Математические аспекты проблем исследования геомагнитного поля частичным данным его измерений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, доктор физико-математических наук Хохлов, Андрей Владимирович

• Хохлов, Андрей Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хохлов, Андрей Владимирович

1 Введение

1.1 Использование данных об интенсивности магнитного поля

1.2 Использование данных о направлениях магнитного поля

1.3 Содержание диссертации.

2 Обозначения и соглашения

2.1 Некоторые общие для всех разделов обозначения.

2.2 Магнитостатическая аппроксимация.

3 Восстановление поля по интенсивностям на поверхности

3.1 Свойства гармонических потенциалов.

3.2 Теорема единственности

3.3 Условия на вариации

3.4 Вспомогательные утверждения.

3.5 Основная лемма о магнитных потенциалах.

3.6 Сходимость.

3.7 Уточнение.

3.8 Некоторые вычисления на поверхности сферы.

3.9 Практический аспект вопроса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические аспекты проблем исследования геомагнитного поля частичным данным его измерений»

Диссертация посвящена проблеме восстановления пространственного описания наблюдаемого магнитного поля Земли по данным его частичных измерений на некоторой поверхности - на земной поверхности, или, если речь идет об измерениях со спутников, некоторой поверхности в околоземном пространстве. Рассмотриваться будут два широко известных на практике случая, когда результатом измерения поля в точке поверхности является не сам вектор, а либо только его модуль (=длина), либо только направление вектора. Первый случай возникает при обработке геомагнитных наблюдений, получаемых с датчиков, установленных на искусственных спутниках Земли, второй случай соответствует палеомагнит-ным данным. Математический формализм, типичный для такого рода задач, состоит в исследовании уравнения (решением которого является магнитное поле) с краевым условием, отвечающим данным измерений. Кроме того, в диссертации рассмотрена задача статистического моделирования палеомагнитного поля по данным одних только его направлений - здесь подразумевается иной формализм и иной порядок точности (во всяком случае, по состоянию на сегодняшний день).

Упомянутые два ограничения на данные не позволили тривиально свести проблему к классическим краевым задачам; за последние примерно 40 лет математически ясное обоснование метода работы с такого рода данными так и не появилось, несмотря на неоднократные попытки его найти - см. подробный обзор идей и методов в [Lowes et al 1995]. Соответствующая математическая теория для этих нигде задач не была изложена, наиболее близкой изучено» областью является теория краевых задач с косой производной. Отметим, что соответствующий аналог 4

Глава 1. Введение задач восстановления для двумерного случая допускает естественную переформулировку в терминах свойств голоморфных функций комплексной переменной и неплохо изучен; в частности, с ним связана одна из проблем Гильберта. Однако непонятно, как именно и обобщаются ли вообще соответствующие двумерные результаты об условиях существования и единственности решений на физически осмысленный трехмерный случай.

Всюду в настоящей работе под магнитным полем понимается главное магнитное поле Земли [Яновский 1978], то есть часть наблюдаемого магнитного поля в некоторых геофизически интересных пространственно-временных масштабах без учета воздействия внешних (по отношению к ограниченной поверхностью части пространства) источников. Как известно [Яновский 1978], эффект, создаваемый внешними источниками, много меньше главного магнитного поля Земли. Еще одно стандартное предположение заключается в гипотезе отсутствия токов через поверхность наблюдений (напомним, что это есть либо земная поверхность либо некоторая поверхность, объемлющая Землю - например, поверхность, заметаемая траекториями измеряющего спутника в космосе).

Хорошо известно, что в исследованиях магнитного поля земли рассматриваются не сами классические уравнения Максвелла, а некоторая их модификация, связанная с характерным масштабом наблюдений -так называемые до-максвелловские уравнения. В Главе 2 приведен вид этих уравнений и основные идеи их вывода (следуя материалу книги [Backus et al 1996]). Вид решений до-максвелловских уравнений при отсутствии токов позволяют рассматривать магнитное поле как потенциальное в неограниченной части пространства (внешней по отношению к замкнутой поверхности наблюдений). При этом (скалярный) потенциал этого поля оказывается гармонической в этой части пространства функцией, т.е решением классического уравнения Лапласа

A U = 0.

Таким образом, основной случай для рассмотрения - это трехмерное уравнение Лапласа в неограниченной области пространства с некоторыми краевыми условиями на градиент. Значимыми для проблем геомагнетизма решениями потенциала являются те. градиент которых достаточно быстро убывает на бесконечности

VL'(ir)| ~ |xj3, \х\ —> ос