Математические модели и оптимизация размещения станций скорой помощи для обслуживания населения заданной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Разина, Мария Александровна

• Разина, Мария Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Разина, Мария Александровна

Введение.

Глава 1 Математические модели задачи размещения и их свойства.

1.1 Постановка задачи размещения.

1.2 Модель n-центров, свойства модели.

1.3 Модель n-медиан, свойства модели.

1.4 Метод решения задачи размещения с использованием одного из критериев.

1.5 Нахождение субоптимальных решений.

1.6 Многокритериальный подход к решению задачи оптимизации расположений.

Выводы.

Глава 2 Метод подбора метрики для оценки расстояний.

2.1 Теоретические аспекты определения функции расстояний.

2.2 Метод определения числа необходимых точек.

2.3 О снятии с карты расстояний между точками.

I*. ■

2.4 Алгоритм расчета метрики.

Выводы.

Глава 3 Бисекторы и области Вороного.

3.1 Бисекторы и области Вороного.

3.1.1 Центросимметричные многоугольники.

3.1.2 Бисекторы.

3.1.3 Области Вороного и их свойства.

3.2 Бисекторы и области Вороного двух пар точек.

3.2.1 Эллипсы в 1Р-метрике.

3.2.2 Бисекторы и области Вороного двух пар точек.

3.2.3 Бисекторы двух пар точек в Ц.

3.2.4 Бисекторы пар точек в 1Р, 1<р<оо.

3.2.5 Бисекторы для 1Р, 0<р<1.

3.2.6 Бисекторы пар точек в 4,.

3.2.7 Бисекторы специальных пар точек.

3.2.8 Свойства областей Вороного.

Выводы.

Глава 4 Алгоритмическое и программное обеспечение решения задачи.

4.1 Обобщенный алгоритм решения задачи.

4.2 Программное обеспечение решения задачи.

4.3 Пример решения задач.

4.3.1 Пример расчета метрик.

4.3.2 Решение задачи для района Азино г.Казани.

4.3.3 Решение задачи для Ново-Савиновского вместе с Московским и частью Кировского районов г. Казани.

Выводы.

Основные результаты, полученные в диссертации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и оптимизация размещения станций скорой помощи для обслуживания населения заданной области»

Задачи оптимального расположения станций обслуживания, в частности, станций скорой помощи, граничат с социальными и экономическими проблемами в сферах здравоохранения, транспортного обеспечения, в работе коммунальных служб, органов социальной защиты населения, МЧС, при размещении предприятий обработки «вредных» объектов (утилизации отходов), и др. Решение этих задач является необходимым условием для эффективной деятельности организаций. Поэтому проблемы данной области являются важными и актуальными.

Очевидно, что расположение станций скорой помощи должно обеспечивать быстрое прибытие машин скорой помощи в точки вызовов. Кроме того, необходимо учитывать и другие факторы, в частности, экономические: уменьшение расхода бензина, уменьшение среднего пробега машин, уменьшение числа станций скорой помощи для обслуживания заданных областей обслуживания и т.п. л

В некоторых случаях необходимо учитывать путь как до точки вызова, так и путь доставки пациента до больницы. Таким образом будем получать различные ограничения задачи, реализующие различные условия обслуживания.

В настоящее время существуют различные направления исследования расположения станций обслуживания распределенных потребителей.

Оптимальное решение зависит от принятых критериев и ограничений. В различных случаях критерии и ограничения формулируются различным образом.

Задачи оптимизации расположения станций обслуживания можно разделить на следующие классы: оптимизация расположений станций для обслуживания конечного числа заданных потребителей при условии, что станции могут располагаться в некоторых точках заданного конечного множества. В результате эту задачу можно рассматривать как оптимизационную задачу на графе. При такой постановке получаем так называемую дискретную модель; оптимизация расположения станций для обслуживания конечного числа заданных потребителей при условии, что станции могут располагаться в произвольных точках некоторой заданной области. При такой постановке получаем смешанную модель; оптимизация расположений станций для обслуживания потребителей, расположенных в произвольных точках некоторой области при условии, что станции могут располагаться в произвольных точках некоторой заданной области. При такой постановке получаем непрерывную модель.

Для первого класса задач станции обслуживания могут быть расположены в вершинах графа, а расстояния измеряются по длинам дуг графа.

Для второго класса задач станция обслуживания может быть расположена в любой точке области, а потребитель располагается в заданных точках. В этом случае расстояние измеряется по вводимой метрике, например, по евклидовой или иной метрике.

Для третьего класса задач как станции обслуживания, так и потребители могут быть расположены в произвольных точках заданной области. Расстояние измеряется по вводимой метрике.

Первая работа по задаче расположения была исследована в 1909 году Альфредом Вебером [87], который исследовал расположение склада для обслуживания потребителей с известными координатами и потребностями в материале, хранящемся на складе. Далее Купер рассмотрел обобщение этой задачи [55].

В настоящее время существует множество работ, посвященных задаче расположения станций обслуживания. Имеются различные модели их исследования, такие как: модели л-центров (minimax модели); модели л-медиан (minisum модели); вероятностные модели; модели теории массового обслуживания; и другие.

Каждая из рассматриваемых в работе постановок задач порождает задачи нелинейной оптимизации, в частности, минимаксные и минимаксиминные. Задачи такого типа исследованы многими авторами: Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. [14], Васильев Ф.П. [1], Федоров В.В. [43], Кларк Ф. [28], Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И. [34, 35], Поляк Р.А. [78], Заботин Я.И. [24, 25], Коннов И.В. [30-32] и другими.

В обзоре Брандо M.J1. и Чина С.С. [50] указано более 50 различных моделей, используемых для решения задач выбора расположения станций обслуживания.

Принципиальные результаты о моделях и методах их решения представлены в работах Дрезнера 3. [57], Лов Р.Ф., Морриса Дж.Г. [72], Михалевича B.C., Трубина В.А., Шора Н.З. [35], в статьях [64, 58, 47, 54, 56, 60, 79, 62, 68, 69], см. также указанный выше обзор [50] и библиографии в [57, 35, 72]. Имеются специальные выпуски журналов, такие, как «Location Science» [64] и другие, целиком посвященные этим задачам.

Для решения дискретных задач предложены различные подходы, среди них можно отметить: метод ветвей и границ, методы динамического программирования, методы целочисленного программирования, вероятностные методы, различные эвристические методы и т.п. [1, 26]. Одни из этих методов хороши для одних моделей, но не подходят для других. Для каждой из моделей целесообразно подобрать свой алгоритм, дающий решение за наиболее короткое время.

Для непрерывных моделей, как правило, нельзя использовать методы, разработанные для дискретного случая. Здесь разработаны свои методы, например, методы недифференцируемой оптимизации [1, 36, 17, 42].

Для решения задачи оптимизации расположения станций обслуживания важно уметь находить глобальный экстремум целевых функций. Существуют различные методы нахождения глобального экстремума, см., например, работы Жиглявского А.А., Жилинскаса А.Г. [22, 23], Хорста Р., Пардалоса Р., Туи Г. [65, 66] и др. Среди различных методов глобальной оптимизации одними из важных являются методы, использующие липшицевость функции.

При введении критериев оптимизации в той или иной мере используется расстояние между обслуживающей станцией и потребителем. Вводимые расстояния зависят от многих факторов. Например, в городе из точки А до точки В не всегда можно проехать по соединяющей их прямой. Следовательно, евклидово расстояние не всегда приемлемо. Различные расстояния можно определить с помощью различных норм. Как известно, норма ||х|| элемента х из действительного N-мерного пространства RN удовлетворяет следующим трем условиям: х|| > 0 для VxgRn, ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0; с • х|| = |с| • ||х|| для VxeRN и се(-оо,со); х + у|| = ||х|| + ||у|| для V^yeft*'- неравенство треугольника.

Пусть V- единичный «шар» в Ft1:

V={xeRN: ||х||<1},

По свойствам этого «шара» выделяют круговые и блок нормы. Норма 11-11 считается круговой тогда и только тогда, когда: лz1 + (^-л)z2\\<^, (1) для V Zj, z2 е frV, zf * z2 и VA g (0,1), здесь frV-граница множества V.

Блок нормы вводятся как нормы, единичный «шар» V для которых является выпуклым многогранником в RN (в R2 выпуклым многоугольником). Для блок норм в (1) нужно заменить неравенство «<» на «<».

В работе [86] показано, что блок нормы в R2 можно определить как:

I|Z||= z I(y/,Z)|, (2) j=i где { у/, j = 1,2,.,/77} - множество векторов, z = (х,у), у/- транспонированный вектор у;, (у/, z) - скалярное произведение.

В данной работе запись (2) заменяется на эквивалентную форму: т z||= z b;d2(z,Rj), (3) j=1 где bj - положительные числа, Rj - различные прямые, проходящие через начало координат, a d2(z, Rj) - евклидово расстояние от точки z до прямой Rj.

Известно [83], что блок нормы плотны в множестве всех норм в R". Использование блок норм во многих случаях позволяет свести задачу оптимизации расположения станций обслуживания к задаче линейного программирования. Исходя из указанного, блок нормы играют большую роль при решении задачи расположения. Поэтому в данной работе рассматриваются блок нормы, исследуются порождаемые ими бисекторы и области Вороного при заданных блок нормах.

Если в (3) допустить, что коэффициенты Ь; могут быть и отрицательными, то получим, что множество V, определяемое функцией || z ||, уже не будет выпуклым. Для подобного случая получены необходимые и достаточные условия того, что эта функция будет гипер-прямоугольной нормой, для которой выполняются первые два свойства нормы, но не выполняется неравенство треугольника. Введенные с помощью таких норм «расстояния» позволяют рассматривать задачи, в которых обходной путь лучше кратчайшего пути. Такие случаи возникают, если учитывается загруженность дорог, количество пробок на кратчайших путях.

Отметим, что в настоящее время существует ряд работ, посвященных вопросу оценки пропускной способности улично-дорожной сети. В работе [33] дан обзор методов оценки загруженности дорог и отмечено, что разными авторами предлагаются различные критерии. До настоящего времени нет общепринятой концепции определения пропускной способности дорог. Выделено несколько направлений исследований в решении задачи оценки загруженности дорог; например, использование дискретной модели, позволяющей использовать теорию графов и теорию оптимизации. В данной работе загруженность дорог не учитывается.

Как известно, /р-норма вектора х с N координатами х„ 1<i<N, вводится следующим образом: N

W =

H\xi р i=l р> 1. Отметим, что вместо 1р(х) часто используется запись || х ||р.

При р= 1 эта норма называется прямоугольной (или манхэттенской), для р=2 получаем евклидову норму, а при р=оо получаем чебышевскую норму:

Цх) = max (|х,|, \х2\.|xw|).

Расстояния (метрики), вводимые по этим нормам, считаются соответственно прямоугольными (манхэттенскими), евклидовыми и чебышевскими. В общем случае метрика, соответствующая /р-норме, считается /р-метрикой.

В литературе по оптимизации расположений метрика, вводимая по 1Р-норме, обозначается как /р-метрика, см., например, работы [59, 74, 83, 86], и как Lp-метрика - см., например, работы [70, 71, 81]. Учитывая, что обозначение «Lp-пространство» в функциональном анализе используется в ином смысле (как множество абсолютно интегрируемых функций), в данной работе будем использовать обозначение «/р-метрика».

При исследовании задач расположения станций обслуживания в городах часто используется прямоугольная метрика. Для более точного решения этих задач Ward и Wendell [86] ввели в R2 норму, представимую в виде: cci\\ х + a24l || X |U а{> 0, а2>0, а^ а2> 0, то есть представимую как некоторую линейную комбинацию прямоугольной и чебышевской нормы. В дальнейшем было выяснено, что эта норма является частным случаем блок нормы. Таким образом была еще раз подтверждена важность блок норм.

Важную роль в исследовании задач расположений играют взвешенные /р-нормы, введенные Лов Р.Ф. и Моррисом Дж.Г. в работах [73, 74]. Указанные нормы получаются умножением /р-норм на весовой коэффициент г, г>0.

Нормы можно также классифицировать на дифференцируемые и недифференцируемые. Установлено (см., например, [57]), что /р-нормы при

1 <р<со являются дифференцируемыми почти всюду. Блок нормы не являются дифференцируемыми.

В [76] Лов Р.Ф. и Уолкер Дж.Х. показали, что взвешенные /р-нормы более предпочтительны, чем блок нормы, так как дают более точные результаты. Таким образом, блок нормы позволяют иногда проще решать задачу, а взвешенные /р-нормы дают лучшее решение. Исходя их этого в данной работе используются как блок нормы, так и взвешенные /р-нормы.

При исследовании задач размещения станций обслуживания большую роль играют так называемые диаграммы Вороного.

Положим, задана совокупность точек {сь с2, сп} в FP и введено некоторое расстояние d(a,b) между точками а и Ь. Многогранником (многоугольником в R2) Вороного называется множество:

Vj = {xeRn: d(x,Cj) < min d(x,Cj)}, 1 <j<n.

1 <i<n

Эти множества для евклидового расстояния ввел Г.Ф. Вороной при изучении свойств полиэдров, а также при построении квадратичных форм. Иногда эти множества называют многоугольниками (ячейками) Дирихле, многоугольниками Тиссена, ячейками Вигнера-Зейтца, а также многоугольниками близости. Совокупность многогранников (многоугольников) Вороного называется диаграммой Вороного. Для евклидовой метрики многогранник (многоугольник) Вороного образуется пересечением полуплоскостей и может быть ограниченным многогранником (многоугольником для R2) или бесконечной областью, ограниченной гиперплоскостями. При использовании прямоугольной метрики области V, также представляют собой ограниченные многогранники или бесконечные области, ограниченные гиперплоскостями. Если метрика отлична от прямоугольной и евклидовой, то V„ как правило, ограничены не плоскостями (прямыми в R2), а достаточно сложными поверхностями. Поэтому можно говорить об областях Вороного.

Построение областей Вороного является нетривиальной задачей. Имеется много работ по построению диаграмм Вороного. Так, например, в работе [80] разработан алгоритм построения этих диаграмм для точек на плоскости (при евклидовой метрике) со сложностью 0(п \одп).

Диаграммы Вороного в R2 для метрик 1-, и 1„ исследованы в работах [70,

71]. В работе [71] рассмотрены некоторые проблемы построения диаграмм Вороного для метрик 1Р, р> 1.

Вопрос построения диаграмм Вороного для блок норм в общем случае является неисследованным. Поэтому в данной работе исследуются бисекторы и области Вороного для произвольных блок норм.

В некоторых задачах необходимо учитывать доставку пациента в больницу, в этом случае возникает задача определения бисекторов пар точек. Эта область также является практически не исследованной. В данной работе рассматриваются бисекторы и области Вороного для множества пар точек при различных /р-метриках.

Отметим, что в работе не затрагиваются вопросы оценок сложности построения диаграмм Вороного.

В задачах расположений, как правило, оказывается, что целевые функции являются многоэкстремальными и для них необходимо отыскать глобальные экстремумы. Нахождение глобального экстремума можно обеспечить, как уже отмечено, например, для функций, удовлетворяющих условиям липшицевости. В данной работе устанавливается липшицевость целевых функций, что и позволяет решать задачу.

Как уже говорилось, в задачах расположений вводятся различные критерии. В данной работе рассматриваются модели л-центров, л-медиан и их варианты. Для одновременного учета выбранных критериев строится множество эффективных решений (эффективных по Парето).

Строится как множество Парето, так и множество эффективных решений. Кроме того, строятся окрестности эффективных решений, позволяющие выбирать решения с учетом значений обоих критериев. Построение окрестностей эффективных решений осуществляется с использованием липшицевости целевых функций.

В первой главе введены критерии оптимизации и рассмотрены модели ^-центров и я-медиан. Выведены следующие свойства моделей:

1) доказана липшицевость целевых функций моделей л-центров (с учетом и без учета доставки пациента в больницу) и /7-медиан (без учета доставки пациента в больницу) по вектору переменных, а также по каждой из координат этого вектора при фиксированных остальных;

2) найдены постоянные Липшица целевых функций моделей л-центров и л-медиан как по всему вектору переменных, так и по каждой их координат при фиксированных остальных.

Предложены следующие методы.

1. Нахождения глобального минимума липшицевых функций для решения задач по одному из критериев с использованием ^-метрики.

2. Построения областей субоптимальных решений.

3. Нахождения решений задач с учетом многокритериальности.

Во второй главе рассмотрена постановка задачи нахождения функции, вычисляющей расстояние между двумя произвольными точками области с учетом транспортных коммуникаций. Предложена методика определения функции расстояния, состоящая из следующих двух этапов.

1). Нахождение числа расчетных точек т.

2). Определение степени адекватности полученной метрики реальным расстояниям области G.

Также в главе изложен разработанный метод автоматизации процесса снятия расстояний с карты.

Третья глава посвящена исследованию бисекторов и областей Вороного. Введены и указаны некоторые свойства эллипса в /р-метрике.

Введены бисекторы для двух пар точек, рассмотрены бисекторы для различных расположений пар точек и различных значений р, 0<р<оо. Выявлены следующие свойства бисекторов и областей Вороного.

1. Для двух пар точек в Ц показано, как строится бисектор при различных положениях двух пар точек, приведены условия существования и вид двумерных областей, найдено их количество, условия совпадения бисектора со всей плоскостью, связь между бисекторами двух точек и двух пар точек.

2. Выявлено, что в 1Р, 1 <р<оо бисектор состоит не из ломаных линий, как в случае 1Ь а из кривых, повторяющих в некоторой степени поведение ломаных при Ц.

3. Если 0<р<1, то бисектор состоит из кривых, совпадающих с кривыми бисектора при 1 <р<оо, и кривых, близких по виду к границам двумерных бесконечных частей бисектора при р=1.

4. В too построение и виды бисекторов пар точек аналогичны случаю для

Ц с разницей в том, что в этом случае используются не прямые, параллельные осям координат, как при р=1, а биссектрисы первого и второго координатных углов.

Доказаны некоторые свойства областей Вороного для пар точек.

1. Объединение областей Вороного представляет собой всю рассматриваемую область обслуживания.

2. При ртЛ и р^оо множество Vf\ V, имеет нулевую площадь, если />/ и пары точек таковы, что среди всех четырех точек имеется по крайней мере три различных точки.

3. При р=1 и р-оо границами областей V/ являются отрезки прямых, параллельных осям координат, либо образующие угол 45° с осью абсцисс.

Знание бисекторов для р< 1 позволяет в некоторой степени дополнять бисекторы для р>1 и описать границы двумерных частей бисекторов для р=1.

В четвертой главе приведено методическое и алгоритмическое обеспечение решения задачи оптимизации расположения станций скорой помощи. Описан программный комплекс «Решение задачи расположения», программная реализация его модулей. Кроме того, в этой главе приведены оптимальные расположения станций скорой помощи для некоторых районов г.Казани, получены значения параметров метрик для отдельных частей г.Казани и всего г.Казани, а также для ряда городов Республики Татарстан: Набережные Челны, Альметьевск, Нижнекамск.

Основные результаты работы опубликованы в [6-9, 11, 12, 19-21, 40, 41,

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Разина, Мария Александровна

Основные результаты, полученные в диссертации

1. Даны постановки задач оптимизации размещения станций скорой помощи, учитывающие различные условия: время доставки пациента в больницу, плотность населения, особенности транспортных коммуникаций.

2. Исследованы математические модели оптимизации л-центров и п-медиан, доказана липшицевость критериальных функций и найдены постоянные Липшица для них.

3. Предложена методика определения параметров метрики, базирующаяся на проверке ряда гипотез и позволяющая оценивать реальные расстояния области с заданной степенью точности.

4. Выявлены вид и свойства бисекторов и областей Вороного для пар точек в различных ^-метриках.

5. Предложены методика и алгоритмы нахождения глобальных экстремумов целевых функций, состоящие из этапов поиска локальных экстремумов, основанных на выявленных видах, свойствах бисекторов, областей Вороного, и метода ломаных, использующего липшицевость целевых функций.

6. Предложен алгоритм нахождения субоптимальных областей решений задачи на основе установленной липшицевости функций, свойствах областей Вороного.

7. Предложен метод решения задачи размещения станций скорой помощи с учетом многокритериальности (для случая одной станции).

8. Разработан программный комплекс, реализующий методики и алгоритмы решения поставленной задачи для произвольной ограниченной многоугольной области G.

9. Получены оптимальные расположения станций скорой помощи для некоторых районов г.Казани, получены значения параметров метрик для отдельных частей г.Казани и всего г.Казани, а также для ряда городов Республики Татарстан: Набережные Челны, Альметьевск, Нижнекамск.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Разина, Мария Александровна, 2005 год

1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1980.-520 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей . М.: Наука, 1964. - 576 с.

3. Галиев Ш.И. Максимин, задачи покрытий и упаковок. Казань: Изд-во Казан, гос. технич. ун-та, 1997. - 260 с.

4. Галиев Ш. И. Направления убывания для минимаксных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. - т.ЗЗ, №1. - С.19-28.

5. Галиев Ш. И. Направления убывания для минимаксиминных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. -т.34, №3. - С.323-343.

6. Галиев Ш.И., Емалетдинова Л.Ю., Разина М.А. Нахождение глобального экстремума и субоптимальных решений для задач размещения станций скорой помощи // Вестник КГТУ им. Туполева. 2004. - №3. - С.40-45.

7. Галиев Ш.И., Емалетдинова Л.Ю., Разина М.А. Оптимизация расположений подстанций скорой помощи: Отчет о НИР / Казан, гос. технич. ун-т. ПМ7-СМ-1; № Госрегистрации 01.2.00316705; Инв.№ 02.20.0307056. - Казань, 2003. - 26 с.

8. Галиев Ш.И., Заботин В.И. О непрерывном обзоре поверхности Земли // Исследование Земли из Космоса. 1983. - №1. - С.117-120.

9. Галиев 111.И., Разина М.А. Области Вороного в Lp-метрике для совокупности заданных пар точек // Вестник КГТУ им. Туполева. 2004. -№4.-С. 19-26.

10. Галиев 111.И., Разина М.А. Упаковки и покрытия ограниченной области центросимметричными многоугольниками // Вестник КГТУ им. Туполева. -2003. №2. - С.34-40.

11. Галиев Ш.И., Сатаров А.З. Задачи размещения станций скорой помощи с использованием непрерывных моделей // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 1996. - №4. - С.39-44.

12. Демьянов В.Ф., Васильев J1.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.-384 с.

13. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формулировки и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. - 296 с.

14. Дуллиев A.M., Заботин В.И. Итерационный алгоритм проектирования точки на невыпуклое многообразие в линейном нормированном пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - т.44, №5. - С.827-830.

15. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. — т. 11, №6. - С.1390-1403.

16. Емалетдинова Л.Ю., Валитова Н.Л., Разина М.А. Проектирование информационного и программного обеспечения автоматизированных информационных систем: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан, гос. технич. ун-та, 2004 г. - 105 с.

17. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.- 248с.

18. Жилинскас А.Г. Глобальная оптимизация. Аксиоматика статистических моделей, алгоритмы, применения / Ин-т математики и кибернетики АН ЛитССР. Вильнюс: Мокслас, 1986. - 168с.

19. Заботин Я.И., Крейнин М.И. К сходимости методов отыскания минимакса // Известия ВУЗов. Математика. 1977. - №10. - С.56-64.

20. Заботин Я.И., Фукин Н.А. Алгоритм в методе штрафов с аппроксимацией допустимого множества // Известия ВУЗов. Математика. 2004. - №1. -С.36-47.

21. Кант В.И. Математические методы и моделирование в здравоохранении.- М.: Медицина, 1987. 224 с.

22. Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.

23. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. - 280 с.

24. Кожевников Ю.В. Теория вероятности и математическая статистика: учебное пособие для вызов. М.: Машиностроение, 2002. - 416 с.

25. Коннов И.В. Комбинированный релаксационный метод для поиска векторного равновесия // Известия вузов. Математика. 1995. - №12. -С.54-62.

26. Коннов И.В. Методы недифференцируемой оптимизации. Казань, изд-во КГУ, 1993.- 100с.

27. Коннов И.В. Сходимость релаксационных методов решения задач недифференцируемой оптимизации с ограничениями // Исследования по прикладной математике. Казань, 1990. - Вып. 17. - С.50-57.

28. Михайлов А.Ю. Модель оценки пропускной способности улично-дорожной сети // Вестник ИрГТУ. 2003. - т.14, №2. - С.80-83.

29. Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука, 1987. - 279 с.

30. Михалевич B.C., Трубин В.А., Шор Н.З. Оптимизационные задачи производственно-транспортного планирования. М. Наука, 1986. - 260 с.

31. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. - т. 12, №4. - С.888-896.

32. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 256 с.

33. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. М.:1. Мир, 1989.-478 с.

34. Положение об организации деятельности станций скорой и неотложной медицинской помощи: Приказ Министерства Здравоохранения РТ №694 от 7 августа 1993 г.- Казань.

35. Разина М.А. Алгоритмы и программы для оптимизации расположения станций скорой помощи // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Тезисы докладов III

36. Всероссийской научно-технической конференции 19-20 декабря 2003 г.1. Пенза, 2003. С.288-290.

37. Соболь И.М. О поиске экстремальных значений функции от нескольких переменных, удовлетворяющей общему условию Липшица // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. - т.28, №4. — С.483-491.

38. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. - 280 с.

39. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. М.: «Радио и связь», 1992. - 504 с.

40. Aurenhammer F. Voronoi diagram a survey of a fundamental geometric data structure // ACM Computing Surveys. - 1991. - Vol.33, №.3. - P.345-405.

41. Barrodale I., Young A. Algorithms for best Ц and L» linear approximations on a discrete set // Numerical Mathematics. 1966. - Vol.8. - P.296-306.

42. Batta R., Mannur N.R. Covering-location models for emergency situations that require multiple response units // Management Science. 1990. - Vol.36, №1. — P.16-23.

43. Berens W. The suitability of the weighted lp-norm in estimating actual road distances // European Journal of Operational Research. 1988. - №34. -P.39-43.

44. Bhattacharya U., Rao J.R. and Tiwari R.N. Fuzzy multicriteria facility location problem // Fuzzy sets and systems. 1992. - Vol.51. - P.277-287.

45. Brandeau M.L., Chin S.S. An overview of representative problems in location research // Management Science. 1989. - Vol.35, №6. - P.645-674.

46. Brimberg J, Love R.F. Estimating travel distances by the weighted lp-norm // Naval Research Logistics. 1991. - №38. - P.241-259.

47. Brimberg J, Love R.F., Walker J.H. The effect of axis rotation on distance estimation // European Journal of Operational Research. 1995. - №80. -P.357-364.

48. Cooper L.L. Heuristic Methods for Location-Allocation Problems II SIAM Review. 1964. - №6. - P.331 -343.

49. Cooper L.L. Location-Allocation Problems // Operation Research. 1963. -Vol.11.-P.331-343.

50. Cooper L.L. The Transportation-Location Problem // Operation Research. -1972. -Vol.20. -P.94-108.

51. Drezner Z. (editor) Facility location: A survey of applications and methods. -N.Y.: Springer-Verlag, 1995. 572 p.

52. Drezner Z. The p-centre problem Heuristic and optimal algorithms II Journal of operational Research Society. - 1984. - Vol.35, №8. - P.741-748.

53. Drezner Z., Wesolowsky G.O. Optimum location probabilities in the lp distance Weber problem // Transportation Science. 1981. - Vol. 15, No. 2. - P.85-97.

54. Drezner Z., Wesolowsky G.O. The location of an obnoxious facility with rectangular distances // Journal of Regional Science. 1983. - №23. - P.241-248.

55. Duda R.O., Hart P.E. Pattern Classification and Scene Analysis. N.Y.: John Wiley & Sons, 1973.

56. Elzinga D.J., Hearn D.W. Geometrical solutions for some minimax location problems // Transportation Science. 1971. - Vol.6. - P.379-394.

57. Elzinga D.J., Hearn D.W. The minimum covering sphere problem // Management science. 1972. - Vol. 19, №1. - P.96-104.

58. Hamacher H.W., Nickel S. Classification of location models // Location Science. 1998. - №6. - P.229-242.

59. Hansen P., Jaumard B. Lipschitz Optimization // Horst R., Pardalos P. Handbook of Global Optimization. Dordrecht: Kluwer, 1994.

60. Horst R., Tuy H. Global Optimization. Deterministic approach. Berlin: Springer-Verlag. -1996.

61. Klein R., Wood D. Voronoi diagrams based on general metrics in the plane // Theoretical Aspects of Computer Science: Proceedings of 5-th Symposium LNCS 294 (Cori R., Wirsing M., editors.). Berlin: Springer-Verlag, 1988. -P.281-291.

62. Ко М.Т., Lee R.C.T., Chang J.S. Rectilinear m-center problem // Naval Research Logistics. 1990. - №37. - P.419-427.

63. Larson R.C., Odoni A.R. Urban Operation Research. Englewood Cliffs: Printire Hall, 1981.

64. Lee D.T. Two-dimensional Voronoi Diagrams in the Lp metric // Journal of the Associations for Computing Machinery. - 1980. - Vol.27, №4. - P.604-618.

65. Lee D.T., Wong C.K. Voronoi diagrams in L^Lp) metrics with 2-dimentional storage application // SIAM Journal of Computing. 1980. - Vol.9, №1. -P.200-211.

66. Love R. F., Morris J. G. Facilities location models and methods. N.Y.: Elsevier Science Publishing Co., 1988.

67. Love R.F., Morris J.G. Mathematical models of road travel distances // Management science. -1979. Vol.25, №2. - P. 130-139.

68. Love R.F., Morris J.G. Modelling inter-city road distances by mathematical functions // Operational Research Quarterly. 1972. - Vol.23. - P.61-71.

69. Love R.F., Morris J.G. On estimating road distances by mathematical functions // European Journal of Operational Research. 1988. - №36. - P.251-253.

70. Love R. F., Walker J.H. An empirical comparison of block and round norms for modeling actual distances // Location science. 1994. - Vol.2. - P.21-43.

71. Mladineo R.H. An algorithm for finding the global maximum of a multimodal, multivariate function // Mathematical programming. 1986. - №34. - P.188-200.

72. Polyak R. A. Smooth optimization methods for minimax problems // SIAM Journal of Control Optimization. 1988. - Vol.26. - P. 1274-1286.

73. Revelle C., Marks D., Liebman J.C. An analysis of private and public sector location models// Management Science. 1970. - Vol.16, №11. - P.692-707.

74. Shamos M.I., Hoey D. The closest-point problems. 16th Symposium on foundations of computer science. - Berkley, 1975.

75. Shiode Sh., Ishii H., Nishida T. A minimax location problem for ambulance service station // Mathematical Japonica. 1992. - Vol.37, №3. - P.499-502.

76. Sloane N.J.A. http://www.research.att.com/~njas.

77. Thisse J.F., Ward J.E., Wendell R.E. Some properties of location problems with block and round norms // Operations research. 1984. - Vol.32, №6. -P. 1309-1327.

78. Toth G.F. Packing and covering // CRC Handbook of Discrete and Computational Geometry. Godman & O'Rourke, 1997.

79. Toth L.F. Regular figures. N.Y.: Pergamon-MacMillan, 1964.

80. Ward J.E., Wendell R.E. Using Block Norms for Location Modeling // Operation Research. 1985. - Vol.33. - P. 1074-1090.

81. Weber A. Uber den Standort der Industrien, 1909. Translated as Alfred Weber's Theory of the Location of Industries. University of Chicago, 1929.

82. Witzgall C. Optimal solution of a Central Facility: Mathematical Models and Concepts. Washington: National Bureau of Standarts, 1965.