Математическое и компьютерное моделирование движения космических аппаратов с внутренней динамикой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мирошкин, Владимир Львович

• Мирошкин, Владимир Львович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мирошкин, Владимир Львович

Введение

1 Математические модели движения К А

1.1. Основные обозначения.

1.2. Уравнения движения твердого тела переменной массы с движущимися материальными точками.

1.3. Математические модели относительного движения материальных точек в декартовых координатах.

1.3.1. Уравнения относительного движения сферического маятника в декартовых координатах

1.3.2. Уравнения относительного движения математического маятника в декартовых координатах

1.3.3. Уравнения относительного движения подвижных материальных точек при заданных отношениях абсолютных ускорений.

1.4. Уравнения движения КА с внутренней динамикой в декартовой системе координат.

1.4.1. Уравнения движения твердого тела содержащего сферические маятники в декартовой системе координат

1.4.2. Уравнения движения твердого тела содержащего математические маятники в декартовой системе координат.

1.4.3. Уравнения движения твердого тела с движущимися по заданному соотношению материальными точками в декартовой системе координат.

1.5. Система дифференциальных уравнений движения К А в декартовых координатах в форме Коши.

2 Математическая модель систем координат и конфигурации группы К А

2.1. Древовидная структура систем координат.

2.1.1. Введение.

2.1.2. Постановка задачи.

2.1.3. Древовидная структура и ее свойства.

2.1.4. Применение древовидной структуры для описания отношения "ведущая-ведомая" между системами координат.

2.2. Связь между направляющими косинусами и углами

Эйлера-Крылова.

2.2.1. Введение.

2.2.2. Определение матрицы направляющих косинусов по заданным углам Эйлера-Крылова.

2.2.3. Определение углов Эйлера-Крылова по заданной матрице направляющих косинусов.

3 Математическое моделирование движения КА

3.1. Математическое моделирование движения КА с гидродинамикой в баках на участке полета с работающем маршевым двигателем.

3.1.1. Основные допущения

3.1.2. Дифференциальные уравнения движения К А

3.2. Математическое моделирование движения К А с гидродинамикой в баках на участке разделения.

3.2.1. Основные допущения

3.2.2. Дифференциальные уравнения движения К А

3.2.3. Построение и применение древовидной структуры для отношения "ведущая-ведомая", порождаемого задачей пересчета координат.

3.2.4. Построение и применение древовидной структуры для отношения "ведущая-ведомая", порождаемого изменением конфигурации группы К А

3.3. Методы моделирование исходных данных и обработки результатов компьютерного моделирования движения К А

3.3.1. Моделирование исходных данных

3.3.2. Обработка результатов компьютерного моделирования движения КА.

3.3.3. Выборочная оценка вероятности.

3.3.4. Оценки квантили.

Комплекс программ моделирования движения КА с внутренней динамикой 106 4.1. Структура комплекса программ компьютерного моделирования движения К А.

4.2. Пример 1. Моделирование и анализ программной стабилизации К А.

4.3. Пример 2. Сравнение методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений движения КА

4.4. Пример 3. Оценивание расстояния между КА на заданный момент времени при разделении К А.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и компьютерное моделирование движения космических аппаратов с внутренней динамикой»

Объектом исследования в диссертационной работе является движение космических аппаратов (КА) с жидкими компонентами топлива в баках при наличии разбросов на характеристики конструктивных элементов КА на различных этапах полета КА.

Целью работы является разработка математических моделей и комплекса программ на их основе для проведения компьютерного моделирования движения КА на различных этапах полета КА по методу Монте-Карло.

Математическое и компьютерное моделирование является высокоэффективным и относительно низкозатратным методом исследования сложных систем. Особую важность математическое и компьютерное моделирование приобретают при исследовании таких сложных технических систем, для которых проведение натурного моделирования является трудоемкой и дорогостоящей процедурой. К таким сложным системам относится космическая техника. Применительно к космической технике, как к сложной технической системе, одной из задач моделирования является моделирование движения космического аппарата. Результаты моделирования движения КА используются для оценки успешности выведения КА по заданной схеме выведения, оптимальности компоновочных решений КА, исследования движения К А в аварийных случаях. В ряде случаев, например, на этапе эскизного проектирования или при наличии уникального КА, математическое и компьютерное моделирование является единственным способом исследования сложной технической системы. Для проведения математического и компьютерного моделирования движения К А, в первую очередь, необходимо выбрать математическую модель КА (как физического объекта), математическую модель движения К А и математическую модель системы отсчета, относительно которой рассматривается движение.

Выбор математической модели КА как физического объекта определяется постановкой задачи анализа движения К А и является компромиссом между сложностью математической модели движения КА и ее адекватностью. Задачи анализа движения КА можно разделит на два основных класса:

• задачи баллистики КА - исследование движения КА на активном участке траектории, исследование движения КА на переходных участках траектории, выбор формы траектории КА, определение начальных данных для пуска КА,;

• задача исследования динамической устойчивости КА - сохранение К А заданной траектории полета при воздействии возмущений.

Основные задачи баллистики описаны, например, в [1,6,47,48]. Применительно к КА в следует выделить следующие задачи [47]:

1. исследование зависимости летных характеристик К А от конструктивных параметров с целью выбора наилучшего по заданному критерию сочетания этих параметров;

2. определение траектории и других других основных характеристик движения КА с известными конструктивными параметрами и системой управления при заданных прицельных данных;

3. исследование влияния различных возмущающих факторов на активном участке полета;

4. выбор номинальной траектории, обеспечивающей наилучшее использование возможностей К А.

Для решения задач баллистики применяются модели движения КА в виде математических моделей движения твердого тела или материальной точки.

Для решения задач динамической устойчивости используется подход, разработанный в 60-х - 70-х годах прошлого века. Этот подход к математическому моделированию движения КА с жидкостью в баках включает в себя разделение движения КА на невозмущенное и возмущенное. Под невозмущенным движением понимают программное движение, реализующееся при упрощающих предположениях, характерных для постановки задачи внешней баллистики (движение материальной точки переменной массы), при номинальных параметрах объекта и отсутствии возмущающих сил и моментов. Отметим, что значения параметров программного движения определяются до пуска и не подлежат какому-либо изменению или уточнению в процессе движения К А. Под возмущенным движением понимают движение, характеризующееся разностями между параметрами истинного и невозмущенного движений. Предполагается, что эти разности — малые величины в том смысле, что можно пренебречь их произведениями, квадратами и более высокими степенями по сравнению с членами, линейно зависящими от параметров движения, а также квадратами и более высокими степенями соответствующих производных по времени

43, 57, 62]. Возмущенное движение в описанных условиях называют малым [57]. Сделанные предположения позволяют линеаризовать уравнения возмущенного движения КА по величинам этих параметров и получить линейные по параметрам движения уравнения движения К А. Впервые механический аналог твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью, для линейных уравнений движения был предложен Б.И. Рабиновичем в виде эквивалентного твердого тела и совокупности математических маятников [53]. В модели Б.И. Рабиновича уравнения для возмущенного движения с колебаниями жидкости записываются относительно точек, являющимися аналогами метацентров, для так называемой "плавающей крышки". Результаты работ по обоснованию и исследований этой модели изложены в [53,54]. Методы практического применения этой модели изложены в [62], первое издание которой вышло в 1975г.

Г.С. Наримановым была предложена математическая модель для возмущенного движения в виде эквивалентного твердого тела и совокупности математических маятников, уравнения которой записаны относительно центра масс невозмущенной системы "тело-математический маятник" в предположении "жесткой крышки". Результаты работ по обоснованию и исследований этой модели изложены в [43]. Эти уравнения движения получили более широкое применение по сравнению с уравнениями Б.И. Рабиновича. Связь между уравнениями Г.С. Нариманова и Б.И. Рабиновича приведена в [43,62]. ,

Рассмотренный выше подход используется для моделирования возмущенного движения КА на активных участках полета при использовании программного управления. Разрабатываемые в настоящее время КА имеют существенное отличие от предшественников. Это отличие, в частности, заключается в том, что их наведение на активном участке траектории осуществляется по так называемому "кусочно программному" методу наведения. При таком наведении в процессе движения КА в заранее (до пуска) определенные моменты времени по текущим значениям параметров движения КА и прогнозируемому промаху рассчитываются новые значения параметров программного движения КА. Это означает, что значения параметров программного движения КА зависят от истинного движения КА. Следовательно, для математического моделирования движения на активном участке полета КА с такой системой управления необходимо "объединение" математических моделей невозмущенного и возмущенного движения КА для адекватного моделирования истинного движения КА. Одним из подходов к этой задаче при учете колебаний жидких компонентов топлива в баках КА является объединение моделей пространственного движения твердого тела и колебаний математических маятников Г.С. Наримановаи сферических маятников JI.B. Докучаева .

Повышение требований по точности терминальных параметров движения КА требует использования более точных моделей возмущенного движения РН и КА. В [17,18] предложена нелинейная модель возмущенного движения осесимметричного К А, как движение твердого тела с подвешенным в нем сферическим маятником. В [57] ранние работы посвященные исследованию этой модели были обобщены, приведено обоснование применимости модели и получены условия, при которых колебания сферического маятника эквивалентны колебаниям жидкости. Однако, примененный в [57] вывод уравнения движения сферического маятника не позволил получить векторное уравнение движения сферического маятника в форме Коши, что важно для разработки программного обеспечения для компьютерного моделирования движения КА. Отчасти, возможно, это связано с тем, что в первую очередь уравнения движения сферического маятника должны были быть приведены к форме, удобной для их аналитического исследования и сравнения с полученными уравнениями движения жидкости. Для разработки программного обеспечения компьютерного моделирования движения КА в рамках объектно-ориентированно подхода нужна запись векторных уравнения движения КА в форме Коши.

В отличие от движения КА на активном участке полета, до середины 90-х годов прошлого века на участке разделения КА рассматривался как твердое тело, а движение КА рассматривалось как пространственное движение твердого тела. Наиболее полно вопросы математического моделирования движения КА на этапе разделения рассмотрены в [44]. Основными требованиями к процессу разделения являются:

• надежное и безопасное отделение без соударения КА от РБ;

• выполнение ограничений на параметры движения КА после отделения.

Во второй половине 90-х годов прошлого века резко возросло количество коммерческих запусков КА. Особенностью коммерческого К А является то, что его при его разработке вопрос о стыковке К А с конкретным разгонным блоком (РБ) не рассматривается. В результате, при стыковке коммерческого КА и РБ между их конструктивными элементами часто остаются очень малые зазоры. В связи с этим резко возросли требования по точности моделирования движения КА в процессе отделения. Оказалось, что заметное влияние на относи> тельное движение КА в процессе отделения оказывает гидродинамика компонентов топлива в баках отделяемого КА.

В середине 90-х годов прошлого века в ФГУП ГКНПЦ им. М.В. Хруничева была разработана так называемая "пузырьковая"модель гидродинамики компонентов жидкого топлива в баках КА [15,74]. В этой модели движение жидкости заменяется механическим аналогом в виде движения материальной точки, ускорение которой определяется ускорением некоторой точки бака. Вопрос о выборе точки бака, определяющей ускорение материальной точки, не имеет на сегодняшний момент строгого обоснования. Поэтому возникает задача оценки адекватности пузырьковой модели при моделировании движения КА на участке разделения.

Количество отделяемых КА может быть различно. Так, например, при выведении спутников системы "Иридиум" происходило одновременное отделение от РБ трех или семи спутников. Совокупность всех КА в задаче математического и компьютерного моделирования движения КА в процессе отделения или стыковки будем называть группой К А. Из примера спутников "Иридиум" следует, что в настоящее время один запуск ракеты-носителя (РН) часто используется для вывода на орбиту нескольких спутников. На маршевом участке полета движется один объект - орбитальный блок (ОБ). На этапе разделения ОБ происходит изменение количества движущихся объектов. Рассмотрим, для определенности, отделение спутников от РБ. До отделения -движется один орбитальный блок (ОБ), а после отделения - ОБ и одна ступень РН или РБ и несколько спутников. При этом физические параметры (масса, моменты инерции) ОБ, с одной стороны, и, РБ и отделившихся спутников, с другой стороны, должны быть согласованы. Таким образом, при математическом и компьютерном моделировании движения группы К А необходимо, во-первых, решить следующую задачу: разработать алгоритм формирования математической модели ОБ по математическим моделям РБ и спутникам при априорно неизвестном количестве совместно движущихся объектов. Кроме того, для описания движения КА применяются различные системы координат. В одной задаче может потребоваться использовать несколько систем координат для одного КА. Например, исходные данные задаются в так называемой строительной системе координат, поступательное движение - в инерциальной системе координат, угловое движение - в связанной системе координат, а результаты моделирования - в инерциальной системе координат. Таким образом, при математическом и компьютерном моделировании движения группы КА необходимо, во-вторых, решить следующую задачу: разработать алгоритм пересчета координат из одной системы координат в другую.

Таким образом, из изложенного выше следует, что задача разработки математических моделей, их программная реализация, математическое и компьютерное моделирование движения КА является актуальной задачей.

Цель работы - является разработка математических моделей и комплекса программ на их основе для проведения имитационного моделирования движения КА на различных участках движения с последующей обработкой результатов по методу Монте-Карло.

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях [31, 55,56] в журналах, входящих в перечень ВАК и в тезисах научных конференций [32-35,37-40,42,74].

Материалы диссертации были использованы при имитационном моделировании по методу Монте-Карло движения КА ссмейства "Астра", "Иридиум", "Темпо", "Телстар", "'Бриз-М".

Диссертация состоит из четырех глав, заключения, списка литературы (74 источника) и приложения. Объем диссертации составляет 134 машинописные страницы, 5 рисунков. Приложение содержит 31 страницу.

В Первой главе диссертации разрабатываются модели движения КА с внутренней динамикой в виде подвижных материальных точек и математические модели относительного движения материальных точек внутри КА. Для компьютерного моделирования уравнения движения КА из первой главы диссертации приведены к форме Коши.

Результатами первой главы являются:

• дифференциальные уравнения относительного движения сферического маятника в декартовых координатах;

• дифференциальные ^уравнения относительного движения математического маятника в декартовых координатах, как частный случай движения сферического маятника;

• дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки при заданном отношении ускорений;

• дифференциальные уравнения движения твердого тела, содержащего внутри себя сферические маятники;

• дифференциальные уравнения движения твердого тела, содержащего внутри себя математические маятники;

• дифференциальные уравнения движения твердого тела содержащего, внутри себя движущиеся по заданному отношению ускорений материальные точки;

• дифференциальные уравнения движения КА с внутренней динамикой в форме Коши;

Во второй главе диссертации разрабатывается математическая модель для формализации и решения возникающих при математическом и компьютерном моделировании описанных двух прорблем. Движение К А рассматривается как движение системы связанных между собой систем координат. Связи между системами координат описываются деревьями специального вида, названными в диссертации древовидными структурами. Предложенный подход предназначен для компьютерного моделирования движения группы объектов, которые в процессе движения могут разделяться или объединяться.

Результатами второй главы являются:

• введены отношение "ведущая-ведомая"для систем координат и ориентированный граф специальной структуры, названный древовидной структурой;

• исследованы свойства древовидной структуры;

• разработан исключающий возможность образования цикла алгоритм построения древовидной структуры для заданного отношения между системами координат;

• разработан единый для любой последовательности поворотов алгоритм перехода между направляющими косинусами и углами Эйлера-Крылова.

В третьей главе рассматривается математическое моделирование движения К А с внутренней динамикой. Приводятся условия применимости разработанных в первой главе математических моделей движения КА к моделированию движения КА с жидкими компонентами топлива в баках на различных этапах полета, строятся древовидные структуры для моделирования отношений между системами координат. В главе описаны методы моделирования неопределенностей в исходных данных задачи имитационного моделирования движения К А, и методы "обработки результатов имитационного моделирования движения К А.

Результатами третьей главы являются:

• разработаны математические модели и алгоритмы для моделирования движения КА с жидкостью на активном участке полета и на участке разделения;

• проведен анализ методов оценивания квантили случайной величины и выработаны рекомендации по применению методов оценивания квантили случайной величины для оценки точности движения КА.

В четвертой главе диссертации описаны структуры данных и межпрограммные связи разработанного комплекса программ компьютерного моделирования движения КА на различных этапах полета с использованием математических моделей движения КА с внутренней динамикой из главы 3 диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мирошкин, Владимир Львович

Выводы по результатам моделирования:

При точности стабилизации 1 градус:

Для ереднеинтегрального угла ориентации панелей батареи

• среднее значение - 7.43768 градуса;

• доверительный интервал ±3сг; - (7.36967,7.50569) градуса

• квантиль уровня 0.98 - 7.473723 градуса, уровня 0.9 - 7.466515 градуса;

Для времени неосвещенности панелей батареи

• среднее значение - 13.1545%;

• доверительный интервал ±3сг; - (13.1093%,13.1998%);

• квантиль уровня 0.98 - 13.1767%, уровня 0.9 - 13.1722%;

Для отклонений параметров движения КА от программных значений

• По углу крена - (-5.5, 5.5) градуса;

• По углу тангажа - (-2, 1) градуса;

• По углу рыскания - (-1.7, 1,1) градуса;

• По угловой скорости вращения вокруг оси ОХ - (-1, 1) градуса в секунду;

• По угловой скорости вращения вокруг оси OZ - (-0.03, 0.22) градуса в секунду;

• По угловой скорости вращения вокруг оси OY - (-0.04, 0.16) градуса в секунду;

При точности стабилизации 5 и 10 градусов, как было отмечено выше, было проведено всего по 10 реализаций для каждого из значений точности стабилизации. По такому количеству реализаций не возможно сделать корректные статистические выводы. Однако, качественная картина влияния ухудшения точности стабилизации на выполнение требований может быть прослежена.

При точности стабилизации 5 градусов

Для среднеинтегрального угла ориентации панелей батареи

• среднее значение - 10.13767 градуса;

• доверительный интервал ±3<т; - (9.684729,10.59061) градуса

• квантиль уровня 0.9 - 10.28364 градуса;

Для времени неосвещенности панелей батареи

• среднее значение - 13.1667%;

• доверительный интервал ±3сг; - (12.9713%, 13.3621%);

• квантиль уровня уровня 0.9 - 13.2346%;

При точности стабилизации 10 градусов

Для ереднеинтегрального угла ориентации панелей батареи

• среднее значение - 13.96817 градуса;

• доверительный интервал ±3а; - (12.73175,15.20459) градуса

• квантиль уровня 0.9 - 14.51306 градуса;

Для времени неосвещенности панелей батареи

• среднее значение - 31.9706%;

• доверительный интервал ±3ег; - (14.1649%,49.7763%);

• квантиль уровня уровня 0.9 - 39.9117%;

Необходимо обратить внимание на резкое увеличение процента времени неосвещенности панелей батареи при точности стабилизации 10 градусов по сравнению с точностями стабилизации в 1 и 5 градусов.

4.3. Пример 2. Сравнение методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений движения КА

Сравнение метода Адамса и метода Эйлера численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений для задачи компьютерного моделирования движения К А с внутреннкей динамикой было проведено при моделировании движения КА с работающем маршевым двигателем с моделью цифровой системы управления (такт БЦВМ - 0.03с) и номинальными (средними) значениями непоределенных факторов. Интервал движения КА на указанном участке полета, с [613.359,1204.0]. Определяются параметры движения К А, числовые значения которых приведены ниже, на момент выдачи команды на отключение маршевого двигателя. Момент выдачи команды на отключение маршевого двигателя определяется системой управления КА по достижению заданного значения специального критерия. Стабилизация К А по угловому движению осуществляется поворотом маршевого двигателя и шестнадцатью РДТТ малой тяги.

Вектор координат в ГИСК, км: метод Адамса ■ (-4264.898101,2710.775189,4229.674559) и метод Эйлера (-4265.045054,2710.690531,4229.595007); вектор скорости в ГИСК, м/с: метод Адамса (-5849.557333, -3753.422479, -3493.125079) и метод Эйлера (-5849.567940, -3753.398580, -3493.187913); апогей, км: метод Адамса 6594.597881 и метод Эйлера 6594.699450; эксцентриситет: метод Адамса 0.000351 и метод Эйлера 0.000357; фокальный параметр, км: метод Адамса 6592.281752 и метод Эйлера 6592.342014; большая полуось, км: метод Адамса 6592.282565 и метод Эйлера 6592.342856; малая полуось, км: метод Адамса 6592.282158 и метод Эйлера 6592.342435; масса, кг: метод Адамса 21155.705143 и метод Эйлера 21155.497852; долгота восходящего узла, градусы: метод Адамса 9.180947 и метод Эйлера 9.180478; аргумент перигея, градусы: метод Адамса 130.400462 и метод Эйлера 126.234981; радиус перигея, км: метод Адамса 6589.967248 и метод Эйлера 6589.986262; период обращения с: метод Адамса 5326.760851 и метод Эйлера 5326.833928; наклонение орбиты, градусы: метод Адамса 51.565684 и метод Эйлера 51.565916; момент выдачи команды на отключение маршевого двигателя с: метод Адамса 1193.557297 и метод Эйлера

1193.582663.

Из приведенных результатов видно, что разница между терминальными значениями параметров движения КА при применении метода Адамса и метода Эйлера несущественная. Однако, метод Эйлера применим в случае, если правая часть дифференциального уравнения содержит случайный процесс.

4.4. Пример 3. Оценивание расстояния между КА на заданный момент времени при разделении КА

Происходит разделение 2-х КА, один из которых имеет пустые топливные баки, а топливные баки второго КА имеют заполнение от 93% до 100%. Заданы разбросы на МИХ обоих КА. Необходимо оценить расстояние между КА на 2-ой секунде после разделения по продольной оси связанной с КА1 системы координат, вдоль которой происходит разделение.

Проведено имитационное моделирование. Получены 1000 реализаций. По реализациям получена выборочная оценка квантили расстояния уровня 0.99. По первым 100 реализациям получены выборочная и экстремальная порядковая оценки квантили расстояний.

По первым 100 реализациям получены следующие оценки. Выборочное среднее расстояние, м: 10.47095; оценка среднего квадра-тического отклонения расстояния, м: 0.113698, выборочная оценка квантили расстояния, м: 10.69072, значение экстремальной порядковой статистики расстояния, м: 10.69923.

По 1000 реализаций получены следующие оценки. Выборочное среднее расстояние, м: 10.4748; оценка среднего квадратического отклонения расстояния, м: 0.243298, выборочная оценка квантили расстояния, м: 10.71355. Увеличение оценки среднего квадратического отклонения связано с "выбросом"значения расстояния на 151 реализации. Значение расстояния на 151 раелизации равно 3.607337.

Данный пример показывает, на сколько важно для оценивания параметров движения КА получать выборку большого объема.

Заключение

1. построена интегрированная математическая модель движения КА с внутренней динамикой на различных участках полета;

2. предложена и исследована древовидная структура систем координат и групп подвижных объектов;

3. разработаны методы и алгоритмы реконфигурации группы подвижных объектов с использованием древовидной структуры;

4. выработаны рекомендации по применению методов оценивания квантили случайной величины для оценки точности движения КА и проведен статистический анализ входных случайных факторов.

5. разработан комплекс программ для статистического моделирования движения К А с внутренней динамикой;

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мирошкин, Владимир Львович, 2009 год

1. Абгарян К. А., Раппопорт И.М. Динаимка ракет М., Машиностроение, 1990.

2. Арушанян О.Б., Залеткин С.В. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране.- М., изд-во МГУ, 1990.

3. Асриев А.В., Кибзун А.И. Практикум по статистичекому моделированию на ЭВМ М., изд-во МАИ, 1989.

4. Алексеев Л. И. К вопросу описания немалых движений твердого тела с полостями, частично заполненнными жидкостью. // Труды НИИ прикладной математики и механики при Томском университете, Томск, 1976, №7, С. 3-10.

5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

6. Аппазов Р.Ф., Лавров С.С., Мишин В.П. Баллистика управляемых ракет дальнего действия. М.: Наука, 1966.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., Наука, 1987.

8. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск.: Наука, 1997.

9. Буч Г. Объектно-Ориентированное Проектирование. С примерами применения. ML: АО "И.В.К.", К.: Фирма "Диалектика" 1992.

10. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М. Мир, 1980.

11. Верижбицкий В.М. Численные методы. М. Высшая школа, 2005.

12. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Применение и сравнение методов несглаженного и сглаженного бутстрепа для оценивания квантили // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2008, С. 257 259.

13. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Применение метода бутстрепа для оценивания функции квантили // Автоматика и Телемеханика, 2007, No. 11. С. 46 60.

14. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Применение метода бутстрепа для оценивания терминальной точности движущегося объекта // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2007, С. 132 133.

15. Владимиров А.В., Шлуинский Ю.Т., Рогова О.Р. Математическая модель процесса отделения КА от РН с учетом колебания жидкости в баках. // Информационные технологии в проектировании и производстве. М.:ВИМИ, 1999. No. 4. С. 66-69.

16. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М.: Наука, 1984.

17. Докучаев Л. В. Анализ устойчивости нелинейных колебаний тела с жидкостью и эквивалентного тела со сферическим маятником// Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1977, №3, С. 21-27.

18. Докучаев Л. В. Механическая модель осесимметричного тела с жидкостью, совершающего нелинейные движения// Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1976, №2, С. 25-29.

19. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979.

20. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М., Наука, 1984.

21. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М., Наука, 1982.

22. Ефремов В.А., Кибзун А.И. Оптимальные экстремальные порядковые оценки квантили. // Автоматика и телемеханика, 1996, Я2 12, сс.3-15.

23. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1992.

24. Кап А.В., Кан Ю.С. Гарантирующее доверительное оценивание параметров ряда распределений. // Вестник Московского авиационного института, 2008, 15, № 2, сс.45-50.

25. Кан Ю.С. Сравнение квантильного и гарантирующего подходов при анализе систем// Автоматика и телемеханика, 2007, №1, С. 57-67

26. Кан Ю.С., Сысуев А.В. Об обосновании принципа рвномерности в задаче оптимизации вероятностного показателя качества// Автоматика и телемеханика, 2001, №5, С. 77-88

27. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М., Наука, 1971.

28. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

29. Кибзун А.И., Курбаковский В.Ю. Численные алгоритмы кван-тильной оптимизации и их применение к решению задач с вероятностными критериями // Техн. кибернетика. 1991. No. 1. С. 75-81.

30. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2008.

31. Кибзун А.И., Мирошкин В.Д. Об одной математической модели движения К А в декартовых координатах// Математическое моделирование, 2009, №6

32. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. Математическая модель изменения конфигурации группы К А// тезисы докладов 13-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2008, С. 251.

33. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. Об одном подходе к разработке программного обеспечения для имитационного моделирования динамики КА// тезисы докладов 12-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2007, С. 118.

34. Кибзун А.И., Кан Ю.С., Мирошкин В.Л. Вероятностный анализ динамики космических аппартов// тезисы докладов 11-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2006, С. 14-15.

35. Кибзун А.И., Кузнецов Е.А., Мирошкин В.Л. Программное обеспечение вероятностного анализа динамики КА на различных участках полета// тезисы 10-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2005, С. 155.

36. Кибзун А.И., Курбаковский В.Ю. Численные алгоритмы кван-тильной оптимизации и их применение к решению задач с вероятностными ограничениями. // Изв. РАН, техн. киберн., 1992, № 1, сс.75-81.

37. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. О проблемме обработки данных при разработке программного обеспечения для имитационного моделирования динамики К А// тезисы 9-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2004, С. 44.

38. Кибзун А. И., Мирошкин В. Л. Моделирование динамики К А в задаче вероятностного анализа динамики К А// сборник тезисов 8-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2003, С. 120.

39. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. Об эффективных алгоритмах вычисления интеграла Лапласса на ЭВМ// тезисы 7-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2002, С. 38.

40. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. О проблемах математического моделирования движения космических аппаратов с жидким топливом.// тезисы докладов 6-й межд. конф. "Системный анализ и управление космическими комплексами", Евпатория, 2001, С. 44.

41. Кибзун А.И. О наихудшем распределении в задачах стохастической оптимизации с функцией вероятности // АиТ. 1998. No. 11. С. 104-117.

42. Кибзун А.И., Шлуинский Ю.Т., Кан Ю.С., Мирошкин В.Л. Принципы моделирования и вероятностный анализ систем разделениякосмических аппаратов.// "Бортовые интегрированные комплексыи современные системы управления", Ярополец: МАИ, 1998, С. 4648.

43. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980.

44. Колесников К.С., Козлов В.И., Кокушкип В.В Динамика разделение ступеней летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1977.

45. Комаренко А.Н., Луковский И.А. Устойчивость нелинейных колебаний жидкости в сосуде, совершающем гармонические колебания// прикладная механика, 1974, т. 10, вып. 10, с. 97-102.

46. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.

47. Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970.

48. Лебедев А.А., Черпобровшн Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Оборонгиз, 1962.

49. Малышев ВВ„ Карп К.А. Численные методы вероятностного анализа. М.: МАИ, 1993.

50. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления JIA. М.: Машиностроение, 1987.

51. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.

52. Меткалф М., Рид Дж. Описание языка прграммирования ФОРТРАН 90. М., Мир, 1995.

53. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968.

54. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971.

55. Мирошкин В.Л., Кибзун А. И. Об одном подходе к компьютерному моделированию движения группы связанных между собой объектов // Вестник Московского авиационного института, 2008, No. 2., т.2., С. 51 58.

56. Мирошкин В.Л. Алгоритм квантильного оценивания неизвестного параметра // Теория и системы управления, 1996, No. 2., т.2., С. 56 80.

57. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М.: Машиностроение, 1977.

58. Оре О. Теория графов. М., Наука, 1968.

59. Пирумов У.Г. Численные методы. М. Дрофа; 2003.

60. Погорелев Д.Ю. О численных методах моделирования движения систем твердых тел// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995, №4, С. 501-506

61. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Наука; 1985.

62. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. — 2-е изд. перераб. М.: Машиностроение, 1983.

63. Рабинович Б. И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с циллиндрической полостью, частично заполненной жидкостью // ПММ, 1956, т.20, вып 1, с. 39-50. М.: Машиностроение, 1983.

64. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М., Наука, 1989.

65. Соболь ИМ. Метод Монте-Карло. М., Наука, 1985.

66. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., Наука, 1973.

67. Харари Ф. Теория графов. М., Мир, 1973.

68. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб., Лань, 2002.

69. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

70. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л., под ред. Кибзун А.И. Численные методы: учеб. пособие для студ. техн. ун-тов. М.: Физматлит, 2004.

71. Черных К.Ф., Алешков Ю.З., Понятовский В.В., Шамина В.А. Механика сплошных сред. Л., Ленинградский университет, 1984.

72. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. М., Машиностроение, 1986.

73. Kibzun A.I., Kan Yu.S. Stochastic programming problems with probability and quantile functions. Chichester: John Wiley and Sons, 1996.

74. A.I. Kibzun. Yu.T. Shluinskiy, Yu.S. Kan, V.L. Miroshkin Probabilistic analysis of spacecraft separation from the launch-vehicle // Konferencja Awioniki, Zeszyty Naukowe Politechniki nr 168, Jawor 98, pp. 493 499.

75. Sheather, S.J. and Marron, J.S. Kernel Quantile Estimators // Journal of the American Statistical Association, 1990, 85, 410-416.