Математическое моделирование электродинамического ускорения и торможения лайнера в устройстве обострения мощности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Родин, Александр Сергеевич

• Родин, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Родин, Александр Сергеевич

Введение.

В1. Постановка общей задачи.

В2. Актуальность работы.

ВЗ. Цели работы.

В4. Содержание работы.

Глава 1. Математические модели движения лайнера в магнитном компрессоре.

1.1. Описание используемых двумерных моделей.

1.2. Математическая модель электродинамических процессов.

1.2.1. Математическая модель электродинамических процессов для поперечного сечения.

1.2.2. Математическая модель электродинамических процессов для продольного сечения.

1.2.3. Уравнения внешних электрических цепей.

1.2.3.1. Уравнения электрических цепей для продольной модели.

1.2.3.2. Уравнения электрических цепей для поперечной модели.

1.3. Математические модели движения лайнера.

1.3.1. Используемые системы координат, тензоры деформаций и напряжений и уравнения движения.

1.3.1.1. Выбор системы координат.

1.3.1.2. Используемые тензоры деформаций и напряжений.

1.3.1.3. Понятие объективности тензоров. Объективные производные тензоров.

1.3.1.4. Сопряженные тензоры напряжений и деформаций.

1.3.1.5. Уравнения движения.

1.3.2. Определяющие соотношения для упругого материала.

1.3.3. Определяющие соотношения для термоупругого материала.

1.3.4. Определяющие соотношения для упругопластического материала.

1.3.5. Определяющие соотношения для вязкой несжимаемой жидкости.

1.4. Энергетические соотношения.

Глава 2. Численные модели движения лайнера в магнитном компрессоре.

2.1. Построение сетки.

2.2. Численная модель электродинамических процессов.

2.2.1. Численная модель электродинамических процессов для поперечного сечения.

2.2.2 Исследование оператора задачи для поперечной модели.

2.2.2.1. Дифференциальный оператор.

2.2.2.2 Разностный оператор.

2.2.2.3. Исследование спектра оператора.

2.2.3. Численная модель электродинамических процессов для продольного сечения.

2.3. Численные модели, описывающие движение лайнера.

2.3.1. Численная модель движения упругого лайнера.

2.3.1.1. Дискретные уравнения движения гиперупругого лайнера.

2.3.1.2. Дискретные уравнения движения гипоупругого лайнера.

2.3.1.3. Схема Ньюмарка решения динамических задач.

2.3.1.4. Итерационный метод решения нелинейных задач.

2.3.1.5. Вычисление значений тензора напряжений Коши.

2.3.2. Численная модель движения термоупругого лайнера.

2.3.3. Численная модель движения упругопластического лайнера.

2.3.4. Численная модель движения жидкого лайнера.

2.3.5. Численная модель процесса теплопроводности.

2.4. Информация о программном комплексе.

2.4.1. Структура программного комплекса.

2.4.2. Проведенные тесты.

Глава 3. Результаты численного моделирования движения лайнера в магнитном компрессоре.

3.1. Физические параметры.

3.2 Экспериментальные результаты.

3.3. Результаты численного моделирования для поперечной модели.

3.3.1. Расчеты без замыкания цепи лайнера.

3.3.1.1. Широкий лайнер.

3.3.1.2. Узкий лайнер.

3.3.2. Расчеты с замыканием цепи лайнера.

3.3.3. Выводы по моделированию движения лайнера в поперечном сечении.

3.4. Результаты численного моделирования для поперечной модели.

3.4.1. Расчеты без замыкания цепи лайнера.

3.4.1.1. Расчеты с упругим лайнером.

3.4.1.2. Расчеты с жидким и упругопластическим лайнером.

3.4.2. Расчеты с замыканием цепи лайнера.

3.4.3. Выводы о моделировании движения лайнера в продольном сечении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование электродинамического ускорения и торможения лайнера в устройстве обострения мощности»

1 В1. Постановка общей задачи

Использование импульсного преобразования электромагнитной и кинетической энергии заняло прочное место в энергетике физического эксперимента, начиная с цикла работ П.Л. Капицы, который и разработал первые электромашины ударного действия. Эти эксперименты позволили продвинуться в область физики высоких плотностей энергии благодаря созданию взрывных магнитоку-мулятивных генераторов (ВМГ), основанных на предложении А.Д. Сахарова [57]. Обратимый двойной цикл преобразования электромагнитной энергии в кинетическую и обратно мог обещать при определенных условиях реализацию резкого увеличения плотности электромагнитной энергии или развиваемой мощности электрических импульсов. Такие попытки ранее предпринимались. Например, получение мегагауссных магнитных полей с помощью электромагнитного разгона цилиндрических лайнеров реализовано. С.Г. Алихановым [3]. Такие устройства и сегодня используются для физических исследований в лабораториях [50]. Реализуемая подобным образом генерация мощных электрических импульсов во внешней цепи является, по - видимому, более сложной задачей, в особенности если при этом стремиться к высокой величине коэффициента полезного действия всего устройства.

1 I

Сжатие быстрых лайнеров в последнее время рассматривается как возмож1 ный источник генерации импульсов рентгеновского излучения с энергией масI штаба десятков МДж. ТРИНИТИ, НИИЭФА, РНЦ «Курчатовский Институт» и

ВНИИТФ разрабатывают проект «Байкал» на основе индуктивных накопителей 5 энергии, которые в процессе передачи энергии от ступени к ступени с увеличением мощности генерируют электрический импульс с параметрами, необходимыми для сжатия лайнеров [2].

Рис. В1. Схема установки МОЛ

Стенд модуля "МОЛ" установки "БАЙКАЛ" Магнитный усилитель Индуктивный накопитель Пультовая

Конденсаторная батарея

Плазменный прерыватель тока

Повышающий прерыватель напряжения

Установка «МОЛ» (Магнитный Обостритель Лайнер), создаваемая в ТРИ-НИТИ (её схема приведена на рис.В1), предназначена для исследования работы всех ступеней модуля установки "БАЙКАЛ" и генерации электрического импульса мегаджоульного уровня [2, 69]. Первые два каскада усиления мощности электрического импульса для «МОЛ» (индуктивный накопитель и магнитный усилитель) созданы и введены в строй [5]. Третьим каскадом обострения мощности является магнитный компрессор (МК). Работы по МК начаты в 2001 году. В отличие от ВМГ [66], в котором рабочая зона сжатия магнитного потока размещена непосредственно внутри разгоняемой оболочки, в МК для вывода тока на внешнюю нагрузку к лайнеру необходимо подключить неподвижные токовые шины. Это обусловило выбор двойной полосковой линии со сходящимися пластинами лайнера в качестве ускорителя (показано на рис. В2). Данная геометрия устройства имеет следующие преимущества:

- поскольку сжатие потока производится двумя движущимися во встречном направлении проводниками, которые подлежат замене в каждом импульсе, то остальные элементы испытывают умеренные нагрузки в сравнительно «мягком» процессе разгона и не разрушаются;

- часть магнитного потока ускоряющего поля пронизывает внутреннюю сжимаемую полость между пластинами, как показано на рис. В2.6, и может быть использована как начальный; сжимаемый поток, поэтому имеется возможность обойтись без специальной системы создания начального магнитного поля В0.

На-рис. В2.а приведены размеры (в мм) экспериментального макета, построенного в ТРИНИТИ, составляющего четверть полного устройства МК [2];

Отметим сравнительную простоту изготовления лайнера и возможность его точной установки с: помощью торцевого натяжного устройства. Конструкция контактных площадок на торцах обеспечивает переход тока лайнера к неподвижным токоподводам, однако ставит задачу предотвращения обрыва ленты (и токовой цепи лайнера) при ее удлинении в процессе ускорения:

Рис. В2. а) Конструкция ускорительного витка и лайнера (лайнер вынут из витка индуктора); б) поперечное сечение сечение генератора в собранном виде, указано направление протекания токов, направление ускорения лайнеров и конфигурация ускоряющего магнитного поля.

В2. Актуальность работы

Как показано в [70], моделирование электродинамического разгона с использованием простой модели, в которой лайнер считается плоской и абсолютно жесткой пластиной, имеет неплохое соответствие с результатами экспериментов. Во всяком случае, в численных расчетах по данным моделям с сосредоточенными параметрами (с учетом правильной зависимости поведения индуктивности на базе разгона) удается определить величину скорости. Точность расчетов скорости составляет 100 м/с при ее абсолютной величине V— 1 км/с, а время схождения пластин можно определить с точностью до 10 мкс при времени ускорения 100-120 мкс для лайнеров с различной шириной (21 - 25 см). Но одного этого соответствия недостаточно для оптимизации режимов работы магнитного компрессора, предназначенного для генерации коротких импульсов тока. Режим компрессии магнитного поля предъявляет особые требования к строгой геометрической форме зазора между пластинами в момент сжатия магнитного поля. Для короткого генерируемого импульса отдача кинетической энергии тонкого лайнера должна проводиться одновременно по всей его плоскости. Искажение плоской формы приводит к неодновременному процессу торможения различных участков пластин и растягиванию выходного электрического импульса во времени.

С этой точки зрения желательно, чтобы амплитуда деформации пластины не превышала ее толщины. Однако величина этой амплитуды будет определяться особенностями физического механизма ускорения или, что более вероятно, неус-тойчивостями данного объекта, имеющего конечные размеры. Появление таких неустойчивостей обнаружено экспериментально.

Отметим, что экспериментальные результаты, приведенные разработчиками МК в опубликованных работах, например, в [19], показали удовлетворительное поведение ленты при ускоряющих токах, близких к рабочим режимам 2.5-3 МА. Более того, на фотографиях теневой съемки лайнера видно, что ленты лайнера в продольном сечении двигаются параллельно друг другу, при этом профиль лайнера вплоть до момента сжатия магнитного потока остается относительно тонким и его видимая толщина по оценке не превышает 10 мм.

Информация о движении лайнера в поперечном сечении получена по измерению «следов» пластины лайнера, падающей на клиновые скосы, расположенные в зоне закрепления концов ленты. Из анализа «следов» следует, что границы деформируемой ленты в процессе ускорения заметно приближаются к средней плоскости витка. Такое сужение ленты может быть связано, например, с заворачиванием краев лайнера. Заворачивание может происходить из-за естественного процесса «линчевания» тока, однако затравочный стартовый механизм этого движения, по-видимому, обеспечивает неоднородность ускорения пластины, изначально находящейся у поверхности витка.

Из приведенной информации видно, что характер движения пластины лайнера существенно отличен от простых представлений ускорения проводящего листа с однородным распределением плотности тока [41]. Хорошо известно [39], что распределение тока по пластине с конечной шириной неоднородно. Подробно распределение токов в таких условиях исследовано в [67]. В этом же убеждают результаты вычисления индуктивности ускорителя МК [7, 70], в которых отмечена резкая концентрация плотности тока на краях ленточного лайнера. Однако вопрос о реальной картине деформации пластинчатого лайнера во время ускорения до самого последнего времени оставался открытым.

Быстротечность и условия проведения эксперимента затрудняют получение более подробной информации о движении ленты в поперечном сечении компрессора и вблизи контактных поверхностей. Анализ самой деформированной ленты после проведения экспериментального запуска МК мог бы в значительной степени прояснить, как именно развивался процесс ее деформирования, но большая часть ленты в конце эксперимента уничтожается (превращается в порошок). На рис. ВЗ показана фотография одного из уцелевших фрагментов лайнера: анализ такого искореженного куска металла не позволяет сделать однозначных выводов о процессе деформирования лайнера на различных этапах экспериментального запуска МК.

Рис.ВЗ. Фрагмент ленты после проведения экспериментального запуска МК

В силу перечисленных причин математическое моделирование и вычислительный эксперимент являются практически единственным способом получения подробной информации о движении ленты лайнера в магнитном компрессоре. Кроме того, вычислительный эксперимент является гибким и удобным инструментом для проведения возможных оптимизационных расчетов с целью выбора наилучших значений параметров МК.

Следует отметить, что разрабатываемый магнитный компрессор пластинчатого типа является оригинальным предложением российских ученых. Несмотря на схожие принципы генерации выходного импульса тока (сжатие магнитного потока) с ВМГ, используемыми достаточно широко, МК имеет принципиальные отличия и свои особенности, обусловленные способом разгона лайнера и его геометрией. Выполненные работы и полученные результаты являются оригинальными в силу уникальности исследуемого объекта.

ВЗ. Цели работы

Целью диссертации является разработка математических моделей движения лайнера, их программная реализация и численное моделирование электромагнитного ускорения и торможения лайнера в магнитном компрессоре.

10

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие основные задачи:

1. Построение двумерных математические моделей процессов ускорения и торможения лайнера, соответствующих различным сечениям магнитного компрессора.

2. Разработка и программная реализация вычислительных алгоритмов для построенных математических моделей.

3. Проведение цикла вычислительных экспериментов на основе разработанного программного комплекса, сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными.

В4. Содержание работы

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Родин, Александр Сергеевич

3.4.3 Выводы о моделировании движения лайнера в продольном сечении

Расчетная область для продольной модели включает в себя призмы, расположенные в торцах компрессора. Особый интерес представляет моделирование контакта ленты с поверхностью призмы, поскольку во время работы устройства этот контакт может служить источником неоднородностей, которые не могут быть учтены в поперечной модели.

Анализ проведенных расчетов позволяет сделать следующие выводы о характере движения лайнера:

1) Поведение жидкого и пластического лайнеров соответствует фотографиям теневой съемки лайнера в процессе его движения, приведенным на рис. 3.2.1. Лента лайнера ложится на поверхность призмы, при этом центральная часть ленты совершает плоскопараллельное движение и не претерпевает больших продольных изгибов. При качественном сходстве результатов двух моделей наблюдаются количественные различия: скорость жидкого лайнера незначительно больше скорости пластического тела.

2) Отсутствие значительных деформаций в центральной части ленты объясняется тем, что, как и предсказано в [19], максимальные напряжения в лайнере сосредоточены вблизи движущейся границы контакта ленты и призмы. Скорость пластического течения меньше скорости движения лайнера, поэтому волна возмущения не успевает распространиться в центральную часть ленты.

3) В проведенных расчетах кроме условия прилипания ленты к поверхности призмы также ставились условия, задающие движение лайнера по призме по закону трения Кулона. Полученные результаты показали, что при подобном движении в верхней части ленты образуются большие пластические деформации и увеличивается риск обрыва ленты.

4) Поведение упругого лайнера не соответствует экспериментальным данным: при различных углах наклона призмы и различных контактных условиях по центральной части лайнера всегда бегут упругие волны и под действием сил упругости лайнер останавливается и начинает двигаться в противоположном направлении.

5) В расчетах с замыканием цепи лайнера (в отличие от экспериментальной установки и поперечной модели) захвата потока магнитного поля из контура ускорения не происходит в связи со спецификой продольной модели. Поэтому при номинальных значениях параметров в цепи лайнера электромагнитного торможения пластины не наблюдается. Сжимаемый пластинами лайнера магнитный поток можно создать искусственно, задавая отличное от нуля начальное

158 напряжение на обкладках конденсатора в цепи лайнера. Проведенные расчеты показали, что таким образом можно моделировать процесс электромагнитного торможения ленты магнитным полем. В работе исследовано, как данный процесс зависит от выбранных значений индуктивности и начального напряжения в цепи лайнера.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Построено семейство пространственно двумерных математических моделей, соответствующих продольному сечению магнитного компрессора, в рамках которых лайнер рассмотрен в приближениях упругого тела, упругопла-стического тела (для случая произвольных деформаций) и вязкой несжимаемой жидкости. Завершена работа над семейством моделей, соответствующих поперечному сечению компрессора, в том числе построена модель, в которой лайнер рассмотрен в приближении упругопластического тела.

2. Для численного моделирования ускорения и торможения лайнера в магнитном компрессоре в рамках построенных моделей разработаны и программно реализованы вычислительные алгоритмы, основанные на методе возможных перемещений и методе Галеркина-Петрова.

3. Проведен цикл вычислительных экспериментов для различных моделей. Показано, что характеристики движения жидкого и упругопластического лайнера согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Результаты модели упругого лайнера не соответствуют экспериментальным данным. В целом модель упругопластического лайнера наиболее адекватно описывает движение лайнера в магнитном компрессоре.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Родин, Александр Сергеевич, 2010 год

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: учебник для втузов. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 347 с.

2. Проект «Байкал». Отработка схемы генерации электрического импульса / Э.А. Азизов и др. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2001. №. 3. С. 3 17.

3. Алиханов С.Г., Бахтин В.П., Топорков Д.А. Некоторые особенности получения сверхсильных магнитных полей с помощью Z пинч лайнера // Сверхсильные магнитные поля. Физика, техника, применение / Под ред. Титова В.М., Швецова Г.А. М.: Наука, 1984. 218 с.

4. Амосов A.A., Дубинин Ю.А., Копченов Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. 682 с.

5. Взрывные размыкатели стенда МОЛ на токи 50 и 1000 кА / В.А. Афанасьев и др. // ПТЭ. 2008. № 4. С. 56-63.

6. Батыгин В.В., Топтыгин H.H. Современная электродинамика. Часть 1. Микроскопическая теория. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 736 с.

7. Биргер И.А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 1. С. 47-56.

8. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972. 184 с.

9. Бураго Н.Г., Галанин М.П., Кувыркин Г.Н. Основные вариационные принципы механики сплошной среды : учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 104 с.

10. Буренин A.A., Быковцев Г.И., Ковтанюк JI.B. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Доклады АН. 1996. Т.2. С. 199-201.

11. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука, 1998. 528 с.

12. Быковцев Г.И., Шитиков A.B. Конечные деформации упругопластиче-ских сред // Доклады АН СССР. 1990. Т. 311. №1. С. 59-62.

13. Математическое моделирование электромагнитного ускорения проводящей пластины в компрессоре потока / М.П. Галанин и др. М., 2005. 29 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 138).

14. Галанин М.П., Гузев М.А., Низкая Т.В. Численное решение задачи термопластичности с дополнительными параметрами состояния. М., 2007. 20 с. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 8).

15. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Левашов В.Ф. Расчет электродинамического ускорения плоских пластин в лабораторном магнитокумулятивном генераторе. М., 2001. 30 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 3).

16. Галанин М.П., Лотоцкий А.П. Электродинамическое ускорение плоских пластин в лабораторном магнитокумулятивном генераторе // Математическое моделирование. 2003. Т. 15, № 3. С.29-42.

17. Галанин М.П., Лотоцкий А.П. Моделирование разгона и торможения лайнера в устройствах обострения мощности // Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50, №2. С. 256 264.

18. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование электромагнитного ускорения лайнера в различных двумерных приближениях. М., 2007. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 4).

19. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование электромагнитного ускорения лайнера с учетом его контакта с твердой поверхностью. М., 2008. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 59).

20. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения лайнера в продольном сечении магнитного компрессора. М., 2009. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 57).

21. Движение лайнера в магнитном компрессоре: сравнение моделей упругого, жидкого и пластического лайнера / М.П. Галанин и др. М., 2009. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 58).

22. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения пластинчатого лайнера в магнитном компрессоре // Труды научной сессии НИЯУ МИФИ-2010. М.: МИФИ, 2010. Т. 2. С. 104-106.

23. Движение лайнера в поперечном сечении магнитного компрессора / М.П. Галанин и др. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. №2. С. 65-84.

24. Галанин М.П., Лотоцкий А.П., Родин A.C. Математическое моделирование движения лайнера в различных сечениях магнитного компрессора // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, №10. С. 35-55.

25. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование. М.: Наука, Физматлит, 1995.320 с.

26. Галанин М.П., Родин A.C. Исследование обусловленности системы линейных алгебраических уравнений для задачи определения электромагнитногополя в системе длинных проводников. М., 2005. 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 123).

27. Галанин М.П., Храмцовский С.С. Решение пространственно трехмерных задач электромагнитного ускорения в системе длинных проводников. М., 1998. 20 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 29).

28. Галанин М.П., Щеглов И.А. Двумерная и трехмерная триангуляция // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. М.: Янус-К, 2008. Т. VII, Ч. 1. С. 319-342.

29. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

30. Голованов А.И., Султанов Л.У. Расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел МКЭ // Математическое моделирование систем и процессов. 2004. № 12. С. 4-11.

31. Демирчан К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. 168 с.

32. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. М.: Физматлит, 2002. 168 с.

33. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2008. 512 с.

34. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

35. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. Ленинград.: Энергоатомиздат, 1986. 488 с.

36. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: МГУ, 1994. 189 с.

37. Кнопфель Г.А. Сверхсильные магнитные поля. М.: Мир, 1972. 392 с.

38. Ковтанюк Л.В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае // Дальневосточный математический журнал. 2004. Т.5, №1. С. 110-120.

39. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: изд-во СО РАН, 2000. 262 с.

40. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть

41. М.: Гос. Изд. Физматлит, 1963. 584 с.

42. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть

43. М.: Гос. Изд. Физматлит, 1963. 728 с.

44. Кукуджанов В.Н. Численные методы решения нелинейных задач механики деформируемого тела. М.: МФТИ, 1990. 96 с.

45. Курганов Д.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах решения уравнений Навье-Стокса в естественных переменных. М., 2001. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 39).

46. Марчук Г.И., Агошков В.К. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Физматлит, 1981. 416 с.

47. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. 544 с.

48. Одэн Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

49. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теории, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1982. 232 с.

50. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 392 с.

51. Родин A.C. Модель движения пластического лайнера в магнитном компрессоре и ее применение. М., 2009. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 50).

52. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 438 с.

53. Сахаров А.Д. Взрывомагнитные генераторы // Успехи физ. наук. 1966. Т. 88. № 4. С. 725-734.

54. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

55. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

56. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

57. Темис Ю.М. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести // Энциклопедия «Машиностроение». T.I-3. Кн. 1. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. М.: Машиностроение, 1994. С. 226-272.

58. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1977. С. 226-272.

59. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматлит, 1962. 655 с.

60. Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлахова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

61. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Механика твердого тела. 2000. № 1. С. 109-128.

62. Основные типы взрывомагнитных генераторов и их применение / В.К. Чернышев и др. // Мегагауссная и мегаамперная импульсная технология и применения / Под ред. В.К. Чернышева, В.Д. Селемира, Л.Н. Пляшкевича. Т. 1. Саров: ВНИИЭФ, 1997. С. 242-248.

63. Шнеерсон Г.А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверхсильных токов. М.: Энергоатомиздат, 1992. 414 с.68. . Щеглов И.А. Программа для триангуляции сложных двумерных областей Gridder2D. M., 2008. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 60).

64. Multi-wire array implosion physics study X-ray facility "Baikal" based on 900 MJ inductive store / V.V. Alexsandrov et al. // 13 th International conference. Beams^OOO: Proceeding. Nagaolca (Japan). 2000. p.214.

65. Power Peaker Based on Plate MC-Generator Driven by Electrical Current / V.P. Baktin et al. // Ninth Int. Conf. On Megagauss Magnetic Field Generation and Related Topics: Proceeding. Sarov: VNIIEF, 2004. P. 324 330.

66. Bathe K.-J. Finite Element Procedures in Engeneering Analysis. Englewood Cliffs. New York: Prentice-Hall, 1982. p. 413.

67. Dvorkin E.N. Finite strain elasto-plastic formulations using the method of mixed interpolation of tensorial components // Computational Mechanics. 1996. № 18. P. 290-301.

68. Fortin M., Brezzi F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods // Springer Series in Computational Mathematics. 1991. Vol. 15. p.355.

69. Kitagawa H., Seguchi Y., Tomita Y. An incremental Theory of Large Strain and Large Displacement Problems and its Finite Element Formulation // IngenieurArchiv. 1972. № 41. P. 213-224.

70. Lee E.H. Elastic-plastic deformations at finite strains // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1969. Vol. 36, № 1. P. 1-6.

71. Nemat-Nasser S. Cerain basic issues in finite-deformation continuum plasticity // Meccanica. 1990. № 25. P. 223-229.

72. Simo J.C., Meschke G. A new class of algorithms for classical plasticity extended to finite strains. Application to geomaterials // Computational Mechanics. 1993. № 11. P. 253-278.

73. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Butterworth Heinemann. 2000. Vol. 1. p. 707.