Математические модели и метод Галеркина в теории микродисковых лазеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Репина Анна Игоревна

• Репина Анна Игоревна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Репина Анна Игоревна

Введение

Глава 1. Задача о собственных модах микродискового резонатора с отверстием

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Система граничных интегральных уравнений Мюллера

§3. Операторная формулировка задачи

Глава 2. Метод Галеркина

§1. Формулировка метода

§ 2. Исследование сходимости метода

§3. Явные выражения для матричных элементов

Глава 3. Программный комплекс и результаты численных экспериментов

§ 1. Программный комплекс

§ 2. Компромисс между пороговым усилением и направленностью излучения

мод микрокольцевых лазеров

§3. Однонаправленное излучение мод высоких порядков

§ 4. Увеличение направленности излучения мод с близкими частотами

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и метод Галеркина в теории микродисковых лазеров»

Введение

Актуальность темы. Микрорезонаторные лазеры изучаются экспериментально и теоретически на протяжении 30 лет с начала девяностых годов прошлого века (см., напр., обзорные статьи [26], [30], [43], [61], [102]). Первоначально, для теоретического исследования большинство авторов использовали физическую модель, основанную на поиске комплексных собственных частот и собственных колебаний пассивных открытых оптических резонаторов — обычно ее называют задачей на собственные значения относительно комплексной частоты (Complex Frequency Eigenvalue Problem, CFEP). С математической точки зрения это спектральная задача для системы уравнений Максвелла в трехмерном пространстве с ограниченной диэлектрической неоднородностью, имеющей вещественный показатель преломления. Предполагается, что электромагнитное поле гармонически зависит от времени, лазерное излучение моделируется наличием у собственной частоты отрицательной мнимой части.

Такой, традиционный, анализ пассивных резонаторов не учитывает наличия в них активной (усиливающей) лазерной среды и дает возможность вычислить только собственную моду, ее частоту и добротность (отношение вещественной части собственной частоты к удвоенной мнимой части, взятой с обратным знаком). На этом пути невозможно определить наиболее важную характеристику мод лазера — пороговое усиление. Для преодоления этого существенного недостатка было предложено несколько подходов (см., напр., обзор в [85]). Одним из них является анализ пороговых мод мик-рорезонаторных лазеров с помощью задачи, специально разработанной для вычисления порогового значения усиления вместе с вещественной частотой лазерного излучения в качестве второго искомого параметра. Такая модифицированная формулировка, названная лазерной задачей на собственные значения (Lasing Eigenvalue Problem, LEP), была впервые предложена в 2004 году в статье [78] и с тех пор получила широкое признание специалистов по фотонике и лазерной физике. Она систематически применялась

для численного решения разнообразных задач теории микрорезонаторных лазеров [19], [41], [61], [76], [79]-[87].

Если толщина микрорезонатора существенно меньше длины волны, то исходную трехмерную задачу для системы уравнений Максвелла можно свести к двумерной задаче для уравнения Гельмгольца на плоскости, используя замену показателя преломления резонатора его эффективным значением а-1 (см., напр., [37], [61]). Это эмпирически обоснованный подход, он хорошо согласуется с экспериментально установленным фактом, что излучение тонких микродисковых лазеров наблюдается в основном в их плоскости, а направленность излучения определяется формой их границы в этой плоскости. Обоснованию этого двумерного приближения посвящено большое число работ (см., напр., [30], [32], [54], [55], [63], [64], [74], [75], [77]).

Упомянутые в первом абзаце введения обзорные статьи содержат ссылки на многочисленные попытки исследователей найти, используя в качестве основы модель СРЕР, форму микродиска, улучшающую направленность излучения. Однако, такое улучшение не должно быть достигнуто за счет резкого роста порога генерации излучения, который недоступен в задаче на собственные значения с комплексной частотой. Таким образом, лазерная задача на собственные значения — это привлекательный инструмент численной оптимизации формы микродиска с учетом как направленности, так и порога генерации излучения [87], [92], [107], [108].

Сеточные методы, и основанные на них коммерческие пакеты прикладных программ широко применяются для расчета оптических микрорезонаторов как в трехмерной постановке, так и в двумерном приближении (см., напр., [40], [96], [103]). Однако, они требуют существенных вычислительных ресурсов, и как следствие, не очень хорошо подходят для оптимизационного подбора параметров. Кроме того, при их применении встает вопрос о корректном переносе условия излучения с бесконечности на границу расчетной сеточной области. Альтернативный подход — метод граничных интегральных уравнений. На его основе были предложены достаточно эффективные и универсальные алгоритмы решения как прямых задач, так и задач на собственные значения теории двумерных оптических микрорезонаторов [20]-[25], [34], [51], [53], [73], [99]-[101], [109].

Существенный прогресс в развитии численных методов для моделирования двумерных микродисковых лазеров был достигнут в статье [87], где следуя книге К. Мюллера [57], краевая здача ЬЕР была сведена к нелинейной задаче на собственные значения для системы граничных слабо сингулярных интегральных уравнений, которая была решена численно методом Нистрема. Аналогичный подход применялся и для анализа собственных мод пассивных открытых резонаторов при помощи задачи на собственные значения с комплексной частотой [22], [95] в терминах ОРЕР.

Авторы вышеуказанных статей сосредоточили основное свое внимание на обсуждении алгоритмических особенностей предложенных ими методов и физической интерпретации результатов вычислений. Вместе с тем, в работе [93] впервые было проведено математическое исследование качественных свойств спектра, как задачи на собственные значения с комплексной частотой, так и лазерной задачи на собственные значения, а также представлено строгое доказательство сходимости метода Нистрема. Рассуждения в ней опираются на фундаментальные результаты теории фредголь-мовых голоморфных оператор-функций в банаховых пространствах, развитой в работах [6], [12], [13], [35] (см. также приложение в книге [48] и цитированную там литературу).

В связи с этим необходимо сказать о важных прикладных задачах, имеющих родственные математические постановки, для которых развивался метод граничных интегральных уравнений в сочетании с методами теории оператор-функций. С начала восьмидесятых годов прошлого века (см. [9] и [10]) А.С. Ильинским и его учениками разрабатывались новые подходы к математическому и численному анализу задач о собственных волнах щелевых и полосковых линий. Некоторые итоги исследований были подведены в монографиях А.С. Ильинского, Ю.В. Шестопалова [11] и Ю.Г. Смирнова [18]. В монографии Р.З. Даутова, Е.М. Карчевского [7] близкие результаты были получены и для задач о собственных волнах диэлектрических волноводов, а для их численного решения был предложен и обоснован метод Галеркина с тригонометрическим базисом.

Концепция нелинейных задач на собственные значения для голоморфных фредгольмовых оператор-функций лежит и в основе теории дискретной сходимости, разработанной для численного анализа приближенных ме-

тодов решения таких задач в статьях [42], [46], [47], [98], [2], [3]. Ее общие результаты использовались для доказательства сходимости самых разнообразных численных алгоритмов решения конкретных нелинейных задач на собственные значения во многих приложениях. Прежде всего, сошлемся на монографии А.С. Ильинского, Ю.В. Шестопалова [11], Ю.Г. Смирнова [18], Р.З. Даутова, Е.М. Карчевского [7] и на цитированную в них литературу, а также на многочисленные журнальные публикации других авторов (см., напр., [31], [36], [39], [45], [88], [94]).

В работе [93] результаты теории дискретной сходимости были использованы для обоснования метода Нистрема в рамках моделей CFEP и LEP. С этой целью в [93] была предложена более общая параметрическая задача на собственные значения для уравнения Гельмгольца на плоскости, чем CFEP и LEP. Она содержит обе из них как частные случаи, и была названа обобщенной задачей на собственные значения относительно комплексной частоты (Generalized CFEP, GCFEP). Точнее, ее комплексные собственные значения k являются такими значениями волнового числа в свободном пространстве, при которых возможна генерация лазерного излучения. Они зависят от вещественного параметра y — коэффициента потерь или усиления. При этом предполагается, что показатель преломления резонатора комплексный и имеет вид v = ai — %y. Если y = 0, то резонатор не имеет потерь. Отрицательные значения параметра y соответствуют потерям. Если y < 0, то постановка GCFEP в точности соответствует задаче на собственные значения с комплексной частотой для пассивного резонатора. Если для положительного y существует положительное собственное значение k, то эта величина y является пороговым значением усиления, и пара чисел (k,Y) вместе с соответствующей собственной функцией удовлетворяет всем условиям лазерной задачи на собственные значения. Затем в [93] с помощью системы граничных интегральных уравнений Мюллера GCFEP была сведена к параметрической задаче на собственные значения для голоморфной фредгольмовой оператор-функции, которая включает в себя слабо сингулярные интегральные операторы. На основе этой постановки задачи в [93] исследованы качественные свойства спектра: локализация на соответствующей римановой поверхности, дискретность, алгебраическая кратность и зависимость собственных значений k от параметра y £ R, а

также доказана сходимость метода Нистрема.

Однако вопросы спектральной эквивалентности исходной краевой задачи и построенной в [93] операторной задачи были исследованы относительно слабо. Было доказано что при любом фиксированном значении параметра 7 каждой собственной функции и исходной задачи, соответствующей собственному значению к, отвечает нетривиальное решение однородной системы граничных интегральных уравнений Мюллера, соответствующее тому же самому значению к. Обратное утверждение не имеет места. При построении системы уравнений Мюллера, интегральные представления для собственных функций, полученные на основе формулы Грина, не подставляются в условия сопряжения. На границе раздела сред складываются предельные значения этих выражений и предельные значения их нормальных производных. Делается это с целью получить слабо сингулярные интегральные уравнения, и отсутствие полной эквивалентности двух задач является платой за это. Поэтому доказательство дискретности характеристического множества интегральной оператор-функции и обоснование сходимости метода Нистрема делается в [93] в предположении непустоты ее регулярного множества.

Обоснованный в работе [93] метод Нистрема является специальным вариантом метода квадратур, разработанным изначально для численного решения интегральных уравнений с логарифмическими ядрами [28]. В [93] он применялся для моделирования мкродисковых лазеров с равномерным усилением. Попытка его применения для более сложных микрокольцевых лазеров в статье [91] привела к практическим проблемам, вызванным сутью задачи. Модель микрокольцевого лазера строится на основе системы интегральных уравнений, записанной на двух непересекающихся замкнутых контурах — внешней границе резонатора и границе отверстия в нем. Особый практический интерес представляет такая геометрия кольца, когда отверстие приближается к внешней границе лазера. Для обеспечения точности вычислений при этом приходится существенно увеличивать число точек сетки, что приводит к необходимости решать нелинейную алгебраическую задачу на собственные значения с заполненной матрицей большого порядка, и как следствие, существенно замедляет расчеты. В то же время, поиск оптимальных параметров микроколцевого лазера требует масси-

рованных вычислений. Они могут быть существенно ускорены для интересующей физиков в первую очередь геометрии двух неконцентрических окружностей, если получить явные выражения для матричных элементов метода Галеркина и вообще избавиться от численного интегрирования. Аналогичный подход был предложен ранее для решении задачи дифракции на двух параллельно расположенных диэлектрических цилиндрах круглого поперечного сечения [8].

Подводя итог, можно заключить, что применение системы граничных интегральных уравнений Мюллера при математическом моделировании микродисковых лазеров до сих пор не имеет достаточно полного теоретического обоснования. Такое обоснование должно включать в себя более подробное исследование эквивалентности спектральной задачи в интегральной постановке исходной краевой задаче на собственные значения. Дальнейшего развития также требуют численные методы решения этих задач, так как известные к настоящему времени недостаточно хорошо приспособлены для моделирования микролазеров с отверстиями. Эффективные и универсальные алгоритмы могут быть построены на основе метода Га-леркина с тригонометрическим базисом, хорошо зарекомендовавшего себя ранее при решении близких задач о собственных волнах диэлектрических волноводов и задач дифракции. Важно, не только доказать сходимость этого метода, но и получить аналитические выражения для матричных элементов, что должно обеспечить возможность проведения серии численных экспериментов с целью анализа важных для приложений свойств микролазеров. Таким образом, проблемы исследования математических моделей, разработки и обоснования новых численных методов теории микродисковых лазеров являются весьма актуальными.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка и обоснование метода Галеркина, предназначенного для решения задачи ОСРЕР в интегральной формулировке, основанной на системе граничных интегральных уравнений Мюллера; демонстрация его практической эффективности. На пути достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи.

1. Сформулировать и доказать достаточное условие того, что при любом фиксированном значении параметра 7 каждому значению к, при кото-

ром у системы граничных интегральных уравнений Мюллера существует ненулевое решение, отвечает собственное значение задачи СОРЕР и соответствующая ему собственная функция. Убедиться, что это условие выполняется, если исходная однородная краевая задача имеет лишь тривиальное решение, и как следствие, доказать непустоту регулярного множества интегральной оператор-функции.

2. Доказать теорему о сходимости приближенных решений операторной задачи, построенных методом Галеркина с тригонометрическим базисом к точным. А именно, построить последовательность конечномерных голоморфных оператор-функций, которая регулярно сходится к интегральной фредгольмовой голоморфной оператор-функции. Применить общие методы теории дискретной сходимости к численному анализу метода Галеркина и получить оценки скорости сходимости приближенных характеристических значений к точным. Для микродисковых лазеров круглой формы с круглыми отверстиями получить явные выражения для матричных элементов метода Галеркина.

3. Реализовать предложенные в работе методы и алгоритмы в виде комплекса программ в системе МаШЬ. Проанализировать реальную скорость сходимости метода Галеркина с явно вычисленными матричными элементами и сравнить приближенные решения с известными в частных случаях точными. Решить ряд конкретных задач теории микрокольцевых лазеров и найти такие параметры микрорезонаторов, которые обеспечивают как высокую направленность, так и низкий порог генерации излучения.

Методы исследований. В работе используются методы теории граничных интегральных слабо сингулярных уравнений, спектральной теории фредгольмовых голоморфных оператор-функций, теории проекционных методов решения нелинейных задач на собственные значения.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и состоят в доказательстве непустоты регулярного множества оператор-функции к нелинейной задаче на собственные значения относительно которой сводится исходная задача; разработке и обосновании метода Галеркина для ее численного решения, получении явных выражений для матричных элементов в важных для приложений частных случаях; реализации пред-

ложенного метода в виде комплекса программ, демонстрации его практической эффективности и определении оптимальных параметров микрокольцевых лазеров.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректным использованием математических методов, строгими математическими доказательствами, совпадением численных результатов с известными в простейших частных случаях точными решениями.

Теоретическая и практическая значимость работы, рекомендации по использованию результатов. Строгое доказательство сходимости метода Галеркина решения задачи о собственных модах микродисковых резонаторов значительно расширяет класс важных для приложений устройств, допускающих численное моделирование математически обоснованными методами. Предложенные в работе алгоритмы, полученные расчетные формулы и разработанные компьютерные программы могут быть непосредственно использованы при моделировании и оптимизации параметров микродисковых лазеров с отверстиями. Результаты диссертации могут быть использованы при численном решении других нелинейных задач на собственные значения теории дифракции.

Основное содержание работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе работы формулируется и исследуется задача о собственных модах микродискового резонатора с отверстием.

В первом параграфе этой главы приводится ее постановка как краевой задачи на собственные значения в терминах ОСРЕР [93]. Пусть значение параметра 7 Е К фиксировано. Ненулевая функция и Е и называется собственной функцией задачи ОСРЕР, соответствующей собственному значению к Е Ь, если

Аи + к2и = 0, X Е (0.1)

Аи + к0и = 0, х Е и0, (0.2)

Аи + к°и = 0, х Е П3, (0.3)

+ ди- и = По ~ дп1 ди+ = Пг ~ , х дп1 Е Гь (0.4)

+ ди-и = и^, п о дпо ди+ П0 гл , х дп0 Е Го, (0.5)

оо

и(г^)=^ 0,1 Н(1\ког) ехр (Ну), г > Я0.

(0.6)

1=—оо

Здесь kj = ки^ — волновое число в соответствующей среде (см. рис. 1.1,

с. 21), и0 > 0, V = а — г^, а > 0; щ = V (п = 1) а и = Нг (и = Ег) в случае Н-поляризованного (Е-поляризованного) поля, ] = г, о. Буквой и обозначено пространство комплекснозначных функций, непрерывных в замкнутых областях и дважды непрерывно дифференцируемых в открытых областях. В равенствах (0.4) и (0.5) участвует правильная производная по внешней к соответствующему контуру нормали, а через и- (и+) обозначено предельное значения функции и изнутри (извне) этого контура. Символом Ь обозначена риманова поверхность функции 1п к. Как обычно, Н(1 — функция Ханкеля первого рода порядка I; (г, у) — полярные координаты точки на плоскости.

В конце §1.1 сформулирован результат, важный для доказательства непустоты регулярного множества оператор-функции, к нелинейной спектральной задаче относительно которой сводится задача (0.1)-(0.6). Он был доказан в статье [91] и заключается в следующем. Для каждого 7 Е К положительная мнимая полуось 1+ главного листа римановой поверхности Ь не содержит собственных значений к задачи (0.1)-(0.6).

Следуя [93], в §1.2 задача (0.1)-(0.6) сводится к нелинейной задаче на собственные значения для системы граничных интегральных уравнений Мюллера, а в §1.3 она формулируется как нелинейная спектральная задача для оператор-функции следующего вида:

Л(к,^)и = (1 + В (к, 7))и = 0,

где и = (и(

« „,(2) „(3) Г4)чт

и

1

и

2

и

2

))

В=

1

В В

В2

интегральные операторы

В

(1,2) В (*'3)

1

1

1

В

1

В

В

В1(1,4)

(2,1) В(2,2) (2,3)

г?

(2,4)

В

1

(3,1) В(3,2) В (3,3) В (3,4)

В

(4,1) в^ (4,2) в (4,3) В (4,4)

В

/

В

(1,т)

(кГ1 )ит) (X) = ( к';т(к,1; х,у)ит (у)Ш(у),

(0.7)

(0.8)

X Е Гj ,

(0.9)

рассматриваются, как операторы, действующие из пространства С(Г5) непрерывных на контуре Г функций в пространство С(Гj) функций, непрерывных на Г, наделенные стандартными максимум нормами. Приведем здесь явный вид только тех ядер из этих операторов, аргументы которых лежат на кривой Г0, отделяющей тело резонатора 0.0 от окружающей его среды

3,3 дСг(х,у) дСо(х,у) ( ,

К , х,у Е Го' (0.10)

Ко3,4 = Со(х,у) Сг(х,у), х, у Е Г0, (0.11)

Пг + По Пг + По

К43 = д^г(х,у)___д ^о (х,у) Е (012)

0 дп0(х)дп0(у) дп0(х)дп0(у)

К4,4 = 2Пг дСо(х,у) 2По дСг(х,у) х ^ Г (0 13)

0 По + Иг дП0(х) По + Иг дщ(х) ' ' 0' '

Операторы в (0.7) действуют в пространстве W = [С(Г1)]0 х [С(Г0)]0, как обычно, буквой I обозначен тождественный оператор. В статье [90] доказывается, что ядра всех операторов (0.9) либо непрерывны, либо имеют логарифмическую особенность, следовательно, оператор-функция Л(к,^) фредгольмова, а в работе [93] доказывается, что эта оператор-функция голоморфна по к Е Ь для каждого фиксированного 7 Е К.

Система уравнений Мюллера (0.7) строится на основе известных интегральных представлений решений уравнений Гельмгольца (0.1)-(0.2), основанных на формуле Грина (см. [93] по поводу обоснования такого представления в неограниченной области для функции, удовлетворяющей условию (0.6) на бесконечности). Однако, с целью получить ядра вида (0.10)-(0.13), не имеющие сильных особенностей при совпадении аргументов, эти представления не подставляются в условия сопряжения (0.4), (0.5), а их предельные значения на контурах Г1 и Г2 и предельные значения их нормальных производных складываются.

В связи с этим встает вопрос о спектральной эквивалентности исходной задачи (0.1)-(0.6) и задачи (0.7). Центральное место в первой главе занимает теорема 1.1, которая на него отвечает. Пусть значение параметра 7 Е К задано. Согласно теореме 1.1, справедливы следующие утверждения.

1. Если и Е и является собственной функцией задачи (0.1)-(0.6), отвечающей собственному значению к Е Ь, то вектор

/ ч / + По + П ди^ - По + Пди \ ( ,

™ _(и1^ьи2^2)_ [и дЩ,и дЩ) _ (0-14)

_ /и- По + п ди- и+ По + Иг ди+ \

V ' 2пг дщ' ' 2пг дп2 / принадлежит пространству W и является нетривиальным решением системы уравнений Мюллера (0.7), отвечающим тому же к.

2. Пусть при некотором значении к Е Ь система уравнений Мюллера (0.7) имеет нетривиальное решение _ (и1,у1,и2,у2) Е W. Определим функцию и следующим образом:

и_-Цщ(у) дщут -°о(к;х<у)щ[у))М(у)- хЕ Пь

' (0.15)

и _ Цщ(у) дС'дму)'У) - ; ху "1(у0<а(у)-

1дС^Ху) - Ог(к,7; х,у)

дп2 (у) По + Иг

и2 (у)-* ' ХУ - Сг(кГ/; х,у)-— ^2 (у)) х Е

^ дП2(у) По + Иг >

(0.16)

и _ [ (и2(у)дС:{к(Х,у) - Оо(к; х,у)У2(у))М(у), х Е Пз. (0.17) Jг2K дп2(у) Ио + Иг 7

Пусть предельные значения функции и и ее нормальных производных на контурах Г1 и Г2 определяются однозначно равенствами

и- + и+ _2и, х Е Г,3 _1, (0.18)

ди+ ди _

— + — _2уэ, х Е Г,3 _!, 2. (0.19)

дп дп ] ] у у

Тогда и Е и и является собственной функцией задачи (0.1)-(0.6), отвечающей тому же самому собственному значению к Е Ь.

Первое утверждение теоремы известно [93] и приводится без доказательства. Второе утверждение доказывается на основе известных свойств потенциалов простого и двойного слоя.

Ответ на вопрос, каковы же достаточные условия того, что равенствами вида (0.18) и (0.19) предельные значения функции и и ее нормальных производных на границах раздела сред определяются однозначно, дается

во второй главе диссертации (лемма 2.1) в ходе доказательства непустоты регулярного множества оператор-функции А(к,^), но для более простого случая, когда отверстия в резонаторе нет. Оказывается, для этого достаточно, чтобы исходная задача сопряжения для уравнения Гельмгольца на плоскости имела лишь тривиальное решение при некоторых значениях к и 7. Следовательно, при этих значениях к и 7 у системы интегральных уравнений Мюллера не может быть ненулевых решений.

Вторая глава диссертации посвящена формулировке и обоснованию метода Галеркина с тригонометрическим базисом для решения нелинейной спектральной задачи для оператор-функции А(к,^). В целях простоты изложения, это делается для относительно менее сложной задачи о собственных модах микродискового резонатора без отверстия. В этом случае тело резонатора занимает ограниченную одним контуром Г область 0,г, а окружающая среда — неограниченную область 0,о = К0 \ В интегральной оператор-функции А(к,^) остается лишь правый нижний блок, отвечающий ядрам (0.10)-(0.13).

В §2.1 описывается численный метод. Предполагается, что контур Г задан параметрически, и фиксировано некоторое значение параметра 7 Е К. При построении и исследовании метода Галеркина, операторное уравнение вида (0.7) оказывается удобным трактовать как уравнение в гильбертовом пространстве Н = Ь0 х Ь0, где Ь0 — пространство функций, интегрируемых с квадратом на Г со стандартным скалярным произведением.

Приближенное решение шп ищется в подпространстве Нп = ТпхТп пространства Н, где Тп — подпространство пространства Ь0 — множество всех тригонометрических полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше п. Стандартным образом, с помощью оператора Фурье, определяется оператор проектирования рп : Н ^ Нп. Тогда система линейных алгебраических уравнений метода Галеркина эквивалентна конечномерному линейному операторному уравнению

Ап(к)шп = РпА(к)шп = (I + РпВ (к))шп = (I + Вп(к))шп = 0. (0.20)

Здесь Ап : Нп ^ Нп, I — единичный оператор в пространстве Нп. Элемен-

ты матрицы оператора Вп вычисляются, как двойные интегралы

0п 0п

щт (k) = 4^J ! К1,т(к; г,т)ехр(-1рг)ехр^т)Мйт, (0.21)

о о

нелинейно зависящие от к Е Ь. Здесь р, д = —п, п, I, т = 1, 2.

В §2.2 исследуется сходимость метод Галеркина. Доказательство теорем этого параграфа опирается на общие результаты теории дискретной сходимости. В теореме 2.1 утверждается, что для каждого фиксированного значения параметра 7 Е К последовательность оператор-функций Ап(к) на Ь регулярно сходится к оператор-функции А(к). Кроме того, справедливы следующие утверждения.

1. Обозначим N множество натуральных чисел. Для любого характеристического значения ко оператор-функции А(к) существует некоторая последовательность характеристических значений {kn}neN оператор-функций Ап(к), сходящаяся к к0 при п ^ со, п Е N.

2. Пусть {kn}neN — некоторая последовательность характеристических значений кп оператор-функций Ап(к), а {и)п}neN — некоторая последовательность соответствующих нормированных собственных векторов оператор-функций Ап(к), такие что кп ^ к0 Е Ь при п ^ со, п Е N, то

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Репина Анна Игоревна, 2021 год

Литература

1. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / М. Абрамовиц, И. Стиган; пер. с англ. под ред. В.А. Диткина, Л.Н. Карамзиной. — М: Наука, 1979. — 832 с.

2. Вайникко, Г.М. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений /Г.М. Вайникко, О.О. Карма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1974. — Т. 14. — № 4. — С. 828-837.

3. Вайникко, Г.М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра / Г.М. Вайникко, О.О. Карма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1974. — Т. 14. — № 6. — С. 1393-1408.

4. Векуа, И.Н. О метагармонических функциях / И.Н. Векуа // Труды Тбилисского математического института — 1943. — Т. 12 — С. 105-174.

5. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во КГУ, 1994. — 288 с.

6. Гохберг, И.Ц. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн // Успехи математических наук — 1957 — Т. 12. — № 2(74). — С. 43-118.

7. Даутов, Р.З. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов / Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский. — Казань: Казанский государственный университет, 2009. — 271 с.

8. Иванов, Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах / Е.А.Иванов // Минск: Наука и техника —1968. — 584 с.

9. Ильинский, А.С. Обоснование метода расчета собственных волн микро-полосковой линии передачи / А.С. Ильинский // Дифференциальные уравнения - 1981. - Т. 17. - № 10. - С. 1868-1874.

10. Ильинский, А.С. Исследование дисперсионных уравнений спектрального метода / А.С. Ильинский, М.М. Муталлимов // Доклады Академии наук. - 1983. - Т. 271, № 4. - С. 793-795.

11. Ильинский, А.С. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / А.С. Ильинский, Ю.В. Шестопалов. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 184 с.

12. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. -М.: Мир, 1972. - 740 с.

13. Маркус, А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков, - Кишинев: Штиинца, 1986. - 260 с.

14. Никифоров, А.Ф., Уваров, В.Б. Специальные функции математической физики / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров // М: Наука, 1978. - 344 с.

15. Репина, А.И. Математические модели и метод граничных интегральных уравнений в теории фотонно-кристаллических резонаторов / А.И. Репина // Математическое моделирование в электродинамике: теория, методы и приложения: тезисы докладов Междунар. науч. конф. (г. Пенза, 23-27 сентября 2019 г.) / под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю.Г. Смирнова. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2019. - C. 92.

16. Репина, А.И. Компьютерное моделирование лазерного излучения фотонно-кристаллическим резонатором / А.И. Репина // Материалы XVIII Всероссийской молодежной научной школы-конференции Казань: Изд-во Академии наук РТ. - 2019. - Т. 58. - С. 54-157.

17. Репина, А.И. Сходимость метода Галеркина решения нелинейной задачи о собственных модах микродисковых лазеров / А.И. Репина // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2021. - Т. 163. -кн. 1.- С. 140-155.

18. Смирнов, Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю.Г. Смирнов. — Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2009. — 268 с.

19. Balaban, M.V. Nystrom-type techniques for solving electromagnetics integral equations with smooth and singular kernels / M.V. Balaban, E.I. Smotrova, O.V. Shapoval, V.S. Bulygin, A.I. Nosich // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. — 2012. — Vol. 25. — № 5-6. — P. 490-511.

20. Boriskina, S.V. Effect of a layered environment on the complex natural frequencies of two-dimensional WGM dielectric-ring resonators / S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // Journal of Lightwave Technology. — 2002. — Vol. 20. — № 8. — P. 1563-1572.

21. Boriskina, S.V. Tuning of Elliptic Whispering-Gallery-Mode Microdisk Waveguide Filters / S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // Journal of Lightwave Technology. — 2003. — Vol. 21. — № 9. — P. 19871995.

22. Boriskina, S.V. Accurate simulation of two-dimensional optical microcavities with uniquely solvable boundary integral equations and trigonometric Galerkin discretization / S.V. Boriskina, P. Sewell, T.M. Benson, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America A: Optics and Image Science, and Vision. — 2004. — Vol. 21. — № 3. — P. 393-402.

23. Boriskina, S.V. Spectral shift and Q change of circular and square-shaped optical microcavity modes due to periodic sidewall surface roughness / S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. — 2004. — Vol. 21. — № 10. — P. 1792-1796.

24. Boriskina, S.V. Optical modes in imperfect 2D square and triangular microcavities / S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 2005. — Vol. 41. — № 6. — P. 857862.

25. Boriskina, S.V. Q-factor and emission pattern control of the WG modes in notched microdisk resonators / S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell, A.I. Nosich // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. — 2006. — Vol. 12. — № 1. — P. 66-70.

26. Cao, H. Dielectric microcavities: Model systems for wave chaos and non-Hermitian physics / H. Cao, J. Wiersig // Reviews of Modern Physics. — 2015. — Vol. 87. — № 1. — P. 61-111.

27. Chang, S.W. Confinement factors and modal volumes of micro- and nanocavities invariant to integration regions / S.W. Chang // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. — 2012. — Vol. 18. — № 6. — P. 1771-1780.

28. Colton, D. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory / Colton D., Kress R. — Springer: Applied Mathematical Sciences, 1998. — Vol. 93. — 334 p.

29. Colton, D. Integral Equation Methods in Scattering Theory / Colton D., Kress R. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 2013. — 290 p.

30. Du, W. Nanolasers based on 2D materials /W. Du, C. Li, J. Sun, H. Xu, P. Yu, A. Ren, J. Wu, Z. Wang // Laser Photonics Reviews. — 2020. — Vol. 14. — № 12. — P. 2000271/16.

31. Engstrom, C. Rational eigenvalue problems and applications to photonic crystals / C. Engstrom, H. Langer, C. Tretter // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2017. — Vol. 445. — № 1. — P. 240-279.

32. Fang, W. Control of lasing in fully chaotic open microcavities by tailoring the shape factor / W. Fang, H. Cao, G.S. Solomon // Applied Physics Letters. — 2007. — Vol. 90. — № 8. — P. 081108/4.

33. Gagnon, D. Ab initio investigation of lasing thresholds in photonic molecules / D. Gagnon, J. Dumont, J.-L. Deziel, L.J. Dube // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. — 2014. — Vol. 31. — № 8. — P. 1867-1873.

34. Giannini, V. Calculations of light scattering from isolated and interaction metallic nanowires of arbitrary cross section by means of GreenS theorem qnd intergral equations in parametric form / V. Giannini, J.A. Sanchez-Gil // Journal of the Optical Society of America A: Optics and Image Science, and Vision. - 2007. - Vol. 24. - № 9. - P. 2822-2830.

35. Gohberg, I. Classes of Linear Operators Vol. I / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek // Operator Theory: Advances and Applications. — 1990. — Vol. 49. - 468 p.

36. Halla, M. Convergence of hardy space infinite elements for Helmholtz scattering and resonance problems / M. Halla // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2016. - Vol. 54. - № 3. - P. 1385-1400.

37. Harayama, T. Two-dimensional microcavity lasers / T. Harayama, S. Shinohara // Laser and Photonics Reviews. - 2011. - Vol. 5. - № 2. -P. 247-271.

38. He, L. Whispering gallery microcavity lasers / L. He, S.K. Ozdemir, L. Yang // Laser Photonics Reviews. - 2013. - Vol. 7. - № 1. - P. 60-82.

39. Hohage, T. Convergence of infinite element methods for scalar waveguide problems / T. Hohage, L. Nannen // BIT Numerical Mathematics. -2015. - Vol. 55. - P. 215-254.

40. Huang, Y.-Z. Mode characteristics for equilateral triangle optical resonators / Y.-Z. Huang, Q. Chen, W.-H. Guo, Q.-Y. Lu, L.-J. Yu // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. - 2006. - Vol. 12. -№ 1. - P. 59-65.

41. Huang, Y. Efficient method for lasing eigenvalue problems of periodic structures / Y. Huang, Y.Y. Lu // Journal of Modern Optics. - 2014. -Vol. 61. - № 5. - P. 390-396.

42. Jeggle, H. On the discrete approximation of eigenvalue problems with holomorphic parameter dependence / H. Jeggle, W. Wendland // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics. -1977. - Vol.78. - P. 1-29.

43. Jiang, X.-F. Whispering-gallery microcavities with unidirectional laser emission / X.-F.Jiang, C.-L. Zou, L. Wang, Q. Gong, Y.-F. Xiao // Laser and Photonics Reviews. — 2016. — Vol. 10. — P. 40-61.

44. Kartchevski, E.M. Mathematical analysis of the generalized natural modes of an inhomogeneous optical fiber / Kartchevski E.M., Nosich A.I., Hanson G.W. // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 2005. — Vol. 65. — № 6. — P. 2033-2048.

45. Karchevskii, E.M. Methods of analytical regularization in the spectral theory of open waveguides / E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Proceedings of the International Conference Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. — 2014. — P. 39-45.

46. Karma, O. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions, I/O. Karma // Numerical Functional Analysis and Optimization. — 1996. — Vol. 17. — № 3-4. — P. 365-387.

47. Karma, O. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions, II: Convergence rate / O. Karma // Numerical Functional Analysis and Optimization. — 1996. — Vol. 17. — № 3-4. — P. 389-408.

48. Kozlov, V. Differential equations with operator coefficients with applications to boundary value problems for partial differential equations / V. Kozlov, V. Maz'ya. — Springer Monographs in Mathematics, 1999. — 444 p.

49. Kress, R. Minimizing the condition number of boundary integral operators in acoustic and electromagnetic scattering / R. Kress // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1985. — Vol. 38. — № 2. — P. 323-341.

50. Kress, R. Linear Integral Equations / R. Kress. — Springer-Verlag New York, 1999. — 367 p.

51. Kurdoglyan, M.S. Unidirectional lasing from a microcavity with a rounded isosceles triangle shape / M.S. Kurdoglyan, S.-Y. Lee, S. Rim, C.-M. Kim // Optics Letters. — 2004. — Vol. 29. — № 23, P. 2758-2760.

52. Lebental, M. Organic micro-lasers: a new avenue onto wave chaos physics / M. Lebental, E. Bogomolny, J. Zyss// Practical Applications of Microresonators in Optics and Photonics. — 2009. — P. 317-353.

53. Lee, S.-Y. Resonance patterns in a stadium-shaped microcavity / S.-Y. Lee, M.S. Kurdoglyan, S. Rim, C.-M. Kim // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2004. — Vol. 70. — № 2. — P. 023809/8.

54. Lozenko, S. Enhancing performance of polymer-based microlasers by a pedestal geometry / S. Lozenko, N. Djellali, I. Gozhyk, C. Delezoide, J. Lautru, C. Ulysse, J. Zyss, M. Lebental // Journal of Applied Physics. — 2007. — Vol. 111. — № 10. — P. 103116/10.

55. Michael, C.P. Optical material characterization using microdisk cavities: Ph.D. thesis (California Institute of Technology). —2009.

56. Mock, A. First principles derivation of microcavity semiconductor laser threshold condition and its application to FDTD active cavity modeling / A. Mock // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. — 2010. — Vol. 27. — № 11. — P. 2262-2272.

57. Muller, C. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves / C. Muller. — Springer Berlin Heidelberg, 1969. — 353 p.

58. Neumaier, A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem / A. Neumaier // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1985. — Vol. 22. — № 5. — P. 914-923.

59. Nezhad, M.P. Room-temperature subwavelength metallo-dielectric lasers / M.P. Nezhad, A. Simic, O. Bondarenko, B. Slutsky, A. Mizrahi, L. Feng, V. Lomakin, Y. Fainman // Nature Photonics. — 2010. — Vol. 4. — № 6. — P. 395-399.

60. Noeckel, J.U. 2-D microcavities: theory and experiments / J.U. Noeckel, R.K. Chang // Experimental Methods in the Physical Sciences. — 2003. — Vol. 40. — P. 185-226.

61. Nosich, A.I. Trends in microdisk laser research and linear optical modeling / A.I. Nosich, E.I. Smotrova, S.V. Boriskina, T.M. Benson, P. Sewell //

Optical and Quantum Electronics. — 2007. — Vol. 39. — № 15. — P. 12531272.

62. Oktyabrskaya, A.O. Muller boundary integral equations for solving generalized complex-frequency eigenvalue problem / A.O. Oktyabrskaya,

A.O. Spiridonov, E.M. Karchevskii // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2020. — Vol. 41. — № 7. — P. 1377-1384.

63. Qiu, M. Effective index method for heterostructure-slab-waveguide-based two-dimensional photonic crystals / M. Qiu // Applied Physics Letters. — 2002. — Vol. 81. — № 7. — P. 1163-1165.

64. Redding, B. Local chirality of optical resonances in ultrasmall resonators /

B. Redding, L. Ge, Q. Song, J. Wiersig, G.S. Solomon, H. Cao // Physical Review Letters. — 2012. — Vol. 108. — № 25. — P. 253902/5.

65. Reichardt, H. Ausstrahlungsbedingungen fur die Wellengleihung / H. Reichardt // Abh. Math. Sem. Hamburg. — 1960. — Vol. 24. — P. 41-53.

66. Repina, A.I. Mathematical modeling of photonic crystal resonators based on the Lasing Eigenvalue Problem / A.I. Repina, A.O. Oktyabrskaya // Proceedings of the International Conference on Control Systems, Mathematical Modelling, Automation and Energy Efficiency. — 2019. — P. 472-477.

67. Repina, A.I. Laser modes of active circular microcavity with circular piercing hole / A.O. Oktyabrskaya, A.I. Repina, E.M. Karchevskii // Proceedings of the International Conference on Electronics and Nanotechnology. — 2020. — P. 207-210.

68. Repina, A.I. Laser Modes of Active Eccentric Microring Cavities / A.I. Repina, A.O. Oktyabrskaya, I.V. Ketov, E.M. Karchevskii // Proceedings of the International Conference on Transparent Optical Networks. — 2020. — P. 207-210.

69. Repina, A.I. Unidirectional Emission of Active Eccentric Microring Cavities/ A.I. Repina, A.O. Oktyabrskaya, E.M. Karchevskii // Proceedings 2020 IEEE East-West Design & Test Symposium. — 2020. — P. 274-278.

70. Repina, A.I. Numerical modeling of on-threshold modes of eccentric-ring microcavity lasers using the Muller integral equations and the trigonometric Galerkin method / A.O. Oktyabrskaya, A.I. Repina, A.O. Spiridonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Optics Communications. - 2020. - Vol. 476. -Art. № 126311.

71. Repina, A.I. Trade-off between threshold gain and directionality of emission for modes of two-dimensional eccentric microring lasers analysed using lasing eigenvalue problem / A.I. Repina, A.O. Oktyabrskaya, A.O. Spiridonov, I.V. Ketov, E.M. Karchevskii // IET Microwaves, Antennas & Propagation. - 2021. - P. 1-14. DOI: 10.1049/mia2.12103

72. Repina, A.I. Muller Boundary Integral Equations in the Microring Lasers Theory / A.I. Repina, A.O. Oktyabrskaya, E.M. Karchevskii // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2021. - Vol. 42. - № 6. - P. 14021412.

73. Rogobete, L. Spontaneous emission in a subwavelength environment characterized by boundary integral equations / L. Rogobete, C. Henkel // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. - 2004. -Vol. 70. - № 6. - P. 063815/10.

74. Scheuer, J. InGaAsP Annular Bragg Lasers: Theory, Applications, and Modal Properties / J. Scheuer, W.M.J. Green, G.A. DeRose, A. Yariv // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. - 2005. -Vol. 11. - № 2. - P. 476-484.

75. Schwefel, H.G.L. Dramatic shape sensitivity of directional emission patterns from similarly deformed cylindrical polymer lasers / H.G.L. Schwefel, N.B. Rex, H.E. Tiireci, R.K. Chang, A. Douglas Stone, T. Ben-Messaoud, J. Zyss // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. -2004. - Vol. 21. - № 5. - P. 923-934.

76. Shekhter, R.I. Subwavelength terahertz spin-flip laser based on a magnetic point-contact array / R.I. Shekhter, A.M. Kadigrobov, M. Jonson, E.I. Smotrova, A.I. Nosich, V. Korenivski // Optics Letters. - 2011. -Vol. 36. - № 12. - P. 2381-2383.

77. Shinohara, S. Ray-wave correspondence in limacon-shaped semiconductor microcavities / S. Shinohara, M. Hentschel, J. Wiersig, T. Sasaki, T. Harayama // Physical Review A — Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2009. — Vol. 80. — № 3. — P. 031801/4.

78. Smotrova, E.I. Mathematical study of the two-dimensional lasing problem for the whispering-gallery modes in a circular dielectric microcavity / E.I. Smotrova, A.I. Nosich // Optical and Quantum Electronics. — 2004. — Vol. 36. — № 1. — P. 213-221.

79. Smotrova, E.I. Cold-cavity thresholds of microdisks with uniform and nonuniform gain: quasi-3-D modeling with accurate 2-D analysis / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. — 2005. — Vol. 11. — № 5. — P. 1135-1142.

80. Smotrova, E.I. Optical coupling of whispering gallery modes in two identical microdisks and its effect on the lasing spectra and thresholds / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T. Benson, P. Sewell // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. — 2006. — Vol. 12. — № 1. — P. 78-85.

81. Smotrova, E.I. Threshold reduction in a cyclic photonic molecule laser composed of identical microdisks with whispering gallery modes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // Optics Letters. — 2006. — Vol. 31. — № 7. — P. 921-923.

82. Smotrova, E.I. Ultralow lasing thresholds of the ^-type supermodes incyclic photonic molecules composed of sub-micron disks with monopole and dipole modes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich, T.M. Benson, P. Sewell // IEEE Photonics Technology Letters. — 2006. — Vol. 18. — № 19. — P. 19931995.

83. Smotrova, E.I. Lasing frequencies and thresholds of the dipole-type supermodes in an active microdisk concentrically coupledwith a passive microring / E.I. Smotrova, T.M. Benson, P. Sewell, J. Ctyroky, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America A: Optics and Image Science, and Vision. — 2008. — Vol. 25. — № 11. — P. 2884-2892.

84. Smotrova, E.I. Optical fields of the lowest modes in a uniformly active thin sub-wavelength spiral microcavity / E.I. Smotrova, T.M. Benson, J. Ctyroky, R. Sauleau, A.I. Nosich // Optics Letters. - 2009. - Vol. 34. -№ 24. - P. 3773-3775.

85. Smotrova, E.I. Optical theorem helps understand thresholds of lasing in microcavities with active regions / E.I. Smotrova, V.O. Byelobrov, T.M. Benson, J. Ctyroky, R. Sauleau, A.I. Nosich // IEEE Journal of Quantum Electronics. - 2011. - Vol. 47. - № 1. - P. 20-30.

86. Smotrova, E.I. Optical coupling of an active microdisk to a passive one: Effect on the lasing thresholds of the whispering-gallery supermodes / E.I. Smotrova, A.I. Nosich // Optics Letters. - 2013. - Vol. 38. - № 12. -P. 2059-2061.

87. Smotrova, E.I. Spectra, thresholds, and modal fields of a kite-shaped microcavity laser / E.I. Smotrova, V. Tsvirkun, I. Gozhyk, C. Lafargue, C. Ulysse, M. Lebental, A.I. Nosich // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. - 2013. - Vol. 30. - № 6. - P. 1732-1742.

88. Solov'ev, S.I. Eigenvibrations of a beam with elastically attached load / S.I. Solov'ev // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2016. - Vol. 37. -№ 5. - P. 597-609.

89. Spiridonov, A.O. Residual inverse iteration for the lasing eigenvalue problem / A.O. Spiridonov, E.M. Karchevskii // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. - 2018. - P. 129131.

90. Spiridonov, A.O. Rigorous formulation of the lasing eigenvalue problem as a spectral problem for a Fredholm operator function / A.O. Spiridonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2018. - Vol. 39. - № 8. - P. 1148-1157.

91. Spiridonov, A.O. Mathematical and numerical modeling of on-threshold modes of 2-D microcavity lasers with piercing holes / A.O. Spiridonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Axioms. - 2019. - Vol. 8. - № 3. -P. 1-16.

92. Spiridonov, A.O. Why elliptic microcavity lasers emit light on bow-tielike modes instead of whispering-gallery-like modes / A.O. Spiridonov, E.M. Karchevskii, T.M. Benson, A.I. Nosich // Optics Communications. — 2019. — Vol. 439. — P. 112-117.

93. Spiridonov, A.O. Mathematical and numerical analysis of the generalized complex-frequency eigenvalue problem for two-dimensional optical microcavities / A.O. Spiridonov, A.O. Oktyabrskaya, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 2020. — Vol. 80. — № 4. — P. 1977-1998.

94. Steinbach, O. Combined boundary integral equations for acoustic scattering-resonance problems / O. Steinbach, G. Unger // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2017. — Vol. 40. — № 5. — P. 1516-1530.

95. Sukharevsky, I.O. Dielectric equilateral triangle microresonators: integral equations and semi-classical physics approaches / I.O. Sukharevsky, M. Lebental, B. Dietz, C. Lafargue, S. Bittner // Laser Resonators, Microresonators, and Beam Control XX. — 2018. — P. 105181U.

96. Taflove, A., Computational Electrodynamics the Finite-Difference TimeDomain Method / A. Taflove, S.C. Hagness; Third Edition, — Artech House, London, 2005. — 1006 p.

97. Tureci, H.E. Mode competition and output power in regular and chaotic dielectric cavity lasers / H.E. Tureci, A.D. Stone // Proc. SPIE. — 2005. — Vol. 5708. — P. 255-270.

98. Vainikko G. Funktionalanalysis der diskretisierungsmethoden. BSB B. G. / G. Vainikko. — Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1976. — 136 p.

99. Wiersig, J. Boundary element method for resonancesin dielectric microcavities / J. Wiersig // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. — 2003. — Vol. 5. — № 1. — P. 53-60.

100. Wiersig, J. Hexagonal dielectric resonators and microcrystal lasers / J. Wiersig // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2003. — Vol. 67. — P. 023807/12.

101. Wiersig, J. Asymmetric scattering and nonorthogonal mode patterns in optical microspirals / J. Wiersig, S.W. Kim, M. Hentschel // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. - 2008. - Vol. 73. -№ 5, P. 053809/8.

102. Yang, S. Advances and prospects for whispering gallery mode microcavities / S. Yang, Y. Wang, H. Sun // Advanced Optical Materials. -2015. - Vol. 3. - P. 1136-1162.

103. Yang, Y.-D. Mode characteristics and directional emission for square microcavity lasers / Y.-D. Yang, Y.-Z. Huang // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2016. - Vol. 49. - № 25. - P. 253001/18.

104. Yokoyama, H. Spontaneous Emission and Laser Oscillation in Microcavities / H. Yokoyama, K. Ujihara // CRC Press: Roca Baton, 2019. - 384 p.

105. Zhang, S. Unidirectional emission of GaN-based eccentric microring laser with low threshold / S. Zhang, Y. Li, P. Hu, A. Li, Y. Zhang, W. Du, M. Du, Q. Li, F. Yun // Optics Express. - 2020. - Vol. 28. - № 5. -P. 6443-6451.

106. Zhang, Y. Advances in III-nitride semiconductor microdisk lasers / Y. Zhang, X. Zhang, K.H. Li, Y.F. Cheung, C. Feng, H.W. Cho // Physica Status Solidi (A) Applications and Materials Science. - 2015. - Vol. 212. -№ 5. - P. 960-973.

107. Zolotukhina, A.S. Lasing modes of a microdisk with a ring gain area and of an active microring / A.S. Zolotukhina, A.O. Spiridonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Optical and Quantum Electronics. - 2015. - Vol. 47. -№ 12. - P. 3883-3891.

108. Zolotukhina, A.S. Electromagnetic analysis of optimal pumping of a microdisk laser with a ring electrode / A.S. Zolotukhina, A.O. Spiridonov, E.M. Karchevskii, A.I. Nosich // Applied Physics B: Lasers and Optics. -2017. - Vol. 123. - № 1. - Art. № 32. - 6 p.

109. Zou C.-L., Schwefel H.G.L., Sun F.-W., Han Z.-F., Guo G.-C. Quick root searching method for resonances of dielectric optical microcavities with the

boundary element method / C.-L. Zou, H.G.L. Schwefel, F.-W. Sun, Z.-F. Han, G.-C. Guo // Optics Express. — 2011. — Vol. 19. — № 17. — P. 1566915678.