с малым значением N объема выборки. Кроме того, допустив зависимость таких функционалов от значений каких-то дополнительных параметров, можно существенно расширить возможности получения информации о поведении этих случайных величин.

Заметим, что процесс экспериментальной регистрации х можно рассматривать, в общем случае, как стохастическую динамическую систему с дискретным временем, для которой число N является временем наблюдения. Тогда значения функционала )[х], N Е N являются характеристикой траектории такой динамической системы, В связи с этим заметим, что так как экспериментальная регистрация во времени наличия ненулевого значения случайной величины х, как правило, связана с поглощением энергии, то значения функционала, связанного с ее регистрацией, должны быть неотрицательными. Тогда соответствующие случайные величины )[х] неотрицательны и носители плотностей каждого из их распределений сосредоточены на К+ = [0, то). Это условие автоматически соблюдается, если неотрицательными являются сами случайные величины х^ ] = 1 ^ N и носитель вирр f соответствующей общей для них плотности /содержится вК+.

х

чае, если допустить, что число слагаемых в сумме (0,1) случайных величин само является случайной величиной N со значениями в N. Реализовать такое положение можно, например, предположением о том, что интересующая нас случайная величина регистрируется с вероятностью р Е (0,1) только в какие-то случайные моменты времени ] = 1 М, каждый из которых статистически не зависит от всех остальных значений, В этом случае мы приходим к стохастической динамической системе, которая является таким обобщением традиционной бернуллневской дихотомической последовательности независимых испытаний, для которого распределение вероятностей имеющих фиксированную длину N случайных

последовательностей х определяется общей для всех компонент у каждой из них плотностью распределения f. Для такой случайной последовательности распределение вероятностей Рг{Б(м>[х] < 5} при 3 > 0 значений функционала >[х] представляется формулой

N „ к

Рг{Б(м>[х] <5} = ^рк(1 - р)и-кс% у П. (0.3)

к=1 х-1+...+хк^=1

изменением определяющих ее параметров, описывающих весь класс таких плотностей. При описанном подходе регистрация случайной величины х^ в момент времени j1 — N рассматривается как «успех» в бернуллиевекой последовательности, происходящий с вероятностью

х

го значения случайной величины х^ у = 1 — N довольно редко происходящим случайным событием, то мы приходим к обобщению вероятностной схемы Пуассона, когда в иуассо-новеком пределе N ^ го, р = А/N ^ 0, распределение (0,3) превращается в

<х „ к

Рг{Б(м>[х] <5} = е-^ ^ у Д/(х,-)ёх1...(Ьк. (0.4)

к=1 х-1+...+хк<Я ^=1

Изучение последовательности одинаково распределенных случайный величин х ^ ] = 1 — N на основе распределения вероятностей случайной величины Б> [х] описанного типа, предоставляет гораздо больше возможностей для получения информации о случайной вели-х

с различными значениями параметра р (или А), представляющих значения этого функцио-

расиределение вероятностей Рг{Б(м>[х] < 5} может иметь качественно разнообразный вид. Если положить, что х^ ] € N достоверно принимают значенне х0, то есть когда плотность f имеет вид ¡(х) = 6(х — х0), то распределение вероятностей в (0,4) имеет бесконечно много вершин, так как при Б > 0 имеем

Ак

Рг{Б(м>[х] <5} = е-^ - , (0.5)

к:кхо<3

и соответствующая плотность распределения выражается формулой

И ^ А

—Рг{Б(м> [х] <5} = е-^ -6(в — кхо). (0.6)

к=1 '

с множеством вершин {кх0; к € Тогда, можно предположить, что в случае, если одновершинная плотность f непрерывно изменяясь отклоняется от 6(х — х0), то распределение вероятностей Рг{Б(м>[х] < 5} может быть как одновершинным, так и неодновершинным. Зафиксировав вид плотности f и изменяя параметр р (или А) вершины плотности распределения ^Рг{Б(м>[х] < 5} могут исчезать и появляться бифуркационным образом. Это связано с очевидным положением о том, что при р = 0 (А = 0) случайная вели чина 5 доето-

А

Рг{Б(м)[х] < 5}, по-видимому, должно переходить в одновершинное или двухвершинное распределение, у которого одна из вершин находится в точке $ = 0,

В настоящем исследовании мы ограничиваемся анализом распределений вероятностей Рг{Б(м)[х] < 5} вида (0,3) и (0.4) в случае, когда плотность / одновершинна. Мы изучаем возможность бифуркационного перехода, связанного с потерей этими распределения свойства унимодальности. Разумеется, что при этом одновершинноеть плотности f имеет первостепенное значение. Поэтому в работе мы уделяем большое внимание классической задаче об описании класса унимодальных распределений, но ограничиваемся при этом распределениями на К+, так как уже было указано выше, для применения результатов исследования к моделям статистической математической физики очень важно, чтобы случайные величины х^ ] = 1 ^ N были неотрицательны, В связи с этим, проблеме унимодальности распределений сумм независимых одинаково распределенных величин посвящена отдельная глава.

Наконец, в последней главе диссертации сконструирована специальная математическая статистическая модель, описывающая электрический пробой тонкого слоя полимерного материала, в котором присутствуют случайным образом распределенные по его объему воздушные включения, которые имеют случайные размеры. Для математического анализа этой модели в этой главе применяются результаты, полученные в предыдущих главах работы.

На этом пути, для некоторых плотностей f специального вида, удается оцепить интервал изменения параметра р (соответственно, А), в котором распределение вероятностей Рг{Б(м )[х] < Б} является унимодальным.

Остановимся несколько подробнее на описании физической постановки задачи этой части исследований в диссертации.

Изучение явления электрического пробоя, в том числе его теоретический анализ, имеет большую историю, которая отражена, например, в монографиях [9]-[14], подводящих итог исследованиям на каждом историческом периоде. Несмотря на отсутствие, по нашему мнению, принципиально новых подходов к изучению этого явления, ему, вплоть до настоящего времени, уделяется большое внимание (см., например, [15]-[18]). Это продиктовано как стремлением к теоретическому осмыслению этого физического явления, так и необходимостью практической борьбы с его последствиями. При этом, естественно, наибольшее внимание, уделяется изучению электрического пробоя в твердотельных материалах, который сопровождается деградацией их физических свойств вплоть до механического разрушения,

В настоящее время, электрический пробой диэлектрических и высокоомных полупроводниковых материалов удается теоретически анализировать только на уровне общефизических феноменологических представлений, так как последовательное проведение такого анализа на микроскопическом уровне приводит к чрезвычайно сложным построениям в рамках статистической физики. Это обусловлено не только тем, что пробой представляет собой очень быстропротекающее кинетическое явление в твердотельной структуре, состоящей из сильно связанных атомов, для описания которого становятся непригодными традиционные методы физической кинетики, но также и тем, что это явление является следствием очень сильного воздействия на материал внешнего электрического поля, которое не представляется возможным теоретически анализировать методами теории возмущений. Более того, на кинетику электрического пробоя существенно влияет наличие всевозможных дефектов, случайным образом расположенных в структуре твердотельного материала. Ста-

тистический учет этого влияния приводит к дополнительным сложностям уже па уровне построения адекватной математической модели, особенно в том случае, когда плотность дефектов нельзя считать малой величиной. Таким образом, естественно, что, в описанной ситуации, теоретический анализ электрического пробоя в твердотельных материалах основан, как правило, па довольно грубых общефизических моделях, каждая из которых ориентирована па описание какой-либо одной, хотя и существенной, стороны этого явления.

В настоящем исследовании уделяется внимание математическому анализу наблюдаемому экспериментально |19| эффекту пеодповершишюсти статистики пробойных напряжений полимерных покрытий. Предлагаемый нами анализ основан, па простой общефизической модели, что отличает его от работы |20|, в которой делалась попытка объяснения этого эффекта только специфической чертой малых выборок случайных пробойных напряжений, характерных дня тех условий проведения эксперимента, где наблюдалось это явление. Однако, в рамках такого подхода пе удается выявить вызывающую его физическую причину. Поэтому, по нашему мнению, объяснение эффекта, данное в этой работе, является далеко пе достаточным, так как в теоретической физике принято считать, что появление пеодповершишюсти распределения должно быть связано с наличием приводящего к ней определенного физического механизма. На основе же предлагаемого нами анализа удается выяснить, каким образом эффект пеодповершишюсти является следствием специфики пространственного расположения дефектов в плойке покрытия.

Рисунок 1 Слой диэлектрического материала с шаровидными включениями материала, обладающих) меньшей электрической прочностью. Строками показано движение электронной лавины, благодаря которой происходит электрический пробой. Лавина срывается с клемм

электрической цепи, показанных на рисунке жирными линиями

В пашем исследовании, на основе общефизических представлений конструируется статистическая модель с.ноя диэлектрического материала, который содержит шаровидные включения из материала с электрическими характеристиками, отличными от материала матрицы. Эти включения однородно распределены случайным образом в объеме материала матрицы и имеют случайные размеры (см. Рисунок 1).

В частном случае, при небольшом изменении математической модели, возникает возможность производить математический анализ физической системы, которая представляет собой многослойное эмаль-лаковое полимерное покрытие, которое содержит случайным образом распределенные в воздушные включения. Именно, такая физическая система изучалась экспериментально в |19|, |20|, Однако, то объяснение пеодповершишюсти распределений вероятностей электрической прочности, которые выявилась на основе экспериментальных данных, которое иредставлеио в работе |20|, является, как уже было сказано выше,

совершенно недостаточным, так как не вскрывает физической причины, которая приводит к его появлению и это не позволяет строить адекватную теорию электропробоя полимерных материалов, обладающую какой-либо предсказательной силой,

В рамках построенной нами модели решается задача о распределении вероятностей напряжений электрического пробоя слоя диэлектрического материала с гетерогенно случайным образом распределенными в нем включениями, В этой связи, следует упомянуть, что в теории электропробоя, как и в теориях различных кинетических явлений, играет т.н. перколяционный механизм в тех случаях, когда эти явления возникают вследствие геометрических причин, связанных с определенными соотношениями между различными геометрическими характеристиками, благодаря которым в них возникают такого рода физические эффекты, Перколяционные представления привлекались, например, для построения теории деградации свойств материалов (см, [21] - [23]), Они играют определенную роль при формировании электронной лавины, посредством которой реализуется электропробой. При этом перколяционный подход к анализу возникновения электрического пробоя предполагает переход на микроскопический уровень описания кинетики развития пробойной лавины. Это сильно усложняет теорию. По этой причине, в нашей работе задача решается при специальных физических условиях, при которых оказывается достаточным изучить распределение напряжения электрического пробоя только для одной случайной величины — напряжения, которое вызывает электронную лавину, порождающую электрический пробой, Такой подход в работе назван одноканалъным приближением. При этом возникает возможность избежать анализа распределения максимума выборок независимых случайных величин, которые представляются напряжениями, порождающие электронные пробойные лавины одновременно в нескольких местах приложения внешнего электрического напряжения,

В используемом нами одноканальном приближении удается объяснить наблюдаемую экспериментально многовершинность гистограмм их электрической прочности. Однако, для последовательного проведения соответствующего математического анализа понадобилось привлечь теорию одновершинноети одномерных распределений вероятностей и создать ее модификацию специально для одновершинных распределений неотрицательных случайных величин.

Степень разработанности темы. Обобщенные бернуллневские последовательности, определяемые суммами (0,1), изучались ранее, в связи с тем, что они тесно связаны с марковскими цепями общего вида (см, [24]), Однако, в этих исследованиях не интересовались качественной структурой распределения вероятностей функционала Б> [х] (функционалы такого типа мы, следуя терминологии, принятой в термодинамике, называем экстенсивными) и бифуркационными изменениями этого распределения при изменении параметров, определяющих распределения вероятностей случайных величин х ^ у = 1 — N.

В Главе 1, в случае, когда плотность f распределения случайных величин х^ ] = 1 — N экспоненциальна, нами доказано утверждение о том, что, в зависимости от значений па-А

стей значений функционала >[х] либо одновершинно с вершиной в точке 5 = 0, либо

же определена точка бифуркации, связанная с трансформацией этого распределения от одновершинного к двухвершинному, С точки зрения приложения анализа описанной ма-

тематической модели в теории электрического пробоя, интерес представляет именно этот бифуркационный переход.

Проблеме унимодальности одномерных распределений вероятностей посвящено большое число публикаций в научной литературе (см., например, [25] — [29]), Изучение условий наличия у распределений этого качественного свойства оказывается очень важным в различных задачах статистической математической физики (см., например, [30] — [32]), Однако, оказывается, что эту задачу не удается решать каким-то универсальным методом, В работе А.Я.Хинчина [29] был доказан общий критерий унимодальности одномерного распределения в терминах его характеристической функции. Однако, он оказался неэффективным при его применении для установления унимодальности конкретных распределений.

Другой подход к разработке метода установления наличия унимодальности распределений связан с работой И,А, Ибрагимова [26], в которой было введено понятие сильной одновершинности и был доказан довольно удобный, с точки зрения проверки его выполнимости, критерий наличия сильной одновершинности у распределений, носитель которых совпадает со всей вещественной осью. На основе конкретных распределений, сильная одно-вершинноеть которых предварительно установлена, можно конструировать обширные классы одновершинных распределений и, тем самым, посредством доказательства принадлежности конкретного распределения какому-либо из таких классов, устанавливать наличие у него свойства одновершинности. Этот метод тесно связан с «мультипликативной арифметикой» характеристических функций (см, [29]), то есть его применение прозрачно в том случае, когда изучаемое распределение предетавимо с виде последовательности композиций (сверток) сильно одновершинных распределений. Однако, его применение практически невозможно в случае отсутствия такого представления. Такая ситуация реализуется, когда распределение представляется суммой одновершинных распределений и именно с такой ситуацией приходится иметь дело в настоящем исследовании при изучении моделей статистической математической физики, описывающих электрический пробой слоя диэлектрического материала с распределенными в нем случайным образом инородными включениями. Распределение вероятностей для электрической прочности в этом случае, в одноканальном приближении, естественным образом, представляется в виде суммы большого числа слагаемых, каждое из которых представляет собой повторное применение операции композиции с фиксированным одновершинным распределением. Это связано с тем, что соответствующая математическая модель основана на обобщенной бернуллневской последовательности, в которой пространством состояний является множество [0, то) значений неотрицательной случайной величины х, распределенной с некоторой плотностью f (х), х € (0, то).

Вследствие описанной ситуации, решение поставленной в диссертации задачи пришлось разделить на два этапа. На первом этапе, с целью решения указанной задачи математической физики, ввиду того, что необходимо было установить наличие одновершинности каждого из слагаемых, изучалась классическая проблема сохранения одновершинности распределения, определяемого одновершинной плотностью f при ее композиции с другим одновершинным распределением. Для решения такой задачи Главу 2 настоящего исследования пришлось посвятить доказательству несколько видоизмененного критерия И,А, Ибрагимова, приспособив его к классу распределений, носитель которых сосредоточен на К + , А в Главе 3 мы расширили применимость этого критерия для конкретных плотностей /, введя понятие о сглаживающих функциях и доказав, что распределения, которые принадлежат

и

полугруппе, порождаемой последовательными композициями равномерного распределения на являются сглаживающими,

В главе 4 вычислено распределение вероятностей Рг{Б(м>[х] < 5} для конкретной

х

го результата анализируется возможность бифуркационного перехода от одновершинного

А

А

ют всевозможные бифуркационные переходы превращения распределения Рг{5(м>[х] < 5} в многовершинное с любым числом вершин. Изучение этой конкретной модели интересно как с математической точки зрения, так и с точки зрения применения в физических теориях. Последнее связано с тем, что, на практике, априорная информация о плотности

х

чае обработка, подходящим образом, большого объема N статистических данных сравнением их с результатами изучения различных моделей позволяет установить некие, довольно

развития физической теории.

Наконец, в пятой главе конструируется конкретная математическая модель, предназначенная для расчета электрической прочности слоя диэлектрического материала и вычисляется распределение вероятнотеей этой физической характеристики. Для анализа этой модели применяются результаты, проведенного в предыдущих главах исследования, В рамках этой модели вычисляются характеристики появления бифуркационного перехода от одновершинного распределения к многовершинному.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка метода установления одновершинности распределений вероятностей для значений энергетических функционалов на траекториях обобщенных бернуллиевеких случайных последовательностей и на его основе решение задачи о бифуркационном переходе распределения вероятностей электрической прочности тонкого слоя диэлектрического полимерного материала, содержащего распределенные случайным образом гетерогенные включения с электрическими характеристиками, отличными от характеристик материала матрицы. Тема диссертации находится в соответствии с и, 18 Математические проблемы оптики и электродинамики и п.20 Математические проблемы термодинамики, кинетики и статистической физики направлений исследований в паспорте специальности 1,1,2, Теория дифференциальных уравнений и математическая физика.

Исходя из указанной общей цели исследования, в диссертации решались следующие задачи:

1, Сконструировать феноменологическую макроскопическую модель процесса электрического пробоя слоя диэлектрического материала, содержащего гетерогенно распределенные случайным образом включения сферической формы из материала с электрическими характеристиками, отличающимися от характеристик материала матрицы;

2, На основе сконструированной математической модели электрического пробоя слоя твердотельного раствора шаровидных включений в диэлектрическом материале матрицы создать математическую рандомизированную модель, описывающую процесс

пробоя в так называемом одноканапьном приближении;

3, В рамках созданной математической модели поставить задачу вычисления распределения вероятностей электрической прочности слоя полимерного материала с учетом конечного размера электрических клемм, подводящих напряжение;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Теволде Амануэль Мехари, 2026 год

- и —

Далее, переходим к пределу и ^ t + 0 и получаем требуемое неравенство (D-p)(t) <

(D+p)(t) для производных Дини,

(— ) ■

тождественно постоянной, не может быть выпуклой на интервале (a, œ) при любом a G M.

тождественно постоянной, не может быть вогнутой на интервале (—œ, a).

□

точка a, в которой (D+p)(a) > е > 0. Тогда из первого неравенства в (П1.5) при s = a

получаем p(u) > p(a) + s (u — a), где в правой части стоит неограниченно возрастающая функция.

Умножая полученные неравенства на (-1), и учитывая, что для неубывающей выпуклой функции р, функция (— р) вогнутая и невозраетающая, убеждаемся в справедливости

■

Лемма П5. Для того чтобы непрерывная функция р(х) была выпуклой (вогнутой) на интервале (a, b) необходимо и достаточно чтобы функция р(х + $ ) — р(х) была неубывающей

( a, — )

□ Пусть р — выпуклая функция на (a, b). Рассмотрим пару точек {х, у} С (a, b), х > у. Определим числа

х —

£=-Г7,

х — + х — +

х +

Р(У + 6) < &(у) + г]Р(х + ^ , Р(х) < ЯР(У) + Ых + ^ . Складывая правые и левые части этих двух неравенств, получаем

р(у + 6)+ р(х) < С(Р(У) + Р(х + + Ф(х + ^ + Р(У)) = Р(х + 5) + р(у),

откуда следует

р(у + — р(у) < р(х + 8) — р(х). (1.8)

Это означает, ввиду произвольности точек х и у на интервале (a, b — 8), что на этом интервале функция р(х + $) — р(х) возрастает.

Пусть, наоборот, функцияр(х+8)—р(х) возрастает и допустим, что верно утверждение, противоположное тому, что утверждает лемма. Пусть существует интервал (a', b') С (a, b), в котором р(х + $) — р(х) вогнута. Запишем для произвольной пары точек из этого интервала неравенства вогнутости с крайними точками у + 8 их

Р(У + ty > &(у) + г]Р(х + 8), р(х) > г]р(у) + &(х + 8).

Суммируя по отдельности правые и левые части этих неравенств получаем неравенство

р(у + 8) + р(х) > р(х + 8) + р(у),

которое противоречит возрастанию функции р(х + 8) — р(х). ■

Следствие ПЗ. Если р — выпуклая (вогнутая) на (a, b) функция, то производные Дини D±p(х) — неубывающие (невозрастающне) функции на (a, b).

□ Неравенство (П1.8) для выпуклой функции запишем в виде

р(у + $) — р(у) > р(х + $) — р(х). (1.9)

Поделив па 8 и перейдя к пределу 8 ^ +0, получим неравенство D+p(у) > D+р(х) для любой пары {х, у} С (a, b) при у > х, которое означает неубывание правой производной. Заменив в неравенстве (П1.9) у на у — 8 ихх — 8 ъ проделав описанные операции и получив, в результате, неравенство D-p(у) > D-p(х), которое показывает неубывание левой производной, Неравенства для вогнутой функции получаются умножением полученных неравенств на (-1), ■

Теорема П4. Еслнр выпуклая (вогнутая) монотонно неубывающая функция на (a, b),

ного множества точек разрыва первого рода и ее производные Дини D +р и D-p являются, соответственно непрерывными справа и непрерывными слева неубывающими (невозраста-ющими) функциями.

□ Из утверждения Следствия ПЗ получаем, что D+p и D-p монотонно не убывают (не возрастают). Следовательно, для этих функций применимо разложение Лебега, в котором дискретная составляющая имеет не более чем счетное множество точек роста. Из Теоремы

ПЗ следует, что в этих точках функции D+p и D__р имеют положительные и отрицательные ■

Приложение Б (справочное)

Слабая сходимость функций распределения

Лемма П6. Если последовательность (Р (га);п € N функций распределения слабо сходится при п ^ го к распределению Р и все функции — компоненты последовательности выпуклы (вогнуты) при х < а (при х > а), то функция распределения Р непрерывна при х < а (при х > а) и эта последовательность сходится к Р равномерно на (—го, а] (на [а, го)).

□ Докажем, что имеет место равномерная сходимость на (—го, а]. Распределение Р, которое является неубывающей функцией на К, может иметь не более чем счетное множество точек разрыва. Поэтому, если на (—го, а] имеется точка х0 разрыва этого раепреде-

> 0 (— + х0, х0 + )

интервале множество точек, в которых Р(х) непрерывна, и поэтому последовательность ( Р(га); п € N сходится в каждой такой точке х € (—£ + х0, х0 + е) к Р(х) при п ^ го. Пусть х_ € (—£ + х0,х0 и х+ € (х0,х0 + е) такие точки. Тогда, ввиду монотонного неубывания функций Р (п)

имеем неравенства Р(п)(х+) > Р(п)(х0) и Р(п)(х_) < Р(п)(х0). Из числовой последовательности (Р(га)(х0);п € ввиду ее ограниченности, можно выбрать подпоследовательность (Р (пк\х0);к € N^5 сходящуюся к некотором у числу Р0, Тогда, переходя к пределу к ^ го в вышеприведенных неравенствах, пользуясь непрерывностью функции Р в точках х±, имеем Р(х_) < Р0 < Р(х+).

Ввиду произвольности £ > 0 и, как следствие, выбор а точек х± среди всех точек непрерывности функции Р при х < а, переходя к пределу £ ^ +0, получаем ИшШР(х) < Р* < Ишвир^+0 Р(х), причем, хотя бы одно из неравенств является точным, так как, в

Р х 0

Это означает, что существует линейная функция I (х) такая, что для достаточно больших значений к и достаточно малых £ > 0 в интервале (х0 — £,х0 + е) имеются точки х > х0, в которых Р (пк)(х) > 1(х), и точки х < х0, в которых Р (пк)(х) < 1(х), что противоречит выпуклости этих функций Р К) х < 1 '

х 0 х <

ливаетея отсутствие точки разрыва у Р(х) при х > а в случае, когда все функции Р(га)

[ а, го) Р

этих интервалах.

Покажем, что сходимость последовательности (Р(га);п € N равномерная. Снова зафиксируем число £ > 0, Найдется число М > 0 такое, что Р(—М) <£и, следовательно, Р(х) < Р(—М) < £ при х < — М, ввиду неубывания функции Р. Так как числовая последовательность (Р (п)(—М) ; п € N сходится к Р(—М), то можно выбрать такой номер К, что при п > К имеет место \Р (п)(—М) — Р (—М)\ < всех функций Р(га)(х) при х < М, справедливы оценки

\Р(п)(х) —Р(х)\ < Р(п)(х)+Р(х) < Р(п)(—М)+Р(—М) < \Р(п)(—М) — Р(—М)\+2Р(—М) < 3е .

Докажем, что последовательность (Р(га);п € N равномерно сходится на конечном

отрезке [—М, а]. Допустим противное, что для выбранного числа е > 0 имеет место

lim sup IF(п) (х) — F (х)\ > е. (2.1)

хе[-м,а]

Это означает, что найдется последовательность номеров (пк; к G N) и связанная с ней числовая последовательность (ск G [—М, а]; к G N), для которых, при всех достаточно больших к, имеет место неравенство \Fnk(ск) — F(ск)| > е. Ввиду того, что последовательность (Ск G [—М, a] ;к G N) является ограниченной, можно считать, что она является сходящейся с некоторому числу с G [—М,а]. Более того, можно считать, что она возрастающая если

= — a = — М

последовательность (Fnk (ск) G [—М,а]; к G N) также является сходящейся. Переходя к пределу к ^ го в указанном выше неравенстве и пользуясь непрерывностью функции F(х)

х < a

\ lim Fnk(ск) — F(C)\> e. (2.2)

fc^-X

Пусть с G (—М, а) (обобщение на случаи с = а и с = —М осуществляется очевидным образом). Выберем число ö > 0 так, что (с — 5,с + ö) С (—М, а). Тогда, ввиду монотонного неубывания всех функций F„k, имеют место неравенства Fnk(с — 5) < Fnk(ск) < Fnk(с + 5). Перейдем к пределу к ^ го в этих неравенствах. Пользуясь поточечной сходимостью функций Fnk, в результате, получаем F(с—5) < Fnk(ск) < F(с+$). Ввиду произвольности числа ö > 0, пользуясь непрерывностью функции F, перейдем в этих неравенствах к пределу ö ^ +0. Тогда получается, что F(с) < Fnk(ск) < F(с). Но эти неравенства

■

Теорема П4. Пусть (F(п"1;п G N) является последовательностью одновершинных рас-

F

пределение F одновершинно. При этом последовательность (F (п"1;п G N) сходится к F поточечно во всех точках, за исключением, может быть, вершинной точки х * распределе-

F F

первого рода.

□ Так как последовательность (F(п"1;п G N) слабо сходится к распределению F, то есть сходится поточечно во всех точках его непрерывности, то любая подпоследовательность (F(nk'); k G N) сходится поточечно во всех точках множества непрерывности к этому распределению F, то есть любая подпоеледовательность (F(nk'); к G N) слабо сходится к F.

Не ограничивая общности, можно считать, что последовательность (F (п'); п G N) состоит только из непрерывных распределений, так как каждой последовательности, сходящейся

F F

тельность (Ф(хп1/2) * F(п\х);п G N) одновершинных функций распределения, где

1 Г ( У2 \

Ф(хп1/2) *

F Ы (х)= Ф((х — Ь)п1/2)dF(t), Jr

F

новершинноеть компонент этой последовательности следует из того, что распределения Ф(х п1/2) сильно одновершинны.

Так как распределения Р(га) одновершинны, то каждое из них имеет, по крайней мере, одну вершинную точку а(п\ п € N так, что каждая из функций Р(га) выпукла при х < а(га) и вогнута при х > а(п\ Тогда числовая последовательность (а(га);п € N ограничена, В самом деле, допустим противное, что в этой последовательности имеется неограниченно монотонно возрастающая подпоследовательность (а(пк), к € Тогда имеется соответствующая подпоследовательность (Р(пк); к € N функций распределения, слабо сходящаяся к Р, причем каждый из членов этой подпоследовательности является выпуклой функцией при х < а(пк\ Так как последовательность (а(пк); к € N) превосходит при достаточно больших к

а Р

х < а

х € К. Но это невозможно, так как в этом случае Р является выпуклой и ограниченной сверху на всей оси, что невозможно в силу Леммы П5, Точно также разбирается случай, если предположить, что имеется неограниченно монотонно убывающая подпоследовательность ( а(пк) ;к € Тогда, согласно той же лемме, не может существовать предельная функция распределения Р всюду вогнутая на К и ограниченная снизу.

Так как последовательность (а(га);п € N ограничена, то в ней найдется сходящаяся к некоторой точке а € К подпоследовательность и соответствующая ей подпоследовательность функций распределения, которые мы обозначим, по прежнему как (а(пк);к € N и ( р (пк);к € N^5 соответственно. Тогда, для заданного е > 0 найдется та кое К, что при к > К выполняется неравенство \а("^) — а\ < е. Следовательно, при всех к > К функции р(пк) непрерывны и выпуклы при х < а — е, и поэтому, согласно Лемме П4, при таких

х Р

£ > 0 можно сделать вывод о том, что предельпая функция Р непрерывна и выпукла при х <

Р

х > а, Ввиду произвольности £, получаем, что функция Р непрерывна при х = а. Следова-

Р х = а

точкой. Если эта точка вершинная точка не единственна, то есть имеется, по крайней мере, еще одна такая вершинная точка а' = а. Тогда, в этой вершинной точке функция Р, наверняка, непрерывна. Тогда, например, если а' > а (либо а' < а), то функция Р выпукла

х < а' х > '

а а

Р Р

справа и слева, то в ней функция Р имеет разыв первого рода,, ■

Теорема П5. Пусть (Дп; п € N — последовательность отрезков вершинных точек, каждый из которых соответствует одновершинной функции распределения Р(га), входящей в состав последовательности (Р(га); п € N функций, которая стремится в слабом смысле к функции распределения Р. Тогда множество предельных точек всех сходящихся при п ^ го последовательностей (а(га);п € Щ вершинных точек а(га) € Дп функций распределения Р(п\ п € N совпадает с множеством множества Д вершинных точек распределения Р

□ Для каждого п € N рассмотрим правую крайнюю точку а +г) = т£ Дп каждого из отрезков Дп вершинных точек, соответствующе го функции Р(га) из последовательности

в условии теоремы. Для каждого фиксированного номера n E N функция F(ra выпукла при x < a(. Пусть a— = lim infra^x a(. Выберем ö > 0 и пусть при всех n > N имеет место I a— — a^I < ö. Поэтому при всех таких n каждая из функций F (n) выпукла при x < a- — F x < - —

F x < -

С другой стороны, любая точка a( является вершинной для функции F(ra), и поэтому функция F(ra) вогнута при x > a(\ По этой причине, для точек x > a+ + ö при всех n > N функции F (ra) F

вогнутой при x > a— + ö. Опять, в силу произвольности 6, функция F вогнута при x > a — .

- F

Точно такими же рассуждениями доказывается, что верхний предел

1- (ra)

( = lim sup a-

Ara

F ( < - A = [ ( , a- ]

состоит из вершинных точек распределения F. Если, теп ерь, (a(ra E Ara,n E N) — любая сходящаяся последовательность вершинных точек распределений F (ra\ n E N, предел которой равен a, то для любого n E N справедливо неравенство a— < a(ra < a(\ Переходя отдельно к нижнему и верхнему пределам при n ^ го в этих неравенствах, находим

a— < lim inf a(ra = lim a(ra = a , a+ > lim sup a(ra = lim a(ra = a ,

ra^x ra^x n ra^x

a E A

a Ar

Ar С A

сти (a(ra E Ara, n E N) поочередно последовательности (a— E Ara, n E N) и (a( E Ara, n E N)

- ( Ar

место включение Ax D A. Следовательно, Ax = A ■

A F

быть одноточечным A = {x*}, В этом случае любая последовательность (a(ra E Ara,n E N) сходится к x*.

A F

F

последовательность (F (ra)(a),n E N) сходится к F (a). Кроме того, сходимость последовательности (F(ra),n E N) распределений равномерная.

□■

Справедливо следующее утверждение,

F( x)

ствует последовательность (F((ra),n E N) одновершинных функций распределения, кото-

F

dF(ra)/dx, n E N. □

(F¿,ö E [0,1]) распределений, слабо сходящееся при ö ^ +0 к F, и для каждого распределения F¿ этого множества имеется линейно упорядоченное множество (F¿,e;e E [0,1])

распределений, слабо сходящееся при е ^ +0 к Р$ и, наконец, для каждого распределения Р^ имеется линейно упорядоченное множество (Рб,е,^;£' Е [0,1]) распределений, слабо сходящееся при е' ^ +0 к то из этих множеств распределений всегда можно выбрать такую последовательность (Р(п) = Рзп,£п,£'п;п Е М) с соответствующими стремящимися к нулю последовательностями (8П;п Е М), (еп; п Е М), (е'п;п Е М) при п ^ го, которая слабо стремится к распределению Р при п Е N. Таким образом, для доказательства леммы нужно построить указанные семейства.

Если одновершинная функция распределения Р имеет разрыв в точке ж*, то всегда имеется последовательность (Р¿;п Е М) непрерывных одновершинных распределений, слабо сходящаяся к пей при 8 ^ +0 Она совпадает с Р при х Е [х* + 8, го) и (-го, ж* — $], а на отрезке [х* — 8, х* +$] представляется отрезком прямой, соединяющей точки (х* — 8, Р(х* — 8)) и (х* + 8, Р(х* + 8)). Рассмотрим фиксированное непрерывное раепределение Р$ и построим на его основе для каждого е Е (0,1] функцию

¡•х

Р&,£ (х) = е-1 Р6 (у)йу.

х-

Она монотонно не убывает, так как

= £-1Р6 (х) — Р6 (х — е) > 0

(1 Рб,£ (х) _

¿х

ввиду монотонного неубывания Р^, Каждая иакая функция стремитея к 1 при х ^ го, так как, согласно теореме о среднем значении интеграла имеем

х

Рз,г(х) = е-1 Р6Шу = Р(у(х)),

х-

где срединная точка у(х), подчинена ограничениям х — е < у(х) < х и поэтому Р(х — £) < Р(у(х)) < Р(х). Переходя к пределу х ^ го получаем 1 < Р(у(х)) < 1,

Точно также устанавливается, что Р$>£ (х) = 0, Следовательно, все функции Р$>£

являются функциями распределения. Каждая из них непрерывно дифференцируема, то есть имеет непрерывную плотность /¿,£ = Р'ёе(х) = £-1(Р&(х) — Р&(х — е)) > 0, Каждое из этих распределений Р^>£ поточечно стремится к Р^ при £ + 0,

Определим на основе каждой из плотностей ¿,£ следующие семейства плотностей распределения

х

/¿^'(х) = е'-1 Де(у)<1у > 0 ,

х-

Г 1-х г ГУ+£ Г

¡¿,£,£>(х)(1х = £-1^х Д£ (у)йу = £-1 к,£ (у)йу / ¿х = Д£ (у)бу.

¿К ¿К ¿х-£ ./К ¿у ./К

Эти плотности непрерывно дифференцируемы,

&

к,е,е'(х) = £'-1( ЬЛх) — ке(х —

и для каждой пары (8, £) плотпоеть /¿,е,е' (х) стремится поточечно к /¿,£(х) при е' ^ +0, На основе плотностей Д£,£' (х) определим соответствующие каждой из них функции расиреде-

х

Р&,г,г> (х)= к,е,е>(у)(1у .

Для каждой пары (5, £) эти функции поточечно сходятся к функции распределения при е' ^ +0, так как сходимость интеграла на нижнем пределе равномерная относительно

Таким образом, мы построили требуемое семейство функций распределения ли-

, ,

ное в начале доказательства леммы, мы убеждаемся в правильности ее утверждения, ■

Приложение В

Пространство кусочно-непрерывных функций С(Е+)

Настоящее приложение посвящено описанию пространства кусочно-непрерывных функций на

Определение П2. Ограниченную функцию и на [0, го) будем называть кусочно-непрерывной, если в каждой точке х € [0, го) она и непрерывна справа и может иметь на каждом ограниченном интервале (а, Ь) не более чем конечное множество разрывов первого рода.

Таким образом, область определения кусочно-непрерывной функции и па [0, го) разбивается па не более чем счетное множество дизъюнктивных полуинтервалов [с j, ), ] € N таких, что в каждом полуинтервале из них она непрерывна, дискретное множество {с^ € М} является множеством ее точек разрыва первого рода, в каждой из которых она имеет односторонние пределы и непрерывная справа.

Из приведенного определения сразу следует очевидное утверждение.

Лемма П8. Пусть и — кусочно-непрерывная ну— непрерывная функции на [0, го). Тогда композиция V * и является непрерывной функцией на

□ Запишем выражение для ком позиции V * ив виде,

сх

(v *u)(x) = v(x — y)u(y)dy . Jo

Непрерывность этой функции по x следует го непрерывности функции v и непрерывной зависимости интеграла по его верхнему пределу. ■

Лемма П9. На любом отрезке [а, Ь] кусочно-непрерывная функция u достигает своих максимального и минимального значений в каких-то точках x+ и x-, соответственно. Эти значения равны либо u(x±), либо u(z).

□ Правильность этого утверждения для фиксированной кусочно-непрерывной функции u следует го ее непрерывности на каждом из соответствующих ей отрезков [сj, Cj+1\, je N ■

x

u [ , ] x

что u(y) = const при у e (а, b), а также lim u(y) = lim u(y) и, кроме того, при достаточно

у^а+0 у^Ь_0

малом е > 0 имеет место u(z) < u(a) (u(z) > u(a)) при z e (а — е,а) и u(z) < \imz^b_0u(z) ((u(z) > \imz^b_0u(z)) при z e (z ,b + e). При этом отрезок [а, b] будем называть отрезком

u

u

x

точке реализуется разрыв первого рода и u(x) < \imz^x_0u(z) (u(x) > \imz^x_0u(z)). При

x = u( )

(минимальным) значением этой функции, которое реализуется у нее в виде limz^b_0 u(z).

В том случае, когда отрезок максимальности (минимальности) превращается в точку а (а = Ь), которая является изолированной точкой максимальности (минимальности), то есть когда достаточно малая окрестность точки а не содержит отличных от нее точек мак-

мом) кусочно-непрерывной функции и. При этом локальный максимум (минимум) может как достигаться функцией и, если точка а является точкой ее непрерывности справа, и, в противном случае, не достигаться.

Точки максимальности и минимальности будем называть экстремальными точками.

Замечание П1. Из определений точек максимальности и минимальности следует, что нулевая точка кусочно-непрерывной функции на R+, по определению, всегда является либо точкой максимума, либо точкой минимума.

и

ли в каждой точке любого ограниченного отрезка [a, b] она дифференцируема за исключением, может быть, конечного множества точек из [а, Ь], в которых сама функция, либо ее производная имеет разрывы первого рода.

Таким образом, в каждом полуинтервале [сj, Cj+i) непрерывности кусочно-непрерыв-и

(cj, cj+i) 3 G N, то есть он разбивается на конечный набор дизъюнктивных полуинтервалов [, cj+i) k G 1 ^ nj, j G N, в каждой из внутренних точек которых она обладает непрерывной производной, а в точках сjk), k G ^nj, j G N производиая и' этой функции имеет разрыв первого рода.

Определение П4. Неотрицательную кусочно-непрерывную функцию и па [0, го), обладающую единственным отрезком максимальности и не имеющую точек минимальности, назовем одновершинной.

и

рывна, то функция f = v * и также является кусочно-гладкой и непрерывной. Ее левая/правая производные f±(x) определяются формулой

х

f±(x) = и(±0)v±(x) + j и±(х - y)v(y)dy. (3.1)

о

Справедливо следующее довольно очевидное утверждение.

Теорема П6. Для любой кусочно-непрерывной функции и па [0, го) существует не более чем счетное дизъюнктивное разбиение области определения [0, го) = Uj[^j, ^j+i), bi = 0 b j < bj+i, где каждый из отрезков [bj, bj+i] состоит:

• только из точек максимальности функции и,

• только из ее точек минимальности;

и

□ Достаточно рассмотреть отрезки изменения функции и, которые не пересекаются ни с одним интервалом, состоящем из точек максимальности/минимальности. Пусть [a,b]

— такой отрезок. Не ограничивая общности, этот отрезок можно считать максимальным, то есть не являющиеся собственным подмножеством никакого другого отрезка [а',Ь'], который обладает таким же свойством. Тогда существуют такие точки а' < а и Ь' > Ь, что и постоянна в иптервалах (а', а), (Ь,Ь'). В противном случае, можно было бы расширить отрезок [ а, Ь]. При этом точку а' можно выбрать наименьшей среди всех точек, для которых интервал (а', а) обладает указанным свойств ом, либо а' = —го, а точку Ь' можно выбрать наибольшей среди всех возможных, либо Ь' = го.

Пусть х ъу — пара произвольных точек из интервала (а, Ь), х < у таких, что и(х) = и(у). Положим, для определенности, что и(х) < и(у). Если найдется точка г из (х, у) такая, что и(г) < и(х) и, еледовательно, и(г) < и(у), то внутри интервала (х, у) С (а, Ь),

и

не существует, и поэтому функция и монотонно возрастает на [а,Ь].

Аналогичным образом разбирается случай, когда для произвольно выбранных точек х и у из (а, Ь) выполнявтея и(х) > и(у). Если в интервале (х, у) найдется точка г, в которой имеет место и(г) > и(х), то функция и в интервале (х, у) С (а, Ь) имеет точку максимальности, что невозможно. Поэтому она монотонно убывает на [а, Ь] ■

Следствие П5. На каждом отрезке [0,Ь], Ь > 0 кусочно-непрерывная функция и может иметь не более чем конечный набор отрезков максимальности и минимальности.

Следствие П6. Отрезки максимальности и минимальности кусочно-непрерывной функции и чередуются на полуоси [0, го).

Кусочно-непрерывные (кусочно-гладкие) функции, очевидным образом, образуют линейное пространство, которое мы обозначаем посредством С(К+).

Пусть функция V на [0, го^, обладает носителем [а, Ь], а > 0. Определим функцию формулой у(х + а) = у(а\х), х € [0, го). Тогда эта функция обладает носителем [0,Ь — а]. Пусть, далее, ^ > 0 — произвольная постоянная функция и кусочно-непрерывна, то функция V(/!(•)) = тоже кусочно непрерывна. Таким образом, пространство С(К+) инвариантно относительно преобразования сдвига и преобразования сжатия функций из этого пространства.

Введем на пространстве С!(К+) функционал Ы[и; х], зависящий от параметра х € который принимает значения. Для каждого х > 0 значением Ы[и; х] этого функционала

и

полуинтервале [0,х),

Справедливо утверждение о полноте пространства в топологии равномерной

сходимости функций из этого пространства на каждом компактном полуинтервале, определяемой счетным набором согласованных полунорм ||и|| = вир{|и(х)| : х € К+}.

Теорема П7. Пусть (ип; п € М) — последовательность равномерно ограниченных кусочно-непрерывных функций, равномерно сходящаяся к функции и на.Ш + . Пусть для последовательности (ип; п € М) существует монотонно неубывающая неотрицательная функция С : м- на такая, что выполняется ограничение Ы(ига;х) < С(х), х € Тогда и

□ Пусть поеледовательность (ип- п € М) поточечно сходится к функции и. Функции ип кусочно-непрерывны. Тогда для каждого п € N можно ввести упорядоченную по воз-

растанию последовательность (ст),т Е N точек разрыва этой функции. Множество всех точек разрыва {с^; (т,п) Е М2} счетно. Поэтому всегда существует сколь угодно большое число Ь > 0, не совпадающее ни с одним из чисел ст^; (т, п) Е М2,

Зафиксируем полуинтервал [0, Ь). Число точек разрыва Мп(Ь) каждой го функций ип ограничено числом С(Ь), Пусть

N(Ь) = шт{ Иш Ып(Ь)\

I п^<х J

Тогда в последовательности (ип; п Е М) имеется бесконечная подпоследовательность (ипк; к Е М), для которой та полуинтервале [0,Ь) для каждого к Е N имеется ровно N(Ь) точек разрыва {¿п= 1 ^ N(Ь)}, с^ < с(21к) < ... < с^щ- Тогда последовательность (¿п^; к Е N содержит в себе сходящуюся к некоторому пределу с 1 < Ь подпоеледователь-ность (с1 к ;к Е М), Этой подпоследовательности соответствует подпоследовательность

(и (1) ;к Е М) функций. Для любого числа е > 0 эта последовательность для достаточно

пк

больших номеров к не имеет точек разрыва на [0, с1 — е), и поэтому она сходится равномерно при к ^ го на [0, с1 — е] к непрерывной функции и на [0, если с1 > 0,

1 = 0 1 = 0

(п(1))

вательности (с2 к ;к Е М) следующих порядку точек разрыв а функций и (1), к Е М, Так как

пк

Ь 2

(п(2))

последовательность (с2 к ;к Е М), с1 < с2 < Ь. Этой подпоследовательности соответствует

подпоследовательность (и (2); к Е М) функций. Для любого числа е > 0 эта последователь-

пк

ность для достаточно больших номеров к не имеет точек разрыва на [с 1, с2 — е), так как все функции ип непрерывны справа, и поэтому она сходится равномерно при к ^ го на [с1, с2 — е] к непрерывной на [с 1, с2) функции и, если с2 > с1.

Поступая далее аналогичным образом с последовательностями (с j• к ; к Е М) с каждым из номеров j = 1 ^ N(Ь) — 1, выделяя на каждом шаге новую подпоследовательность

(с^ к ;к Е М), которая сходится к пекоторому числу с^ < Ь, с^ > и соответствую-

щую ей подпоследовательность (и о) ;к Е М) непрерывных на [cj-1, с^) функций, которая

пк

сходится при к ^ го равномерно на [сс^ — е), получим на последнем шаге подпоследовательность (и (м(ь)) ;к Е М) непрерывных на [см(ь)-1, см(Ь)) функций, которая сходится при пк

к ^ го равномерно на [см(Ь)-1, см(Ь) — е), если см(Ь)-1 < см(Ь),

Все функции из выделенной на последнем шаге подпоследовательности непрерывны

на [см(Ь), Ь), если см(Ь) < Ь и сходятся равномерно к функции и на [см(Ь), Ь — е), так как Ь

не совпадает ни с одним из чисел {ст); (т, п) Е М2},

Так как последовательность (и (м(ь)); к Е М), являясь подпоследовательностью из (ип; п Е

пк

М) и

но к той же самой функции и на каждом из отрезков [с^, Cj+1 — е], ] = 0 ^ N(Ь), с0 = 0, см(ь)+1 = Ь. Тогда эта предельная функция, согласно теореме Дини, непрерывна на каждом из указанных отрезков, В силу произвольности числа е > 0 она непрерывна на всех полуинтервалах [cj, ] = 0 ^ N(Ь), а совокупность не совпадающих между собой точек из набора (Cj ; ^ = 1 ^ N(Ь)) составляют множество точек разрыва предельной функции на полуинтервале [0,Ь),

В силу возможности выбора произвольно большого числа Ь > 0 теорема доказана, ■