Математические модели случайных процессов, основанные на масштабных смесях нормальных законов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Бородулина, Елена Леонидовна

• Бородулина, Елена Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бородулина, Елена Леонидовна

Введение.

1. Вероятностно-статистические модели.

1.1. Предварительные сведения.

1.1.1. Пространство элементарных событий. Случайная величина.

1.1.2. Смеси вероятностных распределений.

1.1.3. Специальные функции и интегралы специального вида.

1.2. Некоторые математические модели в задачах обработки измерений.

1.3. Некоторые классы распределений, применяемых в описательной статистике.

1.3.1. Семейство устойчивых законов.

1.3.2. Семейство распределений Стьюдента.

1.4. Критерии согласия о типе предельного распределения случайных процессов.

1.4.1. Общая схема построения статистических решений.

1.4.2. Асимптотический подход к оцениванию необходимого объема выборки.

2. Смешанные гауссовские вероятностные модели.

2.1. Постановка задачи нахождения асимптотического распределения случайных сумм.

2.2. Метод расщепления строго устойчивых смесей стандартных нормальных законов.

2.3. Распределение инварианта сопряженного псевдосмесителя строго устойчивой смеси при а = 1.

2.4. Распределение инварианта сопряженого псевдосмесителя строго устойчивой смеси при а = 0.5.

2.5. Определение необходимого объема выборки для обеспечения достаточной мощности критерия согласия.

2.5.1. Использование критерия Неймана-Пирсона для обеспечения необходимой мощности.

2.5.2. Асимптотический подход к определению необходимого объема выборки.

2.6. Масштабная смесь для случая распределения Стьюдента.

3. Выбор адекватной математической модели реальных процессов.

3.1. Численная реализация задачи выбора аналитической модели.

3.2. Оценка влияния случайных структурных неоднородностей материала изделия на определение геометрических параметров поверхностных дефектов методами магнитной дефектоскопии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели случайных процессов, основанные на масштабных смесях нормальных законов»

Исследование функционирования современных систем (технических, экономических, социальных, транспортных и т.д.) часто приводит к описанию моделей, характеристики которых представляют собой суммарный эффект действия большого числа различного рода факторов. При этом, как правило, и поведение факторов носит случайный характер, и количество самих факторов определяется некоторой случайной величиной. Поэтому суммы случайного числа случайных величин («случайные суммы») играют важную роль в математическом моделировании многих процессов и явлений. Модели, основанные на случайных суммах, рассматривают в своих работах Петраков Н.Я., Ротарь В.И. (1985), Круглов В.М., Королев В.Ю. (1990), Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С .Я. (2007).

В вероятностно-статистических методах исследования математических моделей важнейшую роль играют вопросы идентификации выборочного закона распределения. Для широкого класса моделей предпосылки применения нормального закона обусловлены условиями центральной предельной теоремы. Однако, такая ситуация справедлива, если факторы действуют аддитивно и независимо друг от друга, внося малую долю в суммарный эффект.

Наряду с этим во многих прикладных задачах естественно предполагать, что условия функционирования систем характеризуются непостоянством интенсивности действия факторов, что становится следствием перемежаемости спокойного режима, характеризуемого низким уровнем событий, с возникновением редких, но очень крупных по величине событий. Эмпирические плотности распределения характеристик таких систем являются более островершинными и при этом «хвосты» распределений убывают гораздо медленнее, нежели это характерно для нормального закона. Анализ эмпирических распределений временных рядов, являющихся наблюдениями за функционированием реальных процессов, часто показывает несостоятельность моделей, основанных на нормальном законе распределения, которое традиционно используется в прикладных задачах. Вероятностные распределения, лежащие в основе аналитических моделей таких систем (называемые из-за принципиальной значимости редких событий, лежащих в хвосте распределения, распределениями с «тяжелыми» хвостами»), требуют подходов, отличных от применяемых в случае «обычных» распределений.

Точное нахождение вероятностных распределений случайных сумм чрезвычайно затруднено. Во-первых, необходимо знать точные распределения как числа слагаемых в сумме, так и самих слагаемых. Во-вторых, даже если указанные распределения полностью известны, сами вычисления, как правило, трудно реализуемы и конечные представления для распределений (или их эквивалентные преобразования) случайных сумм могут не существовать. Таким образом, весьма актуальной является задача изучения возможности использования тех или иных аппроксимаций для определения асимптотического поведения распределений случайных сумм, поскольку в прикладных задачах необходимо вычислять некоторые характеристики распределений, например, квантили. К тому же, как показано в работе Королева В.Ю. и Бенинга В.Е (1998), несмотря на «хорошее» поведение самих слагаемых, распределение случайной суммы может иметь предельные распределения с «тяжелыми» хвостами, например, устойчивые.

Схема суммирования независимых случайных величин и связанные с нею предельные теоремы на протяжении многих десятилетий были центром проблематики теории вероятностей, в частности стоит отметить работы Золотарева В.М. (1986), Петрова В.В. (1987), Круглова В.М. и Королева В.Ю. (1990). Содержание современной теории вероятностей в ее большей, и возможно, самой важной для приложений части составляют предельные теоремы. Дело в том, что точные и к тому же пригодные для расчетов формулы образуют в теории вероятностей скорее исключение, нежели правило. Это обстоятельство порождает необходимость использования аппроксимаций возникающих в конкретной прикладной задаче вероятностных распределений или связанных с ними характеристик. Такие аппроксимации должны, с одной стороны, быть пригодны для численных расчетов, а с другой — обеспечивать необходимую точность приближения аналитической модели к эмпирическим данным. В первую очередь возник вопрос о том, какие законы, помимо нормального распределения, могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, так как нормальный закон в большинстве случаев не подходит, как показывают многочисленные исследования [4, 7, 8, 14, 64, 65, 66, 72].

Все выше перечисленное обуславливает актуальность разработки статистических методов выбора приемлемой аналитической модели для распределений случайных процессов, использующих аппарат случайных сумм, и нахождения оптимальных оценок неизвестных параметров распределения. Основными работами, рассматривающими асимптотическое поведение сумм независимых случайных величин, являются работы [40, 49, 50, 69].

В работах Королева В.Ю. и Круглова В.М. [54, 55, 61] показано, что предельными распределениями случайных сумм являются вероятностные распределения специального вида - сдвиг/масштабные смеси стандартных нормальных законов, которые определяются как усреднение нормального закона по математическому ожиданию и стандартному отклонению, являющихся случайными величинами с неизвестным заранее законом распределения. Диссертационная работа посвящена математическим моделям случайных процессов, основанным на масштабных смесях (смешивание производится лишь по параметру масштаба, в то время как параметр сдвига равен нулю).

Задача статистического анализа смеси сводится к анализу смешивающего распределения (разделению смеси на компоненты). Естественно искать адекватную асимптотическую модель в семействе распределений, которые могут выступать в качестве предельных для случайных сумм при определенных ограничениях. При этом выбор закона распределения представляет собой весьма актуальную и трудоемкую статистическую задачу.

В работе исследуется использование двух альтернативных семейств распределений для построения адекватных аналитических моделей случайных процессов на основе эмпирических данных: класс строго устойчивых законов и семейство распределений Стьюдента.

Интерес к классу устойчивых законов вызван работами Мандельброта Б. (1963), Фама Е. и Ролла Р.(1965). Привлекательность класса устойчивых распределений определяется тем, что именно ему принадлежат все возможные предельные распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Однако проблема идентификации параметров устойчивых законов по эмпирическим данным осложняется тем фактом, что выражение плотностей с помощью элементарных функций возможно лишь в отдельных частных случаях. Различные методы построения оценок для неизвестных параметров рассматривались в работах Фама Е. и Ролла Р. (1971), Золотарева В.М. (1983), Нагаева А.В. и Школьника С.М. (1985), Сапожникова П.Н. (2003).

В отличие от устойчивых распределений, в описательной статистике семейство распределений Стьюдента практически не используется в качестве аналитической модели, «подгоняемой» к экспериментальным данным. Исключение составляют, например, работы Претца П. (1972), Благгеберга Р. и Гоундса Н.(1974), Кона С.Дж. (1984), Королева В.Ю.(2007). Однако следует особо подчеркнуть, что распределение Стьюдента, являясь безгранично делимым распределением, имеет схожую с опытными данными форму распределения, что позволяет использовать его в качестве альтернативы нормальному закону.

Выбор адекватной аналитической модели в работе осуществляется на основе проверки гипотезы о виде эмпирического распределения и заключается в преобразовании исходной выборки наблюдений при помощи имитаций нормального закона. При этом вспомогательная выборка однозначно характеризует смешивающее распределение.

Для оценки параметров строго устойчивой модели, статистические выводы строятся на основе выборки инвариантных относительно преобразования масштаба величин, что позволяет исключить из рассмотрения мешающий масштабный параметр. Полученные ранее результаты нахождения выражений для плотностей инвариантов включают случай, соответствующий нормальному распределению [59], случаи распределения инварианта для значения показателя устойчивости, лежащего между распределением Коши и нормальным законом [19, 71]. В диссертационной работе получено обобщение выражения плотности инварианта для всей области определения показателя устойчивости. Для частных случаев распределения Леви и Коши получены выражения плотностей распределений в аналитическом виде, что позволяет использовать их в задаче различения модели, основанной на нормальном законе, и использующей строго устойчивую альтернативу.

Основные результаты построения статистических оценок параметров устойчивых законов были получены в работе Фама Е. и Ролла Р. [10], которая до сих пор считается классической. Однако, учитывая, что альтернативный способ построения оценок, предложенный в диссертации, требует сравнимый с [10] объем выборки, а оценки Фама Е. и Ролла Р. не обладают стабилизацией с ростом объема выборки [38], предложенный в работе метод является более предпочтительным.

Для проверки соответствия выборочного распределения аналитической модели, основанной на распределении Стьюдента, в работе получено аналитическое представление плотности распределения вспомогательной случайной величины. Показано, что переход к вспомогательной случайной величине увеличивает меру расстояния между альтернативными моделями вероятностных распределений, что позволяет уменьшать ошибку второго рода при построении статистических решений.

Коротко о содержании диссертации.

Во введении обоснована актуальность исследования; сформулирована научная новизна, приведены цель и задачи исследования, перечислены наиболее существенные результаты, дана общая характеристика работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Бородулина, Елена Леонидовна

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для оценки параметров строго устойчивой модели получено представление плотности распределения инвариантов псевдосмесителей для значений показателя устойчивости 0 < а < 1.

2. Найдены аналитические выражения для вероятностных моделей инвариантов псевдосмесителей для случаев распределений Леви и Коши.

3. В задаче проверки гипотез о виде аналитической модели случайного процесса исследовано применение некоторых стандартных критериев согласия, для каждого из которых оценены значения необходимых объемов выборки, определен оптимальный критерий.

4. Установлено соответствие между распределениями смесителя и смеси для случая, когда смесь имеет распределение Стьюдента. Получено аналитическое представление плотности распределения псевдосмесителя для смеси, имеющей распределения Стьюдента.

5. Проведено сравнение методов оценки аналитической модели, основанных на двух альтернативных подходах: по выборкам исходных наблюдений и преобразованных величин. Показано, что предложенный переход к вспомогательной выборке увеличивает расстояние между альтернативными моделями вероятностных распределений, что позволяет строить более точные оценки на меньшем объеме выборки.

6. Численно реализован метод идентификации распределения масштабной смеси нормальных законов при помощи специализированных пакетов Mathematica (v5.0), Maple (v8.0), Statistica (v6.0) для определения доверительных границ аналитической модели случайной компоненты регистрируемого сигнала в задачах оценки наличия поверхностных дефектов изделия методами магнитной дефектоскопии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бородулина, Елена Леонидовна, 2009 год

1. Arad R. W. Parameter Estimation for Symmetric Stable Distribution / Arad R.W. // International Economic Review. 1980, Vol.21, No.l, P. 209-220.

2. Blattberg R.C. A Comparison of the Stable and Student Distributions as Statistical Models for Stock Prices / Blattberg R.C., Gonedes N.J. // The Journal of Business. 1974. Vol. 47, No. 2, P. 244-280.

3. Chambers J.M. A Method for Simulating Stable Random Variables / Chambers J.M., Mallows C.L., Stuck B.W. // Journal of the American Statistical Association. 1976. Vol. 71, No. 354, P 340-344.

4. Clark P.K. A subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices / Clark P. K. // Econometrica. 1973. Vol. 41. No. 1. P.135-155.

5. DuMouchel W.H. Stable Distributions in Statistical Inference: 2. Information from Stability Distributed Samples / DuMouchel W.H. // Journal of the American Statistical Association. 1973. Vol. 70, No. 350. P.386-393.

6. Eberlein E. Hyperbolic Distributions in Finance / Eberlein E., Keller U. I I Bernoulli. 1995. Vol. 1, No. 3, P. 281-299.

7. Fama E.F. The Behavior of Stock-Market Prices / Fama E.F.// The Journal of Business. 1965. Vol. 38, No. 1, P. 34-105.

8. Fama E.F. Some Properties of Symmetric Stable Distribution / Fama E.F., Roll R // Journal of the American Statistical Association. 1968, Vol. 63, No. 323, P. 817-836.

9. Fama E.F. Parameter Estimates for Symmetric Stable Distribution / Fama E.F., Roll R. // Journal of the American Statistical Association. 1971. Vol. 66, Issue 334, P. 331-338.

10. Kay S.M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory 1993.

11. Kon S.J. Models of Stock Returns A Comparison / Kon S.J. // The Journal of Finance. 1984. Vol.39, No.l, P.147-165.

12. Mandelbrot B.B. New Methods of Certain Speculative Prices / Mandelbrot B.B. // The Journal of Political Economy. 1963. Vol. 71,No. 5, P. 421-440.

13. Mandelbrot B.B. The Variations of Certain Speculative Prices / Mandelbrot B.B. // The Journal of Business. 1963. Vol. 36,No. 4, P. 394-419.

14. Mandelbrot B.B. New Methods in Statistical Economics / Mandelbrot B.B.// The Journal of Political Economy. 1963. Vol.71, No.5, P. 421-440.

15. Nagaev A.V. Invariant estimation of the characteristic exponent of a stable distribution / Nagaev A.V., Shkolnik S.M. // Theory Prob. Appl., 29, 841872

16. Praetz P.D. The Distribution of Share Price Changes / Praetz P.D. / The Journal of Business. 1972. Vol. 45, No. 1, P. 49-55.

17. Press S.J. A Compound Events Model for Security Prices / Press S J. // The Journal of Business. 1967. Vol. 40, No. 3, P. 317-335.

18. Sapozhnikov P.N. Pseudomixers for strong stable mixers of standard normal law / Sapozhnikov P.N. // XXIII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Pamplona (Spain), 2003, P. 49.

19. Tucker A.L. The Probability Distribution of Foreign Exchange Price Changes: Test of Candidate Processes / Tucker A.L., Pond L. // The Review of Economics and Statistics. 1988. Vol. 70, No. 4, P.638-647.

20. Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Stable Distribution and Their Applications. Utrecht: VSP, 1999.

21. Барду Ф., Бушо Ж.-Ф., Аспе А., Коэн-Таннуджи К. Статистика Леви и лазерное охлаждение. Как редкие события останавливают атомы — М.: Физматлит, 2006.

22. Бендат Жд., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов — М.: Мир, 1974.

23. Бенинг В.Е. Асимптотическое поведение обобщенных процессов Кокса / Бенинг В.Е., Королев В.Ю. // Вестник Московского ун-та. Сер. «Вычисл. матем. и киберн.». 1996. - Вып.З, - С.55-68.

24. Бенинг В.Е. Предельное поведение неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса / Бенинг В.Е., Королев В.Ю. / Фундаментальная и прикладная математика. 1996, №4, С.957-975.

25. Бородулина E.JI. Два подхода к проверке гипотезы о типераспределения смеси в случае семейства Коши / Бородулина Е.Л., Кротова Е. Л. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2004, Т. 11, Вып. 1,С. 101.

26. Бородулина E.JI. Об аппроксимации плотности распределения инварианта сопряженного смесителя для строго устойчивых смесей / Бородулина Е.Л., Кротова Е.Л. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2004, т. 11, в. 3, С. 501-502.

27. Бородулина Е.Л. Уточнение разложения в ряд плотности сопряженного смесителя / Бородулина Е.Л., Кротова Е.Л. // Известия научно-образовательного центра «Математика». Пермь, ПГТУ, 2005, С.8-20.

28. Бородулина E.JI. Случай распределения Леви строго устойчивой масштабной смеси / Бородулина Е.Л. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2005, т. 12, в. 3, С. 654-655.

29. Бородулина Е.Л. Об асимптотическом поведении сопряженного псевдосмесителя строго устойчивых масштабных смесей в случае распределения Коши / Бородулина Е.Л. // Известия научно-образовательного центра «Математика». Пермь, ПГТУ, 2006. С.3-12.

30. Бородулина Е.Л. О сравнении мощностных свойств критериев согласия для строго устойчивых смесей стандартного нормального закона, М.: ОПиПМ, 2006, т. 13, в.2, с. 276-277.

31. Бородулина Е.Л. Об одном методе различения семейств распределений для моделей с тяжелыми хвостами / Бородулина Е.Л. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М: ОПиПМ, 2007, т. 14, в.5, С. 860-860.

32. Бородулина Е.Л. О методе расщепления масштабных смесей нормального закона для случая семейства Стьюдента / Бородулина Е.Л. // Вестник Пермского Университета, Сер. «Математика. Механика. Информатика». Пермь, ПГУ, 2008, в. 4(20), с. 9-13.

33. Боровков А.А. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1986.

34. Гамровски Б. Финансовые модели, использующие устойчивые законы / Гамровски Б., Рачев С. // // Обозрение прикладной и промышленной математики. М: ОПиПМ, 1995, т. 2, в.4, С. 556-604.

35. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1979.

36. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.

37. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К, Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. -М.: Наука, 1965.

38. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.

39. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1988.

40. Денелъ А.К Дефектоскопия металлов. М.: Металлургия, 1972. — 304 с.

41. Дякин В.В. Прямая и обратная задачи магнитостатики // Дефектоскопия. 1996, - №3. — С.3-6.

42. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей — М.: Наука, 1983.

43. Зацепин Н. Н., Щербинин В. Е. К расчету магнитостатического поля дефектов II // Дефектоскопия. -1966, № 5, - С. 59-65.

44. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения М.: Наука, 1983.

45. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин М.: Наука, 1986.

46. Золотарев В.М. Закон больших чисел М.: Знание, 1987.

47. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательности событий. -М.: Мир, 1969.

48. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика-М.: Мир, 1978.

49. Королев В.Ю. Об асимптотической устойчивости распределений обобщенных неординарных процессов Кокса / Королев В.Ю. // Теория вероятностей и ее применение. 1997, Т.42, В.З, С. 359-361.

50. Королев В.Ю. О распределениях, симметризация которых является масштабной смесью нормальных законов. / Королев В.Ю. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. // Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. ун-т. 2000. С. 136-143.

51. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска М.: Физматлит, 2007.

52. Котюк А.Ф., Ольшевский В.В., Цветков Э.И. Методы и аппаратура для анализа характеристик случайных процессов — М.: Энергия, 1967.

53. Кротов JJ.H. Моделирование обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле // Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук, ПГТУ, Пермь, 2004.

54. Кротов JI.H. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. II. Постановка и метод решения обратной геометрической задачи магнитостатики // Дефектоскопия, 2004, -№6, — С.36-44.

55. Кротова E.JI. Критерии согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных / Кротова Е.Л., Сапожников П.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2002. Т.9, Вып. 1, С. 133.

56. Круглое В.М. Дополнительные главы теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1984.

57. Круглое В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1990.

58. Манделъброт Б. Фракталы, случай и финансы — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.

59. Никитин Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М: Физматлит, 1995.

60. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1985.

61. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств. -JL: Энергия, 1968.

62. Орлов A.M. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? / Орлов А.И. // Заводская лаборатория. 1991 Т.57. No.7 С.64-66.

63. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983.

64. Петраков Н.Я., Ротаръ В.И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. -М.: Наука, 1985

65. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

66. Прудников А.И, Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды М: Физматлит, 2003. -Т.1: Элементарные функции.

67. Сапожников П.Н. Проверка гипотез о типе предельного распределения обобщенных процессов Кокса / Сапожников П.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2001. Т. 8, Вып. 1, С. 314-315.

68. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб.: Политика, 2001.

69. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика Томск: изд. Томского университета, 1976.

70. Уилкс С. Математическая статистика. — М.: Наука, 1967.

71. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.2 М.: Мир, 1984.

72. Хинчин А.Я. Работы по теории массового обслуживания. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

73. Цветков Э.И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. — М.: Энергия, 1973.

74. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. — М.Ж Наука, 1978.

75. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов / Ширяев А.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер.: «Финансовая и страхования математика». М.: ОПиПМ, 1995. Т.2, Вып.4. - С. 527-555.

76. Ширяев А.Н. Основы стохастической и финансовой математики. В 2-х томах. Т.1. Факты. Модели -М.: ФАЗИС, 1998.

77. Щербин В.Е., Горкунов Э.С. Магнитный контроль качества металлов — Екатеринбург: НИСО УрО РАН, 1996.

78. Щукин А.Н. Теория вероятностей и ее применение в инженерно-технических расчетах М.: Советское радио, 1974.