Математическое моделирование финансово-экономических крахов методами имитационного моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шахмуратов, Тимур Рустэмович

• Шахмуратов, Тимур Рустэмович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шахмуратов, Тимур Рустэмович

Введение.

Глава 1. Анализ современных методов исследования крахов финансовых рынков.

1.1. Введение.

1.2.Теория положительных обратных связей и рациональных агентов

1.3. Физико-математические модели в экономике.

1.3.1. Эконофизика.

1.3.2. Модель, управляемая риском, и модель, управляемая ценой.

1.3.3. Сети взаимодействия и малые миры.

1.3.4. Теория размерности рынка.

1.4. Иммитационное моделирование.

1.5. Модель Сорнетта.

1.6. Выводы.

Глава 2. Метод имитационного моделирования крахов, базирующийся на миноритарных играх.

2.1. Введение.

2.2. Описание ОКММ.

2.3. Модель с аукционом по цене.

3.4. Анализ миноритарных игр с аукционом по цене.

2.5. Мажоритарные игры.

2.6. Анализ модели.

2.7. Выводы.

Глава 3. Метод, прогнозирующий крахи на основе мажоритарных игр с аукционом по цене.

3.1. Введение.

3.2. Анализ денежной системы РФ.

3.3. Регулирование денежной массы.

3.4. Описание процесса ретроспективного анализа динамики изменения цен активов.

3.5. Описание использованной программной среды.

3.6. Результаты моделирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование финансово-экономических крахов методами имитационного моделирования»

Актуальность темы. Крахи финансовых рынков 1 - важные события, которые интересны как для академической науки, так и для практиков. Согласно взглядам академического мира, рынки эффективны, и только появление критической информации может вызвать их падение. Но в действительности даже самые тщательные исследования обычно не дают заключения о том, что это за информация.

В настоящее время одно из направлений исследования крахов финансовых рынков исходит из предположения, что их основополагающей причиной является нестабильность позиции игроков рынка, а конкретная причина краха вторична. В то же время рост чувствительности игроков к изменениям и увеличение неустойчивости рынка вблизи такой критической точки могут объяснить первопричины крахов. Как известно, малейшее воздействие на неустойчивую систему может вызвать ее крушение. Исследуя причины такой нестабильности, можно не только предсказывать финансовые крахи, но и предупреждать их. Модели, описывающие нестабильности в системах взаимодействующих людей, могут быть использованы не только при исследовании финансовых крахов, но и при моделировании различных экономических и социальных систем. Знания, полученные в результате подобного моделирования, способны предоставить исследователю математический аппарат для прогнозирования переходов системы из одного состояния в другое, а также дать возможность управлять системой, воздействуя на нее в критических точках. Данная тема важна не только для регулирующих органов, но и для всех участников финансовой системы, включая предприятия и граждан.

1 Здесь и далее под финансовым крахом понимается отклонение вниз цены некоторого финансового актива за фиксированный промежуток времени, выходящее за пределы доверительного интервала изменения этой цены за тот же промежуток времени

Имеется лишь небольшое число математических моделей крахов финансовых рынков. Среди них наиболее известными являются модели [17] и [60] , которые были апробированы с использованием характеристик реальных экономических систем. Вместе с тем вопросы обоснования адекватности названных моделей реальным экономическим ситуациям и определения границ применимости таких моделей остаются открытыми. Поэтому актуальными являются не только анализ известных математических моделей крахов финансовых рынков, но и построение новых моделей, лучше учитывающих особенности конкретных экономических систем и имеющиеся ограничения. В перспективе построение подобных моделей способно привести к созданию моделей устойчивого роста либо, по крайней мере, минимизировать воздействие глобальных перестроений на повседневную жизнь.

Основной целью диссертационной работы является получение более детальной информации о финансовых крахах на основе методов математического моделирования. Целью работы является также поиск связи между микро- и макроуровневыми моделями экономических систем.

Задачи исследования:

• провести анализ модели Сорнетта и моделей миноритарных игр на предмет их соответствия реальным экономическим условиям;

• обобщить модель Шалетта и Жанга с целью учета взаимодействия участников экономических систем, а также внутренних ограничений в таких системах; провести статистический анализ новой модели на предмет соответствия статистическим параметрам реальных финансовых рынков и предложить метод прогнозирования динамики'крахов, основанный на разработанной модели;

2 Далее будем называть эту модель «моделью Сорнетта», следуя терминологии, принятой в англоязычных источниках

3 Эту модель будем называть «моделью Шалетта и Жанга»

• создать программный комплекс, который позволял бы использовать названные модели для моделирования реальных экономических ситуаций, а также модифицировать эти модели в дальнейшем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории систем, системного анализа и статистического анализа временных рядов.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

• с использованием данных об изменениях композитных индексов различных фондовых рынков проведен анализ модели Сорнетта и моделей миноритарных игр на предмет их соответствия реальным экономическим условиям;

• разработана новая модель на базе класса моделей агентов - участников рынка (игроков), которая учитывает взаимодействие участников экономических систем, а также внутренние ограничения этих систем; проведен статистический анализ этой модели на предмет соответствия статистическим параметрам реальных финансовых рынков;

• создан программный комплекс, позволяющий использовать исследованные модели для моделирования реальных экономических ситуаций и модифицировать эти модели в дальнейшем; на базе этого комплекса реализован метод прогнозирования динамики крахов, основанный на разработанной модели.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. С использованием базы данных об изменениях композитных индексов российского фондового рынка (ММВБ) с 1999 года и фондового рынка США, (S&P500) с 1960 года установлено, что модель Сорнетта обладает рядом недостатков и требует развития и обобщения.

2. Разработана новая математическая модель финансовых крахов, базирующаяся на введении аукциона по цене в миноритарную модель рынка и изменении стратегии игроков рынка с миноритарной на мажоритарную. На основе вычислительных экспериментов доказано, что эта модель приводит к значительному улучшению приближения рассчитанных характеристик к характеристикам реального рынка.

3. Создан программный комплекс, реализующий разработанную математическую модель финансовых крахов и дающий метод прогнозирования динамики крахов.

Практическая значимость диссертации состоит в следующем:

• установлено, что математическая модель финансовых крахов, разработанная в диссертации, лучше, чем известные, описывает, что происходит в периоды финансовой и экономической нестабильности;

• реализация всех рассмотренных моделей в виде программного комплекса позволяет использовать их для моделирования реальных экономических ситуаций, а также модифицировать эти модели в дальнейшем.

Достоверность полученных результатов определяется использованием математически достоверных методов описания и проверки результатов, а также непротиворечивостью полученных результатов и их связью с предыдущими работами других авторов. Все полученные результаты имеют простое качественное объяснение и в предельных случаях совпадают с известными результатами предыдущих исследований.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на:

• VI Международной научно-практической конференции «Инфокомму-никационные технологии глобального информационного общества» (Казань, сентябрь 2008 года);

• VIII Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (Казань, ноябрь 2009 года);

• научных семинарах кафедры математических методов в экономике Казанского государственного университета (КГУ) (2005 - 2008 гг.);

• научных семинарах Отделения математического моделирования НИ-ИММ им. Н.Г. Чеботарева КГУ (2006 - 2009 гг.);

• семинаре кафедры математического анализа и теории функций Марийского государственного университета (г. Йошкар-Ола), руководимом проф. M.JI. Николаевым (сентябрь 2009 г.);

• семинаре кафедры динамики процессов и управления Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева, руководимом акад. АН РТ Т. К. Сиразетдиновым (октябрь 2009 г.);

• семинаре «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» ЦЭМИ РАН (декабрь 2009 г.).

Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в двух статьях в журналах из списка, рекомендованного ВАК РФ, и в трех статьях в сборниках материалов конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 103 страницу машинописного текста, включая 35 рисунков, 3 таблицы и список цитированной литературы из 87 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шахмуратов, Тимур Рустэмович

3.7. Выводы

В третьей главе предложен метод для прогнозирования крахов. Этот метод разработан на основе модели, представленной во второй главе. В результате применения этого метода к крахам на фондовых рынках, произошедших за последнее десятилетие, метод показал способность спрогнозировать 3 из 4-х крахов на российском фондовом рынке и 8 из 9 на американском.

Разработанный метод может быть полезен для прогнозирования крахов на небольшой перспективе, на которой можно принять ограничение в виде постоянной денежной массы. Также он может применяться центральными банками для прогнозирования воздействия изменений денежной массы на кризисные явления.

Заключение

Проведенное исследование показало, что модель Сорнетта обладает рядом недостатков, затрудняющих ее применение для описания крахов финансовых рынков. Нами предложена модель, которая устраняет ряд недостатков модели Сорнетта.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

1. Протестирована модель Сорнетта на основе современных данных, характеризующих финансовые рынки;

2. Разработана новая модель на базе класса моделей агентов — участников рынка (игроков), учитывающая взаимодействие участников экономических систем, а также внутренние ограничения этих систем;

3. Проведен статистический анализ свойств предложенной модели;

4. Разработан метод прогнозирования динамики крахов, основанный на разработанной модели.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору A.M. Елизарову за интерес и помощь в работе, а также профессору Э.Л. Пресману за обсуждение результатов и полезные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шахмуратов, Тимур Рустэмович, 2009 год

1. Marshall A. Principles of economics. - M.: Эксмо, 2008. - 832 с.

2. Shiller R.J. Irrational exuberance. Princeton: Princeton University Press, 2000. - 344 p.

3. Arthur W.B. Positive feedbacks in the economy // Scientific American. 1990. - V. 262, No 2. - P. 80.

4. Lucas R., Sargent T. After keynesian macroeconomics // Federal Reserve Bank Minneapolis Quart. Rev. 1979. - Vol. 3. - P. 295-319.

5. Arrow Kenneth J. I know a hawk from a handsaw // Eminent Economists: Their Life and Philosophies / Szenberg M. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1992. - P. 42-50.

6. Бернстайн П. Против богов: укрощение риска / Пер. с англ. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2000. - 400 с.

7. Kahneman D., Tversky A. Prospect theory: an analysis of decision under risk // Econometrica. 1979. - V. 47, No 2. - P. 263-291.

8. Шумпетер Й. Теория экономического развития: исследование предпринимательской прибыли, капитала, кредита, процента и цикла конъюнктуры. М.: Прогресс, 1982. - 455 с.

9. Mantegna R.N., Stanley Н.Е. An introduction to econophysics: correlations and complexity in finance. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.- 158 p.

10. Blanchard O.J. Speculative bubbles, crashes and rational expectations // Economics Letters. 1979. - No 3. - P. 387-389.

11. Blanchard O.J., Watson M.W. Bubbles, rational expectations and speculative markets // Crisis in Economic and Financial Structure: Bubbles, Bursts, and Shocks / Watchel P. Lexington: Lexington Books, 1982. - P. 295-316.

12. Guild S.E. Stock growth and discount tables. New York: Financial publishers, 1931. - 182 p.

13. Williams J.B. The theory of investment value. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1938. - 67 p.

14. Fisher I. The theory of interest as determined by impatience to spend income and opportunity to invest it. New York: A.M. Kelly, 1961. - 248 p.

15. Graham В., Dodd D.L. Security analysis. New York: McGraw-Hill, 1934.-658 p.

16. Johansen A., Sornette D., Ledoit O. Predicting financial crashes using discrete scale invariance 11 J. of Risk. 1999. - V. 1. — P. 5-32.

17. Сорнетт Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков. Критические события в сложных финансовых системах. М.: SmartBook, И-Трейд, 2008. ~ 400 с.

18. Johansen A., Sornette D. Critical crashes // J. of Risk. 1999. -V. 12; No. 1-P. 91-94.

19. Milgram S. The small world problem // Psychology Today. 1987. -No 2.-P. 60-67.

20. Watts DJ., Strogatz S.H. Collective dynamics of 'small-world' networks // Nature. 1998. - No 393. - P. 440-442.

21. Watts D.J. Small world: the dynamics of networks between order and randomness. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999. - 264 p.

22. Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of networks // Adv. Phys. -2002.-No 51.-P. 1079.

23. Newman M.E.J. Models of the small world: A review // J. Stat. Phys. -2000.-Nol01.-P. 819.

24. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: «Институт компьютерных исследований», 2002. - 656 с.

25. Richardson L.F. The problem of contiguity: an appendix of statistics of deadly quarrels // General Systems Yearbook. 1981. -No 6. - P. 139-187.

26. Zababakhin E.I. Shock waves in layered systems // J. Exp. Theoret. Phys. 1965. - No 49. - P. 642-646.

27. Баренблатт Г. И., Зельдович Я. Б. Промежуточные асимптотики в математической физике // УМЫ. 1971. - Том 26, Вып. 2(158) - С. 115-129

28. Barenblatt G.I., Zeldovich Ya.B. Self-similar solutions as intermediate asymptotics // Ann. Rev. Fluid Mech. 1972. - No 4. - P. 285-312.

29. Novikov E.A. The effect of intermittency on statistical characteristics of turbulence and scale similarity of breakdown coefficients // Phys. Fluids A. — 1990.-No 2.-P. 814-820.

30. Stueckelberg E.C.G., Peterman A. La renormalisation des constants dans la theorie de quanta // Helvetica Physica Acta. 1953. - No 26. - P. 499.

31. Gell-Mann M., Low F.E. The origin of renormalization group // Phys. Rev.- 1954.-No 95.-P. 1300.

32. Bogoliubov N.N., Shirkov D.Y. Introduction to the theory of quantized fields. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Inc, 1980. - 638 p.

33. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc. // Physics. -1966.-No 2.-P. 263.

34. Wilson K.G. The renormalization group: critical phenomena and the Kondo problem // Rev. Mod. Phys. 1975. - No 47. - P. 773.

35. White S.R. Density matrix formulation for quantum renormalization groups // Phys. Rev. Lett. 1992. - No 69. - P. 2863.

36. Somette D. Discrete scale invariance and complex dimensions // Physics Reports. 1998. - No 297. - P. 239-270.

37. Kapitulnik A., Aharony A., Deutscher G., Stauffer D. Self-similarity and correlations in percolation // J. Phys. A. 1983. - No 16. - P. L269-L274.

38. Bessis D., Geronimo J.S., Moussa P. Complex spectral dimensionality on fractal structures // J. Physique-Lett. 1983. - No 44. - P. L977-L982.

39. Derrida В., De Seze L., Itzykson C. Fractal structure of zeros in hierarchical models // J. Stat. Phys. 1983. - No 33. - P. 559.

40. Derrida В., Itzykson C., Luck J.M. Oscillatory critical amplitudes in hierarchical models // Commun. Math. Phys. 1984. - No 94. - P. 115-132.

41. Meurice Y., Ordaz G., Rodgers V.GJ. Evidence for complex sublead-ing exponents from high-temperature expansion of Dyson's Hierarchical Ising model // Phys. Rev. Lett. 1995. - No 75. - P. 4555.

42. Kutjnak-Urbanc В., Zapperi S., Mikfsevi'c S., Stanley E.H. Sandpile model on sierpinski gasket fractal // Phys. Rev. E. 1996. - No 54. - P. 272-277.

43. Sornette D., Sammis C.G. Complex critical exponents from renor-malization group theory of earthquakes: Implications for earthquake predictions // J. Phys. I France. 1995. - No 5. - P. 607-619.

44. Saleur H.3 Sammis C.G., Sornette D. Renormalization group theoiy of earthquakes // Nonlinear Processes in Geophysics. 1996. - V. 3; No 2. - P. 102109.

45. Saleur H., Sammis C.G., Sornette D. Discrete scale invariance, complex fractal dimensions and log-periodic corrections in earthquakes // J. Geophys. Res.-1996.-No 101.-P. 17661-17677.

46. Johansen A., Sornette D., Wakita H., Tsunogai U., Newman W.I., Saleur H. Discrete scaling in earthquake precursory phenomena: evidence in the Kobe earthquake // Japan, J. Phys. I France. No 6. - P. 1391-1402.

47. Varnes D.J., Bufe C.G. The cyclic and fractal seismic series preceding and mb 4.8 earthquake on 1980 February 14 near the Virgin Islands // Geophys. J. Int.- 1996.-No 124.-P. 149-158.

48. Bowman D.D., Sammis C.G. An observational determination of the critical region before the 1983 M=6.7 Coalinga earthqake (abst.) // EOS Trans. Am. Geophys. U. 1996. - No 77. - P. F486.

49. Smith S.W., Sammis C.G. Discrete hierarchic cellular model for fore-shocks (abst.) // EOS Trans. Am. Geophys. U. 1996. - No 77. - P. F480.

50. Moffatt H.K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mech.-1964.-No 18.-P. 1-18.

51. Dean W.R., Montagnon P.E. On the steady motion of viscous liquid in a corner//Proc. Camb. Phil. Soc. 1949. - No 45. - P. 389.

52. Shi X.D., Brenner M.P., Nagel S.R. A cascade of structure in a drop falling from a faucet // Science. 1994. - No 265. - P. 219-222.

53. Aharony A. Critical properties of random and constrained dipolar magnets // Phys. Rev. B. 1975. - No 12. - P. 1049-1056.

54. Khmelnitskii D.E. Impurity effect on the phase transition at T=0 in magnets. Critical oscillations in corrections to the scaling laws // Phys. Lett. A. -1978.-V. 67.-P. 59-60.

55. Boyanovsky D., Cardy J.L. Critical behavior of m-component magnets with correlated impurities // Phys. Rev. B. 1982. - No 26. - P. 154-170.

56. Weinrib A., Halperin B.I. Critical phenomena in systems with long-rangecorrelated quenched disorder // Phys. Rev. B. 1983. - No 27. - P. 413-427.

57. Somette D., Johansen A. Large financial crashes // Physica A. -1997. No 245. - P. 411-422.

58. Sornette D., Johansen A. Significance of log-periodic precursors to financial crashes // Quantitive Finance. 2001. - V. 1; No 4. - P. 452-471.

59. Arthur W.B. Complexity and the economy // Science. 1999. - No 284.-P. 107-109.

60. Challet D., Zhang Y.C. Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game // Physica A. 1997. - No 246. - P. 407.

61. Cont R., Bouchaud J.P. Herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets Электронный документ. (http://arxiv.org/pdf/cond-mat/9712318) Проверено 14.03.2009.

62. Farmer J.D. Market force, ecology, and evolution // Santa Fe Inst. Working Paper. 1998.-No 12.-P. 117-183.

63. Lux T. Scaling and criticality in a stochastic multi-agent model of a financial market // Nature. 1999. - No 397. - P. 498-500.

64. Marsili M., Challet D. Trading behavior and excess volatility in toy markets. Электронный документ. (http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0004376) Проверено 17.03.2009.

65. Fama E. (1970). Efficient capital markets: A Review of Theory and Empirical Work // Journal of Finance. 1970. - V. 25. - P. 383-417.

66. Aoki M. New approaches to macroeconomic modeling Evolutionary stochastic dynamics, multiple equilibria, and externalities as field effects. - Cambridge, UK:Cambridge University Press, 1996. - 308 p.

67. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991. - 254 с.

68. Seber G.A.F., Wild C.J. Nonlinear regression. Canada: John Wiley & Sons Inc., 1989. - 800 p.

69. Arthur W.B. Complexity and the economy // Science. 1999. - No 284.-P. 107-109.

70. Cont R., Bouchaud J.P. Herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets // Macroeconomic Dynamics. — 2000. — No 4 P. 170-196.

71. Farmer J.D. Market force, ecology, and evolution // Santa Fe Inst. Working Paper. 1998.-No 12.-P. 117.

72. Lux T. Scaling and criticality in a stochastic multi-agent model of a financial market //Nature. 1999. - No 397. - P. 498-500.

73. Marsili M., Challet D. Trading behavior and excess volatility in toy markets // SISSA Working Paper. 2000. - No CM/188/00 - P. 188-202.

74. Nassim N.T. The black swan: the impact of the highly improbable. -New York: Random House, 2007. 366 p.

75. Mandelbrot B. The variation of certain speculative prices // J. of Business. 1963. - No 36. - P. 392-419.

76. Shiller R.J. From efficient markets to behavioral finance//J. of Economic Perspectives. 2003. - V. 17; No 1 - P. 1055.

77. Jefferies P., Jhonson N.F., Hart M., Hui P.M. From market games to real world markets // European Physical J. B. 2001. - No 20. - P. 493-501.

78. Jefferies P., Jhonson N.F. Designing agent based models // Oxford Center for Computational Finance Working Paper. 2002. - No 010702. - P. 1-32.

79. Challet D., Zhang Y.C. Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game // Physica A. 1997. - No 246. - P. 407-418.

80. Massey F.J. The Kolmogorov Smirnov Test for goodness of fit // J. of the American Statistical Association. - 1951. - V. 46; No 253. - P. 68-78.

81. Clauset A., Shalizi C.R., Newman M.E.J. Power-law distributions in empirical data Электронный документ. http://arxiv.org/abs/0706.1062. •

82. Campbell J., Lo A.H., McKinlay C. The econometrics of financial markets. Princeton: Princeton University Press, 1997. - 632 p.

83. Pagan A. The econometrics of financial markets // J. of Empirical Finance. 1996.-No 3.-P. 15-102.

84. Casella G., Berger R.L. Statistical Inference. Pacific Grove, CA: Duxbury Press, 2002. - 660 p.

85. Bouchaud J.-P., Potters M. Theory of financial risks. From statistical physics to risk management. Cambridge: Cambridge university press, 2000. — 218 p.

86. Фридмен M. Количественная теория денег. — M.: Дело, 1996. —76 с.

87. Фишер И. Покупательная сила денег. М.: Дело, 2001. - 198 с.