Математические задачи теории переноса излучения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Прохоров, Игорь Васильевич

• Прохоров, Игорь Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Прохоров, Игорь Васильевич

Введение

Глава I. Краевые задачи для полихроматического уравнения переноса излучения

§ 1. Постановка прямой задачи для уравнения переноса излучения

§ 2. Функциональные пространства.

§ 3. Определение решения краевой задачи. Интегральная форма краевой задачи.

§ 4. Свойства решения прямой задачи

§ 5. Постановка обратной задачи для уравнения переноса. Задача нахождения коэффициента ослабления излучения

§ 6. Единственность решения обратной задачи.

§ 7. Построение источника с разрывной плотностью потока излучения

§ 8. Тестирование алгоритма реконструкции неизвестной среды

Глава II. Задачи рентгеновской томографии в монохроматическом случае

§ 9. Прямая задача для моноэнергетического уравнения переноса

§ 10. Постановка задачи томографии. Индикатор неоднородности. Достаточные условия единственности решения

§11. Невидимые и плоховидимые среды в рентгеновской радиодиагностике. Необходимые условия единственности решения задачи томографии.

§ 12. Примеры невидимых сред в томографии (примеры неединственности решения).

§ 13. Задачи оптимизации и квазиоптимизации в рентгеновской томографии.

Глава III. Прямая задача для уравнения переноса с фре-нелевскими условиями сопряжения на границе раздела сред

§ 14. Основные обозначения, определения и ограничения

§ 15. Постановка задачи. Обобщенные условия сопряжения

§ 16. Вспомогательные утверждения. Существование решения краевой задачи.

§ 17. Основные утверждения. Теорема единственности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические задачи теории переноса излучения»

Главным объектом исследований данной работы является стационарное интегро-дифференциальное уравнение переноса излучения, иногда называемое кинетическим линейным уравнением Больцмана [52,172]. При интерпретации результатов мы будем рассматривать излучение как по: ток фотонов различных энергий, хотя теоретически наши выводы могут быть применимы и для других процессов.

Основными характеристиками уравнения переноса являются: /(г, и>, Е) - плотность потока частиц (плотность потока излучения) в точке г трехмерной области С, движущихся в направлении единичного вектора о;, ш Е С1, и имеющих энергию Е, Е е [Ет1П, Етах]; ¡л(г, Е) - коэффициент ослабления в точке г частиц с энергией Е; К (г, и • и/, Е, Е') - дифференциальное сечение рассеяния в точке г, характеризующее вероятность перехода частиц из состояния (со',Е') в (и,Е)] 3{г,и,Е) -плотность внутренних источников в точке г, в направлении о; и на энергетическом уровне Е. Перечисленные величины связаны уравнением баланса: о; • Уг/(г, со, Е) + ^(г, Я)/(г, и, Е) =

-Ё'тах J ! К(г,ш-си',Е,Е')Цг,оо',Е')(1и1'(1Е' + Лг,ш,Е). (1)

Для обоснования уравнения переноса применяется не только феноменологический подход, но и более глубокий, использующий статистическую теорию многократного рассеяния случайных волновых полей. Проблема стохастического обоснования теории переноса излучения принадлежит к числу пока до конца нерешенных задач теоретической физики. Существенный вклад в это направление внесли работы Г.В. Розенберга, Ю.Н. Барабаненкова, Л.А. Апресяна, Ю.А. Кравцова и др. [39,42,140,142]

Данная работа не посвящена вопросам построения и обоснования модели, основанной на уравнении (1). Цель работы — теоретический и численный анализ различных граничных задач для уравнения переноса. Наиболее изученной из всех, является прямая или классическая краевая задача. Пусть С выпуклая область и п(г) единичный вектор внешней нормали в точке ^ £ <96?. Если к уравнению (1) добавить граничное условие г,ш,Е) = Е), (г, си, Е) е дСхПх £тах], п(г)-ш < 0, (2) то прямая задача заключается в нахождении функции / из соотношений (1),(2), в которых известны и функция /г, интерпретируемая как плотность потока излучения, проникающего в среду (7 через поверхность дй.

Как правило, коэффициенты ц, К, 7 уравнения (1) представляют собой кусочно-непрерывные функции в области С. Физически это означает, что среда С? составлена из разнородных по своим радиационным свойствам материалов. На поверхности 7, где рвутся коэффициенты уравнения, ставятся условия сопряжения, которые накладывают дополнительные ограничения на функцию /. Чаще всего эти ограничения требуют выполнения определенных условий согласования для соответствующих предельных значений функции / на поверхности 7. Причем, это касается не только уравнения переноса, а типично для многих краевых задач математической физики [102,103,154].

В диссертации будут рассматриваться задачи как с традиционными условиями сопряжения типа непрерывной "склейки" решения на границе раздела сред, так и с обобщенными условиями. Обобщенные условия позволяют учитывать изменение светового потока при переходе через границу раздела сред. Дело в том, что при распространении излучения в оптическом и ультрафиолетовом диапазонах, и в меньшей степени для мягкого рентгеновского излучения, в неоднородной среде сказываются эффекты отражения и преломления на контактных границах различных материалов. Поэтому уравнение переноса, в его классической форме, уже не способно адекватно описывать физический процесс. Модификация дифференциальной части уравнения переноса так, чтобы траектория фотонов искривлялась согласно значению коэффициента преломления среды, позволяет моделировать распространение излучения лишь в слабо неоднородном веществе [223]. Выходом из этой ситуации является учет вышеуказанных эффектов с помощью нетрадиционных условий сопряжения, позволяющих описывать изменение направления светового потока. Изменение направления распространения излучения на границе раздела сред может быть обусловлено, например, различными показателями преломления этих сред, и в зависимости от степени шероховатости поверхности раздела может иметь различный характер. В частности, оно может быть классическим, которое подразумевает зеркальное отражение и преломление по закону Снеллиуса на гладкой (зеркальной) поверхности. В этом случае соотношения для коэффициентов отражения и прохождения рассчитываются на основе формул Френеля. Также оно может быть диффузным, что характерно для матовых поверхностей, либо возможна линейная комбинация френелевского и диффузного отражения.

В общем случае условия на границах раздела мы будем записывать с помощью введения оператора сопряжения В\ f~(z, u>, Е) = (Bf+)(z, и, Е), (z,co.E) е j xüx [£min, Етах], (3) где f±(z,oj,E) = lim f(z еси,и,Е) предельные значения функции

->+0 f(r,uj,E) при соответствующем стремлении точки г к z <Е j. В случае непрерывности решения при переходе через границу раздела сред оператор сопряжения имеет очень простой вид:

Bf+)(z^,E) = f+(z,oj,E). (4)

Условия (3) с оператором сопряжения вида (4) достаточно традиционны и адекватно описывают процесс на границах раздела сред при распространении рентгеновского излучения и гамма-квантов. В первых двух главах диссертации мы будем иметь дело с задачами, где используется именно такой оператор сопряжения, причем особенно не акцентируя на этом внимание. В остальных трех главах рассматриваются краевыми задачи с более общим оператором сопряжения.

Теория краевых задач с традиционными условиями сопряжения на сегодняшний день достаточно хорошо разработана [1-3,31-33,53,54,57, 58,60,61,67,77,80,82,93-97,113,128,155,156,159,160,171,180,183,248].

Особо можно выделить работу B.C. Владимирова [53] сыгравшую ключевую роль в становлении и развитии математической теории переноса. Большой вклад в изучение краевых задач для уравнения переноса и в создание математически обоснованных вычислительных методов их решения внесли исследования Е.С. Кузнецова, Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова, С.Б. Шихова, В.И. Лебедева, М.В. Масленникова, В.И. Агошкова, Т.А. Сушкевич. Наиболее близкие к нам по ограничениям и методам работы Т.А. Гермогеновой [58,60].

Справедливости ради заметим, что на внешней границе среды многими авторами рассматривались и более общие краевые условия нежели простое задание внешнего потока излучения (условие (2)). Часто к функции поверхностных источников h добавляют оператор отражения, действующий на выходящее из среды излучение. Такое граничное условие позволяет косвенно учитывать влияние внешней среды, например, для нейтронного излучения при расчете критических размеров реактора [58,60,110,128,180]. Также условия общего вида на внешней границе среды можно встретить при изучении газо-кинетической модели, основанной на уравнении Больцмана. В этом случае граничные условия связывают функции распределения падающих и отраженных молекул на поверхности твердого тела [114,172].

Исследования краевых задач с обобщенными условиями сопряжения берут свое начало с достаточно простого случая плоско-параллельной симметрии, который не без успеха применялся к численному моделированию переноса оптического излучения в атмосфере Земли [80,109,159161]. Кроме этого, разрабатывались специальные аналитические методы для исследования указанной модели (метод Винера-Хопфа и др.), при достаточно сильных ограничениях на исходные данные задачи [131,132]. С развитием лазерной техники, акцент в использовании указанной модели сместился в сторону достаточно широкого класса задач оптической диагностики биологических тканей [45,115,150,165,166,190,192,205,224, 225,240].

Буквально в последнее десятилетие наблюдается интенсивное развитие исследований, посвященных созданию реалистической трехмерной компьютерной графики [4,44,193,238,239]. Эти исследования посвящены разработки методов численного решения прямых задач для уравнения переноса с граничными условиями, моделирующими отражение и преломление на границах трехмерных объектов и последующим графическим представлением самого решения. Отметим, что в указанных работах авторы иногда даже не приводят уравнение переноса, а обходятся словесным описанием соответствующего физического процесса с одной лишь целью — создание экономичного численного алгоритма.

Таким образом, теоретически рассматриваемые задачи были исследованы в незначительной степени, хотя еще в 50-х годах прошлого столетия Г.В.Розенберг и В.В. Соболев отмечали важность учета эффектов на контактных границах в модели, основанной на уравнении переноса излучения [140,142,143,156]. Только сравнительно недавно рассматриваемая модель стала обретать свою строгую математическую форму.

Обратные задачи, рассматриваемые в работе, можно сформулировать так: найти полностью или частично коэффициенты К, J по плотности потока излучения /, известной на части или на всей границе среды G и для некоторого множества направлений со.

Ясно, что излучение на границе доступно для измерения, а знание хотя бы частичной информации о коэффициентах внутри G дает некоторое представление о внутреннем строении среды.

По-видимому, история неклассических (обратных) задач для уравнения переноса берет свое начало с 1962 года с работы М.В.Масленникова [111], в которой он рассмотрел классическую проблему Милна в полубесконечном слое и исследовал задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя. Подробное изложение этих результатов содержится в [112,113]. Отметим, что в работах [111,112] автор благодарит академика А.Н. Тихонова за постановку вопроса. Впрочем, нельзя со всей определенностью утверждать, что именно эти работы явились источником развития обратных задач для уравнения переноса. Дело здесь в том, что часть работ в этом направлении осуществлялась по закрытой тематике. Кроме этого в литературе физической и прикладной направленности можно встретить статьи, опубликованные еще до 60-х годов, в которых обсуждались те или иные постановки обратных задач для уравнения переноса излучения и предлагались методы их решения. Например, в работе Г.В. Розенберга (1959) [142] рассматривалась та же самая задача, что и в [111], обсуждались ее физические аспекты и, с несколько меньшей степенью математической строгости, чем в [112,113], исследовались вопросы нахождения решения.

В 1964 году, в связи с использованием информации с метеорологических спутников Земли, были опубликованы работы Г.И.Марчука [107, 108], посвященные постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопараллельном случае. В книгах Р.Беллмана, Р.Калабы [41] и Р.Лат-теса, Ж.-Л.Лионса [104] обратные задачи для уравнения переноса рассматривались в основном с точки зрения получения численных результатов. Затем, К.Кейзом в докладе на конференции по математическим аспектам теории переноса предложено решение обратной задачи об определении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения. Краткое изложение этого доклада содержится в обзоре П.Цвайфеля [241]. Для уравнения, учитывающего зависимость от времени (нестационарный случай) постановки и обсуждения обратных задач имеются в работе А.И.Прилепко [134]. В 1973 году была опубликована первая работа Д.С.Аниконова [9], получившая развитие в серии дальнейших публикаций [10-30,34,184]. Теперь теория обратных задач весьма обширна (см., например, работы Ю.Е. Аниконова, В.Г. Романова, В.А.Шарафутдинова, В.Р. Кирейтова, А.Я. Казакова, У.Н. Султангазина, И.Ш. Иркегулова, В.И. Грыня, N. J. McCormick, С.Е. Sievert, А.H. Hakim, S.R. Arridge, О. Dorn и др. [8,35-37,46,48,59,64-66,70,72-74,76,78,79,81,85,86,88,91,119, 126,135-137,144-148,158,174-177,185-190,194-196,202,215-220,236,237]). Несмотря на большой, хотя и неполный, список приведенных работ, пересечения результатов разных авторов незначительны. Это объясняется большим разнообразием постановок задач, различными ограничениями и методами. В частности, работы автора этой диссертации почти не имеют общих мест с другими. Исключением из этого являются работы Д.С.Аниконова, А.Е. Ковтанюка, В.Г. Назарова, И.П.Яровенко и ряд совместных статей и монографий [25-30, 34, 88, 91,119,182,184, 242-247, 249-252,254,256,258-266].

Перейдем к краткому обзору диссертации. Диссертация состоит из 27 параграфов, структурно разделенных на пять глав.

В главе I исследуются краевые задачи для полихроматического уравнения переноса.

Параграфы 1-4 посвящены исследованию прямой задачи для уравнений переноса, где дополнительно задается плотность потока излучения на границе среды G, поступающего в G извне. Доказаны теоремы существования и единственности решения и утверждения, относящиеся к качественной теории прямых задач. Все установленные свойства играют для нас вспомогательную роль и используются в дальнейшем исследовании неклассических задач. Мы не претендуем на оригинальность этих результатов. Они вполне традиционны. Однако, при наших предположениях, возможность прямой ссылки отсутствует. Вместе с тем отметим, что удалось исследовать непрерывные свойства решения прямой задачи при весьма общих предположениях, привести вполне формальные доказательства.

Ограничения на индикатрису рассеяния, используемые в этой главе, не охватывают классическую индикатрису рассеяния Комптона, содержащую дельта-функцию Дирака. Однако, как утверждается в [167], использование ¿-функции не вполне адекватно физическому эффекту Комптона. Возможно, что индикатриса, которая является интегрируемой функцией, но допускающей неограниченной рост вблизи носителя 6-функции в комптоновском дифференциальном сечении, является альтернативным описанием Комптон-эффекта. Последнее замечание нисколько не снижает научной и практической ценности работ Д.С. Аниконова и Д.С. Коноваловой [31-33], в которых исследованы вопросы разрешимости прямой задачи для уравнения переноса в случае чисто комптонов-ского рассеяния.

В §5 ставится обратная задача об определении коэффициента д(г, Е) при задании только плотностей входящего и выходящего потоков на границе среды С. Подчеркнем, что другие коэффициенты не предполагаются известными и в то же время не подлежат определению. В §6 для решения этой задачи удалось применить специальный тип внешнего источника, с разрывной плотностью испускаемого потока. Такой подход сильно упростил задачу и перевел ее из категории неопределенно-трудных в категорию достаточно просто решаемых. Основной результат этого параграфа - теорема единственности решения обратной задачи. В §7 приводятся соображения по практической реализуемости требуемых внешних источников с разрывной плотностью потока. Завершает первую главу §8, посвященный построению численного алгоритма и проведению компьютерных экспериментов. В частности, на численных экспериментах продемонстрировано влияние ошибок дискретизации и неполноты данных на качество реконструкции функции ¡л.

Вторая глава посвящена моноэнергетическому варианту уравнения переноса. В этом случае переменная Е в уравнении (1) играет роль параметра и везде, кроме параграфа 13, зависимость от него опущена. В

§9 утверждения, относящиеся к прямой задаче и доказанные в главе I, конкретизируются для моноэнергетического случая.

В §10 ставится следующая задача томографии: найти внутренние поверхности разрывов коэффициентов уравнения переноса, если известна только плотность выходящего потока излучения на границе среды.

В работах Д.С. Аниконова, В.Г. Назарова [25-27, 29,121,184], были исследованы достаточные условия единственности решения этой задачи. Метод исследования основан на построении двух интегро-дифференциальных индикаторов неоднородностей. Индикаторы переводят плотность выходящего из среды излучения в соответствующие функции заданные внутри G. Причем, один из них использует неполные данные о выходящем излучении. Эти функции при выполнении условия видимости неограни-чены только вблизи искомых поверхностей. Отсюда вытекают соответствующие теоремы единственности решения задачи. Одним из следствий приведенного исследования является возможность введения нового в томографии понятия: мера видимости среды в точке г в направлении ш.

Ранее подобные интегро-дифференциальные индикаторы в других формах изучались, например, в работах Э.И. Вайнберга, И.А. Казака, М.Л. Файнгойза, F. Natterer, A.G. Ramm, A.I. Katsevich, A. Zaslavsky [51,125, 208-212,227-232]. Там операторы применялись к преобразованиям Радона от неизвестных функций. Это соответствует использованию уравнения переноса в сильно упрощенном случае, например, при отсутствии внутренних источников и равенстве нулю интеграла столкновений.

В нашем случае индикатор действует на плотность выходящего потока излучения, которая в общем случае является гораздо более сложным объектом, чем преобразование Радона. Такой подход позволяет не только рассмотреть ситуацию близкую к практике, но и приводит к появлению новых понятий в томографии, которые не имеют места для упрощенных моделей.

В §10 собраны основные сведения (ограничения, определения, формулировки утверждений) относительно исследования достаточных условий единственности решения указанной выше задачи томографии.

В §11 исследуется необходимость условия видимости для задач томографии вообще, т.е. для разных постановок задач и для различных методов решения. Доказано, что равенство нулю меры видимости на поверхности разрыва коэффициентов приводит к неединственности решения задачи. Результаты этого параграфа позволяют определить среды, невидимые в томографии и близкие к ним плоховидимые среды. В этом же параграфе приведен алгоритм построения индикатора неоднородности и проведены численные эксперименты. Их результаты подтвердили полезность введения новых понятий.

В §12 строятся несколько примеров неединственности решения задачи томографии, для которых, в частности, выполняется условие невидимости.

Параграф 13 посвящен постановке и изучению задачи оптимизации для уравнения переноса излучения. Рассматривается задача определения внутренних границ между различными материалами в произвольной среде. Как и раньше, известной информацией является плотность зондирующего потока фотонов рентгеновского излучения, измеряемая вне среды. Предыдущие исследования позволяют не только решить поставленную задачу, но и предложить подход к проблеме выбора оптимальных условий рентгенодиагностики. В данном параграфе, наряду с общей постановкой такой оптимизационной задачи, изучается ее конкретный вариант определения энергии источников, обеспечивающей наилучшее качество реконструкции искомых границ. Кроме того, исследуется упрощенная оптимизационная задача поиска энергии, близкой к оптимальной.

Результаты, содержащиеся в §§11,13, получены совместно с Д.С. Ани-коновым.

Следующие три главы посвящены исследованию краевых задач для монохроматического уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения.

Перейдем к обзору результатов третьей главы. В этой главе проведено исследование корректности прямой задачи для монохроматического уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред. Основной результат получен в случае оператора сопряжения френелевского типа. Однако, некоторые утверждения этого раздела без особого труда адаптируются под ограничения следующей главы диссертации и используются при изучении обратной задачи с оператором сопряжения более сложного вида.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Прохоров, Игорь Васильевич

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказана единственность решения обратной задачи для полихроматического уравнения переноса, заключающаяся в определении неизвестного коэффициента ослабления ц(г, Е) по заданному излучению на внешней границе просвечиваемой среды. Для ее решения предложен специальный тип внешнего источника излучения, имеющий разрыв первого рода по угловой переменной. Это позволило свести исходную обратную задачу к обращению преобразования Радона. Разработан численный алгоритм решения обратной задачи и проведены вычислительные эксперименты. Проанализировано влияние ошибок дискретизации и неполноты данных на качество реконструкции функции /л.

2. Исследована задача томографии о нахождении границ разрывов коэффициентов монохроматического уравнения переноса. Доказано, что равенство нулю меры видимости на границе неоднородности приводит к существованию бесконечного множества решений задачи томографии. Построены примеры неединственности. Теоретически и численно показано, что непрерывность коэффициента поглощения на границе раздела во многих случаях является хорошей аппроксимацией условия невидимости. Проведены вычислительные эксперименты с модельными данными, которые соответствуют реальным веществам.

3. Рассмотрена задача поиска оптимальной энергии излучения внешних источников, обеспечивающей наилучшее качество реконструкции среды. Ее решение базируется на обеспечении условий, увеличивающих меру видимости. Предложена упрощенная постановка задачи оптимизации

Заключение 228 и обосновано, что в дефектоскопии ее решение можно использовать в качестве решения исходной задачи.

4. Доказана разрешимость прямой задачи для моноэнергетического уравнения переноса в ограниченной трехмерной области с френелевски-ми условиями сопряжения на границе раздела сред. Получены оценки типа принципа максимума. Разработан численный алгоритм нахождения решения применительно к задачам реалистичной визуализации трехмерных объектов.

5. Когда оператор сопряжения является сжимающим и представлен линейной комбинацией френелевского и диффузного операторов, и коэффициенты уравнения являются кусочно-непрерывными функциями, построено множество непрерывности решения прямой задачи. При этих же ограничениях в случае одного выпуклого включения доказана единственность решения обратной задачи о нахождении границы раздела, используя информацию только о выходящем излучении. Предложен численный метод нахождения решения в более общем случае.

6. Доказано существование, единственность и непрерывность решения прямой задачи с обобщенными условиями сопряжения в среде, имеющей плоскопараллельное строение. В отличие от трехмерного случае это удалось показать для нерасширяющего оператора сопряжения общего вида.

7. Поставлены новые экстремальные задачи для уравнения переноса, применительно к оптике просветляющих и маскирующих покрытий. В плоскопараллельном случае получены некоторые частные аналитические решения, а в трехмерном — построены численные алгоритмы нахождения решения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Прохоров, Игорь Васильевич, 2007 год

1. Агошков В.И. О гладкости решения уравнения переноса и приближенных методах их построения. //В сб.: Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Под ред. Г.И.Марчука. Новосибирск. 1977. Вып. т. С. 44-58.

2. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения о переносе частиц. М.: ОВМ АН СССР. 1984, 206с.

3. Агошков В.И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

4. Адинец A.B., Барладян Б.Х., Волобой А.Г., Галактионов В.А., Копылов Э.А., Шапиро JI.3. Когерентная трассировка лучей для сцен, содержащих объекты со сложными светорассеивающими свойствами. //Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша №107. 2005.

5. Акилов Г.П., Макаров Б.М., Хавин В.П. Элементарное введение в теорию интеграла. JL: ЛГУ, 1969, 350с.

6. Алексеев A.C., Гейдт В.В. Интерференционный метод восстановления рельефа поверхности по ее волновым изображениям. //В сб.: Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск. 1980. С. 157-158.

7. Алексеев А.С.,Лаврентьев М.М.,Преображенский Н.Г. Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1985, 190с.

8. Амиров А.Х. Теоремы существования и единственности решения одной обратной задачи для уравнения переноса. // Сиб. мат. журнал. 1986. Т. 27. №6. С. 3-20.

9. Аниконов Д. С. Об обратных задачах для уравнения переноса. //Труды 11-ой конференции студентов и аспирантов Новосибирского Государственного Университета, Апрель 1973, С. 21-22.

10. Аниконов Д. С. Об обратных задачах для уравнения переноса. // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 2. №1. С. 7-17.

11. Аниконов Д. С. О единственности определения коэффициента и правой части уравнения переноса. //Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 2. № 1. С. 8-18.

12. Аниконов Д. С. Об одной задаче для уравнения переноса. //Сиб. мат. журнал. 1975. Т. 26. № 3.

13. Аниконов Д. С. Об ограниченности сингулярного интегрального оператора в пространстве Са(С). //Мат. сборник. 1977. Т. 104(106). № 4(12). С. 515-534.

14. Аниконов Д.С. К вопросу единственности решения обратных задач для уравнений математической физики. //Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 3-9.

15. Аниконов Д. С. Решения обратных задач в трехмерном случае. //Динамика сплошной среды. 1979. Т. 50. С.

16. Аниконов Д.С. Многомерные обратные задачи для уравнения переноса. //Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. №5. С. 817-824.

17. Аниконов Д.С. Единственность совместного определения двух коэффициентов уравнения переноса. //Доклады АН. 1984. Т. 277. №4. С. 777-780.

18. Антонов Д.С. Единственность определения коэффициента уравнения переноса при специальном типе источника. //Доклады АН. 1985. Т. 284. №5. С. 511-515.

19. Антонов Д. С. Решение задачи томографии при специальном типе источника. //В сб.: Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск. 1985. С .3-10.

20. Антонов Д. С. Квазирешение одной задачи типа численного дифференцирования. //Известия АН Каз.ССР. Серия физ.-мат. 1987. Т. 3(136). С. 10-14.

21. Антонов Д.С. Примеры неединственности решения задачи интегральной геометрии. //Доклады АН. 1988. Т. 299. №1. С. 15-17.

22. Антонов Д. С. Трехмерные обратные задачи для односкоростно-го уравнения переноса. //Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук по специальности 01.01.02. Новосибирск. 1989. 248с.

23. Антонов Д. С., Иркегулов И.Ш. Определение интегральных характеристик коэффициента поглощения излучения. //Доклады АН. 1989. Т. 308. №4. С. 838-841.

24. Антонов Д.С., Иркегулов И.Ш. Один метод определения интегральных характеристик коэффициента поглощения для уравнения переноса. //ЖВМ и МФ. 1990. Т. 30. т. С. 1262-1267 .

25. Антонов Д. С. Использование особенностей решения уравнения переноса в рентгеновской томографии. //Доклады АН. 1994. Т. 335. №6. С. 702-704.

26. Антонов Д. С. Задача типа Стефана для уравнения переноса. //Доклады АН. 1994. Т. 338. №1. С. 25-28.

27. Аниконов Д.С. Построение индикатора неоднородности при радиационном обследовании среды. //Доклады АН. 1997. Т. 357. №3. С 324327.

28. Аниконов Д. С. Сравнение двух математических моделей теории переноса излучения. //Доклады АН. 1998. Т. 361, №2, С. 171-173.

29. Аниконов Д.С., Назаров В.Г. Интегро-дифференциальный индикатор неоднородности по неполным данным. //Доклады АН. 2001. Т. 376. М. С. 24-26.

30. Аниконов Д. С. Простые и сложные математические модели стационарной теории переноса. //Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3. №1. С. 18-23.

31. Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Кинетическое уравнение переноса в случае Комптоновского рассеяния. //Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. №5. С. 987-1001.

32. Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Комптоновский эффект в теории переноса излучения. //Доклады АН, 2004. Т. 398. №4. С. 462-465.

33. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Краевая задача для уравнения переноса с чисто комптоновским рассеянием. // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 45. №1. С. 3-16.

34. Аниконов Д. С., Назаров В.Г. Классификация неоднородных сред в томографии на основе показателя их контрастности. // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. №4. С. 674-679.

35. Аниконов Ю.Е. О многомерных обратных задачах для кинетических уравнений. //В кн. : Методы решения некорректных задач и проблемы геофизики. Новосибирск. 1984. С. 3-8.

36. Аниконов Ю.Е., Бондаренко А.Н. Многомерные обратные задачи для кинетических уравнений. //Доклады АН. 1984. №4. С. 779-781.

37. Антонов Ю.Е., Пестов Л.П. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск. 1990. 64с.

38. Аниконов Ю. Е., Степанов В. Н. Геометрия выпуклых поверхностей и обратные задачи теории рассеяния. //Сиб. матем. журнал. 1994. Т. 35. №5. С. 955-973.

39. Апресян Л.А, Кравцов Ю.А. Фотометрия и когерентность: волновые аспекты теории переноса излучения. //Успехи физ. наук. 1984. Т. 142. т. С. 689-711.

40. Ахиезер А.П., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука. 1981. 432с.

41. Беллман Р, Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир. 1968.

42. Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Рытое С.М., Татарский В.И. Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде. // Успехи Физ. Наук. 1970. Т. 102. №1. С. 3-42.

43. Барабаненков Ю.Н. Многократное рассеяние волн на ансамбле частиц и теория переноса излучения. // Успехи Физ. Наук. 1975. Т. 117. №1. С. 49-76.

44. Барладян Б.Х., Волобой А.Г., Вьюкова Н.И., Галактионов В.А., Дерябин Н.Б. Моделирование освещенности и синтез фотореалистичных изображений с использованием Интернет технологий./ /Программирование. 2005. №5. С.3-18.

45. Бердник В. В. Восстановление характеристик светорассеивающего слоя по коэффициентам отражения и пропускания. Нейросетевой подход. //Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. № 1. С. 105-112.

46. Бондаренко А.Н. Сингулярная структура фундаментального решения уравнения переноса и обратные задачи теории рассеяния частиц. //Доклады АН. 1992. Т. 322. №2. С. 274-276.

47. Ворн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. 1973.

48. Бронников A.B. Эмиссионная томография источников с самопоглощающим излучением. //Доклады АН. 1992. Т. 322. №5. С. 879-882.

49. Булыгин Ф.В., Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Карпухин Д.В. Спек-тротомография новый метод получения спектрограмм двумерных объектов. //Оптика и спектроскопия. 1991. Т. 71. №6. С. 974-978.

50. Булыгин Ф.В., Левин Г. Г. Спектротомография флуоресцирующих объектов. //Оптика и спектроскопия. 1998. Т. 84. №6. С. 986-990.

51. Вайнберг Э.И., Казак И.А., Файнгойз М.Л. Рентгеновская вычислительная томография по методу обратного проецирования с фильтрацией двойным дифференцированием. //Дефектоскопия. 1985. №2. С. 31-39.

52. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит. 2001.

53. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. //Тр.МИАН СССР. 1961. №61. С. 3-158.

54. Владимиров B.C. Особенности решения уравнения переноса. //ЖВМ и МФ. 1968. Т. 8. №4. С. 842-851.

55. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1967.

56. Гейдт В. В. К задаче восстановления индикатрисы излучения и рельефа по его фотоизображениям. //В сб.: Некорректные задачи мат. физики и проблемы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск. 1976. С. 33-45.

57. Гермогенова Т.А. Принцип максимума для уравнения переноса //ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2. № 1. С. 169-174.

58. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса. //Доклады АН. 1969. Т. 187. №5. С. 18-21.

59. Гермогенова Т.А. Об обратных задачах атмосферной оптики. //Доклады АН. 1985. Т. 285. №5. С. 1091-1096.

60. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука. 1986. 272с.

61. Гермогенова Т.А. Регулярные компоненты асимтотических приближений к решениям уравнения переноса в оптически плотных средах. //ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. №4. С. 464-482.

62. Гласко В.Б., Тихонов А.Н., Тихонравов A.B. О синтезе многослойных покрытий. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 1. С. 135-144.

63. Горшков В.А., Воробьев В.А., Пронин С.Е. Радиационная томография с использованием неколлимированного обратнорассеянного излучения. //Дефектоскопия. 1998. №9. С. 71-82.

64. Грынь В. И. Об обратных диагностических задачах атмосферной оптики. //ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. №10. С. 1506-1525.

65. Грынь В. И. Об обратных задачах теории стационарного переноса излучения в двумерной плоской геометрии. //ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. №5. С. 1831-1853.

66. Грынь В. И. Об обратных задачах стационарного переноса излучения. //ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35. №12. С. 758-771.

67. Грынь В. И. Точные решения уравнения стационарного переноса излучения при одномерной плоской и сферической геометриях. //ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. №7. С. 841-861.

68. Деревцов Е.Ю. О точках ветвления оптических кривых. //В сб.: Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск. 1980. С. 36-47.

69. Деревцов Е.Ю. О точках вепвления оптических кривых. //В сб.: Математические методы решения прямых и обратных задач геофизики. Новосибирск. 1981. С. 31-38.

70. Дурдиев Д. К. Линеаризованная обратная задача для двумерного уравнения переноса. //В сб.: Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск. 1991. С. 47-66.

71. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

72. Зеге Э.П., Иванов А.П., Кацев И.Л. Перенос изображения в рассеивающей среде. Минск: Наука и техника, 1985.

73. Зеге Э.П., Кацев И.Л., Полонский И.Н. Учет многократного рассеяния при лазерном зондировании стратифицированной рассеивающей среды. 1. Общая теория. //Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 31. М. с. 45-60.

74. Зеге Э.П., Кацев И.Л., Полонский И.Н. Учет многократного рассеяния при лазерном зондировании стратифицированной рассеивающей среды. 2. Особенности зондирования атмосферы из космоса. //Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 34. №2. с. 253-260.

75. Зеркаль С.М., Соппа М.С. Локационные задачи теории распространения волн (дифракция и фокусировка). Новосибирск: НГУ, 2003.

76. Иванков А.Л. Единственность определения коэффициента уравнения переноса для чистого поглощения. //В сб. : Математические методы исследования физических процессов. Под ред. А.И.Прилепко. Из-во МИФИ. Москва. 1982. С. 31-36.

77. Иванов А.П. Оптика рассеивающих сред. Минск, 1969. 592с.

78. Иркегулов И.Ш. О единственности решения обратных атмосферной оптики. //В сб.: Аналитические и численные методы решения задач математики и механики. Наука. Каз.ССР. Алма-Ата. 1981. С. 37-42.

79. И санов Р.Ш.,Яхно В.Г. Одна задача эмиссионной томографии. //В сб.: Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск. 1991. С. 67-78.

80. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. М.: Мир. Т.1,2. 1981.

81. Казаков А.Я. Обратные задачи теории переноса излучения в шаре и цилиндре. //Доклады АН. 1983. Т. 287. №3. С. 587-592.

82. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир. 1972. 384с.

83. Кирейтов В. Р. Об одном классе отображений биповерхностей трехмерного пространства. //Матем. проблемы геофизики. 1974. Вып. 4. Ч. 1. С. 38-44.

84. Кирейтов В. Р. О задаче восстановления оптической поверхности по ее изображениям. //Функциональный анализ и иго приложения. 1975. Т. 10. №1. С. 45-54.

85. Кирейтов В.Р. Обратные задачи фотометрии. Новосибирск: Из-во ВЦ СОАН СССР. 1983.

86. Кирейтов В. Р. Задача Коши, Дирихле и некоторые обратные задачи для односкоростного уравнения Пайерлса теории переноса излучения в однородно поглощающей среде с изотропными источниками. //Сиб. мат. журнал. 1995. Т. 36. №3, С. 551-572.

87. Клюев В.В.,Маклашевский В.Я.,Тимонов A.A., Филонов В.Н. Реконструкция изображений по данным с угловым ограничением в промышленной томографии. //Доклады АН. 1993. Т. 331. №2. С. 155-157.

88. Ковтанюк А.Е. Определение внутренней структуры среды посредством многократного облучения. //Дальневосточный мат. сборник. 1995. Т. 1, С. 101-118.

89. Ковтанюк А.Е. Специальные граничные условия для уравнения переноса излучения. //Дальневосточный мат. сборник. 1996. Т. 2, С. 99110.

90. Ковтанюк А.Е. Сравнение основных моделей теории переноса излучения. //Препринт 12-1996. ИПМ ДВО РАН. 1996. 12с.

91. Ковтанюк А.Е. Определение внутренней структуры среды методом многократного облучения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук по специальности 01.02.04. Владивосток. 1997. 95с.

92. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1981. 544с.

93. Коновалова Д. С. Один способ аппроксимации меры видимости в рентгеновской томографии. //Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. 8. № 1(21). С. 64-69.

94. Коновалова Д. С. Принцип максимума для уравнения переноса в случае комптоновского рассеяния. //ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45. №7. С. 11851194.

95. Коновалова Д. С. Некоторые свойства решений уравнения переноса. //Диффернециальные уравнения. 2006. Т. 42. №5. С. 732-738.

96. Кузнецов Е. С. К вопросу о приближенных уравнениях переноса лучистой энергии в рассеивающей и поглощающей среде // Доклады Академии Наук СССР. 1942. Т. 37. №7-8. С. 237-244.

97. Кузнецов Е. С. О решении уравнения переноса излучения для плоского слоя при анизотропном рассеянии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. №4. С. 769-773.

98. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука. 1991. 331с.

99. Лаврентьев М.М., Кирейтов В. Р. Об одном классе отображений би-поверхностей трехмерного пространства. //Доклады АН. 1974. Т. 216. т. С. 259-260.

100. Лаврентьев М.М., Кирейтов В.Р. Об точках ветвления оптических биповерхностей. //Доклады АН. 1975. Т. 221. №5. С. 1027-1030.

101. Лаврентьев М.М., Ладыжец B.C. Об одной обратной задаче геометрической оптики. //Доклады АН. 1983. Т. 269. №6. С. 1313-1315.

102. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1964.

103. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 407с.

104. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир. 1970.

105. Левин Г.Г., Старостенко О.В. О возможности томографических исследований рассеивающих сред. //В сб.: Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск. 1985. С. 86-99.

106. Лейпунский О.И., Новожилов Б.В., Сахаров В.И. Распространение гамма-квантов в веществе. М.: ГИФМЛ. 1960.

107. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач. //Доклады АН. 1964. Т. 156. т. С. 503-506.

108. Марчук Г. И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников Земли и постановка обратных задач. //Космические исследования. 1964. Т. 2, №3. С.462-477.

109. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назарлиев М.А., Дробинян P.A., Каргин В.А., Елепов Б.С. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука. 1976. 280с.

110. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат. 1981.

111. Масленников М.В. Об одной обратной задаче теории прохождения через вещество. //Доклады АН. 1962. Т. 145. №5. С. 1019-1021.

112. Масленников М.В. Единственность обратной задачи асимптотической теории переноса излучения. //ЖВМ и ФМ. 1962. Т. 2. №6. С. 10441053.

113. Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием. //Тр.МИАН СССР. Т. 47. 1968.

114. Маслова Н.В. Стационарные решения линеаризованного уравнения Больцмана. //Тр.МИАН СССР. 1983. Т. 159. С. 41-60.

115. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000.

116. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: ФМ. 1962.

117. Назарлиев М.А. Статистическое моделирование радиационных процессов в атмосфере. Новосибирск: Наука. 1990.

118. Назаров Г. В. Численные эксперименты в томографии с использованием индикатора неоднородности и меры видимости. //Препринт ИПМ ДВО РАН. 1997. №16. 14с.

119. Назаров В. Г. Томографическая неразличимость границ контакта некоторых материалов //ДВ мат. сборник. 1999. №8. С. 110-120.

120. Назаров В.Г. Индикатор неоднородности по неполным данным и его применение в томографии. //Препринт ИПМ ДВО РАН. №17. 2000. 45с.

121. Назаров В.Г. Аппроксимация коэффициента поглощения для уравнения переноса излучения на заданном промежутке энергии. //Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7. №4(20). С. 116129.

122. Назаров В. Г., Яровенко И. П., Солнышко Н. В. Численные эксперименты в теории переноса излучения с учетом комптоновского рассеяния. //СибЖИМ. 2005. Т. 8. №2(22) С. 135-143.

123. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974. 480с.

124. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир. 1990. 279с.

125. Нижник Л.П.,Тарасов В.Г. Обратная задача рассеяния для од-носкоростного уравнения переноса. //Доклады АН. 1978. Т. 242. №6.

126. Николаев М.Н.,Рязанов Б.Г.,Савоськин М.М., Цибуля A.M. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов. М.: Энерго-атомиздат. 1984.

127. Новиков В.М., Шихов С. Б. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов. М.: Энергоизда. 1982. 192с.

128. Перен Ф. Методы оценки фотографических систем. //Успехи Физ. Наук. 1962. Т. 78. №2. С. 307-344.

129. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. //Успехи Физ. Наук. 1983. Т. 141. №3. С. 469-498.

130. Потапов B.C. Метод решения уравнения теории переноса для оптически толстого слоя с отражающими границами. //Теоретическая и матем. физика. 1994. Т. 100. №2. С. 287-302.

131. Потапов B.C. Асимптотические решения уравнений теории переноса для оптически толстого слоя с отражающими границами. //Теоретическая и матем. физика. 1994. Т. 100. №3. С. 424-343.

132. Приезжаев А.В, Тучин В.В, Шубочкин Л.П. Лазерная диагностика в биологии и медицине. М.: Наука. 1989.

133. Прилепко А.И. Обратные задачи терии потенциала (элиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса). //Мат. заметки. 1973. Т. 14. №5. С. 755-767.

134. Прилепко А.И.,Пванков А.Л. Обратные задачи для нестационарного уравнения переноса. //Доклады АН. 1984. Т. 276. №3. С. 555-559.

135. Прилепко А.И.,Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса. //Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, №5. С. 870-885.

136. Прилепко А.И.,Иванков А.Л., Волков Н.П. О некоторых обратных задачах для нестационарного уравнения переноса. //Успехи мат. наук. 1986. Т. 41. №4(250). С. 156-157.

137. Рамм А.Г. Восстановление формы отражающего тела по амплитуде рассеяния. //Радиофизика. 1970. Т. 13 С. 727-732.

138. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир 1994. 496с.

139. Розенберг Г. В. Вектор-параметр Стокса (Матричные методы учцта поляризации излучения в приближении лучевой оптики). // Успехи Физ. Наук. 1955. Т. 56. №1. С. 77-110.

140. Розенберг Г.В. Оптика тонкослойных покрытий. //М.: ГИФМЛ. 1958. 570с.

141. Розенберг Г.В. Абсорбционная спектроскопии дспергированных веществ. //Успехи Физ. Наук. 1959. Т. 69. №1. С. 57-104.

142. Розенберг Г.В. Физические основы спектроскопии светорассеиваю-щих веществ. //Успехи Физ. Наук. 1967. Т. 91. №4. С. 569-607.

143. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1980.

144. Романов В.Г. Оценки условной устойчивости для двумерной задачи восстановления коэффициента поглощения и правой части уравнения переноса. //Сиб. мат. журнал. 1994. Т. 35, №6. С. 1335-1356.

145. Романов В. Г. Оценки устойчивости в одной обратной задаче для уравнения переноса. //Доклады АН. 1995. Т. 341. №2. С. 169-172.

146. Романов В. Г. Задача о совместном определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния. //Доклады АН. 1996. Т. 351. №1. С. 29-31.

147. Романов В. Г. Теорема устойчивости в задаче о совместном определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния для стационарного уравнения переноса. //Математические труды. 1998. Т. 1(1). С. 78-115.

148. Список цитируемой литературы244

149. Романов В. Г. Оценка устойчивости решения трехмерной обратной задачи для системы уравнений Максвелла. //Сиб. мат. журнал. 2004. Т. 45. Мб. С. 1347-1364.

150. Сетейкин А.Ю. Анализ по методу Монте-Карло процессов распространения лазерного излучения в многослойных биоматериалах. // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. № 4. С. 685-688.

151. Свешников А.Г., Тихонравов A.B., Яншин С.А. Синтез оптических покрытий при наклонном падении света. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23. № 4. С. 929935.

152. Свешников А.Г., Тихонравов A.B. Математические методы в теории синтеза оптических тонкослойных систем. //В сборнике "Некорректные задачи естествознания "под редакцией А.Н. Тихонова, A.B. Гончарского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. С. 254-274.

153. Свешников А.Г., Тихонравов A.B., Трубецков М.К. Нелокальный метод оптимизации многослойных оптических систем. //Математическое моделирование. 1995. №7. С. 105-127.

154. Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток: Дальнаука. 1995. 203с.

155. Смелое В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат. 1978. 216с.

156. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М.,1956.

157. Соболь И.М. Численные методы Монте Карло. М.: Наука. 1973. 311с.

158. Султангазин У.Н.,Иркегулов И.Ш. О некоторых обратных задачах атмосферной оптики. //В кн.: Некорректные задачи математической физики и аналииза. Новосибирск: Наука. 1984. с.143-149.

159. Сушкевич Т.А. Решение общей краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтальной неоднородностью. //Доклады АН, 1994. Т. 339. №2. С. 726-747.

160. Сушкевич Т.А. Решение краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтально неоднородной границей раздела двух сред. //Доклады АН. 1996. Т. 350. №4. С. 460-464.

161. Сушкевич Т.А. Математические модели переноса излучения. М.: БИНОМ. 2006. 661 с.

162. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972. 735с.

163. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. 285с.

164. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука. 1987.

165. Тучин В.В. Исследование биотканей методами светорассеяния. //Успехи Физ. Наук. 1997. Т. 167. №5. С. 517-539.

166. Тучин В.В., Башкатов А.Н., Генина Э.А., Синичкин Ю.П., Лако-дина H.A. In vivo исследование динамики иммерсионного просветления кожи человека. //Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. №12. С. 10-14.

167. Фано У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма излучения. М.: Гос-атомиздат. 1963. 284с.

168. Хачатуров A.A. Определение значения меры для области п-мерного евклидового пространства по ее значениям для всех полупространств. //Успехи Мат. Наук. 1954. Т. 9, №3(61). С. 205-212.

169. Хелгансон С. Преобразование Радона. М.: Мир. 1983.

170. Хермен Г. Восстановления изображения по проекциям. Основы реконструктивной томографии. М.: Мир. 1983.

171. Чандрасекхар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд-во иностр. лит. 1953.

172. Черчиньлни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир. 1978.

173. Шарафутдинов В. А. О восстановлении ламбертовой оптической кривой по двум ее изображениям. //Доклады АН. 1979. Т. 249. Nfi3. С. 565-568.

174. Шарафутдинов В.А. Задача эмиссионной томографии для неоднородных сред. //Доклады АН. 1992. Т. 326. №3. С. 446-448.

175. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для рефрагирующей среды.//Сиб. матем. журнал. 1994. Т. 35. №. С. 937 945.

176. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в етационараном уравнении переноса. //Доклады АН. 1996. Т. 347. №5. С. 604-606.

177. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для гамильтоновой системы. //Сиб. матем. журнал. 1996. Т. 37. №1. С. 211 235.

178. Шварц Л. Анализ. М.: Мир. 1972. Т.1. 824с.

179. Шилов Г.Е.,Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. М.: Наука. 1964. 211с.

180. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат. 1973.

181. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир. 1969. 1072с.

182. Яровенко И. П. Численное решение краевых задач для уравнения переноса излучения в оптическом диапазоне. //Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. С. 93-104.

183. Anikonov D.S. Formula for gradient of the transport equation solution. //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1996. V. 4. №2. P. 85-100.

184. Anikonov D.S. Integro-differential heterogeneity indicator in tomography problem. //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. V. 7. №1. P. 17-59.

185. Anikonov Yu.E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differentional Equations. Inverse and Ill-Posed Problems Series. VSP. 1995. Utrecht, Tokyo, Japan, The Netherlands. 133p.

186. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. Inverse and Ill-Posed Problems Series. 1997. Utrecht, The Netherlands. VSP. 203p.

187. Anikonov Yu.E., Bubnov B.A., and Erokhin G.N. Inverse and Ill-Posed Sources Problems. Utrecht, The Netherland. VSP. 1997. 239 p.

188. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. Utrecht, The Netherland. VSP. 1997. 203p.

189. Anikonov Yu.E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht, The Netherlands. VSP. 2001. 270p.

190. Arridge S. R. Optical tomography in medical imaging. //Inverse Problems. 1999. Vol. 15(2). R41-R93.

191. Boas D.A. Diffuse photon probes of structural and dinamical properties of turbiad media: theory and boimedical application. //A Dissertation in Physics. University of Pennsylvania. 1996. 244p.

192. Cohen M. F., Wallace J.R. Radiosity and Realistic Image Synthesis. Academic Press Professional. Boston, San Diago, New York, London, Syndey, Tokyo, Toronto. 1995.

193. Dorn 0. Das inverse Transportproblem in der Lasertomographie. //Thesis, Preprints "Angewandte Mathematik und Informatik"7/97-N, Munster. 1997.

194. Dorn 0. Scattering and absorption transport sensitivity functions for optical tomography. //Optics Express. 2000. Vol. 7. Issue 13. P. 492-506.

195. Dorn 0. and Lesselier D. Level set methods for inverse scattering. //Topical review. Inverse Problems. 2006. Vol. 22. R67-R131.

196. Fernandez J.E., Hubbell J.H., Hanson A.L. and Spenser L. V. Polarization effects on multiple scattering gamma transport. //Radiat. Phys. Chem. 1993. V. 41. №4/5. P. 579-630.

197. Furman Sh. and Tikhonravov A.V. Basics of optics of multilayer systems. Editions Frontiers, Gif-sur Yvette. 1992. 242p.

198. Groenhuis R.A.J., Ferwerda H.A. and Ten Bosch J.J. Scattering and absorption of turbid materials determined from reflection measurements. 1:Theory. //Appl. Opt. 1983. V. 22. №16. P. 2456-2462.

199. Gutman S. and Klibanov M. //Inverse problems. 1994. №10. P. 39-46.

200. Habetler G.J. and Matkowsky B.J. Uniform asymptotic expansions in transport theory with small mean free path, and the diffusion approximation. // J. of Math. Phys., 1975, 16, N 4, pp. 846-854.

201. Hakim A.H. and McCormick N.J. Ocean optics estimation for absorption, backscattering, and phase function parameters. //Appl. Opt. 2003. V. 42. P. 931-938.

202. Henke B.L., Gullikson E.M. and Davis J.C. Atomic Data and Nuclear Data Tables. //J. Devoted to Compilations of Experimental and Theoretical Results. 1993. V. 54. №2. P. 181-343.

203. Henyey L.G. and Greenstein J.L. Diffuse Radiation in the Galaxy. //Astrophys. J. 1941. V. 88. P. 70-83.

204. Hillman E.M.S. Experimental and theoretical investigations of near infrared tomographic imaging methods and clinical applications. //Thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy at the University of London. 2002. 356p.

205. Jacques S.L., Martin R.O., and Wang L. Effects os Sources, Boundaries, and Heterogeneities on Photon Migration. //OSA Proceedings on Advances in optical imaging and photon migration. 1994. V. 21. P. 8387.

206. Katsevich A.I. and Ramm A.G. A Method for Finding Discontinuities of Functions from the Tomographic Data. //Lectures in Applied Mathematics. 1993. V. 30. P. 115-123.

207. Katsevich A.I. and Ramm A.G. Multidimensional algorithm for finding discontinuities of functions from noisy data. //Math. Comp. Modelling. 1993. V. 18. №. P. 89-108.

208. Katsevich A.I. and Ramm A.G. New methods for finding values of the jumps of a function from its local tomographic data. //Inverse Problems. 1995. V. 11. №5. P. 1005-1023.

209. Katsevich A.I. and Ramm A.G. Pseudolocal Tomography. //SIAM J. Appl. Math. 1996 V. 56. №1. P. 167-191.

210. Katsevich A.I. and Ramm A.G. Asymptotics of PDO on discontinuous functions near singular support. //Applicable Analysis. 1996. V. 58. №3-4. P. 383-390.

211. Kihara H. 3D imaging of X-ray microscopy. //Science on Form. 1990. KTK Scientific Publishers, Tokyo. P. 105-114.

212. Larsen E. W. and Morel J.E. Asymptotic solutions on numerical transport problems in optically thick, diffusive regimes II. //J. of Compt. Phys. 1989. V. 83. №4. P. 212-236.

213. McCormick N.J. and Kuscer I. On the inverse problem in radiative transfer. //J. Math. Phys. 1974. V. 15. P. 926-927.

214. McCormick N.J. Transport scattering coefficients from reflection and transmission measurements. //J. Math. Phys. 1979. V. 20. P. 1504-1507.

215. Mc.Cormic N.J. and Sanchez R. General solution of inverse transport problem. //J. Math. Phys. 1982. V. 22. №4. P. 487-453.

216. McCormick N.J. Methods for solving inverse problems for radiation transport an update. //Transport Theory and Statist. Phys. 1986. V. 15. P. 759-772.

217. McCormick N.J. and Sanchez R. Two-Region Inverse Transport Analysis with Solutions of the Two-Region Milne Problem. //Transport Theory and Statist. Phys. 1997. V. 26. P. 607-618.

218. McCormick N.J. Analytic inverse radiative transfer equations for atmospheric and hydrologic optics. //J. Opt. Soc. Am. A. 2004. V. 21. P. 1009-1017.

219. Marshak R.E. Note on the spherical harmonic method as applied to the Milne problem for a sphere. //Phys. Rev. 1947. V. 71. P. 443-446.

220. Motamedi M., Rastegar S., LeCarpentier G. and Welch A.J. Light and temperature distribution in laser irradiated tissue: the influence of anisotropic scattering and refractive index. //Appl. Opt. 1989. V. 28. №12. P. 2230-2237.

221. L. Marti-Lopez, J. Bouza-Dominguez, J.C. Hebden, S.R. Arridge, R. A. Martinez-CelorioYalidity conditions for the radiative transfer equation. //J. Opt. Soc. Am. A. 2003. Vol. 20. №. 11. P. 2046-2056.

222. O'Leary M. Imaging with Diffuse Photon Density Waves. //A Dissertation in Physics. University of Pennsylvania. 1996. 192p.

223. Prahl S.A. Light Transport in Tissue. //Dissertation for the Degree Doctor of Philosophy. The University of Texas at Austin. 1988. 221p.

224. Quinto E.T. Singularities of the X-ray transform and limited data tomography. //SIAM J. Math. Anal. 1993. V. 24. P. 1215-1225.

225. Ramm A.G. Optimal local tomography formulas. //PanAmer. Math.Jour. 1994. V. 4. №4. P. 125-127.

226. Ramm A.G. Finding discontinuities from tomographic data. //Proceedings of the AMS. 1995. V. 123. №8. P. 2499-2505.

227. Ramm A.G. and Zaslavsky A. Reconstructing singularities of a function given its Radon transform. //Math. Comp. Modelling. 1993. V. 18. №1. P. 109-138.

228. Ramm A.G. and Zaslavsky A. Asymptotics of the Fourier transform of piecewise-smooth functions. //Comptes Rendus Acad. Sei. Paris. 1993. V. 316. №1. P. 541-545.

229. Ramm A.G. and Zaslavsky A. X-ray transform, the Legendre transform and envelopes. //J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 183. №3. P. 528546.

230. Ramm A.G. and Zaslavsky A. Singularities of the Radon transform. //Bull. Am. Math. Soc. 1995. V. 25. M. P. 109-115.

231. Romanov V.G. Stability estimates in problems recovering the attenuation coefficient and the scattering indicatrix for the transport equation. //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1996. V. 4. JM. P. 297-305.

232. Romanov V.G. A conditional stability theorem in the problem of determining the dispersion index and relaxation for the stationary transport equation. // Siberian Advances in Mathematics. 1997. V. 7. №1. P. 86-122.

233. Shepp L.A. and Kruskal J.B. Computerized tomography : the new medical X-ray technology. //Am. Math. Monthly. 1978. V. 85. P. 420439.

234. Sievert C.E. On the inverse problem for three-term phase function. //J.Q.S.R.T. 1979. V. 22. P. 441-446.

235. Sievert C.E. and Dünnt W.L. On the inverse problem for planeparallel media with nonuniform surface illumination. //J.Math.Phys. 1982. V. 22. №7. P. 1376-1378.

236. Wann Jensen H., Marschner S. R., Levoy M., and Hanrahan P. A Practical Model for Subsurface Light Transport. //Proceedings of SIGGRAPH'2001. pp. 511-518. Los Angeles, August 2001.

237. Wann Jensen H. Realistic Image Synthesis Using Photon Mapping. Publisher: A K Peters, LTD, 2001.

238. Welch A.J. and van Germet M.C. Tissue Optics. New York : Academic. 1992.

239. Zweifel P.E. Conference on mathematical aspects of transport equation. //Transport Theory and Statist. Phys. 1973. V. 3. №1. P. 55-57.

240. Основные работы автора по теме диссертации1. Монографии

241. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2000, 224с.

242. Anikonov D.S., Kovtanyuk А.Е., and Prokhorov I.V. Transport Equation and Tomography. Utrecht-Boston: VSP, 2002, 216p.

243. Anikonov D.S., Nazarov V.G., and Prokhorov I.V. Poorly Visible Media in X-ray Tomography. Utrecht-Boston: VSP, 2002, 302p.1. Статьи

244. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Определения коэффициента уравнения переноса при энергетических и угловых особенностях внешнего излучения. //Доклады АН. 1992. Т. 327. №2. С. 205-207.

245. Anikonov D.S., Prokhorov I.V. and Kovtanyuk A.E. Investigation of Scattering and Absorbing Media by the Method of X-ray Tomography. //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1993. V. 1. №4. P. 259-281.

246. Прохоров И. В. Некоторые свойства решений уравнения переноса. //ДВ матем. сборник. 1996. Т. 2. С. 161-172.

247. Аниконов Д.С.; Назаров В.Г., Прохоров И.В. Видимые и невидимые среды в томографии. //Доклады АН. 1997. Т. 357. №5. С. 599-603.

248. Аниконов Д. С., Прохоров И.В. Значение коэффициента поглощения в диагностике рассеивающих и поглощающих сред. //Доклады АН. 1999. Т. 368. т. С. 24-26.

249. Аниконов Д. С., Прохоров И.В. Некоторые математические модели томографии для особых состояний сред. //Доклады АН. 2000. Т. 371. №4. С. 452-456.

250. Прохоров И.В. Краевая задача теории переноса излучения в неоднородной среде с условиями отражения на границе. //Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. №6. С. 848-851.

251. Аниконов Д. С., Прохоров И.В. Необходимые и достаточные условия единственности одной задачи томографии. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42. №3. С. 370379.

252. Прохоров И. В. Определение поверхности раздела сред по данным томографического просвечивания. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42. №10. С. 1542-1555.

253. Прохоров И. В. О разрешимости краевой задачи для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред. //Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67. №6. С. 169-192.

254. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Краевая задача теории переноса в многослойной среде с обобщенными условиями сопряжения. //Сибирский журнал индустриальной математики, 2003. Т. 6. №1. С. 93-107.

255. Аниконов Д.С. Прохоров И.В. Формальная оценка качества реконструкции в рентгеновской томографии. // Доклады АН. 2005. Т. 401. №3. С. 312-315.

256. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Численное решение дифракционных задач для уравнения переноса излучения. // Сибирские электронные математические известия. 2005. Т. 2. С. 88-101.

257. Prokhorov I.V., Yarovenko I.P., and Krasnikova T.V. An extremum problem for the radiation transfer equation. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2005. V. 13. №4. P. 365-382.

258. Аниконов Д. С., Прохоров И.В., Назаров В.Г., Солнышко Н.В. Способ маскировки изделий. //Патент Российской Федерации №2264424. Бюллетень №32, 20.11.2005.

259. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Постановка и численное решение задачи оптимизации в рентгеновской томографии. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46. №1. С. 18-25.

260. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Выбор оптимальной энергии излучения в рентгеновской дефектоскопии. //Доклады АН. 2006. Т. 408. №4. С. 455-459.ф

261. Основные работы автора по теме диссертации 256

262. Прохоров И.В., Яровенко И.П. Исследование задач оптической томографии методами теории переноса излучения. //Оптика и спектроскопия. 2006. Т. 101. №5. С. 817-824.

263. Kovtanyuk А.Е., Prokhorov I.V. Tomography problem for the polarized-radiation transfer equation. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2006. V. 14. №6. P. 609-620.