Математическое моделирование и алгоритмизация процессов долгосрочного прогнозирования динамики нелинейных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Шабанова, Виктория Геннадьевна

• Шабанова, Виктория Геннадьевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Шабанова, Виктория Геннадьевна

Содержание

Введение

Глава 1. Постановка задачи математического моделирования нелинейных динамических процессов

1.1. Развитие математических методов в области прогнозирования

1.2. Исследование развития области нелинейных динамических процессов

1.3. Математические методы долгосрочного прогнозирования

1.4. Постановка задачи исследования математических моделей нелинейных динамических процессов

Результаты и выводы по главе 1

Глава 2. Разработка методики математического моделирования объемного прогнозирования динамики нелинейных систем

2.1. Разработка структуры многосекторной модели долгосрочного прогнозирования

2.2. Разработка алгоритма долгосрочного прогнозирования на основе метода асимптотической эквивалентности

2.3. Разработка алгоритма процесса моделирования на основе теории дифференциальных включений

2.4. Разработка методики долгосрочного объемного прогнозирования динамики нелинейной системы

Результаты и выводы по главе 2

Глава 3. Реализация алгоритма объемного прогнозирования для стабильного функционирования динамической системы АПК

3.1. Функциональная модель агропромышленного комплекса

3.2. Моделирование динамики агропромышленного комплекса на основе многосекторной модели долгосрочного прогнозирования

3.3. Качественное исследование трехсекторной модели АПК методом

сравнения

3.4. Численная реализация оптимизации управления динамикой

основных производственных фондов

Результаты и выводы по главе 3

Глава 4. Комплекс программ объемного прогнозирования «КОНУС»

4.1. Алгоритмическое обеспечение комплекса моделирующих программ

4.2. Функциональная система комплекса программ «КОНУС»

4.3. Примеры решения прикладных задач в комплексе программ «КОНУС»

4.3.1. Решение задачи расчета доходности АПК

4.3.2. Решение задачи расчета прибыли по отраслям

4.3.3. Решение задачи расчета численности работников

Результаты и выводы по главе 4

Заключение

Список используемой литературы

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и алгоритмизация процессов долгосрочного прогнозирования динамики нелинейных систем»

Введение

Актуальность темы исследования. Для эффективного управления состояниями динамических процессов принципиально важным является построение достоверного и адекватного прогноза их поведения в долгосрочном периоде. Математическое моделирование позволяет решить многочисленные задачи в области долгосрочного прогнозирования: изучение состояний динамической системы; предсказание воздействия на динамическую систему тех или иных факторов; планирование поведения многочисленных явлений при существенно нестабильной ситуации.

Традиционные методики и алгоритмы долгосрочного прогнозирования (факторный анализ, корреляционно-регрессионный анализ, метод экспертных оценок и т. д.) не позволяют одновременно составить достоверный прогноз и учесть в процессе прогнозирования все многообразие влияющих на систему условий, а также не дают возможности определить все характеристики прогнозируемых объектов. Поэтому проблема составления высокоточных и достоверных прогнозов динамики нелинейных систем в долгосрочном периоде требует дальнейшего исследования.

Методики решения линейных и статистических задач рассмотрены в работах Л. Вальраса [17], Ч. Кобба и П. Дугласа [41], Р. Солоу [111], а также в трудах отечественных ученых: В. В. Леонтьева [43], Л. В. Канторовича [33],

B. И. Ширяева [91]. Ряд фундаментальных и прикладных исследований долгосрочного прогнозирования процессов представлен в работах Е. В. Воскресенского [18-24], В. К. Горбунова [25-27], А. В. Прасолова [61],

C. И. Спивака [75] и других ученых. Однако усложнение внутренних взаимосвязей и структуры нелинейных динамических систем, развитие информационных технологий потребовало новых подходов к долгосрочному прогнозированию.

Существует большое количество процессов, описываемых нелинейными динамическими системами, для которых требуется корректная обработка больших массивов статистических данных. Однако использование

в этих целях традиционных методик приводит к росту временных затрат исследования поведения процесса и увеличению погрешности получаемого прогноза.

В настоящее время отсутствуют эффективные методики, которые позволяют не только определять значение параметров динамической системы на том или ином промежутке времени, но и повышать достоверность получаемых прогнозов за счет комплексного использования различных методов долгосрочного прогнозирования. В частности, актуально создание так называемых объемных методик, основанных на совокупном применении математических методов, позволяющих осуществить точный прогноз состояний сложной динамической системы.

Таким образом, разработка точных, эффективных и быстродействующих алгоритмов решения задачи долгосрочного прогнозирования нелинейных процессов является актуальной задачей.

Цель и задачи. Целью работы является повышение точности и достоверности долгосрочных прогнозов на основе комплексного использования методов исследования динамики сложных нелинейных систем.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) провести анализ существующих на данный момент подходов к составлению долгосрочных прогнозов и выявить их недостатки;

2) разработать методику математического моделирования объемного прогнозирования динамики нелинейных систем;

3) построить численный алгоритм определения параметров нелинейной динамической системы;

4) создать программный комплекс на основе разработанной методики долгосрочного прогноза показателей нелинейной динамики исследуемого объекта;

5) провести тестовые испытания программного комплекса с использованием фактических статистических показателей агропромышленного комплекса региона с целью определения эффективности реализации предложенного подхода на реальном объекте.

Объектом исследования являются математические модели долгосрочного прогнозирования динамических процессов, описываемые нелинейными системами дифференциальных уравнений.

Предметом исследования являются методики математического моделирования динамических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием методов математического моделирования, численных методов, методов теории устойчивости, качественной теории дифференциальных уравнений и информационных технологий.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложена методика математического моделирования объемного прогнозирования состояния динамической системы. Отличительной особенностью данной методики является комплексное использование алгоритмов, с одной стороны, многосекторной модели и метода асимптотической эквивалентности, а с другой - положений теории дифференциальных включений. Предлагаемая методика позволяет не только анализировать текущее состояние динамической системы, но и управлять ее поведением в будущем на основе составляемого прогноза.

2. Предложен универсальный критерий оценки состояния динамических систем специального вида на основе асимптотической эквивалентности. Данный критерий отличается от известных тем, что позволяет анализировать структурную устойчивость моделей динамических процессов по части переменных и делать выводы об их устойчивости на основе совокупности свойств устойчивости подсистем и природы их

взаимодействия. Таким образом, критерий является универсальным для большого класса задач долгосрочного прогнозирования, поскольку определяет условия устойчивого состояния как динамической системы в целом, так и отдельных ее компонентов.

3. Предложен алгоритм анализа текущего функционирования и определения возможных направлений развития состояний рассматриваемого объекта. В отличие от используемых алгоритмов долгосрочного прогнозирования реальных процессов здесь точность результата повышается за счет построения интегральной воронки (конуса) при заданном функционале качества на основе применения теории дифференциальных включений. Данный алгоритм позволяет минимизировать погрешность получаемого результата при обработке больших массивов статистических данных.

Практическая значимость. Предложенная методика является необходимой для практического применения в долгосрочном прогнозировании и управлении при решении технической задачи оптимального функционирования сложных систем. В отличие от ранее использованных методов оптимизации производственной деятельности, объемное прогнозирование позволяет обрабатывать большие массивы статистических данных без роста временных затрат, проводить исследования в данной сфере на различных уровнях производственного процесса, а именно: на уровнях предприятия, отрасли и межотраслевого комплекса.

На основе созданной методики разработан программный комплекс «КОНУС». Он включает в себя совокупность программ для расчета оптимальных показателей функционирования сложных систем. В работе показано его применение при решении задачи повышения рентабельности агропромышленного комплекса.

Разработанный программный комплекс «КОНУС» прошел тестирование в отделе экономического анализа, прогнозирования, целевых программ и мотивации труда Министерства сельского хозяйства и

продовольствия Республики Мордовия. Испытания показали, что применение в программном комплексе модуля объемного прогнозирования, сформированного на основе совокупности рассматриваемых математических методов, позволяет повысить достоверность и точность долгосрочных прогнозных расчетов и выработать оптимальное управленческое решение по ключевым показателям предприятий агропромышленного комплекса региона. На программный комплекс получены два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016613322 и № 2018618556.

Достоверность и обоснованность результатов, сформулированных в диссертации, обеспечены корректным использованием математических методов и сопоставлением теоретических утверждений с результатами тестовых экспериментов, а также регистрацией разработанного комплекса программ.

Соответствие паспорту специальности. Диссертация выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Области исследования: 1 - Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, 3 - Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей и 5 -Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Методика математического моделирования объемного прогнозирования состояния динамической системы, позволяющая определять значение параметров динамической системы в определенном промежутке времени, а также повышать достоверность получаемого результата за счет комплексного использования математического аппарата.

2. Универсальный критерий численной оценки состояния динамической системы, являющийся эффективным для большого класса задач долгосрочного прогнозирования, поскольку определяет условия устойчивого состояния как динамической системы в целом, так и отдельных ее компонентов.

3. Численный алгоритм прогнозирования и управления состояниями объекта, основанный на построении интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества, и его численная реализация.

4. Программный комплекс «КОНУС», предназначенный для реализации методики объемного прогнозирования исследуемого процесса.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII и VIII Всероссийских научных молодежных школах-семинарах им. Е. В. Воскресенского с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании фЕАММ 2017)» (г. Саранск, 2016-2017 гг.); Всероссийской научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии управления в науке, образовании и правоохранительной сфере» (г. Рязань, 2017 г.); X и XI международных научно-технических конференциях молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 2016-2017 гг.); научных конференциях Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарёва XLIV-XLVI «Огаревские чтения» (г. Саранск, 2015-2017 гг.); Международной научно-практической конференции «Наука и инновации в современных условиях» (г. Казань, 2017 г.); Международной научно-практической конференции «В мире науки и инноваций» (г. Уфа, 2017 г.); XII Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2017 г.). Результаты диссертации используются в

учебном процессе при преподавании дисциплин «Математическое моделирование и программное обеспечение» и «Методы оптимизации» в ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва», а также в Мордовском институте переподготовки кадров агробизнеса.

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 20 научных работах общим объемом 5,8 п. л., в том числе в 6 статьях из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в 13 тезисах докладов и в двух программах, зарегистрированных в государственном реестре программ для ЭВМ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 116 наименований и двух приложений. Диссертация изложена на 144 страницах машинописного текста.

Глава 1. Постановка задачи математического моделирования нелинейных динамических процессов

1.1. Развитие математических методов в области прогнозирования

На сегодняшний день существует большое количество нелинейных динамических систем в различных прикладных сферах - экономической, социальной, технической и т. д. Данные системы изменяют свои состояния от благоприятных до кризисных во времени под действием внешних и внутренних сил, что, в свою очередь, сказывается на состоянии всей сферы. Одной из важнейших задач современной науки является предотвращение негативных ситуаций, возникающих в каждой из этих динамических систем.

Обозначенная проблема «прогнозирования будущего», поиска наиболее безопасных и устойчивых траекторий развития имеет непосредственное отношение к нелинейной динамике. Многие социальные и технические объекты имеют сложную иерархическую структуру. Для их подробного описания и исследования необходим математический аппарат, связанный с нелинейными системами дифференциальных уравнений. Также для эффективного управления состояниями динамических процессов принципиально важным является построение достоверного и адекватного прогноза их поведения в долгосрочном периоде.

Для определения конкретных путей решения поставленных проблем проанализируем разработки и методики, выполненные в этом направлении исследований.

На начальном этапе становления математического моделирования динамических систем не учитывалась взаимосвязь между системными элементами; применяемые методики имели чисто практический характер, использовались лишь для решения конкретных задач и не были систематизированы. Так, дифференциальные уравнения возникли для решения задач механики, в которых требовалось определить координаты матери-

альных тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям также приводили некоторые рассматриваемые в то время геометрические задачи.

Во все времена одной из важных научных проблем математического моделирования являлось решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе данных о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, позволяющего по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени определить его будущее в любой момент времени I. В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть вероятностным или детерминированным, способен описывать эволюцию объекта только во времени либо прослеживать и пространственно-временную динамику. Основы такой теории были заложены в середине 80-х гг. XIX столетия в трудах А. Пуанкаре [68] и А. М. Ляпунова [45, 46].

В то же время появились первые задачи качественного анализа нелинейных систем, позволяющего определять условия устойчивого их функционирования. Наиболее распространенными методами исследования устойчивости нелинейных систем являются методы Ляпунова, позволяющие получить строгое математическое обоснование устойчивости [16, 30, 30, 40, 45, 46, 58, 73, 89]. Изучением задач устойчивости различных динамических систем на базе показателей и функций Ляпунова занимались Е. А. Барбашин [6] и др.

Методики решения линейных и статистических задач рассмотрены в работах Л. Вальраса [17], Ч. Кобба и П. Дугласа [41], Р. Солоу [111]. Л. Вальрас впервые предложил концепцию общего динамического равновесия как универсального средства анализа динамической системы в целом, в основе которой лежало представление о поведении системы как об индивидуальной оптимизации. В своих исследованиях он сделал решительный шаг в сторону математизации исследуемой им экономической

теории, способствовал приданию ей логической стройности и строгости, что отвечало и отвечает современным представлениям о науке и научном знании.

В 1928 г. Ч. Кобб и П. Дуглас предложили использовать нелинейную производственную функцию, полученную путем анализа данных обрабатывающей промышленности США, с помощью которой в динамической системе связывались сразу несколько модулей (секторов). Здесь в роли секторов выступали: объем производства, объем основного капитала, а также объем трудовых ресурсов [41]. В настоящее время с помощью модели Кобба - Дугласа исследуются многие сложные нелинейные процессы.

В 1928 г. В. Рамсеем была впервые описана модель, позволяющая получить долгосрочный прогноз динамической системы и определить оптимальный вариант развития исследуемого процесса.

В 1939 г. опубликована работа Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства» [33]. В его исследованиях линейное программирование предусматривает поиск оптимального решения среди множества решений, удовлетворяющих системе линейных равенств (неравенств). Другими важными работами в этой области явились труды И. Е. Казакова [31] и И. А. Луковского [43].

В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных компьютерных технологий. Прогнозирование динамики нелинейных систем часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.

На современном этапе научных изысканий в сфере математических моделей актуальной областью является построение таких прогнозов, которые

охватывали бы все вероятные направления развития событий исследуемого динамического процесса. Возможности, которые дают нам сегодня информационные технологии, позволяют обратиться к анализу и прогнозу сложных систем. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие совершенно разные по сущности явления развиваются по одним и тем же законам.

Таким образом, инструменты и методы нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов многочисленных систем. Именно поэтому в последнее время активно развивается теория прогнозирования, основанная на этой методике.

Данная теория изложена в работах многочисленных авторов, среди которых можно выделить Г. Г. Малинецкого [47], С. П. Курдюмова [34], А. Ю. Лоскутова [42], В. И. Арнольда [4], А. А. Самарского [74]. Строгое математическое обоснование представлено в работах В. И. Благодатских [10],

A. И. Панасюка [60], Е. В. Воскресенского [18-24] и других авторов. Исследования этих ученых способствовали появлению предпосылок для формирования нового, математического, подхода к проводимым исследованиям. Ряд фундаментальных и прикладных исследований долгосрочного прогнозирования процессов представлен в работах

B. К. Горбунова [25-27], А. В. Прасолова [61], С. И. Спивака [75] и других ученых. Однако усложнение внутренних взаимосвязей и структуры нелинейных динамических систем, развитие информационных технологий потребовало новых подходов к долгосрочному прогнозированию.

1.2. Исследование развития области нелинейных динамических

процессов

В настоящей работе под динамической системой будем понимать любой процесс или объект, состояние которого в любой момент времени определяется совокупностью некоторых величин и законом, описывающим изменение начального состояния этой системы с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы.

Большинство реальных динамических процессов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Эти процессы могут принадлежать к абсолютно различным сферам, например моделирование распределения доходов по слоям населения, динамика популяций растений, анализ динамики температурных режимов, составление прогноза поведения мобильных гидроакустических систем, моделирование спроса и предложения, естественного роста выпуска продукции в условиях конкуренции [14]. Определение устойчивых состояний в таких системах выявляет уровень совершенства системы, ее поведение и направление развития. В связи с этим одной из актуальных проблем, возникающих в задачах математического моделирования, является проблема исследования устойчивости состояний равновесия и изучения асимптотических свойств решений динамических систем с целью прогнозирования их будущих состояний.

Для описания различных процессов и исследования динамических систем необходим математический аппарат, разработанный на основе нелинейных систем дифференциальных уравнений. Поэтому появляется необходимость в развитии методов исследования таких систем и создании новых эффективных методик анализа. Возникает задача качественного анализа систем, позволяющего определять условия устойчивого их функционирования.

Наиболее распространенными методами исследования устойчивости нелинейных систем являются методы Ляпунова, позволяющие получить строгое математическое обоснование устойчивости [45, 46].

Первый метод Ляпунова применим для регулярного случая, когда характеристические показатели первого приближения для нелинейного дифференциального уравнения отличны от нуля для дифференциального уравнения с гладкими возмущениями. В случае нулевых характеристических показателей проблема устойчивости через характеристические показатели не решается. Здесь необходима равномерность экспоненциальных оценок решений по начальной точке.

Основной трудностью при применении второго метода функций Ляпунова к задачам устойчивости является сложность построения функции Ляпунова, удовлетворяющей тем или иным требуемым условиям. В этой ситуации имеют большое значение модификации метода Ляпунова, развитие метода функций Ляпунова в направлении ослабления требований к функциям Ляпунова и расширение класса используемых функций. Повышение общности и эффективности метода функций Ляпунова достигается использованием обобщенных функций Ляпунова или же вспомогательных функций, которые значительно отличаются от функций Ляпунова и не обладают свойством невозрастания вдоль движений динамического потока.

Изучением задач устойчивости различных динамических систем на базе показателей и функций Ляпунова занимались И. В. Бойков [11-15], А. П. Жабко [1-3], Н. Н. Красовский [38], Ж. Ла-Салль [40], С. Лефшец [40], И. Г. Малкин [48], В. В. Румянцев [71, 72], А. А. Шестаков [89-91] и другие исследователи [16, 44, 57].

В данной работе понятие устойчивости динамических систем отражает свойство системы, не только стабильно развиваться в настоящий момент времени, но и достигать кризисных состояний при отклонении всевозможных параметров системы от приемлемых и влиянии на систему

дестабилизирующих воздействий, то есть способности системы возвращаться к состоянию равновесия, из которого она выводится возмущающими или управляющими воздействиями. Устойчивость системы -необходимое требование для составления долгосрочных прогнозов функционирования систем, отвечающих высоким критериям качества и точности получаемого результата.

Однако усложнение внутренних взаимосвязей и структуры нелинейных динамических систем, развитие информационных технологий потребовали новых подходов не только к определению устойчивости динамических систем, но и к долгосрочному прогнозированию в целом.

Существует большое количество процессов, описываемых нелинейными динамическими системами, для которых требуется корректная обработка больших массивов статистических данных. Однако использование в этих целях традиционных методик приводит к росту временных затрат исследования поведения процесса и увеличению погрешности получаемого прогноза.

Также в настоящее время отсутствуют эффективные методики, которые позволяют не только определять значение параметров динамической системы на том или ином промежутке времени, но и повышать достоверность получаемых прогнозов за счет комплексного использования различных методов долгосрочного прогнозирования. В частности, актуально создание так называемых объемных методик, основанных на совокупном применении математических методов, позволяющих осуществить точный прогноз состояний сложной динамической системы.

Таким образом, на основе проведенного анализа проблем в области прогнозирования состояний динамических систем можно рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие динамические процессы, как ключевой математический аппарат, позволяющий решать теоретические и прикладные задачи на основе построенных динамических моделей.

1.3. Математические методы долгосрочного прогнозирования

Математическое моделирование играет важную роль в совершенствовании аппарата всестороннего прогнозирования поведения динамических объектов и повышении достоверности разрабатываемых прогнозов.

В настоящей работе под прогнозированием понимается процесс исследования будущих состояний динамической системы, основанный на построении адекватной математической модели путем выявления закономерностей и взаимосвязей внутри системы.

Одной из основных теоретических проблем современного прогнозирования поведения динамических систем является построение типологии прогнозов. Данная проблема является важной, поскольку в зависимости от выбранного типа желаемого прогноза зависит и вид применяемого математического аппарата для его получения, а также ограничения, накладываемые на начальные условия задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шабанова, Виктория Геннадьевна, 2018 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием / А. Ю. Александров, А. П. Жабко // Изв. вузов. Математика. - 2012. - № 5. - С. 3-12.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости и стабилизации механических систем с запаздыванием / А. Ю. Александров, А. П. Жабко, А. А. Косов // Вестн. Воронеж. ун-та. - 2011. - Т. 7, 4. - С. 121-126.

3. Александров А. Ю. О стабилизации положений равновесия нелинейных механических систем с запаздыванием / А. Ю. Александров, А. П. Жабко, А. А. Косов // Вестн. Воронеж. ун-та. Сер. Физика. Математика. - 2011. - № 2. - С. 32-39.

4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. - М. : Наука, 1978. - 304 с.

5. Артемьева Е. Н. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений типа Эмдена - Фаулера // Труды семинара по дифференц. уравнениям / Е. Н. Артемьева, Т. Ф. Мамедова ; Мордов. ун-т. -Саранск, 1989. - С. 2-6. - Деп. в ВНИТИ 06.09.90. - 4892-В90.

6. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин. - М. : Наука, 1967. - 223 с.

7. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. - М. : Изд-во иностр. лит., 1954. - 216 с.

8. Бессонов В. А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике. Анализ динамики российской переходной экономики / В. А. Бессонов // Институт экономики переходного периода. - М, 2002. - С. 5-89.

9. Благодатских В. И. Линейная теория оптимального управления / В. И. Благодатских. - М. : Изд-во МГУ, 1978. - 96 с.

10. Благодатских В. И. Практикум по оптимальному управлению / В. И. Благодатских. - М. : Изд-во МГУ, 1979. - 79 с.

11. Благодатских В. И. Теория дифференциальных включений. Ч. I /

B. И. Благодатских. - М. : Изд-во МГУ, 1979. - 89 с.

12. Бойков И. В. Критерии устойчивости экологических, экономических и демографических моделей / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. -Пенза : Информ.-издат. центр Пенз. гос. ун-та. - 2003 (5). - № 2. -

C. 18-30.

13. Бойков И. В. Об одном критерии устойчивости решения нелинейных дифференциальных уравнений с последействием / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико -математические науки. Математика. - Пенза, 2011. - № 1 (17). -С. 58-68.

14. Бойков И. В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений / И. В. Бойков // ДАН СССР. - 1990 - Т. 314. - № 6. -С. 1298-1300.

15. Бойков И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та. - 2008. - 244 с.

16. Былов Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман. - М. : Наука, 1966. - 576 с.

17. Вальрас Л. Элементы чистой политической экономии / Л. Вальрас. - М. : Изограф, 2000 (фр. ориг. 1900, 4-е изд.). - 209 с.

18. Воскресенский Е. В. Асимптотическая эквивалентность нелинейных дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский // Изв. вузов. Математика.- 1987. - № 12. - С. 72-74.

19. Воскресенский Е. В. Асимптотические методы для части компонент решений дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский, Т. Ф. Мамедова. - Саранск : Деп. в ВНИТИ. - 1992. - С. 6-112.

20. Воскресенский Е. В. Асимптотические методы: Теория и приложения / Е. В. Воскресенский // Труды Средневолж. мат. о-ва. -Саранск, 2001. - 300 с.

21. Воскресенский Е. В. Асимптотическое равновесие и его приложения / Е. В. Воскресенский, Т. Ф. Мамедова // Труды семинара по дифференц. уравнениям. - Саранск : Деп. в ВНИТИ 22.07.93. - 2076-В93. -1993. - С. 5-14.

22. Воскресенский Е. В. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский, Е. Н. Артемьева, В. А. Белоглазов, С. М. Мурюмин. - Саранск : Изд-во Сарат. ун-та. Саран. филиал, 1988. - 188 с.

23. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе / Е. В. Воскресенский // Труды Средневолж. мат. о-ва. - Саранск , 1990. - 224 с.

24. Воскресенский Е. В. Равномерная ограниченность решений и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский, Т. Ф. Мамедова // Труды семинара по дифференц. Уравнениям. - Саранск : Деп. в ВНИТИ 30.08.89. - 56-58В89. - 1989. -С. 29-39.

25. Горбунов В. К. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал / В. К. Горбунов - М. : Экономика, 2004.

26. Горбунов В. К. Модель потребительского спроса без функции полезности / В. К. Горбунов // Труды Средневолж. мат. о-ва. - Саранск, 2005. - Т. 9. - № 1. - С. 45-51.

27. Горбунов В. К. Оценка эффективности основного капитала предприятий методом производственных функций / В. К. Горбунов, В. П. Крылов // Экономика региона. - № 3(43). - 2015. - С. 334-347.

28. Дружинина О. В. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем / О. В. Дружинина. - М. : ВЦ РАН, 2007. - 188 с.

29. Зубов В. И. Аналитическое построение функций Ляпунова / В. И. Зубов // Докл. РАН, 1994.- Т. 335. - № 6.- С. 688-690.

30. Зубов В. И. Методы А.М. Ляпунова и их применение / В. И. Зубов. - Л. : Изд-во ЛГУ, 1957. - 241 с.

31. Зубов В. И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение / В. И. Зубов. - М. : Высш. шк., 1973. - 271 с.

32. Казаков И. Е. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем / И. Е. Казаков, Б. Г. Доступов. - М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. - 332 с.

33. Канторович Л. В. Математические методы организации планирования производства / Л. В. Канторович - Л. : Изд-во ЛГУ, 1939. -67 с.

34. Князева Е. Н. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем / Е. Н. Князева, С. П. Курдюмов. - М. : Наука, 1994. - 238 с.

35. Колемаев В. А. «Золотое» правило распределения ресурсов / В. А. Колемаев // Вестн. ун-та. Сер. Информационные системы управления. - М. : Изд-во ГУУ, 2001. - № 1 (2). - С. 91-101.

36. Колемаев В. А. Математическое моделирование государственного регулирования экономики / В. А. Колемаев // Известия Международной академии наук высшей школы. - 2004. - № 3. - С. 114-123.

37. Колемаев В. А. Оптимальный сбалансированный рост открытой трехсекторной экономики / В. А. Колемаев // Прикладная эконометрика. -2008. - № 3 (11).- С. 15-42.

38. Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем / В. А. Колемаев. -М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295 с.

39. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. - М. : Гостехиздат, 1959. - 211 с.

40. Ла-Салль Ж. П. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Ж. П. Ла-Салль, С. Лефшец. - М. : Мир, 1964. - 168 с.

41. Лебедев В. В. Об определении значения коэффициента эластичности производственной функции Кобба - Дугласа / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев // Вестн. ун-та (Гос. ун-т упр.). - 2015. - № 12. - С. 84-92.

42. Лоскутов А. Ю. Решение обратной задачи параметрического контроля одномерных изображений / А. Ю. Лоскутов, С. Д. Рыбалко // Нелинейная динамика и управление : сб. ст. - М. : ФИЗМАЛИТ, 2007. - Вып. 6. - С. 229-240.

43. Луковский И. А. Численно-аналитические методы исследования динамики и устойчивости сложных систем / И. А. Луковский // АН УССР, Ин-т математики. - Киев : ИМ, 1984. - 159 с.

44. Ляпина А. А. Алгоритм исследования моделей нелинейной динамики / А. А. Ляпина, Т. Ф. Мамедова // Изв. высш. учеб. заведений.

Поволжский регион. Физ.-мат. науки. - Пенза, 2013. - № 3 (27). -С. 48-57.

45. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения / А. М. Ляпунов // Собр. соч. Т. 2. - М. ; Л. : Изд-во АН СССР, 1956. - С. 272-331.

46. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. - Гостехиздат. - 1950. - 471 с.

47. Малинецкий Г. Г. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды / Г. Г. Малинецкий. - М. : УРСС, 2006.

48. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. -М. : Наука. - 1966. - 531 с.

49. Мамедова Т. Ф. Асимптотика решений нелинейного дифференциального уравнения. Методы сравнения и методы Ляпунова / Т. Ф. Мамедова // Межвуз. сб. науч. трудов. Мордов. ун-т. - Саранск, 1990. -С. 98-101.

50. Мамедова Т. Ф. Критерии устойчивости решений дифференциальных уравнений по части переменных / Т. Ф. Мамедова // Мат. моделирование. - № 7:5 (1995). - 57 с.

51. Мамедова Т. Ф. Об устойчивости решений по части компонент / Т. Ф. Мамедова // Труды семинара по дифференц. уравнениям. - Саранск : Деп. в ВНИТИ 22.07.93. - 2076-В93. - 1993. - С. 30-39.

52. Шабанова В. Г. Математическое обеспечение модели оптимального управления экономикой отрасли / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова, О. Е. Каледин, Г. И. Шабанов // Современные наукоемкие технологии. -2016. - № 7-1. - С. 89-93.

53. Матросов В. М. Динамика нелинейных систем / В. М. Матросов, Р. И. Козлов. - Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1983. - 208 с.

54. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. - М. : Физматлит. - 2001. - 380 с.

55. Матросов В. М. Метод сравнения в математической теории систем / В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский, С. Л. Васильев. - Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1980. - 480 с.

56. Матросов В. М. Принципы сравнения с вектор-функцией Ляпунова. 1-1У / В. М. Матросов // Дифференц. уравнения. - 1968. -Т. 4, 8. - С. 1374-1386; 1968. - Т. 4, 10. - С. 1739-1752; 1969. - Т. 5, 7. -С. 1171-1185; 1969. - Т. 5, 12. - С. 2129-2143.

57. Матросов В. М. Развитие метода функций Ляпунова и теории устойчивости / В. М. Матросов // Труд II Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. - М. : Наука, 1965. - Вып. I. - С. 112-125.

58. Модель управления финансово-экономической деятельностью производственного предприятия агропромышленного комплекса / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова, О. Е. Каледин, Г. И. Шабанов // Фундаментальные исследования. -2016. - № 3-1. - С. 67-71.

59. Озиранер А. С. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных / А. С. Озиранер, В. В. Румянцев // Прик. мат. и мех. - 1972. - Т. 36, 2. - С. 364-383.

60. Панасюк А. И. Дифференциальное уравнение невыпуклых множеств достижимости / А. И. Панасюк // Мат. заметки. - 1985. - Т. 26. -Вып. 3. - С. 717-726.

61. Пономарев Ю. С. Исследование оптимального экономического роста в малосекторных моделях экономики / Ю. С. Пономарев // Тезисы конференции «Ломоносов 2008», подсекция «Прикладные экономико-математические методы». - М. : МГУ, 2008. - С. 33-36.

62. Пономарев Ю. С. Оптимальный экономический рост в открытой трехсекторной экономике / Ю. С. Пономарев // Журн. науч. публ. аспирантов и докторантов. - Курск, 2008. - № 9. - С. 12-17.

63. Прасолов А. В. Анализ математических моделей : метод. указания к курсу «Модели управления» / А. В. Прасолов. - СПб. : Спец. фак. ПМ-ПУ СПбГУ, 1995. - 25 с.

64. Прасолов А. В. Дифференциальные уравнения с последействием и их приложения / А. В. Прасолов. - СПб. : Соло, 2007. - 189 с.

65. Прасолов А. В. Математические методы экономической динамики / А. В. Прасолов. - СПб. : Лань, 2008. - 352 с.

66. Прасолов А. В. Применение метода локального моделирования к экономическим задачам / А. В. Прасолов. - СПб. : Учеб.-метод. упр. СПбГУ, 1995. - 51 с.

67. Прасолов А. В. Производственные функции и их использование в теории фирмы : метод. указания к спец. курсу / А. В. Прасолов, А. В. Чуркин. - СПб. : учеб.-метод. упр. СПбГУ, 1998. - 44 с.

68. Прасолов А. В. Численные методы в экономике : метод. пособие к комплекс. лаб. работам / А. В. Прасолов. - СПб. : Учеб.-метод. упр. СПбГ, 1999. - 43 с.

69. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. - М. ; Л. : ОГИЗ, 1947. - 385 с.

70. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных систем дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти. - М. : Наука, 1974. - 316 с.

71. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. -1957. - С. 9-16.

72. Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В. В. Румянцев, А. С. Озираиер. - М. : Наука, 1987. - 256 с.

73. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. - М. : Мир, 1980. - 300 с.

74. Самарский А. А. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в информатику с позиций математического моделирования / А. А. Самарский. - М. : Наука, 1988. - 171 с.

75. Спивак С. И. Программный модуль для построения модели системной динамики / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Г. Н. Юсупова // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий : сб. трудов VII Междунар. конф. - 2014. -С. 355-357.

76. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М. В. Федорюк. - М. : Наука, 1970. - 720 с.

77. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. - М. : Мир, 1970. - 720 с.

78. Кутепов А. М. Химическая гидродинамика : справ. пособие / А. М. Кутепов, А. Д. Полянин, З. Д. Запрянов [и др.]. - М. : Бюро Квантум, 1996. - 336 с.

79. Шабанова В. Г. Автоматизация управления развитием производственного предприятия для повышения экономической эффективности. Энергоэффективные и ресурсосберегающие технологии и системы / В. Г. Шабанова, Г. И. Шабанов, Т. Ф. Мамедова // Сб. науч. трудов. - Саранск, 2016. - С. 462-465.

80. Шабанова В. Г. Исследование устойчивости состояния основных производственных фондов АПК / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : матер. XII Междунар. науч.-техн. конф. -2017. -С. 125-131.

81. Шабанова В. Г. Математическое моделирование и оценка нелинейной динамики состояния основных производственных фондов АПК [Электрон. ресурс] / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова, О. Е. Каледин // Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании : матер. XIII Междунар. науч. конф. (Саранск, 12-16 июля 2017 г.). - Саранск : СВМО, 2017. - С. 391-397.

82. Шабанова В. Г. Моделирование динамики основных производственных фондов агропромышленного комплекса / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : матер. XI Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза, 2017. - С. 240-244.

83. Шабанова В. Г. Обработка экспериментальных данных в автоматизированных системах принятия решений / В. Г. Шабанова, Г. И. Шабанов, Т. Ф. Мамедова // Энергоэффективные и ресурсосберегающие технологии и системы. - Саранск, 2016. - С. 460-462.

84. Шабанова В. Г. О методике исследования текущего состояния экономической системы и способе прогнозирования ее будущего поведения / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2016. - № 2 (18). - С. 90-96.

85. Шабанова В. Г. О методике прогнозирования роста капитала предприятия / В. Г. Шабанова, Н. В. Василькин, А. И. Поверинов //

Математические методы и информационные технологии управления в науке, образовании и правоохранительной сфере : матер. Всерос. науч.-техн. конф. Моск. гос. техн. ун-т им. Н. Э. Баумана, Акад. ФСИН России, Ряз. гос. ун-т им. С. А. Есенина. - Рязань, 2017. - С. 51-55.

86. Шабанова В. Г. Оптимизация процесса управления динамикой нелинейной системы и ее численная реализация / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова, О. Е. Каледин // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2018. - Т. 6. - № 1 (20). - С. 140-152.

87. Шабанова В. Г. Содержательные аспекты подсистемы комплексного прогнозирования рентабельности отраслевых предприятий / В. Г. Шабанова // Информационные системы и технологии. - Орел, 2017. -№ 3 (101). - С. 67-71.

88. Шабанова В. Г. Управление производственным процессом по оптимальному критерию качества поведения / В. Г. Шабанова, Т. Ф. Мамедова // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : матер. VII Всерос. науч. молодеж. шк. -семинара им. Е. В. Воскресенского с междунар. участием. - Саранск, 2016. - С. 102-104.

89. Шестаков A. A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А. А. Шестаков. - М. : УРСС. -2007. - 320 с.

90. Шестаков A. A. О прямом методе Ляпунова в теории устойчивости / А. А. Шестаков, Ю. Н. Меренков // Сб. науч. трудов. - М. : ВЗИИТ МПС. - 1981. - Т. 111. - С. 17-21.

91. Шестаков А. А. Признаки устойчивости множеств относительно неавтономной дифференциальной системы / А. А. Шестаков // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, 6. - C. 1079-1090.

92. Якубович В. А. Некоторые критерии приводимости систем дифференциальных уравнений / В. А. Якубович // Дифференц. уравнения. Докл. АН СССР. - 1949. - Т. 66, 4. - C. 577-580.

93. Якубович В. А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений / В. А. Якубович // Дифференц. уравнения. Докл. АН СССР. - 1946. - Т. 63, 4. - C. 363-366.

94. Basti M. On asymptotic equivalence between two nonlinear parametric systems with a small parameter / M. Basti // J. math. ат1 and аppl. -1984. - Vol. 99, 1. - P. 65-79.

95. Boudorrides M. Asymptotic equivalence of differential equations with Stepanoff-bounded functional perturbations / M. Boudorrides, D. Georgiou // Czech. math. j. - 1982. - Vol. 32 (107). - 4. - P. 633-639.

96. Brauer F. Asymptotic equivalence and asymptotic behaviour of linear systems / F. Brauer // Michigan math. j. - 1962. - Vol. 9. - P. 33-43.

97. Brauer F. Nonlinear differential equations with forcing terms / F. Brauer // Proc. аmer. math. soc. - 1964. - Vol. 15. - P. 758-769.

98. Brauer F. On asymptotic relationships behaviour of perturbed linear systems / F. Brauer, J. S. W. Wong // J. differential equations. - 1969. - Vol. 6. -P. 142-153.

99. Brauer F. On asymptotic relationships between solutions of two systems of ordinary differential equations / F. Brauer, J. S. W. Wong // J. differential equations. - 1969. - Vol. 6. - P. 527-543.

100. Dollard J. D. Asymptotic behavioer of solution of linear ordinary differential equations / J. D. Dollard, O. H. Friedman // J. of math. anal. and appl. - 1978. - Vol. 66. - P. 394-398.

101. Hellman H. Qualitative Hydrologie - Wasserbeschaffenheit und Stoff-Flusse / H. Hellman. - Berlin ; Stuttgart : Gebruder Borntraeger. - 1999. -410 p.

102. Kalman R. E. Mathematical description of linear dynamical systems / R. E. Kalman // J. soc. industr. and appl. math. contr. - 1963. - Al. 2. -P. 152-192.

103. Levinson N. The asymptotic behaviour of a system of linear differential equations / N. Levinson // Amer. j. math. - 1946. - Vol. 68. - P. 1-6.

104. Levinson N. The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations / N. Levinson // Duke math. j. - 1948. - Vol. 15. -P. 111-126.

105. Lima A. O. A note on the asymptotic equivalence of two systems of differential equations / A. O. Lima // Acta fac. rerum natur univ. comen. - 1977 (1978). - 33. - P. 35-49.

106. Minorsky N. Non-linear oscillators / N. Minorsky. - Van Nostrand ; Princeton ; New Jersey, 1962.

107. Nerlove M. Estimation and Identification of Cobb-Douglas Production Functions / M. Nerlove. - Rand McNally & Company, 1965. - 193 p.

108. Onuchic N. Asymptotic behaviour of infinity between the solutions of two systems of ordinary differential equations / N. Onuchic, H. Cassago // J. math. anal. and appl. - 1984. - Vol. 102, 28. - P. 348-362.

109. Pykh Yu. A. Energy Lyapunov function for generelized replicator equations / Yu. A Pykh // Proc. Of international conference physics and control. -2001. - P. 271-276.

110. Sansone G. Nonlinear differential equations / G. Sansone, R. Conti. -Pergamon ; Oxford, 1964. - 535 p.

111. Solow R. M. A Contribution to the theory of economic growth / R. M. Solow // The quarterly journal of economics. - 1956. - Vol. 70. - № 1.

112. Svec M. Asymptotic relationship between solutions of two systems of ordinary differential equations / M. Svec // Czech. math. j. - Vol. 24 (99). -P. 44-48.

113. Svec M. Integral and asymptotic equivalence of two systems of differential equations / M. Svec // Equadiff. 5. Czech. conf. differ. equations and appl. br. - 1982. - P. 329-338.

114. Yoshizava T. Liapunov's function and boundedness of solutions / T. Yoshizava // FunktiaI. ekvas. - 1959. - Vol. 2. - P. 71-103.

115. Zybov V. I. Differential equations for functions of several independent variables, and their application / V. I. Zybov // Amer. math. soc. -1993. - Vol. 46. - № 2. - P. 311-315.