Математические модели ценообразования на российском рынке ценных бумаг тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кесиян Грант Арутович

• Кесиян Грант Арутович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Кесиян Грант Арутович

Введение

Глава 1 Математические методы и модели финансового рынка

1.1 Стохастические дифференциальные уравнения

1.2 Модели и методы технического анализа

1.3 Фрактальный анализ финансового рынка

Глава 2 Стохастические модели финансового рынка

2.1 Стохастическая модель финансового инструмента, учитывающая взаимосвязь цены,

объема и открытого интереса

2.2 Стохастические модели, связанные с техническим анализом

2.3 Математические модели схем Понци, учитывающие стохастическую природу принятия

решений

Глава 3 Анализ фондового рынка методами фрактальной теории

3.1 Методика подготовки обучающей выборки для повышения качества прогнозов в задачах

машинного обучения

3.2 Фрактальный анализ курса акций: нахождение периодических и непериодических циклов

3.3 Анализ методов генерации временных рядов с заданным параметром Харста

Глава 4 Комплекс программ для анализа фондового рынка

4.1 Библиотека классов для анализа и моделирования временных рядов

4.2 Настольное приложение для анализа рынка ценных бумаг на основе трендовых моделей и

индикаторов технического анализа

4.3 Приложения для построения моделей с калибровками

4.4 Приложения для процедур фрактального анализа и теории динамических систем227

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Акт внедрения научных результатов и положений диссертационной работы

Приложение Б. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программа для анализа стохастических финансовых пирамид

(StochasticFPyramidsBшMer)»

Приложение В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программа для прогнозирования временных рядов с применением псевдофазовой реконструкции и искусственных нейронных

сетей»

Приложение Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программа для нахождения периодических и непериодических

циклов временных рядов с помощью фрактального анализа»

Приложение Д. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программная библиотека классов для анализа и моделирования

временных рядов»

Приложение Е. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Анализ рынка ценных бумаг на основе эконометрических моделей

(RegressюnDiscovery)»

Приложение Ж. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Тестирование изменчивости структуры факторов

эконометрических моделей»

Приложение И. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Распознавание и прогнозирование случайных волн Эллиотта»

анализа

Приложение М. Функция для анализа методов генерации временных рядов с заданным параметром Харста

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели ценообразования на российском рынке ценных бумаг»

ВВЕДЕНИЕ

Рынок ценных бумаг или фондовый рынок является неотъемлемой частью любой национальной и даже мировой экономики. В соответствии с одним из базовых принципов рыночной экономики, движение цен на рынке связано с изменениями в соотношении спроса и предложения: если спрос превышает предложение, то цена растет, а если предложение превышает спрос, то цена падает. При этом очевидно, что изменение цены на любой актив любой компании может происходить в трех основных направлениях: вверх, вниз или оставаться почти на том же уровне. Таким образом, как бы не менялась ситуация на рынке в отношении спроса и предложения, она находит свое отражение в ценах.

Если говорить о движении рынка не просто как о движении цен, то изменению подвергаются и другие характеристики, например частота сделок или объем потребления (объемы лотов) и др. Но кроме чисто экономических факторов, на движение рынка могут влиять политика, психология, настроения и ожидания участников, а также многое другое. Учет влияния множества факторов, силу их воздействия на инвестиционный климат рынков представляется достаточно сложной задачей. Однако вместо того, чтобы пристально следить за сотнями показателей, изучать природу проявившихся изменений, достаточно оценить уже свершившийся эффект - историю движения рынка.

Благодаря накопившейся истории, большим массивам ретроспективных данных, а также стандартным паттернам поведения трейдеров и инвесторов, можно ожидать повторения ситуаций на рынке. Конечно, имеется ввиду не буквальное повторение, а некоторые схожие закономерности, которые позволяют оценить будущий тренд по свершившейся истории. А это в свою очередь означает, что можно применить достаточно формальные методы для прогнозирования рынка.

Также стоит вспомнить наличие отраслевых, национальных и глобальных индексов, которые отражают общее движение различных экономик и позволяют кон-

солидированно изучать направление движения определенного рынка. Такие индексы являются своего рода индикаторами инвестиционного настроения, за которыми уже следуют или последуют в будущем цены конкретных активов. Конечно, это в свою очередь служит еще одной причиной для формализации и последующей выработки выверенных методик для трейдеров или инвесторов.

Изучая финансовые временные ряды, можно заметить еще одну важную особенность: по графику ряда невозможно определить, в каком временном масштабе он представлен. Например, при сравнении минутного графика за 30 минут и дневного графика за 30 дней мы в обоих случаях увидим одинаковое количество точек, а также различные колебания графика вверх и вниз. Но ничего из этого не позволит нам сделать вывод о временном масштабе. Данное свойство схожести различных масштабов времени свидетельствует о том, что возможно использовать единую методологию прогнозирования рынка на различных инвестиционных горизонтах.

Из вышесказанного следует, что движение рынков может быть описано в строгих математических категориях, что подтверждается популярностью описанных ниже математических подходов, которые применяются для моделирования ценообразования на фондовом рынке.

Сегодня существует множество простых моделей ценообразования: Мертона [194], Хо и Ли [165], Дотхана [151], Блэка-Дермана-Тоя [130], Васичека [228], Кокса-Ингерсолла-Росса [143; 144], Халла и Уайта [168], Блэка и Карасинского

[131], Зандмана и Зондермана [211], Чена [139], Шмидта [213], Блэка-Шоулза

[132], Бреннана и Шварца [136], Хестона [164], Хагана [187], Клуппельберга, Линд-нера и Маллера [176], Конт и Рено [141], Гатерал [160], Воронцовского и Вьюненко [12; 14] и т.д., представленных в виде стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) в форме процессов Ито. Известны также работы, посвященные скачкообразным моделям, моделям со сплайнами и калибровками: Бейтса [126], Коу [177], Мертона [193], Скотта [214], Яна и Хэнсона [234], Малхотра, Шривастава и Танеджа [186], Сяо Юй [236], Афа, Супарти и Рахмавати [119], Пурнима, Виджая-

лакшми и Сомасундарам [204], в том числе из отечественных работа можно отметить подход Воронцовского А. В. и Вьюненко Л. Ф. [13], где строится прогноз с учетом точек поворота динамики тенденций.

Для многих стохастических уравнений и систем не существует точных решений, поэтому применяются другие подходы, позволяющие построить приближенные решения. Одним из таких подходов является применение численных схем. Исследование численных схем прослеживается в работах Мильштейна [196], Мильш-тейна и Третьякова [197], Клоедена и Платена [175], Бойс [135], Кушнера [179], из отечественных авторов отметим Кузнецова Д.Ф. [66], в работе которого приведено систематическое изложение проблем численного решения СДУ Ито, в том числе рассмотрены СДУ со скачкообразной компонентой, развивается подход, основанный на разложениях Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича, разработан и применен метод Фурье к численному решению СДУ Ито, впервые реализовано численное моделирование повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича с использованием системы полиномов Лежандра.

На практике при разработке краткосрочных и среднесрочных торговых стратегий (скальпинг, интрадей и др.) применяют методы технического анализа. Основные свои постулаты технический анализ вобрал из теории Чарльза Доу.

Технический анализ, его становление и применимость для российского рынка рассмотрено в работах таких российских экономистов, как М. Ю. Алексеев [1], Б..И..Алехин [2], В. П. Астахов [4], Е. С. Демушкина [22; 23], А.В. Ветров [9; 10], О. И. Мартынова [74], Я. М. Миркин [76], М. В. Кузнецов, П. Д. Нифатов и А. С. Овчинников [69; 70; 71], Б. Б. Рубцов [85; 86], Е. С. Стоянова [102; 103], К. Н. Ко-рищенко и Л. В. Храпченко [60], В. Н. Шенаев [114], А. А. Эрлих [115], А. И. Зайцев [33], Белова [5], Кан [34; 35], Кудряшов А.А. [63]. Применение технического анализа при управлении портфелем акций крупных российских компаний тщательно изучено И. Н. Треневым [105].

Однако первый толчок для разработки методов технического анализа дали западные ученые. Среди них можно выделить Мэрфи [77], Ахелиса [117], Фроста и Прехтер [157; 158], Т. Демарка [21], Р. Армса [122; 123], Дж. Бернстейна [129],

Т. Мейерса [195], Р. Колби [140], М. Принга [205; 206], В. Вайлдера [231], Цзян Ван [230], де Алмейда Р., Рейносо-Меза Г. и Штайнер М. Т. А. [147], Станкович Дж., Маркович И., Стоянович М. [218] и др. Важным инструментом технического анализа при определении изменчивости тенденции на рынке служит индикатор. Применение широко используемых индикаторов подробно рассмотрены в трудах [3; 5; 29; 117; 158; 195].

Вместе с тем в рыночных условиях методы и модели технического анализа обладают следующими недостатками:

- субъективное восприятие предлагаемых инструментов, так как каждый игрок по-своему воспринимает шаблоны (модели) на рынке;

- необходимость в более строгой формализации моделей;

- некоторые понятия технического анализа требуют обобщения.

В основе моделей ценообразования и технического анализа лежит гипотеза эффективного рынка, следствием которой являются некоторые из приведенных выше недостатков.

Ряд ученых (Б. Мандельброт [188; 189], Р. Л. Хадсон [73], Э..Петерс [80; 203] и др.) предприняли попытку разработать альтернативу гипотезе эффективного рынка - гипотезу фрактального рынка (fractal market hypothesis, FMH). В настоящее время подход с использованием фрактальной теории интенсивно исследуется, примерами могут служить работы Тебьяняна, Х., Джаханшада, А. и Хайдарпур, Ф. [222], Моради, М., Джаббари Ноогаби, М., и Рунаги, М. М. [198], Блэкледж, Дж., и Лампье, М. [133]. В работе Карамера Ю. [172] подытожены эмпирические исследования относительно наличия долговременной памяти и подтверждения FMH на различных финансовых временных рядах. Например, FMH подтверждена на следующих данных:

- доходность чешского фондового индекса за период 1993-2004 гг., метод -^/^-анализ;

- доходность турецкого фондового индекса (BIST 100) за период 1987-2007 гг., метод - ^/S-анализ;

- доходность LME (London Metal Exchange, Лондонская биржа металлов) за период 2007-2012 гг., параметрический метод - модель FARIMA (Fractional auto regressive integrating moving average);

- доходность индекса MSCI (Morgan Stanley Capital International) Asia (азиатские фондовые рынки) за период 2000-2020 гг., метод - MFDFA (Multifractal Detrended Fluctuation Analysis);

- и др.

Есть также обратный пример, когда FMH не подтверждается, например, для акций LSE (Лондонская фондовая биржа) за период 2007-2013, метод - коэволюци-онный алгоритм L-Co-R (Lags COevolving with Rbfns).

Однако применение FMH к российскому рынку ценных бумаг недостаточно освещено.

В последнее время мы наблюдаем, что модели, основанные на машинном обучении, начали играть значительную роль в построении прогнозов. Это происходит как благодаря наличию большого объема данных, так и благодаря развитию вычислительных средств. В том числе ряд работ посвящен прогнозированию цен на активы [161; 162], алгоритмической торговле [182; 208; 212], ценообразованию производных финансовых инструментов [118; 235] и прогнозированию цен акций и индексов [171; 181; 191; 192; 224].

Анализируя публикации по теме диссертационного исследования, можно заметить, что популярность данной проблемы росла вплоть до 2022 года. Например, в системе Web of Science (WoS), в результате поискового запросу «stock market pricing models» мы получили список из 17049 опубликованных работ. На Рисунке 1 показано количество публикаций, индексированных по данной тематике в WoS c 1970 г. по 2024 год.

Распределение по направлениям исследований можно визуализировать с помощью карты библиографического сходства, выполненной в программе VOSviewer по списку индексированных в WoS работ за период 2015-2024 гг. (Рисунок 2).

1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

i- ^

^ Ss s

КО

I.D Г-» КО

i^om LD

r-^cocoo^^1 a^ lalll .......lililí

Рисунок 1 - Динамика публикационной активности по запросу «stock market pricing models» в системе WoS с 1970 г. по 2024 г. Источник: составлено автором на основании данных WoS

. , asymmetnfidníormation corporate social responsible ^ •

corporateepvernance • COst o4*quitv

... » econoc

value фе vanee ^ «sus^áio^bility

prgpg j

dimat^jhanee

carborvmarket h<x*in{ ^ m ^

business cycles

emerging<iconom¡& financial crises financial d»eiopifc*nt ф ф

bayesian inference

capm

paneleara 'Ж

risk p<gmiurrr

¿harpt ra

social media

asset pricir^ ^ tl#lsactJonc,

[ ?tock r

inventory management deterioration

simulation

housing market agent-based modeling

housing prices

M»"5 . Inft0on

Mr

ketxnicrostructure •

r?7--- ^ ^щрп models %п^офгЬоок« ф

w — w v - MriiT I ; jflfta vpitdict''.« models

covid-19 finance # • deeP learning^ •

wavele^nalyiif'tr'.'ЯРДД^^цУtechnicaLipdkStors , %

time serieVorec^tmg

commodity pri«s ^

comoKimeiff

eold-

Иг technical

Жipwas w v . #

cride оф'игиге#

dean energy » , ЭТ"1*^^ • *

c»daa(lpnc^* тми^г»*^««.!, econiehys.cs eilpricathocks . .ojnmo,«» r»!«.,' ,

comple>enetwork garcin-midas model microttructur^noise

stock focecascing dasslication

Рисунок 2 - Карта библиографического сходства по 5613 публикациям, проиндексированным в WoS с 2015 по 2024 г., по тематике, связанной с моделями ценообразования на фондовом рынке. Источник: составлено автором на основании данных WoS и приложения VOSviewer

Анализ карты библиографического сходства показывает, что весь объем упомянутых публикаций может быть разделен на 4 кластера (с ограничением размера кластера не менее 45 публикаций). Сложно выделить четкие границы между кластерами, однако можно отметить особенности каждого из них:

- красный кластер: тематика пандемии, covid-19, финансовый кризис, скачки

и т.д.;

- зеленый кластер: стандартные вопросы оценки активов, доходности акций, классическая модель CAPM (Capital asset pricing model), факторные модели;

- синий кластер: машинное обучение, искусственные нейронные сети, глубокое обучение, Big Data, Data mining;

- желтый кластер: оптимизация портфеля, настроение инвесторов. По Рисунку 3 можно увидеть хронологию публикаций.

irÄrmatioCftas^fho^try W

* __ V asymmetrfÄ-ifornMtion

corporate socp responsib.ilit •-" W

corporate^jrtrnAce ГЛ^Ж / vdue WjftSnMlbbility !

—-Жн!' I

inventory rite nage ment deterioration

suppl^chain

invéffcory

.....™ . . „ ¡кхТ^Ш^ш

busmessoycl^ ^^TT^

emerging economiÄ "^--Oi

t -.: » с ■ I: ac<

financial iln> i lii|ifîiniH tir^AjM

china 49

. Inflatii>#.^22

fr^Aharpè ratio .

costS"

simuteition

housin^market

i \ agentli^Sjil modeling

commodpy-pcitts-^^/

'„¿rJ^Ovid-1 9 finance tejSpc

_ ? " deep learning^ >

■ * gold...

» Stock forecasting

buttle—ctearfenergy . С|Лаг ! oil pric#shocks ф

"njw •'».••¿ÎTÔVK^ lechn^aWftdîSïb ccfpi gflrch-nWas T'YW, i Y\ \

/7* ,: , ^унуг^

•ieiforecisting

crude oil price > monte \

A ê y.\ / H Л ecorn^h

commodity market \ ® (К V ж / principal com^nent analysis

comple>«network \ / \

ro*ructur^noise

dassHfcation

»ysics

' comple>eTetwork garch-midas model market mien

Рисунок 3 - Карта библиографического сходства по 5613 публикациям, проиндексированным в

WoS с 2015 по 2024 г., по хронологии публикаций: белый цвет 2015-2018 гг., желтый цвет 2019 г., зеленый цвет 2020 г., синий цвет 2021-2024 гг. Источник: составлено автором на основании данных WoS и приложения VOSviewer

В результате представленного анализа видно, что широко развиваются различные подходы к моделированию ценообразования. Однако, можно отметить ряд следующих предпосылок, которые свидетельствуют о необходимости дальнейших работы в этом направлении:

1. Известные модели не могут охватить все аспекты движения рынка ценных бумаг.

2. Фондовый рынок меняется:

2.1. Рынок адаптируется и различные подходы постепенно теряют свою эффективность.

2.2. Ранее найденные закономерности и эффекты могут быть переоценены. Также эффект со временем уменьшается.

2.3. Появляются события, влияющие на неопределённость (экономические и политические кризисы, пандемии, техногенные аварии и катастрофы и т.д.).

3. Модели технического анализа обладают рядом недостатков (субъективность восприятия графических моделей, необходимость в их более строгой формализации, возможность обобщения некоторых понятий и моделей).

4. Применение гипотезы фрактального рынка к российскому рынку ценных бумаг недостаточно освещено.

5. Появление современных средств разработки, приложений и больших массивов данных в открытом доступе позволяют разрабатывать новые методы, основанные на моделях с применением элементов искусственного интеллекта.

Таким образом, тема диссертации, направленной на создание и анализ математических моделей ценообразования на российском рынке ценных бумаг является актуальной проблемой. Научная проблема.

Научная проблема заключается в необходимости разработки новых математических методов, моделей, методологии математического моделирования для задач воспроизведения и прогнозирования траекторий финансовых инструментов на российском рынке ценных бумаг из разных секторов экономики, позволяющих применять современные инструменты обработки данных и обоснованно формировать индикаторы для систем поддержки принятия решений на фондовом рынке.

Цели и задачи исследования.

Цель диссертационного исследования заключается в разработке методологии, методов, моделей и реализации алгоритмов, включающих комплекс подходов технического и стохастического анализов, фрактального анализа и методов с элементами искусственного интеллекта и направленных на поддержку принятия решений для воспроизведения динамики финансовых инструментов на российском рынке ценных бумаг.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие задачи:

1. Разработка методологии, методики и алгоритмов по применению стохастических моделей в техническом анализе для формирования торговых индикаторов.

2. Разработка методологии по формированию обучающей выборки для прогнозирования движения финансовых инструментов с помощью методов, основанных на моделях с применением элементов искусственного интеллекта.

3. Разработка методики по выявлению периодических и непериодических циклов с помощью R/S-анализа.

4. Развитие стохастических моделей для воспроизведения траекторий прибыли и количества клиентов в схеме Понци.

5. Проверка гипотезы о целесообразности применения подхода, связанного с определением объема обучающей выборки исходя из R/S анализа в задачах машинного обучения для прогнозирования движения финансовых инструментов.

6. Проведение анализа методов генерации временных рядов с заданным параметром Харста.

7. Разработка алгоритмов и реализация программ для проведения численных экспериментов для задач диссертационной работы.

Объект исследования: рынок ценных бумаг Российской Федерации.

Предмет исследования: закономерности формирования траекторий цен на фондовом рынке России.

Рабочая гипотеза.

Предполагается развить стохастических модели, описывающие траектории финансовых инструментов на российском рынке ценных бумаг из разных секторов экономики; разработать методологию поддержки принятия решения на фондовом рынке, состоящую в объединении стохастического и технического анализов, а также в развитии подготовительных этапов обработки данных, основанных на фрактальной теории для задач машинного обучения.

Методология и методы исследования. При решении поставленных задач в работе использован комплекс технического и стохастического анализов, методы фрактальной теории, теория динамических систем, модели машинного обучения, статистические методы математического моделирования, эконометрические модели. Для проведения экспериментов были применены численные схемы решения СДУ, метод максимального правдоподобия, критерий логарифма отношений максимальных правдоподобий, /-критерий Стьюдента, искусственные нейронные сети, ЛУЗ-анализ, ^статистика, анализ кривой Е(Я/£!), визуальный анализ графиков и диаграмм.

Информационная база.

Информационной базой исследования послужили данные Московской биржи, труды отечественных и зарубежных ученых, материалы интернет-ресурсов.

Нормативно-правовая база.

Нормативно-правовая база диссертации - законодательные и нормативные акты Российской Федерации.

Соответствие темы диссертации требованиям паспорта специальности научных работников. Тема диссертации соответствует паспорту специальности 5.2.2. - Математические, статистические и инструментальные методы в экономике, в частности (цитируется по

https://vak.minobrnauki.gov.ru/uploader/loader?type= 17&name=92259542002&f= 1526 3):

1. Теоретические и методологические вопросы применения математических, статистических, эконометрических и инструментальных методов в экономических

исследованиях.

3. Разработка и развитие математических и эконометрических моделей анализа экономических процессов (в т.ч. в исторической перспективе) и их прогнозирования.

11. Компьютерные методы и программы моделирования экономических процессов.

Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается выбором адекватных моделей, применением строгих математических методов, сравнением с результатами других авторов и с литературными экспериментальными данными, в тех случаях, когда это возможно.

Научная новизна.

1. Предложена методология применения стохастических моделей в техническом анализе, в частности, предложены стохастические линии тренда с калибровками; для волновой модели Эллиотта разработан критерий, позволяющий выявлять местонахождения смен одних волн другими, а также предложен алгоритм автоматического поиска волн Эллиотта и реализована соответствующая программа; предложена модель финансового инструмента, учитывающая взаимосвязь цены, объема и открытого интереса в виде системы СДУ и приведено решение для случая линейной системы. Из общей модели выведены модель краткосрочной торговли и модель с интерпретируемыми показателями. Для модели краткосрочной торговли выведена формула стационарной плотности и реализованы скрипты на языке python.

2. Представлена методика подготовки обучающей выборки для повышения качества прогнозов траекторий финансовых инструментов в задачах машинного обучения с применением теории динамических систем. Описан этап предобработки данных, выбора основных и дополнительных параметров, процесс обучения и метод построения прогнозов. Проверена гипотеза о выборе объема обучающей выборки исходя из R/S анализа. Проведен анализ влияния резких возмущений на рынке на качество прогнозов. С помощью реализованных алгоритмов на языке

python проведены численные эксперименты на современных данных для трех финансовых инструментов из разных секторов экономики.

3. Представлена методика выявления периодических и непериодических циклов с помощью фрактального R/S-анализа. Проведены эксперименты на современных данных финансовых инструментов из разных секторов экономики. Описаны условия проведения экспериментов, реализованы соответствующие алгоритмы и представлены результаты по идентификации циклов.

4. Представлено семейство стохастических моделей, позволяющих описать траектории прибыли и количества клиентов в схемах Понци. Предложена методика, позволяющая определить начало безубыточной деятельности, точку максимума прибыли и время банкротства в схемах Понци. Показаны статистические характеристики моделей, представлены траектории с помощью точных решений и с применением численных схем. Реализована программа для проведения численных экспериментов.

Теоретическая значимость:

1. Развитие стохастических моделей финансовых инструментов и их применение в техническом анализе, что определяет теоретическую базу для исследования траекторий цен на фондовом рынке, а также для осуществления прогнозов и разработки торговых стратегий.

2. Траекторное описание прибыли и динамики клиентов в схемах Понци, а также методика, позволяющая определить начало безубыточной деятельности, точку максимума прибыли и время банкротства, представляют собой инструментарий для выявления такого рода финансовых структур.

3. Адаптация теории динамических систем к методу формирования обучающей выборки в моделях, применяющих элементы искусственного интеллекта, представляют методологию по повышению качества прогнозов временных рядов.

4. Методика идентификации периодических и непериодических циклов с помощью R/S анализа является теоретической базой для формирования среднесрочных и долгосрочных прогнозов относительно повторяющихся паттернов поведения в финансовых инструментах.

Практическая значимость. Разработанная методология применения стохастических моделей в техническом анализе позволяет не только снизить фактор субъективности, но и представляет базу для дальнейшего конструирования индикаторов торговли на фондовом рынке. Описанные методы фрактальной теории помогают выявлять наличие периодических и непериодических циклов финансовых инструментов, а также подготовить временные ряды для последующего прогнозирования трендов с помощью нейронных сетей. Реализованный комплекс программ вместе с установленными закономерностями на российском финансовом рынке могут быть использованы научно-исследовательскими группами, проектными организациями для изучения конъюнктуры, инвесторами для эффективных вложений, а также трейдерами для торговли на разных инвестиционных горизонтах.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на:

- 3-х Международных конференциях: IX международная научно-практическая конференция «Перспективные научные исследования - 2013» (Болгария, г. София, 17-25 февраля 2013 г.), IX международная научно-практическая конференция «Дни науки - 2013» (Чехия, г. Прага, 27.03.2013-05.04.2013) и X международная научно-практическая конференция «Новости научной мысли - 2014» (Болгария, г. София, 17.05.2014-25.05.2014);

- 2-х Всероссийских конференциях: VIII и X Всероссийские конференции «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2011 и 2013 гг.);

- 8 научных конференциях студентов и аспирантов КубГУ (2011-2013 гг.);

- научных семинарах кафедры прикладной математики КубГУ (20112012 гг.).

Личный вклад автора. Основные результаты работы получены лично автором: предложена методология применения стохастических моделей в техническом анализе; построены стохастическая модель финансового инструмента, учитывающая взаимосвязь цены, объема и открытого интереса, стохастическая модель краткосрочной торговли для акций, стохастическая модель с интерпретируемыми пока-

зателями для деривативов, стохастическая модель описывающая траектории прибыли и количества клиентов в схемах Понци; для моделей представлены точные решения или результаты применения численных схем; представлена методика подготовки обучающей выборки для повышения качества прогнозов траекторий финансовых инструментов в задачах машинного обучения, представлена методика выявления периодических и непериодических циклов с помощью фрактального R/S-анализа; разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию ценообразования российского рынка ценных бумаг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 34 печатных работ, из них 1 монография, 12 статей, 13 тезисов докладов, 8 свидетельств о государственной регистрации программы для ЭВМ (электронная вычислительная машина), в том числе 1 статья в журнале, индексируемом в Scopus, 7 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских и кандидатских диссертаций, 3 статьи в зарубежных журналах.

Внедрение. Результаты диссертации использованы в программных разработках ООО «СимбирСофт» для краткосрочного анализа временных рядов операционных показателей и прогнозирования показателей, участвующих в оценке эффективности деятельности структурных подразделений (имеется акт о внедрении (Приложение А)).

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 236 наименований, 11 приложений. Работа изложена на 280 стр., в том числе содержит 117 рисунка, 2 таблицы.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи, перечислены результаты, выносимые на защиту, сформулированы научная новизна и практическая ценность исследования, определен личный вклад автора, указано содержание работы по разделам.

В первой главе проводится анализ трех подходов, применяемых при анализе и моделировании ценообразования на российском рынке:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кесиян Грант Арутович, 2025 год

/ / / /

/ / \

/ / П=18 П=48

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

/одш(л)

Рисунок 83 - К-статистика, десятидневные логарифмические доходности цен закрытия акций Роснефть за период 05.07.2007-24.09.2024. п - длины периодов. Источник: составлено автором в

программе JupyterLab

!У5-апа|у5|5 5ВЕВ 20.07.2004-20.09 2024 (10 Рау). п=[12,432]

• ¡оа,М15)

— и * 1о — и 1еаг гедгеБзюп, /одю(Н/5) ?1о(Е(К/5» 1еаг гедге55юп, /одю(Е(К/5}) У

н= 0 5172 Л =0.5843

• • У}

1

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

/О01О<Л)

Рисунок 84 - Результат построения регрессии для периодов из [12,432], десятидневные логарифмические доходности цен закрытия акций Роснефть за период 05.07.2007-20.09.2024. п -длины периодов. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

Таким образом цикл в 540 однодневных доходностях не подтвердился на низких частотах (пятидневных и десятидневных), т.е. приходим к выводу, что на однодневных доходностях цен закрытия акций Роснефть нет детерминированных циклов. Кроме того, показали, что ряд является антиперсистентым для одноднев-

ных и пятидневных данных, а для десятидневных данных - случайным. Это свидетельствует о том, что во временном ряде преобладает процесс с кратковременной памятью.

Приведем результаты проведенных экспериментов:

- выявлен непериодический цикли 1680 дней для логарифмических доход-ностей цен закрытия обычных акций Сбербанка России за период с 20 июля 2004 г. по 3 октября 2024 г.;

- на логарифмических доходностях цен закрытия акций ПАО «НК «Роснефть» за период с 5 июля 2007 г. по 5 октября 2024 г. детерминированных циклов не обнаружено.

Будущие работы могут быть связаны с исследованием более высокочастотных данных (например, часовые, 30 минутные и т.д.), сравнением с другими методами поиска циклов, разработкой индикаторов технического анализа и стратегий торговли на основе циклов и т.д.

3.3 Анализ методов генерации временных рядов с заданным параметром

Харста

В данном параграфе проведен сравнительный анализ семи методов моделирования дробно-разностного шума, дополняющий результаты работы [40]. Следует отметить, что для выполнения анализа предварительно производится выбор метода для оценки экспоненты Харста, который будет влиять на критерии сравнения.

3.3.1 Постановка задачи для проведения сравнительного анализа методов генерации

Было выбрано семь методов моделирования дробно-разностного шума: прямой метод определения, метод Хоскинга, метод Дэвиса и Харта, метод циркулянт-ных вложений, метод Пакссона, метод спектрального моделирования и циркулянт-ный метод Лоуэна, рассмотренных в п 1.3.3.

Необходимо провести сравнительный анализ указанных методов на возможность моделирования дробно-разностного шума с заданным параметром - экспо-нентой Харста так, чтобы оценки параметра Харста статистически не отличались от заданного эталонного значения.

До непосредственного анализа необходимо подобрать метод оценки параметра Харста, который будет влиять на критерии качества методов моделирования дробно-разностного шума.

В работе [167] проанализированы шесть наиболее популярных методов оценки экспоненты Харста: метод нормированного размаха (R/S метод), метод совокупной дисперсии (Aggregated Variance method), метод абсолютных значений (Absolute Value method), метод дисперсии остатков (Variance of Residuals method), метод периодограммы (Periodogram method), и метод Уиттла (Whittle method). По результатам анализа в данной работе был сделан вывод, что из шести методов метод Уиттла лучше всех производит оценку параметра Харста временных рядов с долговременной памятью, к которым добавлены различные типы шумов (гауссов-ский шум и симметричный а-стабильный шум). Но для временных рядов с долговременной корреляционной структурой без добавления шумов лучшим оказался метод дисперсии остатков, так как он производит несмещенные оценки почти для всех значений показателя Харста (0<Ж1).

Таким образом, учитывая, что рассмотренные методы генерируют временные ряды без наложения сторонних шумов, приходим к выводу: для их анализа лучше всего подходит метод дисперсии остатков.

Метод дисперсии остатков (Variance of Residuals method) предложен в работе [199]. Опишем алгоритм получения оценки параметра H с помощью данного метода.

1. Исходный ряд X1, ..., XN разбить на блоки размера п.

2. Для каждого блока построить последовательность частичных сумм

n

Vk > 0: (к + 1)m < N V1 < j < n ¥к (j) = £ Xkn+1.

1=1

3. Внутри каждого блока, по значениям (j,Yk(j)) построить прямую методом наименьших квадратов, y=ak+bkj. Рассчитать выборочную дисперсию отклонений от этой прямой по формуле

1 n

ТкП = - £ (Y (j) - ak - bkj)2 .

n j=1

4. Получить ET(n) - усреднения значений t(n) полученных при разных k. При n е[1007,102'5] для усреднения используется выборочная медиана, в остальных случаях - выборочное среднее [221, с. 190].

5. Повторить шаги 1-4 для всех блоков из диапазона n е [10; N /10].

6. По значениям (iog10(n),iog10(ET(n))) построить прямую методом наименьших квадратов, z = log10 (Сн) + 2H log10 (n)), угол наклона которой соответствует удвоенной оценке параметра Харста.

3.3.2 Методика проведения анализа

Для проведения анализа методов генерации временных рядов с заданной экспонентной Харста предложена следующая процедура.

Для каждого анализируемого метода выполнить следующие шаги.

1. Генерация 100 траекторий для заданного значения H выбранным методом: х(к)(t), к = 1, ...,100, t = 0,..., N-1, где k - номер траектории, N - длина моделируемого процесса.

2. Получение оценок экспоненты Харста по каждой из 100 траекторий с помощью метода дисперсии остатков. Таким образом, имеем ряд оценок н(к), к = 1,...,100.

4. Проводим одновыборочный t-критерий Стьюдента с двусторонней альтернативой для проверки гипотезы й0: e(Й(к)) = й с уровнем значимости 0,01.

5. Делаем вывод о том, что для данного параметра H метод генерации «хороший», если тест Стьюдента пройден на уровне значимости 0,01.

6. Повторяем шаги 1 -5 для H е {0,1,0,2,0,3,0,4,0,6,0,7,0,8,0,9}.

Отметим, что длина каждой выборки была выбрана N=2160. Среди чисел не превосходящих 2500 выбранное число имеет наибольшее количество делителей и является наибольшим по значению среди чисел с таким же количеством делителей. Напомним, что от длины ряда и количества делителей зависит точность оценки параметра H методом дисперсии остатков.

Дополнительно мы строим диаграмму «ящик с усами» (box and whiskers plot или boxplot), которая показывает отклонения каждой оценки от теоретического значения Й - H. На диаграмме прямоугольник формируется от нижнего квартиля (квантиля 25%) до верхнего квартиля (квантиля 75%) с медианой посередине. Усы строятся от прямоугольника до точки, лежащей в пределах 1,5 межквартильного размаха. Выбросы - это значения за пределами концов усов, они отмечены квадратами.

3.3.3 Численные эксперименты

Полученные результаты экспериментов, проведенных в соответствии с процедурой, описанной в п. 3.3.2 представлены в Таблице 2.

В строках таблицы представлены методы генерации, а в столбцах - параметры Харста. На пересечении строк и столбцов символом «+» обозначено принятие нулевой гипотезы t-критерия Стьюдента о равенстве среднего значения оценок и теоретического параметра H на уровне значимости 0,01.

По таблице 2 видно, что первое место занимает метод циркулянтных вложений, так как прошел тест Стьюдента для большего количества параметров Н: 0,4, 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9.

Второе место разделили прямой метод определения и метод Дэвиса и Харта. Данные методы прошли тест для четырех параметров Н.

Таблица 2 - Результаты проведения ¿-теста для методов генерации временных рядов с заданным параметром Харста. На пересечении строк и столбцов символом «+» обозначено принятие нулевой гипотезы Н0 : Е(Н(к)) = Н ¿-критерия на уровне значимости 0,01. Источник: составлено ав-

Параметр Н 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9

Метод - - - - - - - -

Прямой метод определения - - - - + + + +

Метод Хоскинга - - - - - - + -

Метод Дэвиса и Харта - - - - + + + +

Метод циркулянтных вложений - - - + + + + +

Метод Пакссона - - - - - - - -

Метод спектрального моделирования - - - - - + - -

Циркулянтный метод Лоуэна - - - + - - - -

На третьем месте метод спектрального моделирования, циркулянтный метод Лоуэна и метод Хоскинга, которые прошли тест для одного параметра Н.

Последнее место занимает метод Пакссона, который не прошел тест ни для одного параметра Н.

Отметим, что на результаты проведенных тестов могло повлиять несколько факторов, например, распределение оценок отличное от нормального, особенности метода дисперсии остатков в зависимости от длины оцениваемого ряда и способов выбора длины блоков п.

На Рисунке 85 (а) представлен график средней оценки по каждому параметру Н в сравнении с теоретическими значениями Н для метода циркулянтных вложений. Видно, что метод генерирует временные ряды с небольшой переоценкой экспоненты Харста для Н е {0,1,0,2,0,3}. На Рисунке 85 (Ь) видны отклонения средней оценки от теоретического значения Н.

а Ь

Рисунок 85 - Метод циркулянтных вложений, длина каждой траектории #=2160, количество траекторий равно 100. (а) Теоретические значения параметра И и среднее их оценок ЕИея{, полученных методом дисперсии остатков. (Ь) Диаграмма отклонений среднего значения оценок от теоретического значения. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

График средних оценок и график их отклонений от теоретических значений для прямого метода определения представлены на Рисунке 86 (а) и Рисунке 86 (Ь). По сравнению с методом циркулянтных вложений отклонения от теоретических значений для Н<0,6 более заметны.

Modified Direct Definition Method. N=2160 Modified Direct Definition Method, N=2160

Рисунок 86 - Прямой метод определения, длина каждой траектории N=2160, количество траекторий равно 100. (а) Теоретические значения параметра И и среднее их оценок EHest, полученных методом дисперсии остатков. (Ь) Диаграмма отклонений среднего значения оценок от теоретического значения. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

График средних оценок и график их отклонений от теоретических значений для метода Дэвиса и Харта представлены на Рисунке 87 (а) и Рисунке 87 (Ь). Для данного метода также видны отклонения для Н<0,6, однако они заметно меньше, чем для прямого метода определения.

Davies and Harte Method, N=2160

Davies and Harte Method, N=2160

ЕНа

t

0.4 0.5 о.б H (nominal value)

I 1

1 1 1 1

1 i

1 1

1 i i

1 —i

_1

MB-

-0.05 0.00 0.05 0.10

Deviation of the nominal value

а Ь

Рисунок 87 - Метод Дэвиса и Харта, длина каждой траектории #=2160, количество траекторий равно 100. (а) Теоретические значения параметра Н и среднее их оценок ЕНвя1, полученных методом дисперсии остатков. (Ь) Диаграмма отклонений среднего значения оценок от теоретического значения. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

По Рисункам 88 (a) и 88 (b) видно, что циркулянтный метод Лоуэна генерирует временные ряды с сильно недооцененной экспонентой Харста для H>0,5, что ожидаемо, так как он используется для генерации процесса FBM именно при

H g (0,0,5).

Lowen's method, N=2160 Lowen's method, N=2160

Рисунок 88 - Циркулянтный метод Лоуэна, длина каждой траектории N=2160, количество траекторий равно 100. (а) Теоретические значения параметра И и среднее их оценок EHest, полученных методом дисперсии остатков. (Ь) Диаграмма отклонений среднего значения оценок от теоретического значения. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

Отклонения для остальных методов можно наблюдать по графикам, изображенным на Рисунках 89 (а, Ь), 90 (а, Ь) и 91 (а, Ь). Анализ графиков говорит о том, что данные методы демонстрируют значительные отклонения для большинства параметров И.

Paxson Method, N=2160

Paxson Method, N=2160

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

ЕНе t

0.2 0.3

0.4 0.5 0.6 H (nominal value)

0.8 0.9

0.9

0.8

0.7

1 0.6

га

с

I 0.4 е;

X

0.3 0.2 0.1

__1

\ 1

1 1

_г —Г~П

t 1 —пп

1__

П1 Г —1

öl L -J г —1

L __1

-0.2 -0.1

Deviation of the nominal value

а Ь

Рисунок 89 - Метод Пакссона, длина каждой траектории N=2160, количество траекторий равно 100. (а) Теоретические значения параметра И и среднее их оценок EHest, полученных методом дисперсии остатков. (Ь) Диаграмма отклонений среднего значения оценок от теоретического значения. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

Spectral Method, N=2160 Spectral Method, N = 2160

Рисунок 90 - Метод спектрального моделирования, длина каждой траектории N=2160, количество траекторий равно 100. (а) Теоретические значения параметра Н и среднее их оценок EHest, полученных методом дисперсии остатков. (Ь) Диаграмма отклонений среднего значения оценок от теоретического значения. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

Hoskmg Method, N=2160 Hosking Method, N=2160

H (nominal value)

а Ь

Рисунок 91 - Метод Хоскинга, длина каждой траектории N=2160, количество траекторий равно 100. (а) Теоретические значения параметра Н и среднее их оценок EHest, полученных методом дисперсии остатков. (Ь) Диаграмма отклонений среднего значения оценок от теоретического значения. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

Ввиду того, что генераторы не проходят ¿-тест для всех сразу значений параметра Н, можно сделать предположение о том, что вместо поиска универсального метода для точной генерации процессов на всем множестве значений параметра Н необходимо использовать гибридный подход, состоящий в применении разных методов для разных значений Н.

Многие авторы [163; 167; 225] при использовании тех или иных методов для оценки экспоненты Харста не тестируют эти методы на синтетических данных.

Между тем апробация различных алгоритмов сразу на реальных данных может привести к неправильной оценке корреляционной структуры временного ряда ввиду несостоятельности используемых методов и в конечном счете к неправильным выводам. Кроме того, используемые методы должны быть протестированы на устойчивость относительно шумов и эффектов кратковременной памяти, которые могут вызвать смещение оценок.

И наконец, для анализа методов синтетической генерации процессов с долговременной корреляционной структурой необходима уверенность в алгоритмах, которые оценивают экспоненту Харста.

Методы генерации временных рядов с долговременной корреляционной структурой позволяют нам проводить эксперименты и изучать такого рода процессы. Появляется возможность оценивать их количественные характеристики, выявлять закономерности изменений этих характеристик при добавлении различных шумов, анализировать корреляционную структуру при наложении фильтров кратковременной памяти и т.д.

Таким образом, сравнительный анализ методов генерации временных рядов с заданным параметром Н позволяет более эффективно подбирать используемые инструменты фрактального анализа.

Отметим, что в рамках работы было создано приложение, предоставляющее пользователю оперативный доступ к инструментарию для генерации временных рядов с заданным параметром Н [101].

Подведем основные результаты данной главы.

1. Описана общая задача машинного обучения с учителем, в частности, задача прогнозирования временных рядов. Представлена методика подготовки обучающей выборки для повышения качества прогнозов траекторий финансовых инструментов в задачах машинного обучения с применением теории динамических систем, которая заключается в проверке наличия автомодельности системы и последующей реконструкции одномерного временного ряда в многомерный методом Ф.Такенса. Описан этап предобработки данных, этап выбора семейства моделей,

функционала ошибки, метода обучения и дополнительных параметров, процесс обучения и метод построения прогнозов. Проверена гипотеза о выборе объема обучающей выборки исходя из накопленной памяти динамической системы, что определяется достижением максимального значения параметра Харста как функции от времени H(t), t е [0, T]. Реализованы алгоритмы на языке python для проведения численных экспериментов, показаны результаты прогнозирования для трех финансовых инструментов.

2. Описана методика выявления периодических и непериодических циклов с помощью фрактального ЛУ5-анализа. Описаны условия проведения численных экспериментов: порядок предобработки данных и особенности определения объема выборки. Проведены численные эксперименты для двух финансовых инструментов, представляющих разные секторы экономики. Реализованы алгоритмы и представлены результаты по идентификации циклов.

3. Проведен анализ семи методов генерации временных рядов с заданной экспонентной Харста, а именно, описана постановка задачи, методика проведения анализа и продемонстрированы результаты численных экспериментов. Для проведения экспериментов реализованы соответствующие алгоритмы на языке python.

ГЛАВА 4 КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ АНАЛИЗА ФОНДОВОГО РЫНКА

В данной главе описан набор программ, часть из которых представлен в работе [42, с. 119].

4.1 Библиотека классов для анализа и моделирования

временных рядов

В данном параграфе в рамках программной библиотеки анализа и моделирования временных рядов описывается архитектура классов, которая позволяет создавать многоалгоритмические методы [45]. Основным достижением является представленная модификация паттерна проектирования «Стратегия», которая исключает недостатки использования стандартного шаблона. Кроме того, описаны преимущества проектирования в соответствии с интерфейсами и абстрактными классами, а также продемонстрирован механизм делегирования и применения паттерна «Шаблонный метод».

Для данной библиотеки классов было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [91] (Приложение Д).

Платформа разработки: .Net Framework.

Язык программирования: C#.

Тип приложения: DLL (Dynamic Link Library - динамически подключаемая библиотека).

4.1.1 Многоалгоритмические методы

Одним из главных результатов данной работы является адаптация паттерна проектирования «Стратегия» («Strategy») к программной библиотеки анализа и мо-

делирования временных рядов. Дело в том, что при программировании математических методов важно добиться поддержания одновременно нескольких алгоритмов для каждого метода. Поэтому при создании библиотеки классов мы использовали шаблон «Стратегия», который позволит:

- иметь несколько разных вариантов алгоритма для каждого метода, например, можно определить два варианта алгоритма, один из которых требует больше времени, а другой - больше памяти;

- скрыть от клиента данные алгоритма, не раскрывая сложных, специфичных для алгоритма структур.

К сожалению, применение паттернов в чистом виде вызывает ряд сложностей. В нашем случае использование паттерна «Стратегия» имеет два основных недостатка.

Во-первых, клиенты должны знать о различных стратегиях. Для выбора подходящего алгоритма клиент должен понимать, чем они отличаются. Поэтому придется раскрыть клиенту некоторые особенности реализации.

Во-вторых, при решении задачи проектирования многоалгоритмических методов необходимо контролировать соответствие алгоритмов и методов, так как паттерн «Стратегия» не запрещает одним экземплярам контекста (метода) использовать стратегии (алгоритмы), которые предназначались для других экземпляров.

Избежать указанных недостатков поможет предложенная архитектура классов, показанная на Рисунке 92.

Рисунок 92 - Диаграмма классов для методов, поддерживающих множество алгоритмов. Источник: составлено автором в программе StarUML

Как видно из Рисунка 92, абстрактный класс MultyAlgorithms, который выполняет роль контекста [82], наследуется от интерфейса ICompatibility, а также агрегирует интерфейс IAlgorithm (стратегия). В отличие от обычного паттерна «Стратегия», наш интерфейс IAlgorithm не содержит метода, который представляет собой реализацию алгоритма. Это сделано для того, чтобы будущие потомки IAlgorithm содержали любую сигнатуру такого метода. Дело в том, что определить заранее, какой набор параметров понадобится для того или иного метода, невозможно, а универсализация набора параметров, например, списком объектов, приведет к неоднозначному восприятию клиентами сигнатур методов, а также к сложным проверкам при их реализации.

Напомним, что в сигнатуру метода входят: имя метода, количество параметров, порядок параметров, типы параметров и модификаторы параметров.

Интерфейс IAlgorithm содержит сигнатуры представленных далее методов.

Description - метод, возвращающий описание особенностей данного алгоритма в виде строки. Таким образом, информация о том или ином алгоритме закладывается уже на уровне интерфейса и доступна только через него. Поэтому клиент

не будет знать ничего о реализации, но при этом всегда сможет получить информацию о данном алгоритме, реализующем некоторый метод. Заметим, что вместо строкового типа можно было использовать перечислимый тип в качестве возвращаемого типа данного метода, который содержал бы набор привычных видов алгоритмов. Но такой подход ограничил бы возможность расширения видов алгоритмов, так как весь набор видов был бы фиксирован на уровне компиляции.

GroupOfAlgorithm - метод, который возвращает значение перечислимого типа GroupsOfAlgorithm. Каждое такое значение свидетельствует о принадлежности данного алгоритма определенной группе. Другими словами, каждый алгоритм будет связан только с одним методом. Метод GroupOfAlgorithm будет использоваться для того, чтобы контролировать соответствие алгоритмов и методов. На Рисунке 92 продемонстрированы такие значения типа GroupsOfAlgorithm, как: None -неопределенная группа; Users - пользовательская; группы, реализующие методы генерации временных рядов с заданным параметром Харста (Hosking - метод Хос-кинга, CirculantEmbedding - метод циркулянтных вложений и т.д. (п. 1.3.3)); группы, реализующие методы, оценивающие экспоненту Харста (VarianceOfResiduals - метод дисперсии остатков (п. 3.3.1), RescaledRangeAnalysis - метод нормированного размаха (п. 1.3.2)).

Интерфейс ICompatibility наделяет своих наследников возможностью проверять на соответствие алгоритмы и методы. Метод CheckCompatibility, который содержится в данном интерфейсе, имеет один аргумент - алгоритм, требующий проверки на возможность применения в текущем методе. Результат метода CheckCompatibility - это значение булевского типа, которое и говорит об искомой совместимости. Конечно, сами по себе интерфейсы мало чем полезны. Однако, реализуясь в классах или структурах своим уникальным образом, они позволяют получать доступ к дополнительным функциональным возможностям за счет применения ссылки на них в полиморфной форме [20; 82]. Следовательно, можно прогнозировать будущее расширение библиотеки, в которой могут появиться другие классы, реализующие метод CheckCompatibility.

На Рисунке 93 продемонстрирован программный код абстрактного класса MultyAlgorithms, из которого видно, что метод доступа set (мутатор) свойства Algorithm содержит проверку на соответствие данного многоалгоритмического метода и алгоритма, передаваемого с помощью контекстно-зависимого ключевого слова value. При этом используется метод CheckCompatibility, реализация которого содержит абстрактное свойство GroupOfAlgorithms.

public abstract class MultyAlgorithms : ICompatibility

private IAlgorithm m_Algorithm = null; public IAlgorithm Algorithm

{

get { return m_Algorithm; } set

if (!CheckCompatibility(value))

throw new ArgumentException(@"Алгоритм не совместим с данным метолом!"); m Algorithm = value;

public abstract GroupsOfAlgorithms GroupOfAlgorithms { get; }

public bool CheckCompatibility(IAlgorithm alg)

{

if (alg.GroupOfAlgorithm == GroupOfAlgorithms) return true;

return false;

Рисунок 93 - Программный код абстрактного класса MultyAlgorithms (контекст в паттерне проектирования «Стратегия»). Источник: составлено автором в программе Visual Studio

Таким образом, мы предоставляем возможность наследникам класса MultyAlgorithms самим решить, к какой группе алгоритмов относится данный метод. Такой прием называется шаблонным методом (TemplateMethod). Шаблонный метод - это паттерн поведения классов, который определяет основу алгоритма и позволяет подклассам переопределить некоторые шаги алгоритма, не изменяя его структуру в целом. Шаблонный метод - один из фундаментальных приемов повторного использования кода, который особенно важен в библиотеке классов, так

как предоставляет возможность вынести общее поведение в библиотечные классы [82].

4.1.2 Архитектурное решение для алгоритмов

Рассмотрим создание наследуемой базы алгоритмов на примере проектирования алгоритмов, генерирующих временные ряды с заданным параметром Харста (п. 1.3.3). Данное решение продемонстрировано на Рисунке 94.

Для того чтобы проектировать в соответствии с интерфейсами, был создан интерфейс IAlgorithmGeneration, который является родителем для всех алгоритмов генерации временных рядов с заданным параметром Харста. Этот интерфейс наследуется от интерфейса IAlgorithm, поэтому его могут агрегировать наследники абстрактного класса MultyAlgorithms. Кроме того, интерфейс IAlgorithmGeneration включает сигнатуру метода генерации Execute.

Метод Execute содержит два параметра:

- H - экспоненту Харста, число вещественного типа;

- T - длину генерируемого ряда, целое число.

Результатом выполнения указанного метода является список чисел вещественного типа, хранящий значения сгенерированного временного ряда длины T, корреляционная структура которого характеризуется параметром Харста H.

Наследники интерфейса IAlgorithmGeneration по-своему реализуют свойства GroupOfAlgorithms, Description, а также метод Execute.

На Рисунке 94 показана пара алгоритмов, которая генерирует временные ряды прямым методом определения (DDMBasicAlgorithm и DDMQuickAlgorithm), и пара алгоритмов, которая генерирует временные ряды методом Хоскинга (HoskingBasicAlgorithm и HoskingQuickAlgorithm).

Классы DDMBasicAlgorithm и DDMQuickAlgorithm одинаково реализуют свойство GroupOfAlgorithms. Это означает, что они принадлежат одной группе ал-горимов. Однако при реализации свойства Description указываются разные описания, характеризующие особенности того или иного алгоритма. Например, для

класса DDMBasicAlgorithm можно указать, что это основной алгоритм, а для DDMQuickAlgorithm - быстрый алгоритм.

Рисунок 94 - Диаграмма классов для алгоритмов, генерирующих временные ряды с заданным параметром Харста. Источник: составлено автором в программе StarUML

Аналогично предыдущим рассуждениям классы HoskingBasicAlgorithm и HoskingQuickAlgorithm одинаково реализуют свойство GroupOfAlgorithms, так как относятся к одной группе алгоритмов (выполняют генерацию временных рядов по методу Хоскинга).

Рассмотренное архитектурное решения для алгоритмов позволяет:

- создавать алгоритмы генерации с другой сигнатурой методов;

- информировать пользователя об особенностях того или иного алгоритма;

- динамически подменять алгоритмы, которые относятся к одной группе.

4.1.3 Архитектурное решение для методов

Для использования преимуществ указанной модификации паттерна «Стратегия» нами предложена архитектура классов, пример которой продемонстрирован на Рисунке 95.

Рисунок 95 - Диаграмма классов для методов, генерирующих временные ряды с заданным параметром Харста. Источник: составлено автором в программе StarUML

Как показано на Рисунке 95, абстрактный класс BaseGenerationMethod, который отвечает за методы генерации временных рядов с заданным параметром Хар-ста, наследуется от базового класса многоалгоритмических методов MultyAlgorithms, а также от двух интерфейсов: IGenerationMethod и ISeries. IGenerationMethod включает сигнатуру метода генерации ExecuteMethod, который содержит такие же параметры, как и метод Execute интерфейса IAlgorithmGeneration (H и T). Интерфейс ISeries содержит сигнатуры методов для

работы с рядами Series. Так, GetSeriesByName позволяет получить ряд по его имени; GetSeriesByInd - получить ряд по его индексу; GetSeriesesNames - возвратить список имен рядов; Count - возвратить количество рядов.

Класс Series служит для внутреннего представления данных. Кроме методов для работы со списком вещественных чисел, класс Series содержит название ряда, что позволяет удобно идентифицировать его в системе.

Функционал для работы со списком рядов в данной архитектуре выделен в отдельный класс ListSeries, который реализует интерфейс ISeries, а также содержит два дополнительных метода: Checking, позволяющий проверить наличие того или иного ряда, и AddSeries, добавляющий ряд в список имеющихся. Внутри себя метод AddSeries содержит проверку с использованием метода Checking, таким образом запрещая добавлять ряды с именами, которые уже есть в наличии.

Класс BaseGenerationMethod агрегирует ListSeries и делегирует ему методы, реализующие интерфейс ISeries.

Реализация метода ExecuteMethod продемонстрирована на Рисунке 96:

public void ExecuteMethod(string 5eriesNarne, double H, int T)

(Algorithm as AlgorithmsGeneration. IAlgor ithrriGeneration) . Execute (H, T)

Рисунок 96 - Пример реализации исполнения многоалгоритмического метода. Источник: составлено автором в программе Visual Studio

Как видно из Рисунка 96, метод ExecuteMethod передает выполнение непосредственного исполнения генерации методу Execute текущего алгоритма, который является наследником интерфейса IAlgorithmGeneration.

Рассмотренная композиция классов дает возможность:

- создавать другие методы генерации и динамически их подменять;

- эффективно создавать и использовать различные структуры внутреннего представления данных;

- быстро расширять набор методов генерации временных рядов.

4.2 Настольное приложение для анализа рынка ценных бумаг на основе трендовых моделей и индикаторов технического анализа

В параграфе представлено приложение, позволяющая импортировать данные финансовых инструментов в определенном формате, строить ряд индикаторов технического анализа, трендовые модели, выявлять скачки в параметрах трендовых моделей, анализировать относительную ошибку аппроксимации, коэффициент детерминации, F-статистику Фишера и использовать тест Дарбина-Уотсона для тестирования автокорреляции первого порядка.

Для данной программы было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [94] (Приложение Е).

Платформа разработки: .Net Framework, Windows Forms.

Язык программирования: C#.

Тип приложения: Desktop application - настольное приложение.

Требования к данным: данные формата .txt, которые предварительно загружены с помощью платформы брокера АО "Инвестиционная компания "ФИНАМ" через функционал экспорта данных с символом «,» в качестве параметра «Разделитель полей».

4.2.1 Архитектура классов приложения

Созданное приложение позволяет аппроксимировать движение таких характеристик японских свечей как цена открытия, цена закрытия, ценовой максимум,

ценовой минимум и объем посредством трендовых моделей. Кроме того, в приложении реализованы методы, выявляющие изменчивость моделей.

Вместе с этим, в п. 4.1 предложена модификация паттерна проектирования «Стратегия», которая информирует клиентов о различных типах алгоритмов без раскрытия особенностей их реализации, а также позволяет контролировать соответствие алгоритмов и методов. Мы развиваем данную идею на группе трендовых моделей.

На Рисунке 97 показана гибкая архитектура классов, определяющая организацию вышеуказанных методов и моделей, которые поддерживают многоалгорит-мичность [99].

Классы BaseTestVariability и BaseRegressions являются наследниками класса MultyAlgorithms, который уже на своем уровне определяет соответствие алгоритмов и методов. BaseRegressions реализует интерфейс IRegResults, сигнатуры которого позволяют работать с коллекцией типа ResultRegressions. Таким образом, основное назначение BaseRegressions связано с хранением и получением результатов эконометрического моделирования.

ResultRegressions содержит наименование результата Name, вектор оценочных значений модели Yest, вектор ошибок E, среднее значение моделируемого ряда Ym, такие характеристики как TSS, RSS, ESS, R, R2, Radj, и R2adj. Класс BaseRegressions реализует интерфейс IRegResults за счет перевызова соответствующих методов класса ListRegResult, который он агрегирует. ListRegResult, в свою очередь множественно агрегирует класс ResultRegressions.

Рисунок 97 - Архитектура классов для моделирования трендов. Источник: составлено автором

в программе StarUML

Классы BaseTrendModels, BaseSimpleRegression и BaseMultyRegression наследуются от BaseRegressions и от соответствующих интерфейсов (ITrendModel, \SimpleRegression, IMultyRegressionModels), которые задают сигнатуры требуемых методов.

В качестве конкретного метода, продемонстрирован класс LeastSquaresMethod, который предполагает вызов алгоритма, реализующего метод наименьших квадратов для множественной классической линейной регрессии.

4.2.2 Описание интерфейса приложения

Для использования основного функционала программы, необходимо импортировать данные с помощью пункта меню Файл - Импорт. После этого откроется

дочернее окно Котировки, в котором отображается наименование загружаемого файла, и тикер - краткое название акций компании (Рисунок 98).

Рисунок 98 - Импорт данных. Источник: составлено автором в программе RegressionDiscovery

С помощью пункта меню Анализ - График, можно построить график финансового инструмента, на котором отражены цены открытия или закрытия, объем, а также максимальная или минимальная цены за определенный период времени (Рисунок 99).

В приложении также можно строить скользящие средние с заданным параметром усреднения (Рисунок 100) и линии поддержки и сопротивления в автоматическом режиме (Рисунок 101). Напомним, что поддержкой называются точки предыдущих спадов, а сопротивлением - точки предыдущих пиков. Непосредственно линии строятся как трендовые регрессионные модели по точкам поддержки (линия поддержки) или точкам сопротивления (линия сопротивления).

Рисунок 99 - Отображение графика. Источник: составлено автором в программе

Ке§ге88юпБ18соуегу

Рисунок 100 - Индикатор скользящей средней. Источник: составлено автором в программе

Яе§ге881опБ18соуегу

Рисунок 101 - Линии поддержки и сопротивления. Источник: составлено автором в программе

Ке§ге88юпБ18соуегу

Еще одна доступная возможность в программе - это строить адаптивные линии тренда (п. 2.2.1). Для определения точного местонахождения скачков реализован критерий отношений максимальных правдоподобий. Для запуска алгоритма указывается два параметра: количество определяемых скачков и минимальная длина тренда. В результате пользователю отображаются точки, где одна тенденция сменяет другую (Рисунок 102).

ШШШШШШШШШШШШ

шшшшшшшшшшшш

ззззззззззззззззззззззззззззззззззззз

тпи

-

Рисунок 102 - Калибровки линий тренда. Источник: составлено автором в программе

Яе§ге881опБ18соуегу

В окне «Выбор модели» программа позволяет применить 6 встроенных моделей: линейная, экспоненциальная, полулогарифмическая, обратная, степенная и полином 2-й степени.

Для выбранной модели отображается коэффициент детерминации R-квадрат, результат критерия Фишера (^тест), статистика Дарбина-Уотсона, результат критерия Дарбина-Уотсона и относительная ошибка аппроксимации. Пример аппроксимации с помощью полинома 2-й степени представлен на Рисунке 103.

Рисунок 103 - Пример применения регрессионной модели. Источник: составлено автором в

программе RegressionDiscovery

С помощью меню «Трендовая аппроксимация» запускается анализ применимости сразу 6 трендовых моделей (рисунок 104).

Рисунок 104 - Анализ применимости трендовых моделей. Источник: составлено автором в программе RegressionDiscovery

Анализ результатов, представленных на рисунке 104 позволяет выбрать модель с наилучшими статистическими показателями.

4.3 Приложения для построения моделей с калибровками

Набор приложений, описанный в данном параграфе, применялся для проведения анализа и численных экспериментов из п. 2.2.

4.3.1 Настольное приложение для тестирования изменчивости структуры факторов эконометрических моделей

Для проведения тестов на изменчивость факторов эконометрических моделей, в частности для выявления трендовых моделей с калибровками (п. 2.2.1) был разработан пользовательский интерфейс «Тестирование изменчивости структуры факторов эконометрических моделей» (Рисунок 105).

Платформа разработки: Matlab.

Язык программирования: Matlab.

Тип приложения: Desktop application - настольное приложение.

Данное приложение позволяет импортировать экзогенные и эндогенные переменные и запускать следующие процедуры.

1) выявление скачкообразной изменчивости с помощью:

- критерия Чоу с двумя модификациями;

- критерия Чоу с одной модификацией (используется при недостаточном объеме выборки для оценки параметров второй модификации эконометрической модели на участке (Ti + 1, to));

- критерия логарифма отношений максимальных правдоподобий;

- критерия скачка в одной точке, определяющий точки, в которых не отклоняется скачок факторов;

- интервального теста, который обобщает предыдущий критерий и выявляет точки, при добавлении которых скачок не отклоняется;

2) тестирование эволюционной изменчивости с помощью:

- тестирования свойств случайности кумулятивной суммы ошибок эконо-метрической модели;

- критерия гомогенности остатков.

^7ды:тированне переменной структуры факторо

Рисунок 105 - Пользовательский интерфейс в Matlab, позволяющий проверять изменчивость факторов эконометрических моделей. Источник: составлено автором в программе «Тестирование изменчивости структуры факторов эконометрических моделей»

На указанную программу получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [93] (Приложение Ж).

4.3.2 Распознавание и прогнозирование случайных волн Эллиотта

Для проведения анализа финансовых инструментов с применением случайных волн Эллиотта (п. 2.2.2) было разработано приложение с пользовательским интерфейсом, который показан на Рисунке 106.

Рисунок 106 - Приложение для моделирования случайных волн Эллиотта. Источник: составлено автором в программе «Распознавание и прогнозирование случайных волн Эллиотта»

Платформа разработки: .Net Framework, Windows Forms.

Язык программирования: C#.

Тип приложения: Desktop application - настольное приложение.

В данной программе реализован парсер, который позволяет осуществлять импорт котировок формата .txt, которые предварительно загружены с помощью платформы брокера АО "Инвестиционная компания "ФИНАМ" через функционал экспорта данных с символом «,» в качестве параметра «Разделитель полей».

Основную часть приложения занимает график котировки, с которой работает пользователь в данный момент. Инструменты для работы располагаются на панели справа от графика либо доступны из верхнего меню.

К главной особенности данного инструмента относится возможность автоматического построения случайных волн Эллиотта. Для этого пользователю достаточно в области WavesRecognizer указать два параметра: WavesCount (количество искомых волн) и WaveMinLength (минимальную длину волны). После этого необходимо пометить одно или оба поля: «Show Waves» - отобразить/скрыть волны и «EWaves Recognize» - отобразить/скрыть места разрывов волн.

На Рисунке 107 показан результат работы программы по данным фьючерсного контракта на индекс РТС (российская торговая система). Отметим, что результат распознавания требует дальнейшей интерпретации.

I- RTS-FT |

1,29 1,28 1,27 1,26 1,25 1,24 1,23

20:40:00 20:41:00 20:42:00 20:43:00

Рисунок 107 - Моделирование случайных волн Эллиотта. Источник: составлено автором в программе «Распознавание и прогнозирование случайных волн Эллиотта»

Кроме того, у пользователя программы есть возможность строить траектории процесса геометрического броуновского движения и график его математического ожидания. Для это необходимо задать параметры сноса (Mu) волатильности (Sigma) и воспользоваться блоком LogMotion. При этом параметры сноса и вола-тильности для процессов геометрического броуновского движения можно задавать самостоятельно, или получать оценки этих параметров с помощью метода максимального правдоподобия (кнопка «MLike-od»).

В дополнение к случайным волнам Эллиотта в программе реализовано построение скользящих средних с регулируемым параметром усреднения.

Для данного приложения было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [92] (Приложение И).

4.3.3 Построение случайных волн Эллиотта на современной платформе

Для проведения экспериментов из п. 2.2.2 были реализованы соответствующие алгоритмы в интерактивном веб-сервисе.

Платформа разработки: JupyterLab - веб-среда для интерактивной разработки.

Язык программирования: Python. Тип приложения: веб-приложение.

Первая часть скриптов приложения показана на Рисунке 108.

import numpy as np import pandas as pd

■from matplotlib.pyplot import plot import matplotlib.pyplot as pit import matplotlib.gridspec as gridspec import statistics as stat

import warnings

import grant_sde as gs

warnings.filterwarnings('ignore1)

Х0 = 1

t0 = 0

Т = 80

h = 0.1

t_List3umps = [10, 20, 30, 40, 50,60,70]

muList = [0.05,-0.03,0.07, ,-0.05,0.07,-0.03,0.05,-0.03]

sigma_List = [0.01,0.01,0.« >1,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01]

COUnt = 100

tl = t_ListDumps[0]

tt = np.arange(te,tl-i-hjh)

xl, xml, xvl = gs.MatrixExactLogMotion(x0, to, tl, h, mu_List[0], sigma_List[0], count) xl_up = xml + 2*xvl xl_low = xml - 2*xvl

plot{tt, xl, linestyle="solid's linewidth = 1, scalex=True, scaley=True, alpha=0.5)

plot{tt, xml, linestyle="dashed", linewidth = 3, color="red', label='$EX(t)$', scalex=True, scaley=True)

plot{tt, xl_up, linestyle='solid', linewidth = 3, color="green", label='$\sigma_{X}A{+}5', scalex=True, scaley=True)

plot{tt, xllow, linestyle='solid', linewidth - 3, color='blue", label= $\sigma_{X}A{-}i', scalex=True, scaley=True)

Рисунок 108 - Первая часть скриптов моделирования случайных волн Эллиотта. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

В данной программе формируются траектории волн с помощью логарифмического блуждания, строятся графики средних значений сечений, границы коридора волатильности и линии, показывающие моменты смены одних волн на другие (Рисунок 109).

Рисунок 109 - Случайные волны Эллиотта, построение графика траекторий, средних значений сечений и границ коридора волатильности. Источник: составлено автором в программе

JupyterLab

Программа также содержит эксперимент по моделированию случайных волн Эллиотта (Рисунок 1 10), тестирование метода максимального правдоподобия для идентификации параметров сноса и волатильности для процесса геометрического броуновского движения и результаты распознавания волн (Рисунок 1 11).

Рисунок 110 - Случайные волы Эллиотта для фьючерса ИУОЯ. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

Elliott Waves

9000 0750 - HYDR - jump 1 - jump 2

- jump 3

8250

7750 7500

/

7250

10 20 30 40 50

Рисунок 111 - Случайные волы Эллиотта, автоматическое распознавание. Источник: составлено автором в программе JupyterLab

4.4 Приложения для процедур фрактального анализа и теории динамических

систем

Набор приложений, описанный в данном параграфе, применялся для проведения анализа и численных экспериментов Главы 3.

4.4.1 Настольное приложение для оценки количественных характеристик динамических систем

С целью автоматизации проведения фрактального анализа и оценки количественных характеристик динамических систем в среде Matlab был разработан инструмент «Анализ и моделирование количественных характеристик динамических систем». Данное приложение может быть использовано для выполнения реконструкции методом Такенса (п. 3.1.2) и выбора объема обучающей выборки с помощью R/S-анализа (п. 3.1.3).

Платформа разработки: Matlab.

Язык программирования: Matlab.

Тип приложения: Desktop application - настольное приложение.

Разработанная программа после импорта данных формата М отображает основные статистики ряда (Рисунок 112).

Рисунок 112 - Инструмент для фрактального анализа, импорт и основные статистики. Источник: составлено автором в программе «Анализ и моделирование количественных характеристик

динамических систем»

В инструменте реализованы алгоритмы, позволяющие оценить следующие количественные характеристики динамических систем: экспоненту Харста, размерность пространства вложения и старший показатель Ляпунова.

Примеры расчетов параметра Харста по данным аттрактора Лоренса (длина ряда - 511) и корреляционной размерности показаны на Рисунке 113 и Рисунке 114 соответственно.

Рисунок 113 - Пример расчета экспоненты Харста для аттрактора Лоренса, ось абсцисс - длина блока разбиения, ось ординат - значение статистики R/S, логарифмический масштаб. Источник: составлено автором в программе «Анализ и моделирование количественных характеристик динамических систем»

File Edit View D £ В Insert Tools Window Help S * A / / j® Э 0

1.Б

1.2

О.В

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2 5 3 3 5 4

Рисунок 114 - Пример расчета корреляционной размерности для аттрактора Лоренса, ось абсцисс - размер ребра ячейки, ось ординат - значение корреляционного интеграла, логарифмический масштаб. Источник: составлено автором в программе «Анализ и моделирование количественных характеристик динамических систем»

Старший показатель Ляпунова, рассчитываемый в программе, позволяет оценить с учетом заданной точности допустимый горизонт прогноза (Рисунок 115).

При этом верхняя граница горизонта прогноза рассчитывается по формуле

I < 11п(1 + р). к

Старший показатель Ляпунова

Рисунок 115 - Расчет старшего показателя Ляпунова. Источник: составлено автором в программе «Анализ и моделирование количественных характеристик динамических систем»

Для приложения было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [90] (Приложение К).

4.4.2 Реализация процедур фрактального анализа и теории динамических систем на современной платформе

Для проведения экспериментов из главы 3 были реализованы соответствующие алгоритмы в интерактивном веб-сервисе.

Платформа разработки: JupyterLab - веб-среда для интерактивной разработки.

Язык программирования: Python.

Тип приложения: веб-приложение.