Математические модели, методы анализа и имитационное моделирование системы двух связанных параметрических контуров с кондуктивной связью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Алехин, Сергей Юрьевич

• Алехин, Сергей Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Алехин, Сергей Юрьевич

Введение.

Глава 1. Общие свойства двухконтурных систем с кондуктивной связью. Проблемы анализа

1.1 Адекватные системы дифференциальных уравнений

1.2 Преобразование системы уравнений физической колебательной системы.

1.3 Нормированные уравнения физической колебательной системы.

1.4 Дифференциальные уравнения физической колебательной системы относительно магнитных потоков.

1.5 Колебательная система с периодическими параметрами.

1.6 Выводы по главе.

Глава 2. Анализ устойчивости физической системы первым методом Ляпунова.

2.1 Основные понятия и терминология теории устойчивости Ляпунова в общем случае.

2.2 Качественный анализ линейных дифференциальных систем.

2.3 Характеристические показатели как основа первого метода Ляпунова.

2.4 Линейная дифференциальная система.

2.5 Линейные дифференциальные системы с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке.

2.6 Неоднородная периодическая система линейных дифференциальных уравнений.

2.7 Достаточные условия устойчивости системы двух связанных контуров с кондуктивной связью.

2.8 Выводы по главе.

Глава 3. Анализ устойчивости физической системы вторым методом Ляпунова. Функции Ляпунова. Новые критерии устойчивости.

3.1 Достаточные условия устойчивости физической системы на основе функции Ляпунова в виде квадратичной формы.

3.2 Обобщенная энергетическая функция Ляпунова.

3.3 Общий метод оценки полной производной функции

Ляпунова.

3.4 Выводы по главе.

Глава 4. Резонансные свойства физической системы.

4.1 Резонанс стационарной системы двух связанных контуров с кондуктивной связью.

4.2 Резонанс параметрической колебательной системы.

4.3 Выводы по главе.

Глава 5. Практическое применение двухконтурных параметрических систем.

5.1 Изменяющаяся во времени реактивность как отрицательное активное сопротивление.

5.2 Двухконтурный параметрический усилитель с емкостной связью.

5.3 Двухконтурная параметрическая система с внешнекондуктивной связью.

5.4 Критический обзор применения параметрических усилителей в технике.

5.5 Выводы по главе.

Глава 6. Машинный анализ процессов в системе параметрических контуров и проведение численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели, методы анализа и имитационное моделирование системы двух связанных параметрических контуров с кондуктивной связью»

Актуальность темы. В настоящее время радиоэлектроника развивается в нескольких направлениях. Одно из них связано с расширяющимся применением нелинейных и параметрических радиоэлектронных устройств. С развитием этого направления все более сказывается отставание теории нелинейных и параметрических радиоцепей от потребностей практики. Одной из основных сложностей построения систематизированной теории нелинейных систем является применение обобщающего принципа, подобного принципу суперпозиции для линейных систем — принципа линейного включения.

Принцип линейного включения [1] утверждает, что для решения произвольной нелинейной системы уравнений можно подобрать линейную систему, дающую такое же решение. Представляется целесообразным построить систематизированную теорию нелинейных радиоцепей на основе этого принципа.

Для этого необходимо сосредоточить усилия на исследовании линейных параметрических радиоцепей.

По этой тематике опубликовано много работ. Прежде всего, можно отметить публикации представителей школы нелинейных колебаний, возглавляемой академиками Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси [2-9]. Успехи этой школы стимулировали большое число публикаций. Наиболее известные монографии этого направления - монография В.А. Тафта [10], посвященная нестационарным (параметрическим) электрическим цепям; одна из нескольких монографий коллектива авторов во главе с Ф.А. Михайловым по системам автоматического регулирования; монография C.JI. Чечурина [13] по механическим системам. Этому научному направлению большое внимание уделено в зарубежной научной литературе. Достаточно красноречивым является тот факт, что один том престижного американского журнала (IRE Trans. On Cirquit Theory) [14, 15] полностью посвящен электрическим цепям с изменяющимися во времени параметрами. Внушительный список публикаций по параметрическим системам [3, 6-9,

11, 12, 14-23, 36-56, 58, 59, 72, 73, 75-77, 86-96] позволяет отметить следующую особенность - они посвящены либо отдельным частным вопросам (в основном, разновидностям параметрического контура), либо, наоборот, весьма общей проблематике.

В радиоэлектронике, особенно в радиосвязи, весьма широко применяются системы двух связанных контуров с переменными параметрами.

Цель работы заключается в разработке физически прозрачных методов анализа системы связанных параметрических контуров с кондуктивной связью, а также в исследовании на их основе общих свойств системы, включая важные для радиосвязи и радиоизмерений резонансные характеристики.

Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, предусматривают решение следующих задач:

1. Получение и обоснование адекватного математического описания выбранной для анализа физической колебательной системы.

2. Исследование особенностей вынужденных колебаний при возмущающих функциях достаточно широкого класса.

3. Получение физически обусловленного описания резонансных свойств колебательной системы.

4. Проведение анализа устойчивости системы по Ляпунову на основе рассмотрения свободных процессов в системе.

5. Проведение оценки перспектив обобщения предложенных методик анализа на более сложные радиоцепи.

Научная новизна. Впервые с большой степенью общности исследована параметрическая система двух связанных контуров с внутренней и внешней кондуктивной связью. Разработаны методы анализа таких систем, базирующиеся на теории дифференциальных уравнений, теории бесконечных систем алгебраических уравнений, методе комплексных амплитуд. Рассмотренная параметрическая система представляет интерес для радиоэлектроники, радиосвязи, радиоизмерений. Кроме того, в диссертации проведен анализ возможности обобщения полученных результатов применительно к более сложным параметрическим радиоцепям.

При выполнении диссертационной работы получены результаты, характеризуемые научной новизной и состоящие в следующем:

1. Адекватной математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является линейная система четырех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Эта система уравнений является результатом непосредственного использования законов Кирхгофа применительно к анализируемой физической системе.

2. Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является также линейная система двух дифференциальных уравнений второго порядка. Такая система характерна для механических систем, а в случае аналогии колебательных процессов может использоваться для систем электрических.

3. Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является бесконечная линейная блочная алгебраическая система с постоянными коэффициентами. Матрица системы состоит из блоков порядка 4x4, неизвестный и свободный вектор-столбцы состоят из векторных блоков порядка 4x1. Получены конкретные бесконечные системы уравнений этого порядка.

4. Показано, что параметрическая система двух связанных контуров с кондуктивной связью по энергетическим признакам аналогична известной стационарной системе двух контуров с кондуктивной связью (электромагнитная энергия попеременно перекачивается из одного контура в другой). Различие состоит в том, что в параметрической системе с положительными элементами свободный процесс при определенных условиях может с течением времени безгранично возрастать.

5. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости, дающие гарантию того, что свободный процесс в анализируемой физической системе с течением времени стремится к нулю.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных результатов подтверждается надежным, многократно проверенным математическим аппаратом; прозрачным физическим смыслом функциональных зависимостей; непротиворечивостью известным фактам в частных случаях, а также полученными численными оценками.

Практическая значимость работы. Проведенные исследования носят фундаментальный характер и позволяют глубоко осмыслить явления, связанные с изменением во времени элементов радиоцепей. Такие явления сопровождают процессы в нелинейных и параметрических радио- и электроцепях. Целенаправленные, вполне определенные зависимости во времени реактивностей могут компенсировать тепловые потери, что очень важно для помехоустойчивой радиосвязи.

Полученная в диссертации информация о ряде закономерностей может быть использована при проектировании малошумящих радио- и телевизионных приемников. Спектры протекающих в параметрических радиоцепях процессов такие же, как и в нелинейных радиоцепях. Их исследование позволяет разобраться в особенностях «засорения» эфира, что дает возможность улучшить электромагнитную совместимость радиоэлектронных систем. В этом направлении в диссертации получены конкретные результаты в виде спектрального состава квазипериодических колебаний в исследуемой системе.

Реализация результатов. Полученные теоретические и экспериментальные результаты использованы в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах ОАО Концерна «Созвездие», ОАО Воронежский НИИ «Вега», НВП «Протек», внедрены в учебный процесс в Воронежском государственном университете и Воронежском институте МВД, что подтверждено актами внедрения.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью. Все параметры системы (емкости, индуктивности, активные сопротивления) изменяются во времени в соответствии с произвольными непрерывно дифференцируемыми и положительно определенными функциями. Э.д.с. и задающие токи изменяются во времени по любым функциям. Получены дифференциальные уравнения разных типов для такой системы. Общий анализ проведен на основе линейной системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Предложено нормирование переменных в общем виде.

2. Анализ устойчивости системы первым методом Ляпунова. Проанализированы современные достижения в этом вопросе, выделено неравенство Важевского, как конструктивное для рассмотренной в диссертации физической системы. Для повышения эффективности неравенства Важевского предложено специальное нормирование уравнений физической системы. Получены достаточные условия устойчивости анализируемой физической системы при ограничениях, которые обычно выполняются на практике.

3. Анализ устойчивости физической системы вторым методом Ляпунова. Предложена функция Ляпунова, представляющая собой мгновенную энергию, запасенную в реактивностях системы. На этой основе получены достаточные условия устойчивости системы. Кроме того функция Ляпунова видоизменена, в результате чего получены достаточные условия устойчивости более общего характера.

4. Анализ резонанса заданной физической системы на основе двух подходов. Один из этих подходов оказался более конструктивным и гибким. Проведен конкретный анализ резонанса по Мандельштаму применительно к рассматриваемой физической системе.

5. Исследование возможностей применения рассматриваемой или подобных ей систем на практике. По потребности в применении первое место занимают малошумящие параметрические усилители. По совокупности параметров параметрические усилители занимают лидирующее положение среди малошумящих усилителей, применяющихся в современной технике. Наиболее качественными параметрическими усилителями являются двухконтурные параметрические усилители, в основу которых положены системы двух связанных контуров, в том числе и с кондуктивной связью.

6. Модифицированный метод комплексных амплитуд, используемый при анализе вынужденных колебаний. В этом случае анализ приводит к бесконечным системам алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрены свойства таких уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы отражены в 11 публикациях, докладывались и обсуждались на Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2008 г.), VII Международной научно-технической конференции (Самара, 2008 г.) ежегодных научных конференциях Воронежского государственного университета и Воронежского института МВД РФ.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Алехин, Сергей Юрьевич

Выводы по главе

Так как полученное в работе аналитическое решение является многопараметрическим, то построить его портреты можно, поочередно фиксируя параметры, входящие в одну из групп, и изменяя значения параметров из другой группы.

При анализе параметров, вошедших в решение, было выделено две группы: t - безразмерное время (группа 1);

R, С, L - сопротивление, емкость и индуктивность соответственно (группа 2).

При изменении параметров из группы 1 и фиксировании группы 2 и последовательной подстановки законов изменения емкости, представленных в таблице 1, получены портреты, изображенные на рис.6.2 — 6.17.

Так как решение состоит из четырех компонент, то каждому закону из таблицы 1, соответствует четыре портрета. Каждый из графиков соответствует закону изменения заряда на каждом из участков цепи. При сравнении групп портретов наблюдаем сходное поведение заряда, которое отличается только скоростью его убывания.

Исследование решения на устойчивость также проводилось с помощью построения модели Вольтерра для каждого из компонент решения. На рис.6.18 — 6.21 наблюдаем, что на каждом из графиков присутствует единственная точка, вокруг которой происходит "закручивание" поля направлений. Таким образом, между компонентами решения может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, т.е. система устойчива.

При фиксировании параметров из группы 1 и изменении параметров из группы 2, получаем трехмерный портрет (на рис.6.22 представлен вид сверху).

Заключение

Радиотехнические цепи с переменными параметрами на практике присутствуют в разных качествах в устройствах связи. Все более высокие требования к качеству работы систем обусловили потребность в развитии их теории. Особенность развития этой теории в сложности адекватного математического аппарата, которым является теория систем линейных дифференциальных уравнений с зависящими от аргумента коэффициентами. Перспективой является создание систематизированной теории линейных параметрических радиоцепей.

Общие методы анализа параметрических радиоцепей намного сложнее, чем радиоцепей с постоянными элементами. Это является одним из главных препятствий широкому применению параметрических цепей в радиотехнике. В диссертации рассмотрены узловые вопросы анализа параметрических радиоцепей и их применение в технике на примере системы двух кондуктивно связанных параметрических контуров, которая является одной из важных составляющих ряда радиотехнических устройств.

В работе проведен разносторонний анализ процессов в системе двух кондуктивно связанных параметрических контуров.

1. На основе теории систем линейных дифференциальных уравнений предложены математические модели для анализа рассматриваемой физической системы.

Естественной математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является линейная система четырех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Эта система уравнений построена на основе законов Кирхгофа и ее естественно считать основной математической моделью анализируемой физической системы.

Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью является также линейная система двух дифференциальных уравнений второго порядка. Такая система характерна для механических систем, поэтому целесообразна в тех случаях, когда проводится аналогия между подобными по колебательным процессам электрическими и механическими системами.

Математической моделью параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью также является бесконечная линейная блочная алгебраическая система с постоянными коэффициентами. Матрица система состоит из блоков порядка 4x4, неизвестный и свободный вектор-столбцы состоят из векторных блоков порядка 4 х 1. С использованием разложения в ряд Маклорена и в ряд Фурье получены конкретные бесконечные системы уравнений.

2. В рамках рассмотренного математического аппарата проведен анализ свободных и вынужденных колебаний в рассматриваемой системе. Вынужденные колебания в соответствии с теорией колебательных систем любого типа исследованы на основе спектрального метода, который развит в работе применительно к системам электромагнитных колебаний, что позволило привести задачу к решению бесконечной системы алгебраических уравнений и использовать методы приближенного решения таких систем.

С учетом физических соображений на основе теории устойчивости. Ляпунова получены новые достаточные условия асимптотической устойчивости анализируемой системы. Рассмотрение возможных вариантов решения сложной задачи анализа устойчивости исследуемой системы и их оценка позволили обоснованно выбрать для анализа второй метод Ляпунова, позволяющий получать достаточные условия устойчивости. В части построения функций Ляпунова, обычно имеющих абстрактный математический характер, в работе предложена и использована функция Ляпунова, имеющая определенный физический смысл, трактуемая как энергия, запасенная в реактивностях. Такое представление позволяет упростить выявление физических закономерностей и особенностей поведения системы в процессе ее исследования на основе сложных математических моделей.

3. Резонансные явления анализируемой параметрической системы оказались несоизмеримо сложнее таковых в соответствующей стационарной физической системе. Оказалось целесообразным положить в основу теории резонанса условие, впервые полученное академиком Л.И. Мандельштамом, заключающееся в том, что при резонансе должна осуществляться мгновенная компенсация тепловых потерь внешними источниками. В работе получены аналитические соотношения, отражающие выполнение этого условия, и исследован резонанс.

4. Проведен сравнительный анализ двухконтурного параметрического усилителя с изменяющейся во времени емкостью связи и аналогичного назначения радиоцепи с изменяющимся во времени сопротивлением связи.

На основе проведенного сравнительного анализа высокочастотных малошумящих усилителей разного типа отмечено приоритетное положение параметрических усилителей, в частности, двухконтурных, к которым по своим свойствам примыкает система (радиоцепь), исследуемая в работе.

5. Сопоставлением выявленных закономерностей с результатами, полученными численными методами с использованием возможностей современных компьютеров, показано, что рационально дополнить аналитические исследования применением численных методов. Важен именно синтез аналитического и численного подходов, поскольку сами по себе численные методы не позволяют провести качественный анализ.

Полученные в диссертации результаты могут быть обобщены на параметрические радиоцепи более сложной структуры, а также на нелинейные радиоцепи, что требует проведения дальнейших теоретических исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Алехин, Сергей Юрьевич, 2008 год

1. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости /Б.Ф.Былов, Р.Э.Виноград, Д.М.Гробман, В.В.Немыцкий. — М.: Наука, 1966.-472 с.

2. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами/ Г.С.Горелик // Журнал технической физики. 1934. - Т.4.-Вып.10. - С. 1783 - 1817.

3. Горелик Г.С. Линейные резонансные явления в суперрегенеративном приемнике/ Г.С.Горелик // Электросвязь. — 1939. — №6. С.29 - 50.

4. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний/ Л.И.Мандельштам.- М.: Наука, 1972. 470 с.

5. Соколов О.Н. Некоторые вопросы теории колебаний/ О.Н.Соколов. Саратов: СГУ, 1980. - 128 с.

6. Андронов А. А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами / А.А.Андронов, М.А.Леонтович.— М.: АН СССР, 1956. -С.19 -31.

7. Мандельштам Л.И. О возбуждении колебаний в электрической колебательной системе при помощи периодического изменения емкости / Л.И. Мандельштам. Полное собрание трудов. Т.2. - М.: изд. АН СССР, 1947. — С.63 - 69.

8. Мандельштам Л.И. К вопросу о параметрической регенерации / Л.И.Мандельштам. Полное собрание трудов. Т.2. - М.: изд. АН СССР, 1947.-С.140-149.

9. Папалекси И.Д. Эволюция понятия резонанса / И.Д. Папалекси. Собрание трудов. М.: изд. АН СССР, 1948. - С.343 - 356.

10. Тафт В.А. Спектральные методы расчета нестационарных цепей и систем / В.А.Тафт. М.: Энергия, 1978. - 272 с.

11. Динамика непрерывных линейных систем с детерминированными и случайными параметрами/ Ф.А.Михайлов,

12. Е.Д.Теряев, В.П.Булеков, Л.М.Самаков, Л.С.Диканов. -М.: Наука, 1971. -562 с.

13. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем/ Ф.А.Михайлов. — М.: Наука, 1986. — 319 с.

14. Чечурин C.JI. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения/ С.Л.Чечурин. — Л.: Издательство ЛГУ, 1983. — 219 с.

15. Bolle А.Р. Application on complex symbolism to linear variable networks/ A.P.Bolle // IRE Trans. On Circuit Theory. 1955. - March. - P.32 -35.

16. Pipes L.A. Four methods of analysis of time-variable circuit/ L.A.Pipes// IRE Trans. Circuit Theory. 1955. - March. - P.4 - 12.

17. Якубович В .А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения/ В.А.Якубович, В.М.Старжинский. — М.: Наука, 1972. 718 с.

18. Рубановский В.Н. Устойчивость нулевого решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами/ В.Н.Рубановский // Общая механика. Итоги науки. — М., 1971.-С.85- 157.

19. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений/ М.В.Федорюк. М.: Наука, 1983.-352 с.

20. Bura P. Resonant circuit with periodically-varying parameters/ P.Bura, P.M. Tombs // Wireless Engineer. 1952. - V.29. - P.95 - 100.

21. Bura P. Resonant circuit with periodically-varying parameters/ P.Bura, P.M. Tombs // Wireless Engineer. 1952. - V.30. - P. 120 - 131.

22. Агеев Д.В. Резонанс в линейных системах с переменными параметрами/ Д.В.Агеев, Н.В.Зенкович // Известия ВУЗов. Радиотехника. -1973. — №7. -С.21 -25.

23. Bennet W.R. A general review of linear varying parameters and nonlinear circuit analysis/ W.R. Bennet // Proc. IRE. 1950. - v.38. - P. 259 — 263.

24. Бирюк Н.Д. Параметрические элементы/ Н.Д. Бирюк // Изв. ВУЗов. Радиотехника. 1968. - Т. 11. - №3. - С.217 - 227.

25. Бирюк Н.Д. Резонанс маятника/ Н.Д. Бирюк // Изв.ВУЗов. Физика. 1972. -№1. - С.156 - 158

26. Бирюк Н.Д., Трубников Ю.В. Достаточные условия устойчивости обобщенного параметрического контура/ Н.Д. Бирюк, // Радиотехника и электроника. 1973. - Т. 18. -№10. - С.2197 - 2206.

27. Бюрюк Н.Д. Применение рядов Тейлора в анализе параметрических цепей/ Н.Д.Бирюк // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. 1975. - Т. 18. -№9 —С.114 — 115.

28. Бирюк Н.Д. Параметрический контур с периодически переключаемой емкостью: строгое решение задачи об устойчивости/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Вестник Воронежского института МВД России. 2004. - №4(19). - С.123 - 127.

29. Бирюк Н.Д. Обобщенный анализ колебаний в линейном параметрическом контуре/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Теория и техника радиосвязи. 2004. — Вып.2. — С.41 - 50.

30. Бирюк Н.Д. Анализ устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько. XI Международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь». - Воронеж, 2005. - T.l. - С.249 - 256.

31. Бирюк Н.Д. Свободный процесс и вынужденные колебания в обобщенном параметрическом контуре/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2005. Т.8. - №2. - С.52 - 59.

32. Бирюк Н.Д. Анализ устойчивости электрического колебательного контура с периодически изменяющимися параметрами с помощьюэнергетической функции Ляпунова/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Наука производству. — 2005. - №6. - С.50 — 52

33. Бирюк Н.Д. Проблема устойчивости параметрического контура с положительными элементами/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев,

34. B.Н.Финько//Телекоммуникации. 2005. — №6.

35. Бирюк Н.Д. Физическое толкование явления параметрического резонанса, энергетический подход/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, В.Н.Финько // Вестник ВГУ.Физика, Математика. 2005. - С.20 - 25.

36. Винницкий А.С. Модулированные фильтры и следящий прием ИМ / А.С.Винницкий. М.: Сов. радио, 1969. - 548 с.

37. Жарков Ф.П. Цепи с переменными параметрами/ Ф.П.Соколов, В.А.Жарков. М.: Энергия, 1976. - 224 с.

38. Каплан А.Е. Параметрические генераторы и делители частоты/ А.Е.Каплан, Ю.А.Кравцов, В.А.Рылов. — М.: Сов. радио, 1966. 334 с.

39. Кулешов Ю.Г. Нелинейные и параметрические радиоцепи/ Ю.Г.Кулешов. Киев: «Вища школа», 1970. - 104 с.

40. Варшавский JI.A. Электрические цепи с периодически изменяющимися параметрами/ Л.А.Варшавский // Известия Ленингр. Политех, ин-та им.Калинина. — 1928. — №31.

41. Карасев М.Д. Теория радиотехнических систем с переменными параметрами/ М.Д.Карасев // Acta Polytechnica Prace CVUT. — v.Prazc. — III. — №.1. 1966.-C. 17-28.

42. Егупов Н.Д. Численно-спектральный анализ линейных радиотехнических цепей с переменными параметрами/ Н.Д.Егупов, А.Н.Дмитриев // Изв. ВУЗов. Радиотехника. 1975. - №9. - С. 11 - 17.

43. Носов В.Р. Об устойчивости некоторых нестационарных уравнений/ В.Р.Носов // Автоматика и телемеханика. — 1997. — №9. — С.31 — 42.

44. Abramovich D.Y. Lyapunov redesign of analog phase-lock loops/ D.Y.Abramovich // IEEE Trans. Commun. 1990. - v.38. - №12. - P.2197 -2002.

45. Brodin J.Analysis of time dependent linear network // IRE Trans. On Circuit Theory. 1959. - March. - P. 12 - 16.

46. Damgov V.N. Parametric mechanism of low-frequency instabilities in IMP ATT diode microwave oscillators/ V.N.Damgov // Sixth colloquium on Microwave Communication. — Budapest, 1978.

47. Damgov V.N. Non-linear resonance and parametric phenomena in a complicated oscillating circuit/ V.N.Damgov // IEEE Proceeding. — Part 6. — Electronic Circuits and Systems. 1984. - v.31. - №1. - P.24 - 28.

48. Darlington S. Linear time-varying cirquits, Matrix manipulations, Power relation and some bounds on stability/ S.Darlington // The Bell System Technical Journal. 1963. - V.42. - P.2575 - 2608.

49. Kudrewicz J. О pewnej methodize obliczainia ukladow paramtrycznych/ J.Kudrewicz // Arch. Electrot. (Polska). 1963. -Z.l. — T.XII.

50. Manley J.M. Some properties of time varying networks/ J.M.Manley // IEEE Trans. On Circuit Theory. 1960. - V.CT-7. - August. - P.275 - 284.

51. Niedzwiecki M. Wiznaczanie przebiegow ustalonych w sieci parametryczney zawie raja, cej elemeny zmienme okresowo/ M.Niedzwiecki // Arch. Electrohech. (Polska). 1965. - 12. - №4. - P.713 - 725.

52. Smart R.G. A general steady-state analysis of power-frequency relations in time-varying reactauces/ R.G.Smart // Proc.IRE. 1961. — V.49, №6.-P. 1051 - 1058.

53. Szalelski K. The vibrations of self oxcited system with parametric excitation and non-symmetric elasticity characteristic/ K.Szalelski // Mech. Theory i stosow. 1991. - 29. -№1. - C.59 - 73.

54. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложения функций Матье/ Н.В.Мак-Лахлан. М.: ИЛ, 1953. - 476 с.

55. Павлюк И. А. Приближенно-аналитические решения неавтономных диффер. уравнений/ И.А.Павлюк, В.М.Бурым, Ю.А.Пасенченко Киев: «Вища школа», 1980. — 232 с.

56. Фещенко С.Ф. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений/ С.Ф.Фещенко, Н.И.Шкиль, Л.Ф.Николенко. Киев: «Науков думка", 1966. - 252 с.

57. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами/ И.З.Штокало. Киев: АН УССР, 1960. -73 с.

58. Изобов Н.А. К теории характеристических показателей линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений/ Н.А.Изобов // Матем. заметки. 1980. - Т.28. - Вып.З. - С.459 - 478.

59. Купцова С.Е. Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений/ С.Е.Купцова. Тр.Средневолж. мат. общ-ва, 2006. - Т.8. - №1. - С.235 - 243.

60. Митропольский Ю.А. Применение квадратичных форм к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений/

61. Ю.А.Митропольский, А.М.Самойленко, В.Л.Кулик // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т.21. -№5. - С.476 - 483.

62. Петровский Г.Н. Некоторые свойства систем линейных дифференциальных уравнений/ Г.Н.Петровский // Дифференциальные уравнения. 1974.-Т. 10.-№9.-С. 1652- 1661.

63. Плотникова Н.В. Линейные дифференциальные уравнения с многозначными траекториями/ Н.В.Плотникова // Вестник С.-Петербург, ун-та. Сер.10. - 2006. - №1. - С.57 - 63.

64. Францев А.В. О полиномиальных решениях линейных дифференциальных уравнений/ А.В.Францев // Успехи матем. наук. — 2008.- май-июнь. Т.63. -Вып.3(381). - С. 149 - 171.

65. Хатвани Л. О применении дифференциальных неравенств в теории устойчивости/ Л.Хатвани // Вестник МГУ. Математика и механика.- 1975. №3. - С.83 — 89.

66. Шаманаев П.А. О локальной приводимости систем дифференциальных уравнений с возмущениями порядка выше первого к линейным системам с переменной матрицей/ П.А.Шаманаев // Тр. Средневолж. мат. о-ва. -2006. 8. — №1. — С.ЗЗО -336.

67. Chiang Yik-Man Estimates on the growth of meromorphic solutions of linear differential equations/ Yik-Man Chiang, Walter K.Hayman // Comment, math. helv. 2004. - 79. - №3. -P.451 - 470.

68. Nguyen Van Minh, Naito Toshiki, Nguerekata Gaston. A spectral countability condition for almast automorthy of solutions of differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. - 134. - №11. - P.3257 - 3266.

69. Sinha S.C. Order reduction of parametrically Excited nounlinear systems: Techniques and applications/ S.C.Sinha, Saugram Redkar, Venkatesh Deshmukh, Eric A.Butcher // Nonlinear Dyn. 2005. - 41. - №1 - 3. - P.237 -273.

70. Zhou Wen. A simplified method about working out particular solutions of second-order differential equation/ Wen Zhou // Math, theor. and appl. — 2005. -25. -№4. -P.113 115.

71. Бухарин С.В. Основы анализа и синтеза нестационарных модуляционных систем/ С.В.Бухарин. Воронеж: ВГУ, 1986. — 186 с.

72. Виглин С.И. Переходные процессы в системах с переменными параметрами/ С.И.Виглин. — М.: Сов. радио, 1981. — 182 с.

73. Д" Анжел о Г. Линейные системы с переменными параметрами/ Г.ДлАнжело. -М.: Машиностроение, 1974. — 288 с.

74. Заде Л. Теория линейных систем/ Л.Заде, И.Дезоер. М.: Наука, 1970.-704 с.

75. Люкселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике/ У.Люкселл. — М.: ИЛ, 1963. 352 с.

76. Шмидт Г. Параметрические колебания/ Г.Шмит. — М.: Мир. — 1978.-336 с.

77. Абрамов В.В. Устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае/ В.В.Абрамов // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2006. —№10. С.5 - 9.

78. Андреев А.С. Об устойчивости неустановившегося движения механической системы/ А.С.Андреев, Т.А.Бойкова // Прикладная математика и механика, 2004. — Т.68. Вып.4. - С.678 - 686.

79. Андреев А.С. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости/ А.С.Андреев, О.А.Перегудова // Прикладная математика и механика. 2006. - Т.70. - Вып.6. - С.965 - 976.

80. Асташов И.В. О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных уравнений/ И.В.Асташов // Фундам. и прикл. матем. — 2006. — 12. — №5. С.З - 9.

81. Демидович Б.П. Об устойчивости в смысле Ляпунова линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений/ Б.П.Демидович // Математ. сборник. 1951. - Т.28(7). - С.659 - 681.

82. Купцов С.Ю. Об одном методе исследования на устойчивость семейств линейных систем дифференциальных уравнений/ С.Ю.Купцов // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 2006. - 8. — №1. - С.337 - 341.

83. Куранин В.Н. Об устойчивости уравнения х + ах + p(t)x = 0 с периодическим коэффициентом/ В.Н.Куранин, Е.И.Троцкий // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2006. — №11. — С. 138 — 139.

84. Лантинский В.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами/ В.Н.Лантинский // Украинский матем. журнал. 1975. - Т.27, №3. - С.378 - 383.

85. Маркеев А.П. О кратном параметрическом резонансе в системах Гамильтона/ А.П.Маркеев // Прикладная математика и механика. — 2006. — Т.70, вып.2. С.200 - 220.

86. Якубович В.А. Оценки характеристических показателей системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами/ В.А.Якубович // Прикладная математика и механика. -1954.-Т.18.-С.533-546.

87. Mc.Cluskey C.Counel. A Strategy for constructing Lyapunov functions for non-autonomous linear differential equations/ Mc.Cluskey C.Counel // Linear Algebra and appl. 2005. - 409. - C.100 - 110.

88. Stanek Svatoslav. An almost-periodicity criterion for solutions of the oscillatory differential equation y" = g(f)y and its applications/ Svatoslav Stanek// Arch. math. 2005, 41. - №2. - C.229 - 241.

89. Блекуэлл Л. Параметрические усилители на полупроводниковых диодах/ Л.Блекуэлл, К.Коцебу. М.: Мир, 1964. - 244 с.

90. Бобров И.Н. Параметрические усилители и преобразователи СВЧ/ И.Н.Бобров. Киев: Техшка, 1969. - 240 с.

91. Регенеративные полупроводниковые параметрические усилители/ В.Н.Васильев, Г.И.Слободенюк, В.И.Трифонов, Ю.Л.Хотунцев М.: Сов.радио, 1965. - 448 с.

92. Грабовски К. Параметрические усилители и преобразователи с емкостным диодом/ К.Грабовски. М.: Сов. радио, 1974. — 304 с.

93. Филатов К.В. Введение в инженерную теорию параметрического усиления/ К.В.Филатов. М.: Сов. радио, 1971. — 176 с.

94. Anderson D.B. A general catalog of gain, bandwidth and noise temperature expressions for four-frequency parametric devices/ D.B.Anderson // IEEE Trans. 1963.- v.ED-10. - № 1. - P. 13 - 3 0.

95. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы/ И.С.Гоноровский. — М.: Советское радио, 1964. 695 с.

96. Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники/ В.П.Бакалов, А.Н.Игнатов, Крук Б.Г. — М.: Радио и связь, 1989. — 526 с.

97. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов/ И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. Лейпциг-Москва: Тайбенер - Наука, 1981. - 718 с.

98. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ Э.Камке. М.: Наука, 1965. - 704 с.

99. Зайцев В.Ф. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям/ В.Ф.Зайцев, А.Д.Полянин. — М.: Факториал, 1997. 304 с.

100. Маркус М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/ М.Маркус, Х.Минк. М.: Наука, 1972. - 232 с.

101. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П.Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

102. Рублев А.Н. Линейная алгебра/ А.Н.Рублев. М.: Высшая школа, 1968.-384 с.

103. Завало С.Т. Алгебра и теория чисел/ С.Т.Завало, В.Н.Костарчук, Б.И.Хацет. — Киев: «Вища школа», 1977. 398 с.

104. Долгинов А.И. Резонанс в электрических цепях и системах / А.И.Долгинов. M.-JL: Госэнергоиздат, 1957. — 328 с.

105. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний/ В.Д.Горяченко. — М.: Высшая школа, 2001. — 395 с.

106. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний/ С.П.Стрелков. -M.-J1.: Гостехтеориздат, 1950. — 344 с.

107. Асеев Б.П. Колебательные цепи/ Б.П.Асеев. — М.: Госиздат, 1955.-462 с.

108. Палош В.Е. Исследование динамики двойного маятника со следящей и консервативной силами/ В.Е.Палош // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2008. — №3. — С.64 — 74.

109. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний/ И.Г.Малкин. Л.-М.: ОГИЗ, 1949. - 244 с.

110. Годунов С.К. Квадратичные функции Ляпунова/ С.К.Годунов. — Новосибирск, 1982. 167 с.

111. Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики/ Д. тер Хаар. -М.: Наука, 1974.-223 с.

112. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения/ И.Г.Малкин. М.: Наука, 1966.-530 с.

113. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений/ Л.Чезари. М.: Мир, 1964. -478 с.

114. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа/ Л.В.Канторович, В.И.Крылов. -М.-Л.: Госфизматиздат, 1962. 708с.

115. Алексидзе М.А. О приближенном решении некоторых бесконечных систем уравнений/ М.А.Алексидзе // ДАН СССР. — 1968. — №5. — С.1019 1022.

116. Величко Ю.Т. Теоретические основы радиотехнических помех/ Ю.Т.Величко. Львов: Изд. ЛДУ, 1966. - 340 с.

117. Руденко В.М. Малошумящие входные цепи СВЧ приемных устройств/ В.М.Руденко, Д.Е.Халятин, В.Р.Магнушевский. М.: Связь, 1971.-279 с.

118. Основы теории колебаний/ В.В.Мигулин, В.И.Медведев, Е.Р.Мустель, В.Н.Парыгин. М.: Наука, 1988. - 391 с.

119. Валеев К.Г. Построение функций Ляпунова/К.Г.Валеев. — Киев: Наукова думка, 1981.-412 с.

120. Бирюк Н.Д. Критерии устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, С.Ю.Алехин // Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника, 2008. — Т.51. -№9.-С.51 -59.

121. Бирюк Н.Д. Проблема устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, С.Ю.Алехин // Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника, 2008. — Т.51. — №8. — С.37 — 39.

122. Нечаев Ю.Б. Энергетический критерий устойчивости параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Ю.Б .Нечаев, Н.Д.Бирюк, С.Ю.Алехин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2008. — Т.П. — №1. — С.55 — 59.

123. Бирюк Н.Д. Параметрическая система двух связанных контуров с кондуктивной связью/ Н.Д.Бирюк, Ю.Б.Нечаев, С.Ю.Алехин // Вестник ВГУ. Серия Системный анализ и информационные технологии. — Воронеж, 2008. — Вып.1. С.5 — 10.

124. Нечаев Ю.Б. Вынужденный процесс в параметрической системе двух связанных контуров с внутрикондуктивной связью/ Ю.Б.Нечаев, Н.Д.Бирюк, С.Ю.Алехин // Вестник ВГТУ. Воронеж, 2008. - Т.4. - №2. -С.38-42.

125. Нечаев Ю.Б. Резонанс параметрической системы двух связанных контуров с внешнекондуктивной связью/ Ю.Б.Нечаев, Н.Д.Бирюк, С.Ю.Алехин // Вестник ВГТУ.- Воронеж, 2008. Т.4. - №3.-С.116 - 121.

126. Нечаев Ю.Б. Энергетический критерий устойчивости параметрических радиоцепей/ Ю.Б.Нечаев, С.Ю.Алехин // Охрана, безопасность, связь: сб. материалов Всерос. науч.-практ. конф., Воронеж, ВИ МВД РФ, 2007 г. Воронеж, 2008. - Ч. 1. - С.62 - 64.

127. Нечаев Ю.Б. Математические модели параметрических радиоцепей/ Ю.Б.Нечаев, Н.Д.Бирюк, С.Ю.Алехин // Информатика: проблемы, методология, технология: сб. материалов науч.-методич. конф., Воронеж, 2008 г. Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2008. - Т.2. - С. 108 - 111.

128. Кисленко В.В. Ничуговский М.А.1. УТВЕРЖДАЮу^^шз^&Ф^шьного директора1. Созвездие»,

129. В.И. Николаев Ш^ьЬЦщ^М. 2008 г.1. АКТо реализации в ОАО «Концерн «Созвездие» результатов диссертационной работы на соискание ученой степени кандидата технических наук1. Алехина Сергея Юрьевича

130. Математическая модель параметрической системы двух связанных контуров с кондуктивной связью.

131. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ПРОМЫШЛЕННОСТИ

132. ЗАКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО

133. Г| ГтГф % (Ч^ НАУЧНО ВНЕДРЕНЧЕСКОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ «ПРОТЕК» 1AJ- ^ й\ НЬ (зло НВП «ПРОТЕК»)

134. Почтовый адрес: 394000, Воронеж, ФГУП «Почта России», а/я 189 тел. [phone],39-99-52 факс [phone]e-mail:[e-mail] ИНН 3665017521 КПП 366501001 ОКПО 41211944

135. Ю.А. Аверин QLc^aS^2008 г.1. АКТо внедрении результатов диссертационной работы на соискание ученой степени кандидата технических наук Алехина Сергея Юрьевича

136. Использование результатов диссертационной работы Алехина С.Ю. при проектировании и разработке узлов и блоков АПФАР позволило сократить сроки разработки опытных образцов специальной техники.

137. Подписи председателя комиссии и членов комиссии удостоверяю

138. Начальник ОК ЗАО НВП «ПРОТЕК»1. Е.Ф. Мальцева1. УТВЕРЖДАЮ

139. Проректор по учебной работе

140. Воронежского государственного1. АКТ ВНЕДРЕНИЯв учебный процесс

141. Декан физического факультета,к.ф.-м.н., доцент

142. Заведующий кафедрой электроники, д.ф.-м.н., профессор1. A.M. Бобрешов1. A.M. Воробьев

143. Начальник кафедры ТКС д.т.н., профессор полковник милиции

144. Профессор кафедры ТКС д.т.н., доцент подполковник милиции

145. Профессор кафедры ТКС к.т.н., доцент подполковник милиции

146. Доцент кафедры ТКС к.т.н., доцент . полковник милиции1. Председатель комиссии:1. Члены комиссии:1. Н.С. Хохлов1. О.И. Бокова1. С.А. Шерстюков1. А.И. Климов