Математическое моделирование диагностирования полостей в стержне по собственным частотам колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Саляхова, Елена Викторовна

• Саляхова, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Саляхова, Елена Викторовна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ПОЛОСТЕЙ В СТЕРЖНЯХ И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ИХ ИДЕНТИФИКАЦИИ

1.1 Обзор литературы

1.2 Постановка задачи

1.3 Моделирование диагностирования местоположения и размера полости в стержне

1.4 Постановка задачи и моделирование диагностирования полости в стержне в случае, когда известна ее размерность но неизвестен отрезок локализации

1.5 Примеры

2 РАЗНОСТНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЕННЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

2.1 Описание разностно-аналитического метода

2.2 Теоретическое обоснование разностно-аналитического метода

2.3 Обобщение метода на дифференциальные уравнения п-го порядка

2.4 Примеры

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПОВЕДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ ОТ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ И РАЗМЕРА

ПОЛОСТИ В СТЕРЖНЕ. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ

3.1 Исследование доведения собственных частот трубчатого стержня

и сплошного (бездефектного) стержня

3.2 Исследование поведения собственных частот стержня с локальной полостью и сплошного (бездефектного) стержня

3.3 Описание комплекса программ <Расчет собственных частот изгибных колебаний дефектных, бездефектных стержней и диагностирование локальной полости в стержне>

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование диагностирования полостей в стержне по собственным частотам колебаний»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Ввиду исчерпания ресурса и большого износа технологического оборудования, особенно в таких экологически опасных отраслях, как нефтедобыча, нефтехимия, энергетика, трубопроводный транспорт, актуальными являются методы раннего обнаружения зарождающихся повреждений конструкций. Оптико-визуальные методы контроля дают результат лишь для повреждений, достигших относительно больших размеров и расположенных на внешней поверхности, поэтому не всегда применимы. Например, в протяженных объектах типа трубопроводных систем, нефтедобывающих штанг не все участки могут быть доступны для визуального осмотра и локального приборного диагностирования повреждений. Даже при их доступности, не во всех случаях представляется возможным определение , местных дефектов конструкций, обусловленных местной коррозией, охрупчиванием, появлением трещин.

Поэтому в настоящее время остро стоит вопрос создания все новых методов диагностики технических систем в целях быстрого обнаружения неисправности и обеспечения надежности функционирования оборудования.

Методы диагностики, основанные на измерении собственных частот колебаний, имеют достаточно широкое распространение для определения физико-механических свойств различных материалов и конструкций. Они относятся к акустическим методам диагностики, для теоретической отработки которых необходимо применение математической модели повреждения.

На практике большой интерес представляют колебания стержней при различной их заделке (такие системы широко используются в технике -

различные валы, оси и т.н.) В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная разработке математических моделей акустической диагностики полостей в стержнях но собственным частотам колебаний, а также их численному исследованию, представляется актуальной.

Цель работы - разработка и исследование математических моделей акустической диагностики дефектных стержней по собственным частотам изгибных колебаний. В соответствии с поставленной целью в работе формулируются и решаются следующие задачи исследований:

1) моделирование диагностирования полости в стержне но двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров колебаний (вокруг разных осей); численное исследование зависимости частот изгибных колебаний от местоположения и размеров полости в стержне;

2) разработка численного метода расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих колебания дефектных и бездефектных стержней; получение теоретических доказательств сходимости этого метода; применение метода при диагностировании полости в стержне;

3) создание комплекса программ для пользователей, позволяющего провести расчет собственных частот колебаний дефектных и бездефектных стержней на основе разработанного метода расчета, а также диагностировать параметры, характеризующие размер и местоположение полости в стержне.

Методы исследования

В работе использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа, линейной алгебры, а также программирования.

Достоверность научных положений, выводов

«з

И рекомендации, сформулированных в диссертации, обеспечивается математическими доказательствами и сравнением результатов, полученных при применении разработанного метода расчета собственных частот в диагностировании дефектных стержней, с точными результатами модельных задач, а также численными результатами других авторов. .

Научная НОВИЗНа работы заключается в следующем:

- впервые предложено моделировании диагностирования полости в стержне ио двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей):

- разработан новый численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Приведены теоретические доказательства его сходимости;

- с помощью разработанного численного метода расчета проведены исследования зависимости собственных частот колебаний стержня от местоположения дефекта при действии различных параметров (закрепление стержня, величина объема полости, масса стержня и т.д.). В результате сделан вывод и приведены численные результаты, показывающие, что не всегда собственные частоты колебаний являются информативным признаком наличия дефекта в стержне - при определенном положении полости в стержне частота колебаний дефектного стержня совпадает с частотой колебаний бездефектного стержня;

- разработан комплекс программ, позволяющий провести диагностирование параметров, характеризующих размер и положение полости в стержне, а также вычислить собственные частоты колебаний дефектных, бездефектных стержней.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Предлагаемое моделирование диагностирования полости в стержне становится основой акустической диагностики доступных и недоступных для визуального осмотра механических систем и конструкций. Оно позволяет судить о величине и местоположении дефектов в виде полостей по собственным частотам изгибных колебаний. Представленный анализ зависимостей собственных частот изгибных колебаний от параметров системы позволяет прогнозировать картину дальнейшего роста повреждения и выявить необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и

сроков проведения, не прибегая к дорогостоящей разборке.

Представленный в диссертации численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка может использоваться для решения конкретных практических задач, приводящих к проблеме собственных значений. Такие задачи возникают в акустике, аэродинамике, механике твердого тела и т.д.

Положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математическое моделирование диагностирования полости в стержне но двум собственным частотам, взятым из различных спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей). Выполненные в рамках модели численные эксперименты определения местоположения и размеров полости в стержне. Сравнение полученных численных результатов с результатами модельных примеров и результатами других авторов.

2. Численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений чветвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Численные исследования изменения собственных частот изгибных колебаний стержня в зависимости от местоположения, величины полости.

3. Комплекс программ для пользователей, позволяющий провести расчет-собственных частот колебаний дефектных и бездефектных стержней, а также диагностировать параметры, характеризующие размер и местоположение полости в стержне.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на всероссийских и международных конференциях и симпозиумах, семинарах:

- V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых, Новосибирск, 1-3 ноября 2004 г.;

- Международная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи - ММ-2005", Самара 01.06.2005-03.06.2005 г.:

- VI Международная научно-техническая конференция "Авиакосмические технологии - АКТ - 2005", Воронеж 14.09.2005-16.09.2005 г.:

- VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи, 2005 г.;

- Международная уфимская зимняя школа-конференция но математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 30 ноября -6 декабря 2005 г.;

- VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.;

- VII Международная научно-техническая конференция "Авиакосмические технологии - АКТ - 2006", Воронеж, 13-15 сентября 2006 г.;

- Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", 2 -6 октября 2011 г;

- научный семинар по математическому моделированию Башкирского государственного университета под руководством д. ф.-м. н. С.И. Спивака, 2012 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, из которых 3 работы размещены в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской федерации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложения.

В первой главе работы проводится обзор литературы, связанной с темой диссертации, а также даются основные принципы и методы проведения численного моделирования сформулированных задач.

Здесь рассматриваются колебания призматического стержня с дефектом в виде локальной полости. Приводится постановка задачи идентификации полости в стержне и дается описание предлагаемого подхода к моделированию

диагностирования полости в стержне, когда диагностирование проводится по двум собственным частотам изгибных колебаний стержня, взятым из двух различных спектров колебаний (вокруг разных осей). В конце главы полученные результаты рассматриваются на конкретных примерах.

Все вычисления, производимые в первой главе, ведутся с помощью разработанного в диссертации разностно-аналитического метода вычисления собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка. Поэтому вторая глава работы посвящена описанию разностно-аналитического метода.

Во второй главе диссертации приводится алгоритм разностно-аналитического метода и даются теоретические обоснования его сходимости.

Приближенными собственными значениями в данном методе являются нули некоторой функции /(А), которую можно представить в явном виде. Предлагаемый метод решения спектральной задачи позволяет строить приближенные решения без последующей интерполяции и выбора пробных функций. Нужно отметить, что он пригоден для более широкого класса задач, в том числе для случая, когда спектральный параметр присутствует в краевых условиях.

В конце главы приводятся примеры применения разностно-аналитического метода для решения конкретных задач. Эффективность предлагаемого метода продемонстрирована на модельных примерах, имеющих точное решение, а также проведен сравнительный анализ с результатами других авторов.

Во третьей главе диссертации проводится численное исследование зависимости поведения частот изгибных колебаний стержня от местоположения и размеров полости в стержне. Выявляются и теоретически обосновываются условия, при которых частоты колебаний дефектного стержня совпадают с частотами колебаний бездефектного стержня с такими же характеристиками. Дается описание разработанного комплекса программ для пользователей.

Проведенное исследование на примере колебаний сплошного призматического стержня и стержня таких же размеров, имеющего полость, проходящую по всей длине стержня (трубчатого стержня),

подтверждает: при определенном положении полости стержня., один из спектров собственных частот изгибных колебаний стержня с полостью совпадает с соответствующим спектром собственных частот колебаний сплошного бездефектного стержня. Аналитически выявлено значение параметра, характеризующего положение полости трубчатого стержня, при котором происходит совпадение соответствующих спектров частот колебаний бездефектного и трубчатого стержней.

Для случая локальной полости также определены положения полости, при которых собственные частоты изгибных колебаний стержня с полостью совпадают с собственными частотами изгибных колебаний стержня без полости. Исследование показывает, что случай локальной полости отличается от случая полости, проходящей по всей дайне стержня, тем, что эти положения являются разными для первой, второй, третьей и последующих частот.

Тем самым показано, что одного спектра частот изгибных колебаний еще недостаточно для идентификации местоположения и размеров полости, что подчеркивает преимущества предлагаемого в диссертации моделированиям диагностирования полостей в стержне, основанного на использовании собственных частот из двух спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей).

В приложении к диссертации приведен исходный код одного их модулей разработанного комплекса программ "Расчет собственных частот изгибных колебаний дефектных, бездефектных стержней и диагностирование локальной полости в стержне".

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Саляхова, Елена Викторовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложено моделирование диагностирования локальной полости в стержне по двум собственным частотам изгибных колебаний, взятым из двух различных спектров колебаний (вокруг разных осей).

Оно может служить основой акустической диагностики доступных и недоступных для визуального осмотра механических конструкций.

Разработан новый численный метод расчета собственных значений для уравнений четвертого порядка с разделенными краевыми условиями. Приведены теоретические обоснования его сходимости. Приведены результаты тестирования метода на модельных примерах, имеющих точное решение, а также проведен сравнительный анализ с результатами других авторов.

Предлагаемый численный метод решения спектральной задачи позволяет строить приближенные решения без последующей интерполяции и выбора пробных функций. Нужно отметить, что он пригоден для более широкого класса задач, в том числе для случая, когда спектральный параметр присутствует в краевых условиях.

Метод может применяться для решения конкретных практических задач, приводящих к проблеме собственных значений. Такие задачи возникают в акустике, аэродинамике, механике твердого тела и т.д.

С помощью разработанного численного метода проведено исследование зависимости поведения собственных частот изгибных колебаний стержня от местоположения и размера полости в стержне.

Проведенное исследование на примере колебаний сплошного призматического стержня и стержня таких же размеров, имеющего полость, проходящую по всей длине (трубчатого стержня), подтверждает: при определенном положении полости стержня, один из спектров собственных частот изгибных колебаний стержня с полостью совпадает с соответствующим спектром собственных частот колебаний сплошного бездефектного стержня.

Аналитически выявлено значение параметра, характеризующего положение полости трубчатого стержня, при котором происходит совпадение соответствующих спектров частот колебаний бездефектного и трубчатого стержней.

Тем самым показано, что одного спектра частот изгибных колебаний еще недостаточно для идентификации местоположения и размеров полости.

Проведенное исследование показывает что для случая локальной полости также есть положения полости, при которых собственные частоты изгибных колебаний стержня с полостью совпадают с собственными частотами изгибных колебаний стержня без полости. Однако случай локальной полости отличается от случая полости, проходящей по всей длине стержня, тем, что эти положения являются разными для первой, второй, третьей и последующих частот.

Сделаны выводы: если полость может развиваться в промежутке между поверхностью стержня и его нейтральной осью, следует с осторожностью применять методы диагностирования дефектов с помощью одного спектра собственных частот колебаний. Они не всегда позволят выявить и правильно идентифицировать такой дефект. Чего можно избежать используя предлагаемую в данной работе модель диагностики полости в стержне, основанную на использовании собственных частот из двух спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей).

На основе разработанного численного метода создан комплекс программ "Расчет собственных частот изгибных колебаний дефектных, бездефектных стержней и диагностирование локальной полости в стержне". Комплекс программ реализован на языке программирования Delphi. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса №18000 от 1.03.2012, инвентарный номер ВНТИЦ 50201250274 от 02.03.2012.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Саляхова, Елена Викторовна, 2012 год

Литература

[lj Абзалимов P.P. Методика отыскания собственных значений и собственных функций регулярной задачи Штурма-Лиувилля // Вест. БашГУ -1999, №2. С.20-23.

[2] Абзалимов P.P. Отыскание собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля // Вест. БашГУ -1999, №3. С.7-12.

[3] Абзалимов P.P. Вычисление собственных чисел и собственных функций оператора Штурма-Лиувилляна полуоси // Вест. БашГУ-2000, №1. С.13-18.

[4] Абзалимов P.P. Метод расчета собственных чисел и собственных функций регулярной краевой задачи со спектральным параметром в краевых условиях// Сборник статей "На рубеже веков - Естественно-математический цикл"ч.З - Уфа:2001б С.90-96.

[5] Абзалимов P.P., Саляхова Е.В. Разностио-аналитический метод вычисления собственных значений для уравнений 4-го порядка с разделенными краевыми условиями // Известия вузов. Математика. 2008, №11, с. 3-11.

[6] Абзалимов P.P., Саляхова Е.В. Применение разностно-аналитического метода при исследовании осесимметрических колебаний тонкой кольцевой пластины // Обозрение прикладной и промышленной математики, Том 12, Выи.4. 2005. С 891.

[7] Абзалимов P.P., Саляхова Е.В. Исследование осесимметричных изгибных колебаний диска переменной толщины без отверстия в центре //

Обозрение прикладной и промышленной математики, Том 13, Вып.З, 2006. С. 459-460.

[8] Абзалимов P.P., Саляхова Е.В. Разностно-аналитический метод вычисления собственных значений для уравнений четвертого порядка с неразделенными краевыми условиями // Авиакосмические технологии "АКТ-2006": Труды седьмой междунар. науч. - технич. конф. - Воронеж: Ворон, гос. техн. ун-т, 2006, 604 е., С. 565-568.

[9] Абзалимов P.P., Саляхова Е.В. Разностно-аналитический метод вычисления собственных частот колебаний круговой пластинки // Междун. уфимская зимняя школа-конф. по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов: Математика. Т.1 - Уфа: РИО БашГУ, 2005 - 305 е., С. 3-8.

[10] Абзалимов P.P., Саляхова Е.В. Модификация разностно-аналитического метода расчета собственных значений для уравнений второго порядка // Авиакосмические технологии "АКТ-2005": Труды шестой междунар. науч. -технич. конф. 4.2. Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2005. 263 е., С. 224-226.

[11] Абзалимов P.P., Саляхова Е.В. Описание разностно-аналитического метода для расчета собственных значений уравнений четвертого порядка // Мат. моделир. и краевые задачи. Труды второй всерос. науч. конф., Самара, 1-3 июня 2005 г., 255 е., часть 3, С. 12-14.

[12] Абрамов A.A. Вариант метода прогонки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1961.-Т.1, Ш. - С.349-351.

[13] Абрамов A.A., Диткип В.В., Конюхова Н.В. и др. Вычисление собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1980.-Т.20, №5. - С.1155-1173.

[14] Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний неоднородных стержней//Прикладная математика и механика. - 2003. - Т.67. - №4. - С.588-602.

[15] Артоболевский И.И., Бобровицкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука. 1979. 295 с.

[16] Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

[17] Ахтямов А. М. О восстановлении краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Вестник Башкирского университета. Уфа: Изд-е БашГУ, 1999. № 1. С. 13-17.

]18] Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С.1127-1128.

[19] Ахтямов А. М. Об однозначности определения моментов инерции концевых дисков вала по собственным частотам крутильных колебаний // Ученые записки: Сб. научн. тр. / БашГПИ. Уфа, 1999. С. 3-7.

[20] Ахтямов A. M. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях // Известия вузов. Математика. 2000. № 2. С. 13-18.

[21] Ахтямов A. M. О единственности восстановления краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру / / Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 3. С. 6.

[22] Ахтямов A. M. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. Вып. 4. С. 995-1006.

[23] Ахтямов А. М. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша для одной эллиптической задачи с параметром в граничном условии // Математические заметки. 2001. Т. 69. Вып. 4. С. 622-624.

[24] Ахтямов А. М. О связи одной спектральной задачи с интерполированием целых функций // Региональная школа-конференция для студентов., аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Т. 1. Математика: Сборник трудов / Изд-е Башкирск. ун-та. Уфа, 2001. С. 14-19

[25] Ахтямов A.M., Николаенко В. В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 92-93.

[26] Ахтямов A.M. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний//Механика твердого тела. - 2003. - № 6. - С.137-147.

[27] Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. МММИУ. 2001. Т. 5. № 3. С. 103-110.

[28] Ахтямов А. М. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 1. С. 154-155.

[29] Ахтямов А. М. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины но ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

[30] Ахтямов А. М. Акустическая диагностика закреплений кольцевых пластин // Механика оболочек и пластин: Сборник докладов XX Международной конференции но теории оболочек и пластин. Н. Новгрод: Изд-во ННГУ им. Лобачевского, 2002. С. 101-104.

|31j Ахтпямов A. M. Определение моментов инерции вращающихся дисков относительно оси вала // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 3. С. 584-585.

[32] Ахтямов А. М. К решению обратной статической задачи // Электронный журнал «Исследовано в России». 2003. 49. С. 567-573: http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/2003/049.pdf

[33] Ахтямов А. М. Диагностирование нагружености механической системы // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2003. № 6. С. 60.

[34] Ахтямов А. М., Николаенко В. В. О возможности определения вида закрепления стержня по собственным частотам // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 3. / Под ред. М.А.Ильгамова, Р.Н. Нигматуллина, C.B. Хабирова. — Уфа: Гилем, 2003. - С. 11-20.

[35] Ахтямов А. М. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжского математического общества. 2003. Т. 5. №1. С. 214-221.

[36] Ахтямов A. M. К единственности решения одной обратной спектральной задачи // Дифференциальные уравнения. 2003. № 8. С. 1011-1015.

[37] Ахтямов А. М. Можно ли определить вид и параметры закрепления прямоугольной пластины по ее собственным значениям? // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 28. Материалы XVII сессии Межд. школы по моделям механики сплошной среды, Казань, 4-10 июля 2004 г. — Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. 2004. С. 26-29.

[38] Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся закреплений // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 7. С 5152.

[39] Ахтямов А. М. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевых задач с параметром в граничных условиях // Математические заметки. 2004. Т. 75. Вып. 4. С. 493-506.

[40] Ахтямов А. М., Ямилова JI. С. Диагностирование нераспадающегося закрепления стержня переменной жесткости // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2006. № 2. С. 56-58.

[41] Ахтямов A.M. Восстаноление краевых условий по собственным частотам // Обратные задачи в приложениях. Коллективная монография под общ. ред. проф. С.М. Усманова. Бирск: БирГСПА, 2006. С. 150-158.

[42] Ахтямов А. М., Аюпова А. Р. Определение полости в стержне методом отрицательной массы // Дефектоскопия, 2010, № 5, с. 29-33.

[43] Ахтямов А. М., Ямилова Л. С. Идентификация условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока // Электромагнитные волны и электронные системы. 2006. Т. 11. jTS 2-3. С. 15-17.

[44] Ахтямов А. М. Диагностика закрепления прямоугольной мембраны по собственным частотам ее колебаний // Акустический журнал. 2006. Т. 52. № 3. С. 293-296.

[45] Ахтямов А. М., Муфтахов А. В., Тайхер М., Ямилова Л. С. Об одном методе определения по собственным частотам условий закрепления прямоугольной пластины // Известия РАН. МТТ. 2007. № 1. С. 100-113.

[46] Ахтямов А. М., Нафикова Э. Р. Восстановление краевых условий и функций нагрузки // Контроль. Диагностика. 2007. № 9. С. 50-52.

[47] Ахтямов A.M. Определение массы, скорости движения груза и места его удара но стержню с помощью продольных смещений одного из сечений стержня // Контроль. Диагностика. 2007. JY8 11. С. 59-60.

[48| Ахтямов А. М., Муфтахов А. В. К вопросу об отыскании параметров упругох'о закрепления краев прямоугольной пластины // Труды Института механики научного центра РАН. Выи. 4. Уфа: Гилом. 2007. С.11-22.

[49J Ахтямов A.M., Саляхова Е.В. Диагностирование полости в стержне // Журнал СВМО. 2011. Т 13., № 1. С. 47-56.

[50] Ахтямов A.M., Саляхова Е.В. Всегда ли наличие полости в стержне меняет собственные частоты? // Электронный журнал "Техническая акустика", http://www.ejta.org, 2011, 7.

[51] Ахтямов A.M., Сафина Г. Ф. Алгоритм диагностирования закреплений трубы с жидкостью // Труды Института механики научного центра РАН. Выи. 5. Уфа: Гилем, 2007. С.96-100.

[52] Ахтямов А. М., Сафина Г. Ф. Определение виброзащитного закрепления трубопровода // Прикладная механика и техническая физика. 2008, Т. 49, № 1, С. 139- 147.

[53] Ахтямов А. М., Гарипова Г. И. Диагностирование механической системы с двумя степенями свободы но собственным частотам и амплитудам ее колебаний / / Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org. 2008. 13. 7 с.

[54] Ахтямов А. М., Гарипова Г. И. Диахтхостирование механической системы с двумя степенями свободы по двум наборам собственных частот // Обратные задачи в приложениях. Сборник статей научно-практической конференции. Вирск: ВирГСПА, 2008. С. 158-164.

[55] Ахтямов А. М., Муфтахов А. В., Ямилова Л. С. Определение вида и параметров закрепления стержня по собственным частотам его колебаний // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 2. С. 181-188.

[56] Ахгпямов А. М., Сафипа Г. Ф. Определение виброзащитного закрепления трубопровода // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. Л'а 1. С. 139-147.

[57] Ахгпямов А.М. Диагностирование механических систем // Вестник Академии наук Республики Башкортостан. 2008. Т. 13. № 4. С. 26-33.

[58] Ахтямов А. М., Урманчеев С. Ф. Определение параметров твердого тела, прикрепленного к одному из концов балки, но собственным частотам колебаний // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т. 11, № 4. С. 19-24.

[59] Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий. Уфа: Гилем, 2008. 300 с.

]60] Ахтямов А. М., Муртазина Р. Ф. Определение массы, скорости движения груза и места его удара по стержню с помощью показаний тензодатчика // Контроль. Диагностика. 2009. № 1.

[61] Бабаков И.М. Теория колебаний: учеб. Пособие, 4-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2004. - 591с.: 130 ил., 15 табл.

[62] Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.

[63] Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

[64] Бочарова О. В., Вагпульян А. О., Жарков Р. С. Реконструкция малых полостей в упругих стержнях // Изв. вузов Сев.-Кавк. региона. Естеств. Наукц. 2006, № 2, С. 28-32.

[65] Бубнов И. Г. Строительная механика корабля. Т. 2. СПб., 1914.

[66] Бухтияров И. Д., Аллилуев В. А. Исследования по акустической диагностике цилиндро-поршневой системы ДВС // Труды СибВИМа. Новосибирск, 1968. Вып. 4. С. 378-879.

[67] Ваньков Ю. В., Казаков Р. Б., Яковлева Э. Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов. Электронный журнал "Техническая акустика", http://www.ejta.org. 2003, 5.

[68] Васильев Н. А., Дворников С. И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акустический журнал. 2000. Т. 46. № 3. С. 424-426.

[69] Ватулъян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007, 224 с.

[70] Ватулъян А. О., Солуянов Н. О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне // Дефектоскопия, 2005, № 9, с.44-56.

[71] Ватулъян А. О., Солуянов Н. О. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний // Прикладная механика и техническая физика, 2008, Т. 49, № 6, с. 152-158.

[72] Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 2002. 840 с.

[73] Вибрации в технике: Справочник под. ред. В.В. Болотина. Т.1. Колебания линейных систем. М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

[74] Вибродиагностика качества механизмов приборов. Л.: ЛИАП, 1987. 144 с.

[75] Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1966. 248 с.

[76] Габитов И. И. Обеспечение надежности топливной аппаратуры сельскохозяйственного назначения в процессе ее эксплуатации. С. Петербург: СПбГАУ, 2000. 317 с.

[77] Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987. 288 с.

[78] Гладвелл Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008, 608 с.

[79j Гонтпкевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев: Наук, думка, 1964. 288 с.

[80] Григолюк Э. И., Селезнев И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ. 1973. Т. 5. 274 с.

[81] Григорьева Г. Н., Лурье Ф. М. Влияние инерции вращения и сдвига на собственную частоту изгибных колебаний стержня // Строит, мех. расчет сооруж. 1983. № 2. С. 51-54.

[82] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости - М.: Наука, 1967, С.471.

]83] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики: Учебн. пос. для втузов.М.: Физматгиз, 1960. 659 с.

[84] Диагностика автотракторных двигателей / Под ред. Н. С. Ждановского. Л.: Колос, 1977. 264 с.

[85] Дружинин Г. В., Бодунов H. М. Закиров И. М. Численно-аналитический метод в краевых задачах механики сплошной среды // Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах. 2001. Вып. 2(14). Т. 7. С. 95104.

[86] Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

[87] Зинченко В. И., Захаров В. К. Снижение шума на судах. Л.: Судостроение, 1968. 140 с.

[88[ Ильгамов М.А. Диагностика повреждений вертикальной штанги //Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 5. / Под ред. М.А.Ильгамова, С.Ф. Урманчеева, C.B. Хабирова. Уфа: Гилем, 2007, С. 201-211.

[89j Илъгамов M. A., Хакимов A. Г. Диагностика повреждений вертикальной штанги // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Выи. 5. / Под ред. М.А.Ильгамова, С.Ф. Урманчеева, C.B. Хабирова. Уфа: Гил ем. 2007. С. 212-220.

[90] Илъгамов М. А., Хакимов А. Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия, 2009, № 5, с. 83-89.

[91] Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 12. С. 1640-1659.

[92] Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 12. С. 1670-1686.

[93] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

[94] Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О спектральной задаче из теории параболо-гиперболического уравнения теплопроводности // ДАН. 1997. Т. 352. № 4. С. 451-454.

[95] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и иженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

[96] Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1958.

[97] Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968. 503 с.

[98] Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов M. М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962. 768 с.

[99] Кравчун П. Н. Генерация и методы снижения шума и звуковой вибрации. М.: Изд-во МГУ, 1991. 184 с.

[100] Кузьмин Р. В. Дифектация судовых механизмов. М.: Транспорт, 1967. 174 с.

[101] Лапин А. Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акустический журнал. 2002. Т. 48. Лгв 2. С. 277-280.

[102] Лейбензон З.Л. Спектральные разложения систем краевых задач // Тр. Моск. матем. о-ва. 1971. Т. 25. С. 15-58.

[103] Левин А. В. Расчет на статический изгиб и на вибрацию дисков гиперболического профиля // ЖТФ. 1937. Т. 7. № 17. С. 1754-1767.

[104] Левин А. В. Вибрация дисков // ЖТФ. 1937. Т. 7. № 17. С. 1739-1753.

[105] Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля, М.: Наука. 1984. 240 с.

[106] Левитан В. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию.- М.: Наука. 1970 - 671 с.

[107] Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Некоторые граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

[108] Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка, 1972. 220 с.

[109] Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения Киев: Наукова думка, 1977.

[110] Махмугпов М. М. Лекции по численным методам. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. 240 с.

[111] Мелешко С. В., Покорный Ю. В. Об одной вибрационной краевой задаче // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 2-3. № 8. С. 1466-1467.

[112] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 526 с.

[113] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

[114] Неразрушающий контроль. В 5 кн. Кн. 2. Акустические методы контроля: Практ. Пособие / И. Н. Ермолов, Н. П. Алешин, А. И. Потапов: Под ред. В. В. Сухорукова. М.: Высш. шк., 1991. 283 с.

[115] Павлов Б.В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение, 1971. 223 с.

[116] Перес М. Е.; Чвчкин Г. А., Яблокова (Доронина) Е. И. О собственных колебаниях тела с «легкими» концентрированными массами на поверхности // УМН. 2002. Т. 57. Вып. 6. С. 195-196.

[117] Потетюнко Э. Н., Черкесов Л. В., Шубин Д. С., Щербак Е. Н. Свободные колебания и обратные спектральные задачи. Неоднородные движения неоднородной жидкости. М.: Вузовская книга, 2001.

[118] Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. / Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 1. 831 с.

[119] Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 589 с.

[120] Рид М. Саймон Д. Методы современной математической физики (тома 1 и 4).М. "Мир".1977.

[121] Руд'ищ>т М.Н., Артемов П.Я., Любошиц ММ. Справочное пособие по сопротивлению материалов. Минск: Вышэйшая школа, 1970. - 630 с.

[122] Сахаров И.Е. Частоты собственных колебаний кольцевых пластинок // Изв. АН СССР. ОТН. 1957. №5. С. 107-110.

[123] Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 432 с.

[124] Стрэгпт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1. М.; Л.: Гостехиздат. 1940.

[125] Там,аркан Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

[126] Тимошенко С. П. Пластины и оболочки. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 460 с.

[127] Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.

[128] Тимошенко С. П. Курс теории упругости. Киев: Наук, думка, 1972.

[129] Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. № 5. С. 195-198.

[130] Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А. Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 230 с.

[131] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.

[132] Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

[133] Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

[134] Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с ашуг — М.: Мир, 1985. 254 с.

[135] Троценко Ю. В. О применении модели балки Тимошенко в задаче собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом // Акустичный вкник. 200-3. Том 6, № 4. С. 54-64.

[136j Тумашев Г. Г., Нужип М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. 333 с.

[137] Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы // Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. Jia 1. С. 62-67.

[138] Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. Идентификация объектов на основе анализа функции числа состояний акустического отклика // Журнал технической физики. 2003. Т. 73. Вып. 10. С. 130-133.

[139] Усманов С. М. Ритмы окружающего мира и человек. Уфа: Китап, 2007. 200 с.

[140] Фаддеев Д. К. Об обусловленности матриц // Тр. матем. ин-та АН СССР. 1959. 53. С. 387-391.

[141] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Спб.: Лань, 2000. 736 с.

[142] Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // УМН. 1959. Т. 14. № 4. С. 57-119.

[143] Форсберг К. Осесимметричные и балочного типа колебания тонкой цилиндрической оболочки // Ракетн. техн. космонавт. 1969. T.7, №2. С. 3745.

[144] Хачатпрян И. Г. О восстановлении дифференциального уравнения по спектру // Функц. анализ и его приложения. 1976. Т. 10. № 1. С. 93-94.

[145] Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им.И.Г.Петровского. 1983. N 9. С. 190-229.

[146] Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи связанные с ними // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1989. N 14. С. 140-224.

[147] Юрко В. А. Обратная задача для обыкновенных линейных дифференциальных операторов второго порядка на конечном интервале с нераспадающимися краевыми условиями // Исследования по дифференциальным уравнениям и теории функций. Вып. 4. Саратов: Саратовский университет. 1974. С. 84-103.

[148] Юрко В. А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Изв. АН АрмССР. Мат. 1984. 19. № 5. С. 398-409.

¡149] Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. педагогич. ин-та, 2001. 499 с.

[150] Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М: Физматлит, 2007. 384 с.

[151] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). М.: Наука, 1968.

[152] Яхно В. Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990.

[153] Boltezar М., Strancar В. and Kuhelj A. Identification of transerve crack locations in flexural vibrations of free-free beams // Journal of sound and vibration. 1998. Vol. 211. P. 729-734.

[154] Birheff G. D. Boundary value and expantion problems of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. Vol. 9. P. 373-395.

[155] Birhoff G. D. On the asymptotic character of the certain linear differential equations containg parameter // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. Vol. 9. P. 219— 231.

[156] Cab'ib E., Fredd/t L., Morassi A. and Persivale D. Thin notched beams // Journal of elasticity. 2001. Vol. 64. P. 157-178.

[157] Chen G., D elf our M.C., Krall A.M., Payee G. Modeling, stabilization and control of serially connected beams // SIAM J. Control and optimization. 1987, Vol. 25. № 3. P. 526-546.

[158] Chen G., Krantz S.G., Russell D.L., Wayne C.E., West H.H., Coleman M.P. Analysis, Designs and Behaviors of Dissipative Joints for Coupled Beams // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1989. Vol. 49. № 6. P. 1665-1693.

[159] Chin-Kao Ma and Dong-Chering Lin. Input forces estimation of a cantilever beam // Inverse Problems in Engineering, 2000, Vol. 8, pp. 511-528.

[160] Frikha S., Coffignal G., Trolle J. L. Boundary condition identification using condensation and inversion // .J. Sound and Vib. 2000. Vol. 233. № 3. P. 495514.

[161] Frikha S., Gaud,in M., Coffignal G. Boundary condition error for parametric updeting of In-operation systems application to piping systems //J. Sound and Vib. 2001. Vol. 241. № 3. P. 373-399.

[162] Freund L.B. and Herrmann G. Dynamic fracture of a beam or plate in plane bending // Journal of applied mechanics. 1976, Vol. 76, P. 112-116.

[163] Gladwell G.M.L. Inverse Problems in Vibration. 2nd ed. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2004.

[164] Gao Jia, Ying-Qing Song, Qiong Li. Calculation of eigenvalues for a class of cross.wise vibration equation of the beam.// ELSEIVER Applied Mathematics and Computation, 2004.

[165] Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. V. 73, m. P. 1-23.

[166] Morassi A. Crack-induced changes in eigenparameters of beam structures // ASCE Journal of engineering mathematics, 1993, vol. 119 (9). P. 1798-1803.

[167| Morassi A., Dilena M. On point mass identification in rods and beams from minimal frequency measurements // Inverse Problems in Engineering. 2002, Vol.10, No.3, P.183-201.

[168j Qwrili W. U., Fricke F. Determination of the size of an object and its location in a cavity by eigenfrequency shifts // Nat. Conf. Publ./ Inst. Eng. Austral, 1990. 9. P. 329-333.

[169] Sinha J.K., Friswell M.I. and S. Edwards. Simplyf'ied models for the location of cracks in beam structures using measured vibration data //Journal of Sound and vibration (2002) 251(1), 13-38.

[170] Walter J. Regular eigenvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary conditions // Math. Z. 1973. V. 133, № 4. P. 301-312.